湖南省岳阳市2015届高三质量检测(二)数学(理)试题及答案
2015届湖南省岳阳市部分省重点高三联考理科数学试卷
已知由非负整数组成的数列 满足下列两个条件：
① ， ，②
（1）求 ；
（2）证明 ；
（3）求 的通项公式及其前 项和 .
解：（1）由题设得 ，且 、 均为非负整数，所以 的可能的值为1，2，5，10.
若 ，则 ， ，与题设矛盾，
若 ，则 ， ，与题设矛盾，
若 ，则 ， ， ，与题设矛盾，
解：可取 ，
答案：A
10、已知 ，则 的大小关系为（）
A． B． C． D．
解：法一:构造函数 在 时单调递减.又
所以 即
法二:结合函数 图象交点判断.
答案：A
三、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11、已知 为角 终边上的一点，则 =．
解：
答案:
12、设函数 在 内有定义，下列函数： ； ； ； 中必为奇函数的有.
答案:（2）（4）
13、如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为1m的正方体 中分离出来的.如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛 体积的水.
答案:
14、已知两个向量 的夹角为 且 ，设两点 的中点为点 ,则 的最小值为.
解:设
当且仅当 时取等号
的最小值为1
15、定义在 上的函数 如果满足：对任意 ,存在常数 ,都有 成立，则称 是 上的有界函数，其中 称为函数 的界.已知函数 在区间 上是以3为界的有界函数，则实数 的取值范围是.
解： 对区间 上任意 恒成立
设 ，记
可知 在区间上递减， 在区间 上递增
所以 最大值为－5, 最小值为1
答案：
三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.
高三教学质量检测试卷(二).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作岳阳市2015届高三教学质量检测试卷（二）数学（文科）本试卷分选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分，共21题，时量120分钟，满分150分。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，集合{}2,4B =，则()U C A B 为（ ）A ．{}1,2,4B ．{}1,3,4C ．{}2,4,5D ．{}2,3,4,52．如图程序运行后,输出的值是（ ）A ．-4B ．5C ．9 D. 143．甲、乙两位同学在5次考试中的数学成绩用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示数学成绩的十位数字，两边的数字表示数学成绩的个位数字。
若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是（ ） A ．x x <乙甲，甲比乙成绩稳定 B ．x x <乙甲，乙比甲成绩稳定 C ．x x >乙甲，甲比乙成绩稳定 D ．x x >乙甲，乙比甲成绩稳定4．已知平面,αβ不重合，直线m α⊂，那么“m β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5．若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于P 、Q 两点，且90POQ ∠=（其中O 为原点）， 则k 的值为（ ）A ．2B ．1C ．2-或2D ．1-或16．函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的图象如图所示，则()1f =（ ） A ．32-B ．12- C ．12 D ．327．已知x 、y R ∈，不等式组2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩所表示的平面区域的面积为6，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ）A ．32 B ．22 C ．13 D ．129．已知a ，b 是平面内一组单位正交基底，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=,则c 的最大值 是（ ）A ．1B ．2C ．2D ．2210．设3()3f x x x =-，若函数()()()g x f x f t x =+-有零点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(23,23)-- B ．(3,3)- C ．[23,23]- D ．[3,3]- 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．）11．已知z x yi =+，,x y R ∈，i 为虚数单位，且2(1)z i =+，则x yi+= ． 12．已知曲线C 的参数方程是231x t y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数），点(3,)M a 在曲线C 上，则a = ．13．三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________. 14．已知,a b 都是正实数，且21a b +=，则12a b+的最小值是 _______．15．把数列}12{+n 的项依次按以下规则排在括号内：第一个括号一个数，第二个括号两个数， 第三个括号三个数，第四个括号四个数；第五个括号一个数，第六个括号两个数，……， 依次类推，分别为： （3）， （5，7）， （9，11，13），（15，17，19，21）， （23），（25，27）， （29，31，33），（35，37，39，41）， （43），（45，47），……，则（1）第104个括号内各数之和为 .（2）奇数2015在第 个括号内.三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本小题满分12分）2016年欧洲杯将于2016年6月10日到7月10日在法国举行。
2015年湖南省岳阳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2015年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|x＝a+（a2﹣1）i}（a∈R，i是虚数单位），若M⊆R，则a＝（）A．1B．﹣1C．±1D．02．（5分）已知α，β为不重合的两个平面，直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．4．（5分）图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A．8B．9C．10D．115．（5分）已知向量＝（3，﹣2），＝（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8D．246．（5分）已知双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，一条渐近线为l，抛物线C2：y2＝4x的焦点为F，点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点，则|PF|＝（）A．2B．3C．4D．57．（5分）一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①②B．①③C．②④D．③④8．（5分）已知A，B是单位圆上的动点，且|AB|＝，单位圆的圆心为O，则＝（）A．B．C．D．9．（5分）若（1﹣3x）2015＝a0+a1x+…a2015x2015（x∈R），则的值为（）A．3B．0C．﹣1D．﹣310．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）＝且f（x+2）＝f（x），g（x）＝，则方程f（x）＝g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为（）A．﹣7B．﹣8C．﹣9D．﹣10二、填空题：本大题共6个小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选作题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．（5分）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为．以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3＝0，则圆心C到直线l距离为．12．（5分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝5，直角边AC＝4，如果以C为圆心的圆与AB相切于D，则⊙C的半径长为．13．（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为．（二）必做题（14-16题）14．（5分）计算定积分（x2+sin x）dx＝．15．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组（a＞0）表示的平面区域的面积为5，直线mx﹣y+m＝0过该平面区域，则m的最大值是．16．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝log n（n+1）（n≥2，n∈N*），定义：使乘积a1•a2•…•a K为正整数的k（k∈N*）叫做“简易数”．（1）若k＝3时，则a1•a2•a3＝；（2）求在[3，2015]内所有“简易数”的和为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知函数f（x）＝（sin x﹣cos x）（cos x+sin x），x∈R，（1）求f（x）的单调递增区间；（2）将y＝f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后得到偶函数y＝g（x）的图象，求m 的最小值．18．（12分）某同学参加某高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求数学期望Eξ．19．（12分）如图一所示，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AD＝4，BC＝8，O、O1分别为BC、AD的中点，将梯形ABOO1沿直线OO1折起，使得平面ABOO1⊥平面OO1DC，得到如图二所示的三棱台AO1D﹣BOC，E为BC的中点．（1）求证：BC⊥平面OO1E；（2）若直线O1E与平面ABCD所成的角的正弦值为，求三棱锥A﹣BOC的体积．20．（13分）岳阳市为了改善整个城市的交通状况，对过洞庭大桥的车辆通行能力进行调查．统计数据显示：在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为85千米/小时，研究表明：当30≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）＝x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．21．（13分）已知椭圆E：（a＞b＞0）与双曲线G：共焦点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是椭圆E与双曲线G的一个交点，O为坐标原点，△PF1F2的周长为4．（1）求椭圆E的方程；（2）已知动直线l与椭圆E恒有两个不同交点A，B，且，求△OAB面积的取值范围．22．（13分）已知函数f（x）＝ax﹣ln（x+1）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），有＞1成立，求实数k的最小值；（3）证明﹣ln（2n+1）＜2（n∈N*）．2015年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|x＝a+（a2﹣1）i}（a∈R，i是虚数单位），若M⊆R，则a＝（）A．1B．﹣1C．±1D．0【解答】解：集合M＝{x|x＝a+（a2﹣1）i}（a∈R，i是虚数单位），若M⊆R，可知复数是实数：a2﹣1＝0，解得a＝±1．故选：C．2．（5分）已知α，β为不重合的两个平面，直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直∴直线m⊂α，那么“m⊥β”成立时，一定有“α⊥β”成立反之，直线m⊂α，若“α⊥β”不一定有“m⊥β”成立所以直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件故选：A．3．（5分）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．【解答】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d＝．故选：D．4．（5分）图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个，故选：C．5．（5分）已知向量＝（3，﹣2），＝（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8D．24【解答】解：∵，∴﹣2x﹣3（y﹣1）＝0，化为2x+3y＝3，∴+＝＝＝8，当且仅当2x＝3y＝时取等号．∴+的最小值是8．故选：C．6．（5分）已知双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，一条渐近线为l，抛物线C2：y2＝4x的焦点为F，点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点，则|PF|＝（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，∴a＝b，∴一条渐近线为l：y＝x，代入抛物线C2：y2＝4x可得P（4，4），∵抛物线C2：y2＝4x的焦点为F（1，0），∴|PF|＝＝5．故选：D．7．（5分）一只蚂蚁从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【解答】解：由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，共有6种展开方式，若把平面ABA 1和平面BB1CC1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过BB1的中点，故此时的正视图为②．若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过CD的中点，此时正视图会是④．其它几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了，故选：C．8．（5分）已知A，B是单位圆上的动点，且|AB|＝，单位圆的圆心为O，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：（如图），在等腰三角形OAB中，OA＝OB＝1，AB＝，由余弦定理可得cos∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°∴向量的夹角为180°﹣30°＝150°∴＝1××cos150°＝故选：C9．（5分）若（1﹣3x）2015＝a0+a1x+…a2015x2015（x∈R），则的值为（）A．3B．0C．﹣1D．﹣3【解答】解：由题意得：展开式的每一项的系数a r＝C2015r•（﹣3）r，∴＝﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015∵C20150﹣C20151+C20152﹣C20153+…+C20152014﹣C20152015＝（1﹣1）2015＝0∴＝﹣1．故选：C．10．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）＝且f（x+2）＝f（x），g（x）＝，则方程f（x）＝g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为（）A．﹣7B．﹣8C．﹣9D．﹣10【解答】解：由题意知g（x）＝，且函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间[﹣5，1]上的图象如下图所示：由图形可知函数f（x），g（x）在区间[﹣5，1]上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为﹣3，若设C的横坐标为t（0＜t＜1），则点A的横坐标为﹣4﹣t，所以方程f（x）＝g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实数根之和为﹣3+（﹣4﹣t）+t＝﹣7，故选：A．二、填空题：本大题共6个小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选作题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．（5分）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为．以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3＝0，则圆心C到直线l距离为．【解答】解：因为直线l的参数方程为．∴消去参数t可得直线的普通方程为：y＝（x+3）⇒x﹣y+3＝0．又因为圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3＝0；所以：圆的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x+3＝0，即：（x﹣2）2+y2＝1；圆心为（2，0），半径为1．故圆心到直线的距离为：＝．故答案为：．12．（5分）如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝5，直角边AC＝4，如果以C为圆心的圆与AB相切于D，则⊙C的半径长为．【解答】解：在Rt△ABC中，斜边AB＝5，直角边AC＝4，如果以C为圆心的圆与AB相切于D，所以BC＝3，CD⊥AB，，可得CD＝．故答案为：．13．（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．【解答】解：由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和﹣2 的距离之和，而﹣3和2对应点到1和﹣2 的距离之和正好等于5，故不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），故答案为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．（二）必做题（14-16题）14．（5分）计算定积分（x2+sin x）dx＝．【解答】解：由题意，定积分＝＝＝．故答案为：．15．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组（a＞0）表示的平面区域的面积为5，直线mx﹣y+m＝0过该平面区域，则m的最大值是．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，其中A（a，2a），B（a，﹣），∴△ABC的面积为，解得，a＝2，故A（2，4），B（2，﹣1）．又直线mx﹣y+m＝0可化为y＝m（x+1），可知直线过定点（﹣1，0），斜率为m结合图象可知该直线过点A（2，4）时，m取最大值，把点A的坐标代入直线可得，m＝，故答案为：16．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝log n（n+1）（n≥2，n∈N*），定义：使乘积a1•a2•…•a K为正整数的k（k∈N*）叫做“简易数”．（1）若k＝3时，则a1•a2•a3＝2；（2）求在[3，2015]内所有“简易数”的和为2024．【解答】解：（1）当k＝3时，则a1•a2•a3＝1•log23•log34＝log24＝2；（2）∵a n＝log n+1（n+2），∴由a1•a2…a k为整数得1•log23•log34…log（k+1）（k+2）＝log2（k+2）为整数，设log2（k+2）＝m，则k+2＝2m，∴k＝2m﹣2，∵211＝2048＞2015，∴区间[3，2015]内所有和谐数为：23﹣2，24﹣2，…，210﹣2，其和M＝23﹣2+24﹣2+…+210﹣2＝23（1+2+22+…+27）﹣2×8＝﹣16＝2024．故答案为：2，2024．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知函数f（x）＝（sin x﹣cos x）（cos x+sin x），x∈R，（1）求f（x）的单调递增区间；（2）将y＝f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后得到偶函数y＝g（x）的图象，求m的最小值．【解答】解：（1）化简可得f（x）＝（sin x﹣cos x）（cos x+sin x）＝3sin x cos x+sin2x﹣cos2x﹣sin x cos x＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（2）由（1）可知，g（x）＝2sin[2（x+m）﹣]＝2sin（2x+2m﹣），∵函数y＝g（x）为偶函数，∴函数y＝g（x）的图象关于y轴对称∴2m﹣＝kπ+，解得m＝+，k∈Z，又∵m＞0，∴当k＝0时m取得最小值18．（12分）某同学参加某高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求数学期望Eξ．【解答】解：用A i表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i＝1，2，3．由题意得，（Ⅰ）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为及得．（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝，，，P（ξ＝3）＝1﹣﹣﹣＝．∴．∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为．19．（12分）如图一所示，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AD＝4，BC＝8，O、O1分别为BC、AD的中点，将梯形ABOO1沿直线OO1折起，使得平面ABOO1⊥平面OO1DC，得到如图二所示的三棱台AO1D﹣BOC，E为BC的中点．（1）求证：BC⊥平面OO1E；（2）若直线O1E与平面ABCD所成的角的正弦值为，求三棱锥A﹣BOC的体积．【解答】解：（1）在等腰梯形ABCD中，O、O1分别为两底BC、AD的中点，∴OO1⊥BC，因此在三棱台三棱台AO1D﹣BOC中，OO1⊥BO，OO1⊥OC，又BO∩OC＝O，∴OO1⊥平面BOC，∴OO1⊥BC，又BO＝OC，E为BC的中点，∴OE⊥BC，∵OO1∩OE＝O，∴BC⊥平面OO1E；（2）由（1）可得：OO1⊥平面BOC，∴OO1⊥BC，又平面ABOO1⊥平面OO1DC，∴∠BOC＝90°．以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图所示）．设OO1＝m，由题意可得，O（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），O1（0，0，m），E （2，2，0），A（2，0，m）．∴＝（2，0，﹣m），＝（﹣4，4，0），＝（2，2，﹣m）．设平面ABCD的一个法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，则y＝1，z＝，即＝，设直线O1E与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ＝＝＝＝，解得m＝或m＝2，∴V A﹣BOC＝＝＝或．20．（13分）岳阳市为了改善整个城市的交通状况，对过洞庭大桥的车辆通行能力进行调查．统计数据显示：在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为85千米/小时，研究表明：当30≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）＝x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．【解答】（本题满分13分）解：（1）由题意：当0≤x≤30时v（x）＝85；当30≤x≤200时，v（x）＝ax+b．再由已知得解得，故函数v（x）的表达式为：v（x）＝…（6分）（2）依题意并由（Ⅰ）可得f（x）＝…（8分）当0≤x≤30时，f（x）为增函数，故当x＝30时达到最大，其最大值为85×30＝2550；当30≤x≤200时，f（x）＝，当且仅当x＝100时，f（x）在区间[30，200]上取得最大值5000，综上，当x＝100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值5000．即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为5000辆/小时．…（13分）21．（13分）已知椭圆E：（a＞b＞0）与双曲线G：共焦点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是椭圆E与双曲线G的一个交点，O为坐标原点，△PF1F2的周长为4．（1）求椭圆E的方程；（2）已知动直线l与椭圆E恒有两个不同交点A，B，且，求△OAB面积的取值范围．【解答】解：（I）由双曲线G：知F1（﹣2，0），F2（2，0），∴在椭圆E：中有c＝2，又△PF1F2的周长为4+4，∵|PF1|+|PF2|＝4＝2a，a＝2，b2＝a2﹣c2＝4，∴椭圆E的方程为，（II）当直线l的斜率存在时，其方程可设为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），解方程组，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，则△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）＝8（8k2﹣m2+4）＞0，即（8k2﹣m2+4）＞0，∴x1+x2＝﹣，，要使，需使x1x2+y1y2＝0，即+＝0，∴3m2﹣8k2﹣8＝0，8k2﹣m2+4＞0对于k∈R恒成立，而原点到直线l的距离d＝，d2＝＝＝，d＝，同时有＝＝＝＝，∴|AB|＝＝＝，①当k≠0时，|AB|＝，∵，∴，∴≤12，∴＜|AB|≤2，当且仅当k＝时取”＝”．②当k＝0时，|AB|＝．当直线l的斜率不存在时，直线为x＝与椭圆＝1的两个交点为或满足，此时|AB|＝，综上，|AB|的取值范围为，∴S△OAB＝＝|AB|∈．因此S△OAB∈．22．（13分）已知函数f（x）＝ax﹣ln（x+1）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（0，+∞），有＞1成立，求实数k的最小值；（3）证明﹣ln（2n+1）＜2（n∈N*）．【解答】解析：（1）f（x）的定义域为x∈（﹣1，+∞）．f（x）＝ax﹣ln（x+1）⇒f′（x）＝a﹣⇔．所以f′（x）＞0⇔，f′（x）＜0⇔．得：时，，所以a＝1．（2）由（1）知，f（x）在x∈（0，+∞）上是增函数，所以f（x）＞f（0）＝0，x∈（0，+∞）．所以⇔kx2﹣f（x）＞0在x∈（0，+∞）上恒成立设g（x）＝kx2﹣f（x）＝kx2﹣x+ln（x+1）（x≥0）．则g（x）≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，即g（x）min≥0＝g（0）．（*）由g（1）＝k﹣1+ln2≥0得k＞0．．①当2k﹣1＜0即k时，g′（x）≤0⇔⇒g（x0）＜g（0）＝0与（*）矛盾②当时，g′（x）≥0⇒g（x）min＝g（0）＝0符合（*）得：实数k的最小值为．（3）由（2）得：对任意的x＞0值恒成立取：．当n＝1时，2﹣ln3＜2 得：．当i≥2时，．得：．。
湖南省十三校2015届高三第二次联考 数学(理) Word版含答案
湖南省2015届高三十三校联考第二次考试数学（理）长郡中学衡阳八中永州四中岳阳县一中湘潭县一中湘西州民中石门一中澧县一中郴州一中益阳市一中桃源县一中株洲市二中一．选择题1．集合{}{}26,30A x N xB x R x x=∈=∈->≤，则A B=I（ B ）A．{}3,4,5B．{}4,5,6C．{}36x x<≤D．{}36x x<≤2．下列命题中，真命题是（D ）A．x R∃∈，使得00xe≤B．22sin3(π,)sinx x k k Zx+≠∈≥C．函数2()2xf x x=-有两个零点D．1,1a b>>是1ab>的充分不必要条件3．已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为( C )A．B．C．D．64．)sin()(ϕω+=xAxf（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（ D ）A．)1(-xf一定是奇函数B．)1(-xf一定是偶函数C．)1(+xf一定是奇函数D．)1(+xf一定是偶函数5．已知函数()cos6xf xπ=，集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9M=，现从M中任取两个不同的元素,m n，则()()0f m f n⋅=的概率为( A )A．512B．712C．718D．796.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S为（ D ）A.1008B.2015C.1007D. 1007-8．设函数)(x f y =在R 上有定义，对于任一给定的正数p ，定义函数⎩⎨⎧>≤=p x f p px f x f x f p )(,)(),()(，则称函数)(x f p 为)(x f 的“p 界函数”若给定函数2,12)(2=--=p x x x f ，则下列结论不成立的是（ B ）A.[][])0()0(p p f f f f = B. [][])1()1(p p f f f f =C. [][])2()2(f f f f p p =D. [][])3()3(f f f f p p =9.已知函数21()(,g x a x x e e=-≤≤e 为自然对数的底数)与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ B ） A ．21[1,2]e + B ．2[1,2]e - C ．221[2,2]e e+- D ．2[2,)e -+∞ 10．如图，已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0>>b a 的右顶点为,A O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点Q P ,．若60PAQ ∠=︒且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为(B )ABC D7．已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP?o ，则实数m 的取值范围是（ B ）（A ）(4,8) （B ）(4,)+ （C ）(0,4)（D ）(8,)+二．填空题 （一）选做题11．如图，BD 是半圆O 的直径，A 在BD 的延长线上，AC 与半圆相切于点E ，AC BC ⊥，若AD =6AE =，则EC = 3 .12．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若点P 为直线cos sin 40ρθρθ--=上一点，点Q 为曲线2(14x t t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）上一点，则||PQ 的最小值为2. 13．已知函数f(x)=|x-k|+|x-2k|，若对任意的x ∈R ，f(x )≥f(3)=f(4)都成立，则k 的取值范围为[]2,3 .（二）必做题 14．设()0s i n c o s a x x d x π=+⎰，则二项式6⎛⎝的展开式的常数项是____-160_____.15．如果实数,a b 满足条件：20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值是 75 。
2015年高三第二次教学质量调测附答案
2015年高三第二次教学质量调测数学 文科姓名 准考考号注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式： 球的表面积公式 S =4πR 2 球的体积公式 V =43πR 3其中R 表示球的半径 锥体的体积公式 V =13Sh其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式 V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式()1213V h S S =其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{12345}U =，，，，，{123}A =，，，{24}B =，，则()UA B =ðA ．{1235}，，， B ．{24}， C ．{13}， D ．{25}， 2．已知m ，n 都是非零实数，则“m n =”是“22m n =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．为得到函数sin(3)4y x π=+的图象，只要把函数sin()4y x π=+图象上所有的点A ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的31倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的31倍，横坐标不变 4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知84=a ，且11n n S pS +=+，则实数p 的值为A ．1B ．2 CD ．45．已知实数x ，y 满足10220220.x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，则3x y -的最小值为A ．4-B ．3-C ．0D ．16．已知双曲线2222C :1(00)x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作平行于C 的渐近线的直线交C 于点P ．若12PF PF ⊥，则C 的离心率为ABC ．2 D7．在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥平面1111A B C D ，底 面1111A B C D 是边长为a 的正方形，侧棱1AA 的长为b ，E 为侧棱1BB 上的动点（包括端点），则A ．对任意的a ，b ，存在点E ，使得11B D EC ⊥ B ．当且仅当a b =时，存在点E ，使得11BD EC ⊥ C ．当且仅当a b ≥时，存在点E ，使得11B D EC ⊥ D ．当且仅当a b ≤时，存在点E ，使得11B D EC ⊥8．已知向量b a ⊥，2=-b a ，定义：b a c )1(λλλ-+=，其中10≤≤λ．若1212λ⋅=c c ，则λc 的最大值为A ．12 BC ．1 DE1D1C 1DCB 1AA（第7题图）第Ⅱ卷（共110分）二、填空题 (本大题共7小题，其中第9、10、11、12题每格3分，13、14、15题每格4分，共36分)9．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，()()2log 23f x x =+-，则(6)f = ▲ ，()(0)ff =▲ .10．已知某几何体的三视图如图所示，这该几何体的 体积为 ▲ ，表面积为 ▲ ．11．直线l ：210x y --=与圆()221x y m +-=相切．则直线l 的斜率为 ▲ ，实数m 的值为 ▲ ． 12.已知α，β为锐角，3sin 5α=，tan 2β=， 则sin 2απ⎛⎫+=⎪⎝⎭▲ ， ()tan αβ+= ▲ ．13．已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ， 则ab 的最小值为 ▲ .14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为正整数．．．d .若22331S a +=，则d 的值为 ▲ ．15．设关于x 的方程210x ax --=和220x x a --=的实根分别为12x x ，和34x x ，．若1324x x x x <<<，则实数a 的取值范围为 ▲ ．三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 16. （本题满分15分）在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．已知()2cos cos c a B b A -=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若21a c -=，且△ABC，求边a 的长.126正视图 侧视图俯视图（第10题图）17．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足：12a =，21n n n a a ka k +=-+，（k ∈R ），1a ，2a ，3a 分别是公差不为零的等差数列{}n b 的前三项． （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求证：对任意的N n *∈，n b ，2n b ，4n b 不可能．．．成等比数列. 18．（本题满分15分）如图，在三棱锥ABC P -中，△ABC 是边长为2的正三角形，90PCA ︒∠=， E ，H 分别为AP ，AC 的中点，4AP =，BE = （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BEH ；（Ⅱ）求直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值．19．（本题满分15分）已知a ∈R ，函数()21f x x a x =--． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）当0a <时，讨论()y f x =的图象与y x a =-的图象的公共点个数． 20．（本题满分14分）抛物线C ：24x y =，直线1l ：y kx =交C 于点A ，交准线于点M ．过点M 的直线2l 与抛物线C 有唯一的公共点B （A ，B 在对称轴的两侧），且与x 轴交于点N ． （Ⅰ）求抛物线C 的准线方程； （Ⅱ）求:AOB MON S S ∆∆的取值范围．（第20题图）HECBAP（第18题图）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．D 7．D 8．C二、填空题 (本大题共7小题，其中第9、10、11、12题每格3分，13、14、15题每格4分，共36分)9．0，1- 10．288，336 11．12，12- 12．45，112-13．12 14．1 15．30,2⎛ ⎝⎭ 三、解答题 (本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)16. （本题满分15分）解：（Ⅰ）因为()2cos cos c a B b A -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos C A B B A -=．………………………………………… 2分即()2sin cos sin cos cos sin sin sin C B A B A B A B C =+=+=． ………… 5分 所以1cos 2B =，即3B π=． …………………………………………………… 7分（Ⅱ）因为△ABC ， 所以1sin 2ABC S ac B ∆== ． ………… 9分 所以10ac =． ……………………………………………………………… 11分又因为21a c -=， 所以5a =．……………………………………………… 15分 17．（本题满分15分） 解：（Ⅰ）因为12a =，所以24a k =-，2321116a k k =-+．……………… ２分又因为2132a a a =+，所以229100k k -+=，解得2k =或52． ………… 5分 又因为{}n b 的公差不为零，所以52k =．…………………………………… 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，52n nb -=．…………………………………………………… 10分 假如n b ，2n b ，4n b 成等比数列，则242n n n b b b =．………………………… 12分代入化简得： ()()()255452n n n --=-，解得0n =．……………………14分 与N n *∈矛盾， 故n b ，2n b ，4n b 不可能．．．成等比数列．…………………… 15分18．（本题满分15分） 解：（Ⅰ）因为△ABC 是边长为2的正三角形, 所以AC BH ⊥．………………２分又因为E ，H 分别为AP ，AC 的中点， 得//EH PC ，因为︒=∠90PCA ， 所以EH AC ⊥．……………………………… 5分故⊥AC 平面BEH ．…………………………………………………… 7分 （Ⅱ）取BH 得中点G ，连接AG ．……………………………………………9分因为EH BH BE ==，所以BH EG ⊥． 又因为⊥AC 平面BEH ， 所以AC EG ⊥，所以⊥EG 平面ABC ．所以EAG ∠为PA 与平面ABC 所成的角．… 12分 在直角三角形EAG 中，2AE =，23=EG , 所以3sin 4EG EAG EA ∠==．………… 15分 所以PA 与平面ABC 所成的角的正弦值为34．19．（本题满分15分）（Ⅰ）解：()221,1,1, 1.x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨+-<⎪⎩……………………………………………… ２分当1x ≥时，()()11f x f ≥=； 当1x <时，()1524f x f ⎛⎫≥-=-⎪⎝⎭．……………………………………… 4分 所以，()min 1524f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．………………………………………… 5分 （Ⅱ）解：设()()2()1h x f x g x x a x x a =-=----0a <时，()()()()22212,1,1,1,12..x a x a x h x x a x a x x a x a x a ⎧-++≥⎪⎪=+-≤<⎨⎪++-<⎪⎩ ………………………………………… 7分1x ≥时， (1)0h a =<．所以1x ≥时，一个零点．……………………………………………………………9分1a x ≤<时，10x =，211x a =->，（舍去）所以，1a x ≤<时，一个零点．………………………………………………… 11分G BHECAPx a <时，2101a a ∆=++，对称轴12a x +=-，()()210h a a a =-> 所以（ⅰ）13a ≤-时，0∆>，对称轴12a x a +=-≥，无零点；（ⅱ）153a -<<-+21010a a ∆=++<，无零点；（ⅲ）5a =-+25x a =<=-+（ⅳ）50a -+<<时，21010a a ∆=++>，对称轴12a x a +=-<，两个零点．………… 13分 综上，（ⅰ）5a <-+ ()y f x =与()y g x =的图像的公共点有2个；（ⅱ）5a =-+()y f x =与()y g x =的图像的公共点有3个；（ⅲ）50a -+<<时，()y f x =与()y g x =的图像的公共点有4个．………… 15分20．（本题满分15分）（Ⅰ）解：1y =-．………… 4分 （Ⅱ）解：不妨设点A 在y 轴的左侧．则1(,1)M k--，设2l 的斜率为m ，2l ：211()4y m x k x y⎧+=+⎪⎨⎪=⎩， 24440m x mx k -+-=，…… 6分 24164(4)0m m k ∆=--=，得 2110m k m-=<．………8分得2(2,)B m m ，所以有1m >．2(4,)A k k ，11(,0)N m k -，11||ON m m k =-=,12MON S m ∆=．…………………………………… 10分 B 到1l的距离2d =4||OA k =所以，212|||2|2AOBS OA d k km m ∆==-=2422|2|||(1)m m m m +-．……………………… 12分第20题图故:AOBMON S S ∆∆=24224()(1)m m m +-． 令21,(0)m t t -=<，则2131:8()442AOB MON S S t ∆∆=-->．………………………… 14分。
2015高考数学理(湖南卷)含答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分. 一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --( )7.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A.2386B.2718C.3413D.47728.已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥.若点P的坐标为（2,0），则PA PB PC ++的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.99.将函数()2f x isn x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的12,x x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ）的一个端点，则C 的离心率为 .14.设n S 为等比数列{}n a 的前项和，若11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，则n a = .15.已知32,(),x x af x x x a ⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .三、解答题16.(Ⅰ)如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB 、CD 的中点分别是M 、N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（1）0180MEN NOM ∠+∠=； （2）FE FN FM FO ∙=∙（（. （（17.(1)（18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.19.如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA =，且1AA ⊥底面ABCD ，点P 、Q 分别在棱1DD 、BC 上. （1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥； （2）若PQ//平面11ABB A ，二面角P-QD-A 的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积.20.与2C （（21.已知0a >，函数()sin ([0,))axf x e x x =∈+∞. 记n x 为()f x 的从小到大的第n *()n N ∈个极值点,证明：（1）数列{()}n f x 是等比数列 （2）若a ≥*n N ∈，|()|n n x f x <恒成立.一、选择题，每小题5分，满分50分.（1）D （2）C （3）B （4）A （5）A （6）D （7）C （8）B （9）D （10）A 二、填空题，每小题5分，满分25分.(11)0 (12)4 (14)13n - （15）（,0-∞）⋃（1,+∞） 三、解答题满分75分16、证明（I ）如图a 所示，（17 又(II) sinA+sinC=sinA+sin （2-2A ）= sinA+cos2A=-22sin A+sinA+1 =-2（sinA-14）2+98因为0<A<4π,所以,因此<-22199sin 488A ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭由此可知sinA+sinC ，98].18、（I ）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝因（（于是P(X=0)=003314()()55C =64125P(X=1)=112314()()55C =48125P(X=2)=221314()()55C =12125P(X=3)=330314()()55C =1125X 的数学期望为190(I) (II)而二面角P-QD-A 的余弦值为37=37， 解得m=4，或者m=8（舍去），此时Q （6,4,0）设DP =1DD λ(0<λ≤1),而1DD =（0，-3,6），由此得点P （0,6-3λ，6λ），PQ =（6，3λ-2，-6λ）.因为PQ//平面11ABB A ,且平面11ABB A 的一个法向量是1n =（0,1,0），所以PQ 3n ⋅=0，即3λ-2=0，亦即λ=23，从而P （0,4,4） 于是，将四面体ADPQ 视为以△ADQ 为底面的三棱锥P-ADQ ，则其高h=4， 故四面体ADPQ 的体积11166424332ADQ V S h =⋅=⨯⨯⨯⨯= .解法二 （I ）如图c ，取1A A 的中点R ，连结PR,BR,因为1A A ，1D D 是梯形11A AD D 的两（ PM//平面11ABB A .因为1A A ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD,过点M 作MN ⊥QD 于点N ，连结PN ，则PN ⊥QD ，PNM ∠为二面角P-QD-A 的平面角，所以cos PNM ∠=37，即MN PN =37,从而PM MN =. ○3 连结MQ ，由PQ//平面11ABB A ，所以MQ//AB ，又ABCD 是正方形，所以ABQM 为矩形，故MQ=AB=6.设MD=t ，则. ○4再积20 又 （II ）如图f ，设A （11,x y ）B （22,x y ）C （33,x y ）D （44,x y ）.（i ）因AC 与BD 同向，且|AC|=|BD|,所以AC =BD，从而31x x -=42x x -，即 12x x -=34x x -，于是()212x x +-412x x = ()234x x +-434x x ○3设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1. 由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得2x +16kx-64=0.而1x ，2x 是这个方程的两根.所以 12x x +=4k ，12x x =-4 ○4 由221189y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得（9+82k ）2x +16kx-64=0.而3x ，4x 是这个方程的两根.所以（ii y=1x x -124x .令y=0得x=12x ，即M （12x ,0）,所以FM =(12x,-1).而FA =(11,1x y -).于是 FA ⋅FM =122x -11y +=124x +1>0，因此AFM ∠是锐角，从而180o MFD AFM ∠=-∠是钝角.故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形.21、证明：（I ）'()sin cos ax ax f x ae x e x =+(sin cos )ax e a x x =+sin()ax x ρ=+令对当 （n π()()a n e a n πρπρ-<- （∙） 恒成立（因为a>0） 设g （t ）=t e t （t ）0），则2'(1)t g t e t t-（）=.令'g t （）=0得t=1当0<t<1时，'g t （）<0，所以g （t ）在区间（0,1）上单调递减； 当t>1时，'g t （）>0，所以g （t ）在区间（0,1）上单调递增. 从而当t=1时，函数g （t ）取得最小值g （1）=e因此，要是（∙()1g e<=，即只需a >.πn。
湖南省岳阳市高三数学教学质量检测试题(二)理湘教版
1=k 0=S50≤kk S S 2+=1+=k kS高三教学质量检测试题（二）数 学（理科）时量120分钟 满分150分。
参考公式：1、锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
2、22⨯列联表随机变量))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2与k 对应值表：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{}2|log (1),1B y y x x ==->，则=⋂B A（ ）A 、()1,-+∞ B ．()+∞,0 C ．()1,+∞D ．()2,+∞2．若复数z 满足i z i 6)33(=-（i 是虚数单位），则z= （ ）A. i 2323+-B. 322-C. 322i +D. 322-- 3．如果执行右边的程序框图，那么输出的S = （ ）A ．2400B ．2450C ．2500D ．25504． 实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，那么目标函数y x z 42+=的最小值是 （ ） A ．-2 B.-4 C.-6 D.-85．已知直线0=++C By Ax （其中0,222≠=+C C B A ）与圆422=+y x 交于N M 、，O 是坐标原点，则·= （ ）.A - 2 .B - 1 .C 1 .D 26．连续投掷两次骰子得到的点数分别为{}6,5,4,3,2,1,,,∈n m n m ，向量(,)a m n =与向量)0,1(=b的夹角记为α,则α)4,0(π∈的概率为（ ） A ．185 B.127C.125 D.21 7．已知函数2()1,()43,xf x eg x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为 （ ）A．[2 B．(2 C ．[1,3] D ．(1,3) 8．已知命题“012,2<++∈∃ax x x R ”是真命题，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)1,(--∞B ．),1(+∞C ．)1,(--∞U ),1(+∞D ．（-1，1）二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应的题号后的横线上。
湖南省岳阳市高三教学质量检测(二)(二模)理数试题
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设可得，则，应选答案D。
2. 已知为虚数单位，复数满足，则的值为（）A. 2B. 3C.D. 5【答案】D【解析】因为，所以，应选答案D。
3. 设数列是等差数列，为其前项和，若，则（）A. 4B. -22C. 22D. 80【答案】C【解析】由题意可知，解之得，故，应选答案C。
4. 函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题设可知，所以函数是奇函数，依据图像排除A，C，应选答案B，D，由于，即，故排除答案D，应选答案B。
5. 已知是球表面上的点，平面，则球的表面积等于（）A. B. C. D.【答案】A考点：球的内接多面体；球的表面积公式.【方法点晴】本题主要考查了球的内接多面体，球的表面积公式的应用，其中根据已知条件求出球的直径（半径）是解答本题的关键，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想方法及空间想象能力，本题的解答中由平面，，转化为四面体的外接球半径等于以长宽高分别为三边长的长方体的外接球的半径，从而求解球的半径，即可求解球的表面积.6. 若直线与抛物线相交于两点，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题设将直线代入可得，则，则，应选答案C。
7. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题设可知该几何体是一个四棱锥与直三棱柱的组合体如图，其表面面积，应选答案A。
8. 执行如下图所示的程序框图，输出的值为（）A. 1B.C.D.【答案】B【解析】由题设中提供的算法流程图可以看出：当结束运算程序，所以此时输出，应选答案B。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（第4题图2）≤≥1（第4题图1）7 98 6 3 8 9 3 9 8 8 4 1 510 3 111 4岳阳市2015届高三教学质量检测试卷（二）数学（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}2|(1)M x x a a i ==+-(,)a R i ∈是虚数单位，若M R ⊆，则a =（ ）A.1B. ―1C. ±1D. 02. 已知,αβ为不重合的两个平面，直线m α⊂，那么“m β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．12B ．815C ．1631D ．16294．图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶 图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为1214,,,.A A A 图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图。
那么算法流程图输出的结果是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．115．已知向量()()1,,2,3-=-=y x b a ，且b a //,若y x ,均为正数,则32x y+的最小值是（ ） A ．35 B ．38C ．8D ．246．已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，一条渐近线为l ，抛物线2C ：第12题图24y x =的焦点为F ，点P 为直线l 与抛物线2C 异于原点的交点，则PF =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57. 一只蚂蚁从正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行 到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是：A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④8. 已知,A B 是单位圆上的动点，且3AB =，单位圆的圆心为O ，则AB OA ∙=（ ） A ．32 B ．32-C ．32D ．32-9．若20152015012015(13)()x a a x a x x R -=+++ ∈ ，则20151222015333a a a ++的值为( ) A ．3B ．0C ．―1D ．―310．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)()()222,0,1,22,1,0,x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩且， ()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为( )A. ―7B. ―8C. ―9D. ―10二、填空题：本大题共6个小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。
（一）选作题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．已知直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为为参数），，t t y t x (33⎩⎨⎧=-=. 以直角坐标系xOy 中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ （ρ＞0，0≤θ＜2π），则圆心C 到直线l 的距离为 .12．如图，在Rt ABC ∆中，斜边5AB =，直角边4AC =，如果以C为圆心的圆与AB 相切于D ，则C 的半径长为 . 13．不等式|1||2|5x x -++≥的解集是 . （二）必做题（14—16题） 14．计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰.15．在平面直角坐标系中，不等式组20,20,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（0>a ）表示的平面区域的面积为5，直线m x ―y +m =0过该平面区域，则m 的最大值是 .16．已知数列{}n a 满足11a =，*log (1)(2,)n n a n n n N =+≥∈，定义：使乘积12k a a a 为正整数的k *()k N ∈叫做“简易数”. （1）若k=3时，则123a a a = ;（2）求在[3，2015]内所有“简易数”的和为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知函数)sin cos 3)(cos sin 3()(x x x x x f +-=，R x ∈，（1）求)(x f 的单调递增区间；（2）将)(x f y =的图象向左平移m (0>m )个单位后得到偶函数)(x g y =的图象，求m的最小值.18．（本小题满分12分）某同学参加某高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p 、q （p q <）， 且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：ξ123i p6125xy24125（1）求该生至少有1 门课程取得优秀成绩的概率及p ，q 的值； （2）求数学期望ξE ．19．（本小题满分12分）如图一所示，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，4=AD ，8=BC ，O 、1O 分别为BC 、AD 的中点，将梯形1ABOO 沿直线1OO折起，使得平面1ABOO ⊥平面DC OO 1，得到如图二所示的三棱台BOC D AO -1，E 为BC 的中点.（1）求证：BC ⊥平面E OO 1；（2）若直线E O 1与平面ABCD 所成的角的正弦值为1010，求三棱锥BOC A -的体积.20. （本小题满分13分）岳阳市为了改善整个城市的交通状况,对过洞庭大桥的车辆通行能力进行调查。
统计数据显示：在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是 车流密度x （单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆 /千米时，造成堵 塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆 /千米时，车流速度为85千米/小时，研 究表明：当20030≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）当0200x ≤≤时，求函数()x v 的表达式； （2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x vx =⋅可以达到最大，并求出最大值.21.（本小题满分13分）已知椭圆E: 22221x y a b +=)0(>>b a 与双曲线G ：1322=-y x 共焦 点，21、F F 是双曲线的左、右焦点，P 是椭圆E 与双曲线G 的一个交点，O 为坐标原点，O 1DACB OE BA DO 1CO 图一图二21F PF ∆的周长为244+。
（1）求椭圆E 的方程； （2）已知动直线l 与椭圆E 恒有两个不同交点B A ,，且OA OB ⊥，求OAB ∆面积的取值范围.22.（本小题满分13分）已知函数)1ln()(+-=x ax x f 的最小值为0，其中>0a .（1）求a 的值；（2）若对任意的),0(+∞∈x ,有1)(2>x f kx 成立,求实数k 的最小值;（3）证明=12ln (2+1)<221ni n i --∑*()n N ∈.岳阳市2015届高三第二次质量检测试题数学(理科)参考答案一、选择题：1-5 CADCC 6-10 DCBCA二、填空题：（一）选做题（11—13题）11．53212． 12513． {|32x x x ≤-≥或}（二）必做题（14—16题）14． 2315． 4316．（1）2；（2）2035三、解答题：17．（本题满分12分）解：(1) 法一：因为)sin cos 3)(cos sin 3()(x x x x x f +-==x x x x x x cos sin cos 3sin 3cos sin 322--+ =x x 2cos 32sin -=)32sin(2π-x ………3分法二：因为)sin cos 3)(cos sin 3()(x x x x x f +-==31312(sin cos )2(cos sin )2222x x x x -⨯+ =4sin()cos()66x x ππ--=)32sin(2π-x ………3分由 223222πππππk x k ≤-≤-得 12512ππππ+≤≤-k x k ………5分 所以)(x f 的单调递增区间为]125,12[ππππ+-k k )(Z k ∈; ………6分 (2) 由 (1) 可知，)322sin(2]3)(2sin[2)(ππ-+=-+=m x m x x g ………8分因为函数)(x g y =为偶函数，所以函数)(x g y =的图象关于y 轴对称 所以 232πππ+=-k m 所以 1252ππ+=k m )(Z k ∈ ………10分又因为0>m ，所以当 0=k 时m 取得最小值125π。
…………12分 18．（本小题满分12分）解：用i A 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”， i =1，2，3 由题意得14(),5P A =()1236125P A A A =…………2分 ()1该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为()123611911125125P P A A A =-=-=由()()()()()()()12312316111(1)(1)5125P A A A P A P A P A p q =---=--=及()()()()1231234245125P A A A P A P A P A pq === ………4分 又由p q <，得23,55p q ==…………6分 ()2()432122133371555555555125P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………8分()422433123582555555555125P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………10分ξ123i p6125 37125 5812524125∴ ()6375824901231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为95…………12分19．（本题满分12分）解：法一：（1）在等腰梯形ABCD 中，O 、1O 分别为两底BC 、AD 的中点，所以BC OO ⊥1，所以在三棱台B O C D AO -1中，BO OO ⊥1，OC OO ⊥1，又O OC BO = ，所以B O COO 平面⊥1，所以BC OO ⊥1，又OC BO =，E 为BC 的中点，所以BC OE ⊥，因为O OE OO = 1，所以BC ⊥平面E OO 1。