连城县隔川中学九年级数学周练 2015.0410
福建省龙岩市连城县2016-2017学年九年级上学期期中数学试卷及参考答案
福建省龙岩市连城县2016-2017学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题
1. 在下列各式中：①x2+3=x②2x2﹣3x=2x（x﹣1）﹣1③3x2﹣4x﹣5④x2= +2是一元二次方程的共有（ ） A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个 2. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A . 12 B . 12 C . 6 D . 4 8. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并 使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（ ）
A . 30° B . 45° C . 60° D . 75° 9. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a +b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣ ，y2）、点C（ ，y3）在该函数图 象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2 ， 且x1＜x2 ， 则x1＜﹣1＜5＜x2 ． 其中正确的 结论有（ ）
2015-2016年福建省龙岩市连城县九年级(上)期中数学试卷及参考答案
2015-2016学年福建省龙岩市连城县九年级（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分．1．（4分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．C．3（x+1）2=2（x+1） D．2x2+3x=2x2﹣2 2．（4分）用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=253．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A．m＜1 B．m＜﹣1 C．m＞1 D．m＞﹣14．（4分）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2 5．（4分）下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B． C．D．6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°7．（4分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（4分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．39．（4分）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°10．（4分）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A． B．C．D．二、填空题：每小题3分，共18分．11．（3分）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是．12．（3分）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=．13．（3分）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为．15．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为．16．（3分）观察下列图形规律：当n=时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．三、解答题：8题，共92分．17．（6分）计算：﹣（2015+π）0．18．（6分）解方程：2x2﹣7x+6=0．19．（8分）已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，不解方程求下列程式的值．（1）α2+β2（2）．20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，A点的坐标为（3，4），将OA绕原点O 顺时针旋转90°得到OA′，求点A′的坐标．21．（11分）如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且=．（1）求证：BE=CE；（2）若∠B=50°，求∠AOC的度数．22．（12分）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ的大小．23．（12分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？24．（13分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）25．（14分）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标．（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．2015-2016学年福建省龙岩市连城县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分．1．（4分）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．C．3（x+1）2=2（x+1） D．2x2+3x=2x2﹣2【解答】解：A、a=0，ax2+bx+c=0是一元一次方程，故A错误；B、（）2+﹣2=0是分式方程，故B错误；C、3（x+1）2=2（x+1）是一元二次方程，故C正确；D、2x2+3x=2x2﹣2是一元一次方程，故D错误；故选：C．2．（4分）用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25【解答】解：方程x2+8x+9=0，整理得：x2+8x=﹣9，配方得：x2+8x+16=7，即（x+4）2=7，故选：C．3．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A．m＜1 B．m＜﹣1 C．m＞1 D．m＞﹣1【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×m＞0，∴4﹣4m＞0，解得m＜1．故选：A．4．（4分）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2【解答】解：x2﹣x﹣2=0（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．故选：D．5．（4分）下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B． C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选：D．6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°【解答】解：由旋转的性质可知，AC=AC′，∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．∵∠CC′B′=32°，∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，∵∠B=∠C′B′A，∴∠B=77°，故选：C．7．（4分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选：C．8．（4分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．9．（4分）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【解答】解：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故选：C．10．（4分）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A． B．C．D．【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选：D．二、填空题：每小题3分，共18分．11．（3分）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是3．【解答】解：设方程的另一个解是a，则1×a=3，解得：a=3．故答案是：3．12．（3分）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=﹣或1．【解答】解：设a+b=x，则由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0，分解得：（2x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣，x2=1．则a+b的值是﹣或1．故答案是：﹣或1．13．（3分）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为y=2（x+1）2﹣2．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案为：y=2（x+1）2﹣2．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为（4，2）．【解答】解：AB旋转后位置如图所示．B′（4，2）．15．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为6．【解答】解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵DE=BQ+QE===5，∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6．故答案为：6．16．（3分）观察下列图形规律：当n=5时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．【解答】解：∵n=1时，“●”的个数是3=3×1；n=2时，“●”的个数是6=3×2；n=3时，“●”的个数是9=3×3；n=4时，“●”的个数是12=3×4；∴第n个图形中“●”的个数是3n；又∵n=1时，“△”的个数是1=；n=2时，“△”的个数是3=；n=3时，“△”的个数是6=；n=4时，“△”的个数是10=；∴第n个“△”的个数是；由3n=，可得n2﹣5n=0，解得n=5或n=0（舍去），∴当n=5时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．故答案为：5．三、解答题：8题，共92分．17．（6分）计算：﹣（2015+π）0．【解答】解：﹣（2015+π）0=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．18．（6分）解方程：2x2﹣7x+6=0．【解答】解：2x2﹣7x+6=0，（2x﹣3）（x﹣2）=0，∴2x﹣3=0，x﹣2=0，x1=，x2=2，19．（8分）已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，不解方程求下列程式的值．（1）α2+β2（2）．【解答】解：（1）∵方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，∴α+β=﹣3，αβ=﹣1，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=9+2=11；（2）∵α+β=﹣3，αβ=﹣1，∴===﹣11．20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，A点的坐标为（3，4），将OA绕原点O 顺时针旋转90°得到OA′，求点A′的坐标．【解答】解：AB⊥y轴于B，A′C⊥x轴于C，如图，OB=4，AB=3，OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′可看作是Rt△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到RtOA′C，则A′C=AB=3，OC=OB=4，所以点A′的坐标为（4，﹣3）．21．（11分）如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且=．（1）求证：BE=CE；（2）若∠B=50°，求∠AOC的度数．【解答】（1）证明：∵∠AOD=∠BOE，∴=．∵=，∴=，∴BE=CE；（2）解：∵∠B=50°，OB=OE，∴∠BOE=180°﹣50°﹣50°=80°．∵由（1）知，BE=CE，∴∠COE=∠BOE=80°，∴∠AOC=180°﹣80°﹣80°=20°．22．（12分）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ的大小．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，∴△APP′是等腰直角三角形；（2）解：∵△APP′是等腰直角三角形，∴PP′=PA=，∠APP′=45°，∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴PD=P′B=，在△PP′B中，PP′=，PB=2，P′B=，∵（）2+（2）2=（）2，∴PP′2+PB2=P′B2，∴△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°，∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°．23．（12分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？【解答】解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，根据题意得：3（1+x）2=6.75，解得：x=0.5，或x=﹣2.5（不合题意，舍去），∴x=0.5=50%，即每年市政府投资的增长率为50%；（2）∵12（1+50%）2=27，∴2015年建设了27万平方米廉租房．24．（13分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）【解答】解：（1）△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，∵（m﹣1）2≥0，∴△=（m﹣1）2+8＞0，∴原方程有两个不等实数根；（2）存在，由题意知x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=m﹣3，x1•x2=﹣m．∵AB=|x1﹣x2|，∴AB2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，∴当m=1时，AB2有最小值8，∴AB有最小值，即AB==225．（14分）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标．（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．【解答】解：（1）由题意联立，整理得：2x2+5x﹣4a=0，由△=25+32a＞0，解得：，∵a≠0，∴且a≠0，当x=0时，y=a，∴A（0，a），∵y=﹣x2﹣2x+a=﹣（x+1）2+a+1，∴M（﹣1，a+1）．（2）设直线MA为：y=kx+b，代入A（0，a），M（﹣1，a+1）得，，解得：，所以直线MA为y=﹣x+a，联立，解得，所以：N（，），∵点P是N关于y轴的对称点，∴P（﹣，），代入y=﹣x2﹣2x+a，得，解得：a=，或a=0（舍去），∴抛物线为y=﹣x2﹣2x+，直线BC为y=﹣，当x=0时，y=﹣，∴C（0，﹣），A （0，），M （﹣1，），∴|AC |=，∴S △PCD =S △PAC ﹣S △DAC =|AC |×|x p |﹣|AC |×|x D | =××3﹣××1=．。
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2015-2016学年福建省龙岩市连城县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．一元二次方程x2﹣2x=0的根是( )A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=22．一元二次方程x2﹣2x+3=0的根的情况是( )A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根3．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是( )A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2）D．（1，2）4．下列事件中，是必然事件的为( )A．3天内会下雨B．打开电视机，正在播放广告C．367人中至少有2人公历生日相同D．某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩5．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为( )A．4 B．5 C．6 D．86．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是( )A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )A．45°B．50°C．60°D．75°8．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A． B． C． D．9．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x 轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是( )A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤10．如图，AB为半圆O在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE•CD，正确的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（每小题3分，共18分）11．解一元二次方程x2+2x﹣3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程__________．12．当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，则x=m+n时，代数式x2﹣2x+3的值为__________．=1，则13．A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影S1+S2=__________．14．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是__________．15．如图，从直径是4米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC（A、B、C三点在⊙O上），将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是__________米．16．如图，以点O为圆心的22个同心圆，它们的半径从小到大依次是1，2，3，4， (20)阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第21个圆和第22个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为__________．三、解答题（本题共9小题，共92分）17．计算：（﹣1）2016﹣﹣|﹣5|+．18．解方程：x2﹣7x+10=0．19．⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB和CD之间的距离．20．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．21．一个口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．（1）请用树形图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果；（2）求两次摸出的球上的数字和为偶数的概率．22．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2．（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）23．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？24．（13分）如图，已知三角形ABC的边AB是⊙0的切线，切点为B．AC经过圆心0并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．（1）求证：CB平分∠ACE；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．25．（14分）如图，已知直线l的解析式为y=x﹣1，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（m，0），B（2，0），D（1，）三点．（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；（2）已知点P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E，延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．2015-2016学年福建省龙岩市连城县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．一元二次方程x2﹣2x=0的根是( )A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x1=0，x2=2，故选D．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．2．一元二次方程x2﹣2x+3=0的根的情况是( )A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】根据根的判别式△=b2﹣4ac的符号来判定一元二次方程x2﹣2x+3=0的根的情况．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+3=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=3，∴△=b2﹣4ac=4﹣12=﹣8＜0，∴原方程无实数根．故选A．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据根的判别式的情况决定一元二次方程根的情况．3．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是( )A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2）D．（1，2）【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．【解答】解：∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选D．【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．4．下列事件中，是必然事件的为( )A．3天内会下雨B．打开电视机，正在播放广告C．367人中至少有2人公历生日相同D．某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩【考点】随机事件．【分析】根据随机事件和必然事件的定义分别进行判断．【解答】解：A、3天内会下雨为随机事件，所以A选项错误；B、打开电视机，正在播放广告，所以B选项错误；C、367人中至少有2人公历生日相同是必然事件，所以C选项正确；D、某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩是随机事件，所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，5．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为( )A．4 B．5 C．6 D．8【考点】平行线分线段成比例．【分析】由AD∥BE∥CF可得=，代入可求得EF．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴=，∵AB=1，BC=3，DE=2，∴=，解得EF=6，故选：C．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关键．6．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是( )A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD【考点】垂径定理；圆周角定理．【分析】根据垂径定理得出=，=，根据以上结论判断即可．【解答】解：A、根据垂径定理不能推出AC=AB，故A选项错误；B、∵直径CD⊥弦AB，∴=，∵对的圆周角是∠C，对的圆心角是∠BOD，∴∠BOD=2∠C，故B选项正确；C、不能推出∠C=∠B，故C选项错误；D、不能推出∠A=∠BOD，故D选项错误；故选：B【点评】本题考查了垂径定理的应用，关键是根据学生的推理能力和辨析能力来分析．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )A．45°B．50°C．60°D．75°【考点】圆内接四边形的性质；平行四边形的性质；圆周角定理．【分析】设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得，求出β即可解决问题．【解答】解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；∵四边形OADC是平行四边形，∴∠ADC=∠AOC；∵∠ADC=β，∠AOC=α；而α+β=180°，∴，解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，故选C．【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．8．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．9．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x 轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是( )A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴2a+b=0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b=﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴x=1时，二次函数有最大值，∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．故选：C．【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10．如图，AB为半圆O在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE•CD，正确的有( )A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项①正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项⑤正确；由△AOD∽△BOC，可得===，选项③正确；由△ODE∽△OEC，可得，选项④错误．【解答】解：连接OE，如图所示：∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；在Rt△ADO和Rt△EDO中，，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），∴∠AOD=∠EOD，同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC，又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项①正确；∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC，∴=，即OD2=DC•DE，选项⑤正确；∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°，∠A=∠B=90°，∴△AOD∽△BOC，∴===，选项③正确；同理△ODE∽△OEC，∴，选项④错误；故选C．【点评】此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）11．解一元二次方程x2+2x﹣3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程x﹣1=0或x+3=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】开放型．【分析】把方程左边分解，则原方程可化为x﹣1=0或x+3=0．【解答】解：（x﹣1）（x+3）=0，x﹣1=0或x+3=0．故答案为x﹣1=0或x+3=0．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．12．当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，则x=m+n时，代数式x2﹣2x+3的值为3．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题．【分析】设y=x2﹣2x+3由当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，得到抛物线的对称轴等于=﹣，求得m+n=2，再把m+n=2代入即可求得结果．【解答】解：设y=x2﹣2x+3，∵当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，∴=﹣，∴m+n=2，∴当x=m+n时，即x=2时，x2﹣2x+3=（2）2﹣2×（2）+3=3，故答案为：3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记抛物线的对称轴公式是解题的关键．=1，则S1+S2=8．13．A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影【考点】反比例函数系数k 的几何意义．【分析】根据比例系数k 的几何意义得到S 1+S 阴影=S 2+S 阴影=5，由S 阴影=2得S 1=S 2=3，然后计算S 1+S 2．【解答】解：根据题意得S 1+S 阴影=S 2+S 阴影=5，而S 阴影=1，所以S 1=S 2=4，所以S 1+S 2=8．故答案为：8．【点评】本题考查了比例系数k 的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．14．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D ′的坐标是（﹣2，0）或（2，10）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】根据题意，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，求出点D ′到x 轴、y 轴的距离，即可判断出旋转后点D 的对应点D ′的坐标是多少即可．【解答】解：因为点D （5，3）在边AB 上，所以AB=BC=5，BD=5﹣3=2；（1）若把△CDB 顺时针旋转90°，则点D ′在x 轴上，OD ′=2，所以D ′（﹣2，0）；（2）若把△CDB 逆时针旋转90°，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以D′（2，10），综上，旋转后点D的对应点D′的坐标为（﹣2，0）或（2，10）．故答案为：（﹣2，0）或（2，10）．【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是要注意分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况．15．如图，从直径是4米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是90°的扇形ABC（A、B、C三点在⊙O上），将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是米．【考点】圆锥的计算．【分析】圆的半径为2，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π．【解答】解：作OD⊥AC于点D，连接OA，∴∠OAD=45°，AC=2AD，∴AC=2（OA×cos45°）=2，∴=π∴圆锥的底面圆的半径=π÷（2π）=．故答案为：．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．16．如图，以点O为圆心的22个同心圆，它们的半径从小到大依次是1，2，3，4， (20)阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第21个圆和第22个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为253π．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】据题意分别表示出各圆环的面积，进而求出它们的和即可．【解答】解：由题意可得：阴影部分的面积和为：π（22﹣12）+π（42﹣32）+π（62﹣52）+…+π+π（222﹣212）=3π+7π+11π+15π+…+39π+43π=（3π+43π）×11÷2=253π．故答案为：253π．【点评】此题考查图形的变化规律，掌握圆环的面积计算方法是解决问题的关键．三、解答题（本题共9小题，共92分）17．计算：（﹣1）2016﹣﹣|﹣5|+．【考点】实数的运算．【专题】计算题；实数．【分析】原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用立方根的定义计算即可得到结果．【解答】解：原式=1﹣3﹣5+2=﹣5．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．解方程：x2﹣7x+10=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．【解答】解：x2﹣7x+10=0，（x﹣2）（x﹣5）=0，x﹣2=0或x﹣5=0，x1=2，x2=5．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．19．⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB和CD之间的距离．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1所示，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF﹣OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2所示，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF+OE=14cm；综上所述：AB和CD之间的距离为2cm或14cm．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算，注意分两种情况讨论．20．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题．【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y=可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t，t+），利用三角形面积公式可得到••（t+4）=•1•（2﹣t﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标．【解答】解：（1）当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=x+，把B（﹣1，2）代入y=得m=﹣1×2=﹣2；（3）设P点坐标为（t，t+），∵△PCA和△PDB面积相等，∴••（t+4）=•1•（2﹣t﹣），即得t=﹣，∴P点坐标为（﹣，）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．21．一个口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．（1）请用树形图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果；（2）求两次摸出的球上的数字和为偶数的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得两次摸出的球上的数字和为偶数的有5种情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：则共有9种等可能的结果；（2）由（1）得：两次摸出的球上的数字和为偶数的有5种情况，∴两次摸出的球上的数字和为偶数的概率为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2．（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）【考点】作图-位似变换．【专题】作图题．【分析】（1）取OA的中点A′，OB的中点B′，OC的中点C′，然后顺次连接即可；（2）根据勾股定理列式求出AC、A′C′的长，再根据周长公式列式进行计算即可得解．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求作的三角形；（2）根据勾股定理，AC==2，A′C′==，所以，四边形AA′C′C的周长为：1++2+2=3+3．【点评】本题考查了利用位似变换作图，根据网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．23．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．【专题】增长率问题．【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．【解答】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）=13.31（万件）．∵平均每人每月最多可投递0.6万件，∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6＜13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6=1≈2（人）．答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．（13分）如图，已知三角形ABC的边AB是⊙0的切线，切点为B．AC经过圆心0并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．（1）求证：CB平分∠ACE；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．【考点】切线的性质．【专题】证明题．【分析】（1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，通过等量代换得到结果．（2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式，列方程可得结果．【解答】（1）证明：如图1，连接OB，∵AB是⊙0的切线，∴OB⊥AB，∵CE丄AB，∴OB∥CE，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴CB平分∠ACE；（2）如图2，连接BD，∵CE丄AB，∴∠E=90°，∴BC===5，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，∴∠E=∠DBC，∴△DBC∽△CBE，∴，∴BC2=CD•CE，∴CD==，∴OC==，∴⊙O的半径=．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25．（14分）如图，已知直线l的解析式为y=x﹣1，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（m，0），B（2，0），D（1，）三点．（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；（2）已知点P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E，延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）根据待定系数法可求抛物线的解析式，再根据A（m，0）在抛物线上，得到0=﹣m2﹣m+2，解方程即可得到m的值，从而得到A点的坐标；（2）根据四边形PAFB的面积S=AB•PF，可得S=﹣（x+2）2+12，根据函数的最值可得S的最大值是12，进一步得到点P的坐标为；。
连城县隔川中学九年级数学周练
连城县隔川中学九年级数学周练---.————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：（第10题一、选择题1.计算:2－３ ＝( )ﻩA ．－1B ．1C ．-５D.５2．在平面直角坐标系中,已知点P （2,－3),则点P 在( )Ａ.第一象限 ﻩＢ.第二象限 C.第三象限Ｄ.第四象限3.一组数据6、８、７、8、10、9的中位数和众数分别是( )A ．7和8 B.8和７ Ｃ．8和8D ．8和9 4.一个不透明的布袋里有30个球,每次摸一个,摸一次就一定摸到红球，则红球有( )ﻩA.15个B ．２0个Ｃ.2９个 ﻩD. ３0个５．某农场各用10块面积相同的试验田种植甲、乙两种大豆,收成后对两种大豆产量(单位:吨/亩）的数据统计如下：0.54x ≈甲，0.5x ≈乙,20.01s ≈甲,20.002s ≈乙，则由上述数据推断乙品种大豆产量比较稳定的依据是（ ） A.x x 乙甲＞B.2s 2乙甲＞s ﻩC.2x s 甲甲＞ﻩD ．2x s 乙甲＞6．下列命题中，为真命题的是（ )A ．对顶角相等ﻩﻩB ．同位角相等ﻩC.若22a b =,则a b = ﻩＤ．若a b >,则22a b ->-７.下列几何图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ）A ．等边三角形B.矩形ﻩC. 平行四边形ﻩD.等腰梯形8．左下图所示几何体的俯视图是( )A B ＣD９．下列函数中,当x ﹤0时,函数值y 随x 的增大而增大的有（ )① y x = ② 21y x =-+ ③ 1 y x=- ④ 23y x =A ．1个ﻩB ．２个C ．3个 ﻩD ． 4个１0．如图,矩形AB ＣＤ中,A B =1,ＢC =２,把矩形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为( ）ﻩA ．10π ﻩﻩB.4π ﻩＣ.2π ﻩD ．2二.填空题11．使代数式1x -有意义的x 的取值范围是____＿__＿____＿_． 12．2０12年3月份龙岩市社会消费品零售总额为10 5０0 00０ 000元,该零售（第13（第8题总额数用科学计数法表示为___＿_＿＿___＿＿__（保留两位有效数字）.13.如图，b a ∥,∠1＝３0°，则∠2= °．１４.鸡蛋孵化后,小鸡为雌与雄的概率相同．如果两个鸡蛋都成功孵化,则孵出的两只小鸡中都为雄鸡的概率为__＿_____.15.为落实房地产调控政策,某县加快了经济适用房的建设力度.2011年该县政府在这项建设中已投资3亿元,预计201３年 投资５.88亿元，则该项投资的年平均增长率为_____＿____．1６．如图，Ｒt △A ＢC 中，∠C =9０°，AC = BC = 6，E 是斜边AB 上任意一点,作EF ⊥ＡC 于F ，E Ｇ⊥ＢC 于G ,则矩形CFEG 的周长是___＿__＿＿_．17．如图,平面直角坐标系中,⊙O 1过原点O ,且⊙Ｏ1与⊙O 2相外切，圆心O 1与O ２在ｘ轴正半轴上,⊙O １的半径O 1P １、⊙O 2的半径O ２P 2 都与x 轴垂直，且点P １()11,x y 、P 2()22,x y 在反比例函数1y x=（x >0）的图象上,则12y y +=_________＿. 三、解答题 18．（1)计算：0201215622-+-⨯+（-1）； (2)先化简，再求值:()3213633a a a a-+,其中7a =．19.解方程:3211x x =-+．20．如图,已知CB 是⊙O 的弦,CD 是⊙Ｏ的直径，点A 为CD 延长线上一点，ＢC =ＡB ，∠ＣＡB =30°． （1)求证:AB 是⊙O 的切线;(2)若⊙O 的半径为2,求BD 的长.（第20（第16（第172１．如图1,过△ＡBＣ的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图２)，这时ＥF为折痕,且△BED和△CFD都是等腰三角形,再将△BED和△CFD沿它们各自的对称轴ＥＨ、FG折叠，使B、C两点都与点Ｄ重合，得到一个矩形ＥFＧH(如图3),我们称矩形EFGH为△ＡBＣ的边BC上的折合矩形．(1）若△ABC的面积为６,则折合矩形EFＧH的面积为;（2)如图４,已知△AＢC,在图4中画出△AＢC的边BC上的折合矩形EＦGH；（3)如果△ABC的边BＣ上的折合矩形ＥFGH是正方形，且BＣ=2a，那么,ＢC边上的高AD＝,正方形ＥFGH的对角线长为.图 1 图 2２2．已知：用2辆A型车和1辆Ｂ型车装满货物一次可运货10吨; 用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货１１吨.某物流公司现有3１吨货物,计划同时租用A型车a辆，Ｂ型车b辆，一次运完,且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题:（1)１辆A型车和1辆Ｂ型车都装满货物一次可分别运货多少吨?（２）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元／次.请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．２３．在平面直角坐标系xoｙ中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上,直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－１,0)．（1）请直接写出点B、C的坐标：B( ，）、C（, );并求经过A、B、Ｃ三点的抛物线解析式；(2)现有与上述三角板完全一样的三角板ＤEF（其中∠EDF＝90°,∠ＤEF=60°）,把顶点Ｅ放在线段ＡB上（点E是不与A、Ｂ两点重合的动点),并使ED所在直线经过点C.此时,ＥＦ所在直线与(１）中的抛物线交于第一象限的点M．①设AE＝x,当x为何值时，△OCE∽△OＢC;②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求出点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由.备用图２０12年龙岩市初中毕业、升学考试一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 ７ 8 9 10 答案ADCDBABCBB二、填空题（每小题3分，共２１分)１1.1x ≥ １2．101.110⨯ １3.150 1４.1415．40％ 16．12 17．2 三、解答题１8.(１）解:原式=5+1﹣1+1 ……………………４分(每个运算1分） =6 ……………………５分 （2)法１：原式=3133a a ﹣2163a a +133a a……………1分 =221a a -+ ……………………２分 =2(1)a - ……………………3分 当7a =时,原式=2(71)- ……………………4分 ＝36 ……………………5分 法2:原式＝133a a(221a a -+) ……………1分 ＝221a a -+ ……………………2分 = 2(1)a - ……………………3分当7a =时,原式=2(71)- ……………………4分 =36 ……………………5分 1９． 解:原方程可化为 3(1)2(1)x x +=- ………………３分3322x x +=- …………………4分3223x x -=-- ………………5分 5x =- ……………………7分 经检验，5x =-是原方程的解．∴ 原方程的解是5x =- …………………８分(未作答不扣分） 2０.(1)证明：法1：∵ BC=ＡＢ∴ ∠Ａ=∠C∵ ∠ＣAB=3０° ……………………1分 ∴ ∠Ｃ =∠A =30°……………………2分 ∵ ∠A+∠C+∠A ＢC =１８０°∴ ∠ABC=12０° ……………………3分∵ ＯC=OB∴ ∠O ＢC=∠C=30°∴ ∠ＡB Ｏ=90° ……………………４分 ∴ AB 是⊙O 的切线． …………………5分法2证明：∵BC ＝ＡB∴∠A=∠Ｃ∵∠CAB=30° ……………………1分 ∴∠Ａ=∠C=30° ……………………2分 ∵ＯＢ=OC ∴∠C ＝∠OB Ｃ=3０°∴∠ＢO Ａ=∠C+∠O ＢC=6０° ………………3分 ∴∠B ＯA+∠A+∠OB Ａ＝180°∴∠ＯB Ａ=９0° ……………………4分 ∴AB 是⊙O 的切线 ……………………5分法3证明:∵ＢC=ＡB∴∠A=∠C∵∠CAB=30° ……………………1分 ∴∠A=∠C=３0° ……………………2分 ∵∠B ＯA=2∠C∴∠BOA=6０° ……………………３分 ∵∠BOA+∠A+∠OB Ａ＝18０°∴∠0BA=90° ……………………４分 ∴AB 是⊙O 的切线 ……………………5分（2）解：由(1)得：∠BOD=60° ……………………６分BD 的长180n Rl π=……………………７分 602180π⨯= ……………………9分23π= ……………………1０分21．（1）3; ……………………………………3分(2）作出的折合矩形ＥF ＧH 为网格正方形；……………6分(3）2a ,2a ……………12分(每个空3分)２2.解:(1）设每辆A 型车、Ｂ型车都装满货物一次可分别运货x 吨、 y 吨，依题意列方程得:……………………１分 210211x y x y +=⎧⎨+=⎩ ……………………３分34x y =⎧⎨=⎩解方程组,得答:1辆A 型车装满货物一次可运３吨，１辆Ｂ型车装满货物一次可运4吨.……………………………………………………………4分（未作答不扣分)(２)结合题意和（1)得 3431a b += ………………………5分∴ 3143ba -=∵ a 、b 都是正整数∴ 91a b =⎧⎨=⎩ 或 54a b =⎧⎨=⎩ 或 17a b =⎧⎨=⎩答：有3种租车方案： ①A 型车9辆，B 型车1辆; ②A 型车5辆,B 型车4辆;③Ａ型车１辆,B 型车７辆. ……8分（未作答不扣分） (3） 方案 ①需租金:9×1０0+1２0=10２0(元） 方案 ②需租金:5×100+4×120=９８０(元)方案 ③需租金:1×10０＋7×12０＝940(元） ……………11分 ∵ 10２０>９８0＞940 ∴ 最省钱的租车方案是:A 型车１辆,Ｂ型车７辆,最少租车费为９40元. ……………12分２3.（1）B （３,0)，C(0，3） …………………………2分（每个点的坐标1分) 解：法１:设过A 、B 、C 三点的抛物线为()()12(0)y a x x x x a =--≠，则……3分 ∵Ａ(—1，０)B （3,0)∴()()13y a x x =+- ………………………………4分 又∵C(0，3)在抛物线上∴()()30103a =+- ∴33a =-∴()()3133y x x =-+- 即2323333y x x =-++ ……5分(结果未化为一般式不扣分） 法２:设过A 、B 、Ｃ三点的抛物线为2(0)y ax bx c a =++≠，则 ……3分 ∵A(—1，0)B （３，0）C （0，3）在抛物线上 ∴09303a b c a b c c ⎧-+=⎪++=⎨⎪=⎩……………4分∴2323333y x x =-++ ……………………５分 （2）①解：当△ＯC Ｅ∽△OBC 时,则OC OEOB OC=………………6分 ∵3OC =, OE=AE —AO=1x -， OB=3 ………７分∴3133x -=∴2x =∴当2x =时,△OCE ∽△OBC ．……………………8分 （2）②解：存在点P. 理由如下：由①可知2x = ∴ＯE=１ ∴E(１，0）此时，△ＣＡＥ为等边三角形∴∠ＡE Ｃ=∠A=6０°又∵∠C ＥＭ=６０° ∴∠ME Ｂ=60° ……………9分∴点C 与点M 关于抛物线的对称轴12bx a =-=对称.∵C （０,3) ∴M ()2,3过M 作MN ⊥x 轴于点Ｎ（2，0） ∴ＭＮ=3 ∴ EN=1∴ E Ｍ=222EN EM += ……………………10分若△PEM 为等腰三角形,则: ⅰ)当ＥP=EM 时,∵ＥM=2，且点P 在直线1x =上 ∴P （１，2）或P （1，—2）ⅱ)当EM ＝PM 时，点M 在E Ｐ的垂直平分线上 ∴Ｐ(1，23)ⅲ）当PE=PM 时,点P 是线段ＥＭ的垂直平分线与直线1x =的交点 ∴P(１,233） ∴综上所述,存在Ｐ点坐标为(１，2)或（1，—２)或（１,23）或(１，233)时，△EP Ｍ为等腰三角形. ………1４分(未进行本小结不扣分)②解: 存在点P ． 理由如下：由①可知2x = ∴OE ＝1 ∴E （1,0）此时,△ＣＡＥ为等边三角形∴∠AEC =∠A ＝60°又∵∠ＣEM =6０° ∴∠M ＥＢ=60°作ＦN ⊥x 轴于N ,EF =A Ｂ=4∴ EN =12EF =２， NF =２3 ∴ F (３, 23)易求ＥＦ: 33y x =-解方程组233323333y x y x x ⎧=-⎪⎨=-++⎪⎩得 121223,343x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ ∴ 12(2,3),(3,43)M M --………………10分(每个1分） ∴ 122,8EM EM ==若1EP EM =,则Ｐ(1,2)或P(１,-２)若112M P M E ==,则Ｐ（１，23)若1PE PM =，则Ｐ(1,233） 若28EP EM ==，则Ｐ(1，8)或(1,-8）若228M P M E ==，则P(1，83-）若2PE PM =，则Ｐ(1，833-) 综上所述，存在8个点P 符合条件：P(1,2),P(1,-2) ，P(１，23），P （1，233), P(１,８)，(1，-8），P(1,83-），P(１,833-).………………14分。
福建省龙岩市连城县2015-2016学年八年级(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年福建省龙岩市连城县八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，轴对称图形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．计算（ab）3的结果为（）A．ab3B．a3b C．a3b3D．3ab3．下列运算正确的是（）A．（x+1）2=x2+2x+1 B．（2a）3=6a3C．x2﹣4=（x﹣2）2D．3a+2a=5a24．若分式的值为0，则（）A．x=﹣2 B．x=0 C．x=1或x=﹣2 D．x=15．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）A．5 B．6 C．11 D．166．如图，直角三角形ABC沿直角边BC所在的直线向右平移到△DEF处，那么，下列结论中错误的是（）A．AC=DF B．∠DEF=90°C．△ABC≌△DEF D．EC=CF7．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（）A．120°B．180°C．240°D．300°8．如图，a∥b，∠1=65°，∠2=140°，则∠3=（）A．100°B．105°C．110°D．115°9．下列说法中正确的有（）①有三个角对应相等的两个三角形全等②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等③有两个角对应相等，还有一条边也对应相等的两个三角形全等④有两条边对应相等的两个直角三角形全等．A．1个B．2个C．3个D．4个10．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（）A．50 B．64 C．68 D．72二、填空题（每小题2分，共14分）11．因式分解：a2﹣9=．12．仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案．13．等腰三角形的一个角为40°，则它的顶角为．14．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则∠BDF=度．15．如图，△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，且BD=BE，∠A=100°，则∠EDC=．16．如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=度．17．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①PQ∥AE；②AD=BE；③DE=DP；④AP=BQ；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有．（把你认为正确的序号都填上）三、解答题（8题，共56分）18．计算：①（﹣2x2y3）2•（xy）3②（a+3）（a﹣1）+a（a﹣2）19．分解因式：（a﹣b）2﹣4b2．20．先化简：（）+，再求当x=3时，代数式的值．21．如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F．求证：AC=EF．22．平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，4），B（2，4），C（3，﹣1）．（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；（2）求△ABC的面积．（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标．23．“元旦节”前夕，某商场根据市场调查，用3000元购进第一批盒装饼干，上市后很快售完，接着又用7500元购进第二批这种盒装瓶干．已知第二批所购瓶干的盒数是第一批所购瓶干盒数的3倍，且每盒花的进价比第一批的进价少4元，求第一批盒装瓶干每盒的进价是多少元？24．如图，在△ABC中，BC=12cm，点M是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，且MD∥AB，ME∥AC，求△MDE的周长．25．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线l为经过点A的任一直线，BD⊥l于D，CE⊥AE，若BD＞CE，试问：（1）AD与CE的大小关系如何？请说明理由；（2）线段BD，DE，CE之间的数量之间关系如何？并说明理由．2015-2016学年福建省龙岩市连城县八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，轴对称图形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】轴对称图形．【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．【解答】解：中间两个图形是轴对称图形，轴对称图形的个数是2，故选B．【点评】本题考查轴对称图形概念的理解，判断一个图形是不是轴对称图形的关键是能不能找到一条直线，沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合．2．计算（ab）3的结果为（）A．ab3B．a3b C．a3b3D．3ab【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】由积的乘方：（ab）n=a n b n（n是正整数），即可求得答案．【解答】解：（ab）3=a3b3．故选C．【点评】此题考查了积的乘方性质．注意积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．3．下列运算正确的是（）A．（x+1）2=x2+2x+1 B．（2a）3=6a3C．x2﹣4=（x﹣2）2D．3a+2a=5a2【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；因式分解-运用公式法．【专题】计算题；整式．【分析】A利用完全平方公式展开，B根据积的乘方计算，C利用平方差公式分解即可，D 根据合并同类项法则可判断．【解答】解：A、根据完全平方公式，（x+1）2=x2+2•x•1+12=x2+2x+1，正确；B、由积的乘方得，（2a）3=23•x3=8x3，错误；C、根据平方差公式，x2﹣4=x2﹣22=（x+2）（x﹣2），错误；D、合并同类项得，3a+2a=（3+2）a=5a，错误．故答案为：A．【点评】本题考查了完全平方公式、积的乘方、平方差公式、合并同类项的运用，套用公式模型、遵循法则计算是基础，属基础题．4．若分式的值为0，则（）A．x=﹣2 B．x=0 C．x=1或x=﹣2 D．x=1【考点】分式的值为零的条件．【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．【解答】解：∵分式的值为0，∴，解得x=1．故选：D．【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，根据题意列出关于x的不等式组是解答此题的关键．5．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）A．5 B．6 C．11 D．16【考点】三角形三边关系．【专题】探究型．【分析】设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．【解答】解：设此三角形第三边的长为x，则10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．故选：C．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6．如图，直角三角形ABC沿直角边BC所在的直线向右平移到△DEF处，那么，下列结论中错误的是（）A．AC=DF B．∠DEF=90°C．△ABC≌△DEF D．EC=CF【考点】平移的性质．【分析】根据图形平移的性质对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵△DEF由△ABC平移而成，∴△DEF≌△ABC，∴AC=DF，故本选项正确；B、∵△DEF≌△ABC，∠ABC=90°，∴∠DEF=∠ABC=90°，故本选项正确；C、∵△DEF由△ABC平移而成，∴△DEF≌△ABC，故本选项正确；D、∵平移的距离及BC的长度不能确定，∴EC与CF的长短不能确定，故本选项错误．故选D．【点评】本题考查的是平移的性质，熟知图形平移后所得新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键．7．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（）A．120°B．180°C．240°D．300°【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．【分析】三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．【解答】解：根据三角形的内角和定理得：四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°=120°，则根据四边形的内角和定理得：∠1+∠2=360°﹣120°=240°．故选C．【点评】主要考查了三角形及四边形的内角和是360度的实际运用与三角形内角和180度之间的关系．8．如图，a∥b，∠1=65°，∠2=140°，则∠3=（）A．100°B．105°C．110°D．115°【考点】平行线的性质．【分析】首先过点A作AB∥a，由a∥b，可得AB∥a∥b，然后利用两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，同位角相等，即可求得答案．【解答】解：过点A作AB∥a，∵a∥b，∴AB∥a∥b，∴∠2+∠4=180°，∵∠2=140°，∴∠4=40°，∵∠1=65°，∴∠3=∠1+∠4=65°+40°=105°．故选B．【点评】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，同位角相等定理的应用．9．下列说法中正确的有（）①有三个角对应相等的两个三角形全等②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等③有两个角对应相等，还有一条边也对应相等的两个三角形全等④有两条边对应相等的两个直角三角形全等．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定．【分析】根据三角形全等的判定定理进行分析即可．【解答】解：①有三个角对应相等的两个三角形全等，说法错误；②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，说法错误；③有两个角对应相等，还有一条边也对应相等的两个三角形全等，说法正确；④有两条边对应相等的两个直角三角形全等，说法错误；故选A．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．10．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（）A．50 B．64 C．68 D．72【考点】规律型：图形的变化类．【分析】先根据题意求找出其中的规律，即可求出第⑥个图形中五角星的个数．【解答】解：第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有：2+（3×2）=8个五角星，第③个图形一共有8+（5×2）=18个五角星，…第n个图形一共有：1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n﹣1）=2[1+3+5+…+（2n﹣1）]，=[1+（2n﹣1）]×n=2n2，则第（6）个图形一共有：2×62=72个五角星；故选：D．【点评】本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成三部分进行考虑，并找出第n个图形五角星的个数的表达式是解题的关键．二、填空题（每小题2分，共14分）11．因式分解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】a2﹣9可以写成a2﹣32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．【解答】解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．12．仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案．【考点】轴对称图形．【分析】观察图形规律，可得空白处应该为字母E和它的轴对称图形，作出图形即可．【解答】解：如图所示：．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．13．等腰三角形的一个角为40°，则它的顶角为40°或100°．【考点】等腰三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】分40°角为底角和顶角两种情况求解即可．【解答】解：当40°角为顶角时，则顶角为40°，当40°角为底角时，则顶角为180°﹣40°﹣40°=100°，故答案为：40°或100°．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．14．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则∠BDF=80度．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】由折叠的性质，即可求得AD=DF，又由D是AB边上的中点，即可得DB=DF，根据等边对等角的性质，即可求得∠DFB=∠B=50°，又由三角形的内角和定理，即可求得∠BDF的度数．【解答】解：根据折叠的性质，可得：AD=DF，∵D是AB边上的中点，即AD=BD，∴BD=DF，∵∠B=50°，∴∠DFB=∠B=50°，∴∠BDF=180°﹣∠B﹣∠DFB=80°．故答案为：80．【点评】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．15．如图，△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，且BD=BE，∠A=100°，则∠EDC= 40°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC、∠C，再根据角平分线的定义求出∠DBE，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算求出∠DEB，然后根据三角形外角的性质，列式计算即可得解．【解答】解：∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C===40°，∵BD是角平分线，∴∠DBE=∠ABC=×40°=20°，∵BE=BD，∴∠DEB===80°，∴∠CDE=∠DEB﹣∠C=80°﹣40°=40°．故答案为：40°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记等腰三角形的两底角相等是解题的关键．16．如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=60度．【考点】线段垂直平分线的性质；三角形的外角性质．【专题】计算题．【分析】由三角形的外角性质知∠ADC=∠BAD+∠B，又已知∠BAC=120°，根据三角形内角和定理易得∠B，而AB的垂直平分线交BC于点D，根据垂直平分线的性质知∠BAD=∠B，从而得解．【解答】解：由AB=AC，∠BAC=120°，可得∠B=30°，因为点D是AB的垂直平分线上的点，所以AD=BD，因而∠BAD=∠B=30°，从而∠ADC=60度．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．17．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①PQ∥AE；②AD=BE；③DE=DP；④AP=BQ；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有①②④⑤．（把你认为正确的序号都填上）【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ 为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知①正确；根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知③错误；根据全等三角形的性质得到对应边相等，然后根据线段的和差即可得到④正确；利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．【解答】解：∵△ABC和△CDE为等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCB=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，（故②正确）；∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，在△CDP与△CEQ中，，∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴CP=CQ，∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴∠QPC=∠BCA，∴PQ∥AE，（故①正确）；∵DE＞QE，且DP=QE，∴DE＞DP，（故③错误）；∵△CDP≌△CEQ，∴DP=QE，∵△ADC≌△BEC∴AD=BE，∴AD﹣DP=BE﹣QE，∴AP=BQ，（故④正确）；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题的关键．三、解答题（8题，共56分）18．计算：①（﹣2x2y3）2•（xy）3②（a+3）（a﹣1）+a（a﹣2）【考点】整式的混合运算．【专题】计算题；整式．【分析】①原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘以单项式法则计算即可得到结果；②原式利用多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．【解答】解：①原式=4x4y6•x3y3=4x7y9；②原式=a2﹣a+3a﹣3+a2﹣2a=﹣3．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．分解因式：（a﹣b）2﹣4b2．【考点】因式分解-运用公式法．【专题】计算题；因式分解．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=（a﹣b+2b）（a﹣b﹣2b）=（a+b）（a﹣3b）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．20．先化简：（）+，再求当x=3时，代数式的值．【考点】分式的化简求值．【分析】先分子，分母因式分解，再化简，代入数值计算即可．【解答】解：原式=[﹣]+=（﹣）+=+=+=，∵x=3，∴原式==．【点评】本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．21．如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF，∠C=∠F．求证：AC=EF．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据BC∥DF证得∠CBD=∠FDB，利用利用等角的补角相等证得∠ABC=∠EDF，然后根据AD=EB得到AB=ED，利用AAS证明两三角形全等即可．【解答】证明：∵AD=EB∴AD﹣BD=EB﹣BD，即AB=ED又∵BC∥DF，∴∠CBD=∠FDB∴∠ABC=∠EDF在△ABC和△EDF中，∵∴△ABC≌△EDF，∴AC=EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是选择最合适的方法证明两三角形全等．22．平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，4），B（2，4），C（3，﹣1）．（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；（2）求△ABC的面积．（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标．【考点】作图-轴对称变换．【专题】综合题．【分析】（1）根据三点的坐标，在直角坐标系中分别标出位置即可．（2）以AB为底，则点C到AB得距离即是底边AB的高，结合坐标系可得出高为点C的纵坐标的绝对值加上点B的纵坐标的绝对值，从而根据三角形的面积公式计算即可．（3）关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，从而可得出A1、B1、C1的坐标．【解答】解：（1）如图所示：（2）由图形可得：AB=2，AB边上的高=|﹣1|+|4|=5，∴△ABC的面积=AB×5=5．（3）∵A（0，4），B（2，4），C（3，﹣1），△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，∴A1（0，﹣4）、B1（2，﹣4）、C1．（3，1）．【点评】本题考查轴对称作图及直角坐标系的知识，难度一般，解答本题的关键是正确的找出三点的位置，另外要掌握关于x轴对称的点的坐标的特点．23．“元旦节”前夕，某商场根据市场调查，用3000元购进第一批盒装饼干，上市后很快售完，接着又用7500元购进第二批这种盒装瓶干．已知第二批所购瓶干的盒数是第一批所购瓶干盒数的3倍，且每盒花的进价比第一批的进价少4元，求第一批盒装瓶干每盒的进价是多少元？【考点】分式方程的应用．【分析】设第一批盒装饼干的进价是x元/盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批所购瓶干的盒数是第一批所购瓶干盒数的3倍可得方程．【解答】解：设第一批盒装饼干的进价是x元/盒，则3×=，解得：x=24，经检验x=24是原分式方程的解．答：第一批盒装饼干每盒的进价是24元．【点评】本题考查了分式方程的应用．掌握单价、数量、总价之间的关系是解决问题的关键，注意分式方程需要验根．24．如图，在△ABC中，BC=12cm，点M是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，且MD∥AB，ME∥AC，求△MDE的周长．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【分析】由MB，MC分别是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线和MD∥AB、ME∥AC可推出BD=MD，ME=EC，显然△MDE的周长即为BC的长度．【解答】解：∵MD∥AB，∴∠ABM=∠BMD，∵MB平分∠ABC，∴∠ABM=∠MBD，∴∠ABM=∠BMD，∴BD=MD，则同理可得CE=ME，∴△MDE的周长=MD+DE+ME=BD+DE+EC=12cm．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．25．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线l为经过点A的任一直线，BD⊥l于D，CE⊥AE，若BD＞CE，试问：（1）AD与CE的大小关系如何？请说明理由；（2）线段BD，DE，CE之间的数量之间关系如何？并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）由已知可得AB=AC，∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD=∠ACE；两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等，利用△ABD≌△CAE即可得到AD=CE；（2）据△ABD≌△CAE，可得BD=AE，AD=EC，又AE=AD+DE，故可得BD=DE+CE．【解答】解：（1）AD与CE的大小关系为AD=CE，理由是：∵∠BAD+∠EAC=∠BAC=90°，又∵CE⊥l于E，∴∠ACE+∠EAC=90°，∴∠BAD=∠ACE；∵BD⊥l于D，CE⊥l于E，∴∠BDA=∠AEC=90°；又∵AB=AC；∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD=CE．（2）线段BD，DE，CE之间的数量之间关系为：BD=DE+CE，理由如下：∵△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE，又∵AE=DE+AD，∴BD=DE+CE．【点评】本题考查了直角三角形的边角关系，全等三角形的判定和性质等知识点，属中档题，做题时要从已知开始，结合相关知识认真思考．2016年3月5日。
福建省龙岩市永定区、连城县2025届九年级数学第一学期期末预测试题含解析
福建省龙岩市永定区、连城县2025届九年级数学第一学期期末预测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝﹣1，与x 轴的一个交点B 的坐标为（1，0）其图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a ﹣b ＝0；③一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个根是﹣3和1；④当y ＞0时，﹣3＜x ＜1；⑤当x ＞0时，y 随x 的增大而增大：⑥若点E （﹣4，y 1），F （﹣2，y 2），M （3，y 3）是函数图象上的三点，则y 1＞y 2＞y 3，其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．22．二次函数2y ax ＝与一次函数y ax a ＝在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（ ） A ．12个B ．16个C ．20个D ．25个4．如图，在⊙O 中，已知∠OAB=22.5°，则∠C 的度数为（ ）A ．135°B ．122.5°C ．115.5°D ．112.5°5．定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A 的正对记作sadA ，即sadA =底边:腰.如图，在ABC ∆中，AB AC =，2A B ∠=∠.则sin B sadA ⋅=（ ）A ．12B ．2C ．1D ．26．若扇形的半径为2，圆心角为90︒，则这个扇形的面积为（ ） A ．2π B ．πC ．2πD ．4π7．如图，△ABC 中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC 绕点A 旋转到△AED 的位置，使得DC ∥AB ，则∠BAE 等于（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于点D ，BC=3，AC=4，tan ∠BCD 的值为（ ）A ．34； B ．43； C ．45； D ．54； 9．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，30A ∠=，2BC =，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D ，则阴影部分的面积是（ ）A ．2233π-B ．2433- C ．4233π-D ．23π 10．某厂2017年产值3500万元，2019年增加到5300万元.设平均每年增长率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．()350015300x += B ．()530013500x += C ．()2530013500x +=D ．()2350015300x +=二、填空题(每小题3分,共24分)11．二次函数2y ax bx c =++的图像开口方向向上，则a ______0.(用“=、>、<”填空)12．在平面直角坐标系中，已知()2,3A ，()0,1B ，()3,1C ，若线段AC 与BD 互相平分，则点D 的坐标为______. 13．在一个不透明的口袋中装有5个除了标号外其余都完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号小于4的概率为_____．14．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转的到△ADE ，点C 和点E 是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=_________．15．若24=16x ，则x ＝__．16．如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =，在线段AB 上取一点D ，作DF AB ⊥交AC 于点F ，现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为1A ；AD 的中点E 的对应点记为1E .若111E FA E BF ∆∆，则AD =______.17．一个口袋中装有10个红球和若干个黄球．在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程20次，得到红球数与10的比值的平均数为0.1．根据上述数据，估计口袋中大约有_______个黄球18．如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝4，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°．若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则MN 长的最大值是_____．三、解答题(共66分) 19．（10分）如图，BC 是O 的弦，OD BC 于E ，交O 于D ，若8,2BC ED ==，求O 的半径.20．（6分）如图，小明欲利用测角仪测量树的高度．已知他离树的水平距离BC 为10m ，测角仪的高度CD 为1.5m ，测得树顶A 的仰角为33°．求树的高度AB ．（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）21．（6分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A 、B 、C 、D 类贫困户，为检查帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：请根据图中信息回答下面的问题：（1）本次抽样调查了 户贫困户；（2）本次共抽查了 户C 类贫困户，请补全条形统计图；（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？22．（8分）如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，AF 与DE 相交于点G ，且AF ＝DE. 求证：(1)BF ＝AE ； (2)AF⊥DE.23．（8分）在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD 的小屋，10AB BC m +=，拴住小狗的10m 长的绳子一端固定在B 点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为()2S m.（1）如图1，若4BC m =，则S =__________2m .（2）如图2，现考虑在（1）中的矩形ABCD 小屋的右侧以CD 为边拓展一正CDE △区域，使之变成落地为五边形ABCED 的小屋，其他条件不变，则在BC 的变化过程中，当S 取得最小值时，求边BC 的长及S 的最小值.24．（8分）锐角ABC ∆中，6BC =，AD 为BC 边上的高线，12ABC S ∆=，两动点M N ，分别在边AB AC ，上滑动，且MNBC ，以MN 为边向下作正方形MPQN （如图1），设其边长为x ．（1）当PQ 恰好落在边BC 上（如图2）时，求x ； （2）正方形MPQN 与ABC ∆公共部分的面积为163时，求x 的值．25．（10分）如图，点P 是AB 上一动点，连接AP ，作∠APC =45°，交弦AB 于点C ．AB =6cm ．小元根据学习函数的经验，分别对线段AP，PC，AC的长度进行了测量．下面是小元的探究过程，请补充完整：（1）下表是点P是AB上的不同位置，画图、测量，得到线段AP，PC，AC长度的几组值，如下表：AP/cm 0 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 PC/cm 0 1.21 2.09 2.69 m 2.82 0 AC/cm 0 0.87 1.57 2.20 2.83 3.61 6.00 ①经测量m的值是（保留一位小数）．②在AP，PC，AC的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为cm（保留一位小数）．26．（10分）解下列方程（1）x2+4x﹣1=0（2）（y+2）2=（3y﹣1）2参考答案一、选择题(每小题3分,共30分) 1、C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性逐个进行判断，得出答案．【详解】由抛物线的开口向上，可得a ＞0，对称轴是x ＝﹣1，可得a 、b 同号，即b ＞0，抛物线与y 轴交在y 轴的负半轴，c ＜0，因此abc ＜0，故①不符合题意； 对称轴是x ＝﹣1，即﹣2ba＝﹣1，即2a ﹣b ＝0，因此②符合题意； 抛物线的对称轴为x ＝﹣1，与x 轴的一个交点B 的坐标为（1，0），可知与x 轴的另一个交点为（﹣3，0），因此一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个根是﹣3和1，故③符合题意；由图象可知y ＞0时，相应的x 的取值范围为x ＜﹣3或x ＞1，因此④不符合题意；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，因此当x ＞0时，y 随x 的增大而增大是正确的，因此⑤符合题意； 由抛物线的对称性，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小， ∵﹣4＜﹣2，∴y 1＞y 2，（3，y 3）l 离对称轴远因此y 3＞y 1，因此y 3＞y 1＞y 2，因此⑥不符合题意； 综上所述，正确的结论有3个， 故选：C ． 【点睛】考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握a 、b 、c 的值决定抛物线的位置，抛物线的对称性是解决问题的关键． 2、D【分析】由一次函数y=ax+a 可知，一次函数的图象与x 轴交于点（-1，0），即可排除A 、B ，然后根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点；一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象进行判断．【详解】解：由一次函数y ax a +＝可知，一次函数的图象与x 轴交于点10-（，），排除A B 、；当a 0＞时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a 0＜时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C ； 故选D ． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．3、B【解析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：设盒子中有红球x 个，由题意可得：44x +=0.2， 解得：x=16， 故选：B ． ． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系 4、D【解析】分析：∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBC=22.5°． ∴∠AOB=180°﹣22.5°﹣22.5°=135°．如图，在⊙O 取点D ，使点D 与点O 在AB 的同侧．则1D AOB 67.52∠=∠=︒．∵∠C 与∠D 是圆内接四边形的对角，∴∠C=180°﹣∠D =112.5°．故选D ． 5、C【分析】证明△ABC 是等腰直角三角形即可解决问题． 【详解】解：∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ， ∵∠A=2∠B ，∴∠B=∠C=45°，∠A=90°，∴在Rt△ABC 中，BC=sin ACB ∠2AC ，∴sin ∠B•sadA=1AC BCBC AC=, 故选：C ． 【点睛】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6、B【分析】直接利用扇形的面积公式计算．【详解】这个扇形的面积：22902360360n r S πππ⨯⨯===．故选：B ． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是n ︒，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则2360nS R π=扇形或12S lR =扇形（其中l 为扇形的弧长）． 7、C【解析】试题分析：∵DC ∥AB ，∴∠DCA=∠CAB=65°. ∵△ABC 绕点A 旋转到△AED 的位置，∴∠BAE=∠CAD ，AC=AD.∴∠ADC=∠DCA="65°." ∴∠CAD=180°﹣∠ADC ﹣∠DCA="50°." ∴∠BAE=50°． 故选C ．考点：1.面动旋转问题； 2. 平行线的性质；3.旋转的性质；4.等腰三角形的性质． 8、A【分析】根据余角的性质，可得∠BCD=∠A，根据等角的正切相等，可得答案． 【详解】由∠ACB=90°，CD⊥AB 于D ，得 ∠BCD=∠A tan∠BCD=tan∠A=34BC AC =， 故选A ． 【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，利用余角的性质得出∠BCD=∠A 是解题关键． 9、A【分析】根据直角三角形的性质得到B=60°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴B=60°，∴阴影部分的面积=S △ACB -S 扇形BCD =12×2×-2602360π⨯=23π- 故选：A ． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 10、D【分析】由题意设每年的增长率为x ，那么第一年的产值为3500（1+x ）万元，第二年的产值3500（1+x ）（1+x ）万元，然后根据今年上升到5300万元即可列出方程． 【详解】解：设每年的增长率为x ，依题意得 3500（1+x ）（1+x ）=5300， 即()2350015300x +=． 故选：D ． 【点睛】本题考查列出解决问题的方程，解题的关键是正确理解“利润每月平均增长率为x ”的含义以及找到题目中的等量关系．二、填空题(每小题3分,共24分) 11、>【分析】根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案． 【详解】解：因为二次函数2y ax bx c =++的图像开口方向向上， 所以有a >1. 故填>. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数a 与抛物线的关系是解题的关键，图像开口方向向上，a >1；图像开口方向向下，a <1． 12、()5,3【分析】根据题意画出图形，利用平行四边形的性质得出D 点坐标． 【详解】解：如图所示：∵A （2，3），B （0，1），C （3，1），线段AC 与BD 互相平分，∴D 点坐标为：（5，3），故答案为：（5，3）．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，图形与坐标，正确画出图形是解题关键．13、35 【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．【详解】解：根据题意可得：标号小于4的有1，2，3三个球，共5个球，任意摸出1个，摸到标号小于4的概率是35． 故答案为：35 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率()m P A n=． 14、． 【解析】∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转的到△ADE ，点C 和点E 是对应点，∴AB=AD=1,∠BAD=∠CAE=90°，∴22AB AD +2211+2.故答案为2.15、2±【分析】用直接开平方法解方程即可.【详解】24=16x ,2=4x ,2x =±,故答案为：2±.【点睛】此题考查一元二次方程的解法，依据方程的特点选择恰当的方法.16、3.2【分析】先利用勾股定理求出AC ，设2AD x =，依题意得111AE DE DE A E x ====，故11103BE AB AE x =-=-，易证ABC AFD ∆∆，得到 1.5DF x =，再在1Rt DE F ∆中利用勾股定理解出221=3.25E F x ，又111E FA E BF ∆∆得21111E F A E BE =⋅，列出方程解方程得到x ，即可得到AD【详解】在Rt ACB ∆中利用勾股定理求出8AC =，设2AD x =，依题意得111AE DE DE A E x ====，故11103BE AB AE x =-=-.由ABC AFD ∆∆求出 1.5DF x =，再在1Rt DE F ∆中，利用勾股定理求出222211 3.25E F DF DE x =+=，然后由111E FA E BF ∆∆得21111E F A E BE =⋅，即()23.25103x x x =-，解得 1.6x =，从而2 1.6 3.2AD =⨯=.【点睛】本题考查勾股定理与相似三角形，解题关键在于灵活运用两者进行线段替换17、2【详解】解：∵小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色球的频率稳定在0.1，设黄球有x 个，∴0.1（x+10）=10，解得x=2．答：口袋中黄色球的个数很可能是2个．18、【分析】根据中位线定理得到MN 的最大时，AC 最大，当AC 最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 【详解】解：点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，12MN AC ∴=， ∴当AC 取得最大值时，MN 就取得最大值，当AC 时直径时，最大，如图，45ACB D ∠=∠=︒，4AB =， 42AD ∴=， 1222MN AD ∴==， 故答案为：22．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是利用中位线性质将MN 的值最大问题转化为AC 的最大值问题，难度不大．三、解答题(共66分)19、5.【分析】连接OB ，由垂径定理得BE=CE=4，在Rt OEB 中，根据勾股定理列方程求解.【详解】解：连接OB,8OD BC BC ⊥=142BE CE BC ∴==＝ 设O 的半径为R ，则2OE OD DE R =-=-在Rt OEB 中，由勾股定理得222OE BE OB =＋，即()22242R R +=- 解得5R ＝O ∴的半径为5【点睛】本题考查了圆的垂径定理，利用勾股定理列方程求解是解答此题的关键.20、8米【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E．在Rt△ADE中，DE=BC=10，∠ADE=33°，tan∠ADE=AE DE，∴AE=DE·tan∠ADE≈10×0.65=6.5，∴AB=AE+BE=AE+CD=6.5+1.5=8（m）．答：树的高度AB约为8 m．21、（1）500户；（2）120户，图见解析；（3）5200户【分析】（1）用A类贫困户的人数除以它所占的百分比即可得出答案；（2）用总人数减去A,B,D类贫困户的人数即可得到C类贫困户，然后补全条形统计图即可；（3）用总人数乘以C,D类所占的百分比的和即可得出答案．【详解】解：（1）260÷52%＝500（户）；（2）500－260－80－40＝120（户），如图：（3）13000×（24%+16%）＝13000×40%＝5200（户）答：估计至少得到4项帮扶措施的大约有5200户．【点睛】本题主要考查条形统计图与扇形统计图，能够将条形统计图和扇形统计图相结合并掌握用样本估计整体的方法是解题的关键．22、 (1)见解析;(2)见解析.【解析】（1）根据正方形的性质得到AD=AB，∠DAE=∠ABE=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠BAF，根据余角的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）四边形是正方形，∴AD=AB，∠DAE=∠ABE=90°，在Rt△DAE与Rt△ABF中，，∴Rt△DAE≌Rt△ABF（HL），∴BF=AE；（2）∵Rt△DAE≌Rt△ABF，∴∠ADE=∠BAF，∵∠ADE=∠AED=90°，∴∠BAF=∠AEG=90°，∴∠AGE=90°，∴AF⊥DE．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．23、（1）88π；（2）BC长为52；S的最小值为3254．【分析】（1）小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的34圆，以C为圆心、6为半径的14圆和以A为圆心、4为半径的14圆的面积和，据此列式求解可得；（2）此时小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的34圆，以A为圆心、x为半径的14圆、以C为圆心、10-x为半径的30360圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质解答即可．【详解】解：（1）如图1，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗可以活动的区域如图所示：由图可知，小狗活动的区域面积为以B 为圆心、10为半径的34圆，以C 为圆心、6为半径的14圆和以A 为圆心、4为半径的14圆的面积和， ∴S=34×π•102+14•π•62+14•π•42=88π， 故答案为：88π； （2）如图2，设BC=x ，则AB=10-x ，∴S=34•π•102+14•π•x 2+30360•π•（10-x ）2 =3π（x 2-5x+250） =3π（x-52）2+3254π， 当x=52时，S 取得最小值3254π， ∴BC 长为52；S 的最小值为3254π． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据绳子的长度结合图形得出其活动区域及利用扇形的面积公式表示出活动区域面积．24、（1）125；（243或1． 【解析】（1）根据已知条件，求出AD 的值，再由△AMN ∽△ABC ，确定比例关系求出x 的值即可；（2）当正方形MPQN 与ABC ∆公共部分的面积为163时，可分两种情况，一是当PQ 在△ABC 的内部，二是当PQ 在△ABC 的外部，当当PQ 在△ABC 的外部时，根据相似，表达出重叠部分面积，再列出方程，解出x 的值即可．【详解】解：（1）∵6BC =，AD 为BC 边上的高线，12ABC S ∆=，∴16122AD ⨯⋅= ∴AD=1，设AD 交MN 于点H ，∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ， ∴AH MN AD BC =，即446x x -=，解得125x =， ∴当PQ 恰好落在边BC 上时，125x =（2）①当PQ 在△ABC 的内部时，正方形MPQN 与ABC ∆公共部分的面积即为正方形MPQN 的面积， ∴2163x =，解得433x =②当PQ 在△ABC 的外部时，如下图所示，PM 交BC 于点E ，QN 交BC 于点F ，AD 交MN 于点H ，设HD=a ，则AH=1-a ，由AH MN AD BC =得446a x -=，解得243a x =-+ ∴矩形MEFN 的面积为222(4)+4(2.46)33MN HD x x x x x ⋅=-+=-<≤ 即2216+433x x -=解得124,2x x ==（舍去），综上：正方形MPQN 与ABC ∆公共部分的面积为163时，433x =或1． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的对应高的比等于对应边的比的性质，正方形的四边相等的性质以及方程思想，列出比例式是解题的关键．25、（1）①3.0；②AP 的长度是自变量，PC 的长度和AC 的长度都是这个自变量的函数；（答案不唯一）;(2)见解析; （3）2.3或4.2【分析】（1）①根据题意AC 的值分析得出PC 的值接近于半径；②由题意AP 的长度是自变量，分析函数值即可；（2）利用描点法画出函数图像即可；（3）利用数形结合的思想解决问题即可.【详解】解：（1）①AC=2.83可知PC 接近于半径3.0；②AP 的长度是自变量，PC 的长度和AC 的长度都是这个自变量的函数；（答案不唯一）（2）如图（答案不唯一，和（1）问相对应）；（3）结合图像根据AP=PC 以及AC=PC 进行代入分析可得AP 为2.3或4.2【点睛】本题考查函数图像的相关性质，利用描点法画出函数图像以及利用数形结合的思想进行分析求解.26、 (1) x 1=﹣5x 2=﹣25(2) y 1=﹣14，y 2=32． 【解析】（1）把常数项1移项后，在左右两边同时加上4配方求解．(2)整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；【详解】（1）移项可得：x2+4x=1，两边加4可得：x2+4x+4=4+1，配方可得：（x+2）2=5，两边开方可得：∴x1=﹣x2=﹣2（2）移项可得：（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，分解因式可得：（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，即（4y+1）（3﹣2y）=0，∴4y+1=0或3﹣2y=0，∴y1=﹣14，x2=32．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键．。
福建省龙岩市永定区、连城县2021-2022学年九年级上学期期中数学试题
………○……学校:____…装…………○……福建省龙岩市永定区、连城县2021-2022学年九年级上学期期中数学试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题 1．已知x ＝1是一元二次方程x 2﹣2mx +1＝0的一个解，则m 的值是（ ） A ．1B ．0C ．0或1D ．0或﹣12．关于x 的方程()23320a x x --+=是一元二次方程，则（ ）．A ．3a >B ．3a ≠C ．3a =D ．3a ≥3．关于x 的方程()2202120220x -+=的根的情况是（ ）． A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．不能确定4．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知点(),1P x 与点()3,Q y -关于原点对称，则x y +的值是（ ）． A ．2B ．2-C ．4-D ．46．抛物线y ＝（x −2）2＋3的顶点坐标是（ ） A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3）7．若抛物线2y ax bx c =++经过点()1,8-，()5,8，则它的对称轴是（ ）．……装…………○………………○…………线…※不※※要※※在※※装※※订※答※※题※※………线………○8．已知四边形ABCD内接于O，120BCD∠=︒，则BOD∠的度数为（）．A．30°B．60°C．120°D．140°9．如图，点A是半径为8的圆O上一定点，点B是圆O上一动点，点P是弦AB的中点，则点B绕圆周运动一周，点P所经过的路径长为（）．A．4B．8C．4πD．8π10．已知二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c++<；①1a b c-+>；①0abc>；①420a b c-+<；①1c a->，其中所有正确结论有（）．A．2个B．3个C．4个D．5个第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、解答题11．方程23x x=的解为___________________．12．解方程(1)260x x--=(2)2(3)2(3)0x x x-+-=装…………○…………线…………○…_姓名：___________班级：…………○…………线…内…………○…………装…………13．如图，已知△ABC 的顶点A 、B 、C 的坐标分别是(1,1),(4,3),(4,1)A B C ------．(1)画出△ABC 关于原点O 的中心对称图形△A1B1C1；(2)将△ABC 绕原点O 按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点A2、B2、C2的坐标．14．已知抛物线2y x bx c =-++经过点1,2和()3,4-． （1）求抛物线的解析式；（2）利用函数图象，求0y >时，x 的取值范围．15．如图，AB 、AC 是O 的两条切线，B 、C 是切点，点D 是优弧BC 上点，已知50A ∠=︒．求BDC ∠的度数．16．某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m （件）与每件的销售价x （元）满足关系：m ＝140﹣2x ．（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式； （2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？17．小琴同学在一本课外书上看到一道解方程的题目“解方程22240x x ++-=”，她思考良久，未能解答，于是她翻阅资料，在另一本书上找到了类似题目的解答过程（如下例题），她认真阅读，仿照解法，很快得出了正确答案．你能解答这道题吗？例：解方程2110x x ---=．解：（1）当10x -≥，即1≥x 时22……○…………装○…………订…………※※请※※不※※※※订※※线※※内※※答※※题※※○……线………解得1x=（不合题设，舍去），21x=（2）当10x-<，即1x<时()2110x x+--=，220x x+-=，解得11x=（不合题设，舍去）22x=-综上所述，原方程的解是1x=或2x=-依照上例解法，解方程22240x x++-=．18．如图，点D是等腰直角ABC内一点，1AD=，2CD=，3BD=，将ADC绕点C顺时针旋转90°后得到BEC△．（1）求DE的长；（2）求证：A、D、E三点共线．19．如图，四边形APBC内接于圆，60APC∠=︒，AB AC=，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：ABC是等边三角形；（2）若3AP=，2BP=，求PC的长；（3）若90PAC∠=︒，AB=PD的长．20．如图，抛物线2142y x x=--与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C．…………○…………………线…………○……学校:_____………装…………○……………内…………○…………装…………○…（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）若直线y x =-交抛物线的对称轴于点E ，连接BC ，EB ，EC ．试判断EBC 的形状，并加以证明；（3）设P 为直线y x =-上的动点，点D 为抛物线的顶点，过P 作PF ED ∥交抛物线于点F ．问：在直线y x =-上是否存在点P ，使得以P 、E 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 及相应的点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 三、填空题 21．设a ，b 是方程220210x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值是_____． 22．将点()3,4A 绕坐标原点O 顺时针旋转90°后得到的点的坐标是______． 23．已知抛物线24y ax x c =+-与x 轴交点的横坐标为2-，则4a c -=______． 24．如图所示，在同心圆中，大O 的弦AB 切小O 于P ，且8AB =，则圆环的面积为______．25．已知抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，若0y <，则x 的取值范围是________．…………○……………参考答案：1．A 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．把x =1代入方程式即可求解． 【详解】解：把x =1代入方程x 2-2mx +1=0，可得1-2m +1=0，得m =1， 故选：A ． 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把求未知系数的问题转化为方程求解的问题． 2．B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义分析即可，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】①()23320a x x --+=是一元二次方程，①3a ≠ 故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键． 3．C 【解析】 【分析】整理方程，利用直接开平方法可知方程无实数根，即可得解． 【详解】解：①()2202120220x -=-< ①方程无实数根故选C 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，利用负数没有平方根快速求得方程无实数解是解决本题的关键． 4．D 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行解答即可． 【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项错误； B 、不是中心对称图形，故此选项错误； C 、不是中心对称图形，故此选项错误； D 、是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义． 5．A 【解析】 【分析】关于原点对称的两个点的坐标特点：横坐标纵坐标互为相反数，根据坐标特点列方程，再解方程可得答案. 【详解】解： 点(),1P x 与点()3,Q y -关于原点对称，30,10,x y3,1,x y312,x y故选A 【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，掌握“关于原点对称的两个点的坐标特点”是解题的关键. 6．A 【解析】 【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标． 【详解】解：y =（x -2）2+3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）． 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y =a （x -h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是直线x =h ． 7．B 【解析】 【分析】抛物线上两点的纵坐标相等，则这两点关于抛物线的对称轴对称，根据原理直接可得到对称轴方程. 【详解】解： 抛物线2y ax bx c =++经过点()1,8-，()5,8， ∴ 抛物线的对称轴为：152,2x -+== 故选B 【点睛】本题考查的是抛物线的对称性，掌握“抛物线上两点的纵坐标若相等，则这两点关于抛物线的对称轴对称”是解题的关键. 8．C 【解析】 【分析】由圆的内接四边形的性质可得60,A ∠=︒ 再利用圆周角定理可得答案.【详解】解：如图，四边形ABCD 内接于O ，120BCD ∠=︒18012060,A2120,BOD A故选C 【点睛】本题考查的是圆周角定理，圆的内接四边形的性质，掌握“圆的内接四边形的对角互补与圆周角定理”是解题的关键. 9．D 【解析】 【分析】根据题意，P 所经过的路径是以AO 为直径的圆，进而根据圆周长公式计算即可 【详解】解：依题意，P 所经过的路径是以AO 为直径的圆， ∴点P 所经过的路径长为8282ππ⨯= 故选D 【点睛】本题考查了点的轨迹，理解P 点的轨迹是以AO 为直径的圆是解题的关键． 10．C 【解析】 【分析】根据函数图象可得各系数的关系：0a <，20b a =<，10c =>，再结合图象判断各结论． 【详解】解：①由函数图象可得各系数的关系：0a <，20b a =<，10c =>①①当1x =时，0y a b c =++<，故正确；①当1x =-时，1y a b c =-+>，故正确；①当0a <，20b a =<，10c =>，0abc >，故正确；①对称轴为直线1x =-，则当2x =-和0x =时y 的取值相同，则4210a b c -+=>，故错误； ①由对称轴12b x a=-=-，得2b a =，又1x =-时，1y a b c =-+>，代入2b a =，则1c a ->，故正确．①所有正确结论的序号是①①①①．故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象性质与系数的关系：对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时，抛物线向上开口；当0a <时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0ab >），对称轴在y 轴左侧、当a 与b 异号时（即0ab <），对称轴在y 轴右侧；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置，抛物线与y 轴交于()0,c ；对称轴左右两边的图象是对称的；图象上的点的坐标满足函数关系式等，难度中等，熟记函数图象性质与系数的关系是顺利解题的关键．11．120,3x x ==【解析】【分析】由方程23x x =，移项得230x x -=，对方程左边因式分解得()30x x -=，可得0x =或30x -=，分别解出即可．【详解】解：移项得：230x x -=，即()30x x -=，①0x =或30x -=，①10x =或23x =.【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，用合理的方法解一元二次方程是解此题的关键．12．(1)123,2x x ==-(2)123,1x x ==【解析】【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；（2）根据因式分解法解一元二次方程．（1）原方程化简，得：(3)(2)0x x -+= 解得：123,2x x ==-（2）原方程化简，得：[](3)(3)20x x x --+= 即：(3)(33)0x x --= 解得：123,1x x ==【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．13．(1)画图见解析(2)画图见解析，222(1,1),(3,4),(1,4)A B C ---【解析】【分析】（1）分别确定A ，B ，C 关于原点对称的对称点111,,A B C ，再顺次连接即可；（2）分别确定A ，B ，C 绕原点O 按顺时针方向旋转90°后的对应点222,,A B C ，再顺次连接即可；再根据点222,,A B C 的位置写出其坐标即可．（1）解：如图，111A B C △即为所求作的三角形，（2）如图，222A B C △即为所求作的三角形，①222(1,1),(3,4),(1,4)A B C ---【点睛】本题考查的是坐标与图形，中心对称的作图，绕原点旋转90︒的作图，理解旋转的性质，再根据旋转的性质作图是解本题的关键．14．（1）22y x x =-++；（2）1 2.x【解析】【分析】（1）把点1,2和()3,4-代入抛物线的解析式列方程组，再解方程组可得答案；（2）先求解抛物线与x 轴的交点坐标，抛物线的对称轴方程，判断抛物线的开口方向，画出抛物线的简易图象，再利用图象确定0y >时，自变量x 的范围即可.【详解】解：（1）把点1,2和()3,4-代入抛物线的解析式可得：12934b c b c 即335b c b c 解得：12=⎧⎨=⎩b c 所以抛物线的解析式为：2 2.y x x（2）令0,y = 则220,x x220,x x ∴--=()()210,x x ∴-+=解得：122,1,x x ==-所以抛物线与x 轴的两个交点坐标为：2,0,1,0, 抛物线的对称轴方程为：1,2x = 抛物线的开口向下， 所以抛物线的简易图象如下：当0y >时，抛物线的图象位于x 轴的上方，所以x 的取值范围为：1 2.x【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握“数形结合的方法解题”是关键.15．65︒【解析】【分析】如图，连接,,OB OC 证明90,ABO ACO 再利用四边形的内角和定理求解,BOC ∠ 再利用圆周角定理：可得1652BDCBOC ，从而可得答案. 【详解】解：如图，连接,,OB OCAB 、AC 是O 的两条切线，90,ABO ACO50,A ∠=︒360909050130,BOC165.2BDCBOC【点睛】 本题考查的是切线的性质，四边形的内角和定理，圆周角定理的应用，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解题的关键.16．（1）y =－2x 2+180x －2800；（2）每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元【解析】【分析】（1）由销售利润=（销售价-进价）×销售量可列出函数关系式；（2）应用二次函数的性质，求最大值．【详解】（1）依题意，y =m （x -20），代入m =140-2x化简得y =-2x 2+180x -2800．（2）y =-2x 2+180x -2800=-2（x 2-90x ）-2800=-2（x -45）2+1250．当x =45时，y 最大=1250．①每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大为1250元．17．120,2x x ==-【解析】【分析】分两种情况讨论：当20x +≥时，即2,x ≥- 原方程可化为：22240,x x 当20x +<时，即2,x <- 原方程可化为：22240,xx 再分别解方程并检验即可.【详解】解：当20x +≥时，即2,x ≥- 原方程可化为： 22240,x x 整理得：220,x x 即20,x x解得：120,2,x x 经检验：两个根都符合题意；当20x +<时，即2,x <- 原方程可化为：22240,x x整理得：2280,x x 即420,x x 解得：124,2,x x ==-经检验：124,2x x ==-与2x <-矛盾，舍去，综上：原方程的根为：120, 2.x x ==-【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用分类讨论的方法解含绝对值的二次方程”是解题的关键.18．（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得：2,90,CD CE DCE 再根据勾股定理可得答案； （2）先证明 2229,BE DE BD 可得90,BED ∠=︒ 再证明：45,CDE CED 由旋转可得：135,ADC CEB 再证明：13545180,ADC CDE 从而可得结论. 【详解】解：（1） ADC 绕点C 顺时针旋转90°后得到BEC △，1,2,,90,AD BE CD CE CA CB DCE 2222,DECD CE （2）3,BD 222221229,BE DE BD90,BED ∴∠=︒,90,CD CE DCE45,CDECED 4590135,CEB CED DEB由旋转可得：135,ADC CEB13545180,ADC CDE所以,,A D E 三点共线.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，旋转的性质，掌握“勾股定理与勾股定理的逆定理的应用”是解题的关键.19．（1）证明见解析；（2）5；（3）4【解析】【分析】（1）先证明60,ABC APC 再结合AB AC =，可得结论； （2）先证明60,BPC BAC 如图，过B 作BE AD ⊥于,E 则60,BPE ∠=︒ 记,AB PC 的交点为,Q 利用等面积法求解解得6,5PQ再证明,PQA PBC ∽从而可得,PQ PA PB PC 再计算即可得到答案；（3） 先求解AP =2tan 60AC ， 再求解AD =AC •tan ①ACD =6， 利用PD =AD -AP 可得答案．【详解】解：（1） 60APC ∠=︒， 60,ABC APCAB AC =，∴ ABC 是等边三角形.（2） ABC 是等边三角形，60,,ACBBAC AB BC AC 60,BPCBAC 而60APC ∠=︒， ∴ 180606060,BPE 如图，过B 作BE AD ⊥于,E 记,AB PC 的交点为,Q2,BP221,3,PE BEPB PE 113333,222APB SAP BE 1133sin 60sin 60,222APBAPQ PBQS S S AP PQ PB PQ 5333,42PQ 解得6,5PQ ,,APC BPC PAB PCB,PQA PBC ∽ ,PQPA PB PC23 5.65PA PBPC PQ（3）解：①①ABC 是等边三角形，AB =①AC =BC =AB =①ACB =60°．在Rt ①P AC 中，①P AC =90°，①APC =60°，AC =①AP =2tan 60AC．在Rt ①DAC 中，①DAC =90°，AC =①ACD =60°，①AD =AC •tan ①ACD =6．①PD =AD -AP =6-2=4．【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，掌握“三角形的面积等于任意两边乘以其夹角的正弦的一半与三角函数的应用”是解题的关键.20．（1）()()()2,0,4,0,0,4A B C --；（2）EBC 为等腰三角形，证明见解析；（3）7,2P F或(7,2P F ⎛ ⎝或()51,1,1,.2P F ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）令0,x =求解C 的坐标，令0,y = 则2140,2x x --=解方程求解,A B 的坐标；（2） 先求解抛物线的对称轴为：1,x = 再求解()1,1,E - 再利用勾股定理分别计算EB = EC BC ==从而可得结论；（3）由,PF DE ∥ 以P 、E 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形，可得,PF DE = 如图，设(),,P x x - 则21,4,2F x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()22114422PF x x x x =----=-，再列方程2174,22x -= 解方程可得答案. 【详解】解：（1）令0,x = 则2144,2y x x =--=- ()0,4,C ∴-令0,y = 则2140,2x x --= 整理得：2280,x x 即()()420,x x -+=解得：124,2,x x ==-()()2,0,4,0.A B ∴-（2）()2211941,222y x x x =--=-- 所以抛物线的对称轴为：1,x =E 是抛物线与y x =-的交点，则()1,1,E -()()4,0,0,4,B C -EB ∴=EC BC ====222,,EB EC EB EC BC ∴=+≠EBC ∴△为等腰三角形.（3）存在，理由如下：,PF DE ∥ 以P 、E 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形，,PF DE ∴=()2211941,222y x x x =--=--91,,2D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 而()1,1,E - 971,22DE ⎛⎫∴=---= ⎪⎝⎭ 如图，设(),,P x x - 则21,4,2F x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()22114422PF x x x x ∴=----=-，2174,22x ∴-= 当217422x -=时，则215,x =x ∴=7,2P F ∴或(7,2P F ⎛ ⎝ 当217422x -=-时，则21,x = 解得：1,x =± 当1x =时，平行四边形不存在，舍去，()51,1,1,.2P F ⎛⎫∴--- ⎪⎝⎭综上：7,2P F 或(7,2P F ⎛ ⎝或()51,1,1,.2P F ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点问题，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，平行四边形的判定与性质，抛物线的图象与性质，灵活运用以上知识解题是关键.21．2020【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义可以求得a2+a＝2021，利用根与系数的关系可以求得a+b＝﹣1．将其代入所求代数式，可求解．【详解】解：①a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两根，①a2+a﹣2021＝0，a+b＝﹣1，①a2+a＝2021，①a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2021﹣1＝2020，故答案为：2020．【点睛】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题时，采用了“整体代入”的数学思想．4,3-22．()【解析】【分析】过点A作AD①y轴于点D，过点B作BC①y轴于点C，然后证明①OCB①①ADO，可得BC=OD=4，OC=AD=3，进而得到答案．【详解】解：过点A作AD①y轴于点D，过点B作BC①y轴于点C，①点A(3，4)绕原点O顺时针旋转90°后得点B，①①AOB =90°，OA =OB ，①①AOD +①COB =90°，①①COB +①B =90°，①①AOD =①B ，在①OCB 和①ADO 中，OCB ADO B AOD OB OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①OCB ①①ADO （AAS ），①BC =OD =4，OC =AD =3，①点B 在第四象限，①点B 的坐标是(4,-3)．故答案为(4,-3)．【点睛】本题考查了坐标与图形变换——旋转，旋转的性质，全等三角形的判定与性质．能正确画出图形是解题的关键．23．8【解析】【分析】由抛物线24y ax x c =+-与x 轴交点的横坐标为2-，可得2x =-是240ax x c +-=的根，再把2x =-代入原方程即可.【详解】 解： 抛物线24y ax x c =+-与x 轴交点的横坐标为2-，∴ 2x =-是240ax x c +-=的根，480,a c48,a c故答案为：8【点睛】本题考查的是抛物线与一元二次方程的关系，一元二次方程解的含义，掌握“二者之间的关系”是解题的关键.【解析】【分析】分别连接OA 、OP 、OB ，根据切线的性质，得OP AB ⊥；根据勾股定理的性质，得222OA OP AP -=；根据等腰三角形三线合一的性质，得AP BP =，结合圆形面积公式计算，即可得到答案．【详解】分别连接OA 、OP 、OB ，如下图：①AB 切小O 于P①OP AB ⊥①222OA OP AP -=设大圆半径为R ，小圆半径为r①OA OB R ==，OP r = ①142AP BP AB === ①2216R r -=①2216R r πππ-=故答案为：16π．【点睛】本题考查了圆的切线性质、勾股定理、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握圆的切线性质、勾股定理、等腰三角形三线合一的性质，从而完成求解．25．-1＜x ＜3【解析】【分析】首先求出点（-1，0）关于对称轴x =1的对称点，进而结合图象可得当y ＜0时x 的取值范围．解：根据图象可知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），则（-1，0）关于x=1对称的点为（3，0），即抛物线与x轴另一个交点为（3，0），当-1＜x＜3时，y＜0，故答案为：-1＜x＜3．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是求出抛物线与x轴的另一个交点坐标．。
2024-2025学年北师大版九年级上学期数学期中培优训练卷
2024-2025学年北师大版九年级上学期数学期中培优训练卷1.若一元二次方程的一个根为2，则的值为（）A．1B．2C．D．2.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5B．8C．12D．153.矩形中，对角线相交于点O，如果，那么的度数是（）A．B．C．D．4.如图，中，，，，动点P从点A出发沿边以秒的速度向点B移动，点Q从点B出发，沿边以秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当有一个点到达终点时另一个点也停止运动，在运动过程中，设点P的运动时间为t，则当的面积为时，t的值（）A．2或3B．2或4C．1或3D．1或45.下列说法中，正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形6.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排15场比赛，如果设邀请个球队参加比赛，那么根据题意可以列方程为（）A．B．C．D．7.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（）mA．3.5B．4C．4.5D．8.近年来某县大力发展柑橘产业，某柑橘生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元，设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为()A．B．C．D．9.在一个不透明的口袋中，放置2个黄球，1个白球，1个红球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率(如图所示)，则的值最可能是()A．4B．5C．6D．710.如图，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，点E为正方形ABCD中CD边的五等分点，且CE＝CD，双曲线y＝(k≠0，x⟩0)的图象过点E，则k为（）A．B．C．D．11.若关于的一元二次方程的一根为，则的值是______．12.已知，，c是a、b的比例中项，则______．13.如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于________．14.在一个不透明的袋子中有3个红球和个黑球，它们除颜色外其他均相同．从中任意摸出一个球，若摸出黑球的概率是，则的值是________．15.如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；=3.6．其中正确结论是________．②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FGC16.解方程：解方程：(1)；(2)17.某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．请根据所给信息，解答以下问题：(1)表中________，________；(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．18.如图和都是等腰直角三角形，，，顶点在的斜边上，求证：．19.百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？20.有一块三角形的草坪，其中一边的长为10m．在这块草坪的图纸上，这条边的长为5cm．已知图纸上的三角形的周长为15cm，则这块草坪的周长为______m．21.如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为为______．22.已知y1＝2x2+3x，y2＝﹣5x+10．x为何值时，y1与y2的值相等？23.如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．(1)求证：；(2)求证：．24.如图，在△ABC中，点D，F，E分别在AB，BC，AC边上，DF AC，EF AB．(1)求证：△BDF∽△FEC．(2)设．①若BC＝15，求线段BF的长；②若△FEC的面积是16，求△ABC的面积．25.如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（4，2），C（2，1）．（1）作出与△ABC关于x轴对称的△，点的坐标是；（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△，使＝，点坐标是．26.某中学为了了解本校学生喜爱的球类运动，在本校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据统计整理，绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次一共调查了________名学生；（2）补全条形统计图；（3）“足球”在扇形统计图中所占圆心角的度数为________；（4）若已知该校有1000名学生，请你根据调查的结果估计爱好“足球”和“排球”的学生共有多少人？27.在学习完北师大教材九年级上册第四章第6节“利用相似三角形测高”后，数学兴趣小组的3名同学利用课余时间想要测量学校里两棵树的高度.在同一时刻的阳光下，他们合作完成了以下工作：①测得一根长为l米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图l）.②测量的乙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图2），测得落在地面上的影长为4.4米，一级台阶高为0.3米，落在第一级台阶的影子长为0.2米.（1）在横线上直接填写甲树的高度为_____________米.（2）图3为图2的示意图，请利用图3求出乙树的高度.28.已知：为钝角，是的两条高．(1)如图，若，求证：；(2)如图，若，延长相交于点，连接，当时，求的长；(3)如图，若，延长相交于点，连接，当时，求的值．。
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（第10题图）一、选择题1．计算：2－3 =（ ） A ．－1B ．1C ．－5D ．52．在平面直角坐标系中，已知点P （2，－3），则点P 在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．一组数据6、8、7、8、10、9的中位数和众数分别是（ ） A ．7和8B ．8和7C ．8和8D ．8和94．一个不透明的布袋里有30个球，每次摸一个，摸一次就一定摸到红球，则红球有（ ） A ．15个B ．20个C ．29个D ． 30个5．某农场各用10块面积相同的试验田种植甲、乙两种大豆，收成后对两种大豆产量（单位：吨/亩）的数据统计如下：0.54x ≈甲，0.5x ≈乙，20.01s ≈甲，20.002s ≈乙，则由上述数据推断乙品种大豆产量比较稳定的依据是（ ） A ．x x 乙甲＞ B ．2s 2乙甲＞s C ．2x s 甲甲＞ D ．2x s 乙甲＞6．下列命题中，为真命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．同位角相等C ．若22a b =，则a b =D ．若a b >，则22a b ->-7．下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．等边三角形B ．矩形C ． 平行四边形D ．等腰梯形8．左下图所示几何体的俯视图是（ ）A B C D9．下列函数中，当x ﹤0时，函数值y 随x 的增大而增大的有（ ） ① y x = ② 21y x =-+ ③ 1y x=- ④ 23y x =A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个10．如图，矩形ABCD 中，A B =1，BC =2，把矩形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为（ ） A ．10π B ．4π C ．2πD ．2二．填空题11x 的取值范围是______________．12．2012年3月份龙岩市社会消费品零售总额为10 500 000 000元，该零售总额数用科学计数法表示为______________（保留两位有效数字）．（第8题图）14．鸡蛋孵化后，小鸡为雌与雄的概率相同．如果两个鸡蛋都成功孵化，则孵出的两只小鸡中都为雄鸡的概率为________．15．为落实房地产调控政策，某县加快了经济适用房的建设力度．2011年该县政府在这项建设中已投资3亿元，预计2013年 投资5.88亿元，则该项投资的年平均增长率为__________． 16．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = BC = 6，E 是斜边AB 上任意一点，作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥BC 于G ，则矩形CFEG 的周长是_________． 17．如图，平面直角坐标系中，⊙O 1过原点O ，且⊙O 1与⊙O 2相外切，圆心O 1与O 2在x 轴正半轴上，⊙O 1的半径O 1P 1、⊙O 2的半径O 2P 2 都与x 轴垂直，且点P 1()11,x y 、P 2()22,x y 在反比例函数1y x=（x >0）的图象上，则12y y +=__________． 三、解答题 18．（1）计算：0201215622-+-⨯+（-1）； （2）先化简，再求值：()3213633a a a a-+，其中7a =．19．解方程：3211x x =-+．20．如图，已知CB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，点A 为CD 延长线上一点，BC =AB ，∠CAB =30°． （1）求证:AB 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，求BD 的长． （第20题图） （第16题图）（第17题图）21．如图1，过△ABC 的顶点A 作高AD ，将点A 折叠到点D （如图2），这时EF 为折痕，且△BED 和△CFD 都是等腰三角形，再将△BED 和△CFD 沿它们各自的对称轴EH 、FG 折叠，使B 、C 两点都与点D 重合，得到一个矩形EFGH （如图3），我们称矩形EFGH 为△ABC 的边BC 上的折合矩形．（1）若△ABC 的面积为6，则折合矩形EFGH 的面积为 ；（2）如图4，已知△ABC ，在图4中画出△ABC 的边BC 上的折合矩形EFGH ； （3）如果△ABC 的边BC 上的折合矩形EFGH 是正方形，且BC =2a ，那么，BC 边上的高AD = ，正方形EFGH 的对角线长为 ．22．已知：用2辆A 型车和1辆B 型车装满货物一次可运货10吨； 用1辆A 型车和2辆B 型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题:（1）1辆A 型车和1辆B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A 型车每辆需租金100元/次，B 型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．图1 图2图3 图423．在平面直角坐标系xoy 中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB 在x 轴上，直角顶点C 在y轴正半轴上，已知点A （－1，0）．（1）请直接写出点B 、C 的坐标：B （ ， ）、C （ ， ）；并求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中∠EDF =90°，∠DEF =60°），把顶点E 放在线段AB 上（点E 是不与A 、B 两点重合的动点），并使ED 所在直线经过点C ． 此时，EF 所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M ．①设AE =x ，当x 为何值时，△OCE ∽△OBC ；②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P 使△PEM 是等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．备用图2012年龙岩市初中毕业、升学考试一、选择题二、填空题（每小题3分，共21分）11．1x ≥ 12．101.110⨯ 13．150 14．1415．40% 16．12 17三、解答题18．(1)解:原式=5+1﹣1+1 ……………………4分(每个运算1分) =6 ……………………5分 (2)法1：原式=3133a a ﹣2163a a +133a a……………1分 =221a a -+ ……………………2分 =2(1)a - ……………………3分 当7a =时，原式=2(71)- ……………………4分 =36 ……………………5分 法2：原式=133a a（221a a -+） ……………1分 =221a a -+ ……………………2分 = 2(1)a - ……………………3分 当7a =时，原式=2(71)- ……………………4分 =36 ……………………5分 19． 解:原方程可化为 3(1)2(1)x x +=- ………………3分3322x x +=- …………………4分 3223x x -=-- ………………5分 5x =- ……………………7分 经检验，5x =-是原方程的解．∴ 原方程的解是5x =- …………………8分（未作答不扣分） 20．(1)证明：法1：∵ BC=AB∴ ∠A=∠C∵ ∠CAB=30° ……………………1分 ∴ ∠C =∠A =30°……………………2分 ∵ ∠A+∠C+∠ABC =180°∵ OC=OB∴ ∠OBC=∠C=30°∴ ∠ABO=90° ……………………4分 ∴ AB 是⊙O 的切线． …………………5分法2证明：∵BC=AB ∴∠A=∠C∵∠CAB=30° ……………………1分 ∴∠A=∠C=30° ……………………2分 ∵OB=OC∴∠C=∠OBC=30°∴∠BOA=∠C+∠OBC=60° ………………3分 ∴∠BOA+∠A+∠OBA=180°∴∠OBA=90° ……………………4分 ∴AB 是⊙O 的切线 ……………………5分法3证明：∵BC=AB ∴∠A=∠C∵∠CAB=30° ……………………1分 ∴∠A=∠C=30° ……………………2分 ∵∠BOA=2∠C∴∠BOA=60° ……………………3分 ∵∠BOA+∠A+∠OBA=180°∴∠0BA=90° ……………………4分 ∴AB 是⊙O 的切线 ……………………5分（2）解：由（1）得：∠BOD=60° ……………………6分BD 的长180n Rl π=……………………7分 602180π⨯= ……………………9分23π= ……………………10分21．（1）3； ……………………………………3分（2）作出的折合矩形EFGH 为网格正方形；……………6分（3）2a ，……………12分（每个空3分）22.解：（1）设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可分别运货x 吨、 y 吨，依题意列方程得：……………………1分210211x y x y +=⎧⎨+=⎩ ……………………3分解方程组,得 答:1辆A 型车装满货物一次可运3吨，1辆B 型车装满货物一次可运4吨．……………………………………………………………4分（未作答不扣分）（2）结合题意和（1）得 3431a b += ………………………5分∴ 3143ba -=∵ a 、b 都是正整数∴ 91a b =⎧⎨=⎩ 或54a b =⎧⎨=⎩ 或 17a b =⎧⎨=⎩ 答:有3种租车方案: ①A 型车9辆,B 型车1辆; ②A 型车5辆,B 型车4辆;③A 型车1辆,B 型车7辆. ……8分（未作答不扣分） (3) 方案 ①需租金:9×100+120=1020(元) 方案 ②需租金:5×100+4×120=980(元)方案 ③需租金:1×100+7×120=940(元) ……………11分 ∵ 1020>980>940 ∴ 最省钱的租车方案是：A 型车1辆,B 型车7辆,最少租车费为940元. ……………12分23．（1）B （3，0），C （0…………………………2分（每个点的坐标1分） 解：法1：设过A 、B 、C 三点的抛物线为()()12(0)y a x x x x a =--≠，则……3分 ∵A （—1，0）B （3，0）∴()()13y a x x =+- ………………………………4分 又∵C （0()()0103a =+-∴3a =-∴)()13y x x =+-即2y x x = ……5分(结果未化为一般式不扣分) 法2：设过A 、B 、C 三点的抛物线为2(0)y ax bx c a =++≠，则 ……3分 ∵A （—1，0）B （3，0）C （034x y =⎧⎨=⎩∴090a b c a c c ⎧-+=⎪+=⎨⎪=⎩……………4分∴233y x x =-++ ……………………5分 （2）①解：当△OCE ∽△OBC 时，则OC OEOB OC= ………………6分∵OC =， OE=AE —AO=1x -， OB=3 ………7分=∴2x =∴当2x =时，△OCE ∽△OBC ．……………………8分 （2）②解：存在点P. 理由如下：由①可知2x = ∴OE=1 ∴E （1，0）此时，△CAE 为等边三角形∴∠AEC=∠A=60°又∵∠CEM=60° ∴∠MEB=60° ……………9分∴点C 与点M 关于抛物线的对称轴12bx a =-=对称.∵C （0∴M (过M 作MN ⊥x 轴于点N （2，0） ∴∴∴ 2= ……………………10分若△PEM 为等腰三角形,则: ⅰ)当EP=EM 时,∵EM=2，且点P 在直线1x =上 ∴P(1，2)或P(1，—2)ⅱ）当EM=PM 时,点M 在EP 的垂直平分线上∴P(1，ⅲ）当PE=PM 时，点P 是线段EM 的垂直平分线与直线1x =的交点∴综上所述，存在P 点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，1，3）时，△EPM 为等腰三角形． ………14分(未进行本小结不扣分) ②解: 存在点P . 理由如下：由①可知2x = ∴OE =1 ∴E （1，0）此时，△CAE 为等边三角形∴∠AEC =∠A =60°又∵∠CEM =60° ∴∠MEB =60° 作F N ⊥x 轴于N ,EF =AB =4 ∴ EN =12EF =2, NF∴ F(3, 易求EF: y解方程组2y y x x ⎧=⎪⎨=++⎪⎩121223x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ ∴12(3,M M --………………10分（每个1分） ∴ 122,8EM EM == 若1EP EM =,则P(1,2)或P(1,-2) 若112M P M E ==，则P （1， 若1PE PM =，则P （1若28EP EM ==，则P （1，8）或（1，-8） 若228M P M E ==，则P （1，-） 若2PE PM =，则P （1，） 综上所述，存在8个点P 符合条件：P(1,2)，P(1,-2) ，P （1，，P （1），。