高中数学苏教版必修5 3.2 一元二次不等式 作业

[学业水平训练]
一、填空题
1．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0的解集为________． 解析：∵0<t <1，∴1t
>1， 所以(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪
⎪t <x <1t . 答案：⎝⎛⎭
⎫t ，1t 2．不等式－3x 2＋x －6≤0的解集为________．
解析：原不等式可化为3x 2－x ＋6≥0，
Δ＝1－4×3×6<0，∴不等式的解集为R .
答案：R
3．不等式x (3－x )≥x (x ＋2)＋1的解集是________．
解析：x (3－x )≥x (x ＋2)＋1
⇒3x －x 2≥x 2＋2x ＋1
⇒2x 2－x ＋1≤0.
∵Δ＝1－4×2＝－7＜0，又二次函数图象开口向上，
∴原不等式无解．
∴原不等式的解集为∅.
答案：∅
4．若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为R ，则m 的取值范围是________．
解析：若f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为R ，即：mx 2＋mx ＋1≥0在x ∈R 上恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立满足条件，
当m ≠0时，有
⎩
⎪⎨⎪⎧m >0Δ＝m 2－4m ≤0⇒0<m ≤4. 综上满足题意的m 的取值范围为[0，4]． 答案：[0，4]
5．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[－12，－13
]，则不等式x 2－bx －a <0的解集是________．
解析：由题意－12，－13
是方程ax 2－bx －1＝0的两实根， ∴⎩⎨⎧－12＋（－13）＝b a （－12）×（－13）＝－1a
， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝5， ∴x 2－bx －a <0⇔x 2－5x ＋6<0⇔2<x <3.
答案：(2，3)
6．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满．然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药浓度不超过原来的28%，则桶的容积最大为________升．
解析：设桶的容积为x 升，显然x ＞0，依题意，
得(x －8)－4（x －8）x
≤28%·x . 由于x ＞0，因而原不等式化简为9x 2－150x ＋400≤0，
即(3x －10)(3x －40)≤0.
因此103≤x ≤403
. 所以，桶的最大容积为403
升． 答案：403
7．(2012·高考福建卷)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解析：∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，
∴Δ＝a 2－4×2a <0，
∴0<a <8.
答案：(0，8)
二、解答题
8．解关于x 的不等式：x 2－(m ＋m 2)x ＋m 3<0.
解：原不等式化为(x －m )(x －m 2)<0.
(1)当m <0，或m >1时，
m 2>m ，解集为(m ，m 2)；
(2)当m ＝0或m ＝1时，m 2＝m ，解集为∅；
(3)当0<m <1时，m 2<m ，解集为(m 2，m )．
综上所述，当m <0或m >1时，原不等式的解集为(m ，m 2)；
当m ＝0或m ＝1时，原不等式的解集为∅；
当0<m <1时，原不等式的解集为(m 2，m )．
9．解不等式．
(1)x －1x －2
≥0； (2)2x －13－4x
>1. 解：(1)原不等式等价于⎩
⎪⎨⎪⎧（x －1）（x －2）≥0x －2≠0， 解得x ≤1或x >2，
∴原不等式的解集为{x |x ≤1或x >2}．
(2)原不等式可改写为2x －14x －3＋1<0，即6x －44x －3
<0， ∴(6x －4)(4x －3)<0，∴23<x <34
. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23
<x <34. [高考水平训练]
一、填空题
1．如果ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2或x >4}，那么对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，f (－
1)，f (2)，f (5)的大小关系是________．
解析：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2或x >4}，知a >0，且－2，4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两实根，
∴⎩
⎨⎧－2＋4＝－b a －2×4＝c a
⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2a c ＝－8a . ∴f (x )＝ax 2－2ax －8a ＝a (x ＋2)(x －4)，
∵a >0，
∴f (x )的图象开口向上．
又对称轴为x 0＝1，
f (x )的图象如图所示，
由图可得f (2)<f (－1)<f (5)．
答案：f (2)<f (－1)<f (5)
2．已知方程mx 2－2(m ＋2)x ＋(m ＋5)＝0有两个不同的正根，则m 的取值范围是________．
解析：当m ＝0时，显然不符合题意．
当m ≠0时，原方程⇔x 2－2（m ＋2）m x ＋m ＋5m
＝0. 设f (x )＝x 2－2（m ＋2）m x ＋m ＋5m
， 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f （0）>0，m ＋2m >0，
解之得0<m <4或m <－5. 答案：(－∞，－5)∪(0，4)
二、解答题
3．不等式x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．
解：法一：x 2－2mx －1＝0的判别式Δ＝4m 2＋4>0恒成立．所以函数f (x )＝x 2－2mx －1的图象开口向上，且与x 轴有两个交点(x 1，0)，(x 2，0)，x 1x 2＝－1，即x 1与x 2异号，故要使不等式x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，则必须方程x 2－2mx －1＝0的正根小于1，f (1)＝1－2m －1>0，得m 的取值范围是(－∞，0)．
法二：由原不等式得2mx <x 2－1，
又1≤x ≤3，得m <x 2－12x
.(*) 设f (x )＝12(x －1x
)，x ∈[1，3]． 要使(*)式成立，只需m <f (x )min .
可证f (x )＝12(x －1x
)在[1，＋∞)上是增函数， 因此f (x )min ＝f (1)＝0，
所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．
4．某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用图中的两条线段表示．该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t 的关系式为Q (t )＝－t ＋40.
(1)根据提供的图象，写出商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式；
(2)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天． 解：(1)当0<t <25时，设y ＝kt ＋20，由图象知45＝25k ＋20，得k ＝1，∴y ＝t ＋20； 当25≤t ≤30时，设y ＝k 1t ＋b ，由图象可知
⎩
⎪⎨⎪⎧75＝25k 1＋b ，70＝30k 1＋b ，解得k 1＝－1，b ＝100.此时y ＝－t ＋100. 综上，P (t )＝⎩
⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，－t ＋100，25≤t ≤30. (2)当0<t <25时，日销售金额y ＝P (t )·Q (t )
＝(t ＋20)·(－t ＋40)＝－(t －10)2＋900，
当t ＝10(天)时，y 的最大值为900；
当25≤t ≤30时，日销售金额y ＝(－t ＋100)(－t ＋40)
＝(t －40)(t －100)，
易见y 在t ∈[25，30]上递减，y 在[25，30]上的最大值在t ＝25时取到，此最大值为1 125. 综上，在第25天时，日销售金额最大，最大值为1 125元．。