高数C期中试卷答案

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山东省济宁市邹城市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题+答案解析(附后)

山东省济宁市邹城市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知椭圆，则其离心率( )A. B. C. D.2.已知，向量，，若，则实数x的值等于( )A. B. 1 C. D. 23.若点在圆的内部，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.4.若P，Q分别为直线与直线上任意一点，则的最小值为( )A. B. C. D.5.过点的直线l与圆相切，则直线l的方程是( )A.或 B.C.或 D.6.如图所示，在大小为的二面角中，四边形ABFE和四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )A. 2B.C.D.7.在正方体中，与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.8.已知椭圆E：，其右焦点为，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为，则E的方程为A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法中，正确的有( )A. 直线必过定点B. 直线在y轴上的截距为C. 直线的倾斜角为D. 点到直线的距离为710.给出下列命题，其中正确的是( )A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是C. 若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线D. 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为若，则11.已知圆和圆相交于A，B两点，下列说法正确的是( )A. 圆M圆心坐标为B. 两圆有两条公切线C.直线AB的方程为D. 若点E圆O上，点F在圆M上，则12.如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，侧面PAD是边长为的正三角形，底面ABCD为矩形，且，点Q是PD的中点，则下列结论描述正确的是( )A. 平面PADB. B，Q两点间的距离等于C. DC与平面AQC所成的角为D. 三棱锥的体积为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省常州市高二下学期期中数学试题(解析版)

一、单选题1．已知，则（） 35C =C n n 2A =n A ．28B ．30C ．56D ．72【答案】C【分析】由组合数性质求出，再用排列数公式求值. n 【详解】因为，35C =C n n 所以由组合数性质得，，358n =+=所以.2286A A 875n ===⨯故选：C.2．如图所示的一圆形花圃，拟在A ，B ，C ，D 区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（）A ．12B ．18C ．24D ．30【答案】B【分析】先对A 区域种植，再对B 区域种植，最后分两类：D 块与块相同、D 块与块不相同，B B 对C 、D 区域种植，根据计数原理即可求解. 【详解】根据题意，分3步进行分析：(1)对于块，可以在3种不同的花中任选1种，有种情况； A 3(2)对于块，可以在剩下的2种不同的花中任选1种，有种情况； B 2(3)对于C 、D 块，分2种情况：若D 块与块相同，则C 块可以在其余的2种不同的花中任选1种，有种情况， B 2若D 块与块不相同，则块有1种情况，块有1种情况，此时C 、D 有1种情况， B C D 则C 、D 共有种情况；213+=综合可得：一共有种不同的种法. 32318⨯⨯=故选：B3．某乳业公司新推出了一款儿童酸奶，其包装有袋装､杯装､瓶装.现有甲､乙两名学生欲从这3种包装中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响.在甲学生选杯装酸奶的前提下，两人选的包装不同的概率为（）A ．B ．C ．D ．16122334【答案】C【分析】利用条件概率进行求解即可.【详解】记事件C 为“甲同学选杯装酸奶”，则，记事件D 为“两人选的包装不同”，则事()13P C =件CD 为“甲同学选杯装酸奶，乙同学选袋装酸奶或瓶装酸奶”，所以，所以. ()122339P CD =⨯=()P D C =()()23P CD P C =故选：C.4．已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，ABCD P ABCD PA ⊥ABCD M N ，12PM PC =．若，则（）23PN PD = MN x AB y AD z AP =++x y z ++=A ．B ．C ．D ．－112-1256-【答案】A【分析】利用空间向量基本定理表示出，即可求解.MN【详解】在矩形中，,所以.ABCD AC AB AD =+ PC PA AC PA AB AD AP AB AD =+=++=-++因为，所以. 12PM PC = ()12PM AP AB AD =-++因为,，所以.PD AD AP =- 23PN PD =()23PN AD AP =- 所以.()()2111132266MN PN PM AD AP AP AB AD AB AP AD =-=---++=--+所以，所以.111,,266x y z =-=-=11112662x y z ⎛⎫⎛⎫++=-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A5．北郊高中合唱节中，甲、乙、丙、丁名志愿者被安排到，，三个岗位，每个岗位至少4A B C 安排名志愿者，甲不能安排在岗位，则不同的分配方案种数为（） 1A A ．B ．C ．D ．12142428【答案】C【分析】分为甲独自一人安排一个岗位和甲与另一人安排同一岗位两类进行计算即可.【详解】名志愿者被安排到三个岗位，每个岗位至少安排名志愿者，则有名志愿者被安排到412同一岗位，另外名志愿者分别被安排到其他岗位，2则甲不能安排在岗位，分为甲独自一人安排一个岗位和甲与另一人安排同一岗位两类， A 第一类，甲独自一人安排一个岗位，第步，为甲安排一个除之外的岗位，有种方法，1A 12C 第步，乙、丙、丁人中，选出人，在剩余的个岗位中，安排到同一岗位，有种方法， 23222132C C 第步，乙、丙、丁中未被选出的人安排到剩余的个岗位，有种方法，3111则甲独自一人安排一个岗位有种方法；121232C C C 23212=⨯⨯=第二类，甲与另一人安排到同一岗位，第步，乙、丙、丁人中，选出人，与甲共同安排到除之外的同一岗位，有种方法， 131A 1132C C 第步，乙、丙、丁中未被选出的人，安排到剩余的个岗位，有种方法，22222A 则甲与另一人安排到同一岗位有种方法，112322C C A 32212=⨯⨯=∴甲不能安排在岗位，则不同的分配方案有种. A 121224+=故选：C.6．某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性（都没有被感染）则只要检验1次，如果检验结果为阳性（至少有1人被感染），就要再全部进行单管检验．设10名人员都未被感染的概率为p ，若对这10名人员采用10合一混管检验，总检验次数为，则的充要条件是（） ξ()10E ξ<A ． B ．C ．D ．0.011p <≤0.021p <≤0.11p <≤0.21p <≤【答案】C【分析】由题意求出分布列，得到，解不等式即可得到答案. ()E ξ【详解】由题意可得：的可能取值为：1，11. ξ所以，. ()1P p ξ==()111P p ξ==-所以.()()11111110E p p p ξ=⨯+⨯-=-.()101110100.1E p p ξ<⇔-<⇔>而所以. 1p ≤0.11p <≤故选：C7．已知定义在上的偶函数的导函数为，若，且当时，()(),00,∞-+∞U ()f x ()'f x ()10f -=0x >有，则使得成立的x 的取值范围是（） ()()20f x x xf '+>()0xf x <A ． B ． C ． D ．()(),11,-∞-⋃+∞()()1,01,-⋃+∞()()1,00,1-U ()(),10,1-∞-⋃【答案】D【分析】由题意构造函数，利用导数判断出的单调性和零点，把不等式()()2g x x f x =()g x 化为，即可求解. ()0xf x <()0g x x<【详解】因为当时，有，所以，所以.0x >()()20f x x xf '+>()()220xf x x f x '+>()()20x f x '>令，则在上单调递增.()()2g x x f x =()g x ()0,∞+因为为定义在上的偶函数，所以.()f x ()(),00,∞-+∞U ()f x ()()f x f x -=所以，所以为上的偶函数，图像关于y()()()()()22g x x f x x f x g x -=--==()g x ()(),00,∞-+∞U 轴对称.因为，所以，所以()10f -=()()()21110g f -=--=()()110g g =-=所以在上单调递减，经过点；在上单调递增，经过点. ()g x (),0∞-()1,0-()g x ()0,∞+()1,0作出符合题意的的一个图像如图所示：()g x不等式可化为， ()0xf x <()0g x x<所以或 ()00x g x <⎧⎨>⎩()0x g x >⎧⎨<⎩解得：或. 1x <-01x <<故选：D8．如图，在某城市中，M ，N 两地之间有整齐的正方形格状道路网（其中虚线部分因施工暂时不通）．今有甲、乙两人，其中甲在M 处，乙在N 处，他们分别随机选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，同时到达N ，M 处，则在此过程中，甲、乙两人在A 处相遇的概率为（）A ．B ．C ．D ．6412253612256462536625【答案】D【分析】先分析出甲从M 到N 处的路径种数，和点M 沿M →A →N 的路径种数，同理求出乙的路径种数，套公式即可求出概率. 【详解】如图所示.甲从点M 沿M →D →B →N ,共有种;从点M 沿M →C →N ,共有种,综上可得,甲从26C 115⨯=47C 135⨯=点M 出发到点N ,共有种走法. 153550+=同理可得：乙从点N 出发到点M ,共有50种走法.甲从点M 沿M →A →D →B →N ,共有种,从点M 沿M →A →C →N ,共有种,综上可14C 218⨯⨯=14C 14⨯=得,共有种走法.4812+=同理：乙从点N 经过A 处到M 有12种走法. 所以甲、乙两人在A 处相遇的概率为.1212365050625p ⨯==⨯故选：D二、多选题9．某地区高三男生的“50米跑”测试成绩（单位：秒）服从正态分布，且ξ()28,N σ()70.2P ξ=≤．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取5个，其中成绩在内的个数记为X ，则()7,9下列说法正确的有（） A ． B ．()790.8P ξ<<=1780.152P ξ⎛⎫<<> ⎪⎝⎭C ． D ．()3E X =()10.9P X >≥【答案】BCD【分析】由正态分布的对称性和图象特征判断AB ；由，利用二项分布概率，期望公()5,0.6X B :式，判断CD.【详解】A.因为，，正态分布密度曲线的对称轴为，()28,N ξσ:8μ=8x =根据对称性可知，，故A 错误；()()790.2P P ξξ=≥=≤()()7912710.40.6P P ξξ<<=-≤=-=B.，，()890.50.20.3P ξ<<=-=17178922P P ξξ⎛⎫⎛⎫<<><< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，故B 正确；1780.152P ξ⎛⎫<<> ⎪⎝⎭C.，，故C 正确； ()5,0.6X B :()50.63E X np ==⨯=D. ，,()5,0.6X B :()()()050500.60.40.01024P X C ==⨯⨯=，故D 正确. ()()1100.989760.9P X P X =-==>≥故选：BCD 10．已知函数，其中，则下列说法正确的有（） ()1sin 2f x x x =+[]0,2πx ∈A ．的极大值为B ．的极小值为()f x π3()f x 2π3C ．的单调减区间为D ．的值域为()f x 2π,2π3⎛⎫⎪⎝⎭()f x []0,π【答案】ABD【分析】首先求函数的导数，并利用导数判断函数的单调性和极值，比较端点值，求函数的值域.【详解】，，令，得或，()1cos 2f x x '=+[]0,2πx ∈()0f x '=2π3x =4π3x =当，，函数单调递增，当，，函数单调递2π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()0f x ¢>()f x 2π4π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x减，当，，函数单调递增，4π,2π3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()0f x ¢>()f x所以是函数的极大值点，极大值是函数的极小值点，极小值2π32ππ33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭4π3，故AB 正确；C 错误； 4π2π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，比较函数的极大值和极小值，可知，函数的最小值是0，函数的最大值是()00f =()2ππf =π，所以函数的值域是，故D 正确. []0,π故选：ABD三、解答题11．一个质点从数轴上的原点出发，每一秒等可能地向前或向后移动1个单位，设第n 秒末质点所在位置对应的数为随机变量，则（） n ξA ． B ． ()()4402P P ξξ=<=()()5513P P ξξ=>=-C ． D ．()()46E E ξξ=()()53E E ξξ>【答案】BC【分析】利用小虫等概率地向前或向后爬，可知随机变量，且小虫向前或向后爬行1个[,]n n n ξ∈-单位的概率均为，结合取值的正负对称性，以及其对应的概率相等，即可求，即可12n ξ()0n E ξ=判断各项正误.【详解】由题意知，随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为， [,]n n n ξ∈-12A.若，则爬行4次后小虫一共向前爬行2次，向后爬行2次，，若40ξ=()424410C 2P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭42ξ=，则爬行4次后小虫一共向前爬行3次，向后爬行1次，，所以()414412C 2P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭，A 错误；()()4402P P ξξ=>=B.若，则爬行5次后小虫一共向前爬行3次，向后爬行2次，，51ξ=()555311C 2516P ξ⎛⎫==⎪= ⎝⎭若，则爬行5次后小虫一共向前爬行1次，向后爬行4次，53ξ=-，则，B 正确； ()515513C 2253P ξ⎛⎫=-=⎪=⎝⎭()()5513P P ξξ=>=-爬行n 次后小虫一共向前爬行r 次，向后爬行次，有，故n r -[()]2n r n r r n ξ=+--=-，，{}12C 2nr n nP r n ξ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭0r n ≤≤则．故C 正确，D 错误． 0C (2)()02r nn n nr r n E ξ=-==∑故选：BC ．四、多选题12．如图所示的几何体是由正方形ABCD 沿直线AB 旋转90°得到的，设G 是圆弧的中点，H:CE是圆弧上的动点（含端点），则（） :DFA ．存在点H ，使得 EH BG ⊥B ．存在点H ，使得 EH BD ∥C ．存在点H ，使得EH ∥平面BDGD ．存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 的所成角为30° 【答案】ACD【分析】先将图形补全为一个正方体，对于A 、B ：利用正方体的性质直接判断；ADMF BCNE -对于C 、D ：以A 为原点，为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解.,,AD AF AB【详解】由题意可将图形补全为一个正方体，如图示：ADMF BCNE -对于A ：因为正方体中，面， ADMF BCNE -EF ⊥BCNE 所以.所以当重合时，有.故A 正确；EF BG ⊥,F H EH BG ⊥对于B ：因为面，而是圆弧上的动点，所以不成立.故B 错误； //BD EFMN H :DF//EH BD 对于C ：以A 为原点，为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系.设，,,AD AF AB2BC =则()0,0,0,A ()2,0,0,D ()0,2,2,E ()0,2,0,F ()0,0,2,B ()2,0,2,C )2,G ，()()22,,0,4,0,0H m n m n m n +=>>所以.())2,0,2,,BD BG =-= (),2,2EH m n =--设为平面的一个法向量，则， (),,e x y z =BDG 202000BD e x z BG e z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅-=⎪⎩ 不妨设，则.1x =()1,1,1e =-假设平面，则，所以.//EH BDG 220e EH m n ⋅=-+-=m n =因为，所以是圆弧的中点，符合题意.故C 正确； 224,0,0m n m n +=>>m n ==H :DF对于D ：当点与点重合时,直线EH 与平面BDG 所成角最大，HF 因为，所以, (0,0,2)EF BA ==- cos ||||e EF e EF e EF ⋅⋅===此时直线EH 与平面BDG,得直线EH 与平面BDG 的所成角的最大角大于30°， 12>所以存在点H ，使得直线EH 与平面BDG 的所成角为30°，选项D 正确. 故选：ACD五、填空题13．的展开式中含项的系数为______________．()5122x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭3x 【答案】60-【分析】首先将原式变形为，再写成展开式的通项，从而求出含项，即()()551222x x x +--()52x -3x 可得解；【详解】因为，()()()5552212122x x x x x ⎛⎫+--+ ⎭=-⎪⎝又展开式的通项为， ()52x -()()55155C 2C 2rrr r rr r T x x --+=-=-所以含的项有，， 3x ()33235C 280x x x -=-()223351C 2202x x -=故含项的系数为. 3x 802060-+=-故答案为： 60-14．若函数在区间内有极值，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范()ln x a f x x +=21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭围是______________．【答案】 ()1,2-【分析】求导，从而得到在区间内有解，求得函数在()21ln x a f x x --'=1ln a x =-21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭1ln y x =-区间上的值域就是a 的取值范围.21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】因为，所以，()ln x af x x +=()21ln x a f x x --'=因为函数在区间内有极值， ()ln x a f x x +=21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭所以在区间内有解， ()21ln 0x a f x x --'==21e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭即在区间内有解，1ln a x =-21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭而函数在区间上单调递减，1ln y x =-21e ,e ⎛⎫⎪⎝⎭所以. ()1,2a ∈-故答案为：()1,2-15．某单位招聘工作人员的面试环节共8道问题，考官随机抽取3道让应聘者回答，规定至少要正确回答其中2道题才能进入后续环节．若应聘者甲因自身业务能力原因，在这8道题中有3道不能正确回答，其他均可正确回答，则他能进入后续环节的概率是______________．（用既约分数作答）【答案】57【分析】根据题意应聘者能进入后续环节要正确回答其中2道题或3道题，根据古典概型计算公式及计数原理即可求得概率.【详解】设随机抽出的3道题目中应聘者能答对的道数为X ，则他能进入后续环节的概率为(2)(2)(3)P X P X P X ≥==+=. 2133388355C C C 3010405C C 5656567=+=+==故答案为：5716．设随机变量取值为弧度制角，在正三棱柱的9条棱任取两条，当两条棱平行时，，当两ξ0ξ=条棱相交时，为这两条棱的夹角，当两条棱异面时，为这两条棱所在的异面直线所成的角，则ξξ______________．()E ξ=【答案】13π36【分析】根据位置关系，求出，，，即可求出.()0P ξ=π3P ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭π2P ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭()E ξ【详解】如图示：从正三棱柱的9条棱任取两条，有种. 2998C 3621⨯==⨯所取的两条棱平行如或，有6种，此时；11//AA BB 11//AB A B 0ξ=所取的两条棱相交，同在上底面（或下底面）,如和，有种，此时； AB BC 232C 236⨯=⨯=3πξ=所取的两条棱相交，同在侧面，如和，有，此时； AB 1AA 3412⨯=2πξ=所取的两条棱为异面直线，一条在底面上，另一条为相对的侧棱，如和，有6种，此时AB 1CC ； 2πξ=所取的两条棱为异面直线，一条在上底面，另一条在上底面，如和，有6种，此时. AB 11B C 3πξ=所以；；. ()610366P ξ===π6613363P ξ+⎛⎫=== ⎪⎝⎭π61212362P ξ+⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以. ()1π1π113π06332236E ξ=⨯+⨯+⨯=故答案为：. 13π36六、解答题17．已知在的展开式中，所有的二项式系数之和为256．n(1)求展开式中所有项的系数之和；(2)求展开式中的所有的有理项．【答案】(1)； 1256(2).423518256x x x ，，【分析】（1）先根据题意求得，再令即可求解；8n =1x =（2）先求得通项公式，在时，使为整数的对应的项为有理()34841C 12r rrr r T x -+=-⋅[0,8]r ∈344r -r 项．【详解】（1）依题意得：，.2256n =8n ∴=令，则，1x =886112125⎛⎫- ⎪⎝==⎭所以展开式中所有项的系数之和为. 1256（2）， ()3848418C C 12rr rrr rr r T x--+⎛==-⋅ ⎝当时，为有理项. 048r =，，1r T +展开式中所有有理项为：..∴423518256x x x ，，18．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有2个白球，3个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取1球．(1)记随机变量X 表示从甲盒取出的红球个数，求X 的分布列； (2)求从乙盒取出的1个球为红球的概率．【答案】(1)答案见解析； (2). 1935【分析】（1）由题意分析出X 的可能取值，分别求概率，写出分布列；（2）对从甲盒所取出的2个小球颜色分类讨论，利用古典概型的概率公式计算概率，即可求解. 【详解】（1）由题意可知：X 的可能取值为：0，1，2.所以；；. ()2325C 30C 10P X ===()112325C C 31C 5P X ⨯===()2225C 12C 10P X ===分布列为：X 0 1 2P310 35 110（2）i.若，则甲盒任取2白球放入乙盒，所以乙盒的小球4白3红，再从乙盒任取1球为红X 0=球的概率为； 137P =ii. 若，则甲盒所取放入乙盒的两个小球为1白1红，所以乙盒的小球3白4红，再从乙盒任1X =取1球为红球的概率为； 247P =iii. 若，则甲盒任取2红球放入乙盒，，所以乙盒的小球2白5红，再从乙盒任取1球为红2X =球的概率为. 357P =所以从乙盒取出的1个球为红球的概率为. 3364151910710710735⨯+⨯+⨯=19．已知函数，其中为自然对数的底数()()2e 61xf x x x =-+e (1)求曲线在处的切线方程； ()y f x =1x =(2)求函数在区间上的最值． ()f x []2,6-【答案】(1)8e 4e 0x y +-=(2)，()5min 4e f x =-()6max e f x =【分析】（1）求导，求出和，通过点斜式可得切线方程； ()1f '()1f （2）求导，确定函数单调性，通过确定极值和端点值的大小来确定最值.【详解】（1），()()()()22e 61e 26e 45x x xf x x x x x x '=-++-=--故，，()()1e 1458e f '=--=-()()1e 1614e f =-+=-曲线在处的切线方程为，即；()y f x =1x =()()4e 8e 1y x --=--8e 4e 0x y +-=（2），，()()2e 45xf x x x '=--[]2,6-令，得或，令，得， ()0f x ¢>2<<1x --56x <<()0f x '<15x -<<故函数在区间和上单调递增，在上单调递减，()f x ()2,1--()5,6()1,5-，，()()222e 412117e f ---=++=()()()5255e 53014e 2f f =-+=-<-，()()5min 54e f x f ==-，， ()()111e 1618e f ---=++=()()()666e 36361e 1f f =-+=>-.()()6max 6e f x f ==20．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面P ABCD -ABCD PAD :平面，．棱上点满足直线与平面PAD ⊥ABCD PB AD ⊥PC E AE ABCD ．(1)求二面角大小的余弦值； E AD C --(2)求点到平面的距离． P ADE【答案】【分析】（1）取的中点,连接.先证明出两两垂直，以O 为原点,AD O ,OB OP ,,OA OB OP 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系.用向量法求出二面角大小的余,,OA OB OPE AD C --弦值；（2）向量法求点到平面的距离． P ADE 【详解】（1）取的中点,连接.AD O ,OB OP因为为等边三角形，所以.PAD :OP AD ⊥又平面平面，平面平面，平面, PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =OP ⊂PAD 所以平面，又平面，所以.OP ⊥ABCD AD ⊂ABCD OP AD ⊥因为，且平面，平面，， PB AD ⊥OP ⊂POB OB ⊂POB OP OB O = 所以平面,所以.AD ⊥POB AD OB ⊥以O 为原点, 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系.,,OA OB OP因为底面是边长为2的菱形，为等边三角形， ABCD PAD :所以1,2,OA OD AB DC OP OB ======所以,,,,,.()0,0,0O ()1,0,0A ()B ()C -()1,0,0D-(P 因为点是棱上一点，可设，则.E PC PE tPC =()2E t -所以.()2AE t =--因为平面，OP ⊥ABCD 所以平面的一个法向量为.ABCD (OP = 所以cos ,AE OP AE OP AE OP⋅===⨯ 解得：. 13t =设平面的一个法向量为.ADE (),,n x y z = 则. 20503n AD x n AE x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩不妨取,则,所以平面的法向量为. =2y -0,1x z ==ADE ()0,2,1n =- 所以平面与平面夹角的余弦值为ADEABCD cos ,n OP n OP n OP ⋅===⨯故平面与平面ADE ABCD（2）设点到平面的距离为d ，则P ADEd 所以点到平面P ADE 21．甲、乙两人参加两个项目的对抗赛，每一个项目的对抗赛均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），且每个项目每一局都没有平局．按以往两人比赛结果的统计估计，甲在项目A 中每一局获胜的概率为，在项目B 中每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响． 2312(1)分别求甲在项目A 、项目B 中获胜的概率；(2)设甲获胜的项目个数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析.【分析】（1）分析比赛过程，二项分布的概率公式和概率的乘法即可分别求出概率；（2）由题意分析X 的可能取值，分别求概率，写出分布列，求出数学期望.【详解】（1）记“甲在项目A 中获胜”为事件A ，包含甲三局获胜，其概率为；甲四局获222333⨯⨯胜（前三局甲胜任意两局，第四局甲胜），其概率为；甲五局获胜（前四局甲胜任223212C 333⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭意两局，第五局甲胜），其概率为.2224212C 333⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则. ()222223422*********C C 33333333381P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭记“甲在项目B 中获胜”为事件B ，同理可求.()34522341111C C 2222P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）X 的可能取值为：0，1，2. 所以； ()()()()171170812162P X P AB P A P B ====⨯=； ()()()()641642812162P X P AB P A P B ====⨯=所以. ()()()17641110211621622P X P X P X ==-=-==--=所以分布列为： X 012P17162 6416212所以. ()171642090121622162162E X =⨯+⨯+⨯=22．已知函数，其中，e 为自然对数的底数． ()()21e 1x f x x m x -=-+R m ∈(1)讨论的单调性；()f x (2)若不等式对恒成立，求实数m 的取值范围．()()23e 0f x m x x +++≥[)2,x ∈-+∞【答案】(1)见解析(2)34e 233e e m --≤≤【分析】（1）求导，讨论、、、，得出的单调性； 0m ≤2102e m <<212e m =212e m >()f x （2）将变形为，构造函数，由导数得()()23e 0f x m x x +++≥(1)e e tmt t ≥-+-(1)e e()t t g t t++=-出其单调性，进而根据恒成立问题的解题方法得出实数m 的取值范围．【详解】（1）， 111()e e 2(1)(1)(e 2)x x x f x x m x x m ---'=+-+=+-当时，，0m ≤1e 20x m -->若，则；若，则.()0f x '>1x >-()0f x '<1x <-则函数在上单调递减，在上单调递增. ()f x (,1)-∞-(1,)-+∞当时， 2102e m <<若，则或；若，则. ()0f x '>ln 21x m <+1x >-()0f x '<ln 211m x +<<-则函数在，上单调递增，在上单调递减.()f x (),ln 21m -∞+(1,)-+∞(ln 21,1)m +-当时，，函数在上单调递增. 212e m =()0f x '≥()f x (,)-∞+∞当时，若，则或；212em >()0f x '>1x <-ln 21x m >+若，则；()0f x '<1ln 21x m -<<+即函数在，上单调递增，在上单调递减. ()f x (,1)-∞-()ln 21,m ++∞(1,ln 21)m -+综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 0m ≤()f x (,1)-∞-(1,)-+∞当时，函数在，上单调递增，在上单调递减. 2102e m <<()f x (),ln 21m -∞+(1,)-+∞(ln 21,1)m +-当时，函数在上单调递增. 212e m =()f x (,)-∞+∞当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.212em >()f x (,1)-∞-()ln 21,m ++∞(1,ln 21)m -+（2）不等式可化为，()()23e 0f x m x x +++≥1(1)e e x m x x --≥--令，则，即在恒成立. [)13,t x =-∈-+∞1x t =+(1)e e t mt t ≥-+-[)3,∞-+当时，在恒成立.0=t (1)e e t mt t ≥-+-[)3,∞-+构造函数，且，. (1)e e ()t t g t t++=-[)3,t ∈-+∞0t ≠22e (1)()e t t t g t t -+-'=令，.()2e (1)e t h x t t =-+-()2()e (1)e (21)3e t t th t t t t t t '=-+--+=-+若，则；若，则. ()0h t '>(3,0)t ∈-()0h t '<(0,)t ∈+∞则函数在上单调递增，在上单调递减， ()h x (3,0)-(0,)+∞因为，，， ()353e 0eh -=->()02(0)=e e 001e 1h -+-=+(1)0h =所以当时，；当时，. ()0g t '>()(3,0)0,1t ∈-⋃()0g t '<()1,t ∈+∞即函数在上单调递增，在上单调递减，()g t ()(3,0),0,1-()1,+∞且，， 34e 3)e 32(g --=(1)3e g =-函数的图象如下图所示:()g t要使得在恒成立，则，解得. (1)e e t mt t ≥-+-[)3,∞-+43e 2(3)3e (1)3em g m g ⎧-≤-=⎪⎨⎪≥=-⎩34e 233e e m --≤≤即. 34e 233e em --≤≤【点睛】关键点睛：在得出的单调性时，关键在于令，进(1)e e ()t t g t t++=-()2e (1)e t h x t t =-+-行二次求导，从而得出函数的单调性.()g t。

2021-2022学年广东省广州市从化区第三中学高二下学期期中数学试题(解析版)

2021-2022学年广东省广州市从化区第三中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列求导运算正确的是（） A ．()sin cos x x '=- B ．()1e ln 3e 3x x '+=+C ．()1x x a xa -'=D ．'=【答案】D【分析】根据基本函数的导数公式表计算即可.【详解】()sin cos x x '=，()e ln 3e xx '+=，()ln x x a a a '=，112212x x -'⎛⎫'===⎪⎝⎭故选：D2．已知随机变量()()2~1,0N ξσσ>，若()140.32P ξ<≤=，则()4P ξ>=（）A ．0.18B ．0.36C ．0.32D ．0.16【答案】A【分析】利用正态分布曲线性质即可求得所求概率.【详解】()10.5P ξ>=，()()()41140.50.320.18P P P ξξξ∴>=>-<≤=-=. 故选：A.3．已知随机变量X 服从二项分布X ～B (14,2)，则P (X ＝2)＝（）A ．32B ．34C ．38D ．316【答案】C【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项.【详解】()222411321228P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C4．如图所示的是()y f x =的导函数()y f x '=的图象，下列四个结论： ①()f x 在区间()3,1-上是增函数； ②1x =-是()f x 的极小值点；③()f x 在区间()2,4上是减函数，在区间()1,2-上是增函数；④2x =是()f x 的极小值点．其中正确结论的序号是（）．A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①③④【答案】B【解析】根据导函数的符号和函数的单调性之间的关系和极值点的定义判断. 【详解】由()y f x '=的图象知()f x 在()3,1--和()2,4上是减函数，在()1,2-上是增函数，1x =-是极小值点，2x =是极大值点，即②③正确．故选:B ．5．曲线1xy x =-在点()2,2处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（） A ．20 B ．16 C ．12 D ．8【答案】D【分析】利用导数求出所求切线的方程，进而可求得切线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式即可得解. 【详解】令()1x f x x =-，则()()211f x x '=--，()21f '=-，所以，曲线1x y x =-在点()2,2处的切线方程为40x y +-=，与x 轴的交点为()4,0，与y 轴的交点为()0,4，故所求三角形的面积为21482⨯=．故选：D ．【点睛】本题考查切线与坐标轴围成的三角形面积计算，解答的关键就是求出切线的方程，考查计算能力，属于基础题.6．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（） A ．3种B ．6种C ．7种D ．9种【答案】C【分析】根据分类加法计数原理即可求解.【详解】分3类，买1本书，买2本书，买3本书，各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种). 故选：C7．甲、乙、丙、丁四位同学报名参加自由式滑雪，速度滑冰，单板滑雪三个项目，每人只报其中一个项目，则有（）种不同的报名方案． A ．34 B ．34A C ．43D ．2113421322C C C A A ⋅ 【答案】C【分析】根据分布乘法计数原理直接得出结果. 【详解】每人均有3种选择，根据分步计数原理可得选法总数为43. 故选：C8．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( ) A ．2 000元 B ．2 200元 C ．2 400元 D ．2 600元【答案】B【详解】()()50000.610.620002200EX =⨯+-⨯-=，即期望效益为2200元，选B . 二、多选题9．已知随机变量X 服从正态分布(3,4)N ，则以下说法正确的是（） A ．X 的均值为3 B ．X 的标准差为4 C ．1(3)2P X ≤=D ．(17)0.6827P X -≤≤≈【答案】AC【分析】由正态分布的性质求解即可.【详解】由题意可得23,4μσ==，则X 的均值为3，X 的标准差为2，故A 正确，B错误；由对称性可知1(3)2P X =，()()22170.9545P X P X μσμσ-+=-≤≤≈，故C 正确，D 错误；故选：AC10．关于131x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的说法，正确的是（）A ．展开式中第7项和第8项的二项式系数最大B ．展开式中无常数项C ．展开式中的第7项的系数最大D ．展开式中第4项的系数为286 【答案】ABC【分析】先求出131********()(1)rrr r r rr T C x C x x--+=-=-，再根据每一个选项的要求取r 的值即可判断.【详解】131x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第1r +项131********()(1)r r r r r rr T C x C x x --+=-=-（0,1,2,,13r =）.对于A ，展开式共有14项，根据组合数的性质可知，中间两项的二项式系数最大，即第7项和第8项的二项式系数最大，故A 正确；对于B ，令1320r -=，得132r =，不是整数，则无常数项，故B 正确；对于C ，第7项的系数为6661313(1)C C -=，第8项的系数为7771313(1)0C C -=-<，显然671313C C >-，故第7项系数最大，故C 正确；对于D ，第4项的系数为3313(1)286C -=-，故D 不正确.故选：ABC11．袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（）A ．抽取2次后停止取球的概率为35B ．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为910C ．取球次数ξ的期望为2D ．取球3次的概率为110【答案】BD【分析】根据离散型随机变量的分布列,求出随机变量的所有可能取值以及对应的概率,即可求解.【详解】设ξ 为取球的次数,则ξ可取1,2,3,故可知(135)P ξ==，233(2)5410P ξ==⨯=，2131(3)54310P ξ==⨯⨯=，对于A ，抽取2次后停止取球的概率为：233(2)5410P ξ==⨯=，故A 错误；对于B ，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为：339(1)(2)=51010P P ξξ=+==+故B 正确；3313()123510102E ξ=⨯+⨯+⨯=，故C 错误；取球三次的概率为2131(3)54310P ξ==⨯⨯=，故D 正确.故选:BD12．对于函数2()16ln(1)10f x x x x =++-，下列正确的是（） A ．3x =是函数()f x 的一个极值点 B ．()f x 的单调增区间是(1,1)-，(2,)+∞ C ．()f x 在区间(1,2)上单调递减D ．直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有3个交点【答案】ACD【分析】求导，求出()f x 的单调性，极值点，极值，进而可进行判断.【详解】解：由题得2'16286()210,111x x f x x x x x-+=+-=>-++，令22860x x -+=，可得1,3x x ==，则()f x 在()1,1-，()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，3x ∴=是函数()f x 的一个极值点，故AC 正确，B 错误；因为2(1)16ln(11)11016ln 29f =++-=-，2(3)16ln(13)310316ln 421f =++-⨯=-，又()16ln3162y f =-=，根据()f x 在()1,3上单调递减得()()()123f f f >> 得16ln31616ln 29,16ln31616ln 421-<-->-，所以直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有3个交点，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查函数的单调性，极值的综合应用，是中档题. 三、填空题13．甲乙丙丁四人站成一排，其中甲不站排头和排尾，共有______种不同的站法（用数字作答）. 【答案】12【分析】先安排甲站中间一个位置，然后其余人随机站位即可.【详解】先安排甲站中间一个位置，然后其余人随机站位，即132312A A =，故答案为：1214．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位：s ，s 的单位：m )，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为________ m/s . 【答案】12516【分析】物理中的瞬时速度常用导数求出，故求出s ＝t 2＋3t的导数，代入4可得答案.【详解】解：由题意：23s t t，可得瞬时速度：'232v s t t ==-，故它在第4 s 末的瞬时速度应该为：2312524416⨯-= m/s ，故答案为：12516. 【点睛】本题主要考查函数的求导，解题的关键是理解导数的物理意义，由此转化为导数问题.15．()()52x y x y +-的展开式中24x y 的系数为________．【答案】15-【分析】把5()x y -按照二项式定理展开，可得5(2)()x y x y +-的展开式中24x y 的系数．【详解】()5051423455555233245551(2)()(2)x y x y x y C x C x y C x y C x y C x y C y +-=+⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-⋅-，故它的展开式中24x y 的系数为5543215C C -=-，故答案为：15-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．四、双空题16．设随机变量()~,X B n p ，如果()12E X =，()4D X =，那么n =_________，p =_________.【答案】 1823【分析】由二项分布方差以及期望的性质求解即可.【详解】由题意可知12(1)4np np p =⎧⎨-=⎩，解得2,183p n ==故答案为：218,3五、解答题17．已知等差数列{}n a 满足22a =，58a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{}n b 中，11b =，234b b a +=，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）22n a n =-；（2）21nn T =-.【解析】（1）求{}n a 的通项公式，可先由22a =，58a =求出公差首项，再出通项公式；（2）设各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为()0q q >，利用等比数列的通项公式可求首项1b 及公比q ，代入等比数列的前n 项和公式可求n T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵22a =，58a =，∴12a d +=，148a d +=解得10a =，2d =. ∴数列{}n a 的通项公式()1122n a a n d n =+-=-.（2）设各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为()0q q >，由（1）知22n a n =-，11b =，223466b b a q q +==⇒+=，∴1q ≠， ∴2q或3q =-（舍去），∴{}n b 的前n 项和122112nn n T -==--.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式的求解及前n 项和的求解，是高考中的基础试题，对考生的要求是熟练掌握公式，并能进行一些基本量之间的运算. 18．近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率P ；(2)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设X 为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量X 的分布列及数学期望．【答案】(1)35P = (2)分布列为期望为910【分析】（1）有表格可得总的厨余垃圾总量,以及投入正确的垃圾投放量,即可求解. （2）根据超几何分布,即可得分布列和期望.【详解】(1)由题表可得厨余垃圾共有602020100++=吨，其中投入厨余垃圾桶的有60吨，所以厨余垃圾投放正确的概率6031005P ==； (2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3()7033310C C 70C 24P X ===，()1237310C C 211C 40P X ===()2137310C C 72C 40P X ===，()3037310C C 13C 120P X ===所以X 的分布列为所以()721719012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为910． 19．已知函数3()31f x x x =-+. (1)求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()f x 在[0，3]的最值．【答案】(1)减区间为()1,1-，增区间为(),1-∞-和()1,+∞ (2)()min 1f x =-，()max 19f x =【分析】（1）求导并判断导函数分别为正，负的区间；（2）根据导函数，判断原函数的图像的单调性，并考虑端点和极大值点取最大值，端点和极小值点处取最小值.【详解】(1)()f x 的定义域为R ，()233f x x '=-令()0f x '=，解得11x =-或1x =所以()f x 的减区间为()1,1-，增区间为(),1-∞-和()1,+∞ (2)因为()f x 在[0,1)单调递减，在[1,3]上单调递增， ∴当1x =时，()()min 11f x f ==-{}max ()max (0),(3)f x f f =又∵()01f =，()33333119f =-⋅+=∴当3x =时，max 19f =20．现有8道四选一的单选题，学生李明对其中6道题有思路，2道题完全没思路.有思路的题做对的概率为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，李明从这8道题中随机任选1题. (1)求选中的1题有思路的概率； (2)求他做对该题的概率．【答案】(1)34(2)5380【分析】（1）利用古典概型概率公式求解；（2）根据全概率公式以及条件概率即可求解. 【详解】(1)设A =“选中1题有思路” ∴()6384P A == (2)设B =“李明做对一道题” 由（1）()14P A =且()0.8P B A =，()0.25P B A = ∴()()()P B P AB P AB =+ ()()()()P A P B A P A P B A =⋅+⋅31530.80.254480=⨯+⨯= 21．在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2,5,3AD QD QA QC ====．（1）证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）23.【分析】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO ，可证QO ⊥平面ABCD ，从而得到面QAD ⊥面ABCD .（2）在平面ABCD 内，过O 作//OT CD ，交BC 于T ，则OT AD ⊥，建如图所示的空间坐标系，求出平面QAD 、平面BQD 的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,QO CO . 因为QA QD =，OA OD =，则QO ⊥AD ，而2,5AD QA ==，故512QO =-=.在正方形ABCD 中，因为2AD =，故1DO =，故5CO =，因为3QC =，故222QC QO OC =+，故QOC 为直角三角形且QO OC ⊥，因为OCAD O =，故QO ⊥平面ABCD ，因为QO ⊂平面QAD ，故平面QAD ⊥平面ABCD .（2）在平面ABCD 内，过O 作//OT CD ，交BC 于T ，则OT AD ⊥，结合（1）中的QO ⊥平面ABCD ，故可建如图所示的空间坐标系.则()()()0,1,0,0,0,2,2,1,0D Q B -，故()()2,1,2,2,2,0BQ BD =-=-. 设平面QBD 的法向量(),,n x y z =，则00n BQ n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220220x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则11,2y z ==，故11,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭.而平面QAD 的法向量为()1,0,0m =，故12cos ,3312m n ==⨯.二面角B QD A --的平面角为锐角，故其余弦值为23.22．已知函数()e 1xf x ax =--.（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()2f x x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 有极小值(0)0f =，无极大值；（2）(],e 2-∞- 【分析】（1）求出函数的导数，判断出函数的单调性，即可求出极值；（2）由题可得2e 10x x ax ---≥在[0,)+∞上恒成立，易得0x =时满足，当0x >时，e 1x a x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上恒成立，构造函数e 1()x g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求出导数，判断()g x 的单调性，得出min ()e 2g x =-，即可求出a 的取值范围．【详解】（1）当1a =时，()e 1x f x x =--，所以()e 1x f x '=-，当0x <时()0f x '<；当0x >时()0f x '>，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以当0x =时函数()f x 有极小值(0)0f =，无极大值. （2）因为2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立，所以2e 10x x ax ---≥在[0,)+∞上恒成立，当0x =时00≥恒成立，此时R a ∈，当0x >时e 1x a x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上恒成，令e 1()x g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则2222(1)e (1)e (1)1()xx x x x x g x x x x ⎡⎤--+⎛⎫--⎣⎦'=-= ⎪⎝⎭，由（1）知0x >时()(0)0f x f >=，即e (1)0x x -+>，当01x <<时()0g x '<；当1x >时()0g x '>，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min ()e 2g x =-，所以e 2a ≤-，综上可知，实数a 的取值范围是(],e 2-∞-.【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围，若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.。

2022-2023学年江西省赣州市高二上学期期中测试数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省赣州市高二上学期期中测试数学试题一、单选题1．已知复数2i2iz-=+，则z的共轭复数的虚部为（）A．45-B．45-i C．45D．4i5【答案】C【分析】利用复数的除法运算，进而可得34i55z=+，即得.【详解】因为()()()22i2i34i34i2i2i2i555z---====-++-，所以34i55z=+，即z的共轭复数的虚部为45.故选：C.2．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）AB．C．8D．【答案】D【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A''=，所以O B''=2OA O A =''=，2OB O B =''=；所以原图形的面积为2⨯=．故选：D3．已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin cos 11tan ααα--+的值为（）A ．65-B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】由三角函数的定义可得4sin 5α=，3cos 5α=-，4tan 3α=-，将其代入即可求解.【详解】5=，得4sin 5α=，3cos 5α=-，4tan 3α=-，代入原式得4316554513⎛⎫--- ⎪⎝⎭==-⎛⎫+- ⎪⎝⎭．故选：A4．在长方体1111ABCD A B C D -中，122AD AB AA ==，则异面直线1AC 与1BB 所成角的余弦值为（）A ．6B ．3C D ．12【答案】A【分析】根据长方体中的平行关系可得1CC A ∠即为异面直线1AC与1BB 所成角，解直角三角形即可得解.【详解】如图，因为11CC BB ∥，所以1CC A ∠即为异面直线1AC 与1BB 所成角，设2AD =，则11AB AA==，在长方体中1AC =，在1Rt ACCV中，111cos 6CC CC A AC ∠===，故选：A ．5．已知3sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．18B ．78C ．18-D ．78-【答案】C【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】2231cos 2cos 212sin 1236648πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-⨯=- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.6．在ABC 中，若3AB =，4BC =，30C = ，则此三角形解的情况是（）A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定【答案】B【分析】由sin BC C AB BC <<，根据作圆法结论可得结果.【详解】sin 4sin 302BC C == ，sin BC C AB BC ∴<<，ABC ∴ 有两解.故选：B.7．将函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =为奇函数，则ω的最小值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】根据伸缩及平移变换得到函数()y g x =，结合奇偶性得到()212k k Z ω=-∈，从而得到结果.【详解】由题意，()sin sin 2662612g x x x ωππωπωπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()y g x =为奇函数，所以()612k k Z πωππ-=∈，解得()212k k Z ω=-∈，又0ω>，所以当k ＝0时，ω取得最小值2．故选：C8．十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作砖石”，黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金ABC中，12BC AC -=，根据这些信息可得cos 36︒=（）A．14B．14CD【答案】A【分析】作出辅助线，先求出sin18︒=cos36︒.【详解】取BC 的中点D ，连接AD ，则由三线合一知：AD BC ⊥，且18BAD ∠=︒，12sin18BCAB ︒==由余弦的二倍角公式得：22cos3612sin 1812︒=-︒=-⨯⎝⎭故选：A二、多选题9．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列说法错误是（）A ．若//,m n ααβ= ，则//m nB ．若,//m m αβ⊥，则αβ⊥C ．若,n βαβ⊥⊥，则//n αD ．若,,m n l αβαβ⊂⊂= ，且,m l n l ⊥⊥，则αβ⊥【答案】ACD【分析】利用空间中的线面、面面关系来这个判断即可.【详解】解：对于A ，若,m n ααβ⋂=∥，则//m n 或m 与n 异面，故A 错误；对于B ，若//m β，过m 作平面l γβ= ，则//l m ，又m α⊥，则l α⊥，可得αβ⊥，故B 正确；对于C ，若,n βαβ⊥⊥，则//n α或n ⊂α，故C 错误；对于D ，若,,m n l αβαβ⊂⊂= ，且,m l n l ⊥⊥，则α与β相交，可能垂直，也可能不垂直，故D 错误．故选：ACD ．10．已知向量(1,3),(2,4)a b ==-，则下列结论正确的是（）.A ．()a b a+⊥ B．|2|a b +=C ．向量,a b 的夹角为34πD ．b 在a【答案】AC【分析】对于A ，根据向量的加法和数量积的坐标表示，可得答案；对于B ，根据向量的数乘以及加法坐标公式，结合模长的坐标公式，可得答案；对于C ，根据向量夹角公式，可得答案；对于D ，根据投影的定义，结合向量数乘的几何意义，可得答案.【详解】对于A ，()3,1+=- a b ，由()()31130a b a +⋅=⨯+-⨯=，则()a b a +⊥r r r ，故A 正确；对于B ，()()()221,32,44,2a b +=+-=，2a b +==B 错误；对于C ，()123410a b ⋅=⨯+⨯-=-，a == ，b ==cos ,2a b a b a b ⋅==-⋅，即向量,a b 的夹角为34π，故C 正确；对于D ，b 在a 方向上的投影向量是21010a b a a a a⋅-==- ，故D 错误.故选：AC.11．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中π0,0,2A ωϕ>><）的部分图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线2π3x =对称C ．()π2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．π3是()f x 的一个零点【答案】ACD【分析】结合函数图像求出()f x 的解析式，进而判断AC ；利用代入检验法可判断BD.【详解】由图像可知，2A =，37ππ3π(41264T =--=，所以2ππT ω==，即2ω=，故A 正确；从而()2sin(2)f x x ϕ=+，由五点法可得π22π,Z 6k k ϕ-⨯+=∈，因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，从而ππππ()2sin(22sin(2)2cos(2)3626f x x x x =+=-+=-，故C 正确；因为2π5π(2sin 233f ==≠±，所以23x π=不是()f x 的对称轴，故B 错误；因为πππ()2sin(20333f =⨯+=，所以π3是()f x 的一个零点，故D 正确.故选：ACD.12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,2AA AB BC ===，M ，N 分别为棱111,C D CC 的中点，则下列说法正确的是（）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面ADM ⊥平面11CDDC C ．直线BN 与1B M 所成角的为60︒D ．//BN 平面ADM【答案】BC【分析】A.由点A 、M 、B 在平面11ABC D 内，点N 在平面11ABC D 外判断；B.AD ⊥平面11CDD C ，再利用面面垂直的判定定理判断；C.取CD 的中点E ，连接BE ，NE ，由1//BE B M ，得到EBN ∠为异面直线BN 与1B M 所成的角判断；D.利用反证法判断.【详解】A.点A 、M 、B 在平面11ABC D 内，点N 在平面11ABC D 外，故错误；B.在正方体中，AD ⊥平面11CDD C ，又AD ⊂平面ADM ，所以平面ADM ⊥平面11CDD C ，故正确；C.如图所示：取CD 的中点E ，连接BE ，NE ，得1//BE B M ，则EBN ∠为异面直线BN 与1B M 所成的角，易知EBN △是等边三角形，则60EBN ∠= ，所以直线BN 与1B M 所成角的为60︒，故正确；D.若//BN 平面ADM ，又//BC 平面ADM ，又BC BN B = ，所以平面11//BCC B 平面ADM ，而平面11//BCC B 平面11ADD A ，矛盾，故错误；故选：BC三、填空题13．计算：5π7ππ2sin 2cos tan 663⎛⎫+--= ⎪⎝⎭______.【答案】1【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值.【详解】原式ππππππ2sin π2cos πtan 2sin 2cos tan663663⎛⎫⎛⎫=-+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12212=⨯-⨯.故答案为：1.14．如图，已知圆锥的母线12AB =，底面半径为2，从点B 绕侧面一周回到点B 的最短距离是___________．【答案】12【分析】根据圆锥的侧面，它展开图和性质，求最短距离即可.【详解】底面半径为2，将侧面展开，设A ∠的度数为n ︒，则124180n ππ=，解得60n ︒=，故从点B 绕侧面一周回到点B 的最短距离是12．故答案为：1215．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______【答案】73-123-【分析】根据向量的线性运算化简后求值即可.【详解】解：由题意得：()2212=+=+=+3333CE CA AE CA AB CA CB CA CA CB-=+12AD CD CA CB CA=-=-uuu r uuu r uur uur uur90C ∠=︒CA CB ∴⊥，即0CA CB ⋅=221211111791633233333CA CB CB CA CB C CE AD A ⎛⎫⎛⎫∴+⋅-=-=⨯-⨯=-⎪ ⎪⎝⎭⎭=⎝⋅ 故答案为：73-16．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，60BAC ∠=︒，AB AC ==2PA =，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为____________．【答案】20π【分析】先在等边三角形ABC 中求出BC =2r =，根据几何关系确定外接球球心位置，列勾股定理方程确定该三棱锥的外接球的半径.【详解】因为60AB AC BAC ==∠= ，所以ABC 为等边三角形，所以BC =，等边ABC 外接圆的半径为2r =，如图，三棱锥-P ABC 外接球球心为O ，半径为R ，设球心O 到平面ABC 的距离为d ，ABC 外接圆圆心为O '，连接,,AO AO OO ''，则OO '⊥平面ABC ，取PA 中点,D OP OA =，所以OD PA ⊥，又PA ⊥平面ABC ，所以PA //OO '，则四边形ADOO '是矩形，所以在PDO △和OAO ' 中，由勾股定理可得()222222222R d R d ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得：1,d R ==，表面积24π20πS R ==.故答案为：20π四、解答题17．如图，在ABC 中，D 为AC 的中点，且sin sin ABC DBC ∠=∠.(1)证明：2BA BD =；(2)若33AC BC ==，求sin BDC ∠．【答案】(1)证明见解析；(2)sin BDC ∠=【分析】（1）利用三角形的面积公式即可证明；（2）设=BD x ，利用余弦定理求出x =，cos 12C =．在BDC 中，利用正弦定理即可求得．【详解】（1）因为D 为AC 的中点，所以2ABC BDC S S =△△.所以1sin sin 2BA BC ABC BD BC DBC ∠⋅⋅=∠⋅⋅.又sin sin ABC DBC ∠=∠，于是2BA BD =．（2）设=BD x则()222222311322cos 3213212x x C ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==⋅⋅⋅⋅，∴x =，cos 12C =．所以sin C =在BDC中，1sin BDC =∠，解得：sin BDC ∠=18．设向量πsin 2,26m x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()21,sin n x = ，函数()f x m n =⋅ .(1)求()f x 的最小正周期及其图像的对称中心；(2)若ππ,122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域.【答案】(1)最小正周期为π，对称中心为()ππ,1212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z(2)1,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先将函数化简为f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式，再根据三角函数性质求解；（2）由x 的范围，求得ωx+φ的范围，再得到()f x 的值域.【详解】（1）因为()2πsin 22sin 6f x m n x x ⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭ 11cos 22cos 2222x x x -=++⨯1π2cos 21sin 2126x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭即()πsin 216f x x ⎛⎫ ⎝-⎪⎭=+，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.令()π2π6x k k -=∈Z ，解得()ππ212k x k =+∈Z ，所以函数的对称中心为()ππ,1212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .（2）因为ππ,122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即设ππ5π2,636t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，根据图像分析可得：sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 的值域为1,22⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.19．在ABC 中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边.已知sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求角A 的大小；(2)若6a b c =+=，求ABC 的面积.【答案】(1)3A π=【分析】（1）由sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦定理得到sin sin sin sin 3A B B A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化简求解.（2）由（1）3A π=，结合6a b c =+=，利用余弦定理求得bc ，再利用三角形面积公式求解.【详解】（1）解：由正弦定理得sin sin sin sin 3A B B A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为0B π<<，所以sin 0,sin sin 3B A A π⎛⎫≠=+ ⎪⎝⎭，化简得1sin sin 2A A A =，即tan A =因为0A π<<，所以3A π=.（2）由（1）3A π=，又6a b c =+=，由余弦定理2222222cos 2cos ()33a b c bc A b c bc b c bc π=+-=+-=+-，所以22()43b c a bc +-===，所以11sin 4222ABC S bc A ==⨯⨯= 20．如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ．(1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝1，CD ＝BC ，求直线AD 与平面ABC 所成的角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)7.【分析】（1）先由线面垂直可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理即可得证；（2）由（1）可知线面角为CAD ∠，解三角形即可得解.【详解】（1）∵AB ⊥面BCD ，∴AB ⊥CD ，又∵BC ⊥CD 且AB ∩BC ＝B ，,AB BC ⊂平面ABC ，∴CD ⊥面ABC ，∵CD ⊂平面ACD∴平面ACD ⊥平面ABC ．（2）∵DC ⊥面ABC ，∴∠CAD 即为直线AD 与平面ABC 所成的角，且DC AC ⊥，∵BC ＝CD BCD ＝90°，∴BD ，又AB ＝1，∴AD AC ＝2，∴在Rt ACD △中，cos =7A AD AD C C ∠.即直线AD 与平面ABC 所成角的余弦值为7．21．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，AB ＝BC ＝12PA AD =＝2，E 为PB 的中点，F 是PC 上的点.(1)若EF ∥平面PAD ，证明：F 为PC 的中点；(2)求点C 到平面PBD 的距离.【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）由题意，根据线面平行性质定理，结合三角形中位线的性质，可得答案；（2）由题意，利用等体积法，通过计算三棱锥C PBD -，可得答案.【详解】（1）证明：因为BC ∥AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以BC ∥平面PAD .因为P ∈平面PBC ，P ∈平面PAD ，所以可设平面PBC ∩平面PAD ＝PM ，如下图：又因为BC ⊂平面PBC ，所以BC ∥PM ，因为EF ∥平面PAD ，EF ⊂平面PBC ，所以EF ∥PM ，从而得EF ∥BC .因为E 为PB 的中点，所以F 为PC 的中点.（2）解：因为PA ⊥底面ABCD ，∠DAB ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝12AD ＝2，所以PB ==PD ==BD ==所以162DPB S == .设点C 到平面PBD 的距离为d ，由VC －PBD ＝VP －BCD ，得1133DPB BCD S d S PA ⋅=⋅ ，162d BC AB PA =⋅⋅⋅，则162222d =⨯⨯⨯，解得23d =.22．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，E F 、分别是棱BC PD 、的中点.(1)求证:EF 平面PAB ;(2)若60PA AD EF AD AP AB AD PAB ⊥⊥==∠= ，，，，求二面角D PB A --的正切值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先证明BEFG 是平行四边形，所以有EF BG ，从而根据线线平行得到线面平行.（2）先证明DH PB ⊥，从而得到DHA ∠是二面角D PB A --的平面角，再根据线段数量关系求正切值即可.【详解】（1）证明:取PA 中点G ，如图所示.E F 、分别为BC PD 、中点，∴GF AD ∥，且12GF AD =，又 ABCD 是平行四边形，BE AD ∴∥，且12BE AD =，所以GF BE ∥，且GF BE =，所以BEFG 是平行四边形，所以EF BG ，因为EF ⊄平面PAB BG ⊂，平面PAB ，所以EF 平面PAB .（2）因为EF BG AD EF ⊥∥，，所以AD BG ⊥，因为AD PA ⊥，且BG PA G BG ⋂=⊂，平面PAB PA ⊂，平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB .取PB 中点H ，（如上图），因为PA AB =，所以AH PB ⊥，因为AD ⊥平面PAB PB ⊂，平面PAB ，所以AD PB ⊥，而AD AH A AD AH ⋂=⊂，，平面ADH ，所以PB ⊥平面ADH DH ⊂，平面ADH ，所以DH PB ⊥，所以DHA ∠是二面角D PB A --的平面角.设2AP AB AD a ===，因为60PAB ∠= ，所以AH =，所以tan DA DHA AH ∠==。

重庆市重点高中高二下学期期中数学试题(解析版)

一、单选题1．已知，则m 等于（）2188C C m m -=A ．1 B ．3 C ．1或3 D ．1或4【答案】C【分析】根据组合数的性质即可求解.【详解】由可知:或者,解得:或2188C =C m m -21m m =-2-18m m +=1m =3m =故选：C2．函数在上的图像大致为（） ()3sin xf x x x=-[]π,π-A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答. 【详解】函数定义域为， 3sin ()xf x x x=-(,0)(0,)-∞+∞ 而，且， 33sin()sin ()()()x xf x x x f x x x--=--=--≠-()()f x f x -≠-即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD ； ()f x 而当时，，排除选项A ，选项B 符合要求. πx =()(π)πf x f ==故选：B3．在中国地图上，西部五省（甘肃、四川、青海、新疆、西藏）如图所示，有四种颜色供选择，要求每省涂一色，相邻省不同色，则不同的涂色方法有（）种.A ．48B ．72C ．96D ．120【答案】B【分析】结合分步、分类计数原理求得正确答案.【详解】先进行编号：新疆、甘肃、青海、西藏、四川， A B C D E 按的顺序进行涂色，其中颜色可以相同或不相同， A B C D E →→→→,B D 所以不同的涂色方法数有种. ()432121172⨯⨯⨯⨯+⨯=故选：B4．已知函数在上单调递增，则实数a 的取值范围为（） ()212ln 22g x x a x x =--()0,∞+A ．B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D【分析】首先求出函数的导函数，参变分离，可将原问题转化为在上恒成立，再2(2)a x x -…(0,)+∞由配方法，即可得解．【详解】解：因为在上单调递增， 21()2ln 22g x x a x x =--(0,)+∞所以在上恒成立，即在上恒成立， 2()20ag x x x'=--…(0,)+∞2(2)a x x -…(0,)+∞而，当且仅当时，等号成立， 2(2)(1)11y x x x =-=---…1x =所以，即，21a - (1)2-a …所以实数的取值范围为．a 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦故选：D ．5．3个0和2个1随机排成一行，则2个1相邻的概率为（）A ．B ．C ．D ．15253545【答案】B【分析】先求出将3个0和2个1随机排成一行的排法，再求出2个1相邻的排法，由古典概型求解即可.【详解】将3个0和2个1随机排成一行，只需要在5个位子中选2个放1即可，有种排25C 10=法；其中2个1相邻，只需要将2个1捆绑，在4个位子中选1个放1即可，有种排法；14C 4=则2个1相邻的概率为. 42105=故选：B.6．已知椭圆：（）的左右焦点分别为、，为椭圆上一点，C 22221x y a b+=0a b >>1F 2F P，若坐标原点到，则椭圆离心率为（） 1260F PF ∠=︒O 1PFA B C D 【答案】D【分析】设，，通过椭圆的定义，以及三角形的解法求出直角三角形的1PF m =2PF n =2m n a +=边长关系，利用勾股定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．【详解】设，， 1PF m =2PF n =作，，1ON PF ⊥21F M PF ⊥，，， 2F 1260F PF ∠=︒即有，，由，13PM a =223PF a =2m n a +=可得，1MF a =因为，在直角三角形中，由勾股定理得， 122FF c =12F MF 2224a c ⎫+=⎪⎪⎭可得 c e a ==故选：D ．7．有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂,,A B C 至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（） A A ．12 B ．14 C ．36 D ．72【答案】B【分析】根据题意，分厂只接受1个女生和厂接受2个女生两类情况，结合厂的分派方A A ,B C 案，利用分类、分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，可分为两种情况：①若厂只接受1个女生，有种分派方案，A 12C 2=则厂分派人数可以为或，则有种分派方案，,B C 1,22,11233C C 6+=由分步计数原理可得，共有种不同的分派方案； 2612⨯=②若厂接受2个女生，只有1种分派方案，A 则厂分派人数为，则有种分派方案，,B C 1,112C 2=此时共有种不同的分派方案，122⨯=综上，由分类计数原理可得，共有种不同的分派方案. 12214+=故选：B.8．已知函数，关于的方程恰有两个不等实根，则()232,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩x ()f x a =()1212,x x x x <的最大值为（）212x x ⋅A ． B ．C ．D ．e 2e 22e 2e 【答案】B【分析】作出函数的图像，数形结合可得出实数a 的取值范围，将用a 表示，可得()y f x =12,x x 表示为以a 为自变量的函数，利用导数可求函数的单调性，进而求出最大值.212x x ⋅【详解】解：作出函数的图像如下图所示：()y f x =由图像可知，当时，直线与函数的图像有两个交点，，3a ≤y a =()y f x =()1,x a ()2,x a ，则，可得， 12x x < 21232ln x a x a ⎧-=⎨=⎩21232e a ax x -⎧=⎪⎨⎪=⎩， ()21213e 2a a x x =⋅⋅-∴构造函数，， ()()13e 2x g x x =⋅-3x ≤则，()()111e 3e 1e 222x xx g x x x ⎛⎫'-+⋅-=- ⎪⎝⎭=当，，此时函数单调递增， 2x <()0g x '>()y f x =当，，此时函数单调递减，23x <≤()0g x '<()y f x =，()()()22max1e 32e 222g g x =-==⋅故选：B.二、多选题9．下列导数运算正确的有（） A ．B ． 211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭()2ln 2'x x=⎡⎤⎣⎦C ．D ．()22'2xxee=()()'1x xxe x e =+【答案】CD【分析】根据导数的运算法则依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，，故错误；211'x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于B 选项，，故错误；()1ln 2'x x =⎡⎤⎣⎦对于C 选项，，故正确；()22'2xxee=对于D 选项，，故正确.()()'1x x x xxe e xe x e =+=+故选：CD10．已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（） {}n a n S n 78S S =A ． B ．0d ＞80a =C ． D ．、均为的最大值150S >7S 8S n S 【答案】BD【分析】根据等差数列的性质以及其前项和的性质，逐个选项进行判断即可求解 n 【详解】因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A 错误； {}n a 10n n a a +-<0d <因为，所以，故B 正确； 78S S =8870a S S =-=因为，故C 错误； ()115158151502a a S a +===因为由题意得，，所以，，故D 正确；789000a a a >⎛ = <⎝*78()n S S S n N =≥∈故选：BD11．带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（） A ．全部投入4个不同的盒子里，共有种放法54B ．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法34C C ．将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法 4154C C D ．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 2454C A 【答案】ACD【分析】对A ：根据分步乘法计数原理运算求解；对B ：分类讨论一共用了几个球，再结合捆绑法运算求解；对C ：根据分步乘法计数原理运算求解；对D ：利用捆绑法运算求解.【详解】对于A ：每个球都可以放入4个不同的盒子，则共有种放法，A 正确； 5444444⨯⨯⨯⨯=对于B ：放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则有：全部投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，B 错误；2454C A 240=对于C ：先选择4个球，有种，再选择一个盒子，有种，故共有种放法，C 正确；45C 14C 4154C C对于D ：全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，则相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，D 正确；2454C A 240=故选：ACD.12．已知函数的定义域为，则下列说法正确是（） ()cos f x ax x =+[]0,πA ．若函数无极值，则()f x 1a ≥B ．若，为函数的两个不同极值点，则 1x 2x ()f x ()()12πf x f x a +=C ．存在，使得函数有两个零点 R a ∈()f x D ．当时，对任意，不等式恒成立 1a =[]0,πx ∈()21e 2xf x x ≤+【答案】BCD【分析】函数无极值，则或，求解即可判断A ；若，为函数的()f x ()0f x '≥()0f x '≤1x 2x ()f x 两个不同极值点可得，即，代入可求出的值，可判断()()120f x f x ''==12πx x +=()()12f x f x +B ；要使得函数有两个零点，即与有两个交点，画出图象即可判断C ；当()f x cos y x =y ax =-时，对任意，不等式恒成立即证明在1a =[]0,πx ∈()21e 2x f x x ≤+()21cos e 02x g x x x x =+--≤上恒成立即可判断D.[]0,πx ∈【详解】对于A ，若函数无极值，，， ()f x ()sin f x a x =-'[]0,πx ∈则或恒成立，则或， ()0f x '≥()0f x '≤()max sin a x ≥()min sin a x ≤当，则，解得：或，故A 不正确；[]0,πx ∈[]sin 0,1∈x 1a ≥0a ≤对于B ，若，为函数的两个不同极值点，，所以1x 2x ()f x ()()1212sin sin 0'==--'==f x f x a x a x ，12sin sin x x =因为，则，∴，故B 正确； []0,πx ∈12πx x +=()()121122cos cos πf x f x ax x ax x a +=+++=对于C ，存在，使得函数有两个零点，与有两个交点，R a ∈()f x cos cos =-⇒=x ax y x y ax =-在处的切线平行于轴，过原点的切线在的左侧稍微旋转后可得两个交点，cos y x =()π,1-x ()π,1-故C 正确；对于D ，当时，对任意，不等式恒成立 1a =[]0,πx ∈()21e 2xf x x ≤+， ()2211cos e cos e 022x x x x x g x x x x +≤+⇒=+--≤，()20100cos00e 02g =+-⨯-=，，()1sin e x g x x x =--'-()001sin00e 0g =---='令，()1sin e xh x x x =---对任意恒成立，()cos 1e 0x h x x --'=-≤[]0,πx ∈在上单减，， ()1sin e x h x x x =---[]0,π()001sin00e 0h =---=对任意恒成立，所以，()1sin e 0x h x x x =---≤[]0,πx ∈()0g x '≤在上单减，()21cos e 2x g x x x x =+--[]0,π()20100cos00e 02g =+-⨯-=对任意恒成立，故D 正确. ()21cos e 02xg x x x x =+--≤[]0,πx ∈故选：BCD.【点睛】方法点睛：函数零点和方程根的问题往往利用数形结合转化成函数图象交点的问题，导数恒成立、极值问题通常构造函数并利用导数研究其单调性即可得出结论.三、填空题13．甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有__________种.（填数字）【答案】144【分析】根据相邻问题捆绑，不相邻问题插空，结合分步乘法计数原理即可求解.【详解】第一步：现将除甲乙丙之外的三个人全排列，有种方法，33A 6=第二步；将甲乙捆绑看成一个整体，然后连同丙看成两个个体，插空共有种方法，24A 12=第三步：甲乙两个人之间全排列，22A 2=由分步乘法计数原理可得总的排法有， 6122144⨯⨯=故答案为：14414．已知的展开式中含项的系数为，则______. ()()52x a x +-3x 60-=a 【答案】/ 120.5【分析】求出的展开式通项，然后利用含项的系数为列方程求解. ()52x -3x 60-【详解】，()()()()555222x a x x x a x +-=-+-又的展开式通项为， ()52x x -()()56155C 22C r rr r r r r xT x x x --+=-=-的展开式通项为， ()52a x -()()55155C 22C r rr r r r r aT a x a x --+=-=-，解得. ()()3232552C 2C 60a ∴-+-=-12a =故答案为：. 1215．如图，直三棱柱中，，为线段上的一个动111ABC A B C -122BC AA ==AB AC ==P 1A B 点，则的最小值是_______.PA PC +【分析】根据已知条件及直棱柱的性质，结合直角三角形的性质及勾股定理即可求解. 【详解】将图中的和放置于同一平面内，如图所示，11AA B A 1A BC A 2则.PA PC AC +≥因为直三棱柱中，，，111ABC A B C -122BC AA ==AB AC =所以中，.1Rt A AB △1130,2ABA A B ∠==同理，在中，, 1A AC △12AC =所以160,A BC ∠=所以在图中，, 21190ABC ABA A BC ∠=∠+∠=所以,即2227AC AB BC =+=AC =所以. PA PC +.16．已知函数有三个零点，且有，则()()2e 820e x x x xf x x m m -=-+≠123,,x x x 123x x x <<的值为________. 11e 2x x ⎛- ⎝【答案】12【分析】由得出，令，得出()0f x =2e e 2(4)2120x xm x x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e 2x t x =-2(4)120t m t ++-=，利用导数得出的图象，由零点的个数，结合图象求解即可.e ()2xg x x=-【详解】若，则，即()0f x =2e 820e x x x x x m --+=22e 8e e 20x x x mx mx -⋅-+=当时，可得，不成立，故0x =0e 0=0x ≠等式两边同除以，得∴2x 22e 8e e 20x x xm m x x x--+=即 2e e 2(4)2120x xm x x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，则e 2xt x=-2(4)120t m t ++-= 22Δ(4)41(12)(4)480m m ⎡=+-⨯⨯-=++>⎣方程有两个不等的实根，，∴12,t t 12120t t ⋅=-<令，则，令， 10t >20t >e ()2x g x x =-()21()x e x g x x '-=当时，，当或时，(1,)x ∈+∞()0g x '<(0,1)x ∈(,0)x ∈-∞()0g x '>即函数在上单调递减，在，上单调递增， ()g x (1,)+∞(0,1)(,0)-∞(1)2e 0g =-<如下图所示函数有三个零点，()f x 123,,x x x 123x x x <<31212123e e e 2,22x x x t t x x x ∴=-=-=-由图可知，121e 212x t t x ⎛-=-⋅ =⎝故答案为：12【点睛】方法点睛：已知零点的个数求参数的范围一般思路：利用导数得出函数的简图，由交点的个数结合图象得出参数的范围.四、解答题17．已知()*(31),n f x x n N =-∈(1)若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中的系数；()f x 2x (2)苦，且，求. 2023n =()2023220230122023(31)f x x a a x a x a x =-=++++ 012023a a a +++ 【答案】(1)594 (2) 20234【分析】（1）根据二项式系数的性质可求出，然后可求的系数；n 2x （2）根据展开式系数特点判定系数正负去掉绝对值，然后给赋值就可求出和.x 【详解】（1）由于的二项展开式中第7项的二项式系数为且最大，可得，则()f x 6C n 12n =，所以当时，故展开式中的系数为594； 12112C (3)(1)r r r r T x -+=-10r =1021021112C (3)(1)594T x x =-=2x （2）若，由可知当为奇数时，即的奇次项2023n =20232023120232023C (3)(1)(1)3C r r r r r r rr T x x --+=-=-⋅r x系数为正，当为偶数时，即的偶次项系数为负，所以r x ，又01202301232023a a a a a a a a +++=-+-++⋅⋅⋅+ ，故. ()202301232022033241(31)f a a a a a -=--=-+=--- 20230120234a a a +++= 18．已知函数是的极大值点. ()()()235ln 23,R ,2f x x x a x a a =+-+∈()f x (1)求的值； a (2)求函数的极值. ()f x 【答案】(1)1 (2)极大值，极小值 132-5555ln 36-【分析】（1）由极值点的定义可得，解方程求，验证所得结果是否满足要求； ()0f a ¢=a （2）由（1）可得，结合极值的定义可求函数的极值. 1a =【详解】（1）函数的定义域为， ()()235ln 232f x x x a x =+-+()0,∞+导函数为 ()()()232355323x a x f x x a x x-++'=+-+=∵是函数的极大值点，a ()f x ，即，()()232350f a a a a ∴=++'-=2650a a -+=解得或，1a =5a =当时，，1a =()2385x x f x x-+='当时，，函数在上单调递增， 01x <<()0f x ¢>()f x ()0,1当时，，函数在上单调递减， 513x <<()0f x '<()f x 51,3⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增， 53x >()0f x ¢>()f x 5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当时，函数取得极大值，符合题意；∴1x =()f x 当时，，5a =()23165x x f x x-+'=当时，，函数在上单调递增， 103x <<()0f x ¢>()f x 10,3⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递減， 153x <<()0f x '<()f x 1,53⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增，5x >()0f x ¢>()f x ()5,+∞当时，函数取得极小值，不符合题意；∴5x =()f x 综上，，1a =（2）当a =1时，， ()235ln 82f x x x x =+-由（1）可得当时，，函数在上单调递增， 01x <<()0f x ¢>()f x ()0,1当时，，函数在上单调递减， 513x <<()0f x '<()f x 51,3⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增，53x >()0f x ¢>()f x 5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以当时，函数取得极大值， 1x =()f x 132-当时，函数取得极小值.53x =()f x 5555ln 36-19．已知数列的前n 项和为Sn ，满足． {}n a 2n n a S n +=(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；{}2n a -{}n a (2)若不等式2对任意的正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．2(23)(2)n n a λλ->--【答案】(1)证明见详解； *1122n n a n N -=-∈，(2) 1322λ<<【分析】（1）利用得，变形得，则可证明等比数列，根据等1n n n a S S -=-122n n a a -=+11222n n a a -=--比数列的通项公式可得答案；（3）令，通过计算的正负，求出的最大值，将题目转()()()232n f n n a =--()()1f n f n +-()f n 化为，解不等式即可.()2max 2f n λλ->【详解】（1）①2n n a S n += ②1122,2n n a S n n --∴+=-≥①-②得，即， 12n n n a a a -+=-122n n a a -=+变形可得，11222n n a a -=--又，得112a S +=11a =故数列是以-1为首项，为公比的等比数列，{}2n a -12由等比数列的通项公式可得， 1122n n a --=-. *1122n n a n N -∴=-∈，（2）令，则 ()()()232n f n n a =--()1232n n f n --=()()12123521222n n nn n nf n f n ----∴+-=-=当或时，， 1n =2n =()()10f n f n +->当时， 3,n n N ≥∈()()10f n f n +-<又，， ()334f =()max 34f n ∴=因为不等式对任意的正整数恒成立，()()22232n n a λλ->--n ，解得. 2324λλ∴->1322λ<<20．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AD BD ，AB ＝2AD ，且PD ⊥底面⊥ABCD ．(1)证明：平面PBD ⊥平面PBC ； (2)若二面角P －BC －D 为，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值． π6【答案】(1)见解析【分析】（1）根据平行线的性质以及线面垂直的判定定理，结合线面垂直性质定理以及面面垂直性质定理，可得答案；（2）由题意，建立空间直角坐标系，利用二面角的定义以及勾股定理，求得棱长，写出点的坐标，求得平面的法向量，根据计算公式，可得答案.【详解】（1）在平行四边形中，，，，ABCD //AD BC AD BD ⊥ BC BD ∴⊥平面，平面，，PD ⊥ ABCD BC ⊂ABCD PD BC ∴⊥，平面，平面，PD BD D ⋂= ,PD BD ⊂PDB BC ∴⊥PDB 平面，平面平面. BC ⊂ PBC ∴PBD ⊥PBC （2）由题意，建立空间直角坐标系，如下图所示：设，则，在中，，1AD =2AB =Rt △ABD BD ==平面，平面，，CB ⊥ PDB PB ⊂PDB CB PB ∴⊥，平面，平面，BD CB ⊥ PB ⊂PBC BD ⊂ABCD 在二面角的平面角，即， PBD ∴∠P BC D --π6PBD ∠=在中，， Rt PDB A sin 1PD BD PBD =÷∠=在平行四边形中，，ABCD 1AD BC ==则，，，，()1,0,0A()B ()C -()0,0,1P ，，，()1,0,1AP =-()0,BP = ()1,CP = 设平面的法向量为，PBC (),,n x y z =则，即，化简可得，00n BP n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00z x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩0x z =⎧⎪⎨=⎪⎩令，的一个法向量，1y=z =PBC (n =设与平面的夹角为，AP PBC θsin θ21．已知点,,动点,满足直线与直线的斜率之积为,记动点的轨迹()2,0A -()2,0B (),S x y AS BS 14-S 为曲线.C (1)求曲线的方程.C (2)设经过点且不经过点的直线与曲线相交于M ,N 两点,求证:为定值.()1,1--()0,1P l C PM PN k k +【答案】(1)()221,24x y x +=≠±(2)证明见解析【分析】(1)根据题意,由各个点的坐标,根据斜率公式代入上式,进行化简即可得曲线方14AS BS k k ⋅=-程;(2)先考虑直线斜率不存在的情况,写出直线方程,求出M ,N 两点坐标,求出,计算,在l ,PM PN k k PM PN k k +考虑斜率存在的情况,设出直线方程及M ,N 两点坐标,联立方程组,判别式大于零,韦达定理,写出,化简并计算即可得出结果,证明结论.,PM PN k k PM PN k k +【详解】（1）解:因为,直线与直线的斜率之积为,(),S x y AS BS 14-所以,即,, 14AS BS k k ⋅=-1224y y x x ⋅=-+-2x ≠±化简可得:,()221,24x y x +=≠±故曲线的方程为:;C ()221,24x y x +=≠±（2）证明:①当直线的斜率不存在时,直线,l :1l x =-与曲线联立可得:, C ,1,M N ⎛⎛--⎝⎝此时11PM PN k k ==+所以;2PM PN k k +=②当直线的斜率存在时,设直线, l :l y kx m =+因为直线经过点且不经过点, l ()1,1--()0,1P 所以,设,1,1k m m =+≠()()1122,,,M x y N x y 联立可得:, 2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222418440k x kmx m +++-=所以,解得:,()()222264441440k m k m ∆=-+->2241k m +>由韦达定理可得:, 2121222844,4141km m x x x x k k --+=⋅=++因为, 121211,PM PN y y k k x x --==所以 ()12212121211211PM PN x y x y x x y y k k x x x x +-+--+=+=()()()12212112x kx m x kx m x x x x +++-+=()()12211221kx x m x x x x +-+=()222224482141414441m km k m k k m k --⋅+-⋅++=-+()()222448144k m km m m ⋅---=- 222888844km k km kmm --+=-,()()()21222111k m k km m m k-====-++综上:为定值2.PM PN k k +【点睛】思路点睛:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,关于定值问题的思路有: (1)根据题意分情况讨论直线斜率是否存在; (2) 设直线方程,联立方程组; (3) 判别式大于零,韦达定理;(4) 根据题意建立关于的等式,化简即可. 1212,x x x x +⋅22．已知函数． ()()1ln 1f x ax x=-+(1)若函数的最小值为0，求实数的值； ()f x a (2)证明：对任意的，，恒成立．*n ∈N ()0,x ∈+∞()11e ln x nxx n--≥【答案】(1) 1a =(2)证明见解析【分析】（1）由题，，按和分类讨论，求函数的最小值，解得a 的值；0a ≠0a >a<0（2）由（1）得，即，对命题进行放缩，证明，构1ln 1x x ≥-ln 1≤-x x ()111e e 1ln 0xn x x n ⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭造函数，求导数，证明最小值大于或等于零，即原不等式成立.()()e 1ln mg m x m =--【详解】（1）当时，函数的定义域为，， 0a >()0,∞+()22111x f x x x x-'=-=当，，单调递减， ()0,1x ∈()0f x '<()f x 当，，单调递增， ()1,x ∈+∞()0f x ¢>()f x 所以，可得； ()()min 1ln 0f x f a ===1a =当时，函数的定义域为，， a<0(),0∞-()221110x f x x x x-'=-=<在上单调递减，无最小值，不合题意． ()f x (),0∞-综上，.1a =（2）证明：由（1）可得不等式恒成立，用替代可得， 1ln 1x x≥-1xx ln 1≤-x x ，由，()()1111e ln 1e ln ln x x nn x x x x n n---≥⇔--≥1ln x x -≥即证，即证，()111e ln 1x n x x n ---≥-()111e e 1ln 0xn x x n ⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭令，构造函数，，(]10,1m n =∈()()e 1ln mg m x m =--()1e 1ln m g m m x m ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭由，，1ln 1m m≥-11ln 0m m --≤所以，在上单调递减，，()0g m '≤()g m (]0,1()()()1e 1g m g x ≥=-所以，()()()()()111e e 1ln 1e e 11e e xx xnx x x x x n ⎛⎫-+--≥-+-=-- ⎪⎝⎭由于，在，上同号，在时两式相等，1x -e e x -()0,1()1,+∞1x =所以，()()1e e 0xx --≥所以对任意的，，恒成立．*n ∈N ()0,x ∈+∞()11eln x nxx n--≥【点睛】要证对任意恒成立，变换主元，构造函数()111e e 1ln 0xnx x n ⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭()0,x ∈+∞，求出m 取不同值时函数的变化规律，得函数的最小值，可得只要证()()e 1ln m g m x m =--()g m 对任意恒成立.()()1e e 0x x --≥()0,x ∈+∞。

2022-2023学年山西省新高考高三上学期期中数学试题+答案解析(附后)

2022-2023学年山西省新高考高三上学期期中数学试题1. 已知集合M ，N ，若，，则( )A. B.C. D.2. 已知，，则p 的否定是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 在数列中，则( )A. 36B. 15C. 55D. 664. 已知数列的前n 项和为，且满足，，则( )A. 0B.C. 1D.5. 已知数列满足，，则数列( )A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项6.已知数列是等差数列，且若是和的等差中项，则的最小值为( )A.B. C. D.7. 对于数列，若存在常数M ，使得对任意正整数n ，与中至少有一个不小于M ，则记作▹，那么下列命题正确的是.( )A. 若▹，则数列各项均不小于MB. 若▹，▹，则▹C. 若▹，则D.若▹，则▹8. 已知数列的首项，函数有唯一零点，则通项( )A.B.C. D.9. 已知数列的通项公式为，则( )A.B.C. D.10. 已知等差数列的前n 项和为，公差为d ，则( )A.B.C.D.11. 已知函数，则下列叙述正确的是( )A. 的最小正周期为B. 是奇函数C. 的图象关于对称D. 不存在单调递减区间12. 对于正整数n，是不大于n的正整数中与n互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数.例如：则( )A. B. 数列为等比数列C. 数列不单调D.13. 已知锐角满足，则__________.14. 已知数列是等差数列，，，则__________.15.如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且，记，如记为，记为，记为……依此类推.设数列的前n项和为，则__________，__________.16. 某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计__________年初的存栏量首次超过8900头参考数据：，17. 已知数列满足，，设证明：数列为等比数列;设数列，记数列的前n项和为，请比较与1的大小.18.记数列的前n项和为，已知，求的通项公式；若，数列的前n项和为，，数列中的最大项是第k项，求正整数k的值.19.在中，设角所对的边分别为，且满足求证：；求的最小值．20. 已知函数，当时，比较与2的大小；求证：，21. 记等差数列的前n项和为，公差为d，等比数列的公比为，已知，，求，的通项公式；将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列，求的前100项和.22. 已知函数求函数的极值;若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查元素与集合的关系，集合的包含关系判断，交集运算，属于基础题.根据集合N中所含元素的可能性逐一判断即可.【解答】解：，，对于A，当集合时，M不是N的子集，故A错误；对于B，当集合时，N不是M的子集，故B错误；对于C，当集合时，，故C错误；对于D，因为，，且，所以，故D正确.故选：2.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分、必要条件的判断，解分式不等式，属于基础题.求解分式不等式，结合集合之间的包含关系，即可判断充分性和必要性.【解答】解：由，解得或，所以p的否定为：，因为不是的子集，且是的子集，所以p的否定是q的必要不充分条件.故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查根据数列的递推公式求数列的项，属于基础题.利用递推公式，代入计算即可.【解答】解：由题意得，，则故选4.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用分组法求和，属于基础题.由求解即可.【解答】解：故选：5.【答案】A【解析】【分析】本题考查数列的单调性，根据数列的递推公式求通项公式，属于一般题.根据递推公式求得，再根据的单调性，即可判断.【解答】解：因为，，所以当时，；当时，，故，因为函数在区间上单调递减，所以当，时，是递减数列，又，所以，且，故数列的最小项为，最大项为故选：6.【答案】A【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式，等差中项，利用基本不等式求最值，属于中档题.易知是正项等比数列，根据，得到，再根据是和的等差中项，得到，然后结合“1”的代换，利用基本不等式求解即可.【解答】解：因为数列是等差数列，所以是正项等比数列，又，所以，解得或舍，又因为是和的等差中项，所以，则，则，所以，且m，，且，，所以，令，则，所以，当且仅当时，即时取等号．故选：7.【答案】D【解析】【分析】本题考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义▹，属于较难题．举出反例，易知A、B、C不正确；根据题意，若▹，则中，与中至少有一个不小于，故可得D正确．【解答】解：A中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为，数列各项均不小于M不成立，故A不正确；B中，数列为1，2，1，2，1，2…，为2，1，2，1，2…，M可以为，而各项均为3，则▹不成立，故B不正确；C 中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为，此时不正确，故C错误；D 中，若▹，则中，与中至少有一个不小于，故▹，故D正确．故选：8.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的判定，等比数列的通项公式，函数与数列的综合应用问题，属于较难题.由奇偶性定义可判断出为偶函数，由此可确定唯一零点为，从而得到递推关系式，利用递推关系式可证得数列为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到【解答】解：函数的定义域为R，且，为偶函数，图象关于y轴对称，的零点关于y轴对称，又有唯一零点，的零点为，即，，即，又，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，则故选9.【答案】BC【解析】【分析】本题考查求数列的项，求数列的前n项和，属于中档题.由题，由通项求出至，再由定义求出即可判断.【解答】解：由题，，故A错；，故B对；，故C对；，故D错.故选：10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查等差数列的基本量计算，等差数列的前n项和公式，属于中档题.根据前n项和公式，以及数列通项与前n项和的关系，结合等差数列的性质，进而可得即可.【解答】解：由题意得：对于选项A：当时，则，解得，即A正确；对于选项B：由A可知，，则，即B正确；对于选项C：由上可知，则，即C错误；对于选项D：因为，且，所以，即D正确.故选：11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查函数的性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.利用特殊值可判断AC，利用奇函数的定义可判断B，利用导数可判断【解答】解：因为，所以，，故A错误；令，则，所以是奇函数，故B正确；又，所以，所以的图象不关于对称，故C错误；因为，所以不存在单调递减区间，故D正确.故选12.【答案】BC【解析】【分析】本题考查数列的新定义问题，等比数列的判定与证明，属于中档题.对于A，利用列举法即可判断；对于B，由3是质数，得与互质的数有个，可得，根据等比数列的定义判断即可；对于C，举特例判断不单调即可；对于D，由7为质数，可得与不互质的数共有个，结合对数运算即可求解.【解答】解：不大于28且与28互质的数有1，3，5，9，11，13，15，17，19，23，25，27，共12个，所以，故A错误；因为与互质的数有1，2，4，5，7，8，10，11，…，，，共个，所以，，所以数列是以3为公比的等比数列，故B正确；因为，，所以，故数列不单调递增，又，所以数列不单调递减，所以数列不单调，故C正确；因为7为质数，所以与不互质的数为7，14，21，…，，共有个，所以，故D错误.故选：13.【答案】【解析】【分析】本题考查利用同角三角函数基本关系化简求值，二倍角的正弦公式，属于基础题.利用同角三角函数基本关系及倍角公式计算即可.【解答】解：因为，所以，又为锐角，，所以，即，所以，所以故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题.令，可得，，根据等差数列的通项公式，进而写出数列的通项公式，可得答案.【解答】解：令，因为，，所以，，则的公差为，所以，故，所以故答案为：15.【答案】43【解析】【分析】本题考查根据数列的递推公式求数列的项，等差数列的前n项和公式，属于中档题.根据点按一定的规律性变化的特点，找到所在位置即可求解.【解答】解：由题意知第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即……依此类推，可得第n圈的8n个点对应的8n项的和为0，即，设在第k圈，则，当时，，由此可知前22圈共有2024个数，故，点的坐标为，则，点的坐标为，则，所以故答案为：16.【答案】2036【解析】【分析】本题考查等比数列在实际生活中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．由题意得，设2022年年初的存栏数为，则，由题意得，构造数列求出数列通项公式，由此能求出结果．【解答】解：由题意得，设2022年年初的存栏数为，则，由题意得，化简得，令将代入得，，得，故，即，故数列是以700为首项，为公比的等比数列，故，令，解得，两边取对数得，即因为，故，则，故预计2036年初存栏量超过8900头，故答案为：17.【答案】证明：数列满足，，则，由于，故，因为，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.解：由得，所以，所以，，因为，所以【解析】本题考查了等比数列的判定和通项公式，裂项相消求和，属于中档题.根据题意可得，进而得，可证明结论；根据的结论求得，再根据裂项相消法可求得，即可求得结论.18.【答案】解：当时，，解得；当时，由①，得②，①-②，得，即，又，所以，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以，当时，符合，所以的通项公式为；由得，所以③，④，③-④，得，所以，所以，所以，令，得，又，解得，当时，可得，此时数列单调递减，故数列中的最大项为第2项，即【解析】本题考查数列的前n项和与的关系，等差数列的通项公式，错位相减法求和，数列的单调性，属于中档题.当时，得，当时，利用，即可得到通项公式；由得，利用错位相减法求得，代入，通过判断数列的后一项与前一项的大小关系得到中的最大项.19.【答案】解：在中，由已知及余弦定理得到：，即由正弦定理得到，又，故，因为，所以，因为，所以所以由得，所以，，由，得，当且仅当时取等号，所以时，取得最小值【解析】本题考查正、余弦定理，考查两角和与差的正弦公式，考查二倍角公式，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.由正余弦定理结合三角形内角和公式可得结论；由得到，，得，再由基本不等式可得最值.20.【答案】解：当时，，，所以，所以在上单调递增，又因为，所以当时，，当时，，当时，证明：由知，当时，，即，令，，则有，即，所以，即，【解析】本题考查利用函数导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．利用函数的导数求出的单调性，结合，即可得出结论．根据的结论，当时，，令，，有，利用累加以及对数的运算，证得结论．21.【答案】解：由，得，因为，所以，结合，可得，，，解得，，所以数列的通项公式为，数列的通项公式为；由可知，当时，，又，所以，，，，，，，，，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，所以数列的前100项中与数列中相同的项共有4项，即4，16，64，256，即为的前8项中的偶数项，将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列，则的前100项为数列的前100项中剔除与数列相同的4项后剩余的96项与的前8项中剔除与数列相同的4项后剩余的4项，所以的前100项和为【解析】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，分组法求和，属于较难题.根据等差数列的求和公式以及等比数列的通项公式，整理方程，解得公比和公差，可得答案；由题意，求得等差数列的第100项，逐项求解等比数列，利用等差数列建立方程，找出相同项，分组求和，可得答案.22.【答案】解：由题意得：，，所以，令，解得，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.所以有极小值，为，无极大值.由已知得，对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则对任意恒成立，下证：对任意恒成立，令，则在上恒成立，且仅当时取"="所以在上单调递减，，即，所以对任意恒成立，只需在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，所以，即a的取值范围为【解析】本题考查了利用导数求函数的极值，利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数解不等式，属于较难题．对函数求导，得到函数的单调性，即得到函数的极值;原不等式可化为对任意恒成立，令，利用函数单调递增求a的取值范围.。

2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复数，则下列说法正确的是（）53i1i z +=-A ．z 的虚部为4i B ．z 的共轭复数为1﹣4iC ．|z |＝5D ．z 在复平面内对应的点在第二象限【答案】B【分析】根据复数的乘法除法运算化简，再由共轭复数的概念求解.【详解】∵，()()()()53i 1i 53i 28i14i 1i 1i 1i 2z ++++====+--+∴ z 的虚部为4, z 的共轭复数为1﹣4i ，|z |z 在复平面内对应的点在第一象限.故选：B2．在ΔABC 中,若 ,则=（）3,4,60AB AC BAC ==∠=︒BA AC ⋅A ．6B ．4C ．-6D ．-4【答案】C【分析】向量的点乘，=cos ,BA AC BA AC BA AC ⋅⋅⋅<>【详解】,选C.1==cos 3462BA AC AB AC AB AC BAC ⋅-⋅-⋅⋅∠=-⨯⨯=- 【点睛】向量的点乘，需要注意后面乘的是两向量的夹角的余弦值，本题如果直接计算的话，的夹角为∠BAC 的补角BA AC与3．为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（）sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin y x =A ．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度123πB ．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度126πC ．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度123πD ．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度6π【答案】B【分析】利用函数图象平移、伸缩变换的法则依次判定各个选择支的变化之后的函数解析式是否符合题目要求即可作出判定.【详解】把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，sin y x =12sin 2y x =接下来若向左平移个单位长度，得到函数的图象；π32sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若向左平移个单位长度，得到函数的图象；π6sin 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故A 错误，B 正确；C 中的伸长到原来的本身说法矛盾，后面的平移参照A 也是错误的，故C 错误；12D 中伸长到原来的2倍，得到函数的图象，在无论怎样平移都得不到所要求的函数的图象，sin2xy =故D 错误.故选：B4．已知向量，，且，则（）(6,2)a =- (1,)b m = a b ⊥ 2a b -=A ．B ．C ．D ．810【答案】B【分析】由得，从而得，再求模长即可.a b ⊥620a b m ⋅=-= 2(4,8)a b -=- 【详解】向量，，且，(6,2)a =- (1,)b m = a b ⊥所以，解得，所以，，620a b m ⋅=-=3m =(1,3)b = 2(4,8)a b -=-所以a -= 故选：B.5．等于（备注：）（）)tan 70cos10201︒⋅︒︒-sin 22sin cos ααα=A ．1B ．2C ．D ．1-2-【答案】C【分析】利用切化弦思想，利用两角和差的三角角函数公式和二倍角公式化简求值即可.【详解】)tan 70cos10201︒⋅︒︒-sin 70cos101cos 70⎫︒=⋅︒⋅⎪⎪︒⎭cos 20cos10sin 20︒=⋅︒⋅︒11cos102sin 20cos 20sin 202⎛⎫=⋅︒⋅︒⨯ ⎪ ⎪︒⎝⎭()1cos102sin 20cos30cos 20sin 30sin 20=⋅︒⋅︒⨯︒-︒⨯︒︒1cos102sin(2030)sin 20=⋅︒⋅︒-︒︒12cos10sin10sin 20=-⋅︒⋅︒︒，1sin 201sin 20=-⋅︒=-︒故选：C6．已知向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角等于（）a b 3π||4a = ||2b = a 2a b + A ．B ．56π12πC ．D ．13π16π【答案】D【分析】根据已知条件求得，再利用向量的夹角计算公式，即可求解.a b ⋅【详解】向量，的夹角为，且，，故可得，ab 3π||4a = ||2b = cos 43a b a b π⋅== 则，()22216824a a b a a b ⋅+=+⋅=+=a+= 设向量与向量的夹角为，故，又，故.a 2ab + θ()2cos 2a a b a a b θ⋅+===+[]0,θπ∈θ=16π故选：D.7．中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则下列结论不正确的是ABC ::7:5:3ab c =（）A ．B ．sin :sin :sin 7:5:3A BC =0AB AC →→⋅>C ．若，则的面积是D ．是钝角三角形6c =ABC ABC 【答案】B【分析】用正弦定理即可判断A ；用余弦定理可以判断D ，再结合平面向量数量积的定义可以判断B ；先用余弦定理确定A ，再用三角形面积公式即可算出面积，进而判断D.【详解】对A ，由正弦定理可得正确；对B ，D ，设，∴，A 为钝角，()7,5,30a t b t c t t ===>22222594915cos 022t t t t A bc bc +--==<，B 错误，D 正确；||||cos 0AB AC AB AC A →→→→⋅=<对C ，∵，则，∴∴6c =14,10a b ==215601cos ,sin 21202t A Abc --===-=.1=1062ABC S ⋅⋅= 故选：B.8．已知非零向量、满足，且，则的形状是（ABAC 0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭12AB AC AB AC ⋅=ABC ）A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形【答案】D【分析】由可得，再由可求出，即得三角形形状.0AB AC BC AB AC⎛⎫ ⎪+⋅=⎪⎝⎭ AB AC =12AB AC AB AC ⋅=A ∠【详解】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，||AB AB AC ACAB AC 由，可得的角平分线与垂直，0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭ A ∠BC 所以为等腰三角形，且，ABC AB AC =且，22||||cos AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅12AB AC AB AC ⋅= 所以，又，1cos 2A Ð=()0,πA ∠∈所以，π3A ∠=所以，π3B C A ∠=∠=∠=所以三角形为等边三角形．故选：D ．二、多选题9．已知i 为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（）2i2i z =+A ．复数z 的虚部是B ．451z =C ．复数z 的共轭复数是D ．复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限24i 55=-z 【答案】AC【分析】利用复数的除法运算求得复数的标准代数形式，然后根据虚部的定义、共轭虚数的定义、复数的模的运算公式、复数的实部和虚部的正负判定各个选择支的正误.【详解】，()()()222i 2i 2i 4i 2i 24i 24i2i 2i 2i 4i 555z --+=====+++--复数z 的虚部为，，，复数z 的共轭复数对应的点位于第一象45z ==24i55=-z 限，故正确，错误，AC BD故选：.AC 10．已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在12π712πy （）A ．的最小正周期为()f x 2πB ．的最大值为2()f x C ．在区间上单调递增()f x 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．为偶函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】BC【解析】由周期求，由五点法作图求出的值，由特殊点的坐标求出A ，再利用三角函数的图象ωϕ和性质，得出结论．【详解】由图知，的最小正周期，则.()f x 721212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2ω=由，得.由，得，所以.2122ππϕ⨯+=3πϕ=()0f =sin3A π=2A =()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，则单调递增.5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,322x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦()f x 因为，则不是偶函数，22sin 22sin 26633f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：BC ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，解题的关键是会根据图象求解析式.11．如图，在四边形中，，，，E 为的中点，ABCD AB AD AC +=||2||2== AD AB 1AB AD ⋅= CD 与相交于F ，则下列说法一定正确的是（）AE DB A ．B ．在上的投影向量为1233AF AB AD=+BF ABC ．D ．若，则1AF AB ⋅= 12α=∠DEFtan α=【答案】ABC【分析】根据平面向量基本定理及平面向量的数量积的定义，利用转化法即可求解判断.【详解】解：因为在四边形中，，所以四边形为平行四边形，ABCD AB AD AC +=ABCD 又，，所以，||2||2== AD AB 1AB AD ⋅=60BAD ∠=︒对于 A ：，设，12AE AD DE AD AB =+=+ AF AE λ== 1122AD AB AD AB λλλ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭因为三点共线，,,B F D所以，解得，所以，故选项A 正确；112λλ+=23λ=1233AF AB AD=+ 对于B ：设的夹角为，因为，，,BF AB θ1AB=2,AD BD ==所以，所以，即，222AD AB BD =+BD AB ⊥θ=90︒所以在上的投影向量为，故选项B 正确；BF AB||cos 00||||AB ABBF AB AB θ⨯=⨯=对于：由题意，，故选项C 1233AF AB AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅= ⎪⎝⎭ 21212112133332AB ABAD +⋅=+⨯⨯⨯=C 正确；对于D ：，||AF==cos FAB ∠=||||AF AB AF AB ⋅==若，则，又因为，tan α=30α=︒113022DEF FAB α=∠=∠=︒所以，不满足，故选项D 不正确.260FAB α∠==︒cos FAB ∠=故选：ABC.12．对于，有如下命题，其中错误的是（）ABC A ．若，则为锐角三角形222sin sin cos 1AB C ++<ABC B ．若，，，则AB =1AC =30B =︒ABC C ．P 在所在平面内，若，则P 是的重心ABC 0PA PB PC ++=ABC D ．若，则为等腰三角形22sin sin A B =ABC 【答案】AB【分析】利用平方关系将不等式条件转化为正弦的表达式，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理得到角为钝角，从而判定A 错误；利用正弦定理求得角有两解，从而得到角也有两解，C C A 进而利用三角形面积公式求得面积有两个不同的值，从而判定B 错误；利用三角形重心的向量公式可判定C 正确；利用正弦定理角化边可得到D 正确，从而确定错误的选项为AB.【详解】若，，，222sin sin cos 1A B C ++<222sin sin 1cos A B C +<-222sin sin sin A B C +<，，故为钝角，故A 错误；222a b c +<222cos 02a b c C ab +-=<C，，，，故，AB c ==1AC b ==30B =︒c b >C B >或，所以或，sin sin c B C b ===60C =︒120︒90A =︒30︒所以面积为错误；ABC 1sin 902bc A =︒30︒=B 设的重心为，若，则ABC G 0PA PB PC ++= 00,33PA PB PC PG ++===所以，重合，故C 正确；,P G 若，根据正弦定理角化边得到,从而,∴为等腰三角形，故D 正确.22sin sin A B =22a b =a b =ABC 故选：AB三、填空题13．若,且三点共线,则＝______()()()1,2,4,8,5,A B C x --A B C 、、x 【答案】10【分析】先由三点坐标，写出向量与的坐标，再由向量共线即可得出结果.,,A B C AB AC【详解】因为，所以，，()()()1,2,4,8,5,A B C x --()5,10AB =()62AC x，=+又三点共线，所以与共线，A B C 、、AB AC因此，解得.()52600x +-=10x =故答案为10【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理和坐标运算即可，属于基础题型.14．在锐角中，，，__________．ABC ∆1cos 3A =AC =ABC ∆BC =【答案】2【详解】分析：先可得出，再由面积公式：AB ，再由∠A 的sin A =1sin 2AC BC A ⋅余弦定理即可求出BC.详解：由题得,故sin A =1sin 2AC AB A ⋅=AB ⇒=2331cos 263BC A BC +-==⇒=答案为2.点睛：考查余弦定理、三角形的面积公式的应用，对公式的灵活运用和审题仔细是解题关键.15．若函数能使得不等式在区间上恒成立，则()2π2sin sin 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x m <2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭实数m 的取值范围是________.【答案】()3,+∞【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析表达式，然后根据已知范围，利用不等式的基本性质和三角函数的性质求得函数在给定区间上的最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数的取值m 范围.【详解】()22π2sin sin 2sin cos 2f x x x x x x x⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，π1cos 222sin 216x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭当时，,,,当，即时2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭72,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭1sin 2,162x π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦()(]0,3f x ∈226x ππ-=3x π=，()3f x =∴在区间上的最大值为3，()f x 2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭所以使得不等式在区间上恒成立，则实数m 的取值范围是.()f x m <2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭()3,+∞故答案为：()3,+∞四、双空题16．如图，平行四边形中，，，，，设ABCD 60DAB ∠=︒3AD =6AB =DE EC =13BF BC =，，用，表示______，______．AB a = AD b = a b AE =AE AF ⋅=【答案】；12a b +632【分析】根据平面向量加法的几何意义和共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】空一：因为，DE EC =所以；111222AE AD DE AD DC AD AB a b=+=+=+=+ 空二：因为，13BF BC =所以，111333AF AB BF AB BC AB AD a b=+=+=+=+ 因此，2211111)()2326(3a b a b a a E b F a b bA A ⋅+⋅+=+⋅+⋅=+ 因为，，，所以，60DAB ∠=︒3AD =6AB =3,6,,60AD b AB a a b ====〈〉=︒所以，1711633663926232AE AF ⨯+⨯⨯⨯⋅=+⨯=故答案为：；12a b + 632五、解答题17．在中,内角所对的边分别为,已知, ,且.ABC ∆,,A B C ,,a b c (),2m a c b =- ()cos ,cos n C A = m n ⊥ (1)求角的大小;A(2)若,求的周长5b c +=ABC ∆ABC ∆【答案】(1)；(2)3π5【解析】（1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得；cos A A （2）根据三角形面积公式构造方程求得，利用余弦定理可求得，进而得到所求周长.bc a 【详解】（1）m n ⊥ ()cos 2cos 0m n a C c b A ∴⋅=+-= 由正弦定理得：()sin cos sin 2sin cos 0A C CB A +-=即：()sin cos cos sin 2sin cos sin 2sin cos 0A C A CB A AC B A +-=+-= A B C π++= ()sin sin A C B ∴+=sin 2sin cos 0B B A ∴-= ()0,B π∈ sin 0B ∴≠1cos 2A ∴=()0,A π∈ 3A π∴=（2） 11sin sin 223ABC S bc A bc π∆==== 4bc ∴=由余弦定理得：()22222cos 22cos 2512133a b c bc A b c bc bc π=+-=+--=-=的周长a ∴=ABC ∆∴5L a b c =++=【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.18．已知两个非零向量与不共线，a b (1)若，求证：A ､B ､D 三点共线；,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=- (2)试确定实数k ，使得与共线；ka b + k + a b (3)若，且，求实数的值.(1,2),(1,1),a b c a b λ===+ b c ⊥ λ【答案】(1)证明见解析(2)1k =±(3)32λ=-【分析】（1）由平面向量的共线定理证明共线，即可得证；,AB BD （2）由平面向量的共线定理与向量相等求解即可；（3）由向量垂直的坐标表示求解即可【详解】（1）∵，,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=- ∴，283()28335()5BD BC CD a b a b a b a b a b AB =+=++-=++-=+= ∴共线，,AB BD 又∵它们有公共点B ，∴A ､B ､D 三点共线；（2）∵与共线，ka b + k + a b ∴存在实数，使，λ()ka b a kb λ+=+ 即，∴，ka b a kb λλ+=+ ()(1)k a k b λλ-=- ∵是两个不共线的非零向量，,a b ∴，10k k λλ-=-=∴，解得；210k -=1k =±（3）∵，(1,2),(1,1),a b c a b λ===+ 且，b c ⊥ ∴，(1,2),120c b c λλλλ=++⋅=+++= 解得.32λ=-19．复数，其中为虚数单位．22i(1i)1i z =++-i (1)求及；z z (2)若，求实数，的值．223i z az b ++=+a b 【答案】(1)，13i z =-+z =(2)3,7.a b =-⎧⎨=⎩【分析】（1）首先根据复数的运算求解出复数，进而根据复数的模长公式求解；z z （2）首先将代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数，的13i z =-+a b 值.【详解】（1）∵，()()()()222i 1i 2i (1i)12i i 2i i 1i 13i 1i 1i 1i z +=++=+++=++=-+-+-∴z ==（2）由（1）可知，13i z =-+13iz =--由，得：，223i z az b ++=+2(13i)(13i)23i a b -++--+=+即，∴，解得(8)(63)i 23i a b a --++--=+82,63 3.a b a --+=⎧⎨--=⎩3,7.a b =-⎧⎨=⎩20．已知函数．44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--（1）求的最小正周期；()f x （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x x 【答案】（1），（2），时T π=38x π⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭()min f x =【分析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；（2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解．x 24x π+【详解】解：（1），44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- ，2222(cos sin )(cos sin )sin 2x x x x x =-+-，cos 2sin 2x x =-，)4x π+故的最小正周期；()f x T π=（2）由可得，，[0,]2x π∈2[44x ππ+∈5]4π当得即时，函数取得最小值．所以，时24x ππ+=38x π=38x π⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭()min f x =21．如图，、分别是的边、上的点，且，，交M N ABC ∆BC AB 14BM BC =1AN AB 2=AM 于.CN P（1）若，求的值；AM xAB y AC =+ x y -（2）若，，，求的值.4AB =3AC =60BAC ∠= AP BC ⋅ 【答案】（1）；（2）.12277-【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值；x y x y -（2）设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、3144AP AM AB AC λλλ==+ NP k NC = λ的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，k AP AB AC AB AC BC 最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.AP BC ⋅ 【详解】（1），()11314444AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，，因此，；34x ∴=14y =311442x y -=-=（2）设，3144AP AM AB AC λλλ==+再设，则，即，NP k NC = ()AP AN k AC AN -=- ()112k AP k AN k AC AB k AC -=-+=+ 所以，，解得，所以，314214k k λλ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4717k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3177AP AB AC =+ 因此，()()()221132377AP BC AB AC AC AB AC AB AC AB ⋅=+-=+⋅- .221127324334727⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.22．某市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形其中三角形区ABCDE ABE 域为球类活动场所；四边形为文艺活动场所．其中，，，，为运动小道BCDE AB BC CD DE EA （不考虑宽度），，，千米．120BCD CDE ∠=∠=︒60=︒∠BAE 226DE BC CD ===（1）求小道的长度；BE （2）设，试用表示的面积，并求为何值时，球类活动场所的面积最大值，ABE x ∠=x ABE x ABE 并求出最大值．【答案】（1）（2）球类活动场所BE =ABE 2【分析】（1）连接，在中由余弦定理得的值，在中，求解的值即可.BD BCD △BD Rt BDE BE （2）设，在中，由正弦定理求解、，表示，然后求解最大值.ABE α∠=ABE AB AE ABE S 【详解】（1）如图，连接BD在中，，BCD △3()2DE BC CD km ===120BCD CDE ︒∠=∠=由余弦定理得：2222cos 27BD BC CD BC CD BCD =+-∠=BD ∴=又BC CD= CDB CBD∴∠=∠又120CDE ︒∠= 90BDE CDE CDB ︒∴∠=∠-∠=在中，Rt BDEBE ===（2）设ABE α∠=60120BAE AEB α︒︒∠=∴∠=- 在中，由正弦定理可知：ABEsin sin sin AB AE BE AEB ABE BAE ====∠∠∠，)AB α︒∴=-AE α=011sin 60)sin 221cos(120)cos(120)22)01201202120120ABE S AB AE ααααααααα︒︒︒︒︒︒︒︒︒∴==⨯-⎧⎫⎡⎤=--+---⎨⎬⎣⎦⎩⎭=-<<∴-<-< 当时，∴60α︒=ABE S=即球类活动场所ABE 2。

2022-2023学年广西师范大学附属中学高二上学期11月期中考试数学试题(解析版)

2022-2023学年广西师范大学附属中学高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知、、，若，则的坐标是（）()3,4,5A ()0,2,1B ()0,0,0O 25OC AB =C A ． B ．648,,555⎛⎫--- ⎪⎝⎭648,,555⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．D ．648,,555⎛⎫-- ⎪⎝⎭648,,555⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】设点的坐标为，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可C (),,x y z x y z 得出点的坐标.C 【详解】设点坐标为，则， C (),,x y z (),,OC x y z =又，，()3,2,4AB =---2648,,5555OC AB ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭所以，，，，则点的坐标为.65x =-45y =-85z =-C 648,,555⎛⎫--- ⎪⎝⎭故选：A.2．从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（） A ．16 B ．15C ．12D ．8【答案】D【分析】根据分类加法计数原理即得.【详解】根据分类加法计数原理，可知共有4＋3＋1＝8种不同的走法．故选：D.3．若点P 到点的距离比它到直线的距离大1，则点P 的轨迹方程为（） (0,2)1y =-A ． B ．C ．D ．24y x =24x y =28y x =28x y =【答案】D【分析】将点到点的距离比它到直线的距离大1转化为点到点的距离等于它到P (0,2)1y =-P (0,2)直线的距离，根据抛物线的定义，即可求得点的轨迹为抛物线，进而可求出点的轨迹方=2y -P P 程．【详解】∵点到点的距离比它到直线的距离大1，P (0,2)1y =-∴点到点的距离等于它到直线的距离，P (0,2)=2y -∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程是. P ()0,2=2y -P 28x y =故选：D.4．直线与圆的位置关系是（） 0()ax y a a +-=∈R 22(2)4x y -+=A ．相离 B ．相交C ．相切D ．无法确定【答案】B【分析】根据点与圆的位置关系进行判断即可. 【详解】由， 0(1)ax y a y a x +-=⇒=--所以直线恒过定点，0ax y a +-=()1,0因为，所以点在圆的内部，所以直线与圆22(12)04-+<()1,022(2)4x y -+=0ax y a +-=相交. 22(2)4x y -+=故选：B5．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，，为的A BCD -DA DB DC 3DB DC ==4=ADE BC 中点，则等于（）AE BC ⋅A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】D【分析】以为基底向量，利用向量的三角形法则将用基底向量表示，根据向{},,DA DB DC ,AE BC量数量积的运算律结合垂直和长度关系即可得到结果．【详解】以为基底向量，则， {},,DA DB DC 0DA DB DA DC DB DC ⋅=⋅=⋅= ∵，()()()1112,222AE AB AC DB DA DC DA DB DA DC BC DC DB =+=-+-=-+=-则()()122AE BC DB DA DC DC DB⋅=-+⋅- ， 2222111111222222DB DC DB DA DC DA DB DC DC DB DC DB =⋅--⋅+⋅+-⋅=-又∵，即，DB DC =22DC DB =∴．0AE BC ⋅=故选：D ．6．已知则“”是“”的（）条件. ()12:120,:240,l x m y l mx y ++-=++=1m =12l l //A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】C【分析】根据两直线平行，得到关于的方程，求出的值，再根据充分条件、必要条件的定义判m m 断可得；【详解】解：因为若，则，解得()12:120,:240,l x m y l mx y ++-=++=12l l //11224m m +-=≠2m =-或，当时，直线与直线重合，所以，若时1m =2m =-11224m m +-==1l 2l 1m =1m =11224m m +-=≠，所以“”是“”的充要条件； 1m =12l l //故选：C7．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，直线与双曲线的一条渐近线22221(0,0)x y a b a b-=>>F A x a =的交点为．若，则双曲线的离心率为 B 30BFA ∠=︒A B C ．2D ．3【答案】C【解析】先求解B 的坐标，再由. ||tan ||AB BFA FA ∠==【详解】由题意可得A （a ，0），双曲线的渐近线方程为：ay ±bx ＝0，不妨设B 点为直线x ＝a 与的交点，则B 点的坐标（a ，b ）， by x a=因为AB ⊥FA ，∠BFA ＝30°，所以e ＝2． ||tan ||AB b BFA FA a c ∠====+故选C ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8．定义：若点在椭圆上，则以为切点的切线方程为：()00,P x y ()222210x y a b a b+=>>P .已知椭圆，点为直线上一个动点，过点作椭圆的00221x x y y a b +=22:132x y C +=M 260x y --=M C 两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点（）MA MB A B ABA ．B ．C ．D ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设，，，即可表示出的方程，又在上，即可得到()26,M t t +()11,A x y ()22,B x y MA M MA ，即可得到直线的方程，从而求出直线过的定点； ()1126132x t y t++=AB AB 【详解】解：因为点在直线上，设，，，所以的M 260x y --=()26,M t t +()11,A x y ()22,B x y MA 方程为，又在上，所以①，同理可得②； 11132x x y y+=M MA ()1126132x t y t ++=()2226132x t y t ++=由①②可得的方程为，即，即，所AB ()26132x t yt++=()22636x t yt ++=()()431260x y t x ++-=以，解得，故直线恒过定点4301260x y x +=⎧⎨-=⎩1223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：C二、多选题9．在四棱维中，已知⊥底面，底面为正方形，则下列命题中正确的P ABCD -PA ABCD ABCD （）A ．平面B ．平面BD ⊥PAC BC ⊥PAD C ．为直线的方向向量 D ．直线的方向向量一定是平面的法向量CDAB BC PAB 【答案】ACD【分析】由条件，根据线面垂直判定定理判断A ，B ，根据方向向量和法向量的定义判断C ，D. 【详解】因为⊥平面，平面，所以，PA ABCD BD ⊂ABCD PA BD ⊥因为四边形是正方形，所以，又，平面，所以平ABCD AC BD ⊥AC PA A ⋂=,AC PA ⊂PAC BD ⊥面，A 正确；PAC 因为，平面，平面，所以平面，B 错误；//BC AD AD ⊂PAD BC ⊄PAD //BC PAD 因为，所以为直线的方向向量，C 正确； //CD AB CDAB 因为⊥平面，平面，所以，PA ABCD BC ⊂ABCD PA BC ⊥因为四边形是正方形，所以，又，平面，所以平ABCD AB BC ⊥AB PA A = ,AB PA ⊂PAB BC ⊥面，所以直线的方向向量一定是平面的法向量，D 正确； PAB BC PAB 故选：ACD.10．下列命题正确的是（）A ．已知，则向量在方向上的投影向量的长度为4 ()()3,4,0,1a b == a bB ．若向量的夹角为钝角，则 ,a b 0a b ⋅<C ．若向量满足，则或,a b 0a b ⋅= 0a = 0b =D ．设是同一平面内两个不共线的向量，若，则可作为该平面的一个21,e e 12122,a e e b e e =+=- ,a b基底【答案】ABD【分析】由投影向量的长度公式计算向量在方向上的投影向量的长度，判断A ，根据数量积的a b性质判断B ，C ，根据基底的定义判断D.【详解】对于选项A ，因为，所以向量在方向上的投影向量的长度为()()3,4,0,1a b == a b ，A 正确；4cos ,41a b a a b b⋅===对于选项B ，因为向量的夹角为钝角，所以，所以 ,a bcos ,0a b < ，B 正确；cos ,0a b a b a b ⋅=⋅<对于选项C ，当时，，但且，C 错误；()()3,0,0,1a b == 0a b ⋅=0a ≠ 0b ≠r r 对于选项D ，假设共线，则，又，所以，因为,a b a b λ=12122,a e e b e e =+=- 12122e e e e λλ+=- 不共线，所以，方程组无解，故假设错误，即不共线，所以可作为该平面的一21,e e 21λλ=⎧⎨=-⎩,a b ,a b 个基底，D 正确；故选：ABD.11．已知抛物线C ：，过焦点F 的直线交抛物线C 于两点，直线214y x =()()1122,,,A x y B x y AO ，分别于直线m ：相交于两点则下列说法正确的是（）BO =2y -,M N .A ．焦点F 的坐标为 ()0,2B ．121y y =C ．的最小值为4FA FB ⋅ D ．与的面积之比为定值 AOB MON △【答案】BCD【分析】A 选项，根据抛物线方程直接求出焦点坐标即可；B 选项设出直线，联立抛物线，根据韦达定理得到；C 选项，根据抛物线的性质得到，进而求出的121y y =121,1FA y FB y =+=+ FA FB ⋅最小值；D 选项，利用三角形面积公式及线段比值求出面积比为定值. 【详解】由题意知抛物线方程为，其焦点坐标为，故A 错误； 24x y =()0,1显然直线AB 的斜率存在，设斜率为k ，则直线AB 的方程为，1y kx =+联立，消去x 得到，214y kx x y=+⎧⎨=⎩()222410y k y -++=，，，故B 正确；4216160k k ∆=+ (2)1224y y k +=+121y y =由抛物线性质知， 121,1FA y FB y =+=+ 则， ()()()2121212111444FA FB y y y y y y k ⋅=++=+++=+ …当且仅当时，取得最小值为4，故 C 正确；0k =FA FB ⋅显然，（定AOB MON ∠=∠12121||||sin ||||121||||2244||||sin 2AOB MONOA OB AOBS y y y y OA OB S OM ON OM ON MON ∆∆⋅⋅⋅∠⋅===⋅==⋅⋅⋅⋅∠值），故D 正确．故选：BCD ．12的椭圆为“黄金椭圆”如图，已知椭圆分别为左、右顶点，分别为上、下顶点，分别为左、右()22122210x y C a b A A a b +=>>：，，12,B B 12,F F 焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（）P CA ．B ．2112212A F A F F F ⋅=11290F B A ∠=︒C ．轴 D ．四边形的内切圆过左右两个焦点1PF x ⊥1221A B A B 【答案】BD【分析】结合椭圆的定义、几何性质等知识对选项的条件逐一分析，求出相应的离心率，结合“黄金椭圆”的定义判断.【详解】由椭圆，2222:1(0)x y C a b a b+=>>可得，，12(,0),(,0)A a A a -12(0,),(0,)B b B b -12(,0),(,0),F c F c -对于A ，，即，化简得，即， 2112212A F F A F F ⋅=22()(2)a c c -=2a c c -=13c e a ==不符合题意，故A 错误；对于B ，，则，即，11290F B A ︒∠=222211112||||||A F B F B A =+2222()()a c a a b +=++化简得，即有， 220c ac a +-=210e e +-=解得（，符合题意，故B 正确；e =e =对于C ，因为轴，由，解得， 1PF x ⊥()22221Pc y a b-+=2P b y a =±无法确定椭圆的离心率，不符合题意，故C 错误；对于D ，四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为c ，1221A B A B 1F 2F 1221A B A B则，可得 1122ab =222b a c =-()()2222222a a c c a c -=-即，又，所以即D 正确. 42310e e -+=01e <<2e =e =故选：BD.三、填空题13．学校食堂在某天中午备有种素菜，种荤菜，种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可532以配制出不同的套餐______种．【答案】30【分析】利用分步计数原理求解即可【详解】要配成一荤一素一汤的套餐，需要分三个步骤完成：第一步：从5种素菜中任选1种有5种选法，第二步：从3种荤菜中任选1种有3种选法，第三步：从2种汤中任选1种有2种选法，根据分步计数原理，一共可以配制出种不同的套餐，53230⨯⨯=故答案为：3014．已知F 为双曲线的左焦点，P ，Q 为双曲线C 同一支上的两点．若PQ 的长等于22:149x y C -=虚轴长的2倍，点在线段PQ 上，则的周长为________． A PQF △【答案】32【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值“解2a 决．求出周长即可．【详解】解：根据题意，双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右22:149x y C -=(F A 焦点，虚轴长为：6；双曲线图象如图：① ||||24PF AP a -== ②||||24QF QA a -==而， ||12PQ =①＋②得：，||||||8PF QF PQ +-=∴周长为． ||||||82||32PF QF PQ PQ ++=+=故答案为32．【点睛】本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．15．斜率为的直线与椭圆（）相交于，两点，线段的中点坐13-l 2222:1x y C a b+=0a b >>A B AB 标为，则椭圆的离心率等于______. ()1,1C【分析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率．()1,1AB 13-C 【详解】解：设，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 则①，②， 2211221x y a b +=2222221x y a b+=是线段的中点，()1,1 AB ，， ∴121()12x x +=121()12y y +=直线的方程是，AB 1(1)13y x =--+，12121()3y y x x ∴-=--①②两式相减可得：， 222212122211()()0x x y y a b-+-=， ∴121212122211()()()()0x x x x y y y y a b -++-+=， 121222112()2()0x x y y a b∴⨯-+⨯-=， ∴2213b a =， 222213b e a ∴=-=e ∴=. 16．正方体棱长为2，E 是棱的中点，F 是四边形内一点（包含边1111ABCD A B C D -AB 11AA D D 界），且，当直线与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为1FE FD ⋅=EF ABCD 1F AEB -__________．【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，设，利用数量积的坐标运算表示出(0,,)F m n ,m n 的关系，进而表示出直线与平面所成的角的正切值，求得其取最大值时m 的值，即可求EF ABCD 得三棱锥的体积.1F AEB -【详解】如图，以A 为坐标原点，所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，1,,AB AD AA则，设，(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0)A E D (0,,),[0,2],[0,2]F m n m n ∈∈则，22(1,,)(0,2,)21FD m n m n m m n FE ⋅=--⋅--=-+=设与平面所成的角为，在平面内作,垂足为P, EF ABCD θ11AA D D FP AD ⊥由于正方体中，平面平面， 1111ABCD A B C D -11AA D D ⊥ABCD 平面平面，平面,11AA D D ⋂ABCD AD =FP ⊂11AA D D 则平面，连接,则 ,，FP ⊥ABCD EP π,[0,2FEP θθ∠=∈,FP n EP==所以tanθ====令1,tan t mθ=+∴==由于，当且仅当 222t t-+≥t =即时，最大，此时与平面所成的角最大， 1m =ta nθ=EF ABCD 此时三棱锥的体积为1F AEB -11111)12332AEB m S ⋅=⨯⨯⨯=△ 【点睛】本题考查了三棱锥体积的求解，涉及到空间向量的应用，以及线面角的求法，和均值不等式的应用，综合性较强，解答时要能熟练应用相关知识.四、解答题17．根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)焦点坐标为，过点； ()12,0F 5322P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)经过两点． ()2,1A B ⎛- ⎝，【答案】(1)221106x y +=(2)22182x y +=【分析】(1)由条件求出左焦点坐标，结合椭圆的定义求，再由关系求即可；a ,,abc b (2)设椭圆方程为，由条件求即可.()2210,0,mx ny m n m n +=>>≠,m n 【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，a b因为焦点的坐标为，所以另一个焦点为，且，1F ()2,0()22,0F -224a b -=又椭圆过点，所以， 5322P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，122a PF PF =+所以2a =所以，故，所以椭圆的标准方程为；a =b 221106x y +=（2）设椭圆方程为，因为椭圆经过两点，()2210,0,mx ny mn m n +=>>≠()2,1A B ⎛- ⎝，所以，解得， 413212m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩1812m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以椭圆的标准方程为.22182x y +=18．如图，在四棱锥中，，，底面为矩形.P ABCD -PA BC ⊥PA BD ⊥ABCD(1)证明：平面平面；PAB ⊥PAD (2)若，与所成角的大小. 1==PA AB AD =AB PC 【答案】(1)证明见解析 (2)60°.【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质的得到平面，根据面面垂直的判定证出平面AB ⊥PAD 平面；PAB ⊥PAD （2）因为，所以异面直线与所成的角即（或其补角），利用已知条件//AB CD AB PC PCD ∠，则，求出各边长度即可求解. CD PD ⊥tan PDPCD CD∠=【详解】（1）证明：因为，， PA BC ⊥PA BD ⊥且，平面， BC BD B = ,BC BD ⊂ABCD 所以平面，PA ⊥ABCD因为平面，所以， AB ⊂ABCD PA AB ⊥又底面为矩形，所以， ABCD AD AB ⊥因为，平面， PA AD A ⋂=,PA AD ⊂PAD 所以平面， AB ⊥PAD 又平面， AB ⊂PAB 所以平面平面.PAB ⊥PAD （2）因为，所以异面直线与所成的角即（或其补角）. //AB CD AB PC PCD ∠由（1）知，平面，因为，所以平面， AB ⊥PAD //AB CD CD ⊥PAD 因为平面，所以，从而， PD ⊂PAD CD PD ⊥tan PDPCD CD∠=因为平面，所以，所以. PA ⊥ABCD PA AD ⊥PD ==故与所成的角为60°.tan PCD ∠=AB PC 19．如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台，已知P 射线，为两边夹角为的公路(长度均超过3千米)，在两条公路，上分别设立游AB AC 120︒AB AC客上下点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得M N P M N PM PN AM =.AN =（1）求线段的长度；MN （2）若，求两条观光线路与之和的最大值. 60MPN ∠=︒PM PN 【答案】（1）3千米；（2）最大值为6千米．【分析】（1）用余弦定理，即可求出；AM AN =0120MAN ∠=MN（2）设，，用正弦定理求出，PMN α∠=120PNM α∠=︒-()120PM α=︒-PN α=，展开，结合辅助角公式可化为，由的取()120PM PN αα+=︒-+()6sin 30α+︒α值范围，即可求解．【详解】解：（1）在中，由余弦定理得，AMN ∆，，22212cos12033292MN AM AN AM AN ⎛⎫=+-⋅︒=+--= ⎪⎝⎭3MN =所以线段的长度为3千米；MN （2）设，因为，所以， PMN α∠=60MPN ∠=︒120PNM α∠=︒-在中，由正弦定理得，PMN ∆()3sin sin 120sin sin 60MN PM PN MPN αα====∠︒-︒所以，， ()120PM α=︒-PN α=因此()120PM PN αα+=︒-+1sin 2ααα⎫=++⎪⎪⎭，()3cos 6sin 30ααα=+=+︒因为，所以.0120α︒<<︒3030150α︒<+︒<︒所以当，即时，取到最大值6. 3090α+︒=︒60α=︒PM PN +所以两条观光线路与之和的最大值为6千米． PM PN 【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 20．已知直线，点 22l x y +=：()()2,00,1A B --，(1)求线段的中垂线与直线的交点坐标； AB l (2)若点在直线上运动求的最小值．P l PA PB +【答案】(1)111,510⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】(1)先由点斜式求线段的中垂线方程，联立方程组求其与直线的交点坐标； AB l (2)求点关于直线的对称点的坐标，再求的长度即可.A l A 'AB '【详解】（1）因为，所以的中点坐标为，()()2,00,1A B --，AB 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线的方程为，所以线段的中垂线的斜率为2，AB 112y x =--AB 则线段的中垂线方程为，化简得，AB ()1212y x +=+322y x =+联立，解得，32222y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩151110x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以线段的中垂线与直线的交点坐标为；AB l 111,510⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）设A 点关于直线对称的点为，22l x y +=：(),A x y '则的中点坐标为，因为点在直线上，故： AA '2,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭22l x y +=：①，又直线的斜率为2，故：②， 222x y -+=AA '22yx =+联立①②解得：，因为，216,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭'PA PBPA PB A B ''+=+≥所以的最小值为PA PB +A B '=21．图是直角梯形，，，，，，，以1ABCD //AB CD 90D ∠= 2AB =3DC=AD =2CE ED =为折痕将折起，使点到达的位置，且.BE BCE C 1C 1AC =2(1)求证：平面平面；1BC E ⊥ABED (2)在棱上是否存在点，使得到平面的1DC P 1C PBE P BE A --大小；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）根据长度关系可证得为等边三角形，取中点，由等腰三角形三线1,C BE ABE BE G 合一和勾股定理可证得、，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论；1C G BE ⊥1C G AG ⊥（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设存在且，由共线向G (),,P x y z ()101DP DC λλ=≤≤量可表示出点坐标，利用点到面的距离的向量求法可求得，进而由二面角的向量求法求得结果. P λ【详解】（1）在图中取中点，连接，，1CE F BF AE，，，，，2CE ED =3CD =2AB =1CF ∴=1EF =，，，四边形为矩形，，2DF AB == //DF AB 90D ∠= ∴ABFD BF CD ∴⊥，又，为等边三角形；2BE BC ∴===2CE =BCE ∴△又，为等边三角形； 2AE ==ABE ∴ 在图中，取中点，连接，2BE G 1,AG C G为等边三角形，，，1,C BE ABE 1C G BE ∴⊥AG BE ⊥，， 1C G AG ∴==1AC =22211AG C G AC ∴+=1C G AG ∴⊥又，平面，平面，AG BE G = ,AG BE ⊂ABED 1C G ∴⊥ABED 平面，平面平面.1C G ⊂ 1BC E ∴1BC E ⊥ABED （2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， G 1,,GA GB GC,,x y z则，，，，，()0,1,0B ()0,1,0E-)A(1C 3,02D ⎫-⎪⎪⎭，，，132DC ⎛∴= ⎝ ()0,2,0EB =(1EC = 设棱上存在点且满足题意，1DC (),,P x y z ()101DP DC λλ=≤≤即，解得：，即，3322x y z λ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩3322x y z λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩33,22P λ⎫-⎪⎪⎭则，31,22EP λ⎫=+⎪⎪⎭设平面的法向量，PBE (),,n a b c =则，令，则， 3102220EP n a b c EB n b λ⎧⎫⎛⎫⋅=++=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎭⎪⋅==⎩ 2a =01b c λλ=⎧⎪-⎨=⎪⎩，12,0,n λλ-⎛⎫∴= ⎪⎝⎭到平面的距离为，解得：， 1C ∴PBE d 13λ=，()2,0,2n ∴=又平面的一个法向量， ABE ()0,0,1m =cos ,m n m n m n ⋅∴<>===⋅又二面角为锐二面角，二面角的大小为.P BE A --∴P BE A --4π22．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，且经过点xOy C 22221(0,0)x y a b ab -=>>()3,0．()(1)求双曲线的标准方程；C (2)已知，是双曲线上关于原点对称的两点，垂直于的直线与双曲线有且仅有一个公A B C AB l C 共点．当点位于第一象限，且被轴分割为面积比为的两部分时，求直线的方P P PAB x 3:2AB 程．【答案】(1)；22163x y -=(2). y =【分析】（1）由题意可得，解方程组即可求出结果；22229811a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩（2）分别将直线以及直线的方程与双曲线联立，表示出点与点的坐标，然后根据题意得AB l B P 到关于的方程组，解方程组即可求出结果.,k m 【详解】（1）因为的右焦点为，且经过点，22221(0,0)x y a ba b-=>>()3,0()所以，解得．22229811a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩2263a b ⎧=⎨=⎩故双曲线的标准方程为．C 22163x y -=（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为．AB AB y kx =联立消去，得．22163x x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩y ()221260k x --=由得且， 21200k k ⎧->⎨≠⎩k -<<0k ≠解得．22612x k =-因为与垂直，所以设的方程为． l AB l 1y x m k=-+联立消去，化简得．221631x y y x m k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩y ()()222224230k x kmx k m -+-+=由且，得．k -<<0k ≠220k -≠因为与双曲线有且仅有一个公共点，l 所以，即，Δ0=()()22222168320k m k m k ++-=化简得，且点． ()22232k m k =-2222,22km mk P k k ⎛⎫- ⎪--⎝⎭因为点位于第一象限，所以，． P 0m<0k <<不妨设，分别位于双曲线的左、右两支上，记与轴的交点为． A B BP x M 因为被轴分割为面积比为的两部分，且与面积相等， PAB x 3:2PAO PBO 所以与的面积比为，由此可得．POM BOM 1:44PB y y =-因此，即． 2242mk k ⨯=--()22222616122m k kk ⨯=--又因为，所以，解得． ()22232k m k =-223616212k k ⨯=--225k =因为，所以0k <<k =故直线的方程为． AB y =【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.。

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高数C期中试卷答案公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
2010-2011高等数学C （二）期中考试试卷（答案）
姓名学号班级成绩
注：该试卷中含有微分方程的题目，不属于本次期中考试内容。

一、选择填空题（每空3分，共36分）
1、30
ln(1)
lim
sin x
x t dt t x x
→+-⎰
= 2 ；解：上式=22
/lim cos 1)
1ln(lim
22
030==-+→→x x x
x x x x 等价无穷小代换 2、曲线1
y x =与直线,2y x y ==所围的平面图形的面积为2ln 2
3-
解：积分区域⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤≤≤y x y
y D 121:，所以所求面积=-=⎰dy y y S )1(212ln 23-
3、1
21sin x xdx -⎰= 0 ；解：奇函数在对称区间上的定积分为零
4、已知函数()f x 可导，(1)2f =，1
0()5f x dx =⎰，则1
0()xf x dx '⎰=3-
解：根据分部积分：1
0()xf x dx '⎰352)()()(1
01
01
0-=-=-==⎰⎰dx x f x xf x xdf 5、已知22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解
为，该微分方程对应的二阶线性齐次微分方程为。

6、方程2
2
14
y x +=所表示的曲面类型是椭圆柱
面；
7、设22(,)f u v u v v u +-=-，则(,)f x y =xy - 8、二重极限22
(,)(0,0)lim x y xy
x y →+ 不存在；
解：由于2
2220
1lim
k
k
x k x kx x kx y x +=+⨯→=→，与k 有关，所以极限不存在 9、函数(,)z f x y =在点(,)P x y 偏导数存在是函数在该点连续的 D ；
A 充分非必要条件
B 必要非充分条件
C 充要条件
D 无关条件
10、二元函数sin ,0,R (,)20,0R xy
x y f x y x x y ⎧≠∈⎪
=⎨⎪=∈⎩，，则(0,3)x f = 不存在
解：(0,3)x f =∞=∆-∆∆=∆-∆→∆→∆x
x x
x f x f x x 0
23sin lim )3,0()3,(lim 00 11、设函数2x z y =，则全微分dz =dy xy ydx y x x 1222ln 2-+ 解：dy xy ydx y dz x x 1222ln 2-+= 二、计算题（共52分） 1、(6分)
计算0
-⎰ 解：被积函数在积分区域上连续
所以0
-⎰2ln 32
3
32
1
24-=-=
⎰
=+dt t t t
x 2、(6分)计算2
2
2||2x x dx x -++⎰
解：利用定积分的奇偶性
2
22||2x x dx x -++⎰3ln )2ln(22220
2202222=+=+=+=⎰⎰-x dx x x dx x x 3、(6分)计算4
1x
dx x
+∞
+⎰ 解：40
1x dx x +∞+⎰
4
arctan 2
1)(1210
20222π
=
=+=∞+∞+⎰x x dx
4、(6分)计算1sin(ln )e
x dx ⎰ 解：1sin(ln )e
x dx ⎰⎰⎰-==
=1
01
01
ln cos )sin (sin tdt e t e de
t t t
t
t x
⎰⎰--=-=1
1
1
sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t
所以1sin(ln )e
x dx ⎰)11cos 1sin (2
1
+-=e e
5、(6分)求微分方程1
2sin ,()xy y x y ππ
'+==
的特解
6、(6分)求微分方程ln 0dy
x
y y dx
-=的通解。

7、(8分)设(ln ,),z f x xy =其中(,)f u v 具有两阶连续偏导数，求2z
x y
∂∂∂
解：y f x
f z x ⨯'+⨯'=211
)0()0(1
222121211x f f y f x f f x
z xy ⨯''+⨯''+'+⨯''+⨯''=
22212
f yx f f ''+'+''= 8、(8分)设三元方程z x xyz e +=确定两元隐函数(,)z z x y =，求,z z
x y
∂∂∂∂ 解：令x z e xyz z y x F +-=),,(，
x z z y x z x e xy F xz F e yz F ++-==-=,,
所以：x
z y
x z x z z x x e xy xz
z e xy e yz F F z +++-=---=-=,
三、（共8分）当a 取何值时，曲线2y x =与直线,1x a x a ==+及x 轴所围平面图形面积最小；并求上述面积最小的平面图形绕y 轴旋转所得旋转体体积。

解：])1[(3
1
)(331
2a a dx x a S a a -+==⎰
+ 2
1
0])1[()(22-=⇒=-+='a a a a S
方法一：32
)(41)21(24/102π
ππ=-⨯=⎰dy y V
方法二：32
22
/10
2π
π=
⨯=⎰dx x x V
四、设()f x 可导，且20()2x
x t f x f dt e ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 。

（4分）
解：等式两边对x 求导：x e x f x f +=')(2)(，再解此微分方程。