华南理工大学概率论第一章
概率论第一章习题参考解答
概论论与数理统计习题参考解答习题一8. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率.解: 设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件, 则125.08121)(3====n n A P A . 9. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率.解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数27C n A =,467.0157910212167)(21027==⨯⨯⋅⨯⨯==C C A P 因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解: 设A ={能打开门},基本事件总数2412344=⨯⨯⨯==P n ,有利于A 的基本事件数为2=A n ,因此, 0833.0121)(===n n A P A . 11. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i则00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(51002973351003972322510049711510059700=⨯⨯==⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P12. N 个产品中有N 1个次品, 从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ), 求其中有k (k ≤n )个次品的概率. 解: 设A k 为有k 个次品的概率, k =0,1,2,…,n ,基本事件总数n N C m =, 有利于事件A k 的基本事件数kn N N k N k C C m --=11,k =0,1,2,…,n ,因此, n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11 ===-- 13. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率. 解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310121315==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C C C n n A P A 14. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数1644=⨯=n ,有利于A 的基本事件数422=⨯=A n ,有利于B 的基本事件数632=⨯=B n , 则25.041164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B .15. 一批产品中, 一, 二, 三等品率分别为0.8, 0.16, 0.04, 若规定一, 二等品为合格品, 求产品的合格率.解: 设事件A 1为一等品, A 2为二等品, B 为合格品, 则P (A 1)=0.8, P (A 2)=0.16,B =A 1+A 2, 且A 1与A 2互不相容, 根据加法法则有P (B )=P (A 1)+P (A 2)=0.8+0.16=0.9616. 袋内装有两个5分, 三个2分, 五个一分的硬币, 任意取出5个, 求总数超过一角的概率. 解: 假设B 为总数超过一角,A 1为5个中有两个5分, A 2为5个中有一个5分三个2分一个1分,A 3为5个中有一个5分两个2分两个1分, 则B =A 1+A 2+A 3, 而A 1,A 2,A 3互不相容, 基本事件总数252762354321678910510=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==C n 设有利于A 1,A 2,A 3的基本事件数为n 1,n 2,n 3,则5.0252126252601056)(,60214532,1052,563216782523123153312238221==++==⨯⨯⨯⨯===⨯===⨯⨯⨯⨯==B P C C C n C C C n C C n 17. 求习题11中次品数不超过一个的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3, B 为次品数不超过一个,则B =A 0+A 1, A 0与A 1互不相容, 则根据11题的计算结果有P (B )=P (A 0)+P (A 1)=0.856+0.138=0.99419. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B ), P (B |A ), P (A +B ).解: 根据题意有P (A )=4/15, P (B )=7/15, P (AB )=1/10, 则633.03019303814101154157)()()()(275.08315/410/1)())|(214.014315/710/1)()()|(==-+=-+=-+=+========AB P B P A P B A P A P PAB A B P B P AB P B A P 20. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求(1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率(2) B 失灵的条件下, A 有效的概率解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P(1) 两个系统至少一个有效的事件为A +B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A =+, 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则988.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-=+=⨯=⨯-==B A P B A P A B P A P B A P(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则 829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=--=-=-=B P B A P B A P B A P 21. 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签考试, 不重复地抽取, 每人一次, 甲先, 乙次, 丙最后, 证明3人抽到难签的概率相等.证: 设事件A ,B ,C 表示甲,乙,丙各抽到难签, 显然P (A )=4/10,而由903095106)|()()(902496104)|()()(902494106)|()()(901293104)|()()(=⨯===⨯===⨯===⨯==A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P AB P 由于A 与A 互不相容,且构成完备事件组, 因此B A AB B +=可分解为两个互不相容事件的并, 则有1049036902412)()()(==+=+=B A P AB P B P 又因B A B A B A AB ,,,之间两两互不相容且构成完备事件组, 因此有C B A C B A BC A ABC C +++=分解为四个互不相容的事件的并,且720120849030)|()()(72072839024)|()()(72072839024)|()()(72024829012)|()()(=⨯===⨯===⨯===⨯==B A C P B A P C B A P B A C P B A P C B A P B A C P B A P BC A P AB C P AB P ABC P则104720288720120727224()()()()(==+++=+++=CB A PC B A P BC A P ABC P C P 因此有P (A )=P (B )=P (C ), 证毕.22. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率.解: 设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.则根据题意有P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2,P (B |A 1)=0.94, P (B |A 2)=0.9, P (B |A 3)=0.95,由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P23. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解: 设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(3121626331239331215272312132923121428131223191312132********=⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P 根据全概率公式有455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(30=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P 24. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求:(1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率.解: (1) 设B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件.设A 为取到甲厂的箱, 则A 与A 构成完备事件组056.005.04.006.06.0)|()()|()()(05.0)|(,06.0)|(4.05020)(,6.05030)(=⨯+⨯=+=======A B P A P A B P A P B P A B P A B P A P A P(2) 设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个,乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个,因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P 25. 一个机床有1/3的时间加工零件A , 其余时间加工零件B , 加工零件A 时, 停机的概率是0.3, 加工零件B 时, 停机的概率是0.4, 求这个机床停机的概率.解: 设C 为加工零件A 的事件, 则C 为加工零件B 的事件, C 与C 构成完备事件组. 设D 为停机事件, 则根据题意有P (C )=1/3, P (C )=2/3,P (D |C )=0.3, P (D |C )=0.4,根据全概率公司有367.04.0323.031)|()()|()()(=⨯+⨯=+=C D P C P C D P C P D P 26. 甲, 乙两部机器制造大量的同一种机器零件, 根据长期资料总结, 甲机器制造出的零件废品率为1%, 乙机器制造出的废品率为2%, 现有同一机器制造的一批零件, 估计这一批零件是乙机器制造的可能性比它们是甲机器制造的可能性大一倍, 今从该批零件中任意取出一件, 经检查恰好是废品, 试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率.解: 设A 为零件由甲机器制造, 则A 为零件由乙机器制造, A 与A 构成完备事件组. 由P (A +A )=P (A )+P (A )=1并由题意知P (A )=2P (A ),得P (A )=1/3, P (A )=2/3.设B 为零件为废品, 则由题意知P (B |A )=0.01, P (B |A )=0.02,则根据贝叶斯公式, 任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为2.005.001.002.03201.03101.031)|()()|()()|()()|(==⨯+⨯⨯==+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 27. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.解: 设事件A 为从甲袋中取出的是白球, 则A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与A 构成完备事件组. 设事件B 为从乙袋中取到的是白球.则P (A )=2/3, P (A )=1/3,P (B |A )=2/4=1/2, P (B |A )=1/4,则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P28. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B 已经发生条件下, 事件A 和A 发生的条件概率P (A |B )和P (A |B )哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P (B )已上题算出为0.417, 因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=⨯===⨯==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A PP (A |B )>P (A |B ), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大.29. 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A 1,A 2,A 3构成完备事件组.易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3.设B 为先取出的是一等品的事件. 则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有 467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 设C 为两次都取到一等品的事件, 则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯==C C A C P C C A C P C C A C P 根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P 30. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。
概率论-第一章_1
概率论的基本概念
林家翘教授是国际公认的力学和应用数 学权威,尊称为应用数学大师.
2002年回国后他的第一个任务，是向学 生和公众厘清“应用数学”概念. 强调应 用数学是不同于纯数学的一门独立的基础 学科，应用数学的核心是用数学方法解决 实体科学问题，纯数学核心是逻辑构架， 在西方数学界，这已经是一个常识.
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概率论的基本概念
非确定性现象出现的原因：
受到微小变化因素的综合影响 在非确定性现象中有一类很重要的现象: 随机现象.
抛硬币试验
例如
新生婴儿性别比
炮弹发射试验
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概率论的基本概念
随机现象的各个结果出现的可能性大小 不依人们的主观意志转移. 进行大量重复观察时，可观察到出现各 种结果呈现某种规律. 称大量同类随机现象所呈现的固有规律为 随机现象的统计规律性.
— 数学是一种先进文化，是人类文 明的基础，在人类文明的进程中起着重 要推动作用.
从认识论的观点来看, 人们应该给数学 科学以无上的地位.
—— J.勒雷 《当代数学大师》
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概率论的基本概念
大师之忧: “我回国后发 现,‘应用数学’ 的薄弱对整个 科学的发展非 常不利，非常 不利。” ——林家翘
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应用数学注重的是主动提出研究对象中 的科学问题，通过问题的解决加深对研究 对象的认识，或创造出新的知识，它所注 重的是用数学来解决科学问题.
传统数学课程特点: 细分科目，自成体系;
追求数学自身的严密性和完美性， 与其他学科的交叉与融合相对少.
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概率论的基本概念
过去: 四种基本数学素质与能力： 抽象思维能力、逻辑推理能力、 数学运算能力、空间想象能力.
概率论第一章
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。
概率论第一章PPT课件
事实上，A={4，8}，B={2，4，6，8，10}。
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AB Ω
事件的相等
若A B且B A ，则称事件A 与事件B 相等，记作A=B。
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2.事件的和（并）
我们称“事件A与事件B至少一个发生”的事件 为事件A与事件B的和事件，记作A+B（或A∪B）。
对于随机现象，人们经过长期实践并深入研究之后， 发现这类现象在大量重复试验或观察下，它的结果会呈现 某种规律性，这种规律性我们称之为统计规律性。
概率论就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数 学学科；数理统计是以概率论为基础，研究如何通过观察 和试验认识自然规律和社会规律的一门方法论学科。
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A
B
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§1.1.3 事件的关系及运算
设A，B，…，是随机试验E的事件，Ω是E 的样本空间。
1. 事件的包含关系
若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于
事件B或事件B包含事件A，记作 A B。
例如，在例1.2中，若令
A={抽到能被4整除的号码}，
B={抽到偶数号码}，
件
特殊事件
试验最直接的可能结果
由若干个基本事件共同 在一起才能表达的结果
必然事件 不可能事件
每次试验必然发 生的结果，记 为Ω
每次试验必不发生的 结果，记为
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从集合的角度看
显然，样本空间是以基本事件为元素的集合，复 杂事件是样本空间的至少包含两个元素的真子集， 基本事件就是一个单点集，必然事件就是样本空间， 不可能事件是样本空间的空子集。
华南理工大学 概率论与数理统计 第5讲
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n重贝努里概型
则 B A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 ,
且 A1，A2，A3相互独立 .
所以，
P( B) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
P( A1 )P( A2 ) P( A3 ) P( A1 )P( A2 ) P( A3 ) P( A1 ) P( A2 )P( A3 )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) 6 6 6 6 6 6 6 6 6
5 1 2 5 C ( ) ( ) 72 6 6
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第一章 小
结
1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算。 2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性 质。 3 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率公 式和贝叶斯公式。 4 给出了随机事件独立性的概念，会利用事件 独立性进行概率计算。 6 引进贝努里概型及n重贝努里试验的概念，要会 计算与之相关事件的概率。
2 3
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定理1.3.4
n重贝努里概型
P A p，P A 1 p q. 设在 n 重Bernoulli 试验中，
Bn，k n重Bernoulli试验中事件 A 恰好发生 k次
则 P Bn，k C p q
k n k
n k
.
该公式的证明留给同学们思考，下一章还会讨论。
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概率论第一章
在相同的条件下，多次抛一枚均匀的硬币，设事件 A =“正面朝上” ， 观察 n 次试验中 A 发生的次数．
试验者 德.摩根 蒲丰 费勒 K.皮尔逊 K.皮尔逊
n
2048 4040 10000 12000 24000
nA
1061 2048 4979 6019 12012
f n ( A)
0.5181 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
第五章 大数定律和中心极限定理
第六章 数理统计的基本概念 第七章 参数估计 第八章 假设检验
第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机事件及其运算
§1.2
§1.3 §1.4 §1.5
概率的定义及其性质
古典概型与几何概型 条件概率 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
自然界的现象按照发生的可能性（或者必然 性）分为两类： 一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结 果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可 能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现 象成为随机现象。 如何研究随机现象呢？
1.1.2 随机试验
例1-1： E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；
E2: 掷一颗骰子，观察出现的点数；
E3: 记录110报警台一天接到的报警次数； E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命； E5: 记录某物理量的测量误差； E6: 在区间 0， 1 上任取一点，记录它的坐标。
例1-5 设A,B为两个随机事件, P(A)=0.5, P(AB)=0.8, P(AB)=0.3, 求P(B). 解 由P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),得 P(B)=P(AB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.
华南理工大学 概率论与数理统计 第1讲
第一章 随机事件与概率
例如：S2 中
事件 A={2,4,6} 表示 “出现偶数点”;
事件 B={1,2,3,4} 表示 “出现的点数不超过4”.
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第一章 随机事件与概率
二 、 事件间的关系与运算
1) 包含关系
A B
A B S
如果A发生必导致B发生，则
A B B A, A B B A
A B C A B A C De Morgan（德摩根）定律: A A , A A
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A B C A B A C
4) 积（交）事件 A B AB
事件 A B 发生当且仅当 A , B 同时发生.
A
B S
A 表示所有 A同时发生 .
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第一章 随机事件与概率
考察下列事件间的包含关系：
AB AB AB
A
B
A B B B
AA B A
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第一章 随机事件与概率
这些试验具有以下特点：
(1)：可以在相同的条件下重复进行；
(2)：进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现； (3)：每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明
确试验的所有可能结果。 称具备上面三个特点的试验为随机试验。
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2) 样本空间(Space)
概率论第一章
I Ai = A1 I A2 I L I An = { A1 , A2 , ... An同 时 发 生}
i =1 ∞
I Ai = A1 I A2 I L = { A1 , A2 , ...同时 发 生}
i =1
—刘 赪—
第一章 随机事件与概率
事件间的关系及运算-3
4 差事件：A-B={e|e∈A且e∉B} 当且仅当A发生，B不发生时， 事件A-B发生
称
fn
( A)
=
n( A) n
为事件A的频率.
Ø 频率f n(A)会稳定于某一常数(稳定值).
Ø 用频率的稳定值作为该事件的概率.
—刘 赪—
第一章 随机事件与概率
确定概率的古典方法
1° 样本空间中的元素个数只有有限个，可记为
Ω ={e1,e2,…,en} 2° 每个基本事件ei出现的可能性相等，i=1,2,…,n,
Ex 4. 若在区间( 0, 1) 内任取两个数，则两数之和
小于 6/5 的概率是多少？
-- 刘 赪 --
SWJTU
第三节
第一章
概率的性质
SWJTU
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概率的基本性质 -1
1 P(φ) = 0
∑ ( ) 2
P
5 P( A) + P( A) = 1
6 P(A∪B)≤ P(A)+P(B) 且有概率的加法公式 P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(AB)
-- 刘 赪 --
SWJTU
Ø 概率的加法公式可以推广到更多事件的情形： P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)
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第一章
1-1（1）Ω={1,2,3,4,5,6}；
（2）Ω={（1,2,3），（1,2,4），（1,2,5），（1,3,4）（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5）}；
（3）Ω={3,4,5,6,7,8,9,10}；
（4）用数字1代表正品，数字0代表次品，则
Ω={（0,0），（1,0,0），（0,1,0），（1,1,0,0），（0,1,1,0），（1,0,1,0），（1,1,1,0），（1,1,0,1），（1,0,1,1），（1,1,1,1）}.
1-2 （1）A为随机事件；B为不可能事件；C为随机事件；D为必然事件；（2）、（3）、（4）、（5）均为随机事件.
1-3 （1）A；（2）ABC；（3）A B C
；（4）ABC；（5） .
ABC ABC ABC
1-4 （1）ABC；（2）ABC ABC ABC
；（3）ABC；（4）
或；（5）ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
ABC A B C
ABC；
（6）A B C ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
或或ABC.
1-5 （1）买的是1985年以后出版的英文版物理书；
（2）在“书店所有物理书都是1985年以后出版的且是英文版”这一条件下，A B C A
= .
1-6 （1）、（4）、（5）、（6）、（7）正确，其余均不正确.
1-7 若需要测试7次，即前6次恰好取出2个次品，还有一个次品在第7次取出，故有2
46
3
76
C
C A 次.而在10个中取出7个共有710
A 种取法.
设 A ={测试7次}，故
2
4
6
376
7101()8
C C A P A A
=
=
1-8 设 A ={能开门}，从6把钥匙中任取2把共有 26
C 种取法，故
26
11()15
P A C
=
=
.
1-9 设 A ={拨号不超过3次就能接通电话}，则
191981()0.3
10
1091098P A =
+⨯+⨯⨯=
设 B ={若记得最后一位是奇数时，拨号不超过3次就能接通电话}，则
141431()0.6
554543P B =
+⨯+⨯⨯=
1-10 设 A ={恰有2人的生日在同一个月份}，则
2
1
1
1
4121110
4
55()12
144
C C C C P A =
=
.
1-11 将五个数字有放回地抽取，出现的结果有 35125= 种. 三个数字不同的取法有33
5
360
C
A = 种，故 60()0.48125
P A =
= ；
三个数字不含1或5，即每次只能在2、3、4中进行抽取，共有3327=
种取法，故 27()0.216
125
P A =
= ；
三个数字5出现两次，即有 21
3
412
C
C = 种取法，故12()0.096
125
P C =
= .
1-12 设 A ={指定的3本书恰好放在一起}，10本书的排列方法共有10！种，而指定的3本书的排列方法有3！种，剩下的7本书与指定的3本书这一整体的排列有8！种，故
3!8!1()10!
15
P A =
=
1-13 （1）211
343
3
9()4
16
C C C P A =
=
；（2）3
41()4
16
P B =
=
.
1-14 从10个人中任选3个人共有3
10
C 种方法.
（1）设 A ={最小号码是5}，当最小号码是5时，在 610 之间还有地两个号码，即有 25
C 种方法，故
2
5
3
10
1()12
C P A C =
=
（2）设 B ={最大号码是5}，当最大号码是5时，在14 之间还有两个号码，即有 24
C 种方法，故
2
4
3
10
1()20
C P B C =
=
1-15 （1）11
221
1
661()9
C C P A C C ==
；（2）1
1
1
1
2442
1
1
66
4()9
C C C C P B C C +==
.
1-16 （1） 2226
1()15
C P A C =
=
；（2）1
1
242
6
8()15
C C P A C =
=
.
1-17 （1）设 A ={样品中有一套优质品、一套次品}，则
1
1
8442100
56()825
C C P A C =
=
；
（2）设 B ={样品中有一套等级品、一套次品}，则
1
1
1242100
8()825
C C P B C =
=
；
（3）设 C ={退货}，则
2112
496412
2100
76()825
C C C C P C C
++=
=
；
（4）设 D ={该批货被接受}，则
2
1
1
848412
2100749()825
C C C P
D C
+=
=
；
（5）设 E ={样品中有一套优质品}，则
1
1
84162100224()825
C C P E C
=
=
.
1-18 (1)设 A ={恰有5张黑体,4张红心,3张方块,1张梅花},则
5
4
3
1
13131313
1352
()C C C C P A C
=
(2)设 B ={恰有大牌A,K,Q,J 各一张而其余为小牌},则
1
1
1
1
9
444436
13
52
()C C C C C P B C =
1-19 设A ={至少有两张牌的花色相同},则 3
1
1
2
1
13441134
3
54
()0.562C C C C C P A C +=
=。