九年级上册数学为什么是0.618黄金分割点课堂同步练习题及答案(北师大版)
北师大版九年级上2.5.1为什么是0.618课件
匀速航行，货轮从AC的中点
D出发沿某一方向匀速直线
航行，将一批货物送达客轮
，两船同时起航，并同时到 C
达折线A—B—C上的某点E
处。已知AB=BC=200海里，
∠ABC=90º，客轮速度是货
轮速度的2倍。求货物从出发
到相遇共航行了多少海里？
（结果保留根号）。
C
A D
B A D
FE B
4
[例1] 如图所示，客轮沿折线A—B—C从A出发经B再到 C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直
，点Q在AC上距离A点为AQ=（2y-8）cm，如
图，过Q作QD⊥BA于D，则∆AQD∽∆ACB
∴ Q D A Q ∴QD= 6 ( y 4 )
A
CB AC
5
由题意有：1(14y) 6(y4)12.6
2
5
Q
整理得 y218y770 ，
P 8cm D
(y7)(y11)0，
解之得 y1 7
C
y2 11
6cm
B
8
因此经过7s点P在BA上距离A
点PA=14－7=7cm处，点Q在AC
上距离A点为AQ=2y-8=2×7－
8=6cm处，使使∆PAQ的面积等于
12.6cm2。经过11s，点P在BA上距
离A点PA=14－11=3cm处，点Q
在AC上距离A点为AQ=2y-
Q
8=2×11－8=14cm处，而14＞10
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上…… 14
，点Q超过了CA的范围，即此解
不存在，所以本问只有一解。 C 答：（1）经过2s或4s时，∆PBQ
6cm
九年级数学为什么是0.618北师大版
知识目标：1、掌握黄金分割中黄金比的来历； 2、经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性。
教学重点难点：列一元一次方程解应用题，依题意列一元二次方程教学程序：一、复习1、解方程：（1）x 2+2x+1=0 (2)x 2+x －1=02、什么叫黄金分割？黄金比是多少？（0.618）3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解？（方程一边为零，另一边可分解为两个一次因式）二、新授1、黄金比的来历如图，如果ACAB =CBAC ，那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点。
由ACAB =CBAC ，得AC 2=AB ·CB设AB=1， AC=x ，则CB=1－x∴x 2=1×(1－x) 即：x 2+x －1=0解这个方程，得x 1=―1+52 , x 2=―1―52 （不合题意，舍去）所以：黄金比ACAB =―1+52 ≈注意：黄金比的准确数为5―12 ，近似数为0.618.上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题，其实，很多实际问题都可以应用一元二次方程来解决。
2、例题讲析：例1：P64 题略（幻灯片）（1）小岛D 和小岛F 相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）解：（1）连接DF ，则DF ⊥BC ，∵AB ⊥BC ，AB=BC=200海里∴AC= 2 AB=200 2 海里，∠C=45°∴CD=12 AC=100 2 海里 DF=CF ， 2 DF=CD ∴DF=CF=22 CD=22×100 2 =100海里 所以，小岛D 和小岛F 相距100海里。
（2）设相遇时补给船航行了x 海里，那么DE=x 海里，AB+BE=2x 海里EF=AB+BC ―（AB+BE ）―CF=（300―2x ）海里在Rt △DEF 中，根据勾股定理可得方程：x 2=1002+(300－2x)2整理得，3x2－1200x+100000=0解这个方程，得：x1=200－10063≈ x2=200+10063(不合题意，舍去) 所以，相遇时，补给船大约航行了118.4 海里。
北师大版-数学-九年级上册-2.5.为什么是0.618 第1--2课时 课下作业
《九年级上第二章第五节为什么是0.618》课下作业第1课时积累●整合1. 把一个正方形的一边增加2cm ，另一边增加1 cm ，所得的长方形面积比正方形面积增加14cm 2，那么原来正方形的边长是（ ）A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm2. 在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形的掛图，要使整个掛图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A. x 2+130x －1400=0B. x 2－65x －350=0C. x 2－130x －1400=0D. x 2+65x －350=03. 一批学生组织春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加，所交的费用与其他人相同，这样每人可少分摊3元，原来这批学生的人数是（ ）A. 8B. 10C. 12D. 154. 市政府计划2年内将市区人均住房面积由现在的10平方米提高到14.4平方米，设每年人均住房面积增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）A. 101144().x +=B. 1012144().+=xC. 1011442().+=xD.101011011442++++=()().x x 5. 一家商店将某种服装按成本价提高40%标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件服装可获利15元，则这种服装每件的成本价是（ ）A. 120元B. 125元C. 135元D. 140元6. 一个两位数等于它的个位上的数与十位上的数之和的平方，并且个位上的数比十位上的数小7，这个两位数是（ ）A. 78B. 79C. 81D. 807.一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是 。
8.. 用22cm 的铁丝，折成一个面积为30cm 2的矩形，则此矩形的长为 cm ，宽为__________cm 。
拓展●应用9.. 若方程x x a 2650++=的一个根是23-，则a 的值为_____________，方程的另一个根是_____________。
北京课改版数学九年级上册同步课时练习：18.2 黄金分割(word版含答案)
18.2 黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,如果AC AB =BCAC ,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比.注意:(1)一条线段有两个黄金分割点; (2)黄金比k=√5-12≈0.618. 1.[2020·泰安泰山区期末] 已知点P 是线段AB 的黄金分割点(AP>PB ),AB=10,那么AP 的长是 ( ) A .5√5-5 B .5-√5C .5√5-1D .√5-122.[2020·金昌] 生活中到处可见黄金分割的美.如在设计人体雕像时,使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若中b 为2米,则a 约为 ( )A .1.24米B .1.38米C .1.42米D .1.62米3.若点C 是线段AB 的黄金分割点,且AC>BC ,则下列说法正确的有 ( )①AB=√5+12AC ;②AC=3-√52AB ; ③AB∶AC=AC∶BC ; ④AC ≈0.618AB. A .1个 B .2个C .3个D .4个4.如若点C 是线段AB 的黄金分割点(AC>BC ),AB=1,则AC= ,BC= .5.一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体,若舞台AB 的长为20米,主持人现在站在A 处,则他应至少再走 米才最自然得体.(结果精确到0.1米)6.如求作线段AB 的黄金分割点.(作出一个即可)7.“黄金分割”是一条举世公认的美学定律.例如在摄影中,人们常依据黄金分割进行构,使画面整体和谐.目前,照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版.要拍摄草坪上的小狗,按照黄金分割的原则,应该使小狗置于画面(如中的位置()A.①B.②C.③D.④8.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AB=2,则AC等于()A.√5-1B.3-√5D.√5-1或3-√5C.√5-129.如已知线段AB,点P是它的黄金分割点,AP>BP,设以AP为边的正方形的面积为S1,以BP,AB 长为边的矩形的面积为S2,则S1与S2的关系是()A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.S1≥S210.五角星是我们常见的形,如五角形外围的各个边都相等.其中,点C,D是线段AB的黄金分割点,AB=20 cm.求EC+CD的长.答案1.A2.A3.C解：∵ABAC =√5-1=2×(√5+1)4=√5+12,∴AB=√5+12AC,①正确;AC=√5-12AB,②错误;AB∶AC=AC∶BC,③正确;AC=√5-12AB≈0.618AB,④正确.4.√5-123-√525.7.66.略7.B8.D9.C10.解:∵EC=AC,∴EC+CD=AC+CD=AD.∵点D是线段AB的黄金分割点(AD>BD),∴AD=√5-12·AB=(10 √5-10)cm.即EC+CD=(10√5-10)cm.。
北师大版数学九年级上册第四章第四节4.4 第4课时 黄金分割 同步练习(含答案)
第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件 第4课时 黄金分割 同步练习一、选择题1. 已知点C 是线段AB 上的一个点，且满足AC 2＝BC ·AB ，则下列式子成立的是( ) A. AC BC ＝5－12 B. ACAB ＝5－12 C.BC AB ＝5－12 D. CB AC ＝5＋122. 已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP >NP ，且MP ＝(5－1)cm ，则MN 等于( ) A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 无法计算3. 如图所示，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＜BC ，AC ＝mBC ，则m 的值是( )A.5－12 B. 5＋12 C. 3－52D. 5－2 4. 点M 在线段AB 上，且是线段AB 的黄金分割点，如果MB 为较长的线段，MB ＝2，那么AM 等于( ) A. 5 B. 1＋ 5 C. 5－1 D. 2 55. 已知线段AB ，点C 是它的黄金分割点(AC >BC ).设以AC 为边的正方形的面积为S 1，分别以AB ，CB 的长和宽的矩形的面积为S 2，则( )A. S 1>S 2B. S 1＝S 2C. S 1<S 2D. 不能确定6. 如图，已知AB ＝2，C 是AB 的黄金分割点，点D 在AB 上，且AD 2＝BD ·AB ，则CD AC＝ .7. 如图是一种贝壳的示意图，点C 分线段AB 近似于黄金分割.已知AB ＝10cm ，则AC 的长约为 cm.(结果精确到0.1cm)8. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.若舞台AB 长为20m ，主持人应走到离点A 至少 m 处.如果他向点B 再走 m ，也处在较得体的位置.(结果精确到0.1m)9. 如图扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，则α≈ .(结果精确到1°)第9题第10题10. 为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案.小琦同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中.如图是小琦同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，则雷锋人体雕像下部的设计高度为m.(结果精确到0.01m，参考数据2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)11. 已知线段AB＝6，点C为线段AB的黄金分割点，求下列各式的值：(1)AC－BC；(2)AC·BC.12. 人体下半身(脚底到肚脐的长度)与身高的比例越接近0.618，越给人美感.遗憾的是，即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美.某女士，身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择多高的高跟鞋看起来更美呢？13. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝5－1，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，试说明点D是线段AC的黄金分割点.14. 宽与长的比是5－12的矩形叫黄金矩形，心理学家测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现将同学们在教学活动中折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤(如图所示)：第一步：作一个任意正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD交AD的延长线于F.请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形.15. 如图，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上.(1)求AM，DM的长.(2)点M是AD的黄金分割点吗？为什么？1. B2. A3. A4. C5. B6. 25－17. 6.28. 7.6 4.89. 138°(或137°) 10. 1.2411. 解：若AC ＞BC ，则AC ＝25－1AB ＝25－1×6＝3－3.∴BC ＝6－(3－3)＝9－3.此时，(1)AC －BC ＝3－3－(9－3)＝6－12.(2)AC ·BC ＝(3－3)×(9－3)＝27－27－45＋9＝36－72.若AC ＜BC ，则BC ＝25－1AB ＝25－1×6＝3－3，∴AC ＝6－(3－3)＝6－3＋3＝9－3.此时，(1)AC －BC ＝9－3－(3－3)＝12－6. (2)AC ·BC ＝(9－3)(3－3)＝36－72.12. 解：设应该选择高跟鞋的高度为x cm ，则有x ＋1.68x ＋1.02＝0.618，x ＋1.02＝0.618x ＋0.618×1.68，x ≈0.048，∴应选择4.8cm 高的高跟鞋更美.13. 证明：在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2＝36°.∴∠1＝∠A .∴AD ＝BD.∴∠BDC ＝∠1＋∠A ＝72°.∴∠BDC ＝∠C.从而有BC ＝BD ＝AD ＝－1.∴AC AD ＝25－1，即点D 为线段AC 的黄金分割点.14. 证明：设AB ＝2，则CN ＝1，DN ＝EN ＝，∴EC ＝－1，∵DC ＝AB ＝2，∴矩形宽与长之比为DC EC ＝25－1，∴矩形DCEF 为黄金矩形.15. 解：(1)∵正方形ABCD 的边长是2，点P 是AB 的中点，∴AB ＝AD ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°.∴PD ＝＝.∵PF ＝PD ，∴AF ＝－1.在正方形AMEF 中，AM ＝AF ＝－1，DM ＝AD －AM ＝3－.(2)点M 是线段AD 的黄金分割点.理由如下：由(1)得AD ·DM ＝2(3－)＝6－2，AM 2＝(－1)2＝6－2，∴AM 2＝AD ·DM .∴点M 是AD 的黄金分割点.。
北师大版数学九年级上册《为什么是0.618？》一元二次方程3
数学美的魅力 4
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于 北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红” ，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这 不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方。 奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等 等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好 在这黄金分割的纬度上。
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶 的宽与长之比也接近0.618; 节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央， 而总是站在舞台的1／3处，站在舞台上侧近于 0.618的位置才是最佳的位置; 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人 看起来舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管 其大小，如对于、8开、16开、32开等，都仍然 是近似的黄金矩形。
分到析0.:1海∵里两,船其速中度之6 比 2为.44v9军)舰 2
200
v补给船
∴相同时间内两船的行程之比为
1 s军舰
2
s补给船 1
B
x E?
D 100 F
东
45º C
若设相遇时补给船的行程DE为x海里,则相遇时军舰 200 的行程应为 2x 海里.图上哪一部分对应的是军舰的行程?
例题赏析 1
如图2-7,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 AC BC , 那么点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为A黄B 金A比C.
由 AC BC , 得 AC 2 AB BC
1
AB AC
设 AB 1, AC x, 则 BC 1 x
A
x
C
图2-7
B
∴ x2 1 1 x
即 x2 x 1 0
源于生活的数学
4.学生会准备举办摄影展览, 在每张长和宽分别为18厘
米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸. 经试验, 彩纸面积为相片面积的 2 时较美观,求镶上彩
北师大版-数学-九年级上册-2.5 为什么是0.618 作业4
初三一元二次方程解法训练题 姓名一、 填空题1． 方程2720x x +=的根为___ ___.2． 己知方程2554x x x -+=-，它的根是____ __.3． 己知21223,7y x x y x =--=+，能使12y y =的x 的值是____ ____. 4． 已知方程2610kx x -+=有且只有一个实根，则_____.k =5． 方程()()21230y y +-=的根是___ ____.6． 方程24410t t -+=的根是_____ ___.7． 已知1x =-是方程260x ax -+=的一个根，则_______.=8． 方程20x x ++=的根是_ ______.9． 解关于x 的方程：210mx x --=（m>0）结果是___ ______.二、 选择题1．方程224x x =的根为 （ ）（A ）0x = （B ）2x = （C ）120,2x x == （D ）以上都不对2．方程()()24330x x x -+-=的根为 （ ）（A ）3x = （B ）125x =（C ）12123,5x x =-= （D ）12123,5x x == 3．若一元二次方程20ax bx c ++=有一根为1-，则有 （ ）（A ）0a b c ++= （B ）0a b c -+= （C ）1a b c ++= （D ）1a b c -+=4．方程21x =的实根有 （ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无数个5．若多项式()223720m x mx m -+≠的值等于8，则x 的值为 （ ） （A ）23m 或3m （B ）23m -或3m （C ）23m 或3m - （D ）23m -或3m- 6．方程()()2151x x x -=-的根是 （ ）（A ）52x = （B ）1x = （C ）125,12x x == （D ）122,15x x == 7．解方程()()25350x x +-+=，较简便的方法是 （ ）（A ）直接开平方法 （B ）因式分解法 （C ）配方法 （D ）公式法8． 方程：（1）()225x -=（2）2320x x --=（3）260x x +-=，较简便的方法是（ ） （A ）（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法（B ）（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法（C ）（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法（D ）（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法9．解方程()()220x x +-=就相当于解方程 （ ）（A ）20x += （B ）20x -= （C ）20x +=或20x -= （D ）20x +=且20x -=10．用因式分解法解方程2631350x x -+=，分解因式这一步正确的是 （ ）（A ） ()()27350x x ++= （B ） ()()27350x x --=（C ） ()()27350x x -+= （D ） ()()27350x x +-=三、解答题1． 用因式分解法解下列方程。
黄金分割同步练习及答案 (6)
黄金分割同步练习（典型题汇总）知识点 1 对黄金分割的理解1．已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是( )A．如果ACAB＝BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比D．一条线段有两个黄金分割点2．如图4－4－28，点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，下列结论错误的是( )图4－4－28A.ACAB＝BCAC B．BC2＝AB·ACC.ACAB＝5)－12D.BCAC≈0.6183．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝2，则AC的长为( )A.5－1 B．3－5 C.5)－12 D．0.6184．已知点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，若AB＝2，则AP－BP＝________．5．教材习题4.8第1题变式题如图4－4－29，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C，D之间的距离．图4－4－29知识点 2 黄金分割的应用6．如图4－4－30所示，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常按黄金比来设计，这样的扇子较美观．若取黄金比为0.6，则α为( )A．216° B．135° C．120° D．108°4－4－304－4－317．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图4－4－31，某女士的身高为160 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A．6 cm B．10 cm C．4 cm D．8 cm8．人体的正常体温是37 ℃左右，根据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感觉最舒适，这个气温的度数约为________(精确到1 ℃)．9．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图4－4－32，若舞台AB的长为20 m，主持人应走到离A点至少多远处才最自然得体？(结果精确到0.1 m，黄金比≈0.618)图4－4－3210．点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6 cm，则BC的长为( )A．(3 5－3)cmB．(9－3 5)cmC．(3 5－3)cm或(9－3 5)cmD．(9－3 5)cm或(6 5－6)cm11．宽与长之比为5)－12∶1的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调匀称的美感．如图4－4－33，如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形CDFE还是黄金矩形吗？请证明你的结论．图4－4－3312．如图4－4－34，已知点C和点D均为线段AB的黄金分割点，CD＝6 cm，求AB的长．图4－4－3413．定义：如图4－4－35①，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图②，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求线段AD的长．图4－4－3514．如图4－4－36①，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB＝BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1S＝S2S1(S1>S2)，那么称直线l为该图形的黄金分割线．(1)如图②，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D，请问点D 是不是AB边上的黄金分割点(直接写出结论，不必证明)?(2)若△ABC在(1)的条件下，如图③，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线？并证明你的结论；(3)如图④，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点F，延长AB，DC交于点E，连接EF并延长分别交梯形上、下底于G，H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线？并证明你的结论．图4－4－361．C 2.B3．A [解析] ∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝5)－12AB，而AB＝2，∴AC＝5－1.4．2 5－4 [解析] ∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝5)－12AB＝5－1，则BP＝2－AP＝3－5，∴AP－BP＝(5－1)－(3－5)＝2 5－4.5．解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，∴AC＝BD＝80×5)－12＝(40 5－40)cm，∴CD＝BD－(AB－BD)＝2BD－AB＝(80 5－160)cm.6．B 7.D8．23 ℃[解析] 37×5)－12≈23(℃)．9．解：根据黄金比，得20×(1－0.618)≈7.6(m)，故主持人应走到离A点至少7.6 m处才最自然得体．10．C [解析] ∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6 cm，∴BC＝5)－12AB＝(3 5－3)cm，或BC＝5)2AB＝(9－3 5)cm.11．解：留下的矩形CDFE还是黄金矩形．证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝DC＝AF.又∵ABAD＝5)－12，∴AFAD＝5)－12，即点F是线段AD的黄金分割点，∴FDAF＝AFAD＝5)－12，∴FDDC＝5)－12，∴矩形CDFE是黄金矩形．12．[解析] 因为C，D均为线段AB的黄金分割点，所以ADAB与BCAB相等，都等于黄金比．因此AD＝BC，所以AC＝BD.解：∵C，D均为线段AB的黄金分割点，∴ADAB＝BCAB，∴AD＝BC，∴AB－AD＝AB－BC，即BD＝AC.设AC＝BD＝x cm，则AD＝(x＋6)cm，AB＝(2x＋6)cm. ∵ADAB＝5)－12，∴x＋62x＋6＝5)－12，∴x＋62（x＋3）＝5)－12，解得x＝3 5＋3，∴AB＝(6 5＋12)cm.13．解：(1)证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠A＝36°，∴∠BDC＝72°，∴BC＝BD＝AD.∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，∴BCAC＝CDCB，即BC2＝AC·CD，∴AD2＝AC·CD，∴点D是线段AC的黄金分割点．(2)设AD＝x，则CD＝1－x.由(1)得x2＝1－x.解得x1＝5)2(舍去)，x2＝5)2，∴AD＝5)2.14．解：(1)点D是AB边上的黄金分割点．(2)直线CD是△ABC的黄金分割线．证明：设△ABC的边AB上的高为h，则S△ADC＝12AD·h，S△DBC＝12BD·h，S△ABC＝12AB·h，∴S△ADC∶S△ABC＝AD∶AB，S△DBC∶S△ADC＝BD∶AD.由(1)知点D是AB的黄金分割点，∴ADAB＝BDAD，∴S△ADC∶S△ABC＝S△DBC∶S△ADC，∴直线CD是△ABC的黄金分割线．(3)直线GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．证明：∵BC∥AD，∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD，∴BGAH＝EGEH，①GCHD＝EGEH.②由①②得BGAH＝GCHD，即BGGC＝AHHD.③同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF，得BGHD＝GCAH，即BGGC＝HDAH.④由③④得AHHD＝HDAH，∴AH＝HD，∴BG＝GC，∴梯形ABGH与梯形GCDH的上、下底分别相等，高也相等，∴S梯形ABGH＝S梯形GCDH＝12S梯形ABCD，CBAC BA ∴直线GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线．黄金分割同步练习（典型题汇总）一、选择题:1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BCAB AC=,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点 C.AB 与AC 的比叫做黄金比; D.AC 与AB 的比叫做黄金比 2.如图的五角星中,AC AB 与BCAC的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BC AC; D.不能确定 3.一条线段的黄金分割点有( )A.1个B.2个C.3个D.无数个4.黄金分割比是( )A.12 B.12 C.12D.0.618 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么AC AB 与ACBC的值分别是( ) A.,B.,; C.,; D.6.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=2,则AC= ( )11 二、填空题:CBAC BAC BA1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.3.已知点C 是AB 的黄金分割点,即AC AB那么AC CB=________.4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2=________.5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB 的黄金分割点.3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流.四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.五、已知线段AB=1,C 为AB 的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC 的值.六、如图的五角星中,AD=BC,且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点,AB=1,求CD 的长.D C BA七、已知C 、D 是线段AB 上的两点,且不难证明当AB=1时,C 、D 是线段AB 的黄金分割点,试探究当AB 任意长时,C 、D 是否是线段AB 的黄金分割点?为什么?答案:一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C二、1. AC BC AB AC=;黄金分割点;黄金比 2. 12;32-3. 12黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,所以AP PB AB AP=,××2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=12AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点3.查阅资料四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得AC AB =12,因为AB=1,所以AC= 12BC=AB-AC=1-12= 32-,•所以六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得AC AB ,BD AB因为AB=1,所以AC=12,BD=12,所以AD=AB-BD=1-12=32-,因此七、C、D是线段AB的黄金分割点.。