必修1第二章函数学业水平测试复习(二)题
新人教A版高中数学必修一 第二章一元二次函数、方程和不等式 拔高检测题 (2)
新人教A 版高中数学必修一 第二章一元二次函数、方程和不等式 拔高检测题 (2)一、单选题1．已知m ，n 是正实数，且1m n +=，则12m n+的最小值是（ ）. A．3 B．3+C ．92D ．52．已知正数a,b 满足ab ＝10,则a ＋b 的最小值是( ) A ．10B ．25C ．5D．3．设x ，y 均为负数，且1x y +=-，那么1xy xy+有（ ）. A ．最大值174-B ．最小值174-C ．最大值174D ．最小值1744．已知0a >，0b >，2a b A +=，B =2abC a b=+，则A ，B ，C 的大小关系为（ ）. A ．A B C ≤≤B ．AC B ≤≤C ．B C A ≤≤D ．C B A ≤≤5．若不等式a 2+b 2+2＞λ（a+b ）对任意正数a ，b 恒成立，实数λ的取值范围是（ ） A ．B ．（﹣∞，1）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，3）6．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( ) A ．若22ac bc >，则a b > B ．若0a b <<，则22a b < C ．若0a b >>，则11a b< D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd <7．已知a b c >>，下列不等关系一定成立的是（ ） A ．2ac b ab bc +>+ B ．2ab bc b ac +>+ C ．2ac bc c ab +>+ D ．22a bc b ab +>+8．已知,αβ满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，，则3αβ+的取值范围是( )A ．137αβ≤+≤B ．313αβ+-5≤≤C ．37αβ+-5≤≤D ．1313αβ+≤≤ 9．若0x y <<，则下列不等式不成立的是（ ） A ．2211x y -<- B ．()22*nn xy n <∈NC ．()2121*n n xyn ++<∈ND ．11y x x>- 10．已知“1a >且1b >”，则与此判断等价的是（ ） A ．2a b +>且1ab > B ．2a >且0b > C ．0a >且0b >D ．10a ->且10b ->11．若不等式212x mx x m ++>+对满足2m <的所有实数m 恒成立，则实数x 的取值范围是（） A ．22x -<< B ．3x ≥C ．1x ≤D ．1x ≤-或3x ≥12．若关于x 的不等式23ax -＜的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =（ ） A ．2- B ．2 C ．3D ．3-二、填空题13．如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）．若15,25,30AB m AC m BCM ==∠=︒，则tan θ的最大值为_______．14．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1＝b 1>0，a 3＝b 3>0，a 1≠a 3，则a 5与b 5的大小关系为________． 15．已知-13a b <+<，且24a b <-<，那么23a b +的取值范围是_________. 16．有下列四个命题：①若“1xy=,则,x y 互为倒数的逆命题；②面积相等的三角形全等的否命题；③“若m 1≥,则2x 2x m 0-+=有实数解”的逆否命题；④“若A B A =,则A B ⊆”的逆否命题.其中真命题为_____17．设,a b 为正实数，则下列结论：①若221a b -=，则1a b -<；②若111b a-=，则1a b -<；1=，则1a b -<；④若1,1a b ≤≤，则1a b ab -<-.其中正确的有______．18．设直线l ：a 2x ＋4y －a ＝0(a ＞0)，当此直线在x ，y 轴上的截距之和最小时，直线l 的方程为________．三、解答题19．设矩形ABCD （其中AB BC >）的周长为24，如图所示，把它沿对角线AC 对折后，AB 交DC 于点P .设AB x =，求ADP △的最大面积.20．设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线，周长是2L .回答下面的问题：（1）当封闭曲线为平行四边形时，用直径为L 的圆形纸片是否能完全覆盖这个平行四边形？请说明理由.（2）求证：当封闭曲线是四边形时，正方形的面积最大. 21．关于x 的方程2(1)430m x x m -+--=. (1)求证:方程总有实根.(2)若方程的解集中只含有正整数,求整数m 的值.22．已知函数2*()2,(,)f x ax x c a c N =++∈满足①(1)5f =；②6(2)11f <<．(1)求函数()f x 的解析表达式；（2）若对任意[]1,2x ∈，都有()21f x mx -≥成立，求实数m 的取值范围．23．在一个限速40km /h 的弯道上，甲.乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .又知甲，乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km /h 之间分别有如下关系：20.10.01s x x =+甲，20.050.005s x x =+乙.问超速行驶谁应负主要责任?24．为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y （单位：件）与销售单价x （单位：元）之间的关系近似满足一次函数：10500y x =-+．（1）设他每月获得的利润为w （单位：元），写出他每月获得的利润w 与销售单价x 的函数关系． （2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果他想要每月获得的利润不少于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？25．已知命题p ：{}12x x x ∀∈<≤≤，2210x ax -+>恒成立；命题q ：x ∃∈R ，()2110x a x +-+<.（1）若p 是真命题，求a 的取值范围； （2）若p 、q 一真一假，求a 的取值范围. 26．关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0，求a 为何值时： (1)方程一根大于1，一根小于1；(2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内； (3)方程的两个根都大于零？参考答案1．B 【解析】 【分析】由题意将所给的代数式进行恒等变形，然后结合均值不等式的结论即可求得最小值. 【详解】 由题意可得：()12122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当12m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩时等号成立.据此可得12m n+的最小值是3+故选：B . 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，“1”的灵活巧妙应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．D 【解析】 【分析】根据基本不等式求最值，即得结果. 【详解】a b +≥=a b ==D .【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．D 【解析】 【分析】设a x =-，b y =-，由题意结合均值不等式可得ab 的取值范围，然后结合函数1y x x=+的图像即可确定1xy xy+的性质与最值.【详解】设a x =-，b y =-，则0a >，0b >.由1a b +=≥14ab ≤. 由函数1y x x =+的图像得，当104ab <≤时，1ab ab +在14ab =处取得最小值， 11117444xy ab xy ab ∴+=++=≥，当且仅当12x y ==-时取等号成立. 综上可得，1xy xy +有最小值174. 故选：D .【点睛】本题主要考查对勾函数的应用，基本不等式求最值的方法，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．D 【解析】 【分析】由题意结合均值不等式可比较AB 的大小，然后结合不等式的性质比较BC 的大小即可. 【详解】由于0a >，0b >，故a b +≥，则2a b+≥，即A B ≥，结合02a b +<≤2a b≥+，两边乘以ab 2ab a b ≥+，即B C ≥.据此可得：C B A ≤≤. 故选：D . 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
人教版高中数学选择性必修第一册第二章测试题及答案解析
人教版高中数学选择性必修第一册第二章测试题及答案解析一、测试题1. 解方程：$3(x+1)-2(x-2) = 4(x-1)+6$解：首先，将方程两边的括号展开，得到：$3x+3-2x+4 = 4x-4+6$然后，合并同类项，得到：$x+7=4x+2$接下来，移项，将未知数x的项移到等式的一边：$x-4x = 2-7$化简得：$-3x = -5$最后，将方程两边同时除以-3，得到最终结果：$x = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3}$2. 计算：$\sqrt{24} \cdot \sqrt{\frac{8}{3}}$解：首先，对根号内的数进行因式分解，得到：$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{1 \cdot 3}}$然后，利用根号乘法法则，将两个根号内的因子合并，得到：$2 \sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$接下来，化简分数并移动根号，得到：$2\sqrt{6} \cdot\frac{2}{\sqrt{3}} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$化简根号内的分数，得到最终结果：$4\sqrt{2}$3. 求函数$f(x)=2x^2-5$的图像在坐标系上关于x轴对称的点的坐标。
解：首先，关于x轴对称的点的特点是，其横坐标不变，纵坐标相反。
即，对于点P(x,y)，其关于x轴对称的点为P'(x,-y)。
对于函数$f(x)=2x^2-5$来说，我们需要求出函数图像上的点，然后对其进行关于x轴的对称操作。
例如，当$x=1$时，$f(1) = 2(1)^2-5 = -3$，即点P(1,-3)。
在坐标系上，找到点P(1,-3)，将其关于x轴对称，得到点P'(1,3)。
因此，函数$f(x)=2x^2-5$的图像在坐标系上关于x轴对称的点的坐标为P'(1,3)。
高一北师大版数学必修1第二章 函数单元测试题试卷含答案解析
阶段性检测卷二(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0} D ．{x |0≤x ≤1}答案 D2．已知(x ，y )在映射f 作用下的像是(x ＋y ，x －y )，则(1,2)关于f 的原像是( )A ．(1,2)B ．(3，－1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝2.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－12.故选C.答案 C3．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13答案 A4．下列函数中，是同一函数的是( ) A ．y ＝(x －1)0与y ＝1 B ．y ＝x 与y ＝xC ．y ＝|x |与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0－x ，x <0D ．y ＝x 2与y ＝(x －1)2解析 A 中y ＝(x －1)0的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠1}，y ＝1的定义域为R ，定义域不同，故不是同一函数；B 中y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，y ＝x 的定义域为R ，定义域不同，故不是同一函数，D 中的对应法则不同．答案 C5．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析 由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，故函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. 答案 B6．若在[1，＋∞)上，函数y ＝(a －1)x 2＋1与y ＝ax 均单调递减，则a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a >1C ．0≤a ≤1D ．0<a <1解析 显然a ≠1，且a ≠0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a >0，得0<a <1.答案 D7．设f (x )是定义在R 上的增函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋1)<f (2a )D ．f (a 2＋1)>f (a )解析 ∵a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0∴a 2＋1>a ，由函数的单调性可知f (a 2＋1)>f (a )．答案 D8．函数y ＝x 53的图像大致是下图中的( )解析 y ＝x 53为奇函数，定义域为R ，且53>1，∴x >0时图像是下凸的，故选B.答案 B9．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析 由已知f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (3)<f (－2)<f (1)，故选A.答案 A10．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增加的，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．[13，23)B ．(13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)解析 作出示意图可知：f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇒－13<2x －1<13，即13<x <23，故选B.答案 B二、填空题(本大题共5小题，每题5分，共25分．将答案填在题中横线上．)11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≤2)，2x(x >2)，)则f (－4)＝________，若f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析 f (－4)＝(－4)2＋2＝18，由f (x 0)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≤2，x 20＋2＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0>2，2x 0＝8，得x 0＝－6，或x 0＝4. 答案 18 －6或4 12．函数y ＝(m 2－m －1)·xm 2－2m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则m ＝________.解析 由题意得m 2－m －1＝1，得m ＝2，或m ＝－1，当m ＝－1时，y ＝x 0不合题意，当m ＝2时，y ＝x －3，符合题意．答案 213．将y ＝1x 的图像沿x 轴向右平移1个单位，再向上平移两个单位得到的函数的解析式为________．答案 f (x )＝2x －1x －114．函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在(－∞，－1]上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增，则实数m ＝________.解析 由于f (x )在(－∞，－1]上单调递减，在[－1，＋∞)上单调递增，知f (x )的对称轴为x ＝－1，即－m ＝－1得m ＝1.答案 115．函数y ＝x 2－2x ＋5，在x ∈[1,2]上的最大值是________，最小值是________．解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＋5在[1,2]上单调递增，∴当x ＝1时，y min ＝1－2＋5＝4，当x ＝2时，y max ＝4－4＋5＝5.答案 5 4三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16．(12分)求函数f (x )＝3x ＋1x 2－x －2的定义域．解 欲使该函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1≥0，x 2－x －2≠0，得⎩⎨⎧x ≥－13，x ≠－1且x ≠2，即x ≥－13，且x ≠2.∴该函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，2∪(2，＋∞)．17．(12分)已知幂函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f (x )的解析式．解 由题意得－2m 2＋m ＋3>0，得－1<m <32， 又m ∈Z ，m ＝0，或m ＝1，又f (x )为偶函数， ∴m ＝1，f (x )＝x 2.18．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，(1)若对于任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，求实数a 的值；(2)若f (x )为偶函数，求a 的值． 解 (1)∵f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )关于x ＝1对称，∴－a2＝1， ∴a ＝－2.(2)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴x 2－ax ＋b ＝x 2＋ax ＋b ， ∴a ＝0.19．(13分)如图所示，函数的图像是由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．解 设左侧射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (x ≤1)， ∵(1,1)，(0,2)在射线上．∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1，b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.∴x ≤1时，f (x )＝－x ＋2.设右侧射线对应的解析式为y ＝k 1x ＋b 1(x ≥3)，∵(3,1)，(4,2)在射线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k 1＋b 1＝1，4k 1＋b 1＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，b 1＝－2.∴当x ≥3时，f (x )＝x －2. 设1≤x ≤3时f (x )＝a (x －2)2＋2，将(1,1)代入上式得a ＝－1.∴当1≤x ≤3时，f (x )＝－(x －2)2＋2＝－x 2＋4x －2. 综上得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x <1，－x 2＋4x －2，1≤x ≤3，x －2，x >3.20．(13分)求函数f (x )＝(4－3a )x 2－2x ＋a 在区间[0,1]上的最大值．解 (1)当4－3a ＝0，即a ＝43时，f (x )＝－2x ＋43在[0,1]上为减函数，∴f (x )max ＝f (0)＝43.(2)当a >43时，4－3a <0，开口向下，对称轴为x ＝14－3a <0，则二次函数在区间[0,1]上为减函数∴f (x )max ＝f (0)＝a .(3)当a <43时，4－3a >0，开口向上，对称轴为x ＝14－3a >0，①当0<14－3a ≤12时，即a ≤23时，f (x )max ＝f (1)＝2－2a ， ②当14－3a >12时，即23<a <43时，f (x )max ＝f (0)＝a ，综上所述，当a >23时，f (x )max ＝a ； 当a ≤23时，f (x )max ＝2－2a .21．(13分)已知函数f (x )＝ax ＋b1＋x 2是定义域为(－1,1)的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)求实数a ，b 的值．(2)判断f (x )在(－1,1)上的单调性，并用定义证明． (3)解不等式：f (t －1)＋f (t )<0.解(1)有⎩⎨⎧f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，解得a ＝1，b ＝0.(2)f (x )在(－1,1)上是增函数，证明如下：在(－1,1)上任取两数x 1和x 2且－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0， 故f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－1,1)上为增函数．(3)f (x )为奇函数，定义域为(－1,1)，由f (t －1)＋f (t )<0得f (t －1)<－f (t )＝f (－t )，∵f (x )在(－1,1)上为增函数， ∴－1<t －1<－t <1，解得0<t <12. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |0<t <12.。
第二章 函数 期末综合复习测评卷高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
第二章 函数 期末综合复习测评卷一、单选题 1．函数()g x =） A ．(2,0)(0,1)- B ．[2,0)(0,1]- C ．(1,0)(0,1]-⋃ D ．[1,0)(0,2]-⋃2．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，下列两个命题： ①若()f x 、()g x 都不是单调函数，则(())f g x 不是增函数． ①若()f x 、()g x 都是非奇非偶函数，则(())f g x 不是偶函数． 则（ ） A ．①①都正确B ．①正确①错误C ．①错误①正确D ．①①都错误3．设()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(4)f x f x =+，(1)1f =，则(1)(8)f f -+=（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．14．设函数17,0()20xx f x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨≥，若()1f a <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3)-∞-B ．(1,)+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞5．函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()21f =-，则满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围为（ ）A ．[]22-,B ．[]1,3-C ．[]1,3D ．[]1,1-6．函数y ＝331x x -的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．7．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1,81=，[]1,82-=-.下面说法错误的是（ ）A ．当[)0,1x ∈时，()f x x =；B ．函数()y f x =的值域是[)0,1；C ．函数()y f x =与函数14y x =的图象有4个交点；D ．方程()40f x x -=根的个数为7个.8．黎曼函数()R x 是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，()R x 在[]0,1上的定义为：当qx p =（p q >，且p ，q 为互质的正整数）时，()1R x p=；当0x =或1x =或x 为()0,1内的无理数时，()0R x =.已知a ，b ，[]0,1a b +∈，则（ ）注：p ，q 为互质的正整数()p q >，即qp为已约分的最简真分数. A ．()R x 的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．()()()R a b R a R b ⋅≥⋅C ．()()()R a b R a R b +≥+D ．以上选项都不对二、多选题9．函数()y f x =的图象如图所示，则（ ）A ．函数()f x 的定义域为[－4，4）B ．函数()f x 的值域为[)0,+∞C ．此函数在定义域内是增函数D ．对于任意的()5,∈+∞y ，都有唯一的自变量x 与之对应10．某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如图8-3-1所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ）A ．①反映建议（1）B ．①反映建议（1）C ．①反映建议（2）D ．①反映建议（2）11．有下列几个命题，其中正确的是（ ） A ．函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上是增函数 B ．函数y ＝11x +在(－∞，－1)①(－1，＋∞)上是减函数C ．函数y [－2，＋∞)D ．已知函数g (x )＝23,0(),0x x f x x ->⎧⎨<⎩是奇函数，则f (x )＝2x ＋312．对于定义在 R 上的函数()f x ，下列判断错误的有（ ）． A ．若()()22f f ->，则函数()f x 是 R 的单调增函数 B ．若()()22f f -≠，则函数()f x 不是偶函数 C ．若()00f =，则函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 在区间 (−∞，0]上是单调增函数，在区间 (0,+∞)上也是单调增函数，则()f x 是 R 上的单调增函数三、填空题 13．若函数()2743kx f x kx kx +=++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________ .14．已知函数()()3,01,0x x f x f x x ≤⎧=⎨->⎩，则56f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_______ 15．已知函数()f x x=()2g x x ，则()()f x g x +=_________. 16．已知偶函数()y f x =定义在(1,1)-上，且在(1,0]-上是单调增加的.若不等式(1)(31)f a f a -<-成立，则实数a 的取值范围是___________.四、解答题17．已知幂函数22()(22)m f x m m x +=+-，且在(0,)+∞上是减函数． （1）求()f x 的解析式；（2）若(3)(1)m m a a ->-，求a 的取值范围．18．已知函数11()1(0)2f x x x =-+>．（1）若0m n >>时，()()f m f n =，求11m n+的值； （2）若0m n >>时，函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，求所有,m n 值．19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+.（1）求出函数()f x 在R 上的解析式，并补出函数()f x 在y 轴右侧的图像； （2）①根据图像写出函数()f x 的单调递减区间；①若[]1,x m ∈-时函数()f x 的值域是[]1,1-，求m 的取值范围.20．已知函数f (x )＝221x x +.（1）求f (2)＋f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，f (3)＋f 13⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）由（1）中求得的结果，你发现f (x )与f 1x ⎛⎫⎪⎝⎭有什么关系？并证明你的发现.（3）求2f (1)＋f (2)＋f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (3)＋f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋f (2017)＋f 12017⎛⎫⎪⎝⎭＋f (2018)＋f 12018⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.21．已知函数2(1)(f x ax bx a b =++，均为实数)，x ∈R ， (),0()(),0f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩.（1）若(1)0f -=，且函数()f x 的值域为[0)+∞，，求()F x 的解析式； （2）在（1）的条件下，当2][2x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围； （3）设000mn m n a <+>>，，，且()f x 为偶函数，判断()()F m F n +是否大于零，并说明理由.22．已知函数()y x ϕ=的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是()()2a x a x b ϕϕ++-=．给定函数()61f x x x =-+． （1）求函数()f x 图象的对称中心；（2）判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性（只写出结论即可）；（3）已知函数()g x 的图象关于点()1,1对称，且当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+．若对任意[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =，求实数m 的取值范围．参考答案1．B 【分析】首先根据题中所给的函数解析式，结合偶次根式和分式的要求列出不等式组求得结果.【解析】由题意得2200x x x ⎧--+≥⎨≠⎩，即2200x x x ⎧+-≤⎨≠⎩，解得21x -≤≤且0x ≠，所以函数()g x =[2,0)(0,1]-， 故选：B. 2．D【解析】解：：当1,0()()0,0x f x g x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩，则(())f g x x =，故①不正确；当2()(1)f x x =+，()1g x x =-，则2(())f g x x =，故①不正确. ①①①都错误. 故选：D ． 3．B 【解析】解：()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0f =，满足()(4)f x f x =+，(8)(4)(0)0f f f ∴===，又(1)(1)1f f -=-=-，(1)(8)1f f ∴-+=-.故选：B. 【点睛】本题考查了利用奇偶性和周期性求函数值，属于基础题. 4．C 【分析】0a <时，()1f a <即1()712a-<，0a1<，分别求解即可．【解析】0a <时，()1f a <即1()712a-<，解得3a >-，所以30a -<<；0a1，解得01a <综上可得：31a -<< 故选：C ． 【点睛】本题考查分段函数解不等式问题，考查了分类讨论思想的应用，属基本题，难度不大． 5．B【分析】根据函数的奇偶性以及函数的单调性求出x 的范围即可． 【解析】解：因为()f x 为奇函数， 所以()()221f f -=-=，于是()111f x -≤-≤等价于()()()212f f x f ≤-≤-， 又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，212x ∴-≤-≤，13x ∴-≤≤．故选：B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查转化思想，属于中档题． 6．C【解析】由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)①(0，＋∞)，故排除A ；取x ＝－1，y ＝1113--＝32＞0，故再排除B ；当x→＋∞时，3x－1远远大于x 3的值且都为正，故331xx -→0且大于0，故排除D ，选C. 7．C 【分析】作出函数()[]f x x x =-的图像，结合图像可判断A ，B 均正确，再作出14y x =，14y x =的图像，结合方程的根与函数零点的关系，可判断C ，D 是否正确.【解析】解：作出函数()[]f x x x =-的图像如图所示，显然A ，B 均正确； 在同一坐标系内作函数14y x =的图像(坐标系内第一象限的射线部分)， 作出14y x =的图像(图像中的折线部分)，可以得到C 错误，D 正确. 故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的应用，考查了函数值域的求解，考查了函数的零点与方程的根.本题的关键是由题目条件，作出()[]f x x x =-的图像.本题的难点是作图时，临界点空心圆､实心圆的标定. 8．B 【分析】设q A x x p ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，（p q >，且p ，q 为互质的正整数） ，B ＝{x |x ＝0或x ＝1或x 是[0，1]上的无理数}，然后对A 选项，根据黎曼函数()R x 在[]0,1上的定义分析即可求解；对B 、C选项：分①a A ∈，b A ∈；①a B ∈，b B ∈；①a A b B ∈⎧⎨∈⎩或a Bb A ∈⎧⎨∈⎩分析讨论即可．【解析】解：设q A x x p ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，（p q >，且p ，q 为互质的正整数），B ＝{x |x ＝0或x ＝1或x 是[0，1]上的无理数}，对A 选项：由题意，()R x 的值域为1110,,,,,23p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，其中p 是大于等于2的正整数， 故选项A 错误； 对B 、C 选项：①当a A ∈，b A ∈，则()()()R a b R a R b +≤+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅； ①当a B ∈，b B ∈，则()()()R a b R a R b +=+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅＝0；①当a A b B ∈⎧⎨∈⎩或a B b A ∈⎧⎨∈⎩，则()()()R a b R a R b +≤+，()()()R a b R a R b ⋅≥⋅，所以选项B 正确，选项C 、D 错误， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数()R x 在[]0,1上的定义去分析. 9．BD 【分析】结合函数图象一一分析即可；【解析】解：由题图可知，函数()f x 的定义域为[][)4,01,4-⋃，故A 错误； 函数()f x 的值域为[)0,+∞，故B 正确； 函数()f x 在定义域内不单调，故C 错误；对于任意的()5,∈+∞y ，都有唯一的自变量x 与之对应，故D 正确． 故选：BD ．【分析】由于图象表示收支差额y 与乘客量x 的函数关系，因此需要正确理解图中直线的倾斜角及纵截距的含义.同时对于建议（1）（2）前后图象的变化，也可以理解为对原图象做平移或旋转得到新的图象【解析】对于建议（1）因为不改变车票价格，故建议后的图象（虚线）与目前的图象（实线）倾斜方向相同（即平行），由于减少支出费用，收支差变大，则纵截距变大，相当于将原图象向上平移即可得到，故①反映建议（1）；对于建议（2）因为不改变支出费用，则乘客量为0时前后的收支差是相等的，即前后图象纵截距相等，由于提高车票价格，故建议后的图象（虚线）比目前的图象（实线）的倾斜角大.相当于将原图象绕与y 轴的交点按逆时针旋转一定的角度得到的图象，故①反映建议（2）. 故选：AC. 11．AD 【分析】根据简单函数的单调性，复合函数的单调性，以及由函数奇偶性求函数解析式，即可容易判断和选择.【解析】由y ＝2x 2＋x ＋1＝2217()48x ++在1[,)4-+∞上递增知，函数y ＝2x 2＋x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，故A 正确； y ＝11x +在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上均是减函数， 但在(－∞，－1)①(－1，＋∞)上不是减函数， 如－2<0，但112101<-++故B 错误；y [),(5,)2,1--+∞上无意义， 从而在[－2，＋∞)上不是单调函数，故C 错误； 设x <0，则－x >0，g (－x )＝－2x －3，因为g (x )为奇函数，所以f (x )＝g (x )＝－g (－x )＝2x ＋3，故D 正确． 故选：AD . 【点睛】本题考查函数单调区间的求解，复合函数的单调性判断以及利用函数奇偶性求函数解析式，属中档题. 12．ACD利用单调性的定义及性质，奇偶函数定义进行判断即可.【解析】A 选项，由()()22f f ->，则()f x 在 R 上必定不是增函数； B 选项，正确；C 选项，()2f x x =，满足()00f =，但不是奇函数；D 选项，该函数为分段函数，在x =0 处，有可能会出现右侧比左侧低的情况，故错误． 故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的单调性的定义和性质，考查了函数奇偶性的性质，属于基础题. 13．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】分析可知，对任意的x ∈R ，2430kx kx ++≠恒成立，分0k =、0k ≠两种情况讨论，结合已知条件可求得实数k 的取值范围. 【解析】因为函数()2743kx f x kx kx +=++的定义域为R ，所以，对任意的x ∈R ，2430kx kx ++≠恒成立. ①当0k =时，则有30≠，合乎题意；①当0k ≠时，由题意可得216120k k ∆=-<，解得304k <<. 综上所述，实数k 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.14．12-【分析】利用函数()f x 的解析式可求得56f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【解析】因为()()3,01,0x x f x f x x ≤⎧=⎨->⎩，所以，511136662f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：12-.15．()0x x -> 【分析】求出函数()f x 、()g x 的定义域，将函数()f x 、()g x 解析式相加即可得解.【解析】函数()f x x =()2g x x =的定义域均为()0,∞+， 因此，()()()0f x g x x x +=->.故答案为：()0x x ->.16．1(0,)2【分析】由()y f x =在(1,0]-上为单调增，结合函数的奇偶性，可得()y f x =在[)0,1上为单调减，将(1)(31)f a f a -<-转化为131a a ->-，结合定义域，解不等式可得a 的取值范围. 【解析】偶函数()y f x =在(1,0]-上为单调增，∴()y f x =在[)0,1上为单调减，∴(1)(31)f a f a -<-等价于1311111311a a a a ⎧->-⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得：10202203a a a ⎧<<⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎩∴实数a 的取值范围是1(0,)2. 故答案为：1(0,)2. 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题,考查计算能力，属于中档题. 17．（1）()1f x x=；（2）{|23a a <<或1}a <． 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性建立条件关系即可得到结论，（2）令3()g x x -=，根据其单调性即可求解结论．【解析】解：（1）函数是幂函数，2221m m ∴+-=， 即2230m m +-=，解得1m =或3m =-，幂函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，20m ∴+<，即2m <-，3m ∴=-，（2）令3()g x x -=，因为()g x 的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，且在(,0)-∞和(0,)+∞上均为减函数，33(3)(1)a a --->-，310a a ∴-<-<或031a a <-<-或301a a ->>-，解得23a <<或1a <，故a 的取值范围为：{|23a a <<或1}a <．18．（1）2；（2）32m =，12n =． 【分析】（1）根据绝对值定义去掉绝对值，由()()f m f n =化简即可得出结果；（2）根据01n m <<≤，1m n >≥，01n m <<<三种情况去掉绝对值，根据函数的单调性，列出方程，计算求解即可得出结果.【解析】（1）因为()()f m f n =，所以11111122m n -+=-+ 所以1111m n -=-， 所以1111m n -=-或1111m n -=-，因为0m n >>，所以112m n+=． （2）1 当01n m <<≤时，11()2f x x =-在[],n m 上单调递减，因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，所以()()f n m f m n=⎧⎨=⎩，两式相减得1mn =不合，舍去． 2 当1m n >≥时，31()2f x x =-在[],n m 上单调递增，因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，所以()()f m m f n n =⎧⎨=⎩，无实数解. 3 当01n m <<<时，11,[,1],2()31,(1,],2x n x f x x m x⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩ 所以函数()f x 在[,1]n 上单调递减，在(]1,m 上单调递增．因为函数()f x 的定义域与值域均为[],n m ，所以1(1)2n f ==，13()22m f ==．综合所述，32m =，12n =． 【点睛】本题考查分段函数的单调性及值域问题，考查分类讨论的思想，属于中档题.19．（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩，图象答案见解析；（2）①减区间为：(),1-∞-和()1,+∞；①1m ⎡⎤∈⎣⎦.【分析】（1）由奇函数的定义求得解析式，根据对称性作出图象．（2）由图象的上升与下降得增减区间，解出方程221x x -+=-的正数解，可得结论．【解析】（1）当0x >，0x -<，则()()2222f x x x x x -=--=-因为()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即0x >时，()22f x x x =-+ 所以()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩， 图象如下：（2）如图可知，减区间为：(),1-∞-和()1,+∞()11f -=-，()11f =令22212101x x x x x -+=-⇒--=⇒==①1x >①1x =故由图可知1m ⎡⎤∈⎣⎦． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查图象的应用，由图象得单调区间，得函数值域．是我们学好数学的基本技能．20．（1）f （2）＋f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，f （3）＋f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1；（2）f (x )＋f 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1；证明见解析；（3）2018. 【分析】（1）根据函数解析式，代值计算即可；（2）观察（1）中所求()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合函数解析式，即可证明； （3）根据（2）中所求，两两配对，即可容易求得结果.【解析】（1）因为f (x )＝221x x +， 所以f （2）＋f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＝22212+＋2212112⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1 f （3）＋f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭＝22313+＋2213113⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1. （2）由（1）可发现f (x )＋f 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1.证明如下： f (x )＋f 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝221x x +＋22111x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＝221x x +＋211x +＝2211x x ++＝1，是定值. （3）由（2）知，f (x )＋f 1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1， 因为f （1）＋f （1）＝1，f （2）＋f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1， f （3）＋f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1， f (4)＋f 14⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1， …f (2018)＋f 12018⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，所以2f （1）＋f （2）＋f 12⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f （3）＋f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋f (2017)＋f 12017⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (2018)＋f 12018⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2018.【点睛】本题考查函数值的求解，注意观察，属基础题.21．（1）22(1),0()(1),0x x F x x x ⎧+>=⎨-+<⎩；（2）(][)26∞∞-，-，+；（3）大于零，理由见解析. 【分析】（1）由(1)0f -=，得10a b -+=及函数()f x 的值域为[0)+∞，，得240a b -=， 联立求解可得；（2）由222(2)()124()k k g x x --=++-，当2][2x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数，则222k -≤-或222k -≥得解； （3）()f x 为偶函数，则2()1f x ax =+，不妨设m n >，则0n <，由0m n +>，得0m n >->，则22m n >所以2222()()()()(1)(1)()0F m F n f m f n am an a m n +=-+-+=->＝得解【解析】（1）因为(1)0f -=，所以10a b -+= ①.又函数()f x 的值域为[0)+∞，，所以0a ≠. 由224()24b a b y a x a a-=++知2404a b a -=， 即240a b -=①.解①①，得12a b ==，. 所以22()21(1)f x x x x =++=+.所以22(1),0()(1),0x x F x x x ⎧+>=⎨-+<⎩； （2）由（1）得2222(2()())()21()124k k g x f x kx x k x x --=-=-=++-++ 因为当2][2x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数， 所以222k -≤-或222k -≥， 即2k ≤-或6k ≥，故实数k 的取值范围为(][)26∞∞-，-，+（3）大于零.理由如下：因为()f x 为偶函数，所以2()1f x ax =+，所以221,0()1,0ax x F x ax x ⎧+>=⎨--<⎩不妨设m n >，则0n <由0m n +>，得0m n >->所以22m n >又0a >，所以2222()()()()(1)(1)()0F m F n f m f n am an a m n +=-+-+=->＝，所以()()F m F n +大于零.【点睛】本题考查函数性质的应用，涉及分段函数解析式、函数的值域，单调性，奇偶性，属于基础题.22．（1）()1,1--；（2）()f x 在区间()0,∞+上为增函数；（3）[]2,4-.【分析】（1）根据题意可知，若函数()f x 关于点(),a b 中心对称，则()()2f a x f a x b ++-=， 然后利用()61f x x x =-+得出()f a x +与()f a x -，代入上式求解； （2）因为函数y x =及函数61y x =-+在()0,∞+上递增，所以函数()61f x x x =-+在()0,∞+上递增； （3）根据题意可知，若对任意[]10,2x ∈，总存在[]21,5x ∈，使得()()12g x f x =，则只需使函数()g x 在[]10,2x ∈上的值域为()f x 在[]21,5x ∈上的值域的子集，然后分类讨论求解函数()g x 的值域与函数()f x 的值域，根据集合间的包含关求解参数m 的取值范围．【解析】解：（1）设函数()f x 图象的对称中心为(),a b ，则()()20f a x f a x b ++--=． 即()()662011x a x a b x a x a +-+-+--=++-++， 整理得()()()()22161a b x a b a a -=-+-+，于是()()()()21610a b a b a a -=-+-+=，解得1a b ==-．所以()f x 的对称中心为()1,1--；（2）函数()f x 在()0,∞+上为增函数；（3）由已知，()g x 值域为()f x 值域的子集．由（2）知()f x 在[]1,5上单增，所以()f x 的值域为[]2,4-．于是原问题转化为()g x 在[]0,2上的值域[]2.4A ⊆-．①当02m ≤，即0m ≤时，()g x 在[]0,1单增，注意到()2g x x mx m =-+的图象恒过对称中心()1,1，可知()g x 在(]1,2上亦单增，所以()g x 在[]0,2上单增，又()0g m =，()()2202g g m =-=-，所以[],2A m m =-．因为[][],22,4m m -⊆-，所以224m m ≥-⎧⎨-≤⎩，解得20m -≤≤． ①当012m <<，即02m <<时，()g x 在0,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，,12m ⎛⎫ ⎪⎝⎭单增， 又()g x 过对称中心()1,1，所以()g x 在1,22m ⎛⎫- ⎪⎝⎭单增，2,22m ⎛⎤- ⎥⎝⎦单减； 此时()()min 2,,max 0,222m m A g g g g ⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎛⎫=-⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭． 欲使[]2,4A ⊆-，只需()()222022224g g m m m g m ⎧=-=-≥-⎪⎨⎛⎫=-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎩且()2042224224g m m m m g g m ⎧=≤⎪⎨⎛⎫⎛⎫-=-=-+≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解不等式得24m -≤，又02m <<，此时02m <<．①当12m ≥，即2m ≥时，()g x 在[]0,1单减，在(]1,2上亦单减， 由对称性，知()g x 在[]0,2上单减，于是[]2,A m m =-．因为[][]2,2,4m m -⊆-，所以224m m -≥-⎧⎨≤⎩,解得24m ≤≤． 综上，实数m 的取值范围为[]2,4-。
高中数学必修一第二章测试题(含答案)
高中数学必修一第二章测试题(2)一、选择题：1．已知p>q>1,0<a<1,则下列各式中正确的是（）A．qp aa>B．aa qp>C．qp aa-->D．aa qp-->2、已知(10)xf x=，则(5)f=（）A、510B、105C、lg10D、lg53．函数xyalog=当x>2 时恒有y>1，则a的取值范围是（）A．1221≠≤≤aa且B．02121≤<≤<aa或C．21≤<a D．211≤<≥aa或4．当a≠0时，函数y ax b=+和y b ax=的图象只可能是（）5、设1.50.90.4812314,8,2y y y-⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A、312y y y>>B、213y y y>>C、132y y y>>D、123y y y>>6．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝ln(x＋2) B．y＝－x＋1C．y＝⎝⎛⎭⎫12x D．y＝x＋1x7．若a<12，则化简4(2a－1)2的结果是()A.2a－1B．－2a－1C.1－2a D．－1－2a8．函数y＝lg x＋lg(5－3x)的定义域是()A．[0，53) B．[0，53]C．[1，53) D．[1，53]9．幂函数的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调递增区间是()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)10．函数y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为()A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．[4，＋∞) D．[3，＋∞)11．函数y＝a x－1a(a>0，且a≠1)的图象可能是()12．若0＜x＜y＜1，则()A．3y＜3x B．log x3＜log y3C．log4x＜log4y D．(14)x＜(14)y二、填空题13．函数f(x)＝a x－1＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是________．14．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．15．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是______．13．将函数x y 2=的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，作出C 2关于直线y =x 对称的图象C 3，则C 3的解析式为. 三、解答题 17．化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)2lg 2＋lg 31＋12 lg 0.36＋14lg 16.18．已知f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，当x ∈[－1，0]时，函数解析式f (x )＝14x －a2x (a ∈R )．(1)写出f (x )在[0,1]上的解析式； (2)求f (x )在[0,1]上的最大值． 19．已知x ＞1且x ≠43，f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，试比较f (x )与g (x )的大小． 20．已知函数f (x )＝2x －12|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 21．已知函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)．(1)若函数y ＝f (x )的图象经过P (3,4)点，求a 的值；(2)若f (lg a )＝100，求a 的值；(3)比较f ⎝⎛⎭⎫lg 1100与f (－2.1)的大小，并写出比较过程． 22．已知f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x.(1)求证f (x )是定义域内的增函数； (2)求f (x )的值域．答案一. 选择题1—5.BDAAC 6—10.ACCCC 11—12.DC 二.填空题13．(1,4)14.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞15．(－1,0)∪(1，＋∞)16.1)1(log 2--=x y17．解 (1)原式＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫641 00015－5223－⎝⎛⎭⎫27813－1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫410315×⎝⎛⎭⎫－52×23－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32313－1＝52－32－1＝0. (2)原式＝2lg 2＋lg 31＋12lg 0.62＋14lg 24＝2lg 2＋lg 31＋lg 2×310＋lg 2＝2lg 2＋lg 31＋lg 2＋lg 3－lg 10＋lg 2＝2lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3＝1. 18．解 (1)∵f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，且f (x )在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0，即f (0)＝140－a20＝1－a ＝0.∴a ＝1.设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]． ∴f (－x )＝14－x －12－x ＝4x －2x .又∵f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝4x －2x . ∴f (x )＝2x －4x .(2)当x ∈[0,1]，f (x )＝2x －4x ＝2x －(2x )2， ∴设t ＝2x (t ＞0)，则f (t )＝t －t 2. ∵x ∈[0,1]，∴t ∈[1,2]．当t ＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0.19．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝1＋log x 34＝log x 34x ，当1＜x ＜43时，34x ＜1，∴log x 34x ＜0；当x ＞43时，34x ＞1，∴log x 34x ＞0.即当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＞43时，f (x )＞g (x )．20．解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x .由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2·2x －1＝0，解得2x ＝1±2.∵2x＞0，∴x ＝log 2(1＋2)． (2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)． ∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)． ∵t ∈[1,2]，∴－(1＋22t )∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)． ∴lg a lg a －1＝2(或lg a －1＝log a 100)． 21．解 (1)∵函数y ＝f (x )的图象经过P (3,4)，∴a3－1＝4，即a 2＝4.又a >0，所以a ＝2.(2)由f (lg a )＝100知，a lg a －1＝100. ∴(lg a －1)·lg a ＝2. ∴lg 2a －lg a －2＝0, ∴lg a ＝－1或lg a ＝2， ∴a ＝110或a ＝100.(3)当a >1时，f ⎝⎛⎭⎫lg 1100>f (－2.1)； 当0<a <1时，f ⎝⎛⎭⎫lg 1100<f (－2.1)． 因为，f ⎝⎛⎭⎫lg 1100＝f (－2)＝a －3， f (－2.1)＝a－3.1，当a >1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上为增函数，∵－3>－3.1，∴a －3>a－3.1.即f ⎝⎛⎭⎫lg 1100>f (－2.1)； 当0<a <1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上为减函数， ∵－3>－3.1，∴a －3<a－3.1，即f ⎝⎛⎭⎫lg 1100<f (－2.1)． 22．(1)证明 因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝10－x －10x 10－x ＋10x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝102x －1102x ＋1＝1－2102x ＋1. 令x 2＞x 1，则 f (x 2)－f (x 1)＝(1－2102x 2＋1)－(1－2102x 1＋1)＝2·102x 2－102x 1(102x 2＋1)(102x 1＋1).因为y ＝10x 为R 上的增函数， 所以当x 2＞x 1时，102x 2－102x 1＞0.又因为102x 1＋1＞0,102x 2＋1＞0. 故当x 2＞x 1时，f (x 2)－f (x 1)＞0， 即f (x 2)＞f (x 1)． 所以f (x )是增函数．(2)解 令y ＝f (x )．由y ＝102x －1102x ＋1，解得102x ＝1＋y1－y.因为102x ＞0，所以－1＜y ＜1. 即f (x )的值域为(－1,1)．。
(常考题)北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数()1,0112,12x x x f x x +≤<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，若0a b >≥，()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是（ ）A ．3,24⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]1,2D ．3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．已知函数()32f x x =-，2()2g x x x =-，(),()()()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩，则（ ）A ．()F x 的最大值为3，最小值为1B ．()F x的最大值为2 C ．()F x的最大值为7- D ．()F x 的最大值为3，最小值为-13．已知函数()y f x =是定义在R 上的单调函数，()0,2A ，()2,2B -是其函数图像上的两点，则不等式()12f x ->的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()(),31,-∞-⋃+∞ C ．()1,1-D ．()(),13,-∞+∞4．已知函数(2)f x 的定义域为3(0,)2，则函数(13)f x -的定义域是（ ） A ．21(,)33-B ．11(,)63-C ．(0,3)D ．7(,1)2-5．已知函数()3221xf x x =-+，且()()20f a f b ++<，则（ ） A ．0a b +<B ．0a b +>C ．10a b -+>D ．20a b ++<6．设二次函数2()()f x x bx b =+∈R ，若函数()f x 与函数(())f f x 有相同的最小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞B ．(,0]-∞C ．(,0][2,)-∞+∞D ．[2,)+∞7．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)0f -=，则()0f x x<的解集是（ ）A ．{2002}xx x -<<<<∣或 B ．{22}xx x <->∣或 C ．{202}xx x <-<<∣或 D ．{202}xx x -<<>∣或 8．若函数()f x =的值域为0,，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,4 B ．()(),14,-∞⋃+∞C ．(][)0,14,+∞ D ．[][)0,14,+∞9．已知定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x ≥时，22()f x x a a =--，若对任意实数x 有()()f x a f x -≤成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．)1,4⎡+∞⎢⎣B ．)1,2⎡+∞⎢⎣C ．(10,4⎤⎥⎦D ．(10,2⎤⎥⎦10．已知函数f x （）满足当4x ≥时，f x （）=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭；当4x <时，1f x f x =+（）（），则22log 3f +（）=A ．124 B ．112C ．18D ．3811．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 12．若函数()()12311ax f x x a x x ⎧>⎪=⎨⎪-+≤⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题13．已知1()1x f x x +=-，则135199()()()()100100100100f f f f ++++=______________14．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．15．函数2()23||f x x x =-的单调递减区间是________．16．若()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x = 在区间()0,6内的解的个数的最小值是__________ .17．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________. 18．如图，是某个函数的图象，则该函数的解析式y =__________；19．已知函数()1f x x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若[]11,2x ∀∈，[]21,1x ∃∈-，使()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是______.20．已知(6)4,(1)(),(1)a x a x f x ax x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题21．已知二次函数()2(f x ax bx c a R =++∈且2a >-），(1)1f =，且对任意的x ∈R ，(5)(3)f x f x -+=-均成立，且方程()42f x x =-有唯一实数解.（1）求()f x 的解析式；（2）若当(10,)x ∈+∞时，不等式()2160f x kx k +--<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）是否存在区间[],()m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域恰好为[]6,6m n ？若存在，请求出区间[],m n ，若不存在，请说明理由.22．已知函数()y f x =是[]1,1-上的奇函数，当10x ≤<时，()2112x f x x =-+. （1）判断并证明()y f x =在[)1,0-上的单调性； （2）求()y f x =的值域.23．已知函数f （x ）=x 2＋(1－x )·|x －a |. （1）若a ＝0，解不等式f （x ）>3；（2）若函数f （x ）在[2a ，a ＋2]上的最小值为g （a ），求g （a ）的解析式． 24．已知函数()y f x =的定义域为D ，若存在区间[],a b D ⊆，使得()[]{}[],,,y y f x x a b a b =∈=，则称区间[],a b 为函数()y f x =的“和谐区间”.（1）请直接写出函数()3f x x =的所有的“和谐区间”；（2）若[]()0,0m m >为函数()312f x x =-的一个“和谐区间”，求m 的值；（3）求函数()22f x x x =-的所有的“和谐区间”.25．已知函数()bf x ax x=+的是定义在()0,∞+上的函数，且图象经过点()1,1A ，()2,1B -.（1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：函数()f x 在()0,∞+上是减函数； （3）求函数()f x 在[]2,5的最大值和最小值. 26．已知二次函数2()23=-+f x x x ．（Ⅰ）求函数()2log 2y f x =+，1,44x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的值域；（Ⅱ）若对任意互不相同的21,(2,4)x x ∈，都有()()1212f x f x k x x -<-成立，求实数k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由()f x 在每一段上单调递增可知01b a ≤<≤，由()f x 每一段上的值域可知()3,22f b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，进一步确定112b ≤<，由()()()1bf a bf b b b ==+，根据二次函数的值域得到结果. 【详解】()f x 在[)0,1和[)1,+∞上单调递增，∴由()()f a f b =得：01b a ≤<≤，当[)0,1x ∈时，()[)1,2f x ∈；当[)1,x ∈+∞时，()3,2f x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，若()()f a f b =，则()3,22f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，即()31,22f b b ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭，解得：112b ≤<， ()()()2211124bf a bf b b b b b b ⎛⎫==+=+=+- ⎪⎝⎭，∴当112b ≤<时，()3,24bf a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】易错点点睛：本题解题关键是能够将()bf a 转化为关于b 的函数，易错点是没有对b 的范围进行细化，造成函数值域求解错误.2．C解析：C 【分析】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，如图然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值． 由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值， 所以由232||2x x x -=-得27x =+或27x =-．结合函数图象可知当27x =-时，函数()F x 有最大值727-，无最小值． 故选：C ．【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数的图象，以及利用函数求最值，解答本题的关键是在同一坐标系中画出()f x 与()g x 的图象，根据图象得出函数的最值，由232||2x x x -=-得27x =27x =. 3．D解析：D 【分析】根据题意可得出(0)2,(2)2f f ==-，从而得出()f x 在R 上为减函数，从而根据不等式()12f x ->得，(1)(2)f x f -<或(1)(0)f x f ->，从而得出12x ->或10x -<，解出x 的范围解：由题意得(0)2,(2)2f f ==-， 因为函数()y f x =是定义在R 上的单调函数， 所以()f x 在R 上为减函数，由()12f x ->，得(1)2f x ->或(1)2f x -<-， 所以(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<， 所以10x -<或12x ->， 解得1x <或3x >，所以不等式()12f x ->的解集为()(),13,-∞+∞，故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查绝对值不等式的解法，解题的关键是把()12f x ->转化为(1)(0)f x f ->或(1)(2)f x f -<，再利用()f x 在R 上为减函数，得10x -<或12x ->，考查数学转化思想，属于中档题4．A解析：A 【分析】先求出函数()f x 的定义域(0,3)，再求出函数(13)f x -的定义域. 【详解】函数(2)f x 的定义域为3(0,)2，则302x <<，所以023x << 所以函数()f x 的定义域为(0,3)，则0133x <-<解得2133x -<< 函数(13)f x -的定义域为21(,)33- 故选:A 【点睛】对于抽象函数定义域的求解方法：(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出；(2)若已知函数()()f g x 的定义域为[]a b ，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的值域．5．A解析：A 【分析】求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解由函数单调性性质得：3y x =，21x y =+在R 上单调递增 所以()3221x f x x =-+在R 上单调递增， 令函数()()321121x x g x f x x -=+=-+，()()0g x g x +-=则函数()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，故()()20f a f b ++<()()g a g b ⇔<-0a b a b ⇔<-⇔+<． 故选:A 【点睛】构造奇函数利用单调性是解题关键.6．C解析：C 【分析】由于参数b 的不确定性，可进行分类讨论，再结合二次函数对称轴和最值特点求解即可. 【详解】当0b =时，()2f x x =，()[)0,f x ∈+∞，()()[)0,ff x ∈+∞，符合题意；当0b <时，22()24b f b x x ⎛⎫=+ ⎪⎝-⎭，对称轴为02b x =->，画出大致图像，令()t f x =，min 0t <，则()()()f f x f t =，[)min,t t∈+∞，显然能取到相同的最小值，符合；当0b >时，对称轴为b x 02=-<，()2min 24b b f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()t f x =，2,4b t ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，要使()f x 与函数()f t 有相同的最小值，则需满足：242b b -≤-，解得[2,)b ∈+∞综上所述，则b ∈（－∞，0］∪［2，＋∞） 故选：C. 【点睛】本题解题关键是对二次函数对称轴进行分类讨论，同时结合最值与对称轴的关系解决问题.7．A解析：A 【分析】 由()0f x x <对0x >或0x <进行讨论，把不等式()0f x x<转化为()0f x >或()0f x <的问题解决，根据()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)0f -=，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果． 【详解】 解：()f x 是R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，∴在(,0)-∞内()f x 也是增函数，又(2)0f -=，()20f ∴=，∴当(x ∈-∞，2)(0-⋃，2)时，()0f x <；当(2x ∈-，0)(2⋃，)+∞时，()0f x >；∴()0f x x<的解集是{|20x x -<<或02}x <<． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，解决此类问题的关键是理解奇偶函数在关于原点对称的区间的单调性，奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；8．D解析：D 【分析】 令22(2)1t mx m x =+-+()0,t ∈+∞()22(2)0,1mx m x +-++∞，记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，进而分0m =和0m ≠两种情况，分别讨论，可求出m 的取值范围. 【详解】 令22(2)1t mxm x =+-+，则1y t=的值域为0,，根据反比例函数的性质，可知()0,t ∈+∞，即()22(2)0,1mx m x +-+∈+∞， 记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，若0m =，则()41g x x =-+，其值域为R ，满足()0,A +∞⊆；若0m ≠，则00m >⎧⎨∆≥⎩，即()24240m m m >⎧⎪⎨--≥⎪⎩，解得4m ≥或01m <≤. 综上所述，实数m 的取值范围是[][)0,14,+∞.故选：D.9．C解析：C 【分析】由于22()f x x a a =--有绝对值，分情况考虑2x a ≥和2x a <，再由()y f x =是奇函数画出图象，再根据()()f x a f x -≤考虑图象平移结合图形可得答案. 【详解】由题得， 当0x ≥时，22()f x x a a =--，故写成分段函数222222,0(),x a a x a f x x a a x a ⎧-+-≤≤=⎨-->⎩，化简得222,0()2,x x a f x x a x a⎧-≤≤=⎨->⎩， 又()y f x =为奇函数，故可画出图像：又()f x a -可看出()y f x =往右平移a 个单位可得，若()()f x a f x -≤恒成立，则222(2)a a a ≥--，即24a a ≤，又a 为正数，故解得104a <≤. 故选：C . 【点睛】本题主要考查绝对值函数对分段函数的转换，图象的平移，属于中档题.10．A解析：A 【分析】根据232log 34<+<，()()222log 33log 3f f +=+可得，又有23log 34+> 知，符合4?x >时的解析式，代入即得结果.【详解】因为函数f x （）满足当4x ≥时，f x （）=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当4x <时，1f x f x =+（）（），所()()()()22222log 3log 121log 12log 24f f f f +==+=以=21log 242=124，故选A ． 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、对数的运算法则，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 123a--=，x 2=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜．综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；12．C解析：C 【分析】由函数是R 上的减函数，列出不等式，解出实数a 的取值范围． 【详解】因为()f x 是R 上的减函数，故023033a a a a>⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，故2334a <≤，故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查分段函数，属于中档题．二、填空题13．100【分析】分析得出得解【详解】∴故答案为：100【点睛】由函数解析式得到是定值是解题关键解析：100 【分析】分析得出(2)()2f x f x -+=得解. 【详解】1()1x f x x +=- 211211(2)()2f x f x x x x x -+∴-+=++=--- ∴135199()()()()100100100100f f f f ++++1199319799101[()()][()()][()()]100100100100100100f f f f f f =+++++ 250100=⨯=故答案为：100． 【点睛】由函数解析式得到(2)()2f x f x -+=是定值是解题关键.14．f(－3)>f(－π)【解析】由得是上的单调递增函数又解析：f (－3)>f (－π)由()()1212()[]0x x f x f x >－－ 得()f x 是R 上的单调递增函数，又3(3)()f f ππ>∴>－－，－－ ．15．【分析】讨论的符号去绝对值得到的分段函数形式根据其函数图象及对称轴即可确定单调递减区间【详解】函数图像如下图示可知的单调递减区间为故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调区间利用函数的图象及其对称性确解析：33(,],[0,]44-∞-【分析】讨论x 的符号去绝对值，得到()f x 的分段函数形式，根据其函数图象及对称轴，即可确定单调递减区间 【详解】函数22223,0()23||23,0x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨+<⎪⎩图像如下图示可知，()f x 的单调递减区间为33(,],[0,]44-∞- 故答案为：33(,],[0,]44-∞- 【点睛】本题考查了函数的单调区间，利用函数的图象及其对称性确定单调区间，属于简单题16．7【解析】由函数的周期为3可得因为若则可得出又根据为奇函数则又可得出又函数是定义在R 上的奇函数可得出从而在中令得出又根据是定义在R 上的奇函数得出从而得到即故从而共7个解解析：7由函数的周期为3可得(3)()f x f x +=,因为(2)0f =, 若(0,6)x ∈,则可得出(5)=(2)0f f =, 又根据()f x 为奇函数,则(-2)=-(2)0f f =, 又可得出(4)=(1)(-2)=0f f f =,又函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可得出(0)0f =, 从而(3)=(0)0f f =,在(3)()f x f x +=中, 令32x =-,得出33()()22f f -=,又根据()f x 是定义在R 上的奇函数,得出33()-()22f f -=, 从而得到33()-()22f f =,即3()02f =, 故933()(+3)()=0222f f f ==,从而93()()=(4)(1)(3)(5)(2)022f f f f f f f ======,共7个解.17．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8 【解析】∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a ＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．18．【分析】根据分段函数图象用待定系数法求解即可【详解】当时设函数为当时解得；当时设函数为当时时解得所以故答案为：【点睛】本题考查利用函数图象求解析式考查待定系数法是基础题解析：2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 【分析】根据分段函数图象，用待定系数法求解即可.当01x ≤<时，设函数为y kx =，当1x =时2y =，解得2k =； 当13x ≤≤时，设函数为y ax b =+， 当1x =时3y =，3x =时0y =，解得32a =-，92b =. 所以2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩. 故答案为：2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 【点睛】本题考查利用函数图象求解析式，考查待定系数法，是基础题.19．【分析】转化为可求得结果【详解】因为在上单调递增所以当时因为在上单调递减所以当时若使只要使即可即解得所以实数的取值范围为故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题可按如下规则转化：解析：3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】转化为()()12min min f x g x ≥可求得结果. 【详解】因为()f x 在[1,2]上单调递增， 所以当[]11,2x ∈时，()1522f x ≤≤， 因为()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[1,1]-上单调递减， 所以当[]21,1x ∈-时，()2122m g x m -≤≤-. 若[]11,2x ∀∈，[]21,1x ∃∈-，使()()12f x g x ≥， 只要使()()12min min f x g x ≥即可. 即122m -≤，解得32m ≥-，所以实数m 的取值范围为3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．20．【分析】根据分段函数的单调性在各个分段上递增且在衔接点处也要递增列式即可得解【详解】由是上的增函数则：解得故答案为：【点睛】本题考查了分段函数单调性问题考查了一次函数的单调性属于中档题求分段函数递增 解析：[1,6)【分析】根据分段函数的单调性，在各个分段上递增，且在衔接点处也要递增，列式即可得解. 【详解】由(6)4,(1)(),(1)a x a x f x ax x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数， 则：60065a a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩，解得16a ≤<，故答案为：[1,6). 【点睛】本题考查了分段函数单调性问题，考查了一次函数的单调性，属于中档题. 求分段函数递增（递减）要注意以下两点： （1）在各个分段上分别递增（递减）；（2）在衔接点处也要递增（递减），此处为易错点.三、解答题21．（1）()22f x x x =-+；（2）()12-∞，；（3）存在，所求区间为：[]4,0-. 【分析】（1）根据题意，用待定系数法，列方程组，求出解析式；（2）恒成立问题用分离参数法转化为求函数的最值，即可求实数k 的取值范围； （3）对于存在性问题，可先假设存在区间[],m n ，再利用二次函数的单调性，求出m 、n 的值，如果出现矛盾，说明假设不成立，即不存在. 【详解】（1）对于()2f x ax bx c =++，由(1)1f =得到：0a b c ++=①；∵对任意的x ∈R ，(5)(3)f x f x -+=-均成立，取x =3，得：(2)(0)f f = 即42=a b c c ++②又方程()42f x x =-有唯一实数解，得：()()2=2440b a c ∆+--=③①②③联立，解得：1,2,0a b c =-==（其中259a =-舍去） 所以()22f x x x =-+.（2）不等式不等式()2160f x kx k +--<可化为：不等式()22216k x x x -<-+∴当(10,)x ∈+∞时，不等式()2160f x kx k +--<恒成立，∴26()2161=22,21,20x x k x x x x -+<-++--∈+∞记()1622,2(10,)g x x x x -++=∈+∞-，只需()min k g x < 对于()16222g x x x =-++-在(10,)+∞上单调递增，∴()()min =10=12g x g ∴12k <，即k 的取值范围为()12-∞，. （3）假设存在区间[],()m n m n <符合题意。
高中数学必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》测试卷
2020-2021学年高中数学必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》测试卷解析版一．选择题（共8小题）1．已知正实数a ，b 满足a +b ＝2，则√a +1+√b +1的最大值为（ ）A ．2√2B ．4C ．4√2D ．16解：因为（√a +1+√b +1）2＝（a +1）（b +1）+2√a +1•√b +1≤（a +1）+（b +1）+（a +1）+（b +1）＝2（a +b +2）＝8，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，由：（√a +1+√b +1）2最大值为8，所以√a +1+√b +1的最大值为2√2．故选：A ．2．已知m ＝a +1a−2（a ＞2），n ＝4﹣b 2（b ≠0），则m ，n 之间的大小关系是（ ）A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．不确定 解：∵a ＞2，∴a ﹣2＞0，∴m =a +1a−2=(a −2)+1a−2+2≥2√(a −2)⋅1a−2+2=4，由b ≠0得，b 2＞0，∴n ＝4﹣b 2＜4，∴m ＞n ．故选：A ．3．若a ＞0，b ＞0，a +2b ＝1，则2a +3a+1b 的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．12D ．9 解：2a +3a+1b =2a+4b a +3a+a+2b b =4+4b a +4a b ≥4+2√4b a ×4a b =12．（当且仅当a ＝b时取“＝”）．故选：C ．4．不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣4，1），则不等式b （x 2+1）﹣a （x +3）+c ＞0的解集为（ ）A ．(−43，1)B ．(−1，43)C ．(−∞，−43)∪(1，+∞)D ．(−∞，−1)∪(43，+∞)解：不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为（﹣4，1），则不等式对应方程的实数根为﹣4和1，且a ＜0；由根与系数的关系知，{−4+1=−b a −4×1=c a ， ∴{b =3a c =−4a， ∴不等式b （x 2+1）﹣a （x +3）+c ＞0化为3a （x 2+1）﹣a （x +3）﹣4a ＞0，即3（x 2+1）﹣（x +3）﹣4＜0，解得﹣1＜x ＜43，∴该不等式的解集为（﹣1，43）． 故选：B ．5．已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的最小值为0，若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +4），则实数c 的值为（ ）A ．9B ．8C ．6D ．4解：f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴4b−a 24=0，∴b =a 24，∵f （x ）＜c 的解集为（m ，m +4），∴f （x ）﹣c ＝0的根为m ，m +4，即x 2+ax +a 24−c ＝0的根为m ，m +4， ∵（m +4﹣m ）2＝（﹣a ）2﹣4（a 24−c ），∴4c ＝16，c ＝4．故选：D ． 6．已知正实数p ，q ，r 满足：（1+p ）（1+q ）＝（1+r ）2，a =√pq ，b =p+q 2，c =√p 2+q 22，则以下不等式正确的是（ ）A ．r ≤aB ．a ≤r ≤bC ．b ≤r ≤cD ．r ≥c。
人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试题(有答案解析)(2)
一、选择题1．若对(0,)t ∀∈+∞，都有22(1)3x t x t+<+成立，则x 的取值范围是（ ） A ．()2,6-B ．(,3)(2,6)-∞--C ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞D ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞2．现有以下结论： ①函数1y x x=+的最小值是2； ②若a 、b R ∈且0ab >，则2b aa b+≥；③y =2；④函数()4230y x x x=-->的最小值为2-. 其中，正确的有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．33．已知a ，b 均为正数，且20a b ab +-=，则22124b a a b -+-的最大值为（ ）A ．9-B ．8-C ．7-D ．6-4．已知(1,0),(1,0)A B -，点M 是曲线x =上异于B 的任意一点，令,MAB MBA αβ∠=∠=，则下列式子中最大的是（ ）A ．|tan tan |αβ⋅B ．|tan tan |αβ+C ．|tan tan |αβ-D ．tan tan αβ5．小明从甲地到乙地前后半程的速度分别为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则下列不正确的是（ ）A ．a v <<B ．v <C 2a bv +<<D ．2abv a b=+ 6．若正数a ，b 满足1a >，1b >，且3a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．9D ．167．若直线220ax by +-=(),a b R +∈平分圆222460xy x y +---=，则21a b+的最小值是（ ）.A ．1B ．5C ．D ．3+8．若对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a ＞15 C ．a ＜15 D ．a ≤159．不等式28610x x -+<的解集为（ ） A ．11(,)42B ．11(,)(,)42-∞+∞ C ．11(,)34--D ．11(,)(,)34-∞--+∞ 10．已知1x >，则41x x +-的最小值为 A ．3B ．4C ．5D ．611．已知01a <<，1b >，则下列不等式中成立的是（ ）A ．4aba b a b+<+ B 2aba b<+C <D ．a b +12．已知3x >，13y x x =+-，则y 的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题13．若对(,1]x ∈-∞-时，不等式21()2()12xxm m --<恒成立，则实数m 的取值范围是____________.. 14．已知,x y R +∈，且1112x y+=，则x y +的最小值为________ 15．已知向量()2,1a y =-，(),3b x =，且a b ⊥，若x ，y 均为正数，则32x y+的最小值是______．16．已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4a +9b ，则a +b +c 的最小值为_____．17．已知实数0a >，0b >是8a 与2b 的等比中项，则62a b+的最小值是_________. 18．已知向量1a =，向量b 满足4a b a b -++=，则b 的最小值为______.19．函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________．20．已知正实数,x y 满足3x+y+=xy ，则x y +的最小值为__________．三、解答题21．已知0,0x y >>，且440x y +=. （1）求xy 的最大值；（2）求11x y+的最小值.22．已知不等式()()2330,ax a x b a b R +--<∈的解集为{}31A x x =-<<．（1）求实数a ，b 的值；（2）设()22()2ax bx f x x A x +-=∈-，当x 为何值时()f x 取得最大值，并求出其最大值．23．已知命题p ：方程240x mx ++=无实数根：命题q ：不等式()2310x m x +-+>在x ∈R 上恒成立.（1）如果命题p 是假命题，请求出实数m 的取值范围；（2）如果命题p q ∨为真命题，且命题p q ∧为假命题，请求出实数m 的取值范围.24．设m ∈R ，不等式()()231210mx m x m -+++>的解集记为集合P .（1）若{}12P x x =-<<，求m 的值； （2）当0m >时，求集合P .25．（理）已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >. （1）求实数a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式()()0ax b x c -->（c 为常数）.26．已知正数,,a b c 满足3a b c ++=. （Ⅰ）若221a b +=，求c 的取值范围； （Ⅱ）求证：3bc ac aba b c++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先利用基本不等式得到2(1)4t t +≥，再根据题意得到243x x <+，解不等式即可.【详解】令()2(1)t t t f +=，()0,t ∈+∞，()2)2(11t t f t t t==+++，因为()0,t ∈+∞，所以()1224f t t t=++≥=， 当1t t=即1t =时取等号，又因为(0,)t ∀∈+∞，都有22(1)3x t x t +<+，所以243x x <+即可.由243x x <+得()243033x x x x +-<++，即241203x x x --<+， ()()241230xx x --+<，所以()()()6230x x x -++<，解得3x <-或26x -<<. 故选：B. 【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．B解析：B 【分析】取0x <，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误. 【详解】对于①，当0x <时，10y x x=+<，①错误；对于②，若a ，b R ∈且0ab >，说明0b a >，0a b >，则2b a a b +≥=，当且仅当22a b =时取等号，显然成立，②正确；对于③，2y =≥=，=231x +=，显然这样的x 不存在，所以结论不正确，③错误；对于④，因为0x >，所以43x x+≥ 函数()4230y x x x=-->的最大值为2-，所以结论不正确，④错误. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．C解析：C 【分析】先利用条件化简222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，巧用“1”的代换证明42b a +≥，再证明222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，即得到2214b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+的取值范围，根据等号条件成立得到最值. 【详解】依题意，0,0a b >>，20a b ab +-=可知121a b+=，则222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，122224222b b b a a a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22b a a b=时，即2ba =时等号成立.22242b ba a ab ≥⋅⋅=+，当且仅当2b a =时，等号成立，则左右同时加上224b a +得，则222222442b b b a a ab a ⎛⎫≥+=⎛⎫+++ ⎪⎝⎝⎭⎭ ⎪，即222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，当且仅当2b a =时等号成立， 故2222428422b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥≥=+，当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立， 故2222121744b b a a a b ⎛⎫-+-=-≤- ⎪⎝⎭+当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立. 即22124b a a b -+-的最大值为7-. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于利用基本不等式证明的常用方法证明42b a +≥和222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，进而突破难点，取最值时要保证取等号条件成立.4．C解析：C 【分析】化简曲线为221(1)x y x -=≥，易知该曲线为双曲线，分别计算选项的取值范围，即可得答案； 【详解】设直线MA ，MB 的斜率分别为12,k k ，11(,)M x y ，则12tan ,tan k k αβ==-， 对A ，1111|tan tan |||111y yx x αβ⋅=⋅=+-； 对B ，C ，tan 0,tan 0αβ><，∴|tan tan |αβ->|tan tan |αβ+，1|tan tan ||tan |2tan αβαα-=+≥， 对D ，1k 小于双曲线渐近线的斜率，∴2tan tan 1tan ααβ=<， ∴|tan tan |αβ-最大，故选：C. 【点睛】通过将斜率转化为直线倾斜角的正切值，再结合基本不等式是求解的关键.5．C解析：C根据题意，求得v ，结合基本不等式即可比较大小. 【详解】设甲、乙两地之间的距离为2s ，则全程所需的时间为s s a b+， 22s abv s s a b a b∴==++，故D 正确；0b a >>2a b+<，2ab v a b ∴=<=+C 错误；又22222a b ab a b v a b a b +⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭=<=<++B 正确； 22220ab ab a a a v a a a b a b a b---=-=>=+++，v a ∴>，则a v <<A 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：由基本不等式可得22ab a b a b +≤≤≤+等式比较大小，属中档题.6．C解析：C 【分析】由等式3a b +=可以得到111a b -+-=，由1411a b +--乘以111a b -+-=所求得式子和基本不等式进行求解即可. 【详解】由3a b +=，可得111a b -+-=，10,10a b ->->，所以()141414(1)511111111a b a a b b a b a b --⎛⎫+=+=++ ⎪------⎝⎭-+-59≥+= 当且仅当12(1)b a -=-，即54,33b a ==时等号成立. 故选：C关键点点睛：本题注意观察待求式的分母，1,1a b --，结合已知条件，可变形为关于分母的式子111a b -+-=，这样就转化为“1”的常规技巧的应用.7．D解析：D 【分析】根据条件可知直线过圆心，求解出,a b 的关系式，利用常数代换法以及基本不等式求解出21a b +的最小值. 【详解】因为直线220ax by +-=(),a b R+∈平分圆222460xy x y +---=，所以直线220ax by +-=过圆心，又因为圆的方程()()221211x y -+-=，所以圆心为()1,2，所以222a b +=，即1a b +=，所以()21212333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+=++≥+=+ ⎪⎝⎭ 取等号时222a b =即a =，此时21a b ==，故选：D. 【点睛】本题考查圆的对称性与基本不等式的综合应用，其中涉及到利用常数代换法求解最小值，对学生的理解与计算能力要求较高，难度一般.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.8．A解析：A 【分析】由于x ＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x ，再求出左侧最大值即可求解. 【详解】由题：对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，即对于任意的x ＞0，不等式113ax x≤++恒成立，根据基本不等式：10,335x x x >++≥+=，当且仅当1x =时，取得等号， 所以113x x++的最大值为15，所以15a ≥. 故选：A【点睛】此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.9．A解析：A 【分析】运用因式分解法，化为一元一次不等式组，解不等式，求并集即可得到所求解集． 【详解】解：28610x x -+<即为(21)(41)0x x --<，即有210410x x ->⎧⎨-<⎩或210410x x -<⎧⎨->⎩，可得x ∈∅或1142x <<， 即解集为1(4，1)2，故选A ． 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．10．C解析：C 【分析】由1x >，得10x ->，则441111x x x x +=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【详解】由题意，因为1x >，则10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥=--， 当且仅当411x x -=-时，即3x =时取等号，所以41x x +-的最小值为5，故选C ． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．D解析：D【分析】本题先根据完全平方公式与基本不等式得到()22224a b a ab b ab +=++>，所以排除选项A2211aba b a b>=++，所以排除选项B ；接着根据基本>=，所以排除选项C ；最后根据基本不等式得到选项D 正确. 【详解】解：对于选项A ：因为01a <<，1b >，所以()22224a b a ab b ab +=++>，故选项A 错误；对于选项B 2211aba b a b>=++，故选项B 错误；对于选项C>=C 错误；对于选项D ：()22222222a b a ab b a b +>++=+， 所以a b +<，故选项D 正确. 故选：D . 【点评】本题考查基本不等式的应用、学生的运算能力和转换能力，是基础题.12．D解析：D 【分析】由3x >，得到30x ->，化简113333y x x x x =+=-++--，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为3x >，所以30x ->，则11333533y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当133x x -=-，即4x =时取等号， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理运算是解得的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】运用换元法参变分离法来求解不等式恒成立问题【详解】不等式转化为化简为令又则即恒成立令又当时取最小值所以恒成立化简得解不等式得故答案为：【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题在求解过程中 解析：()2,3-【分析】运用换元法,参变分离法来求解不等式恒成立问题.【详解】不等式()21212x xm m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭转化为2214x x m m +-<,化简为2211()22x x m m -<+， 令12xt =,又(],1x ∈-∞-,则[)2,t ∈+∞, 即22m m t t -<+恒成立，令2()f t t t =+，又[)2,t ∈+∞， 当2t =时，()f t 取最小值min ()(2)6f t f ==，所以，26m m -<恒成立,化简得260m m --<，解不等式得23m -<<.故答案为：()2,3-【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了参变分离法,注意题目中变量的取值范围.14．【分析】由条件可得利用均值不等式可得答案【详解】当且仅当即也即时取等号故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项必须为正数；（2）【分析】由条件可得()2112112x y x y x y x y y x ⎛⎫+=+=++⎪⎭+⎝+，利用均值不等式可得答案. 【详解】 ()11332122212x y x y y x x y x y ⎛⎫+=+=+++++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当2x y y x =，即x =，也即x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号.故答案为：32+ 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方15．8【分析】由题意利用两个向量垂直的性质基本不等式求得的最大值可得要求式子的最小值【详解】解：向量且若均为正数则当且仅当时取等号则故答案为：8【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质基本不等式的应用属于 解析：8【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，基本不等式，求得xy 的最大值，可得要求式子的最小值．【详解】 解：向量(2,1)a y =-，(,3)b x =，且a b ⊥，∴23(1)0a b x y =+-=．若x ，y 均为正数，则23326x y xy +=，38xy∴，当且仅当3232x y ==时，取等号． 则32233838y x x y xy ++==，故答案为：8．【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，基本不等式的应用，属于中档题．16．10【分析】由得出利用基本不等式即可得出答案【详解】（当且仅当时取等号）故答案为：10【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用属于中档题 解析：10【分析】由49abc a b =+得出94c a b=+，利用基本不等式即可得出答案. 【详解】 49abc a b =+4994a b c ab ab +∴==+9410a b c a b a b ++=+++≥=（当且仅当3,2a b ==时，取等号）故答案为：10【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.17．32【分析】由是与的等比中项求得化简结合基本不等式即可求解【详解】由题意实数是与的等比中项可得解得所以当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值以及等比 解析：32【分析】8a 与2b 的等比中项，求得31a b +=，化简626266()(3)20b a a b a b a b a b+=++=++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，实数0a >，0b >8a 与2b 的等比中项，可得23228a b a b +=⨯=，解得31a b +=，所以626266()(3)202032b a a b a b a b a b +=++=++≥+=， 当且仅当66b a a b +时，即14a b ==时，等号成立， 所以62a b+的最小值是32. 故答案为：32.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及等比中项公式的应用，其中解答中熟记等比中项公式，合理利用“1”的代换，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．【分析】根据平行四边形性质可得再结合基本不等式即可求出的最小值【详解】由平行四边形性质可得：由基本不等式可得：当且仅当时等号成立所以即所以所以的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的【分析】 根据平行四边形性质可得()22222a b a b a b++-=+，再结合基本不等式即可求出b 的最小值.【详解】 由平行四边形性质可得：()22222a b a b a b ++-=+，由基本不等式可得：()2222a b a b a b a b ++-++-≥，当且仅当a b a b +=-时等号成立， 所以()()22222a b ab a b ++-+≥，即()224212b +≥， 所以3b ≥，所以b 的最小值为.【点睛】 本题主要考查了向量的数量积的运算及基本不等式的应用，属于中档题.19．【分析】设将关于的函数利用基本不等式即可求出值域【详解】设当时当且仅当时等号成立；同理当时当且仅当时等号成立；所以函数的值域为故答案为:【点睛】本题考查函数的值域注意基本不等式的应用属于基础题解析：(),161667,⎡-∞-++∞⎣ 【分析】设6x t -=，将()f x 关于t 的函数，利用基本不等式，即可求出值域.【详解】设21663636,6,()16t t x t x t g t t t t++-==+==++， 当0t >时，()16g t ≥，当且仅当6t x ==时等号成立；同理当0t <时，()16g t ≤-，当且仅当6t x =-=-时等号成立；所以函数的值域为(),161667,⎡-∞-++∞⎣. 故答案为: (),161667,⎡-∞-++∞⎣. 【点睛】本题考查函数的值域，注意基本不等式的应用，属于基础题. 20．6【分析】由题得解不等式即得x+y 的最小值【详解】由题得所以所以所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去)所以x+y 的最小值为6当且仅当x=y=3时取等故答案为6【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考解析：6【分析】由题得2)34x y x+y+=xy +≤（，解不等式即得x+y 的最小值.【详解】 由题得2)34x y x+y+=xy +≤（, 所以2)4(x y x y +-+≥（）-120， 所以6)(2)0x y x y +-++≥（， 所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去)，所以x+y 的最小值为6.当且仅当x=y=3时取等.故答案为6【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无。
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必修1第二章函数学业水平测试复习（二）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，） 1．下列各组表示同一函数的是（ ） A ．2y x =与2()y x = B ． 2lg y x =与2lg y x =C ．1()1()y x x R y x x N =-∈=-∈与D ．vu x y 1111+=+=与 2．下列函数中是奇函数的是（ ）A.2()f x x =B.3()f x x =-C. ()=f x xD.()+1f x x = 3．设函数(1)23f x x +=+，则(2)f 的值为 A. 1 B. 3 C.5 D. 6 4．函数()34log 21-=x y 的定义域为 （ ）Ａ．（43,∞-） Ｂ．（1,∞-］ Ｃ．（43，1］ Ｄ．（43，1） 5．设集合{}|1A x y x ==-，{}|lg ,1100B y y x x ==≤≤则A B =（ ）A 、[]1,100B 、[]1,2C 、[]0,2D 、[)0,106．设函数121()3(0)2(),(0)xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩已知()1f a >，则实数a 的取值范围是（ ）Ａ．(2,1)- Ｂ．(,2)(1,)-∞-+∞ Ｃ．(1,)+∞Ｄ．(,1)(0,)-∞-+∞7．函数f(x)=12x x-的零点所在的区间是（ ） A ．（0，21） B ．（21，1） C ．（1，23） D ．（23，2）8．已知函数2()45f x x mx =-+在区间[2,)-+∞上是增函数，则m 的范围是 A. 16m ≤- B. 16m =- C. 16m ≥- D. 16m <-9．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则在R 上()f x 的表达式为A ．(2)x x -- B.(||2)x x - C.||(2)x x - D. ||(||2)x x -10．函数)0(322≤++=x x x y 的值域为 ( )A RB ),3[+∞C ),0[+∞D ),2[+∞11．如图，可表示函数()y f x =的函数图像的是12．已知函数3log ,(0)()1,(0)2x x x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则1()27f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=（ ） A 、 18- B 、18 C 、 8- D 、8二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在题中的横线上) 13．若函数()()212+-+=x k kx x f 是偶函数，则()x f 的递减区间是 .14．若2(1)2f x x x +=-，则()f x =______ 15．函数1()ln x f x x+=的定义域为 (答案用区间表示). 16．函数⎩⎨⎧≥<+=-2,22),2()(x x x f x f x，则)1(-f 的值为三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明或演算步骤）17．（12分）若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =.（1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[1,1]-上，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.18（1）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. （2）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值19： （1）写出此函数的定义域和值域；（2）证明函数在()0,+∞为单调递减函数； （3）试判断并证明函数(3)()y x f x =-的奇偶性.20 是定义域为)(1,1-上的奇函数，且 (1）求()f x 的解析式，(2)用定义证明：)(x f 在)(1,1-上是增函数，（3）若实数t 满足0)1()12(<-+-t f t f ，求实数t 的范围.21．（12分）某车间生产一种仪器的固定成本是10000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：⎩⎨⎧>≤≤-=200,400002000,400)(2x x x x x H ，其中x 是仪器的月产量.（1）将利润表示为月产量的函数（用)(x f 表示）；（2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元?（总收入＝总成本＋利润）;必修1第二章函数学业水平测试复习答案（二）1 、D2 、B3 、C 、4 C 、5、B 6 、B 7 、B 8 、A 9、B 10 、D D12 、D 13 、]0,(-∞ 14 、243x x -+ 15、(0,1)(1,)+∞ 16 17、（1）有题可知：(0)1f =，解得：1c =由(1)()2f x f x x +-=.可知：22[(1)(1)1](1)2a x b x ax bx x ++++-++= 化简得：22ax a b x ++=所以：1,1a b ==-.∴2()1f x x x =-+（2）(2)原不等式()2f x x m >+可化简为212x x x m -+>+,即：2min (31)m x x <-+,然后令2()31g x x x =-+求其在工间[-1,1]上的最小值即可.（2）不等式()2f x x m >+可化简为212x x x m -+>+ 即：2310x x m -+-> 设2()31g x x x m =-+-，则其对称轴为，∴()g x 在[-1,1]上是单调递减函数. 因此只需()g x 的最小值大于零即可，∴(1)0g > 代入得：1310m -+-> 解得：1m < 所以实数m 的取值范围是：1m <18【答案】（1（2）a 的值为a =2. （1）)(x f 的定义域为R ，即22(1)3(1)60a x a x -+-+≥恒成立，讨论210,a -=与210a -≠，按照一次函数与二次函数恒大于等于0需满足的条件求解；（2）)(x f 的定义域为[－2，1]等价于不等式06)1(3)1(22≥+-+-x a x a 的解集为[－2，1]，利用一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系解得a =2. （1）①若1,012±==-a a 即，1）当a =1R ，适合；2）当a =－1R ，不合；-----2分②若6)1(3)1()(,01222+-+-=≠-x a x a x g a 为二次函数，)(x f 定义域为R ，R x x g ∈≥∴对0)(恒成立，②得a（2）命题等价于不等式06)1(3)1(22≥+-+-x a x a 的解集为[－2，1]，显然012≠-a20112-=<-∴x a 且、12=x 是方程06)1(3)1(22=+-+-x a x a 的两根，解得a 的值为a =2. 19（1）显然定义域为{}|0x x ≠.（1）{}|0x x ≠（2）见解析（3）奇函数∴值域为{}|1y y ≠ （2）设120x x <<， 则120x x ≤< ∴120x x >,120x x -<,1212)x x x -， ∴21()()0f x fx -<, ∴函数在()0,+∞为单调递减函数. （3）显然函数定义域关于原点对称，∴此函数为奇函数20、（1；（2）见解析；(3) 0<t <试题分析：（1）先根据f(x)为奇函数，知f(0)=0,可得b=0,求出a 值.从而确定f(x)的解析式.（2）用单调性定义证明函数单调性的步骤有三：一是取值.二是作差变形，判断符号；三是得出结论.（3）解此类抽象不等式关键是0)1()12(<-+-t f t f ∴)12(-t f <-)1(-t f ，再根据奇函数转化为)12(-t f <)1(t f -，再利用单调性脱掉法则符号f,从而转化为自变量之间的大小关系即可解决.（1）是定义域为)(1,1-上的奇函数 ∴0)0(=f ∴0b =又（2）任取12,(1,1)x x ∈-且12x x <6 ∵1211x x -<<< ∴120x x -< 1210x x -> 2110x +> 2210x +>∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <∴ )(x f 在)(1,1-上是增函数 (3)0)1()12(<-+-t f t f ∴)12(-t f <-)1(-t f上的奇函数∴)12(-t f <)1(t f -2111211111t t t t -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩—— ∴0<t21、（1）设月产量为x 台，则总成本为x t 10010000+=，又t x H x f -=)()(∴ 利润⎩⎨⎧>+-≤≤-+-=200,300001002000,10000300)(2x x x x x x f (6)（2）当2000≤≤x 时，12500)150()(2+--=x x f ∴ 12500)150()(max ==f x f当200>x 时，30000100)(+-=x x f 在()+∞,200上是减函数 ∴1250010000)200()(max <=<f x f∴当月产量为150台时，该车间所获利润最大，最大利润是12500元. ……。