算法设计与分析王晓东

习题2-1 求下列函数的渐进表达式：

3n^2+10n; n^2/10+2n; 21+1/n; logn^3; 10 log3^n 。

解答：3n^2+10n=O(n^2),

n^2/10+2^n=O(2^n),

21+1/n=O(1),

logn^3=O(logn),

10log3^n=O(n).

习题2-3 照渐进阶从低到高的顺序排列以下表达式：n!，4n^2,logn,3^n,20n,2,n^2/3。

解答：照渐进阶从高到低的顺序为：n!、3^n、4n^2 、20n、n^2/3、logn、2

习题2-4

(1)假设某算法在输入规模为n时的计算时间为T(n)=3*2^n。在某台计算机上实现并完成该算法的时间为t秒。现有另外一台计算机，其运行速度为第一台计算机的64倍，那么在这台新机器上用同一算法在t秒内能解输入规模为多大的问题？

(2)若上述算法的计算时间改进为T(n)=n^2，其余条件不变，则在新机器上用t秒时间能解输入规模多大的问题？

(3)若上述算法的计算时间进一步改进为,其余条件不变，那么在新机器上用t秒时间能解输入规模多大的问题？

解答：(1)设能解输入规模为n1的问题，则t=3*2^n=3*2^n/64,解得n1=n+6

(2)n1^2=64n^2得到n1=8n

(3)由于T（n)=常数，因此算法可解任意规模的问题。

习题2-5 XYZ公司宣称他们最新研制的微处理器运行速度为其竞争对手ABC公司同类产品的100倍。对于计算复杂性分别为n，n^2，n^3和n!的各算法，若用ABC公司的计算机能在1小时内能解输入规模为n的问题，那么用XYZ公司的计算机在1小时内分别能解输入规模为多大的问题？

解答：n'=100n

n'^2=100n^2得到n'=10n

n'^3=100n^3得到n'=4.64n

n'!=100n!得到n'

习题2-6对于下列各组函数f(n)和g(n)，确定f(n)=O(g(n))或f(n)=Ω(g(n))或f(n)=θ（g(n)），并简述理由。

解答：（1）f(n)=logn^2;g(n)=logn+5. logn^2=θ（logn+5）

(2)f(n)=logn^2;g(n)=根号n. logn^2=O(根号n)

(3)f(n)=n;g(n)=(logn)^2. n=Ω(（logn）^2)

(4)f(n)=nlogn+n;g(n)=logn. nlogn+n=Ω（logn）

(5)f(n)=10;g(n)=log10. 10=θ(log10)

(6)f(n)=(logn)^2;g(n)=logn. (logn)^2=Ω（logn）

(7)f(n)=2^n;g(n)=100n^2. 2^n=Ω（100n^2）

(8)f(n)=2^n;g(n)=3^n. 2^n=O(3^n)

习题2-7 证明：如果一个算法在平均情况下的计算时间复杂性为θ（f(n)），则该算法在最坏情况下所需的计算时间为Ω（f(n)）。

证明：Tavg(N)=IeDn∑P(I)T(N,I)

≤IeDn∑P(I)IeDnmaxT(N,I')

=T(N,I*)IeDn∑P(I)

=T(N,I*)=Tmax(N)

因此，Tmax(N)=Ω（Tavg(N)）=Ω（θ(f(n))）=Ω（f(n)）

习题2-8 求解下列递归方程：

So=0;

Sn=2Sn-1+2^n-1.

解答： 1应用零化子化为齐次方程，

2解此齐次方程的特征方程，

3由特征根构造一般解，

4再由初始条件确定待定系数，得到解为：Sn=(n-1)2^n+1

习题2-9 求解下列递归方程

Ho=2;

H1=8;

Hn=4Hn-1-4Hn-2.

解：Hn=2^(n+1)(n+1)

第三章递归与分治策略

习题3-1 下面的7个算法都是解决二分搜索问题的算法。请判断这7个算法的正确性。如果算法不正确，请说明产生错误的原因。如果算法正确，请给出算法的正确性证明。

public static int binarySearch1(int []a,int x,int n)

{

int left=0; int right =n-1;

while (left<=right) {

int middle = ( left + right )/2;

if ( x == a[middle]) return middle;

if ( x> a[middle]) left = middle;

else right = middle;

return -1;

}

public static int binarySearch2(int []a, int x, int n)

{

int left = 0; int right = n-1;

while ( left < right-1 ) {

int middle = ( left + right )/2;

if ( x < a[middle]) right = middle;

else left = middle;

}

if (x == a[left]) return left;

else return -1

}

public static int binarySearch3(int []a, int x, int n) {

int left = 0; int right = n-1;

while ( left +1 != right) {

int middle = ( left + right)/2;

if ( x>= a[middle]) left = middle;

else right = middle;

}

if ( x == a[left]) return left ;

else return -1;

}

public static int binarySearch4(int []a, int x, int n) {

if (n>0 && x>= a[0]) {

int left = 0; int right = n-1;

while (left < right ) {

int middle = (left + right )/2;

if ( x < a[middle]) right = middle -1 ;

else left = middle;

}

if ( x == a[left]) return left;

}

return -1;

}

public static int binarySearch5(int []a, int x, int n) {

if ( n>0 && x >= a[0] ) {

int left = 0; int right = n-1;

while (left < right ) {

int middle = ( left + right +1)/2;

if ( x < a[middle]) right = middle -1;

else left = middle ;

}

if ( x == a[left]) return left;

}

return -1;

}

public static int binarySearch6(int []a, int x, int n) {

if ( n>0 && x>= a[0]) {

int left = 0; int right = n-1;

while ( left < right) {

int middle = (left + right +1)/2;