线性代数-向量及其线性运算

2) 运算规律
交换律
+=+.
结合律
+(+)=(+ )+.
3) 运算规律的几何验证
4) 负向量 下面用 3 维向量来验证向量加法的交换律
T 称为向量 定义 向量 ( a , a , … , a ) 1 2 n 合律. =用几何的方法求两个向量 (a1, a2, …, an) 的负向量，记为 . 的和向量 ，
二、线性相关性的判断准则P91
定理 定理 向量组线性无关齐次线性方程组只有零解； 向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.
P91定理
推论 ｎ个ｎ维向量线性无关 aij 0 .
推论
ｎ个ｎ维向量线性相关 aij 0.
例１ n 维向量组
e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
b 1 1 2 2 m m
令x1，x2，…xn分别为λ1, λ2,…., λn，则以上线性组 合可以表示为：
x11 x2 2
即线性方程组
xm m b
• b能够为α1，α2，…αn线性表示：
x1 1 x 2 2 x m m b 有解. 也就是方程组 Ax b 有解， 其中，A 1 , 2 , n .
几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即
n = 2, 3 且 F 为实数域的情形. 在 n > 3 时，n 维向
量就没有直观的几何意义了. 我们所以仍称它为向
量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊 情形， 另一方面也由于它与通常的向量一样可以定
义运算，并且有许多运算性质是共同的，因而采取
这样一个几何的名词有好处.
一定义 给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在
一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
① ② ③ ④
若α＝kβ，则称向量α与β成比例． 零向量Ｏ是任一向量组的线性组合． 向量组中每一向量都可由该向量组线性表示． an 都是基本向量组 任一ｎ维向量 a1 a2 1 1 0 0 ， 2 0 1 0 ， ， n 0 0 1， 的一个线性组合．事实上，有 a1 1 a2 2 an n .
所以，确定飞机的状态，会产生一个有序数组 a ( x , y , z , , , )

２、定义 ｎ个数 a1 , a2 ,
a1 a2
, an 组成的有序数组
an
称为一个ｎ维向量，其中 ai 称为第 i 个分量. ｎ维向量写成一行，称为行矩阵，也就是行向量， T T T （Row Vector） , , . 记作
a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a a a m 1 m 2 mj mn
向量组 A : 1 , 2 ,
1
2
j
n
, n 称为矩阵Ａ的列向量组.
以后我们用小写希腊字母 ，， 等来代表向 量.
三、n 维向量的运算
1. 两个向量相等 定义 2 . 3 如果 n 维向量
= ( a1 , a2 , … , an)T, = (b1 , b2 , … , bn )T
的对应分量都相等，即
ai = bi
( i = 1, 2, … , n ) ,
T 如： a1 a2
an
ｎ维向量写成一列，称为列矩阵，也就是列向量， a1 （Column Vector） 记作α,β,γ. a 2 如： an
注意 １、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； ２、当没有明确说明时，都当作实的列向量.
(因为
1 0 0 2 B [ A, b] 1 , 2 , 3 , b 0 1 0 3 0 0 1 0
即r ( A) r ( B ).)
二、线性相关性的概念
定义３ 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不
定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要
条件是矩阵 A ( 1， 2， , m )的秩等于矩阵 B ( 1， 2， , m , b)的秩. 2 1 0 例：向量 b 3 即可由向量组 1 0， 2 1， 0 0 0 0 3 0 线性表示，且为： b 2 1 3 2 0 3 1
P ( x, y, z )
一 一 对 应
T
ax by cz d
y z
T
r x
2.3 向量间的线性关系
回忆：向量线性运算
数乘
a1 a2
an , k R ka2 kan
规定 k k ka1
称为数ｋ与向量α的数量积. 设β=kα，那么两个向量之间是什么样的关系？ 引申到多个向量，关系又如何？
T 1
T 2
T i

T m
, mT为矩阵Ａ的行向量组．
四、线性方程组AX=b的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
T Τ
2 ,
T
k 3 .or . k 1 . 3 0 2 1 线性相关，则ｋ
T T a 0 c , 2 b c 0 , 2、设向量组 1
3T 0 a b 线性无关，则 a, b, c 必满足 abc 0 .
例3 已知向量组 1 , 2 , 3 线性无关 , b1 1 2 , b2 2 3 , b3 3 1 , 试证 b1 , b2 , b3线性无关 .
其第ｉ个行向量记作 i T ai 1 ai 2 ain 矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清.
n
a1 j ｎ个ｍ维列向量. a2 j 其第ｊ个列向量记作 j a mj
三、向量组、矩阵、线性方程组 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 记作： A : 1 , 2 , , s .or . i 例如 对于一个 m n 矩阵有ｎ个ｍ维列向量.
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注意：集中精力，仔细理解
一、ｎ维向量（Vector） １、引入 确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角
机翼的转角
机身的水平转角

( ) 2 2 ( )


(0 2 ) 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
(-1) = - , k 0 = 0 .
如果 k 0, 0, 那么
k0.
3、向量与矩阵的关系 a1n a11 a12 a a22 a2 n 21 A amn am 1 am 1 按列分块
A 1 2
1T T 2 按行分块 A T m ｍ个ｎ维行向量.
就称这两个向量是相等的，记作
=.
2. 向量的加法 1) 定义
定义 2 . 4 向量
= ( a1 + b1 , a2 + b2 , … , an + bn )T
称为向量
= ( a1 , a2 , … , an)T, = (b1 , b2 , … , bn )T
的和，记为
=+.
例３ ｎ维向量的集合是一个向量空间,记作 R
n
.
解 任意两个ｎ维向量的和仍是一个ｎ维向量； 任意ｎ维向量乘以一个数仍是一个ｎ维向量． 易知 该集合对加法封闭，对数乘也封闭， 所以，所有ｎ维向量的集合构成一个向量空间.
2、结构
向
解析几何
既有大小又有方向的量
量
线性代数
有次序的实数组成的数组
( n 3)
+ 的步骤是：把 的起点移到 的终点，然ຫໍສະໝຸດ 显然，对于所有的 ，都有
+0=，
+(-)=0.
5) 向量减法运算 定义 - = + ( - ) .
3. 数量乘积
1) 定义 定义 2 . 5 设 k 为数域 F 中的数，向量
( ka1 , ka2 , … , kan ) 称为向量 = ( a1, a2, …, an ) 与数 k 的数量乘积，
记为 k . 向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运
算. 显然，数域 F 上的向量经过线性运算后，仍
为数域 F 上的向量.
2) 运算规律
k ( + ) =k + k ,
(k + l ) = k + l ,
k ( l ) = ( kl ) ,
1 = ,
0=0,
T T T
称为n 维单位坐标向量组 , 讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 I (e1 , e2 ,, en ) 是n阶单位矩阵.
由 I 1 0， 及定理 2 的推论知，
n 维单位坐标向量组线性 无关。
自己练习：
1、设向量组 1 k 3 0 , 2 1 k
类似的，矩阵有ｍ个ｎ维行向量.
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
向量组 A : 1T , 2T ,