4.1正弦和余弦3
《正弦和余弦》 说课稿
《正弦和余弦》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《正弦和余弦》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“正弦和余弦”是初中数学中三角函数这一板块的重要内容，它是在学生已经学习了直角三角形的边与角的关系，以及相似三角形的基础上进行的。
本节课的学习，不仅为后续学习正切函数以及解直角三角形等知识奠定基础，而且在实际生活中也有着广泛的应用，比如测量物体的高度、距离等。
教材通过引导学生观察直角三角形中锐角的对边与斜边、邻边与斜边的比值，引出正弦和余弦的概念，注重培养学生的观察能力、分析能力和归纳能力。
二、学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了直角三角形的基本性质和相似三角形的相关知识，具备了一定的逻辑推理能力和数学思维。
但是，对于正弦和余弦这两个抽象的概念，学生可能会感到理解困难。
因此，在教学过程中，需要通过具体的实例和直观的图形，帮助学生理解和掌握。
同时，学生在学习过程中可能会出现对概念的混淆和应用的错误，需要通过大量的练习和及时的反馈加以纠正。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解正弦和余弦的概念，能够正确地表示出直角三角形中一个锐角的正弦和余弦值。
（2）掌握正弦和余弦的基本性质，会根据直角三角形的边长求锐角的正弦和余弦值。
2、过程与方法目标（1）通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，培养学生的观察能力、分析能力和归纳能力。
（2）经历探索正弦和余弦概念的过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法。
3、情感态度与价值观目标（1）通过对正弦和余弦的学习，感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
（2）在探索和交流的过程中，培养学生的合作精神和创新意识。
四、教学重难点1、教学重点（1）正弦和余弦的概念及其表示方法。
（2）根据直角三角形的边长求锐角的正弦和余弦值。
2、教学难点（1）理解正弦和余弦的概念。
湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》说课稿4
湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》说课稿4一. 教材分析《正弦和余弦》是湘教版数学九年级上册4.1的内容，这部分内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是引导学生探究正弦和余弦的定义，理解它们的性质和应用。
通过这部分的学习，学生能够更深入地理解三角函数的概念，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力，他们对锐角三角函数已经有了初步的了解。
但是，对于正弦和余弦的定义和性质，他们可能还存在着一些模糊的地方。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生通过观察、实验、推理等方法，深入理解正弦和余弦的概念。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解正弦和余弦的定义，掌握它们的性质，并能运用它们解决一些实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、实验、推理等方法，培养自己的探究能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂活动，对数学产生兴趣，培养自己的合作意识和创新精神。
四. 说教学重难点1.重点：学生能够理解正弦和余弦的定义，掌握它们的性质。
2.难点：学生能够运用正弦和余弦解决一些实际问题，并深入理解它们的内在联系。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用观察、实验、推理、讨论等教学方法，引导学生主动参与课堂活动。
同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解正弦和余弦的概念。
六. 说教学过程1.导入：通过复习锐角三角函数的内容，引导学生回顾已学的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.探究正弦和余弦的定义：引导学生观察正弦和余弦的图象，通过实验和推理，引导学生探究正弦和余弦的定义。
3.性质探讨与应用：引导学生通过观察、实验、推理等方法，探究正弦和余弦的性质，并运用它们解决一些实际问题。
4.总结与拓展：引导学生总结本节课的学习内容，并进行拓展训练，提高学生的解决问题的能力。
(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.主要考查有关定理的应用、三角包等变换的能力、运算能力及转化的数学思想.解三角形常常作为解题工具用丁立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现.1.正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.其中R是三角形外接圆的半径.(2)正弦定理的其他形式：① a = 2RsinA , b =, csinO；③ a : b ： c= _______________________________2.余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平■方等——王彦文宵铜峡一中丁其他两边的平■方的和减去这两边与它们的火角的余弦的积的两倍.即a2=, b2=,c?=.若令C= 90°, WJ c2=,即为勾股定理.(2)余弦定理的变形：cosA =, cosB=, cosC^.若C为锐角，则cosC>0,即a2 + b2 ; 若C为钝角，贝U cosC<0,即a2+ b2.故由a2+ b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角.(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角,余弦定理亦可以写成sin2A= sin2B+ sin2C—2sinBsinCcosA，类似地，sin2B= ________________ ; sin2C= _________ _S 意式中隐含条件A+ B+ C= TT .3.解斜三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用理.只有一解.(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用定理，可能有L如在△ ABC中，已知a, b和A时，解的情况如表：②sin A=2R' sinB=A为锐角A为钝角或直角图形关系式a= bsinA bsinA<a< b a为a>b解的个数①②③④(3)已知三边，用理.有解时，只有一解.(4)已知两边及火角，用理, 必有一解.4.三角形中的常用公式或变式⑴三角形面积公式& =:其中R, r分别为三角形外接圆、内切圆半径.(2)A+ B+ C=兀，WJ A=,A5 = , 从而sinA = tanAtanBtanC (3)a+ c sinA+ sinCcosA = , tanA =<(3)互化sin2C+ sin2A—2sinCsinAcosB sin2A+sin2B— 2sinAsinBcosC3. (1)正弦(2)正弦一解、两解或无解①一解②二解③一解④一解⑶余弦⑷余弦1 1 1 abc 14. (1)2absinC 2bcsinA 2acsinB 4R 2 (a+ b+ c)r在△ ABC中，A>B 是sinA>sinB 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件.故选C.兀B+ C (2)代(B+ Q 2— Fsin(B+ C) — cos(B+ C)2 (1)b* 1 2+ c2— 2bccosA c2 + a2— 2cacosB a2 + b2—2abcosC a2 + b2b2+ c2—a2c2+ a2—b2a2+ b2—c2(2)2bc2ca2ab—tan(B+ C) co岩si号«C tan 2在△ ABC中，已知b= 6, c= 10, B= 30°,则解此三角形的结果有（）A.无解B. 一解C.两解D. 一解或两解解：由正弦定理知sinC=半=5, 乂由b 6c>b>csinB知，C有两解.也可依已知条件，画出△ ABC,由图知有两解.故选 C.（2012陕西）在^ABC中，角A, B, C所对的边…一…Tt i—一，分力U为a, b, c.右a= 2, B= c= 2寸3,贝U b =.解：由余弦定理知b2= a2 + c2—2accoSB=22 + （2^3）2— 2X 2X^/3X c%= 4, b= 2.故填2.（2013陕西）®AABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若bcosC+ ccosB= asinA,则^ABC 的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解：由已知和正弦定理可得sinBcosC+ sinCcosB= sinA sinA,即sin（B+ Q= sinAsinA, 亦即sinA= sinAsinA.因为0<A<TT,所以sinA= 1, 所以A=2.所以三角形为直角三角形.故选B.在^ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若 a =寸2, b=2, sinB+ cosB=寸2,则角 A解：sinB+ cosB= ^2,,•寸2sin B+4 =寸2,即sin B+4 = 1._____ __ _兀兀_兀乂.. B€ （0,冗）... B+； = ；, B=~.4 2 4a b asinBsinA= b根据正弦正理、皿=sinB，可侍12'. a<b, . . Av B... A=g.故填&类型一正弦定理的应用△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知A— C= 90 , a+ c=寸2b,求C.解：由a+ c=寸2b及正弦定理可得sinA+sinO 2sinB乂由丁A— C= 90 , B= 180 — (A+C),故cosC + sinC = sinA + sinC=戒sin(A + Q =戒sin(90 + 2Q =匝sin2(45 + Q.,•哀sin(45 + C) = 2 戒sin(45 + C)cos(45 + C),* 一1即cos(45 + C) = 2.乂 .。
【高中数学】余弦定理、正弦定理(3)课件 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
sin30∘
sin45∘
＝20 2.
60° 60°
45°30°
40
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos ∠BCA＝(20 2)2＋
(40 2)2－2×40 2 ×20 2 cos 60°＝2400，
∴AB＝20 6 ，故A，B两点之间的距离为20 6 m.
跟踪训练
4．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距
20( 3 ＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时
10 2海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北
方向刮过且 3＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．
在△ABC中，由余弦定理得
sin30∘
，
新知探究
1．基线的概念与选择原则
(1)定义
线段
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的_______叫做基线．
(2)性质
基线长度
在测量过程中，应根据实际需要选取合适的_________，使测量具有
高
较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越_______．
2．实际测量中的有关名称、术语
5．一船以每小时15 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在
北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东
30 2
15°，这时船与灯塔的距离为________km.
如图所示，AC＝15×4＝60.
∠BAC＝30°，∠B＝45°，
在△ABC中，
∴BC＝30 2.
60
sin45∘
=
方法总结
测量距离的基本类型及方案
1[1].4.1正弦、余弦函数图像
![1[1].4.1正弦、余弦函数图像](https://img.taocdn.com/s3/m/71e55689d0d233d4b14e6977.png)
y
1
-
− 6π
-
− 4π
-
− 2π
-
-1 -
o
2π
-
4π
-
6π
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以 的图象在……， 因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在 的图象在 ， [−4π,−2π] ,[− 2π,0], [0,2π ], [2π ,4π ], …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同 与 ∈ 的图象相同
(π , − 1)
π
2 , 0)
3π ( , 0) 2
轴的交点： 与x轴的交点： ( 轴的交点
正弦、 正弦、余弦函数的图象
画出函数y=1+sinx，x∈[0, 2π]的简图： 的简图： 例1 画出函数 ， ∈ π 的简图
x
sinx 1+sinx
y 2 1
0 0 1
π
2
π 0 1
3π 2
2π 0 1 步骤： 步骤： 1.列表 列表 2.描点 描点 3.连线 连线
9π −4π − 7π −3π 2 2
5π−2π 3π − 2 2
x∈R
−π
−
π 2
y
1
−
−
-1
π 2
π
3π 2π 5π 2 2
3π
7π 4π 9π 2 2
5π x
y 余弦曲线： 余弦曲线： = cos x
−
9π −4π 7π −3π 5π −2π 3π − − − 2 2 2 2
x∈R
−π
−
π 2
y
1
-1
π 2
π
3π 2π 5π 2 2
湘教版九年级数学 4.1 正弦和余弦(学习、上课课件)
知1－练
sin 67°38′24′′； 解：sin 67°38′24′′≈ 0.924 8.
(2)用计算器求锐角α 的度数(精确到0.1 °)：
sinα＝0.516 8. α ≈ 31.1°.
解题秘方：紧扣使用计算器的操作步骤，正确 按键得出结果.
感悟新知
知1－练
3-1. [ 期末·莱阳 ] 若用我们数学课本上采用的科学计 算器计算 sin42 ° 16′，按键顺序正确的是 ( C )
解：原式＝12＋
2 2
2－13×
3 2
2＝12＋ 12－13×32-1. [ 期末·石家庄裕华区 ] 已知 α 为锐角，且sin(α－
10 ° ) =
3 2
，则
α
等于(
A
)
A． 70° B． 60°
C． 40° D． 30°
感悟新知
例3 (1)用计算器求正弦值(精确到0.000 1)：
1. sin α是完整的数学符号，是一个整体，不能理解成
sin·α . 2. 正弦符号后面可以跟单个小写希腊字母或单个大写英文
字母或三个大写英文字母或数字表示的角，也可以跟度 数，如sin α，sin A，sin ∠ABC，sin ∠2，sin 70° .
感悟新知
知1－练
例1 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果AB=2， BC=1， 3
感悟新知
知2－练
例4 [母题 教材 P115 练习 T1 ]在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，请根据下列 条件分别求出∠A的正弦、余弦值： (1)a＝6，b＝8；(2)b＝2，c＝ 10.
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣正弦、余弦揭示了直角三角形的边 角之间的数量关系，先利用勾股定理求 出未知边的长度，然后根据定义求∠ A的 正弦、余弦值.
正弦、余弦函数的定义
恒口高级中学数学必修四学案 NO.课题：4.1任意角的正弦、余弦函数的定义主编人：_范明珠 审核人：___ 领导签字：___ ___ 班_____组 姓 名：_____ _ 师 评： 使用说明：1、紧扣学习目标，认真预习课本13—15页，独立完成自主学习部分。
2、整理出自己在自学过程中遇到的问题和困惑，努力尝试做合作探究部分内容，标记好疑点、难点，准备讨论和展示。
3、课堂认真思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题。
4、小组长在课堂讨论环节起引领作用，做到有效讨论，确保每人都达成目标。
学习目标：1.借助单位圆理解任意角的三角函数的定义。
2.掌握正弦函数、余弦函数的定义域和函数值在各象限的符号。
重 点：正弦函数、余弦函数的定义 难 点：正弦函数、余弦函数值在各象限的符号一、自主学习【预习与思考】1、 在直角坐标系中，以_____ _为圆心，以_____ _为半径的圆，称为单位圆。
2、 在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与_____重合，始边与_____重合，终边与单位圆交于点),(v u P ，那么点P 的_____ 叫做角α的正弦函数，记作_____ _点P 的_____ 叫做角α的余弦函数，记作_____ _通常，我们用x 表示自变量，即表示角的大小，用y 表示函数值，这样我们就定义了任意角三角函数____ ，和____ _ 。
它们的定义域为____ ，值域为____ 。
3、 正弦函数、余弦函数在各象限的符号思考：若点),(y x P 是角α终边上异于原点的任意一点，又该如何定义角α的正弦函数和余弦函数？【预习自测】：1、（1）417sin π=____ (2) 322cos π=____2、已知角α终边上一点的坐标为)8,6(-P ,则=αsin ____ ；=αcos ____ ；3、判断 375sin 、π427sin、)380cos(π-的符号。
湘教版九年级数学很上册第4章《锐角三角函数》教案
湘教版九年级数学很上册第4章《锐角三角函数》教案 4.1 正弦和余弦第1课时 正 弦1.理解并掌握锐角正弦的定义.2.在直角三角形中求锐角的正弦值.（重点）一、情境导入牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站（点A ）与水面（BC ）的高度（AB ）.斜坡与水面所成的角（∠C ）可以用量角器测出来，水管的长度（AC ）也能直接量得.你能求出它的高度（AB ）吗？二、合作探究探究点一：锐角的正弦的概念在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则sin B ＝（ ） A.AC AB B.AB BC C.AB AC D.BC AB解析：由正弦的概念可得sin B ＝ACAB，故选A.方法总结：正确理解锐角的正弦的概念，在实际解题的过程中可以借助简单的图形帮助解题.探究点二：已知直角三角形的边求锐角的正弦值在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则sin A ＝ Ｗ.解析：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∴斜边AC ＝AB 2＋BC 2＝32＋42＝5，∴sin A＝BC AC ＝45，故填45. 方法总结：在直角三角形中，sin α＝角α的对边斜边，在解题时运用勾股定理求出斜边，即可完成解答.探究点三：构造直角三角形求锐角的正弦值如图所示，P 为∠α的边OM 上的一点，且P 点的坐标为（3，4），则sin α的值是（ ）A.35B.45C.34D.43解析：过P 作P A ⊥x 轴，垂足为A ，则OA ＝3，P A ＝4，∴OP ＝OA 2＋P A 2＝5，∴sin α＝P A OP ＝45，故选B. 方法总结：解此类题时，首先要根据已知条件构造出合适的直角三角形，然后利用正弦的定义求锐角的正弦.三、板书设计锐角的正弦⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧概念：在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦. 记作sin α，sin α＝∠α的对边斜边性质：α确定的情况下，sin α为定值，与△ABC的大小无关基本题型⎩⎪⎨⎪⎧已知各条件在直角三角形中求正弦构造直角三角形求锐角的正弦值教学过程中，通过联系生活实例来引入新的知识，鼓励学生积极参与讨论，尝试发现生活中同类型的问题，在激发学习兴趣的同时快速切入主题.在合作探究环节用基础的练习帮助学生巩固基本概念，为下面的学习打下基础.4.1 正弦和余弦第1课时 正弦教学目标： 1、知识与技能：（1）使学生理解锐角正弦的定义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练习 P104
AC CosA= AB
1．在Rt △ABC 中， ∠C= 90º， AC=5， ． ， ， AB=7．求 cos A ，cos B 的值． 的值． ． B
5 = 7
C 2．在Rt △ABC 中， ∠C= 90º， AC= 6 ， ． ， AB=3．求 cos A，cos B ， ． sin A，sin B 的值． A 的值． B
正弦和余弦（3） 正弦和余弦（
探 究
都是直角三角形， △ABC 和 △DEF都是直角三角形，它们都有一个锐 都是直角三角形 角等于α， 角等于 ，即∠D =∠A = α．在Rt △ABC 中， ∠A的 ∠ ． 的 相邻的直角边（简称邻边） 相邻的直角边（简称邻边）为AC，斜边为 ；在Rt ，斜边为AB； 的邻边为DF，斜边为DE． △DEF中，∠D的邻边为 ，斜边为 ． 中 的邻边为 D 问
即：一个锐角的余弦等于它余角的正弦
例题 ４．求
cos30°
的值． ， 60° ， cos45° 的值． cos
3 解： cos30° = sin ( 90°− 30°) = sin60° = , 2
1 cos60° = sin ( 90° − 60°) = sin 30° = , 2
2 cos 45° = sin ( 90° − 45°) = sin 45° = . 2
5 ．求下列各式的值． 求下列各式的值． （１）Sin30°Cos30° ° ° （２）Sin60°Cos60° ° ° （３）Sin45°Cos45° ° °
1 3 ⋅ = 解 （１）Sin30°Cos30°= ° ° 2 2 1 3 ⋅ = （２）Sin60°Cos60°= ° ° 2 2 2 2 （３）Sin45°Cos45°= ° ° ⋅ = 2 2
3 4 3 4 1 2
AC DE = AB DF
是否成立？ 是否成立？ F
α
分析
如果两个锐角相等， 如果两个锐角相等，那么它们的正 B 弦值相等。显然∠ ∠ 弦值相等。显然∠B =∠F，所以 SinB=SinF,由正弦定义有 由正弦定义有
E
α
AC SinB= AB
所以
DE SinF= DF
C
A
AC DE = AB DF
这说明：一个锐角 的邻边与斜边的比值就是 这说明：一个锐角α的邻边与斜边的比值就是 它的余角（ ° 它的余角（90°－α）的对边与斜边的比值． 的对边与斜边的比值
2 2 2 2
解 （１） （２） （３）
考虑
sin 2 α + cos 2 α = 1.
对于任意角α总有 对于任意角 总有 Nhomakorabea作业
在Rt △ABC 中， ∠C= 90º， BC=7，B=8．求 ， ， ． P106 3、 cos A, cos B, sin A，sin B 的值． 的值． 5 B 7 C 8 A
A
3 ．对于任意锐角 ， 0 ＜ 对于任意锐角α， 都有你能说出道理吗？ 都有你能说出道理吗？ ∵
cosα
AC＜AB ＜
＜1
C
A
∴ 0＜ ＜
＜1． ．
4．求下列各式的值 ． （１）sin
30° + cos 30°; （２） sin 45° + cos 45°; （３） sin 2 60° + cos 2 60°.
定义
在直角三角形中，锐角 的邻边与斜边的比叫 在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫 作角α的余弦 的余弦， 作角 的余弦， 记作 cosα，
角 α的邻边 cos α = . 斜边
根据上述过程看出：对于任意锐角 ， 根据上述过程看出：对于任意锐角α，有
cosα＝sin ( 90°-α )，sin α＝cos ( 90°− α )．