高数II期中试卷
高数下期中考试(10-11)试卷及解答
广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 1 页一、填空题（每题3分分）．已知{4,3,4}a =-在向量{2,2,1}b =t e e x,sin cos ==广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 2 页广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 3 页解：两边微分得 )()(21yz d f x z d f dx '+'= 2分2221yz d yy d z f x z d x x d z f dx -'+-'= 5分 整理得 dx f y x f xy f z x dx f y x f xy f zy y x dz 22122222121222)('+''+'+''+= 6分四、计算下列各题（每题7分，共28分）１．计算Dx ⎰⎰，其中Ｄ是由曲线.10y x y x ===及所围成的区域:2031441200:1112(1)31212311)18yD xx dxy y ====+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解２．计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),{(≤≤≤≤=y x y x D．解：曲线1=xy 把区域D 分成三个区域1D 、2D 和3D21,221:1≤≤≤≤y x x D ；x y x D 10,221:2≤≤≤≤；20,210:3≤≤≤≤y x D 2分⎰⎰Ddxdy xy }1,max{＝dxdy xy D ⎰⎰1＋⎰⎰2D dxdy ＋⎰⎰3D dxdy＝212122121221⨯++⎰⎰⎰⎰x xdy dx xydy dx 6分 ＝2ln 419+ 7分 ３．设Ω是曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面8=z 围成的空间区域，求广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 4 页⎰⎰⎰+=Ωdv y x I )(22。
解：Ω由z y x 222=+与 8=z 所围成，在柱坐标系下 Ω：82,40,202≤≤≤≤≤≤z ρρπθ 3分⎰⎰⎰=8224202ρπρρρθdz d d I 5分＝π31024五、设),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddudv v u f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2xy =，1=x 所围成区域，求),(y x f （6分）五、解：设A dxdy y x f D=⎰⎰),(，则⎰⎰⎰⎰+=DDdxdy A dxdy xy A2分 A xydy dx A x 31210+=⎰⎰⇒81=A 5分 从而 81),(+=xy y x f 6分六、设曲线:C ⎩⎨⎧=++=-+5302222z y x z y x ，求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点。
高等数学期中卷二(含答案)
x→2+ x2 − 3x + 2
x→2− x2 − 3x + 2
y=
x − 2 ⋅ln | x | 的第一类间断点（跳跃间断点）；
x2 − 3x + 2
而 lim x→1
x − 2 ⋅ ln | x | x2 − 3x + 2 =
lim (2 − x) ⋅ ln(1+ x −1) = x→1 (x − 2)(x −1)
F= (0) f (0) ≥ 0 ， F (1=) f (1) −1 ≤ 0 . 若 F (0) = 0 ，则取 c = 0 ；若 F (1) = 0 ，则取 c = 1； 若 F(0) > 0 且 F(1) < 0 ，利用零点定理，知在 (0,1) 内至少存在一点 c ， 使得 F (c) = 0 . 综上，在[0,1]上至少存在一点 c ，使得 F (c) = 0 ，即 f (c) = c . （2）设函数 f (x) 在[0,1]上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (1) = 0 ，证明至少 存在一点ξ ∈ (0,1) ，使得 4 f (ξ ) + ξ f ′(ξ ) = 0 . 证明：做辅助函数 F (x) = x4 f (x) ，由已知条件知 F(x) 在[0,1]上连续，在 (0,1) 内可导，且 F (0) = 0 ， F= (1) f= (1) 0 ，即 F (1) = F (0) . 由罗尔定理，存在 ξ ∈ (0,1) ，使得 F′(ξ ) = 0 ，即 4ξ 3 f (ξ ) + ξ 4 f ′(ξ ) = 0 ，也 即 4 f (ξ ) + ξ f ′(ξ ) = 0 .
−1，故 x = 2 为函数 y =
x − 2 ⋅ ln | x | x2 − 3x + 2
高等数学II 期中试卷
高等数学II 期中试卷一、选择题（每小题3分，共计 15 分）1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点 。
(A )．连续，偏导函数都存在； (B )．不连续，偏导函数都存在；(C )．不连续，偏导函数都不存在； (D )．连续，偏导函数都不存在。
2、二重积分⎰⎰Dxydxdy （其中D ：10,02≤≤≤≤x x y ）的值为 。
(A )．61； (B )．121； (C )．21； (D )．41。
3、设f 为可微函数，)(bz y f az x -=-，则=∂∂+∂∂yzb x z a 。
(A )．1； (B )．a ； (C )．b ； (D )．b a +。
4、设D 是以原点为圆心，R 为半径的圆围成的闭区域，则⎰⎰Dd xy σ= 。
(A )．44R ； (B )．34R ； (C )．24R ； (D )．4R 。
5、设),(y x f 在10 10≤≤-≤≤x x y D ,:上连续，则二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(表示成极坐标系下的二次积分的形式为 。
(A)．12 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθ⎰⎰；(B )．cos sin 2 0 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθθ+⎰⎰；(C)．1cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθ-⎰⎰；(D )．12cos sin 0 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθθ+⎰⎰。
二、填空题（每小题4分，共计24 分） 1、设xy xy z )(=，则=z d ，在点)2,1( P 处的梯度=P z g r a d 。
2、设yx y x y x f arcsin)1(),(-+=，则=')1,(x f x 。
3、D 由曲线1)1()1(22=-+-y x 所围成的闭区域，则()Dx y dxdy +=⎰⎰ 。
高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析
高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析本试卷共5页 22小题 满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅰ卷 第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上 第Ⅰ卷用黑色钢笔 签字笔在答题卡上作答2．质量监测时间120分钟 全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题 每小题5分 共40分 每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈N ，则A B ⋃=（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【分析】根据对数的单调性 一元二次不等式的解法 结合并集的定义进行求解即可. 【详解】由(){}2log 20021121x x x A -≤⇒<-≤⇒≤<⇒=由{}210110,1x x B -≥⇒-≤≤⇒=所以A B ⋃={}0,1 故选：C2．复数z 满足()1i i z += i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A ．1z = B ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 C ．z 的实部为12D ．z 的虚部为1i 2【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出复数z 即可求得其模以及实部和虚部 以及对应的点所在象限 一一判断各选项 即得答案.【详解】因为()1i i z += 故i i (1i)11i 1i (1i)(1i)22z ⋅-===+++-则z ==A 错误 z 在复平面内对应的点为11(,)22位于第一象限 B 错误z 的实部为12C 正确z 的虚部为12D 错误故选：C ．3．在ABC 中 点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点 点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =（ ）A ．2133CA CB -+ B ．1526CA CB -C ．1233CA CB -+D 5162CA CB -+．【答案】D【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案方法二：设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 建立空间直角坐标系 写出点的坐标 设m A CA nCB E =+ 从而得到方程组 求出答案.【详解】方法一：如图 由题意得23CE CD = 34AD AB =故()22123333AE AC CE AC CD AC AD AC AC AD =+=+=+-=+()111151323262AC AB CA CB CA CA CB =+=-+-=-+方法二：不妨设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 以C 为坐标原点建立平面直角坐标系 如图所示 则()()()()20,0,0,4,4,0,3,1,2,3C A B D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()()0,4,4,0CA CB == 设m A CA nCB E =+故()()102,0,44,03m n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以1042,43n m ==- 解得51,62m n =-=故5162CA C A B E -=+．故选：D ．4．函数()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则ω ϕ的值分别是（ ）A ．2 π6- B ．2 π3-C ．2π3D ．4 5π6-【答案】B【分析】根据三角函数图像与性质求ω ϕ的值即可. 【详解】设()f x 的周期为T则由图像知35π9π3πππ4123124T T ⎛⎫=--==⇒= ⎪⎝⎭所以2π2Tω==，则()()2sin 2f x x ϕ=+ 因为()f x 在5π12x =处取得最大值 所以5π2π2π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈ 得π2π,Z 3k k ϕ=-+∈因为ππϕ-<< 所以π0,3k ϕ==-.故选：B5．在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1n a n- 公差为1n -的等差数列的前n 项记构成的新数列为{}n b 若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（ ） A ．252-B ．-13C ．272-D ．-14【答案】A【分析】根据题意 得到数列{}n b 中n a 及其后面n 项的和为n S ()()1112n n n n S n a n+=+-⨯求解. 【详解】解：数列{}n b 为：1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n-------1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n nn+-----设n a 及其后面n 项的和为n S ，则()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=- 所以数列{}n S 是以1为首项 公差为12-的等差数列.所以{}n b 前65项的和为1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-故选：A.6．冬季是流感高发期 其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析 可以用函数模型()2rtW t =来描述累计感染甲型流感病毒的人数()W t 随时间t Z t ∈（单位：天）的变化规律 其中指数增长率r 与基本再生数0R 和世代间隔T 之间的关系近似满足01R rT =+ 根据已有数据估计出04R =时 12T =．据此回答 累计感染甲型流感病毒的人数增加至()0W 的3倍至少需要（参考数据：lg 20.301≈ lg30.477≈）（ ）A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【分析】先求得r 然后根据“()0W 的3倍”列方程 化简求得需要的时间. 【详解】依题意 01R rT =+ 且04R =时 12T =即14112,4r r =+⨯= 所以()142tW t = ()10W =令()1423tW t == 两边取以10为底的对数得14lg 340.477lg 2lg 3, 6.34lg 20.301t t ⨯==≈≈ 所以至少需要7天. 故选：B7．如图 在长方形ABCD 中 2AB = 1BC = E 为DC 的中点 F 为线段EC （端点除外）上的动点．现将AFD △沿AF 折起 使平面ABD ⊥平面ABC 在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥ K 为垂足．设AK t ，则t 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】设DF x = 求得x 关于t 的表达式 根据x 的取值范围求得t 的取值范围. 【详解】如图 在平面ADF 内过点D 作DH AF ⊥垂足为H 连接HK ．过点F 作//FP BC 交AB 于点P ．设FAB θ∠= AE AC == 所以cos θ∈⎝⎭．设DF x =，则12x <<．因为平面ABD ⊥平面ABC 平面ABD ⋂平面ABC AB =DK AB ⊥ DK ⊂平面ABD 所以DK ⊥平面ABC又AF ⊂平面ABC 所以DK AF ⊥． 又因为DHAF ⊥DKDH D = DK DH ⊂平面DKH 所以AF ⊥平面DKH 所以AF HK ⊥ 即AH HK ⊥．在Rt ADF 中 AF DH因为ADF △和APF 都是直角三角形 PF AD = 所以Rt Rt ADF FPA ≌△△ AP DF x ==．因为AHD ADF ∽△△,1AH DH AH AH AD DF ===所以cos AH AP AK AF θ=== 得1x t=． 因为12x << 所以112t<< 所以112t <<．故选：C【点睛】方法点睛：线面垂直 面面垂直转化的过程中 要从线面垂直得到面面垂直 需要“经过一个平面的垂线” 要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内 垂直于交线” 在答题过程中 要注意使用正确的符号语言.8．在直角坐标系xOy 内 圆22:(2)(2)1C x y -+-= 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A．⎡⎣ B．44⎡--⎣C．22⎡--⎣D．2⎡-⎣【答案】A【分析】由题意首先得出旋转后的直线为1:0l x y m 然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接OP 设POx θ∠=（即以x 轴正方向为始边 OP 为终边的角）由题意对于直线:0l x y m ++=上任意一点(),P x y存在R a θ=∈ 使得()cos ,sin P a a θθ 则直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后 点()cos ,sin P a a θθ对应点为1ππcos ,sin 22P a a θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即()1sin ,cos Pa a θθ- 因为()cos ,sin P a a θθ在直线:0l x y m ++=上 所以满足cos sin 0a a m θθ++= 设11sin ,cos x a y a θθ==- 所以110y x m -++= 即()1sin ,cos P a a θθ-所在直线方程为1:0l xy m而圆22:(2)(2)1C x y -+-=的圆心 半径分别为()2,2,1r = 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点所以圆心()2,2C 到直线1:0l x y m 的距离1d r =≤= 解得m ≤故选：A.【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线 从而即可顺利得解.二 多选题9．某校举行演讲比赛 6位评委对甲 乙两位选手的评分如下： 甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（ ）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.8 【答案】ACD【分析】由平均数 方差 百分位数 众数的概念及求法分别求解判断即可. 【详解】选项A 评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙所以x x <甲乙 故A 正确选项B 由A 知 两组数据平均数均约为7.8且纵向看 甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同 其余数据相同 又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差 且差距较大 故与平均数比较 甲组数据波动程度明显大些即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差 故B 错误 选项C 由640% 2.4⨯=不是整数则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据 即：7.8 故C 正确 选项D 评委对乙评分中最多的数据 即众数为7.8 故D 正确.故选：ACD.10．下列说法正确的是（ ）A ．“α为第一象限角”是“2α为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B ．“π2π6k α=+ Z k ∈”是“1sin 2α=”的充要条件C ．设ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭ π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件D ．“sin 0θ>”是“θtan 02>”的必要不充分条件 【答案】AC【分析】对于A 利用象限角 求得角α的范围 可判定充分性 取π3α= 验证必要性即可 对于B 考查1sin 2α=时 α的取值范围 可判定必要性不成立 对于C 根据集合M N 的关系即可判定 对于D 根据条件求得α的取值范围即可判断. 【详解】对于A,因为α为第一象限角 所以π2π2π,Z 2k k k α<<+∈ 则πππ,Z 4k k k α<<+∈, 当k 为偶数时 α为第一象限角 当k 为奇数时 α为第三象限角 所以充分性成立 当π3α=时 α为第一象限角，则2π23α= 为第二象限角 即必要性不成立 故A 正确 对于B 当π2π6k α=+ Z k ∈时 1sin 2α=成立，则充分性成立当1sin 2α=时 π2π6k α=+或5π2π6k α=+ Z k ∈, 故必要性不成立，则B 错误对于C ()41πππ,Z ,Z 44k M k k k αααα⎧⎫⎧⎫⎪⎪==±∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭而π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭则MN 故则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件 故C 正确对于D,当sin 0θ>时 2π2ππ,Z k k k θ<<+∈, 则πππ,Z 22k k k θ<<+∈ 则θtan 02> 故充分性成立 当θtan02>时 πππ,Z 22k k k θ<<+∈则2π2ππ,Z k k k θ<<+∈ 则sin 0θ>成立 所以“sin 0θ>”是“θtan 02>”的充要条件 故D 错误 故选：AC.11．椭圆C 的标准方程为22121,,82x y F F +=为椭圆的左 右焦点 点()2,1P ．12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 与1212,,PF PF F F 分别相切于点,,D E H ，则（ ）A ．126PF F S =△ B ．13x C ．1233y = D ．226PD PE ==【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解12PF F S再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论.【详解】椭圆C ：22182x y +=，则22,2,826a b c ===-= 所以()()126,0,6,0F F又()2,1P 所以点P 再椭圆上 连接12,,,,,ID IE IH IP IF IF则121211122PF F p SF F y =⋅=⨯ 故A 不正确由椭圆的定义可得122PF PF a +==又12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 所以内切圆半径I r y = 由于121212PF F IF F IF PIF PSSSS=++()(121212121111122222I I I I I F F y PF y PF y y F F PF PF y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅++=⋅故3I r y === 故C 正确又1122,,PD PE DF F H EF HF ===所以12121212PF PF PD DF PE EF PD F H PE HF PD PE F F +=+++=+++=++=则2PD = 所以PD PE == 故D 正确又2PF == 所以222HF EF PF PE ==-又H I x x = I x = 即1x 故B 正确. 故选：BCD.12．已知函数()()e xf x a x =+ ()()lng x x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当1a =时 函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增C ．当1a =时 若存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立，则实数m 的最小值为0D ．当1a =时 若()()12(0)f x g x t t ==>，则()121ln x x t +⋅的最小值为1e【答案】BC【分析】对A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得 对B 选项：结合导数讨论单调性即可得 对C 选项：结合()f x 单调性 可转化为当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立 求出()1ln x x +最小值即可得 对D 选项：采用同构法可确定12e xx = 再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.【详解】对A 选项：()()()e e 1e x x xf x x a x a +=+'=++若函数()y f x =存在两个极值，则函数()f x '必有两个变号零点令()()1e 0x f x x a =++='，则()1e xa x =-+令()()1e xh x x =-+，则()()2e xh x x +'=-则当2x >-时 ()0h x '< 当<2x -时 ()0h x '> 故()h x 在(),2∞--上单调递增 在()2,∞-+上单调递减故()()()221221e e h x h -≤-=--+=又当1x >-时 ()()1e 0xh x x =-+<恒成立当x →-∞时 ()0h x →故当210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数()f x '有两个变号零点即若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为210,e⎛⎫ ⎪⎝⎭故A 错误对B 选项：当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ ()11ln ln 1x g x x x x x='+=+++ 令()()x g x μ='，则()22111x x x x xμ'-=-= 则当()0,1x ∈时 ()0x μ'< 当()1,x ∞∈+时 ()0x μ'> 故()x μ在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增故()()120g x g '='≥> 故函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故B 正确对C 选项：当1a =时 ()()e 1xf x x =+()()()e e 11e 1x x x f x x x =++=++'令()()m x f x ='，则()()2e xm x x +'=则当<2x -时 ()0m x '< 当2x >-时 ()0m x '> 故()m x 在(),2∞--上单调递减 在()2,∞-+上单调递增故()()2212e 110e f x f -≥-=-+=-'>' 故()f x 在R 上单调递增则存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立等价于存在1x ≥ 使不等式()2ln mx x x x ≥+成立则当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立由当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ 且()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故()11ln10m ≥+= 即实数m 的最小值为0 故C 正确对D 选项：当1a =时 由B C 可知 ()f x ()g x 均为定义域上的增函数 由()00f = ()10g = 故有1>0x 21x >由()()12f x g x =，则()()1122e 11ln xx x x +=+即()()()111122e 1e 1ln e 1ln x x x x x x +=+=+ 故12e xx =又()()111e 10xf x t x ==+> 故()121ln ln x x t t t +⋅=令()ln n x x x =，则()1ln n x x x ='+ 令()()1ln p x n x x x==+'则()22111x p x x x x='-=- 则当()0,1x ∈时 ()0p x '< 当()1,x ∞∈+时 ()0p x '> 故()p x 在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增 即()()10n x n ''≥= 故()n x 在()0,∞+上单调递增 故()n x 无最小值 即()121ln x x t +⋅无最小值 故D 错误. 故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题 其中D 选项中涉及到多变量问题的求解 求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系 将多变量转化为单变量的问题 从而将其转化为函数最值问题的求解. 三 填空题13．()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40-【分析】由二项式定理得到()62x y -的通项公式 结合2xy+得到34,T T 得到42x y 的系数. 【详解】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r r r r r T x y x y --+=-=-令2r =得 ()22424236C 260T x y x y =-= 此时4242602120x y x y ⋅=令3r =得 ()33333346C 2160T x y x y =-=- 此时3342160160xx y x y y-⋅=- 故42x y 的系数为12016040-=- 故答案为：40-14．设数列{}n a 满足12a = 26a = 且2122n n n a a a ++-+= 若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦． 【答案】2020【分析】根据题意 得到()()2112n n n n a a a a +++---= 得到{}1n n a a +-为等差数列 求得其通项公式 结合累加法 得到(1)n a n n =+ 求得2021112021()1n a n n =-+ 再利用裂项求和 求得12202120212021202120212021(2020,2021)2022a a a +++=⨯∈ 即可求解. 【详解】因为2122n n n a a a ++-+= 可得()()2112n n n n a a a a +++---= 又因为12a = 26a = 可得214a a -=所以数列{}1n n a a +-是首项为4 公差为2的等差数列 所以14(1)222n n n a n a +-=+-⨯=+ 当2n ≥时 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)22(1)2222(1)2n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+ 且当1n =时 12a =也成立 所以()1n a n n =+ 所以202111120212021()(1)1n a n n n n =⨯=-++ 所以122021202120212021111112021[(1)()()]22320212022a a a +++=-+-++- 120212021(1)2021(2020,2021)20222022=-=⨯∈所以1220212021202120212020a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.15．已知椭圆 22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点为12,F F ．直线y kx =与椭圆C 相交于,P Q 两点 若112PF QF = 且12π3PFQ ∠= ，则椭圆C 的离心率为． 【分析】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形 再根据椭圆的定义求出12,PF PF 再在12PF F △中 利用余弦定理求出,a c 的关系即可得解.【详解】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形，则21PF QF =由12π3PFQ ∠= 得12π3F PF ∠= 因为112PF QF = 所以122PF PF = 又122PF PF a += 所以1242,33a aPF PF == 在12PF F △中 由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠ 即2222164421442993323a a a a ac =+-⨯⨯⨯=所以c a =即椭圆的离心率c e a ==16．已知A M N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则·AM AN 的取值范围是 ． 【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据正方体的性质可得·3cos ,a AM AN AM AN =≤结合夹角的定义可得3a ≤ 可得其最大值 根据数量积的运算可知24≥-MN a 可得其最小值.【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度d 则,AM AN d ≤ 故·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 而[]cos ,1,1AM AN ∈- 故3a ≤如图建立空间直角坐标系 取()0,0,0A ,M N 重合为()1,1,1时 则()()1,1,11,1,13a =⋅= 取得最大值3由对称性 设A 在下底面 (),,AM x y z = (),,AN a b c =由A 在下底面知0,0,0z c zc ≥≥≥ 当且仅当,M N 也在下底面时取等 此时,,A M N 共面时 设MN 中点为E ，则EM EN =-()()()()()2222··4MN a AM AN AE EM AE EN AE EN EN==++=-≥-=-当且仅当,A E 重合时取等又因为2MN ≤ 可得2142-≥-≥a MN 例如11,,022A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()()1,0,0,0,1,0M N ，则11111·,,0,,022222a AM AN ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以·AM AN 的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.四 解答题（共70分）17．（本题10分）如图 在ABC 中 6AB AC == 点D 是边BC 上一点且,cos AD AB CAD ∠⊥=2AE EB =(1)求BCE 的面积 (2)求线段AD 的长. 【答案】(1)(2)=AD【分析】（1）根据13BCE ABC S S =△△求解即可（2）解法1：在ABC 中根据余弦定理求出BC 结合等腰三角形的性质求cos B 在ABD △中勾股定理求AD 即可 解法2：由A BCABDACDSSS=+求得AD .【详解】（1）12,3BCEABCAE EB SS =∴=而11πsin 66sin 222ABCSAB AC BAC CAD ⎛⎫=⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠+ ⎪⎝⎭ 18cos 18CAD =∠== 1423BCEABCSS ∴==（2）解法1：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠= π1cos cos sin 23CAB CAD CAD ⎛⎫∴∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭在ABC 中 22212cos 3636266963BC AB AC AB AC CAB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BC ∴=∴在等腰ABC 中12cos BCB BA ==∴Rt ABD △中6cos ,BA BBD BD BD===∴=AD ∴==解法2：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠== 由A BCABDACDSSS=+得1166sin 22AD AD CAD =⨯⨯+⨯⨯⋅∠,即()11166223AD AD =⨯⋅+⋅⋅⋅解得=AD18．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 11a = 且满足()()11112n n n S nS n n ++=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式(2)设()23cos πn a n n b a n =+⋅ 求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)n a n =(2)()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得()12n n n S +=结合1n n n a S S -=-即可求解（2）由（1）知()()213nnn b n =-+- 利用分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）根据题意 ()()11112n n n S nS n n ++=-+ 所以1112n n S S n n +-=+由于1111S a ==，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1 公差为12的等差数列所以()111122n S n n n +=+-⨯= 所以()12n n n S += 当2n ≥时 1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=. 验证1n =时11a =满足通项公式 故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）由（1）知()()()223cos π13n n na n nb a n n =+⋅=-+-.设()21nn -的前n 项和为n A ，则当n 为偶数时 ()22222212341n A n n =-+-+-⋅⋅⋅--+()()()()()()2121434311n n n n ⎡⎤⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()1123412n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+=. 当n 为奇数时 ()()2211122n n n n n n A A n n --+=-=-=-设()3n-的前n 项和为n B ，则()()()131333134nn nB +⎡⎤-⋅-----⎣⎦==+. 因为=+n n n T A B 所以()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数 19．（本题12分）如图 在四棱锥P ABCD -中 PAD 为等边三角形 AD CD ⊥ //AD BC 且22AD BC ==CD =PB = E 为AD 中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD(2)若线段PC 上存在点Q 使得二面角Q BE C --的大小为60︒ 求CQCP的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)12【分析】（1）首先连接PE 根据线面垂直的判定定理证明PE ⊥平面ABCD 再利用面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD . （2）设()01CQ CP λλ=≤≤,再利用向量法求二面角Q BE C --的平面角 再列方程得到12λ= 即得CQCP 的值．【详解】（1）证明：连接PEPAD 是边长为2的等边三角形 E 是AD 的中点PE AD ⊥∴PE =//DE BC DE BC = AD CD ⊥ ∴四边形BCDE 是矩形BE CD ∴==222PE BE PB ∴+= PE BE ∴⊥又AD BE E = AD BE ⊂平面ABCDPE ∴⊥平面ABCD又PE ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以E 为原点 以EA EB EP 为坐标轴建立空间直角坐标系 如图所示：则(00P()C -()0B ()0,0,0E ()0EB ∴=， ()100BC =-，，(1CP = 设()01CQCPλλ=≤≤则()1BQ BC CQ BC CP λλ=+=+=- 设平面QBE 的法向量为(),,m x y z =则00m EB m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()010x y z λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，令1z = 得()301m λλ=-，，又PE ⊥平面ABCD()001n ∴=，，为平面BEC 的一个法向量cos 3m n m n m nλ⋅∴==，二面角Q BE C --的大小为60︒12= 解得12λ=． 12CQ CP ∴=． 20．（本题12分）2023年秋末冬初 呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒 人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动 现从中抽取200名学生 记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图 根据图形 请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩 求5人中成绩低于50分的人数 (2)以样本估计总体 利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生入围第二轮的复赛 请根据图中信息 估计入围复赛的成绩（记为K ）. 【答案】(1)2人 (2)71 (3)88K ≥【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可 （2）利用平均数公式求解即可（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈，则()900.0250.050.1K -⨯+= 求出K 的值即可. 【详解】（1）成绩在[)40,50的人数为0.011020020⨯⨯=（人） 成绩在[)50,60的人数为0.0151020030⨯⨯=（人） 则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人成绩低于50分的人数为20522030⨯=+（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人（2）由()0.010.0150.0150.0250.005101a +++++⨯= 得0.030a = 则平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为71分（3）根据频率分布直方图可知：[]90,100的频率为0.005100.05⨯= [)80,90的频率为0.025100.25⨯=所以入围复赛的成绩一定在[)80,90可知入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈则()900.0250.050.1K -⨯+= 解得88K =故估计入围复赛的成绩为88K ≥分.21．（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 斜率为2的直线l 与x 轴交于点M l 与C 交于A B 两点 D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时 ABD △面积为169． (1)求C 的方程(2)当M 异于O 点时 记直线BD 与y 轴交于点N 求OMN 周长的最小值．【答案】(1)22142x y += (2)2【分析】（1）设出各点坐标 表示出面积后 结合面积与离心率计算即可得（2）要求OMN 的周长，则需把各边长一一算出 即需把M x N y 算出 设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理 借助韦达定理表示出M x N y 可得OMN 各边边长 结合基本不等式即可求得最值.【详解】（1）当M 与原点O 重合时 可设()00,A x y ，则有()00,B x y -- ()00,D x y -且002y x = 即有AD BD ⊥, 则()()00001116229ABD S AD BD x x y y =⋅=++=即201649x = 又00x > 故023x =，则043y = 即有22416199a b +=即c a =则22222a c b c ==+ 故222a b = 即有224161189b b += 解得22b = 故24a = 即C 的方程为22142x y +=（2）设直线l 方程为2y x t =+ 令0y = 有2t x =- 即2M t x =- 设点()11,A x y ()22,B x y ，则()11,D x y - 联立直线与椭圆方程：222142y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 有2298240x tx t ++-= ()222Δ64362414480t t t =--=->即t -<有1289t x x -+= 212249t x x -= BD l 为()122212y y y x x y x x -=-+-- 令0x = 故21222122122221122121212N x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x x x x -+-+++=+==--++ 由2y x t =+ 故()()2112211212121212224x x t x x t x y x y x x t x x x x x x ++++==++++ 其中2121224198429t x x t t x x t -==-+-+ 即12442N t y t t t ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则22OMN N M t C y x t =+=+2≥=当且仅当2t =±时等号成立故OMN周长的最小值为2+【点睛】本题考查了椭圆的方程 在求解直线与椭圆的位置关系问题时 常用方法是设而不求 借助韦达定理等手段 将多变量问题转变为单变量问题 再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.22．（本题12分）已知函数21()ln 2f x x x ax =+-． (1)当12a =时 求在曲线()y f x =上的点(1,(1))f 处的切线方程 (2)讨论函数()f x 的单调性(3)若()f x 有两个极值点1x 2x 证明：()()121222f x f x a x x -<--． 【答案】(1)3230x y --=(2)详见解析(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出（2）求出导函数()1(0)f x x a x x '=+-> 在定义域()0,∞+内分类讨论解含参不等式即可求出 （3）由题意得2a > 12x x a += 121=x x 而()()1212f x f x x x --1212ln ln 12x x a x x -=-- 只需证明1212ln ln 2x x x x -<- 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭ 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立即可． 【详解】（1）由题可知 当12a =时 211()ln 22f x x x x =+- ()112f x x x ∴=+-' ∴(1)0f = 3(1)2f '= ∴切点为(1,0) 切线的斜率为32 ∴切线方程为：30(1)2y x -=- 即3230x y --=（2）对函数()f x 求导可得 ()1(0)f x x a x x '=+->． 当2a ≤时 ()120f x x a a x=+-≥-≥'．则()f x 在(0,)+∞上单调递增． 当2a >时 ()2110x ax f x x a x x -+=+-=='．则1x =2x = 令()0f x '>，则10x x << 或2x x >．()0f x '<，则12x x x <<综上：当2a ≤时 ()f x 在(0,)+∞上单调递增当2a >时 ()f x在⎛ ⎝⎭和∞⎫+⎪⎪⎝⎭上单调递增 ()f x在⎝⎭上单调递减． （3）()f x 有两个极值1x 2x1x ∴ 2x 是方程210x ax -+=的两个不等实根则2a > 12x x a += 121=x x()()2211122212121211ln ln 22x x ax x x ax f x f x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-⎝⎭=-- ()()()121212*********ln ln ln ln 122x x x x x x a x x x x a a x x x x -+-+---==+--- 1212ln ln 12x x a x x -=--． 要证：()()121222f x f x a x x -<--．即证：1212ln ln 2x x x x -<-． 不妨设1210x x >>> 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭． 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立． 令1()ln f x x x x =-+ (1)x >．则()22211110x x f x x x x -+=--=-<'． 从而()f x 在(1,)+∞上单调递减 故()(1)0f x f <=．所以()()121222f x f x a x x -<--．【点睛】本题考查了切线方程问题考查函数的单调性问题考查导数的应用以及分类讨论思想训练了构造函数法证明不等式的成立属难题.。
高等数学第二学期期中考试试卷及答案(优选.)
卷号：（A ） （ 年 月 日） 机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在 该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ； （B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ； （C ）．10101zy x =-=+； （D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a 且,),(3π=∠b a则_______)()(=+⋅-b a b a 32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。
(高等数学二)期中考试卷(模板)
一、 单选题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求。
1．设向量,34,2a k j i b k j i λ+-=+-= 那么当=λ 时，a 与b 垂直。
下列选项中正确的是（ D ）A .-5 B. -10C .11D . -112．方程1412131222=++z y x 所表示的曲面是（ B ） A . 平面 B .椭圆 C .球面 D . 圆环3. 函数y x y z ++-=63)ln(2的定义域为（ A ）A.()∞+，0 B. )(0，∞- C.)(06，- D. )(∞+-，6 4. 设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x f x )1(12（ D ） A. )1(x F B. )1(xF - C. C x F +)1( D. C xF +-)1( 《高等数学二》·第 1 页·共 6 页5. 考虑多元函数)y (，x f 有下列四条性质正确的是（ D ）(1))y (，x f 在],[b a 连续 (3))y (，x f 在],[b a 可积(2))y (，x f 在],[b a 可导 (4))y (，x f 在],[b a 存在原函数 若用“Q P ⇒”表示可由性质P 推出性质Q,则A. )4()2()1(⇒⇒B. )2()4()1(⇒⇒C. )2()1()3(⇒⇒D. )1()4()3(⇒⇒ 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)不写解答过程，请将正确答案写在每小题的空格内。
错填或不填均无分。
1. 积分()()xdy x x d 93211--⎰⎰- . 2．曲线32,,t z t y t x ===在点()111，，的法平面为 . 3. 函数22z x xy +=在点（2,3）处的全微分=dz . 4.直线L ：458633-=-+=--z y x 与平面1334=--z y x 的位置关系是 .5. 过点()121-，，M 且平行于向量()1,1,2-=S 的直线的对称式方程为 .三．计算题：(本大题共6小题，每小题8分，共48分。
《高等数学II》期中考试试卷
2017-2018第二学期《高等数学II 》期中考试试卷一、 填空题1、 二元函数f (x,y )=√4x−y 2ln(1−x 2−y 2)的定义域是__________________2、 设f (x,y )=ln(x −√x 2−y 2),(x >0,y >0),则f (x +y,x −y )=__________________________ 3、 limx→0y→01−cos√x 2+y 2(x 2+y 2)e x 2+2y 2=___________________________ 4、 设z =y x,则∂2z∂xðy=___________________________________5、 设ln√x 2+y 2=arctan y x,则dy dx=__________________6、 设z =f(x +y +z,xyz),其中函数f(u,v)有一阶连续偏导数，则∂z ∂x=_____________________7、 曲线{z =√x 2+y 2x 2+y 2+z 2=4在xoy 面的投影方程为_______________ 8、 已知球面经过(0,−3,1)且与xoy 面交成圆周{x 2+y 2=16z =0,则此球面方程为________________________9、 已知空间曲线的方程为{z =√1−x 2−y 2(x −12)2+y 2=14,则其在xoy 面的投影曲线方程为_____________________________10、 曲面z =4−12(x 2+y 2)与平面z =2所围成立体的体积为_______________________ 11、极坐标下的二次积分∫dθ∫f (rcosθ,rsinθ)rdr 1π20转化为直角坐标系下的二次积分是___________________________12、 求积分∫dx ∫e −y2dy 2x20=________________________13、 计算二重积分∬(2−√x 2+y 2)dσD,其中D:x 2+y 2≤4.则其值等于_________________________14、 设闭区域D:x 2+y 2≤y,x ≥0.f(x,y)为D 上的连续函数，且f (x,y )=√1−x 2−y 2−8π∬f(u,v)dudv D ,则f (x,y )等于_________________________15、 设 z =f (2x −y,ysinx ),其中f(u,v)有二阶连续偏导数，则ð2z ðxðy=___________________________16、 设区域D 由y =x 2,y 2=x 所围成，将二重积分∬f (x,y )dσD化为累次积分_________17、 设z =f (x,y )连续且满足limx→0y→1√x 2+(y−1)2=0,则dz|(0,1)=____________________18、 设z =z(x,y)由方程(z +y)x =xy 确定，则dz |(1,2)=_________ 19、 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，并设∫f (x )dx =A 1,则∫dx ∫f (x )f (y )dy =1x10____________________20、 当x >0,y >0,z >0时，求函数u =lnx +2lny +3lnz 在球面x 2+y 2+z 2=6r 2上的最大值为________________________ 二、 计算题1、 求表面积为2a 2而体积最大的立方体的体积。
高二级数学科第二学期期中考试(理)试卷
高二级数学科第二学期期中测试〔理〕试卷测试时间：120分钟 总分值：150分 命题教师：ZXL参考公式22221123(1)(21)6n n n n ++++=++一. 选择题(每题5分,共40分,每题答案唯一) 1.在复平面内,复数ii-1对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 2.函数3231x x y -=的递增区间是( ) (A) ),2(+∞ (B) )2,(-∞ (C) )0,(-∞ (D) )2,0(3.假设443322104)1(x a x a x a x a a x ++++=+,那么4321a a a a +++的值为( )(A) 0 (B) 15 (C) 16 (D) 174.异面直线1l 、2l ,1l 上有5个不同点,2l 上有4个不同点,这9个点一共可组成直线的条数为〔 〕(A) 9 (B) 10 (C) 20 (D) 225．用数学归纳法证实),12(312)()2)(1(-⋅⋅=+++n n n n n n从“k 到k+1”左端需增乘的代数式是〔 〕(A)12+k (B) )12(2+k (C)112++k k (D) 132++k k 6．有4名男生3名女生排成一排,假设3名女生中有2名站在一起,但3名女生不能全排在一起,那么不同的排法种数有〔 〕(A) 2880 (B)3080 (C)3200 (D) 36007．12名同学分别到三个企业进行社会调查,假设每个企业4人,那么不同的分配方案共有〔 〕种.(A) 4448412C C C (B) 44484123C C C(C) 3348412A C C(D) 334448412A C C C 8．),1()!1(,111≥+=-=+n n a a a n n 假设当n m ≥时,m a 的值都能被9整除.那么n 的最小值为( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 二.填空题(每题5分,共30分)9.实数y x ,满足,2)1()1(=++-y i x i 那么.________=xy 10.利用定积分的几何意义,求.______________4220=-⎰dx x11.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的三位数,其中能被3整除的有_______个(用数字作答). 12.某餐厅供给客饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种,现在餐厅准备了五种不同的荤菜.假设要保证每位顾客有200种以上不同选择,那么餐厅至少还需要准备不同的素菜品种数为__________.13.如下图,椭圆中央在坐标原点,F 为左焦点,当F B ⊥AB 时,其离心率为,215-此类椭圆被称为“黄金椭圆〞, 类比“黄金椭圆〞可推算出“黄金双曲线〞的离心率e 等于____________.14.如图,有一列曲线10210,,,,+k P P P k 进行如下操作得到:将k P 的每条边三等份,以每边中间局部的线段为边,向外作等边三角形,再将中间局部的线段去掉(k=0,1,2,…).那么1P 边数为________,2P 边数为________.由此,推测出n P 的边数为_______. 三.解做题:此题共6小题,80分,解容许写出文字说明,证实过程或演算过程. 15.(总分值12分)n xx )2(+的展开式前3项二项式系数的和为37.(1)求n 的值. (2)这个展开式中是否有常数项?假设有,将它求出,假设没有,请说明理由. 16. (总分值14分)(1)计算由曲线24x x y -=与x 轴围成的封闭区域的面积S.(2)如图,假设抛物线)0(2>=a ax y 将(1)中的区域分成两局部,面积分别为21,S S ,且S S 411=,求a 的值.17.(总分值12分)在△ABC 中,,90D AB C ACB 上的射影为在点=∠且b AC =,a CB =,那么222111ba CD +=;拓展到空间,如右图,三棱锥ABC S -的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直,在平面，点、、S c SCb SB a SA ===ABC 上的射影为O.运用类比猜测,对于上述的三棱锥ABC S -存在什么类似的结论,并加以证实. 18.(总分值14分)对于任意正整数n ,比拟12-n 与2)1(+n 的大小,并用数学归纳法证实你的结论.19. (总分值14分)抛物线221x y =焦点为F,分别与抛物线切于点A 、B 的两切线1l 、2l 互相垂直, 〔1〕求证：A 、F 、B 三点共线;〔2〕过A 、B 两点的直线为l ,点M 在l 上,假设l OM ⊥〔O 为坐标原点〕,求点M 的轨迹方程.20．(总分值14分) 设不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-≤≥≥nx y y x 304所表示的平面区域为n D ,记n D 内的整点个数为n a )2,(*≥∈n N n ,〔整点即横坐标和纵坐标均为整数的点〕.〔1〕求2a 、3a ；〔2〕猜测)2(≥n a n 的通项公式〔不需证实〕； 〔3〕记n n a a a a S ++++= 432；12)1()(+-=n nS n S n g , 假设,670223)()3()2(=+++n g g g 求n 的值.A DCBbaCASOBb ca高二年级数学科做题卷测试时间:120分钟 总分值:150分 命题教师:ZXL一. 选择题(每题5分,共40分)二.填空题(每题5分,共30分)9.______________________; 10._______________________;11._______________________; 12.________________________.13.________________; 14._________ __________ _____________.三.解做题(此题共6小题,80分,解容许写出文字说明,证实过程或演算过程.) 15.(12分) 16.(总分值14分)17.(总分值12分)18.(14分) ADC BbaCASOBbca19. (14分)20. (14分)湛江一中2022—2022学年度第二学期期中测试高二年级数学〔理〕科参考答案一. 选择题(每题5分,共40分)二.填空题(每题5分,共30分)9. 1; 10. ;11. 36; 12. 7.13.215+; 14. 43⨯ 243⨯ n43• 三.解做题(此题共6小题,80分,解容许写出文字说明,证实过程或演算过程.)15.(12分)37:)1(:210=++n n n C C C 依题意得解8=n ………………………6分r rrr xC T 238812)2(-+= Z r r ∉==-3160238得令 于是不存在常数项. ………………………6分16.(总分值14分)(1)令042=-x x ,得4,0==x x332|)32()4(4032402=-=-=∴⎰x x dx x x S(2) 由224ax x x =-,得14,0+==a x x )3)1(2()4(324221+-=--=∴⎰xa x dx ax x x S ∴1=a ………………………14分17.(总分值12分)猜测:22221111cb a SO ++= ………………………4分 后面的证实8分 18.(14分)21)1(2,71+<<≤-n n n 时当21)1(2,7+==-n n n 时当21)1(2,8+>≥-n n n 时当 ………………………4分后面的证10分 19. (14分)解:(1)1'1222111|),2,(),2,(x y k x x B x x A x x ===则设 2'22|x y k x x ===B CAS Ob ca1,2121-=∴⊥x x l l ………………………3分21221++=x x x y AB 所在直线方程为 .),21,0(的方程的坐标适合点又AB F F三点共线。
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2005级高等数学（下）期中考试卷一．选择题（每小题3分，满分12分）1．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处具有偏导数()()0000,,,x y f x y f x y '' 是函数在该点存在全微分的 。
A.充要条件B. 必要条件C. 充分条件D. 既不充分也不必要 2．方程222240x y z -+=表示的曲面是 。
A.单叶双曲面B.双 叶双曲面C.椭圆抛物面D. 锥面3.椭球面222316x y z ++=上点（1,2,3--）处切平面与平面1z =的夹角为 。
A.4π 7..arccos16B C D 4．更换积分次序 ()()12201,,xx dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰=A.()120,yy dy f x y dx -⎰⎰B.()220,yydy f x y dx -⎰⎰C.()10,ydy f x y dx ⎰⎰ +()221,ydy f x y dx -⎰⎰. D.()1201,ydy f x y dx -⎰⎰二．填空题：（每小题4分，满分24分）1．设，向量,a b满足{}3,1,1,1,a b a b =⨯=- 则 a与b的夹角ϕ= 。
2．函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处梯度Mgradu= 。
3．函数222z x xy y x y =-+-+在（1，0）点取得极 值。
4．旋转曲面2z =是由曲线 绕 z 轴旋转一周而得。
5．积分111I dx fdz --=⎰⎰⎰ 在球面坐标系下的三次积分表达式为 。
6．由方程xyz +=(,)z f x y =在点（1，0，1-）处全微分dz = 。
三．（8分） 设函数2,,y z x f xy f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂。
四．（8分）求函数22xyzu ex y =++在点（1，1，1）处沿曲线23,21,x t y t z t ==-=在点（1，1，1）处切线方向的方向导数 。
五．（10分） 设 直线l 过点M （1，1，1）且与直线1:23y zl x == 相交，又与直线 213:224x z l y --=-=垂直，求直线l 的方程。
六．（6分） 求由曲线2332100x y z ⎧-=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点)1-处的切面方程。
七．计算下列积分（每小题5分，满分10分） 1．cos ,Dydxdy y ⎰⎰其中D由曲线y 及直线y x =围成区域 2．2,y dv Ω⎰⎰⎰其中Ω为曲面2222x y z y ++≤八．（8分） 求平面1345x y z++=和曲面221x y +=的交线上与xoy 平面的距离最短的点的坐标。
九．（8分）求由抛物面222x y z +=与平面1,2z z == 所围成的密度均匀()1μ=的立体对 z 轴的转动惯量十．（6分）设()f x 连续，证明 ()()2221211()1x y z f x dxdydz f x x dx π-++≤=-⎰⎰⎰⎰2005年高等数学（下）期中考试卷答案一．1．B 2.D 3.B 4.A二. 1.6π2.()2229l j k +- 3.极小值 4。
20z y x =-⎧⎨=⎩或20z x y =-⎧⎨=⎩5．1222cos 304sin ()d d f r r dr ππϕπϕϕϕ-⎰⎰⎰6。
dx三．2122zxf x yf yf x∂=+-∂ 2221211112221221112z x xf f x f x y xf f f y xf f x y x x x ∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭=231211223yx f f x yf f x++-四．点（1，1，1）对应参数1t =，切线方向向量{}1,4,3cos cos cos l αβγ===()()(1,11)(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)cos cos cos 2cos 2cos cos 10)xyz xyz xyzuu u u lxyze yz x e xz y e xy e αβγαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂⎡⎤=++++⎣⎦=++=+五．设L 的方向向量为{}1,,,s m n p L = 过点0（0，0，0）则{}01,1,1M =则1L 的方向向量 {}11,2,3s = 与 ,0s M 共面，从而 1(0)20s M s m n p ∙⨯=-+= 又2L L ⊥从而{}{},,2,1,4240m n p m n p =+++ 解：2092,240,55m n p m p n p m n p -+=⎧=-=⎨++=⎩ 由此::9:2:(5)m n p =-∴所求直线L方程为111925x y z ---==- 六．解：旋转曲面方程为()2233210x z y +-=， 令(){){}23221,,323106,6,66,6F x y z x y z n x y z -=-+-=-=--∴过点)1-(1)(1)030x y z y z ---+=---=七．解： 1。
211112000cos cos ()cos cos 1cos1yy y y I dy dx y y dy ydy y ydy y y ==-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 2．2sin sin 22234208(sin sin )sin sin sin 5I d d d d d d ππϕθρϕθρϕρϕθθθϕϕρρπΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰或 ()2222222202825x z y y I y dydxdz y y y dy ππ+≤-==-=⎰⎰⎰⎰ 八． 平面1,5(1)34534x y z x y z ++=∴=--设()22(,)5(1)134x yF x y x y λ=--++- 由52035204x y F x F y λλ⎧'=-=⎪⎪⎨⎪'=-=⎪⎩ 得55,68x y λλ==上式代入2212410,,25x y λ+-==±从而12433585,,,551212x y z z =±=±∴==所求点为4335,,5512⎛⎫ ⎪⎝⎭九．()2222222233122231422223r z I x y dv d dr dz d dr dzr dr ππθθπππΩ=+=+⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰十．证：()()()222112211111()(1)(1)x y z y z xf x dxdydz f x dxdydz f x x dx f x x dxππ---++≤+≤-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2007年高数II 期中试题一．是非题（对划“√”，错划“⨯”）（每空2分，共20分） 1-5题的c b a ,,都为向量。
1.若)0(≠⋅=⋅c c b c a ，则b a =（ ）；2.若)0(≠⨯=⨯c c b c a ，则b a =（ ）；3.若0=⋅b a ，则0=a 或0=b （ ）；4.若0=⨯b a ，则0=a 或0=b （ ）；5.若a b b a -=⨯，则b a =（ ）；6.若),(0y x f 在0x x =处连续，),(0y x f 在0y y =处连续，则),(y x f 在),(00y x 处连续（ ）；7.)(),(x g x f 在R 上连续，则⎰⎰⎰⎰⋅=dcb aDdx x g dx x f dxdy y g x f )()()()(，其中D 是矩形区域：],[],[d c b a ⨯，dc b a ,,,为常数（ ）；8.方向导数是一个数量，梯度是一个向量（ ）；9.若f 在有界闭区域D上连续，则⎰⎰⎰⎰≤DDd y x f d y x f σσ|),(|),(（ ）；10.⎰⎰⎰>-=yaaa dx x f x a dx x f dy 0)0()()()(（ ）。
二、（8分）已知：13||=a ，19||=b ，24||=+b a ，求||b a -。
三、（8分）已知具有二阶连续导函数的函数f 在点（1，1）的偏导数为2)1,1(1=f ，1)1,1(2=f ，1)1,1(12=f ，2)1,1(11=f ，3)1,1(22=f ，求),(y x f x z =在（1，1）的二阶偏导数)1,1(2|yx z ∂∂∂。
四、 (8分)计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中Ω由1,0,0,0=++===z y x z y x 所围的第一卦限部分。
五、（8分）过直线⎩⎨⎧=-+=-+0272210z y x z y x 作曲面273222=-+z y x 的切平面，求此切平面的方程。
六、（8分）求)tan(ln xyz =的全微分七、（10分）计算下列二次积分1.⎰⎰211yydx xydy . 2. ⎰⎰-10122x y dy e dx x .八、（10分）计算下列二重积分⎰⎰-Dd y x σ||，D 是由1,1,0,0====x y y x 所围成的闭区域；九、（10分）计算下列三重积分⎰⎰⎰Ω+dv y x z22，其中Ω是圆柱面22x x y -=及平面0,0==z y ，和1=z 围成的空间闭区域。
十、（10分）设函数)(x f 连续，且a f =)0(，若⎰⎰⎰Ω+++=dv z y x f z t F )]([)(222，其中,:22222y x t z y x --≤≤+Ω求30)(limtt F t →。
答案一、 是非题（对划“√”，错划“⨯”） 1-5题的c b a ,,都为向量。
1. ⨯；2. ⨯；3. ⨯；4. ⨯；5. √；6. ⨯；7. √；8. √；9. √；10. √。
二、222||2||||b b a a b a +⋅+=+，222||2||||b b a a b a +⋅-=-，相加得2222||)|||(|2||b a b a b a +-+=-，代入得，22||=-b a 。
三、),(2y x xf y z =∂∂，),(),()),((21222y x xf y x f y x xf xy x z +=∂∂=∂∂∂ 2)1,1()1,1(|212)1,1(2=+=∂∂∂f f yx z四、⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω---=xyx dz dy xdx xdxdydz 10101=⎰+-1032)2(21dx x x x =241 五、过直线的平面束方程：0)(272210=-++--+z y x z y x λ，即：027)2()2()10(=-+-+++z y x λλλ （2 分）设切点为：),,(000z y x ，则有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+-+++=-+---=+=+027)2()2()10(2732222610000202020000z y x z y x zy x λλλλλλ，（3分）解得：1,1,3,1000===-=z y x λ或17,17,3,19000-=-=-=-=z y x λ，（2分） 所以平面方程为：0279=--+z y x 或02717179=-+--z y x 。