北京课改初中数学九年级上册《20.7反比例函数的图象、性质和应用》课堂教学课件 (9)
北师大版初中数学九年级上册第五章第二节《反比例函数的图象和性质》教案9页word
课 题：第五章 第二节 反比例函数的图象与性质 第二课时课 型：新授课教学目标：（1）通过反比例函数的图象，理解并掌握函数值的变化规律及k 值的意义；（2）理解反比例函数的图象性质，会利用图象比较函数值的大小关系；（3）通过本节课的学习进一步让学生感受图象的直观性给解决数学问题带来极大的方便与快捷，感受数学中的数形结合思想，本节课还涉及到了分类讨论思想，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．教法及学法指导：本节应用五环教学模式：创设情境—感知探究—合作交流—拓展应用—总结升华．从上节课反比例函数的图象所经象限入手，回头联系正比例函数值的变化规律做为对比学习，通过观察、讨论、合作交流，总结出反比例函数值的变化规律并会应用．根据新课程要求，在实际教学中，尽可能采取学生自主探索、合作交流，通过观察、回顾所学正比例函数的性质进行主动学习，培养学生总结归纳、探究与合作能力．课前准备：教师准备：课件、坐标纸、三角板学生准备：同位两个同学分工，一个同学在在坐标纸上分别画出2y x =，4y x =，6y x =的图象，另一个同学在坐标纸上分别画出2y x =-，4y x =-，6y x=-的图象． 【设计意图】一是让学生进一步熟悉作反比例函数图象的步骤，规范学生的作图，在做中反馈校正；二是为本节课动手操作，继续探究反比例函数的图象性质做准备．【实际效果】主要存在以下几个方面的问题：①坐标系缺少箭头、标注x ，y ，原点O ；②反比例函数不是平滑的曲线，画成折线；③双曲线两头没有向坐标轴靠拢而是向内卷；④图象上没有标表达式等．通过上课时展示，学生间相互找问题，能够将反比例函数图象做得标准规范．这样做能够曝露出画图中存在的问题，比直接展示课件图象效果要好得多，同时也节省了上课画图所用的时间，教学过程：一．创设情境师：函数家族中增添了新的一员：反比例函数．结识新朋友，别忘老朋友！请大家谈谈对老朋友正比例函数的认识．生：正比例函数表达式为：y kx =（k 为常数，0k ≠）．生：是一条直线，当0k >时，经过一、三象限；当0k <时，经过二、四象限． 生：是一条经过原点(0,0)的直线，当0k >时，y 随x 的增大而增大；当0k <时，y 随x 的增大而减小．师：（展示课件）大家掌握地很好！请看表格：师：对于函数的图象及性质的研究，我们一般从以上几个方面进行研究，希望同学们掌握这种研究方法，为我们学习其他函数的图象及性质奠定基础．上节课我们对反比例函数的图象及性质进行了探究，请同学们根据表格总结反比例函数的图象及性质：生：师：那我们这节课继续探究反比例函数图象的性质—函数值的变化规律．【设计意图】首先从复习正比例函数的图象及性质入手，起点低，能让更多的学生跟上来；其次，学生对正比例函数的图象及性质遗忘了很多，复习这后可以形成知识的循环往复，螺旋式上升；还有，利用类比的方式研究，可以形成系统地知识网络，也为今后学习其他函数奠定基础．【实际效果】有相当一部分学生将正比例函数的图象及性质遗忘，通过表格的形式重拾起记忆，有一部分学生用类比的方式将反比例函数的图象及性质也回答出来了，但函数值的规律少了“在第一象限内”这一关键限制范围．事实上，这也是易错点，为我们下面全面正确地学习提供了反例．二．感知探究1、当0k >时，反比例函数值的变化规律 师：请大家展示课前做的反比例函数2y x =，4y x =，6y x =的图象，小组同学相互找碴，帮助同学完善他的作图．生：相互检查，找出问题，规范作函数图象方法及步骤．师：请观察这三个图象，你能发现它们的共同特征吗？生：它们的图象都是双曲线．生：图象都经过第一、三象限．生：y 随着x 的增大而减小．生：不对，应该说“在每一象限内，y 随着x 的增大而减小．”生：为什么？生：你看，在y 轴左侧第三象限内，y 随着x 的增大而减小，y 的值越来越小，但向右过了y 轴之后是从无限大的值重新开始减小的，所以我认为两支曲线应该分开来说．师：很好！分析得相当到位．我们可以用代数的方法进行推理：当0k >时，在第三象限找两个点11(,)x y ，22(,)x y ，设21x x >，则12212121()11()0k x x y y k x x x x --=-=<，即21y y <．这说明，在第三象限内，y 随着x 的增大而减小．同理，我们也可以在第一象限去论证这一结论，课下同学们去做一做．师：请思考：反比例函数的图象可能与x 轴相交吗？可能与y 轴相交吗？为什么？ 生：不可能，我画得所有的反比例函数图象都没有与x ，y 轴相交． 生：从反比例函数表达式k y x=中就可以看出0x ≠，又由于0k ≠，所以0y ≠． 师：这说明，反比例函数图象的两个分支无限接近x 轴和y 轴，但永远不会与x 轴和y 轴相交．【设计意图】通过直观图象观察，学生应很容易地总结出反比例函数图象的性质，对于函数值变化规律中“在每一象限内”这一限制，让学生互相交流、讨论总结即可，后面的练习中再加深理解，对于运用代数方法进行推理论证点到为止，留给接受能力较好的同学课下继续探讨．【实际效果】正如课前所料，多数同学对“在每一象限内”这个条件遗漏，其他性质理解掌握较好．对运用代数方法推理论证，部分学生很感兴趣，但存在代数变换基本运算能力不过关，需加强基础知识的落实．2、当0k <时，反比例函数值的变化规律 师：我们利用2y x =，4y x =，6y x=的图象探究了当0k >时，反比例函数值的变化规律，那么以小组为单位，利用大家课前所作的2y x =-，4y x =-，6y x =-的图象，当0k <时，反比例函数值的变化规律．生：当0k <时，y 随着x 的增大而增大．生：不对！又忘了“在每一象限内”．生：当0k <时，在每一象限内，y 随着x 的增大而增大．【设计意图】让学生学会用类比的方法进行研究，主动去探究反比例函数值的增减性，主动曝露知识点的遗漏，加深对性质的理解．最后用表格的形式形成完整的知识网络，与正比例函数一起纳入系统之中，这种探究函数图象及性质的方法为今后学习二次函数打下了基础．【实际效果】学生很快地得出了结论，仍然有部分学生遗漏了“在每一象限内”，这也是意料之中，让学生在反思中不断完善提高．3、巩固练习：（1）下列函数中，其图象位于第一、三象限的有 ；在其图象所以象限内，y 随x 的增大而增大的有 ．（填写序号）（2）小明所作的所比例函数6y x =-的图象如图（1），你认为他作得对吗？（3）反比例函数3k y x-=的图象，当0x >时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是 ． 【设计意图】针对性练习，及时反馈，完成一个知识学习的小循环，稍放慢一节节奏，让更多的学生跟上来，同时也为下面的学习做准备．【实际效果】基础性练习，为学生加油打气，掌握得都较好．三、交流提高1．以小组为单位，要求每个同学能说出正比例函数、反比例函数的图象及性质，并帮助有困难的同学解释其中的原理．【设计意图】增强对反比例函数图象及性质的理解，是解决问题的关键，也是解释问题的原理，让学生会交流、会表达所学的数学原理．同时，也增强同学间的团结互助．【实际效果】互相提问，学会用数学的语言表达，学习气氛很是浓厚．2．“k ”的意义师：如图（2），在反比例函数6y x=-图象上任取两点P ，过点P 作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形PMON 面积是多少？生：设点(,)P x y ，由图象可得，||PN x =，||PM y =，所以矩形PMON 面积=PN ·PM =66x y x y ⋅=⋅=-=． 师：一般地情况，反比例函数k y x=图象向作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积是多少？生：k生：||k ．因为k 有可能为负，而面积不可能为负的，所以要加上绝对值号．师：如图（3），图中三个矩形的面积分别为：1S ，2S ，3S ，请问它们的大小关系？生：观察图象，直观得到：1S >2S >3S ．生：不对！我们刚推导出每个矩形的面积都应该等于||k ，所以1S =2S =3S ．生：噢，不能只凭感觉，要讲求科学原理的．师：如图（4），（5），反比例函数图象6y x =-，请说出图形阴影部分的面积？生：图中，OAB ∆的面积是所在矩形PMON 面积的一半，所以3OAB S ∆=． 生：图（5）中，ABC ∆的面积是矩形PMON 面积的2位，所以12ABC S ∆=．【设计意图】函数表达式中的每一个常数都有相应的图形意义，因而探究反比例函数表达式中k 的意义，会增强对数形结合的认识．从表达式中k xy =到图形中矩形的面积=||k ，应让学生体会代数推理与几何图形之间的对应关系．【实际效果】图形的直观性让学生加深了对函数的认识，通过探究图形面积与k 的关系，让学生感到了数学的奥秘与美感．3．反比例函数的对称性 师：请同位两同学合作，将所作反比例函数2y x=图象重合，将上面的图象绕原点旋转180︒后，能与原来的图象重合吗？你能得到什么结论？生：仍然与原来的图象重合，说明反比例函数图象关于原点对称．师：请同学们探究：反比例函数图象是否关于x 轴，y 轴对称？生：沿x 轴，y 轴对折后不重合，因而反比例函数图象关于x 轴，y 轴不对称． 师；请同学们沿第一、三象限角平分线折后看有什么发现？生：反比例函数关于第一、三象限角平分线对称．生：老师，我还发现：反比例函数关于第二、四象限角平分线对称．师；很好！我还没提示呢，都有新的发现了，希望同学们多些探究．【设计意图】通过课前学生的作图，动手操作，对称性显然易见．这部分知识让学生直观感受即可，无需进行论证．【实际效果】由于图是学生自己作的，通过操作效果很明显，结论也很容易记，学生也很乐意学．四．拓展应用师：数形结合思想是初中阶段很重要的一种思想方法，是研究函数图象常用的好方法，下面就来考查大家对反比例函数图象及性质的理解：已知点1(2,)A y -，2(1,)B y -，3(3,)C y 都在反比例函数6y x=的图象上，试比较1y ，2y ，3y 的大小．生：分别将2x =-，1-，3代入求出13y =-，26y =-，32y =，所以312y y y >>． 生：可以利用图象的直观性，如图，得到312y y y >>．变式一：已知点1(2,)A y -，2(1,)B y -，3(3,)C y 都在反比例函数6y x =-的图象上，试比较1y ，2y ，3y 的大小．生：用代入求值法或图象法两种方法我都试了，结果是213y y y >>．变式二：已知点1(2,)A y -，2(1,)B y -，3(3,)C y 都在反比例函数k y x=的图象上，试比较1y ，2y ，3y 的大小．生：要分0k >，0k <两种情况讨论，这时代入求值法不好用了，我用的是图象法，如图（6），当0k >时，312y y y >>；如图（7），当0k <时，y 2y 3y1y 2y 3y213y y y >>．【设计意图】通过“活学活用”可以进一步帮助学生掌握知识，有助于教师了解学生对知识的理解与掌握．通过交流学生用不同的方法解决所给的问题，拓宽学生的视野打开解题的思路．通过变式练习，一步步加深难度，让学生感受到分类讨论思想．【实际效果】学生对于教师设置的题目学生能较好的掌握，收到了很好的教学效果．学生的想法很多也很好，让学生到前面讲解，下面的学生比听老师讲认真多了，这种方式值得使用，一可以锻炼讲题人的逻辑思维能力和语言表达能力，二可以促进更多的学生听他们自己的声音．五．总结升华生：通过本节课的学习，我在了解反比例函数的图象及所经象限后，又知道了反比例函数值的增减性．生：我们必须强调：“在每一象限内”，函数值的变化规律．生：通过本节课的学习，我体会到数形结合对解决函数问题很是有用．生：用类比正比例函数的图象及性质来理解掌握反比例函数的图象及性质，既能复习还能很好地对比记忆．生：对于反比例函数表达式中k ，我原以为只是一个常数而已，而如今我知道它居然还有着不同凡响的图形意义，有意思！师：我真替大家高兴，不仅学到了数学原理，更为重要的是能够理解到这些深奥的数学知识的内在美，下节课我们就来重点应用了．衷心地希望同学们好好学习，为明天的成功做准备！【设计意图】让学生小组交流，总结本节课的收获，教师适当点拨与肯定．鼓励学生大胆讲出本节课存在的疑问，师生合作帮助学生解答疑问．通过这一环节让学生进一步认识了生活实际与数学的紧密联系，有助于培养学生乐于观察生活的习惯，激发学生学习数学的兴趣．【实际效果】学生在这一环节能大胆发言，畅谈自己的收获与疑问，脸上露出了获取知识的喜悦．学生通过回顾本节课的学习过程，体会到“数学的美在于发现”，距离数学更近了！六．当堂反馈1．若点(2,3)P -在函数k y x=的图象上，那么这个图象的函数是 ，它在第 象限内，在第一象限内，y 随x 的增大而 ． 【考查知识点】反比例函数的表达式、图象所经象限、函数值的变化规律2．如图（8），点P 是反比例函数图象上的一点，若AOP ∆的面积为4，则反比例函数的表达式为 ．【考查知识点】图形面积与k 的关系3．如图（9），正比例函数y mx =与反比例函数n y x=（,m n 是非零常数）的图象交于,A B 两点．若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标是 ．【考查知识点】反比例函数关于原点对称4．课本第155页“数学理解”第3题．【考查知识点】利用代入法或图象法比较函数值的大小 七．作业设置1．【基础】课本第155页“知识技能”第1题．【考查知识点】反比例函数的图象所经象限、函数值的变化规律2．【提升】课本第155页“知识技能” 第2题．【考查知识点】图形面积与k 的关系．九．教学反思回顾整堂课，我认为本节课从课前准备、复习正比例函数的图象及性质入手，为本节课的顺利进行打下了很好的基础，所以一节课的成功与否，教师应该多为学生考虑，为大多数学生考虑，内容不必要过多，但务求知识的落实，强调学生的参与，这样才能最大限度地让学生参与进来，亲近老师，将知识学得实，而不是老师自我感觉良好，而学生一塌糊涂！通过小组合作，学生的求知热情非常高涨，甚至连平时不愿听讲，不爱学习的学生也都积极行动了起来，主动参与到小组活动中．在讨论过程中不同知识水平的学生加强了沟通，个性得到了张扬，潜力也得到了发挥．另外,通过学生谈收获，讲疑问这一环节加强了学生对知识点的掌握，对于存在的疑问也能通过小组的合作解决，激发了学生的潜能．注意改进的方面：课前准备，要提前安排布置好，否则很影响进度．找学生代表发言时，面要广一些，简单一点的可面向后进生．A B（9）。
数学北师大版九年级上册反比例函数的图像和性质(二)教学设计
反比例函数的图像和性质（二）教学设计
【教学目标】
1．会画出反比例函数的图象
2．经历观察、归纳、交流的过程，逐步提高从函数图象中获取信息的能力，能根据图象探索并理解反比例函数的主要性质
3．提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平，使学生从整体上领会研究函数的一般要求。
【教学重点】探索反比例函数的主要性质
【教学难点】理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题
【教学过程】
1）函数图象分别位于哪几个象限内？
2）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
y=
的边长为2，反比例函数
，则k的值是()
总结反比例函数的主要性质？有哪些疑惑的地方？
习题6.3 第2、《金牌学案》P92。
九年级数学上册20.7反比例函数的图象、性质和应用课堂导学北京课改版
20.7 反比例函数的图象、性质和应用名师导学典例分析例1 图20－7－2,函数y=kx －1与x k y -=在同一坐标系下的大致图象可能是( )思路分析：在A 中,由直线过二、三、四象限知k<0,由反比例函数图象分别在第二、四象限知－k<0,∴k>0,矛盾,故A 不正确.在B 中,由于直线与y 轴交于正半轴,这与y=kx －l 矛盾,所以B 不正确.在C 中,由直线过第一、三、四象限知k>0,由反比例函数的图象在第一、三象限知一k>0,∴k<0,矛盾,∴C 不正确.答案：D例2 已知点A(0,2)和点B(0,－2),点P 在函数xy 1-=的图象上,如果△PAB 的面积是6,求P 点的坐标.思路分析:由已知点A 、B 的坐标,可求得AB=4,再由△PAB 的面积是6可知P 点到y 轴的距离为3,因此,可求P 点的横坐标为±3,由于点P 在xy 1-=上,故可求其纵坐标.解：如图20－7－3所示,不妨设P 点的坐标为(x 0,y 0),过P 作PC⊥y 轴于C.∵A(0,2),B(0,－2),∴AB=4.又∵PC=|x 0|,且S △PAB =6,∴64||210=•x ∴|x 0|=3,∴x 0=±3. 又∵P(x 0,y 0)在x y 1-=的图象上,∴当x 0=3时,310-=y ；当x 0=－3时,310=y , ∴P 点的坐标为(3,31-)或(－3,31). 例3 为了预防“非典”,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分)成正比例,药物燃烧后,y 与x 成反比例(如图20－7－4所示).现测得药物8分钟燃烧完毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克,请根据题中所提供的信息,解答下列问题：(1)药物燃烧时,y 与x 的函数关系式为：______,自变量x 的取值范围是______,药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为：______.(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于l.6毫克时学生方可进入教室,那么从消毒开始,至少需要经过_______分钟后,学生才能回到教室；(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?思路分析:(1)由(8,6)在正比例函数图象上,也在反比例函数图象上,故不难求出两个函数的解析式；(2)将y=1.6代入反比例函数解析式中即可求出至少需要经过的时间；(3)将y=3分别代入两个函数的解析式中求出相应的两个x 值,再求出它们的差值与10比较,若达到或超过10,则此次消毒有效,否则无效.解：(1)x y 43=0<x≤8 y=x 48(x>8) (2)30(3)此次消毒有效,因把y=3分别代入x y x y 48,43==,求得x=4和x=16,而16－4=12>10,即空气中的含药量不低于3毫克/米3的持续时间为12分钟,大于10分钟的有效消毒时间.突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：收集图象提供的信息,结合函数表达式的性质逐个排除,是解此类选择题较常见的方法.2 方法点拨：通过三角形的面积建立关于x 0的方程求解,同时在直角坐标系中,点到),轴的距离等于横坐标的绝对值,点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值.3 方法点拨：此题是反比例函数与一次函数相结合的应用题,这类题充分体现了数形结合的思想,解这类题的关键是通过观察图象,确定出函数类型,然后用待定系数法确定出相关的解析式,从而进一步求解.。
北京课改初中数学九年级上册《20.7反比例函数的图象、性质和应用》精品教案 (1)
反比例函数及其图像性质教材分析（1）知识结构（2）重点、难点分析本节的重点是结合图象，总结出反比例函数的性质.学习了前面三个基本函数后，学生有了一些识图的能力，并掌握了基本的研究方法.学生在经历了一个画图的过程后，可以通过观察、分析、与同学的相互讨论、交流中，逐步形成对反比例函数的全面认识.可以培养学生运用数形结合的数学思想方法，也是一个数学地发现问题解决问题的过程.本节的另一个重点是用待定系数法求反比例函数的解析式，这种方法在求四种基本函数解析式中都已经用到，本节课通过巩固练习，可进一步提高对待定系数法的认识.例如学生可以观察出有几个待定系数，就需要几对自变量与函数的对应值，即几个方程.本节的难点是描点、画图，由于学生知识的限制，描点、画图不能对图形有一个全面的把握.这样，学生在描点画图时就会感到困难，无法估计出这个图象到底是什么样子，感到无从下手.因此，从解析式中可以进行初步的分析，认识到反比例函数的图象分成两支，以便初步认识其图象的大致变化趋势.教法建议数学教育的目的之一是帮助学生认识数学，数学与现实世界有着密切的联系，而且数学的发展是一个充满着观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程，因此，学生在获得知识的同时，也应该养成尊重客观事实的态度，勇于探索的精神以及独立思考与人合作交流的习惯.具体安排如下：(1)从实例中抽象出数学模型小学学习过反比例关系的知识，现在的物理、化学等学科中也有许多反比比例的实例.学生可以从比较简单的实例中，抽象出这类函数的特点，形成反比例函数的概念.(2)画出图象，研究反比例函数的性质可以创设数学情境，引导学生找出数与形的关系.如：k>0时，x与y同号，图象在一、三象限，k<0时，x、y异号，图象在二、四象限.类似的结论，可以在画图前，先组织学生猜测，并说明根据，画图后，再进行补充.让学生体验数学知识的形成过程.(3)牢固掌握待定系数法进一步熟悉待定系数法解题的一般步骤，并通过不断地运用，逐渐发现有几个待定系数，就应列出几个相应的方程.这样反比例函数只需一对自变量与函数的对应值就可确定其解析式. 教学目标1、使学生能从简单的实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；2、会画出反比例函数的图象，并能结合图象总结出反比例函数的性质，渗透数形结合的数学思想；.3、会用待定系数法求反比例函数的解析式；4、通过揭示正比例函数与反比例函数的联系与转化，渗透辩证唯物主义的思想；5、通过观察、归纳、总结反比例函数的性质，培养学生勇于探索的科学精神；6、培养学生数学地发现问题，并利用数学知识解决问题的能力.教学重点：反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.教学难点：画反比例函数的图像，因为反比例函数的图像有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难.教学过程：一、新课引入：看下面的实例：（出示幻灯）1．小红家到学校的路程有5公里，写出她上学所用的时间t 与速度v 的函数关系式；2．有一个矩形面积是3平方米，写出它的长a 与宽b 之间的函数关系式；3．十一放七天假，老师布置要记忆36个单词.设小明完成的天数为n ，每天的单词量为m ，写出m 与n 的函数关系式？答：从函数的观点看，在运动变化的过程中，这两个变量可以分别看成自变量与函数，写成：v t 5=（0≠v ），b a 3=（0≠b ），nm 36=（0≠n ） 二、新课讲解：1、让学生观察这几个函数的特点，然后得出反比例函数的概念：（板书） 一般地，函数 （k 是常数， ）叫做反比例函数.注意：自变量的指数是 -1，而不是1.例1、判断以下哪个式子中的x 、y 表示反比例函数关系？ ⑴x y 23-= ⑵21xy = ⑶x y 1= 例2、写出下列函数的解析式，并判断他们是不是反比例函数，如果是，求出他们的定义域. ⑴一个圆柱形钢材的体积是800cm 3,写出它的底面积)(2cm S 和高)(cm h 的函数关系.⑵压强大小是由单位面积所受到的压力决定的，那么当物体受到的垂直压力为100牛时，写出压强与受力面积的函数关系.2、根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？答：图像和性质．通过这个问题，使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识，以后 学生要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究．下面，我们就来看一个例题：（出示幻灯）例3、在平面直角坐标系中画出反比例函数与 的图像．提问：⑴画函数图像的关键问题是什么？答：合理、正确地选值列表．⑵在选值时，你认为要注意什么问题？ 答：Ⅰ、由于函数图像的特点还不清楚，多选几个点较好；Ⅱ、不能选 ，因为 时函数无意义；Ⅲ、选整数较好计算和描点．这个问题中最核心的一点是关于的问题，提醒学生注意． ⑶你能不能自己完成这道题呢？解：列表 x -6 -5 -4 -3 1 2 3 4 5 6 -1 -1.2 -1.5 -2 63 2 1.5 1.2 1 1 1.21.5 2 -6 -3 -2 -1.5 -1.2 1说明：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象.取点的时候最好多取几个，正负可以对称着取分别画点描图学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线，然后就这名同学的连线加以评价、总结.注意：（1）一般地反比例函数（k是常数，）的图象由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）这两条曲线不相交；（3）这两条曲线无限延伸，无限靠近x轴和y轴，但永不会与x轴和y轴相交．关于注意（3）可问学生：为什么图像与x和y轴不相交？通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆又可培养学生思维的灵活性和深刻性．3、再让学生观察黑板上的双曲线图，提问、归纳、总结出反比例函数的性质：（1）当时，双曲线的两个分支各在哪个象限内？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？（2）当时，双曲线的两个分支各在哪个象限内？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书：（1）当 时，双曲线的两分支位于一、三象限，y 随x 的增大而减少；从解析式中，也可以得出这个结论：xy=k ，即x 与y 同号，因此，图象在第一、三象限.（2）当 时，双曲线的两分支位于二、四象限，y 随x 的增大而增大.抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的数学思想方法.体现了由特殊到一般的研究过程. 注意：同样可以推出函数 的图象的性质.4、反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用．5、反比例函数的简单练习：上面，我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质，下面我们再来看一个不同类型的例题： 例4、选择题： 1、在同一坐标系内，函数 与 的图象的交点个数为( ). (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D)4个2、若反比例函数52-=m mx y 的图象在它所在的象限内，y 随x 的增大而增大，则m 的值是（ ）（A ）-2． （B ）2． （C ）±2． （D ）以上结果都不对．三、课堂小结：教师提问，学生思考回答：1．什么是反比例函数？2．反比例函数的图像是什么样的？3．反比例函数 的性质是什么？4．命题方向及题型设置，反比例函数也是中考命题的主要考点，其图像和性质，以及其函数解析式的确定，常以填空题、选择题出现，在低档题中，近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰富了压轴题的形式和内容.四、布置作业P80 练习1，2五、板书设计13y x =1y x =反比例函数及其图像引例：（1）例1：例2：例3：例4：1．反比例函数的图象：2．反比例函数的性质六、补充材料：马尔克广场上的游戏在世界著名的水都威尼司斯，有个马尔克广场.广场的一端有一座宽82米的雄伟教堂.教堂的前面是一方开阔地.这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏：把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端教堂走去，看谁能到达教堂的正前面！奇怪的是，尽管这段距离只有175米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都如下图那般，走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！类似的情形也有很多，这与俗话说的鬼打墙类似.有许多人在沙漠或雪地里，由于迷失方向而在原地打圈子，这一切近乎玩笑般的遭遇，终于引起了科学家的注意.公元1896年，挪威生理学家古德贝对闭眼打转的问题进行深入的探讨.他搜集了大量的事例后分析说：这一切都是由于人自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子长一段微不足道的距离.而正是这一段很小的步差x，导致了这个人走出一个半径为y的大圈子！现在我们将这个过程数学化，研究一下x与y之间的函数关系.假定某个两脚踏线间相隔为 d.很显然，当人在打圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆.设该人平均步长为1.那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程另一方面，这段路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，即：对一般的人，米，米，代入得（单位米）这就是所求的迷路人打圈子的半径公式.是我们学过的反比例函数(图象如下图).今设迷路人两脚步差为毫米，仅此微小的差异，就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子！让我们回到那个马克尔广场的游戏上来.我们先计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一端中央的M点，要想抵达教堂CD，最小的弧线半径应该是多少？如图，注意到矩形ABCD边BC=175（米），（米）．上述问题可以转化成几何中的命题：已知与．求的半径的大小．这就说,游人要想成功,他所走弧线半径必须不小于394米．我们再来计算一下，要达到上述要求，游人的两脚步差需要什么限制．这表明游人的两只脚步差必须小于毫米，否则就难以成功．然而在闭眼的情况下两脚这么小的步差一般人是达不到的，这就是在游戏中为什么没有人能够蒙上眼睛走到教堂前面的道理。
北师版九年级上册数学教案-反比例函数的图象与性质的应用
6.2.3 反比例函数的图象与性质的应用【知识与技能】理解并掌握反比例函数的图象和性质，能灵活运用性质解决具体问题. 【过程与方法】在运用反比例函数的图象及其性质解决具体问题过程中，进一步增强学生分析问题，解决问题的能力.【情感态度】在运用所学新知识解决具体问题过程中，体验成功的快乐，激发学习兴趣. 【教学重点】灵活运用反比例函数性质解决问题.【教学难点】反比例函数的增减性的描述及其与kyx=中k的对应关系.一、情境导入，初步认识问题（1)反比例函数kyx=（0k≠）的图象及其性质如何，不妨说说看.(2)反比例函数在各自象限内的增减性与kyx=（0k≠）中k的对应关系如何？与同伴交流，谈谈你的看法.【教学说明】学生相互交流，温习回顾上节知识，为本节的应用作铺垫，教师可予以总结，加深学生认知.二、思考探究，获取新知反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，列表归纳如下：【教学说明】通过上节课的学习，本节教师带领学生梳理一遍反比例函数的图象与性质，列表归纳，鼓励学生自主总结.【归纳结论】（1)反比例函数kyx=（0k≠），因为x≠0，y≠0，故图象不经过原点.双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、第三象限（或第二、第四象限），而说图象的两个分支分别在第一、第三象限（或第二、第四象限）.(2)反比例函数的增减性不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，一般都是在各自的象限内的增减情况.(3)反比例函数的图象无限接近坐标轴，但永远不能和坐标轴相交，也不能“翘尾巴”(4)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.如：已知双曲线kyx=在第二、第四象限，则可知k＜0.三、典例精析，掌握新知例1 已知反比例函数kyx=（0k≠）的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x 值的增大如何变化？(2)点B(3，4)，C(122-，445- )，D（2，5)是否在这个函数的图象上？【分析】由反比例函数的表达式kyx=（0k≠）经过点A，把A点坐标（2，6)代入相应的x,y后，可得k=12,故12yx=；由于k=12＞0，知函数的图象位于第一、三象限，在各个象限内y随x值的增大而减小（增减性可先想象出图象，再依据图象特征可作出说明，注意“各个象限”或“各个分支”是描述反比例函数增减性的前提条件，不能漏掉），再把B、C、D三点坐标代入12yx=中可判断B、C、D三点是否在该函数的图象上.【教学说明】本例应先让学生独立思考，锻炼分析问题、解决问题的能力，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法.例 2 如图是反比例函数5myx-=的图象的一个分支，根据图象回答下列问题：(1)图象的另一个分支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x 1，y 1 )和点B(x 2，y 2 )，如果 x 1 ＞x 2，那么y 1与y 2的大小关系如何？说说你的理由.【分析】反比例函数的图象只有两种可能，位于第一、第三象限或者位于第二、第四象限.观察图象知，此反比例函数的图象的一支位于第一象限，那么另一支必位于第三象限，而位于第一、三象限的反比例函数的表达式中k ＞0，即m-5＞0，∴ m ＞5 .而当m ＞5时，在图象的各个分支上y 随x 值的增大而减小，故当x 1＞x 2 时 y 1 ＜y 2.【教学说明】本例仍应先让学生自主探索，形成初步认识后，教师再与全班同学一道分析并给出解答过程，让学生通过反思加深对反比例函数的图象及其性质的理解.四、运用新知，深化理解1.如图是反比例函数7n y x+=的图象的一支，根 据图象回答下列问题：(1)图象的另一支位于哪个象限，常数n 的取值 范围是什么？(2 ) 在这个函数图象的某一支上任取点A (a ，b ）和 B (a ' ,b ' )如果a ＜a ' ，那么b 与b '的大小关系如何？为什么？2.如图，正比例函数y = kx 与反比函数3y x=的图象相交于A 、C 两点，过A 作x 轴垂线交x 轴于 B ，连接BC.求△ABC 的面积.【教学说明】 第1题学生能轻松获得结论，而第2题则需教师给予点拨引导，教师可让学生先分别求出S △AOB 和S △BOC ，再求出S △ABC . 在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分. 五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获？你感觉到本节知识有哪些地方是较难理解的？与同伴交流.1. 布置作业：从教材“习题”中选取.2. 完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.反比例函数的图象和性质是以前函数内容的延续，也是以后学习二次函数的基础.本课时的学习是学生对反比例函数图象和性质的一个再认知的过程，由于八年级学生是刚刚接触双曲线这种函数图象，所以教学时应注意引导学生抓住反比例函数图象的特征，让学生对反比例函数有一个形象和直观的认识.另外在教学时，教师要与学生进行互动交流，并积极让学生自主探究反比例函数中k值的几何意义.。
数学北师大版九年级上册反比例函数的图像、性质及应用
反比例函数的图象、性质及应用教学设计说明灵武四中王会霞这节课主要以我校校本教材为载体，通过学生自主学习、能力达标、合作学习等回顾反比例函数的图象、性质及应用，将课堂的主动权交给学生，变被动灌输为主动学习，充分体现了“推进课堂变革提升教学效率”活动的理念。
本节课主要着力于学生的学，鼓励学生相互合作，进行主动探索。
把目标指向学生的合作能力、问题意识，以及责任感的培养，而不仅仅是知识的传播和掌握．其有利于改变学生学习数学的方式，带着这样的思路,我设计了《反比例函数的图象、性质及应用》一课。
为了让学生明确本节课的学习任务，我首先在讲学稿中出示学习目标：1.梳理本章内容，回顾反比例函数的定义、图像、性质等相关内容.2.会从函数图象中获取信息，能运用反比例函数的概念、图象和性质解决实际问题.希望学生一节课都是有目标的学习。
为达到自主学习、培养学生的动手能力、观察能力和问题意识的教学目的,我通过四道自主学习的题目复习反比例函数的定义、表达形式、图象及性质，使他们通过题目的形式回顾反比例函数的相关知识，引导学生更加主动、有兴趣地学，逐步培养学生自主发现、善于总结的精神。
其次,如何把复杂抽象的数学问题变为具体化、形象化的问题，让学生在学习时充满激情，过程中充满乐趣，在活跃的课堂气氛中，渐入佳境。
在教学的过程中，我把信息技术和数学教学的学科特点结合起来，利用多媒体的动画演示让学生通过观察、探究发现反比例函数图象的性质，从而把复杂抽象的数学问题变为具体化、形象化的问题，让学生成为课堂的真正主角，教师从课堂的主宰者变为引导者。
让学生来发现、归纳和总结反比例函数图象的性质规律。
这样有利于提高学生的学习积极性。
我们知道“兴趣是最好的老师”，有良好的兴趣就有良好的学习动机，但不是每个学生都具有良好的学习数学的兴趣。
“好奇”是学生的天性，他们对新颖的事物、知道而没有见过的事物都感兴趣，要激发学生的学习数学的积极性，就必须满足他们这些需求。
反比例函数的图象与性质”教学设计
反比例函数的图象与性质”教学设计郑新春（北京丰台二中中学高级）一、教学背景1. 教学内容北京市义务教育课程改革实验教材第 17 册（九年级上学期用） 20.6 反比例函数与20.7 反比例函数的图象、性质和应用。
本节课不涉及应用。
函数是刻画变量之间关系的数学模型，本节课是继一次函数，二次函数等连续函数之后，第一次研究有间断点的函数的概念及其图象和性质。
本课的学习既巩固函数的概念，也积累研究函数的经验，为进入高中深入学习初等函数奠定基础。
教学中，从实际生活问题中抽象出函数模型，加深学生对函数本质和研究方法的认识，在探索过程中不断体验数形结合的思想。
2. 学情简析学生已经学习了一次函数和二次函数，较好地掌握了它们的概念、图象、性质，运用它们解决一些简单的实际问题，根据学生的实际情况适时地学习了区间、增函数、减函数的概念。
本节课的学习，学生可能会出现如下问题： (1) 反比例函数概念的抽象过程不清晰；(2) 取 k 不具有代表性，比如只取正数； (3) 取点时，自变量都取正值，导致只画出一支曲线； (4) 由于所取的点较少，导致图象失真； (5) 对增减性的描述会出现不加“在每个象限内”这个限定条件的错误。
二、重点难点重点：反比例函数定义、图象和性质；研究具体函数的一般策略。
难点：反比例函数定义的合理性，根据反比例函数的解析式分析其图象和性质。
三、教学目标1 ．通过实际问题的概括与抽象，在类比的过程中获得反比例函数的定义。
2 ．能根据反比例函数的定义正确识别所给函数是不是反比例函数，能用待定系数法确定反比例函数的解析式。
3 ．类比正比例函数研究的过程，进一步经历将抽象化为具体去分析、绘制反比例函数的图象，再由特殊到一般研究过程，初步学会研究具体函数的一般策略，理解反比例函数的图象和性质，增强数形结合的能力。
4 ．在讨论、交流、合作等学习过程中，体会发表自己的想法和接受他人的意见的快乐。
四、教学过程教学阶段及所用时间教师活动学生活动设计意图信息技术环节一：温故旧知，再现方法4 分钟提问：问题 1 ：“与自己对话”中的问题，你的答案是什么？（ 1 ）函数是怎样定义的？（ 2 ）为什么将关系式y=kx(k ≠ 0) 称为正比例函数？（ 3 ）画出正比例函数的图象，并指出它的性质。
北京课改版-数学-九年级上册-教案-反比例函数的图象和性质2
上课日期2013．10.31 课的类型新授课授课教师贾金利课题总课时：2 第2 课时教学目标重点反比例函数图象的画法及探究，反比例函数的性质的运用．难点反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析．准备多媒体教师活动学生活动设计意图时间安排教学过程教（一）创设情境，导入新课老师在黑板上写了这样一道题：“已知点（2，5）在反比例函数y=?x的图象上，•试判断点（-5，-2）是否也在此图象上．”题中的“？•”是被一个同学不小心擦掉的一个数字，请你分析一下“？”代表什么数，并解答此题目．（二）应用迁移，巩固提高例1已知反比例函数的图象经过点A（2，6）（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大而如何变化？（2）点B（3，4）、C（-212，-445）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？例2三个反比例函数学生回答y=10x学生回答（1）设这个反比例函数为y=kx，因为它过点A（2，6），所以把坐标代入得6=2k，•解得k=12，此反比例函数式为y=12x，又因k=12>0，所以图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小．学生回答k3>k2>k1．复习旧知识加强练习5分钟5分钟10分钟（1） y=1k x （2）y=2k x （3）y=3k x 例3直线y=kx 与反比例函数y =-6x的图象相交于点A 、B ，过点A 作AC 垂直于y 轴于点C ，求S △ABC ． （三）课堂跟踪反馈 1．判断下列说法是否正确 （1）反比例函数图象的每个分支只能无限接近x 轴和y 轴，•但永远也不可能到达x 轴或y 轴．（∨） （2）在y=3x中，由于3>0，所以y 一定随x 的增大而减小．（×） （3）已知点A （-3，a ）、B （-2，b ）、C （4，c ）均在y=-2x的图象上，则a<b<c ．（×）（4）反比例函数图象若过点（a ，b ），则它一定过点（-a ，-b ）．（∨）2．设反比例函数y=3m x的图象上有两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），且当x 1<0<x 2时，有y 1<y 2，则m 的取值范围是 m<3 ． 3．点（1，3）在反比例函数y=k x的图象上，则k= 3 ，在图象的每一支上，y 随x•的增大而 减小 ． 4．正比例函数y=x 的图象与反比例函数y=k x的图象有一个交点的纵坐标是2，求（1）x=-3时反比例函数y 的值；（2）当-3<x<-1时，反比例函数y 的取值范围．解：反比例函数的图象关系原点对称，又y=kx 过原点，故点A 、B 必关于原点对称，从而有OA=OB ，所以S △AOC =S △BOC ． 设点A 坐标为（x 1，y 1），则xy=-6，且由题意AC=│x 1│，OC=│y 1│． 故S △AOC =12AC ·OC=12│x 1y 1│=12×6=3，从而S △ABC =2S△AOC =6． 学生回答【答案】 （1）-43，（2）-4<9-43加强练习加强练习10分钟15分钟板 书 设 计 例1： 例2：例3：课后 反思本节课主要是运用知识的能力，对于上节课反比例函数图像的知识学生掌握比较好，所以今天的运用知识解决问题，讲起来也是比较轻松的。
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例：某长途公共汽车线路全长50km，规 定车的平均速度不得高于70km/h. （1）运行全程所需时间t（h）是平均车 速v（km/h）的什么函数？画出这个函数 的图象;
（2）结合图象，求出采用平均速度为 40km/h或60km/h，运行全程所需时间相 差多少分钟？
想一想
我校科技小组进行野外考察，途中遇到 一片十几米宽的烂泥湿地.
（1）用含S的代数式表示P（Pa）， P是S的反比例函数吗？为什么？
（2）当木板面积为0.2 ㎡时，压强是多少？
多少？
（4）在直角坐标系中作出相应的函数图象.
（5）请利用图象对（2）和 （3）作出直观解释。
P/ Pa O S/㎡
练一 练
1.某蓄水池的排水管每小时排水8m3 ，6h可 将满池水全部排空。
⑴蓄水池的容积是多少？____________ ⑵如果增加排水管。使每小时排水量达到 Q（m3），那么将满池水排空所需时间t（h） 将如何变化？__________ ⑶写出t与Q之间关系式。____________ ⑷如果准备在5小时内将满池水排空，那么 每小时的排水量至少为____________。 ⑸已知排水管最多为每小时12 m3，则至少 __________h可将满池水全部排空。
课堂小结
谈谈你的收获和体会?
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Y/L
Y/L
Y/L
o
o
V(km/h)
(1)
(2)
o
V(km/h)
(3)
V(km/h)
(4)
Y/L
o V(km/h)
试一试
若有两并联用电器电路图如图所示：其 中一用电器电阻R1=8.5Ω，你能想办法 得到另一个用电器的电阻R2是多少？
R1
.
R2
.
小明向老师借了一个电流表，通过测量 得出I1=0.4A，I2=0.17A，因此他断言 R2=20Ω.你能说明他是怎样得出结论的吗？
1.为安全迅速通过这片 湿地，想一想，我们应 该怎样做？
2.他们沿着前进路线铺垫了若干木板 ，构筑成一条临时通道，从而顺利完成 任务.你能帮助他们解释这个道理吗？
3.当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板 面积S（㎡）的变化，人和木板对地面的压强P （Pa）将如何变化？
如果人和木板对湿地地面的压力合计为600N，
人均产量中的数学
Y/吨
Y/吨
Y/吨
Y/吨
o (1) x/人
o (2)
x/人(3) o
(4)x/人 o
x/人
• 某村的粮食总产量为a(a为常数),设该村 粮食的人均产量为y(吨),人口数为x(人),
则y与x之间的函数图象大致是( ).
实际应用
• （05江西省中考题）已知甲,乙两地相距skm,汽 车从甲地匀速行驶到乙地.如果汽车每小时耗油 量为aL,那么从甲地到乙地的总耗油量y(L)与汽 车的行驶速度v(km/h)的函数图象大致是( ).
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忆一忆
1.什么是反比例函数？其图象是什么？ 反比例函数的性质？
2.小明家离学校3600米，他骑自行车的 速度x（米/分）与时间y（分）之间的 关系式是___x___3_6_00_______,
y
若他每分钟骑450米，需___8__分钟到达
学校。
3.在某一电路中,保持电压U不变,电流 I(安培)与电阻R(欧姆)之间的关系 是:U=IR,当电阻R=5欧姆时,电流I=2安培. 则电流I(安培)是电阻R(欧姆)的 函数,且I与R之间的函数 反比例
关系式是
I
10 R
.
4.试举出反比例函数的实例.