2011年全国高中数学联赛全真模拟2-清北学堂内部资料
2011年全国高中数学联赛模拟试题七
m 2 p 1 27 t r 1 27 t 1 2r (2r 1)
7
又 127 为质数，且 127 2 1 2 1 。结论成立。
7t
m 1 （2） m (2 1)
5．若实数 x 、 y 满足条件 x 2 y 2 1 ，则
0, 2011 内至少有
二.解答题
个实根。
8．在 1、2、3、……、1000 中，不出现数码 3，且不是 3 的倍数的数共_____个。
9．设数列 {an } 满足 a1 1 ，求证： ，an1 an n 1（ n N ）
O3
2α
A1
2β
O2
O
β α
A2
A3
O1
1 1 2 2 2 2 2 c a c b c ab 2c 2 a 2 b 2 c 2 ab 2 c 2 a 2 c 2 b 2 c 2 a b ab a 2 b 2 2c 2 a 2 b 2 2a 2b 2
3.已知复数 z1 2 i ， 2 z 2
z1 i ．若△ABC 的 3 个内角∠A、∠B、∠C 依次成等差数列，且 2i 1 z1
．
u cos A 2icos 2
4．一个盒中有 9 个正品和 3 个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数 的数学期望 E =_________________．
1 1 2( 2 1) ,命题成立； a1
当 n 2 时，由 an1 an n 1，得 an an1 n ，∴ an (an1 an1 ) 1 ，
n
1 a n 1 a n 1 ， an
2011年全国高中数学联赛模拟卷(2)(一试+二试,附详细解答)
2011年全国高中数学联赛模拟卷(2)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 函数1cos sin 1cos sin ++-=x x x x y 的值域是___________2. 设a , b , c 为RT △ACB 的三边长, 点(m , n )在直线ax +by +c =0上. 则m 2+n 2的最小值是___________3. 若N n ∈，且92422--+n n 为正整数，则.________=n4. 掷6次骰子, 令第i 次得到的数为i a , 若存在正整数k 使得61=∑=ki i a 的概率mnp =，其中n m ,是互质的正整数. 则n m 76log log -= .5. 已知点P 在曲线y =e x 上，点Q 在曲线y =lnx 上，则PQ 的最小值是_______6. 已知多项式f (x )满足：222(3)2(35)61017()f x x f x x x x x R +++-+=-+∈, 则(2011)f =_________7. 四面体OABC 中, 已知∠AOB =450,∠AOC =∠BOC =300, 则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是 __________8. 设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ∈[0, π2],2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是________________.二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．设数列{}n a 满足0a N +∈,211n n n a a a +=+.求证：当1200+≤≤a n 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．10. 过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,，过Q P ,作椭圆的切线， 两条切线的交点为M ， ⑴ 求点M 的轨迹方程；⑵ 设O 为坐标原点，当四边形POQM 的面积为4时，求直线l 的方程.11. 若a 、b 、c R +∈，且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++，求k 的最大值。
2011北京海淀高三二模数学理(word版+答案+免费免点数)
北京市海淀区2011年高三二模试卷数学（理科）2011.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（ ）A (1,1)B (1,1)-C (1,1)--D (1,1)- 2 已知全集R,U = 集合{}1,2,3,4,5A =,{|2}B x x =∈≥R ，下图中阴影部分所表示的集合为（ ）A {1}B {0,1}C {1,2}D {0,1,3 函数21()log f x x x=-的零点所在区间（ ） A 1(0,)2 B 1(,1)2C (1,2)D (2,3)4 若直线l 的参数方程为13()24x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线l 倾斜角的余弦值为（ ）A 45-B 35-C 35D 455 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 96 1 0 2 2 5 67 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3714根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是（ ） A 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B 甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C 甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定6 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是．．．．该锥体的俯视图的是（ ）7 若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．②③④B ①③④C ①②④D ①②③8 在一个正方体1111ABCD A BC D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有（ ）A 0个B 1个C 2个D 3个第Ⅱ卷（共110分）二 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2011年普通高等学校高中数学招生全国统一考试模拟试题(二) 理(广东卷)
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）理科数学(必修+选修II) 第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的某某、某某号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A B 、互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24S R π=如果事件A B 、相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么343V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…一．选择题(1)．设i 为虚数单位，复数121,21z i z i =+=-，则复数21Z Z •在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）．设(1)xy a =-与1()x y a=（1a >且a ≠2）具有不同的单调性，则13(1)M a =-与31()N a=的大小关系是 （ ）A ．M<NB ．M=NC ．M>ND ．M ≤N（3）.若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1234,0,0y x y x 则132+++=x y x z 的取值X 围是 （ ）A ．]11,23[B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡11,23C ．[3，11]D ．[)11,3（4）．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且63S =，1118S =，则9a 等于（ ）A ．3B ．5C ．8D ．15（5）．已知)(x f 是R 上的增函数，点A （－1，1）,B （1，3）在它的图象上，)(1x f -为它的反函数，则不等式1|)(log |21<-x f的解集是（）A ．（1，3）B ．（2，8）C ．（－1，1）D ．（2，9） （6）．2011年哈三中派出5名优秀教师去大兴安 岭地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（ ） A ．80 B ．90 C ．120 D ．150 （7）．已知函数a x f x x x f =∈=)(),3,2(,cos )(若方程ππ有三个不同的根，且三个根从小到大依次成等比数列，则a 的值可能是 （ ） A ．21B ．22 C ．21-D ． -22 （8）ABC ∆中，60,A A ∠=︒∠的平分线AD 交边BC 于D ，已知AB=3，且1()3AD AC AB R λλ=+∈，则AD 的长为（ ） A ．1BC．D ．3（9）．已知球O 是棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 所得的截面面积为（ ）A ．36πBC ．9π D ．6π （10）．设3()f x x x =+，x R ∈. 若当02πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值X 围是 ( ) A ．(0,1) B ．)0,(-∞ C ．)21,(-∞ D ．)1,(-∞（11）.定义在),(+∞-∞上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且)(x f 在]0,1[-上是增函数，下面五个关于)(x f 的命题中：①)(x f 是周期函数；②)(x f 图像关于1=x 对称；③)(x f 在]1,0[上是增函数；④)(x f 在]2,1[上为减函数；⑤)0()2(f f =，正确命题的个数是 （ ）A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个（12）.已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为 ( )第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。
清北学堂数学高联一试模拟题(11)及答案
清北学堂高联一试模拟题(十一)一、 填空题1、已知函数)123(log )(2-++-=a x ax x f a 对任意的]1,0(∈x 恒有意义，则实数a 的取值范围是 .答案：),1()1,21[+∞ .解： 显然0>a 且1≠a .由题意知01232>-++-a x ax 对一切]1,0(∈x 恒成立，即2132-->x x a 对一切]1,0(∈x 恒成立. 令213)(2--=x x x g ，则222)2(623)(--+-='x x x x g ，显然，对一切]1,0(∈x ，0)(<'x g ，所以函数213)(2--=x x x g 在]1,0(上单调递减，因此，当]1,0(∈x 时，)0()()1(g x g g <≤，即21)(2<≤-x g .因此，21≥a .综合可知：实数a 的取值范围是),1(]1,21[+∞ .2、计算3tan10+= ．．解：003tan10+=()00000003sin1030103sin1020cos10cos10+-+=)0000003sin10sin 30cos10cos30sin10cos10+-==．3、将正五角星的五个“角”（等腰的小三角形）分别沿其底边折起，使其与原所在平面成直二面角，则所形成的空间图形中，共有异面直线段 对． 答案：50．解：五角星的外围是由10条线段组成的封闭折线，将其按红、蓝间隔染色，（内圈的小正五边形不染色），则在这10条线段中，任一对同色的线异面，而任一对异色的线共面，于是得到25220C =对异面直线段；又每条有色线段恰与底面小正五边形的三条边异面，这种情况共有30对；因此总共有50个“异面直线段对”．314、已知双曲线以两坐标轴为对称轴，焦点在y 轴上，实轴长为2sin ,[,]43ππθθ∈，又双曲线上任一点(,)p x y 到点(1,0)M 的最短距离为1sin θ，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．答案：（1,7解：设双曲线方程为22221,sin y x b θ-=则22222222222sin (1)(1)sin (1)(1)21sin .x PM x y x x x b bθθθ=-+=-++=+-++因x R ∈，故22222min1sin ,sin b PMb θθ=+-+又因22mi n1,s i n PMθ=从而64224s i n s i ns i n ,1s i nb θθθθ+-=-而20b >及[,].43ππθ∈解不等式得23sin ,4θ<<又因222222422sin sin 1(),1sin 1sin sin sin c b e a θθθθθθ+====--令2sin ,t θ=则21,1e t t=-因1()1f t t t=-在34⎤⎥⎝⎦，上是递增函数，故2121,177e e <<<≤5、九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,,a a a ，若13579a a a a a ++++为一平方数，2468a a a a +++为一立方数，则这九个正整数之和的最小值是 ．答案：18000．解： 设这九数为 4,3,2,1,,1,2,3,4a a a a a a a a a ----++++，则有，25a m =，34a n =，9S a =，则2254m n a ==，得 2345m n = ………① 令112,5n n m m ==，得231110040m n =，所以 231152m n =，再取122m m =，125n n =， 化为 2222225m n =，取2210,2m n ==，可使左式成立，这时20,100n m ==，2000a =， 918000S a ==．6、四位数w 不能拆分为三个正整数的平方和，即方程w w z y x (222=++为四位数)没有正整数解，则w 的最大值为 ．答案：9999.解： 熟知任一奇数的平方模8余1，任一偶数的平方模8余0或4，从而任意三个正整数的平方和不可能模8余7，说明9999不能表为三个正整数的平方和，显然这是具有这一性质的最大四位数。
高中数学竞赛模拟习题15
2011 年全国高中数学联赛模拟试题一一试一．填空 （每小 8 分，共 64 分）1．函数 f (x)5 4x x 2 在 (,2) 上的最小 是．2 x2. 函数 ysin x cos x的 域是．sin x1 cos x3. 将号 分 1、 2、⋯、 9 的九个小球放入一个袋中， 些小球 号 不一样，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号 a ，放回后，乙此后袋中再摸出一个球，其号b 。
使不等式a?2b+10>0 建立的事件 生的概率等于．4． 数列 { a n } 的前 n 和 S n 足： S na nn1， n 1,2, L， 通 a n =．n(n1)x 2 y 2 1(ab0) 与直x y 1 交于 M,N 两点 ,且 OM ON ,(O5.已知b 2a 2原点 ),当 的离心率e[ 3 ,2] , 的取 范 是 ．3 26．函数 y 5 x 110 2x 的最大 是．7 ． 在 平 面 直 角 坐 系 中 ， 定 点P x 1, y 1、Q x 2, y2之 的“直角距离”d (P, Q) x 1x 2y 1 y 2 . 若 C x, y 到点 A1,3 、 B 6,9 的“直角距离”相等，其中 数 x 、 y足 0x10、y10， 所有 足条件的点C 的 迹的 度之和．8．一个半径1 的小球在一个内壁棱4 6 的正四周体容器内可向各个方向自由运， 小球永 不行能接触到的容器内壁的面 是．二 .解答题 （共 56 分）5 9.（ 16 分） 已知定 在R 上的函数 f (x) 足：f (1)，且 于随意 数x 、y ，2有 f (x) f ( y)f ( xy)f ( xy) 建立 .（ 1）若数列 { a n } 足 a n（ 2）若 于随意非零 数2 f (ny ， 有1) f (n)( n 1,2,3,L ) ，求数列f ( y) 2 . 有理数 x 1, x 2 足 | x 1{ a n } 的通 公式； | | x 2 |，判断 f ( x 1 )和 f (x 2 ) 的大小关系，并 明你的.10.（ 20 分）设b 0，数列{ a n}知足a1b， a nnba n 1(n 2) ．an 12n2（ 1）求数列{ a n}的通项公式；（ 2）证明：对于全部正整数n ， a n b n 11．2n 111.（ 20 分）若a 、b、 c R，且知足kabc(a b) 2( a b4c)2，求k 的最a b c大值。
2011年高考模拟数学试题汇编——解析几何(解答题),概率统计复习资料
2011年高考模拟数学试题汇编——解析几何（解答题）1．已知定点)0,1(-A 、)0,1(B ，动点M 满足：⋅等于点M 到点)1,0(C 距离平方的k 倍.（Ⅰ）试求动点M 的轨迹方程，并说明方程所表示的曲线； （Ⅱ）（文）当2=k+最大值和最小值. (理)当2=k+最大值和最小值.2．已知两个动点A 、B 和一个定点M ),(00y x 均在抛物线)0(22>=p px y 上.设F 为抛物线的焦点，Q 为对称轴上一点，若|||,||,|,0)21(FB FM FA AB AB QA 且=⋅+成等差数列. （1）求的坐标；（2）若││=3，||,2||AB FM 求=的取值范围.如图所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A中心O ，且0=⋅AC ，|BC |＝2|AC |．(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程； (2)如果椭圆上有两点P 、Q ，使∠PCQ 的平分线垂直于AO ， 证明：存在实数λ，使λ=． 4．5． 已知在平面直角坐标系xoy 中，向量OFP ∆=),1,0(的面积为32，且t =⋅，A.3j OM +=（Ⅰ）设344<<t ，求向量与的夹角θ的取值范围；（Ⅱ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且,)13(,||2c t c -==当||取最小值时，求椭圆的方程.6． 如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N在CM 上，且满足N 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E. （I ）求曲线E 的方程；（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λ=，求λ的取值范围. 7．8．如图，已知在坐标平面内，M 、N 是x 轴上关于原点O 对称的两点，P 是上半平面内一点，△PMN 的面积为),(),23,31(,23为常数坐标为点m m A ⋅=+.||MN OP MN =⋅（Ⅰ）求以M 、N 为焦点且过点P 的椭圆方程；（Ⅱ）过点B （－1，0）的直线l 交椭圆于C 、D 两点，交直线x =－4于点E ，点B 、E 分 1λ比分别为、2λ，求证：021=+λλ.9．如图：P （－3，0），点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，且在,0=⋅的延长线上取一点M ，使||=2||.（I ）当A 点在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程； （II ）已知j ki j i R k +-==∈以经过)0,1().0,1(),1,0(,为方向向量的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又点D （1，0），若∠EDF 为钝角时，求k的取值范围.10．已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0==⋅（1）动点N 的轨迹方程；（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.11、.||.432||2321.1方程取最小值时，求椭圆的量，当为变，以点为一个焦点的椭圆经过为中心，若以，）（设（Ⅱ）的取值范围；＞，＜，求若（Ⅰ），且的面积为如图，已知△→-→-→-→-→-→-=≥=<<=⋅OQ c Q F O c S c c OF FQ OF S FQ OF S OFQ12．2011年高考模拟数学试题汇编——解析几何（解答题）参考答案1．解（I ）设动点M 的坐标为),,(y x 则),1(y x AM +=→，).,1(y x BM -=→由题意.2→→→=⋅MC k BM AM 即].)y (x [k )y ,x ()y ,x (22111-+=-⋅+整理，得.12)1()1(22k ky y k x k +=+-+-………………………………………………3分 即所求动点轨迹方程.10当1=k 时，方程化为1=y ，表示过（0，1）点且平行于x 轴的直线.………………………………………………………………………………………4分.20当1≠k 时，方程化为222)11()1(k k k y x -=-++，表示以（0，)1-k k 为圆心，以k-11为半径的圆.………………………………………………6分（Ⅱ）（文）当2=k 时，方程化为1)2(22=-+y x22)2()2(y x BM AM +=+→→.222y x +=………………………………………………………………………………8分342)2(1222-=+--=y y y …………………………………………………10分.6334231max=-⨯=+∴≤≤→→BMAM y.23142min=-⨯=+→→BMAM ……………………………………………………12分（理）当2=k 时，方程化为.1)2(22=-+y x =+→→BM AM 2229)13(y x +-.x y x )y (x )y x (y x x 266361634916991692222--=+--=+-+=++-=………………………………………………………………………………………8分设⎩⎨⎧+==θθsin 2cos y x R ∈θ，则.)sin(37646cos 6sin 36462ϕθθθ++=-+=+→→BM AM ………10分其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.376cos ,371sin ϕϕ.33737646237646337+=+≤+≤-=-∴→→BM AM.BMAM .BMAM minmax33723372-≤+∴+=+∴→→→→……………12分2．解：（1）设.2||,2||,2||),,(),,(2012211p x FB p x FM p x FA y x B y x A +=+=+=则…1分由|||,|,||FA 成等差数列，有.2)2()2()2(2210210x x x px p x p x +=⇒+++=+…………2分 ∵,2,2222121px y px y ==两式相减，得.2212121y y px x y y k AB +=--=…………3分设AB 的中点为,0)21(),2,(210=⋅++y y x N ∴NQ 是AB 的垂直平分线，设).0,(Q x Q …………4分∴.1202,1,0221021021-=+⋅--+-=⋅--+=y y p x x y y k k x x y y k Q AB NQ Q NQ得由…………5分∴,0p x x Q += ∴).0,(0p x Q +…………6分 （2）由.2,122,3,2||,3||000==⇒=+=+==p x px p x FM 且得……7分∴抛物线为)0)(1(2:.42≠-=-=N NN y x y y y AB x y 为又直线…………8分 ∴有.0422)14(2222=-+-⇒-=-N N N N y y y y y y y y ……9分∴,16)42(4411||4222N N N ABy y y k -=--⋅+=…………10分 由,0,220≠<<-⇒>∆N N y y 且…………11分 ∴||的取值范围为（0，4）.…………12分3．(1)解：以O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，设A (2，0)，则椭圆方程为14222=+by x 2分∵O 为椭圆中心，∴由对称性知|OC |＝|OB |又∵0=⋅BC AC ，∴AC ⊥BC 又∵|BC |＝2|AC |，∴|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形∴点C 的坐标为(1，1) ∴点B 的坐标为(－1，－1) 4分将C 的坐标(1，1)代入椭圆方程得342=b ， 则求得椭圆方程为143422=+y x6分(2)证：证：由于∠PCQ 的平分线垂直于OA (即垂直于x 轴)， 不妨设PC 的斜率为k ，则QC 的斜率为－k ，因此PC 、QC 的直线方程分别为y ＝k (x －1)+1，y ＝－k (x －1)+1由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=14341)1(22y x x k y 得：(1＋3k 2)x 2－6k (k －1)x ＋3k 2－6k －1＝0 *8分∵点C (1，1)在椭圆上，∴x ＝1是方程(*)的一个根，∴x P •1＝131632+--k k k 即x P ＝131632+--k k k同理x Q ＝1316322+-+k k k9分∴直线PQ 的斜率为311312213)13(22)(222=+--+-=--+=--k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P 11分又∵31=AB k ，∴向量PQ ∥AB ，即总存在实数λ，使AB PQ λ=成立． 12分 4．5．解：（Ⅰ）由.sin 34||||sin ||||2132θθ=⋅⋅⋅=FP OF FP OF 得……2分 由.34tan ,34sin ||||cos tt FP OF ==⋅=θθθ得……4分 ],0[.3tan 1344πθθ∈<<∴<< t∴夹角θ的取值范围是).3,4(ππ…………6分 （Ⅱ）（解法一）设P ),,(00y x 不妨令0,000>>y x由（I ）知，PF 所在直线的倾斜角为θ，则.)13(3434tan 2ct -==θ又.34,322100cy y c S OPF=∴=⋅⋅=∆ 又由.3.)13(34034020c x cc x c =-=--得………………………………………………8分 .623432)34()3(||222020=⋅⋅≥+=+=∴cc c c y x ∴当且仅当||,2,343c cc 时即==取最小值62，此时，).32,32(= ),3,2()1,0()32,32(33=+=∴……………………………………10分 椭圆长轴.8)03()22()03()22(22222=-+++-+-=a.12,42==∴b a故所求椭圆方程为.1121622=+y x ………………………………………………12分 （解法二）设P ).0,(),,(),,(0000c y c x y x =-=则.)13()()0,(),(2000c t c c x c y c x -==-=⋅-=⋅∴.30c x =∴……………………8分 又.3432||||2100cy y S OFP ±=∴=⋅=∆ 以下同解法一6．解：（1）.0,2=⋅=∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………2分 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a ……………5分∴曲线E 的方程为.1222=+y x ………………6分 （2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设2212212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则……………………8分 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又λλλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴， λλλλ222222)1()121(316,23)1()24(+=++=++-∴kk k k 整理得……………………10分 .331.316214.316323164,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k .131,10<<∴<<λλ 又 又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,31,0===λFH FG x )1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴……………………………………12分7．8．解：（1）设),,(),0)(0,(),0,(00y x P c c N c M >- 则,2),()0,2(000cx y x c OP MN =⋅=⋅.1,2200==x c cx 故 ① 又.23,23||)2(2100cy y c S PMN ===∆ ②…………2分 ),23,31(),,(00+=+=y c x 由已知),23,31(),(00+=+m y c x即.)31()(23,23310000y c x y m c x +=+==++故③ 将①②代入③，,23)31()1(23cc ⋅+=+ ,0)33(2=+-+c c ,0)13)(3(=++-c c .23,30==∴y c …………………………4分 设椭圆方程为)23,1(,3).0(1222222P b a b a by a x +=>>=+ 在椭圆上，,4,1,143312222===++∴a b bb 故 ∴椭圆方程为：.1422=+y x ……………………6分 （2）①当l 的斜率不存在时，4-=x l 与无交点， 不合题意.②当l 的斜率存在时，设l 方程为)1(+=x k y ，代入椭圆方程1422=+y x 化简得：.0448)14(2222=-+++k x k x k ……8分 设点),(11y x C 、),(22y x D ，则：222112112221222114,11.1444,148,0λλλλ++=-++=-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+>∆x x x x k k x x k k x x ，,44,11212211+--=+--=∴x x x x λλ………10分]8)(52[)4)(1(1)4411(212122212121+++++-=+++++-=+x x x x x x x x x x λλ 而81485144428)(5222222121++-⋅++-⋅=+++k k k k x x x x 0)8324088(1412222=++--+=k k k k ， 021=+∴λλ…………12分9．解：（I ）设A （0，y 0）、Q （x 0，0）、M （x ，y ），则),(),,3(000y x y -=--= 又0200003,0))((3,0x y y y x AQ AP =∴=--+-∴=⋅ ①……3分|2||=又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==∴23,3203|,0000y y x x y y x x ② 将②代入①，有)0(42≠=x x y …………………………………………6分 （II ）x y x k y l k k j ki 4),1(:),,1()0,1()1,0(2=+==+=+与则联立， 得0)42(2222=+-+k x k x k)1,0()0,1(,0,1,24212221 -∈>∆=-=k x x kk x x 时 ③………………8分又0,),,1(),,1(2211<⋅∠-=-=DF DE EDF y x DF y x DE 则为钝角若……10分 而⋅1)1()1()()1)(1(2121212121+++++-=+--=x k x k x x x x y y x x01))(1()1(2212212<+++-++=k x x k x x k ④…………………………12分将③代入④整理有22220242<<∴<-k k 由题知)22,0()0,22(0 -∈∴≠k k 满足题意……………………………14分10．（1）设动点N 的坐标为（x ,y ），则 ),2,(),0)(2,0(),0,(y x x y P x M --=>-…………………2分040),2,1(2=+-=⋅-=y x y 得由，因此，动点的轨迹方程为 ).0(42>=x x y ……4分（2）设l 与抛物线交于点A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)，当l 与x 轴垂直时， 则由6424||,22,22,421<=-==-=⋅AB y y 得， 不合题意，故与l 与x 轴不垂直，可设直线l 的方程为y=k x +b(k ≠0),则由4,42121-=+-=⋅y y x x 得…6分由点A ，B 在抛物线.8,4,4,)0(4212221212-===>=y y x y x y x x y 故有上又y 2=4x , y=k x +b 得ky 2－4y+4b=0,……………………8分所以)3216(1||),21(16.2,8422222++=+=∆-=-=k k k AB k k b k b ……10分因为.480)3216(196,304||64222≤++≤≤≤kk k AB 所以解得直线l 的斜率的取值范围是]1,21[]21,1[⋃--.………………………………………………………………12分11、解：分，，又由，而分，）（又分，，，＞，＜（Ⅰ）令1.34]0[.3tan 123212.tan 21sin ||||21sin ||||211cos 1||||1cos ||||1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<<∴∈<<∴<<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∴=-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∴=∴=⋅=→-→-→-→-→-→-→-→-→-→-→-→-πθππθθθθθπθθθS S FQ OF FQ OF S FQ OF FQ OF FQ OF FQ OF分所求椭圆方程为，）（）（，，）（由题设可设椭圆方程为分），（最小，此时时，当）（分），（）（，），（，），（又分，，且），（，则），（并令，轴建立直角坐标系如图所在直线为为原点，（Ⅱ）以3.1610.610.123254012.2325||2.2.491||1.231.1.102.23.4321022222222222222222⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+∴==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==∴>>=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∴≥++=∴⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∴+=∴=-=⋅∴-==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=→-→-→-→-→-→-y x b a b a b a c b a b y a x Q OQ c c c c OQ c c Q cc m c m c FQ OF n c m FQ c OF n c S n c S c F n m Q x OF O12．第11部分:概率统计一选择题1．（宁波市理）如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数7 8 994 4 6 4 7 3的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为C （A ） 84，4.84 （B ） 84，1.6 （C ） 85，1.6（D ） 85，42．（宁波市文）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有DＡ．c b a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >>3．（台州市2008学年第一学期理文）用2、3、4组成无重复数字的三位数，这些数被4整除的概率是B A ．12B ．13C ．14D ．151．（宁波市2008学年度第一学期高三期末数(文)）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有Ａ．c b a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >> 答案：D2．(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题（文）)在三棱锥的六条棱中任意选择两条,则这两条棱是一对异面直线的概率为（ ）A ．201 B ．151 C ．51 D ．61 答案：C3．（宁波市2008学年度第一学期高三期末数(理)）如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 （A ） 84，4.84 （B ） 84，1.6 （C ） 85，1.6（D ） 85，4答案：C4．(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题（文理）)某校举行2008年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 （ ）77A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，4 （第4题） 答案：C5.(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题（）) 某校举行2008年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 （ ）.A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，45．（宁波市2008学年度第一学期高三期末数(文)）在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为A ．35 B ．125 C ．65 D ．185答案：B二、填空题1（浙江省杭州市2009年）某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 ；众数是 . ．23；232（温州市部分省重点中学2009）．为了解温州地区新高三年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(60名男生的身高，单位：cm)，分组情况如下：则表中的=m ，=a 。
(专家预测卷)2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案
2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案及评分标（专家预测）时间:2011-9-1122一、如图，M，N分别为锐角三角形△ABC(∠A＜∠B=的外接圆D上弧的中点.过点C作PC∥MN交圆D于P点，I为△ABC的内心，连接PI并延长交圆D于T.(1)求证：MP·MT=NP·NT；(2)在弧(不含点C)上任取一点Q(Q≠A，T，B)，记△AQC，△QCB的内心分别为I1，I2.求证：Q，I1，I2，T四点共圆.证明：(1)连NI，MI.由于PC∥MN，P，C，M，N共圆，故PCMN是等腰梯形.因此NP=MC，PM=NC.……10分连AM，CI，则AM与CI交于I，因为∠MIC=∠MAC+∠ACI=∠MCB+∠BCI=∠MCI，所以MC=MI.同理NC=NI.于是NP=MI，PM=NI.故四边形MPNI为平行四边形.因此S△PMT=S△PNT(同底，等高).……20分又P，N，T，M四点共圆，故∠TNP+∠PMT=180°，由三角形面积公式==.于是PM·MT=PN·NT.……30分(2)因为∠NCI1=∠NCA+∠ACI1=∠NQC+∠QCI1=∠CI1N,所以NC=NI1，同理MC=MI2.由MP·MT=NP·NT得. 由(1)所证MP=NC，NP=MC，故.……40分又因∠I1NT=∠QNT=∠QMT=∠I2MT，有△I1NT∽△I2MT.故∠NTI1=∠MTI2，从而∠I1QI2=∠NQM=∠NTM=∠I1TI2.因此Q，I1，I2，T四点共圆.……50分二、求证不等式：，n=1，2，…证明：首先证明一个不等式：(1).事实上，令h(x)=x-ln(1+x)，.则对x＞0，. 于是h(x)＞h(0)=0，g(x)＞g(0)=0.在(1)中取得(2).……10分令，则，＜=-,因此.……30分又因为lnn=(lnn-ln(n-1))+(ln(n-1)-ln(n-2))+…+(ln2-ln1)+ln1=.从而===.……50分三、设k,l是给定的两个正整数，证明：有无穷多个正整数m≥k，使得与l互素.证法一：对任意正整数t，令m=k+t·l·(k!).我们证明(,l)=1.设p是l的任一素因子，只要证明：p.若p k!,则由即p不整除上式，故：p.……20分若p|k!,设α≥1,使｜k!,但k!,则｜l(k!).故由及p|k!,且k!，知|k!且k!.从而p.……50分证法二：对任意正整数t，令m=k+t·l·(k!)2.我们证明(,l)=1.设p是l的的任一素因子，只要证明：p.若p k!,则由即p不整除上式，故：p.……20分若p|k!,设α≥1,使|k!,但k!.则|(k!)2.故由及|k!,且k!，知｜k!且k!.从而p.……50分四、在非负数构成3×9数表中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，x17=x28=x39=0，x27,x37,x18,x38,x19,x39均大于1.如果P的前三列构成的数表满足下面的性质(O)：对于数表P中的任意一列(k=1,2,……,9)均存在某个i{1,2,3},使得(3)x ik≤u i=min{x i1,x i2,x i3}.求证：(i)最小值u i=min{x i1,x i2,x i3},I=1,2,3一定取自数表S的不同列.(ii)存在数表P中唯一的一列，≠1,2，3使得3×3数表仍然具有性质(O).证明：(i)假设最小值,y=1,2,3不是取自数表S的不同列，则存在一列不含任何u i.不妨设u i≠,i=1,2,3.由于数表P中同一行中的任何两个元素都不等，于是i=1,2,3.另一方面，由于数表S具有性质(O)，在(3)中取k=2，则存在某个i0∈｛1,2,3｝使得.矛盾.……10分(ii)由抽屉原理知min{x11,x12},min{x21,x22},{x31,x32}中至少有两个值取在同一列.不妨设min{x21,x22}=x22,{x31,x32}=x32.由前面的结论知数表S的第一列一定含有某个u i，所以只能是x11=u1.同样，第二列中也必含某个u i,I=1,2.不妨设x22=u2.于是u3=x33,即u i是数表S中的对角线上的数字：记M={1,2,…,9},令集合I={k∈M|x ik＞min{x i1,x i2},i=1,3}.显然I={k∈M|x1k＞x11,x3k＞x32}且1,2,3I.因为x18,x38≥x11,x32,所以8∈I.故I≠Φ.于是存在k*∈I使得下面证明3×3数表具有性质(O).从上面的选法可知,(I=1,3).这说明又由满足性质地(O)，在(3)中取k=k*,推得，于是下证对任意的k∈M，存在某个i=1,2,3使得假若不然，则x ik＞min{x i1,x i2},I=1,3.且这与的最大性矛盾.因此，数表S′满足性质(O).……30分下证唯一性.设有k∈M使得数表具有性质(O).不失一般性，我们假定(4)由于x32＜x31,x22＜x21及(i),有又由(i)知：或者(a)或者(b)如果(a)成立，由数表具有性质(O)，则(5)由数表满足性质(O)，则对于3∈M，至少存在一个i∈{1,2,3}, 使得又由(4)，(5)式知，.所以只能有.同样由数表S满足性质(O)，可推得x33≥x3k.于是k=3,即数表S=.……40分如果(b)成立，则(6)由数表满足性质(O)，对于k*∈M,存在某个i=1,2,3使得由k*∈I及(4)和(6)式知，于是只能有类似地，由S′满足性质(O)及k∈M可推得从而k*=k.……50分。
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2011年全国高中数学联赛全真模拟（第二套）
北京清北学堂内部资料
（清北学堂教研部特邀湖北省竞赛相关老师命制，内部资料，禁止翻印。
）
一：填空题（每题8分，共8题）
1．已知=)(x f ⎪⎩
⎪⎨⎧∈-∈+]1,21[),1(2)21,0[,21x x x x ，定义)()()),(()(11x f x f x f f x f n n ==-其中，则20071()5
f = ； 2．在数列}{n a 中，1a ＝2，)(1*1N n a a n n ∈=++，设n S 为数列}{n a 的前n 项和，则 2005200620072S S S +-的值为
3、已知实数b a ,满足b b a 200610041003=+，a b a 20071009997=+，则a 与b 的大小关系
为 .
4、设函数x x x f -+=1log 21)(2，定义∑-==11
)(n i n n i f S ，其中*N n ∈，且2≥n ， 则n S = .
5、设21,A A 为椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右顶点，若在椭圆上存在异于21,A A 的点P ，使得02=⋅PA PO ，其中O 为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是 .
6.求和：22006
1222[][][][]10033333
++++ = （其中[]x 表示不超过x 的最大整数）.
7、扔6次股子，令第i 次得到的数为i a ，若存在正整数k 使得
61=∑=k i i a 的概率m
n p =，其中n m ,是互质的正整数，则n m 76log log -= . 8、斜率为1的直线与椭圆2
2
14y x +=交于A 、B 两点，P 为线段AB 上的点，且2AP PB =. 则P 点的轨迹方程是____________________．
二：解答题：（第9题16分。
20，21题20分）。
13、设 ,,,,10n a a a 为实数列，满足5
121+
≥+n n a a ，其中N n ∈. 求证：当5≥n 时，255-+≥n n a a .
14、设F 椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点，,AB CD 为过焦点的弦，满足AB CD ⊥，求“蝶形”ACFBD 面积的最大值和最小值.
15、设函数38)(2++=x ax x f ).(R a ∈
（1）若)(),()(x f x xf x g =与)(x g 在x 同一个值时都取得极值，求a 的值.
（2）对于给定的负数a ，有一个最大的正数()M a ，使得)](,0[a M x ∈时，恒有.5|)(|≤x f ①()M a 的表达式；
②()M a 的最大值及相应的a 值.。