广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 圆锥曲线试题精选21
广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 圆锥曲线试题精选10
圆锥曲线101.如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹解：（1）设M （y 20,y 0），直线ME的斜率为k(l>0)（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x x ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122().9273y x x =-> 2．如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.解：（1）设切点A 、B 坐标分别为2201110(,)(,)(()x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P =+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310，222201010101014(),3333P pP G x y y y y x x x x x x x x y -+++++-====所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x 所以P 点到直线BF的距离为：22111111221||11|()|()||42124x x x x x x d x -++===+所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线AF 的方程：202000011114(0),()0,4044x y x x x x y x x --=---+=-即 直线BF 的方程：212111111114(0),()0,4044x y x x x x y x x --=---+=-即 所以P 点到直线AF 的距离为：22201010010001120111|()()||)()||24124x x x x x x x x x x x d x +---++-===+ 同理可得到P 点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB.3. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。
广州市重点学校备战2017高考高三数学一轮复习试题精选：圆锥曲线12 含解析
圆锥曲线1211。
已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +与(3,1)a =-共线.（1）求椭圆的离心率；（2)设M 为椭圆上任意一点,且(,)OM OA OB R λλλμ=+∈，证明22λμ+为定值.解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a。
令),,(),,(2211y x B y x A 则.,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 1212(,),OA OB x x y y +=++由(3,1),a OA OB a =-+与共线，得12123()()0.y y x x +++=又1122,yx c y x c =-=-∴12123(2)()0x xc x x +-++=∴1232cx x +=即222232a c c ab =+，∴223a b =∴c ==yQ PNMFOx故离心率为6.3c e a ==12。
P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上,F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．解：如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点F （0，1），且PQ⊥MN，直线PQ 、NM 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为K,又PQ 过点F(0，1），故PQ 的方程为y =kx +1将此式代入椭圆方程得(2+2k )2x +2kx －1=0设P 、Q 两点的坐标分别为(1x ，1y ），（2x ,2y ),则2212222222,22k k k k x x k k--+-++==++ 从而222221212228(1)||()()(2)k PQ x x y y k +=-+-=+亦即2222(1)||2k PQ k+=+②当k =0时,MN 为椭圆长轴，2PQ ｜212｜PQ||MN|=2综合①②知四边形PMQN 的最大值为2，最小值为169。
广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 圆锥曲线试题精选20
圆锥曲线20选择题:1.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A（B（C ）2 （D ）3 答案：B解析：由题意知，AB 为双曲线的通径，所以，AB a a b 422==，222=∴ab 又3122=+=ab e ，故选B.2.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【答案】 C【解析】由1C 恰好将线段AB 三等分得133A A x x x x =⇒=，由2225A y x x a x y =⎧⇒=⎨+⎩,15x a ∴=y =52(,)a在椭圆上,2222()()15151a a b∴+=2211a b ⇒=又225,a b -=212b ∴=，故选C3.双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B)4.设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x =【答案】B【解析】：设抛物线方程为2y ax =，则准线方程为4a x =-于是24a-=-8a ⇒=5.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠= (A)45 (B)35 (C)35- (D)45-【答案】D 【解析】：24(1,0)y x F =得，准线方程为1x =-，由24(1,2),(4,4)24y x A B y x ⎧=-⎨=-⎩得则AB ==2,5AF BF ==由余弦定理得222524cos 2555AFB +-∠==-⨯⨯ 故选D6.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或B ．23或2C ．12或2D ．2332或 【答案】A 填空题:1.若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【答案】22154x y += 【解析】因为一条切线为x=1,且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1,0),即1c =,设点P （1，12）,连结OP,则OP ⊥AB,因为12OP k =,所以2AB k =-,又因为直线AB 过点(1,0),所以直线AB 的方程为220x y +-=,因为点(0,)b 在直线AB 上,所以2b =,又因为1c =,所以25a =,故椭圆方程是22154x y +=.2.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上，离心率为2。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习圆锥曲线试
圆锥曲线0753.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程.解：设椭圆方程为22221()x y a b c a b+=>>（Ⅰ）由已知得222224b c ac a b c=⎧⎪⎪=⇒⎨⎪⎪=+⎩222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ∴所求椭圆方程为2212x y +=.解法1：对212S k=+两边平方整理得：2422244(4)240S k S k S +-++=（*）∵0S ≠，2222222216(4)44(24)0,402404S S S SS S S ⎧⎪--⨯+≥⎪-⎪>⎨⎪⎪+>⎪⎩整理得：212S ≤又0S >，0S ∴<≤从而AOB S的最大值为2S =， 此时代入方程（*）得 42428490k k -+=2k ∴=±所以，所求直线方程为：240y -+=.解法2：令0)m m =>， 则2223k m =+S m m∴==≤+当且仅当4m m=即2m =时，max 2S =此时k =所以，所求直线方程为240y +=54. 如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M 满足AD →=tAB →, BE → = t BC →, DM →=t DE →, t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE 斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M 的轨迹方程.解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x,y).由AD →=tAB →, BE → = t BC →, 知(x D －2,y D －1)=t(－2,－2).∴⎩⎨⎧x D =－2t+2y D =－2t+1 同理 ⎩⎨⎧x E =－2t y E =2t －1. ∴k DE = y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)－2t －(－2t+2) = 1－2t.∴t∈[0,1] , ∴k DE ∈[－1,1]. (Ⅱ) ∵DM →=t DE →∴(x+2t－2,y+2t －1)=t(－2t+2t －2,2t －1+2t －1)=t(－2,4t －2)=(－2t,4t 2－2t).∴⎩⎨⎧x=2(1－2t)y=(1－2t)2 , ∴y=x 24 , 即x 2=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].即所求轨迹方程为: x 2=4y, x∈[－2,2]55.在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2).当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6). ∴⋅=3；当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y xy k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=-又 ∵ 22112211,22x y x y ==，∴2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+=，综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么OB OA ⋅=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果OB OA ⋅=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时OA OB =3,直线AB 的方程为：2(1)y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上；说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足⋅=3，可得y 1y 2=－6， 或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).56.已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；（3）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ∆面积的最大值。
广东省广州市普通高中2017高考高三数学第一次模拟试题精选：圆锥曲线01 含答案
圆锥曲线011、双曲线17922=-+-λλy x （97<<λ）的焦点坐标为…… ……（ ） （A ）)0,4(± （B ）)0,2(± （C ）)4,0(± （D ）)2,0(± 【答案】B【解析】因为97<<λ，所以90λ->，70λ-<，即22197x y λλ+=--为22197x y λλ-=--，所以双曲线的焦点在x 轴上，所以2972c λλ=-+-=，即c =，所以焦点坐标为(，选B2、若1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右两个焦点，M 是椭圆上的动点，则2111MF MF +的最小值为 【答案】1【解析】根据椭圆的方程可知224,1a b ==，所以222413c a b =-=-=，所以2c a =。
设1,M F x =a c x a -≤≤+，即23x ≤≤，所以224MF a x x =-=-，所以21211114444(4)(4)(2)4x x MF MF x x x x x x x -++=+===-----+，因为22x ≤≤+，所以当2x =时，24(2)4x --+有最小值414=，即212114(2)4MF MF x +=--+的最小值为13、抛物线22x y =的焦点坐标是_______________．【答案】)81,0(【解析】抛物线的标准方程为212x y =，所以焦点在y 轴，且112,24p p ==，所以焦点坐标为)81,0(。
4、设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为……v ………………（ ）．A x y 2±= .B x y 2±=C x y 21±=D x y 22±=【答案】D【 解析】由题意知22,2b c ==1,b c ==a ==，所以双曲线的渐近线方程为b y x x x a =±==，选D5、抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ▲ ． 【答案】24yx =【 解析】由椭圆方程可知225,4a b ==，所以222541c a b =-=-=，即1c =，所以椭圆的右焦点为(1,0)，因为抛物线的焦点为椭圆的右焦点，所以12p=，所以2p =。
广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 圆锥曲线试题精选02
圆锥曲线0220.已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）π （B ）4π （C ）8π （D ）9π解：两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，设P 点的坐标为(x ，y)， 则2222(2)4[(1)]x y x y ++=-+，即22(2)4x y -+=，所以点P 的轨迹所包围的图形的面积等于4π，选B.21.直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为（A ）48 （B ）56 （C ）64 （D ）7222.如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（ ）A ．36B ．4C ．2D ．1解析：如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，∴ 229a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2236a b ⎧=⎨=⎩，所以它的两条准线间的距离是222a c ⋅=，选C.23.椭圆的中心为点(10)E -，，它的一个焦点为(30)F -，，相应于焦点F 的准线方程为72x =-，则这个椭圆的方程是（ ）Ａ．222(1)21213x y -+= Ｂ．222(1)21213x y ++= Ｃ．22(1)15x y -+= Ｄ．22(1)15x y ++=解析：椭圆的中心为点(1,0),E -它的一个焦点为(3,0),F -∴ 半焦距2c =，相应于焦点F 的准线方程为7.2x =- ∴ 252a c =，225,1a b ==，则这个椭圆的方程是22(1)15x y ++=，选D.24.若双曲线221x y m-=上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13 ，则m= （A ）12（B ）32（C ）18（D ）98解：双曲线221x y m -=上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13 ，则离心率e=3，∴ 19m m +=，m =81，选C.25.抛物线28y x =的准线方程是(A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- 解：2p ＝8，p ＝4，故准线方程为x ＝－2，选A26.设11229(,),(4,),(,)5A x y B C x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分不必要条件 （D ）既非充分也非必要27.抛物线x y 42=的焦点坐标为( )（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(.解：（直接计算法）因为p=2 ，所以抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 ．应选B ．28.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.解：应用直接推理和特值否定法．当k>3时，有k-3>0,k+3>0，所以方程表示双曲线；当方程 表示双曲线时，k=-4 是可以的，这不在k>3里．故应该选A ．二、填空题（共8题）29.已知12F F ，为双曲线22221(00)a b x y a b a b≠-=>>且，的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题Ａ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x a =上； Ｂ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上； Ｃ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线OP 上； Ｄ．12PF F △的内切圆必通过点0a ()，．其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．30.已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 .解：显然12,x x ≥0，又2212y y +＝4（12x x +）≥124x x ==时取等号，所以所求的值为32。
广州市重点学校备战2017高考高三数学一轮复习试题精选：圆锥曲线18 含解析
圆锥曲线1821.如图，椭圆0C ：22221(0x y a b a b+=>>,a ，b 为常数)，动圆22211:C xy t +=，1b t a <<.点12,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ,D 四点。
(Ⅰ）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；(Ⅱ）设动圆22222:C x y t +=与0C 相交于////,,,A B C D 四点，其中2b t a <<， 12t t ≠.若矩形ABCD 与矩形////A B C D 的面积相等,证明：2212t t +为定值。
【答案】22.(本小题满分13分）设A是单位圆221+=上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，Dx y是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足||||(0,1)=>≠且.DM m DA m m当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点⊥?若存在，H。
是否存在m，使得对任意的0k>，都有PQ PH求m 的值；若不存在，请说明理由。
【答案】(Ⅰ）如图1,设(,)M x y ，0(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且，可得0x x =，0||||y m y =，所以0xx=，01||||yy m=. ①因为A点在单位圆上运动,所以22001x y +=。
②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为222 1 (0,1)y x m m m+=>≠且.因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以当01m <<时,曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为2(1,0)m --,2(1,0)m -;当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为2(0,1)m --，2(0,1)m -.（Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ∀>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --,1(0,)N kx ,直线QN 的方程为12y kx kx =+,将其代入椭圆C 的方程并整理可得222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.依题意可知此方程的两根为1x -，2x ,于是由韦达定理可得21122244k x x x m k -+=-+，即212224m x x m k =+。
广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 圆锥曲线试题精选36
圆锥曲线3624.已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点)0,5(1-F ，若椭圆上存在一点D ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段1DF 相切于线段1DF 的中点F ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）已知两点)1,0(),0,2(M Q -及椭圆G :192222=+by a x ,过点Q 作斜率为k 的直线l 交椭圆G 于K H ,两点,设线段HK 的中点为N ,连结MN ,试问当k 为何值时,直线MN 过椭圆G 的顶点?(Ⅲ) 过坐标原点O 的直线交椭圆W :14292222=+by a x 于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连结AC 并延长交椭圆W 于B ，求证：PB PA ⊥.(Ⅱ) 由（Ⅰ）得椭圆G :1422=+y x①当0=k 时,有)0,0(N ,直线MN 显然过椭圆G 的两个顶点)2,0(),2,0(-; ②当0≠k 时,则00≠x ,直线MN 的方程为110+-=x x y y 此时直线MN 显然不能过椭圆G 的两个顶点)2,0(),2,0(-; 若直线MN 过椭圆G 的顶点)0,1(,则11000+-=x y 即100=+y x 所以14842222=+++-k kk k ,解得:2,32==k k (舍去) . 若直线MN 过椭圆G 的顶点)0,1(-,则11000+--=x y 即100-=-y x 所以14842222-=+-+-k kk k ,解得:524,524--=+-=k k (舍去) , 综上,当0=k 或32=k 或524+-=k 时, 直线MN 过椭圆G 的顶点. （Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆W 的方程为1222=+y x , 根据题意可设),(n m P ，则)0,(),,(m C n m A --则直线AC 的方程为)(2m x mnn y +=+…① 过点P 且与AP 垂直的直线方程为)(m x nmn y --=-…②①⨯②并整理得：222222n m y x +=+,又P 在椭圆W 上，所以1222=+n m 所以1222=+y x ,即①、②两直线的交点B 在椭圆W 上,所以PB PA ⊥． 法二：由（Ⅰ）得椭圆W 的方程为1222=+y x 根据题意可设),(n m P ，则)0,(),,(m C n m A --，PA n k m ∴=，2AC n k m=25.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为36，且过点)1,2(过点C （-1，0）且斜率为k 的直线l 与椭圆相交于不同的两点B A ,.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使25MA MB 3K 1⋅++是与k 无关的常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.解：，22c b 1a 3a ∴=∴=.又1），代入椭圆方程，得22211a b +=.所以225a 5,b 3==.∴椭圆方程为22x y 155+=，即22x 3y 5+=. ……………………………………4分是与k 无关的常数，设常数为t ，则222222k 6mk 3m k m t 3k 1-+++=+. ……………………10分整理得222(3m 6m 13t)k m t 0+--+-=对任意的k 恒成立， 223m 6m 13t 0,m t 0.⎧+--=⎪∴⎨-=⎪⎩解得1m 6=，即在x 轴上存在点M （1,06）， 使25MA MB 3k 1⋅++是与K 无关的常数. ……………………………12分26.如图，在平面直角坐标系xoy 中，设点()0,F p （0p >），直线l :y p =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与x过R 、P 分别作直线1l 、2l ，使1l PF ⊥，2l l ⊥ 12l l Q =.(Ⅰ)求动点Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）在直线l 上任取一点M 做曲线C 的两条切线，设切点为A 、B ，求证：直线AB 恒过一定点；(Ⅲ)对（Ⅱ）求证：当直线,,MA MF MB 的斜率存在时，直线,,MA MF MB 的斜率的倒数成等差数列.对于方程①，代入点(,)M m p -得，1111()2p y x m x p --=-，又21114y x p= ∴211111()42p x x m x p p--=-整理得：2211240x mx p --= 同理对方程②有2222240x mx p --=即12,x x 为方程22240x mx p --=的两根. ∴212122,4x x m x x p +==- ③-----------------------8分设直线AB 的斜率为k ，2221211221211()4()4y y x x k x x x x p x x p--===+--所以直线AB 的方程为211211()()44x y x x x x p p-=+-，展开得：12121()44x x y x x x p p =+-，代入③得：2my x p p=+ ∴直线恒过定点(0,)p .-------------------------------------10分。
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圆锥曲线21
解答题:
1. （本小题满分14分）
已知动直线l 与椭圆C: 22
132
x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积
OPQ S ∆其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；
（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得2
ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.
（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+
由题意知m 0≠，将其代入22
132
x y +=，得 222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，
其中2222
3612(23)(2)0,k m k m ∆=-+->
即22
32k m +>
…………（*）
又2121222
63(2)
,,2323km m x x x x k k
-+=-=++
所以||PQ == 因为点O 到直线l 的距离为
d =
所以1
||2
OPQ S PQ d ∆=
⋅
=
2
|23m k
=+
又OPQ S ∆=
整理得22322,k m +=且符合（*）式，
此时22
22
21
2
121222
63(2)
()2()23,2323km m x x x x x x k k -+=+-=-
-⨯=++ 22
2222
121212222(3)(3)4() 2.333
y y x x x x +=
-+-=-+= 综上所述，2222
12123;2,x x y y +=+=结论成立。
所以5||||2OM PQ ⋅≤
，当且仅当2211
32,m m m
-=+=即. 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5
.2
2.如图7，椭圆)0(1:22
221>>=+b a b y a x C 的离心率为23，x 轴被曲线
b x y C -=22:截得的线段长等于1C 的长半轴长.
()I 求1C ，2C 的方程；
()II 设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB
分别与1C 相交于点D ，E . (ⅰ)证明： ME MD ⊥;
(ⅱ)记MAB ∆,MDE ∆的面积分别为21,S S ，问：是否存在直线l ，使得32
17
21=S S ？请说明理由.
解：()I 由题意知
2
3
==a c e ，从而b a 2=，又a b =2，解得1,2==b a ，故1C ，2C 的方程分别为14
22
=+y x ，12-=x y
()II （ⅰ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则
直线l 的方程为kx y
=
由⎩⎨⎧-==1
2
x y kx y 得012=--kx x 设()11,y x A
，()22,y x B ，则21,x x 是上述方程的两
个实根，于是
,21k x x =+1,21-=x x
又点()1,0-M
，所以
()()()2
1212122121221111111x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MB
MA +++=++=+⋅+=⋅
11
1
22-=-++-k k
故MB MA ⊥即ME MD ⊥
因此⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=1744641212
121k k S S 由题意知，32
1717446412121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++k k ，解得421=k 或4121=k
又由点B A ,的坐标可知，,111
11
1
12
12
1k k k k k k k -=+-
=所以23
±=k 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为x y
23=
和x y 2
3-= 评析：本大题主要考查抛物线、椭圆的标准方程的求法以及直线与抛物线、椭圆的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等.
4.设圆C
与两圆222
24,4x y x y +=+=（（中的一个内切，另一个外切.
（1）求C 的圆心轨迹L 的方程.
（2）
已知点(55
M F ，0），
且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标.
【解析】（1）解：设C 的圆心的坐标为(,)x y ，由题设条件知
||4,=
化简得L 的方程为2
2 1.4
x y -=
（2）解：过M ，F 的直线l 方程为2(y x =-，将其代入L 的方程得
215840.x -+=
解得1212x x l L T T =
=故与交点为 因T 1在线段MF 外，T 2在线段MF 内，故11||||||2,MT FT MF -==
22|||||| 2.MT FT MF -<=，若P 不在直线MF 上，在MFP ∆中有 |||||| 2.MP FP MF -<=
故||||MP FP -只在T 1点取得最大值2。