向量的线性运算知识点
高中数学空间向量的线性运算知识点解析
向量：
→ (1)AP； → → → 解 AP＝AD1＋D1P
→ → 1→ ＝(AA1＋AD)＋2AB
1 ＝a＋c＋2b.
→ (2)A1N；
解 → → → A1N＝A1A＋AN
→ → 1→ ＝－AA1＋AB＋2AD
1 ＝－a＋b＋2c.
→ → (3)MP＋NC1.
→ → → — → → → → 解 MP＋NC1＝(MA1＋A1D1＋D1P)＋(NC＋CC1)
PART TWO
2
题型探究
题型一 空间向量的概念理解
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是
A.空间向量不满足加法结合律
B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 → → → → → → C.若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，则AB＞CD 解析 A中，空间向量满足加法结合律； B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定； C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.
1 → → 1→ 1 → → ＝2AA1＋AD＋2AB＋2AD＋AA1
3 → 3 → 1→ ＝2AA1＋2AD＋2AB
3 1 3 ＝2a＋2b＋2c.
引申探究 C1P 1 若把本例中“P 是 C1D1 的中点”改为“P 在线段 C1D1 上，且PD ＝2”，其他 1 → 条件不变，如何表示AP？
2 → → → → → 2→ 解 AP＝AD1＋D1P＝AA1＋AD＋3AB＝a＋c＋3b.
— → — → — → — → — → B′B，CC′，C′C，DD′，D′D，共 8 个向量都是单位向量，而其他向量的 模均不为 1，故单位向量共有 8 个.
②试写出模为 5的所有向量.
— → 解 由于长方体的左右两侧面的对角线长均为 5，故模为 5的向量有AD′， — → — → — → — → — → — → — → D′A，A′D，DA′，BC′，C′B，B′C，CB′.
向量的线性运算向量的加法和数乘
向量的线性运算向量的加法和数乘向量的线性运算：向量的加法和数乘向量是数学中一个重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
在线性代数中，向量的线性运算是一项基础且重要的内容。
本文将重点介绍向量的加法和数乘两种线性运算，以及它们的性质和应用。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相应位置上的元素进行相加得到一个新的向量。
设有两个向量：向量A = (a₁, a₂, ..., aₙ)和向量B = (b₁,b₂, ..., bₙ)，则它们的加法可表示为：A +B = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., aₙ + bₙ)其中，a₁ + b₁表示A和B的第一个元素相加，a₂ + b₂表示A和B的第二个元素相加，以此类推。
需要注意的是，参与加法运算的两个向量必须有相同的维度，即拥有相同数量的元素。
向量的加法具有以下性质：1. 交换律：对于任意两个向量A和B，有A + B = B + A。
即向量的加法满足交换律，顺序可以交换而不影响结果。
2. 结合律：对于任意三个向量A、B和C，有(A + B) + C = A + (B +C)。
即向量的加法满足结合律，可以按照任意顺序进行多次加法运算。
3. 零向量：对于任意向量A，存在一个全零向量0，使得A + 0 = A。
即任何向量与零向量进行加法运算，结果仍为原向量本身。
向量的加法有着广泛的应用，例如在力学中，将多个力的作用效果用向量的加法表示；在几何学中，将多个向量的位移用向量的加法表示等等。
二、向量的数乘向量的数乘是指将一个实数乘以一个向量的每个元素得到一个新的向量。
设有一个向量A = (a₁, a₂, ..., aₙ)，实数k，则它们的数乘可表示为：kA = (ka₁, ka₂, ..., kaₙ)即向量A的每个元素都乘以k得到新的元素。
这里的实数k称为标量，而向量A称为向量kA的标量倍。
需要注意的是，标量与向量进行数乘时，不改变向量的维度。
向量的数乘具有以下性质：1. 结合律：对于任意实数k₁和k₂以及向量A，有(k₁k₂)A =k₁(k₂A)。
向量的线性运算
向量的线性运算向量是线性代数中的重要概念，线性运算是对向量进行数学操作的方法。
本文将介绍向量的线性运算包括加法、减法、数乘，以及向量的线性组合。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，符号为“+”。
设有向量A和向量B，记作A+B=C，其中C是向量A和向量B的和向量。
向量的加法满足以下几个性质：1. 交换律：A+B=B+A2. 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)3. 零向量：对于任意向量A，有A+0=A，其中0是零向量，即所有分量都为0的向量。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，符号为“-”。
设有向量A和向量B，记作A-B=C，其中C是向量A和向量B的差向量。
向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B=A+(-B)，其中-表示取反操作。
三、向量的数乘向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
设有向量A和实数k，记作kA=B，其中B是向量A的数乘结果。
向量的数乘满足以下性质：1. 分配律：k(A+B)=kA+kB2. 结合律：(kl)A=k(lA)，其中k和l为实数四、向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按照一定的权重进行相加得到一个新的向量。
设有向量A1、A2、...、An和实数k1、k2、...、kn，向量的线性组合记作k1A1+k2A2+...+knAn。
向量的线性组合可以看作是向量的加法和数乘运算的组合。
向量的线性运算在向量空间中有着重要的应用。
通过向量的线性组合，我们可以表示出向量空间中的各种线性关系，诸如线性相关性、线性无关性、生成子空间等概念。
在实际问题中，向量的线性运算也有广泛的应用。
例如，物理学中常用向量的线性组合来表示力、速度、加速度等物理量；经济学中则常用向量的线性组合来表示商品的组合、市场的供求关系等。
综上所述，向量的线性运算包括加法、减法、数乘和线性组合。
通过这些运算，我们可以对向量进行各种数学操作，方便地进行向量的运算和分析，也为解决实际问题提供了有力的工具。
向量的线性运算
向量的线性运算向量是数学中一种非常常用的概念，可以用来表示物理空间内的一个方向或一个方向上的一个量。
在一个n维空间中，一个向量可以用n维的数组表示，如：[x1,x2,...,xn]。
两个向量可以使用线性运算进行组合，形成一个新的向量，这些线性运算包括加法、乘法，以及一些更复杂的运算。
首先来说向量的加法。
两个n维的向量可以按照分量逐个相加，形成一个新的n维向量。
若u=[u1,u2,...,un]和v=[v1,v2,...,vn]，则u+v=[u1+v1,u2+v2,...,un+vn]。
例如，若u=[1,2,3]，v=[4,5,6]，则u+v=[5,7,9]。
其次是乘法。
向量的乘法可以分为内积、外积以及点乘。
内积表示两个向量的方向一致的乘积，也称为内积。
向量的内积记为uv，它是两个向量的对应分量的乘积之和，即：uv=u1v1+u2v2+...+unvn。
例如，若u=[1,2,3],v=[4,5,6]，则uv=1×4+2×5+3×6=32。
外积表示两个向量的方向不一致的乘积，也称为外积。
外积记作u×v，它是一个新的n维向量，它的n个分量分别由u×v=<u1v2-u2v1,u1v3-u3v2,...,un-1vn-u2v1>所确定，例如，若u=[1,2,3],v=[4,5,6]，则u×v=[2×6-3×5,-1×6+3×4,-2×5+1×4]，即u×v=[-3,6,-3]。
最后是点乘。
点乘是一种乘法，表示的是两个向量的垂直投影的积。
点乘记作uv，其求解公式为uv=|u||v|cosθ。
其中|u|表示向量u的模，|v|表示向量v的模，而θ表示向量u和v的夹角。
例如，若u=[1,2,3],v=[4,5,6]，则uv=|u||v|cosθ=√14×√77cos10°=45.58。
向量的线性运算与坐标表示
向量的线性运算与坐标表示向量是线性代数中一个基本的概念，它在各个学科领域都有广泛的应用。
本文将重点讨论向量的线性运算以及如何用坐标表示向量。
一、向量的定义与表示在二维和三维空间中，向量通常用箭头表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的方向和长度表示向量的方向和大小。
如图所示：[插入示意图：箭头向量的表示]向量有两种表示方法：行向量和列向量。
行向量按照元素排列在一行中，用方括号括起来；列向量按照元素排列在一列中，用方括号括起来。
例如，行向量[a, b, c]和列向量[a; b; c]表示同一个向量。
二、向量的线性运算向量的线性运算主要包括加法和数乘。
1. 向量的加法向量的加法遵循“平行四边形法则”，即将两个向量的起点放在一起，然后将它们的箭头连接起来，箭头的指向为新向量的方向，连接起点和终点，得到新向量的结果。
如图所示：[插入示意图：向量加法示意图]向量加法的坐标表示为，设向量a的坐标为[a1, a2, a3]，向量b的坐标为[b1, b2, b3]，则向量a和向量b的和的坐标为[a1+b1, a2+b2,a3+b3]。
2. 向量的数乘向量的数乘是将向量的每个元素与一个实数相乘，得到一个新的向量。
数乘后的向量与原向量的方向相同（当数乘的实数为正数时）或相反（当数乘的实数为负数时），而长度与原向量的长度之比为数乘的实数绝对值。
向量的数乘的坐标表示为，设向量a的坐标为[a1, a2, a3]，实数k，则向量a的数乘结果的坐标为[k*a1, k*a2, k*a3]。
三、向量的坐标表示向量可以用坐标进行表示，坐标是指向量在坐标系中的位置。
在二维平面中，通常以x轴和y轴为基础建立直角坐标系；而在三维空间中，通常以x轴、y轴和z轴为基础建立直角坐标系。
在直角坐标系中，向量的坐标表示为(a1, a2, a3)，其中a1、a2、a3分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
例如，向量a在直角坐标系中的坐标表示为(a1, a2, a3)。
平面向量的概念及线性运算讲义
平面向量的概念及线性运算讲义一、知识梳理1．向量的有关概念名称 定义备注向量 既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0单位向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(3)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(4)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(6)|λa |＝|λ||a |；(7)当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0(8)λ(μa )＝(λμ)a ； (9)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (10)λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .注意：1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—————→＋A 2A 3—————→＋A 3A 4—————→＋…＋A n －1A n —————————→＝A 1A n —————→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( ) 题组二：教材改编2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝______，BC →＝________.(用a ，b 表示)3．在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 题组三：易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．三、典型例题题型一：平面向量的概念 1．给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A ．②③ B ．①② C ．③④D ．②④2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3思维升华：向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线． 题型二：平面向量的线性运算 命题点1：向量的线性运算典例 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c (2)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，点E 在AD 边上，且AD ＝3AE ，则用向量AB →，AC →表示CE →为( )A.29AB →＋89AC →B.29AB →－89AC →C.29AB →＋79AC → D.29AB →－79AC → 命题点2：根据向量线性运算求参数典例 (1)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝______. (2)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是 思维升华：平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值． 跟踪训练 (1)如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上的一个靠近点B 的三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → (2)如图，直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且与对角线AC 交于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为______．题型三：共线向量定理的应用 典例 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．引申探究 若将本例(1)中“BC →＝2a ＋8b ”改为“BC →＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？ 思维升华：(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练 (1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线(2)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为( ) A ．{0} B ．∅ C ．{－1}D ．{0，－1}四、反馈练习1．以下命题：①|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量．其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相反B ．a 与λ2a 的方向相同C ．|－λa |≥|a |D ．|－λa |≥|λ|·a3．在四边形ABCD 中，设AD →＝a ，BC →＝b ，那么AC →＋BD →等于( ) A ．a －b B ．a ＋b C ．b －aD ．不能确定4．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D5．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案 B7．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下列结论正确的是________．(填序号) ①a ∥b ；②a ⊥b ；③|a |＝|b |；④a ＋b ＝a －b .8．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a－b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确命题的序号为________．9.如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝________.10．在直角梯形ABCD 中，A ＝90°，B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．11．已知P ，Q 为△ABC 中不同的两点，且3P A →＋2PB →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝0，则S △P AB ∶S △QAB 为________．12．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.13．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________. 14．已知点D 为△ABC 所在平面上一点，且满足AD →＝15AB →－45CA →，若△ACD 的面积为1，则△ABD 的面积为________．15．设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则角B 的大小为______．。
向量的线性运算知识点总复习有解析
A． a / /b
【答案】C
B． a b
C． BD 7 2
D． a 与 b 方向相反
【解析】
【分析】
利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答.
【详解】
解：已知 a＝2c ， b＝ 2c ，故 a，b 是长度相同，方向相反的相反向量，
故 A,B,D 正确， 向量之和是向量，C 错误， 故选 C. 【点睛】 本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正 确运用相等向量与相反向量的定义判断 A、B、D 三项结论正确.
AB AC CB ，故 A 选项错误；
AB AC BC ，故 B、C 选项错误；
AB BC CA 0 ，故 D 选正确.
故选：D. 【点睛】
本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.
15．已知 a ， b 和 c 都是非零向量，下列结论中不能判定 a ∥ b 的是（ ）
A． a // c ， b // c
意．
B、由| a | 3 | b | 只能判定向量 a 、 b 的模之间的关系，不能判定向量 a 、 b 的方向是否相
同，故本选项符合题意．
C、由 a 5b 可以判定向量 a 、 b 的方向相反，则 a//b ，故本选项不符合题意．
D、由 a 2b 可以判定向量 a 、 b 的方向相同，则 a//b ，故本选项不符合题意．
2 3
a
．
故选 B．
【点睛】
本题考查了平面向量的知识，即长度不为 0 的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向， 而长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．
11．已知 a 、 b 、 c 都是非零向量，如果 a 2c ， b 2c ，那么下列说法中，错误的是
向量及其线性运算
a
0
a与a 反向，| a || | | a |
a 2a 1 a 2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
（2）分配律：( )a a a
(a
b)
a
b
a 同向. 且 a
设
b
a，又设
b
a
aba， a
b.
两式相减，得 ( )a 0， 即 a 0，
a 0， 故 0， 即 .
设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | a0
|
a a
|
a
0
.
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
例1
化简
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
解
a
b
5
1
b
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b 负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
二、向量的线性运算
1.
向量加法：
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向量的线性运算知识点一、选择题1．已知a，b为非零向量，如果b＝﹣5a，那么向量a与b的方向关系是（）A．a∥b，并且a和b方向一致B．a∥b，并且a和b方向相反C．a和b方向互相垂直D．a和b之间夹角的正切值为5【答案】B【解析】【分析】根据平行向量的性质解决问题即可．【详解】∵已知a，b为非零向量，如果b＝﹣5a，∴a∥b，a与b的方向相反，故选：B．【点睛】本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．2．□ABCD中， -+等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】在平行四边形中，两对对边平行且相等，以一对对边所在的线段构成向量，得到的向量要么相等，要么是相反向量，根据本题所给的两个向量来看，它们是一对相反向量，和为零向量，得到结果．【详解】∵在平行四边形ABCD中，与是一对相反向量，∴ = -∴ -+=- + =，故选A．【点睛】此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于得出与是一对相反向量.3．已知向量，若与共线，则( ) A．B．C．D．或【答案】D【解析】【分析】要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答.【详解】 解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即；与任一向量共线.故答案为D.【点睛】 本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键.4．在矩形ABCD 中，如果AB 模长为3, BC 模长为1，则向量（AB +BC +AC ） 的长度为（ ） A ．2B ．4C ．31-D ．31+ 【答案】B【解析】【分析】先求出AC AB BC =+，然后2AB BC AC AC ++=，利用勾股定理即可计算出向量（AB +BC +AC ）的长度为【详解】 22||3,||1||(3)122|||2|224AB BC AC AC AB BCAB BC AC ACAB BC AC AC ==∴=+==+∴++=++==⨯=∴故选：B.【点睛】考查了平面向量的运算，解题关键是利用矩形的性质和三角形法则.5．如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设AB a,BC k ，那么向量AO 用向量a b ⋅表示为（ ）A ．12a b B ．2133a b C ．2233a b D ．1124a b 【答案】B【解析】【分析】利用三角形的重心性质得到： 23AOAD ；结合平面向量的三角形法则解答即可． 【详解】∵在△ABC 中，AD 是中线， BC b ， ∴11BD BC b 22． ∴1b 2AD AB BD a又∵点O 是△ABC 的重心， ∴23AO AD ， ∴221AO AD a b 333． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了平面向量与重心有关知识，根据重心知识得出23AOAD 是解题的关键．6．下列式子中错误的是（ ）．A ．2a a a +=B ．()0a a +-=C ．()a b a b -+=--D ．a b b a -=- 【答案】D 【解析】【分析】根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解．【详解】A. a 与a 大小、方向都相同，∴2a a a +=，故本选项正确；B. a 与a -大小相同，方向相反，∴()0a a +-=，故本选项正确；C.根据实数对于向量的分配律，可知()a b a b -+=--，故本选项正确；D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+，故本选项错误.故选D.【点睛】本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.7．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =，AD b =，那么a b +等于（ ）A ．BDB ．AC C ．DBD ．CA【答案】B【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =，然后由三角形法则，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∵AD b =，∴BC b =，∵AB a =，∴a b +=AB +BC =AC ．故选B ．8．化简()()AB CD BE DE -+-的结果是（ ）．A ．CAB ．AC C ．0D ．AE【答案】B【解析】【分析】根据三角形法则计算即可解决问题．【详解】解：原式()()AB BE CD DE =+-+AE CE =-AE EC =+ AC =，故选：B ．【点睛】本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．9．已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为、、，则向量等于 （ ）A ．++B ．-+C ．+-D ．--【答案】B【解析】【分析】利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论．【详解】如图，，则 -+故选B ．【点睛】此题考查平面向量的基本定理及其意义，解题关键在于画出图形.10．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =，那么BA 用a 表示正确的是（ ） A ．34a B ．34a - C ．43a D ．43a - 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案.【详解】∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =，∴BA=43AC ， ∵BA 与AC 方向相反，∴BA =43a -， 故选D.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.11．已知a 、b 、c 都是非零向量，下列条件中，不能判断//a b 的是（ ） A ．a b = B ．3a b = C ．//a c ，//b c D ．2,2a c b c ==-【答案】A【解析】【分析】根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案．【详解】解：A 、||||a b =只能说明a 与b 的模相等，不能判定a ∥b ，故本选项符合题意; B 、3a b =说明a 与b 的方向相同，能判定a ∥b ，故本选项不符合题意; C 、a ∥c ，b ∥c ，能判定a ∥b ，故本选项不符合题意; D 、2a c =，2b c =-说明a 与b 的方向相反，能判定a ∥b ，故本选项不符合题意． 故选：A ．【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．12．已知e 是单位向量，且2,4a e b e =-=，那么下列说法错误的是（ ） A ．a ∥bB ．|a |=2C ．|b |=﹣2|a |D ．a =﹣12b 【答案】C【解析】 【分析】【详解】解：∵e 是单位向量，且2a e =-，4b e =， ∴//a b ，2a =， 4b = ， 12a b =-， 故C 选项错误，故选C. 13．如图，向量OA 与OB 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n =OA +OB ，则||n =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2 【答案】B【解析】 根据向量的运算法则可得:n =()222OA OB +=,故选B.14．已知a ，b 和c 都是非零向量，下列结论中不能判定a ∥b 的是（ ）A ．a //c ，b //cB ．1,22a c b c ==C ．2a b =D ．a b = 【答案】D【解析】【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A.∵a //c ，b //c ，∴a ∥b ，故本选项错误；B.∵1,22a cbc ==∴a ∥b ，故本选项错误. C.∵2a b =，∴a ∥b ，故本选项错误；D.∵a b =，∴a 与b 的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键．15．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，下列式子中正确的是（ ）A ．DC a b =+B ．DC a b =-； C ．DC a b =-+D ．DC a b =--．【答案】C【解析】【分析】由平行四边形性质，得DC AB =，由三角形法则，得到OA AB OB +=，代入计算即可得到答案.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB =，∵OA a =，OB b =，在△OAB 中，有OA AB OB +=，∴AB OB OA b a a b =-=-=-+，∴DC a b =-+；故选择：C.【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．16．如果2a b =（a ，b 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）A ．a //bB ．a -2b =0C ．b =12aD ．2a b =【答案】B【解析】试题解析：向量最后的差应该还是向量.20.a b -= 故错误.故选B.17．规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP 可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n =.已知11(,OA x y =），22(,)OB x y =，如果12120x x y y +=，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．(4,3)OC =-；(3,4)OD =-B ．(2,3)OE =-； (3,2)OF =-C ．(3,1)OG =；(OH =-D ．(24)OM =；(2)ON =-【答案】D【解析】【分析】将各选项坐标代入12120x x y y +=进行验证即可.【详解】解：A. 12121202124x x y y =--=-≠+，故不符合题意；B. 121266102x x y y =--=-≠+，故不符合题意；C. 12123012x x y y =-+=-≠+，故不符合题意；D. 1212880x x y y =-+=+，故符合题意；故选D.【点睛】本题考查新定义与实数运算，正确理解新定义的运算方法是解题关键.18．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为（m ，n ），向量OP 可以用点P 的坐标表示为：OP ＝（m ，n ）．已知OA ＝（x 1，y 1），OB ＝（x 2，y 2），如果x 1•x 2+y 1•y 2＝0，那么OA 与OB 互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（ ）A ．OC ＝（3，20190），OD ＝（﹣3﹣1，1）B ．OE ﹣1，1），OF ，1）C ．OG 12），OH ）2，8）D ．OM ），ON 2，2） 【答案】A【解析】【分析】根据向量互相垂直的定义作答．【详解】A 、由于3×（﹣3﹣1）+20190×1＝﹣1+1＝0，则OC 与OD 互相垂直，故本选项符合题意．B ﹣1+1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则OE 与OF 不垂直，故本选项不符合题意．C ）2+12×8＝4+4＝8≠0，则OG 与OH 不垂直，故本选项不符合题意．D 2）×2＝5﹣4+1＝2≠0，则OM 与ON 不垂直，故本选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义.19．已知a 、b 和c 都是非零向量，在下列选项中，不能判定a ∥b 的是（ ） A ．=a bB ．a ∥c ，b ∥cC ．a +b ＝0D ．a +b ＝2c ，a ﹣b ＝3c【答案】A【解析】【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、该等式只能表示两a、b的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；B、由a∥c，b∥c可以判定a∥b，故本选项不符合题意；C、由a+b＝0可以判定a、b的方向相反，可以判定a∥b，故本选项不符合题意；D、由a+b＝2c，a﹣b＝3c，得到a＝52c，b＝﹣12c，则a、b的方向相反，可以判定a∥b，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键.20．下列判断错误的是（）A．0•=0aB．如果a+b=2c，a-b=3c，其中0c ，那么a∥b C．设e为单位向量，那么|e|=1D．如果|a|=2|b|，那么a=2b或a=-2b【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答．【详解】A、0•=0a，故本选项不符合题意．B、由a+b=2c，a-b=3c得到：a＝52c，b＝﹣12c，故两向量方向相反，a∥b，故本选项不符合题意．C、e为单位向量，那么|e|=1，故本选项不符合题意．D、由|a|=2|b|只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意．故选D．【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．。