12 联立方程模型和识别
联立方程模型
Econometrics
王维国
东北财经大学
第十讲 联立方程模型
第一节 联立方程模型概述 第二节 联立方程模型的识别问题 第三节 联立方程模型参数的估计问题
东北财经大学数学与数量经济学院
第一节 联立方程模型概述
一、联立方程模型的性质
（一）为什么要建立联立方程模型 单一方程模型是用一个方程描述一个经济变量
一、联立方程模型的性质
（二）联立方程模型的基本概念 1.联立方程模型：由多个方程所组成的模型。 Y1i=β10 + β12Y2i + γ11X1i+ u1i Y2i=β20 + β22Y1i + γ21X1i+ u2i 2.内生变量与外生变量 内生变量是模型中本身决定的变量，也就是 说它的取值是模型系统内决定的。 外生变量不是由模型系统内决定的变量，也 就是说它的取值是由模型系统外部决定的。
Yt=β0 +β1Yt+ut +It Yt=β0 /(1- β1) +1 /(1- β1) It + 1 /(1- β1) ut
E(Yt)=β0 /(1- β1) +1 /(1- β1) It
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三、联立方程偏误：OLS估计量的非一致性（2）
Yt-E(Yt ) = ut/(1- β1) cov(Yt,ut )=E[Yt-E(Yt ) ][ut-E(ut)]
货币市场均衡方程：
Yt= l0+l1M ’+l2rt l0= -a/b l1= -1/b l2= -c/b
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三、联立方程偏误：OLS估计量的非一致性（1）
消费函数：Ct= β0 + β1Yt+ut 收入恒等式：Yt=Ct+It 将(12.4)代入(12.5)中，则
第十二章 联立方程组：模型、识别与估计
β11 = β 22 = L = β MM = 1 ， 用以说明它是每个结构式方程中的因变量系数为 1；x t
的第 1 个元素通常是常数 1，主要用以说明 K 个外生变量中含常数项。 运用经济理论可以在参数矩阵上加上一些约束条件， 从而使整个联立方程组
模型能够被估计。 在讨论联立方程组模型的简约式之前，我们再来看一个联立方程组模型结构 式的特殊情况： 如果结构式方程组中的 Β 是一个上三角矩阵，则模型具有如下形式： y t1 = f 1 ( xt ) + ε t1 y t2 = f 2 ( yt1 , xt ) + ε t 2 … … … … … … … … ..
−1 ′ −1 + ε ′ ′ ′ y′ t = − xt ΓΒ t Β = x t Π + vt
′ ′ y′ , 2, L, T 为联立方程组模型的简约式。 t = x t Π + vt ， t = 1
′ −1 。 v′ t = ε tΒ
这里， Π = −ΓΒ −1 ，同时还有
如果完全从矩阵角度描述联立方程组模型的简约式，我们有：
y11 y 21 L y T1 x11 x + 21 L x T1 x12 x22 L xT 2
y12 y 22 L yT 2
L y1M L y 2M L L L y TM
β 11 β 21 L β M1
收入恒等式： Yt = Ct + I t （12.1.5） 其中 C＝消费支出、Y＝收入、I＝投资、t＝时间 。 简单的凯恩斯消费模型展示的是其结构式方程 。里面有二个内生变量，即 Ct , Yt 。所以这个经济模型是完备的。 消费行为方程是根据“收入决定说”的理论建立的，即认为当期消费仅由当 期收入决定。投资被认为是一个外生变量。 收入是一个均衡条件。 1.3 小型宏观经济模型 消费行为方程： 投资行为方程： 需求恒等式： Ct = α 0 + α1 y t + α 2C t−1 + ε t1 I t = β 0 + β1rt + β 2 ( y t − y t−1 ) + ε t 2 y t = Ct + I t + G t （ α1 + β 2 ≠ 1） （12.1.6） （12.1.7） （12.1.8）
计量第12章联立方程模型
VS
假设条件
为了使模型具有可解性和可估计性，需要 设定一些假设条件。这些条件可能包括变 量的线性关系、误差项的独立性、同方差 性等。这些假设条件的选择应根据实际问 题和数据的特征来确定。
参数估计方法
最小二乘法（OLS）
最小二乘法是联立方程模型中最常用的参数估计方法之一。它通过最小化残差平方和来估 计模型的参数。这种方法简单易行，但在存在异方差性、自相关等问题时，可能导致估计 结果不准确。
联立方程模型的估计需要使用复 杂的计算方法和软件，对研究者 的计量经济学知识要求较高。
改进方向探讨
模型识别方法的改进
01
通过引入新的识别方法或改进现有数据收集和处理技术的提升
02 利用现代数据收集和处理技术，提高数据的质量和可
获得性，从而扩大联立方程模型的应用范围。
递归模型
模型中某些变量可以由其他变量唯一确定。
非递归模型
模型中所有变量相互依赖，无法由其他变量 唯一确定。
建模目的与意义
分析经济政策变化对经济系统的 影响。
描述经济系统中多个变量之间的 相互关系。
目的
01
03 02
建模目的与意义
• 预测经济变量的未来走势。
建模目的与意义
01
意义
02
提供了一种全面、系统的分析方法，有助于深入了解经济系统的运行 规律。
计量第12章联立方程模型
目录
• 联立方程模型概述 • 联立方程模型的构建 • 联立方程模型的识别与估计 • 联立方程模型的应用举例 • 联立方程模型与其他模型的关系 • 联立方程模型的优缺点及改进方向
01
联立方程模型概述
定义与特点
定义
联立方程模型（Simultaneous Equation Models）是一组 相互依赖的线性方程，用于描述经济系统中多个变量之间的 相互关系。
第十二章：联立方程模型的识别
[计量经济学讲义] 第十二章：联立方程模型的识别§1 模型识别的概念一、定义所谓识别问题，是指能否从所估计的简化式模型系数求出一个结构式方程的参数的数值估计值。
如果能够，就说该方程是可以识别的（identified ）；如果不能，就说所考虑的方程是不可识别的(unidentified)或不足识别的(underidentified)。
结构方程可以识别又包括两种情况：如果求解结构参数值唯一，则称恰好识别；如果求解结构参数值不唯一，则称过度识别。
二、不可识别情形 例1：需求函数：t Q =1α+2αt P +t u 1 （1.1） 供给函数：t Q =1β+2βt P +t u 2 （1.2）其简化式为：t P =1∏+t v （1.3） t Q =2∏+t w （1.4）其中1∏=2211βααβ--；2∏=222112βαβαβα--。
可以用OLS 方法估计简化式，得到简化式的两个系数1∏和2∏。
这两个系数包含了供求关系的四个系数，1α、2α、1β和2β。
但是，要估计4个未知数，仅有2个方程是不足的，因此无法确定上述四个参数。
三、恰好识别情形 例2：t Q =1α+2αt P +3αt Y +t u 1 （2.1） t Q =1β+2βt P +t u 2 （2.2）其简化式为：t P =1∏+2∏t Y +t v （2.3）t Q =3∏+4∏t Y +t w （2.4）其中1∏=2211βααβ--；2∏=223βαα--；3∏=222112βαβαβα--；4∏=2223βαβα--供给函数是可以识别的，这时因为：1β=3∏-2β1∏2β=4∏/2∏但是没有估计需求函数的唯一方法，因此需求函数仍不可识别。
例3：t Q =1α+2αt P +3αt Y +t u 1 （3.1） t Q =1β+2βt P +3β1-t P +t u 2 （3.2）其简化式为：t P =1∏+2∏t Y +3∏1-t P +t v （3.3） t Q =4∏+5∏t Y +6∏1-t P +t w （3.4）其中1∏=2211βααβ--；2∏=223βαα--；3∏=223βαβ-；4∏=222112βαβαβα--；5∏=2223βαβα--；6∏=2232βαβα-；四、过度识别情形 例4：t Q =1α+2αt P +3αt Y +4αt R +t u 1 （4.1） t Q =1β+2βt P +3β1-t P +t u 2 （4.2）其简化式为：t P =1∏+2∏t Y +3∏t R +4∏1-t P +t v （4.3） t Q =5∏+6∏t Y +7∏t R +8∏1-t P +t w （4.4）其中1∏=2211βααβ--；2∏=223βαα--；3∏=224βαα--；4∏=223βαβ-5∏=222112βαβαβα--；6∏=2223βαβα--；7∏=2224βαβα--；8∏=2232βαβα-。
南开大学计量经济学课件第12章 联立方程模型
第 12 章 联立方程模型 12.1 联立方程模型概念 联立方程模型就是描述经济变量间联立依存性的方程体系。一个经济变量在某个 方程中可能是被解释变量，而在另一个方程中却是解释变量。 首先给出如下定义。 （1）内生变量：由模型内变量所决定的变量称作内生变量。 （2）外生变量：由模型外变量所决定的变量称作外生变量。 （3）前定变量：外生变量、外生滞后变量、内生滞后变量统称为前定变量。 例如：yt = 0 + 1 yt-1 + 0 xt + 1 xt-1 + ut。yt 为内生变量；xt 为外生变量；xt-1 为外 生滞后变量；yt-1 为内生滞后变量；yt-1, xt , xt-1 统称为前定变量。 注意，联立方程模型必须是完整的。所谓“完整”是指联立方程模型内的方程个 数应该大于或等于内生变量个数。 否则联立方程模型是不完整的， 是无法估计的。
其中，Ct 为宏观消费；Yt 为国民收入；It 为投资；Gt 表示政府支出。式(12-1)是消费函 数。式(12-2)是投资函数。式(12-3)是国民收入恒等式。上述三个方程式构成了一个结构 模型。0, 1, 0, 1, 2 称为结构参数。式(12-1)、(12-2)属于行为方程。特点是需要估计回 归参数。式(12-3)是定义方程。定义方程是恒等式，不存在估计参数的问题。 模型中，式(12-1) (12-3)分别决定变量 Ct、It、Yt，所以变量 Ct、It、Yt 是内生变量。 由于联立方程模型中没有决定 Gt 的方程，Gt 是由模型以外的变量所决定，所以 Gt 是外生 变量。Yt-1 是内生滞后变量。按上面的定义，Gt , Yt-1 又称为前定变量。因模型中包括三个 内生变量，含有三个方程，所以该模型是一个完整的联立方程模型。 2013-8-7 计量经济学
联立方程模型的识别
第十二章联立方程模型的识别识别的概念：联立方程模型是由多个方程组成。
由于各个方程包含的变量之间可能存在互为因果的关系，某个方程的自变量可能是另一个方程中的因变量，所以需要对模型中的各个方程之间的关系进行严格的定义，否则联立方程模型中的系数就可能无法估计。
所以在进行模型估计之前首先要判断它是否可以估计，这就是模型的识别。
关于识别的定义：就是指由简化式参数导出结构式参数的充分必要条件。
识别一词的本意就是用来说明这种有简化式参数导出结构式参数的可能性的。
所谓统计形式，即方程中的变量与变量之间的函数关系式。
“确定的统计形式”，也就是模型中其他方程或所有方程的任意线性组合所构成的新的方程，都不再具有这种统计形式。
第一节模型的识别上述识别的定义是针对结构方程而言的。
模型中每个需要估计其参数的随机方程都存在识别问题。
如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型是可以识别的。
反过来，如果一个模型系统中存在一个不可识别的随机方程，则认为该联立方程模型是不可识别的。
结构式模型的一般形式：;∑∑g k b Y +r X =μi =1,2,,g ij j ij j i j=1j=1…………………(12.1) 矩阵形式为：BY+ΓX=μ…………………………………… (12.2)一、 模型识别的两种含义：(1)从结构式参数和简化式参数的关系角度一个结构方程可以识别是指它的全部结构式系数可以从参数关系体系的方程组求解出。
结构方程可以识别又包含两种情况：如果求解结构参数值唯一，则称恰好识别；如果求解结构参数值不唯一，则称过度识别。
(2)从结构方程的统计形式看如果被识别方程具有确定的统计形式，则称这个结构方程可以识别，否则为不可识别。
确定的统计形式是指模型中若干个方程或全部方程以及它们的任意线性组合方程都与被识别方程含有不完全相同的变量。
只有当联立方程中每个随机结构方程都能识别，该模型才是可以识别的，否则是不可识别的。
联立方程模型simultaneous
联立方程模型（simultaneous-equations model ）13.1 联立方程模型的概念有时由于两个变量之间存在双向因果关系，用单一方程模型就不能完整的描述这两个变量之间的关系。
有时为全面描述一项经济活动只用单一方程模型是不够的。
这时应该用多个方程的组合来描述整个经济活动。
从而引出联立方程模型的概念。
联立方程模型：对于实际经济问题，描述变量间联立依存性的方程体系。
联立方程模型的最大问题是E(X 'u ) ≠ 0，当用OLS 法估计模型中的方程参数时会产生联立方程偏倚，即所得参数的OLS 估计量βˆ是有偏的、不一致的。
给出三个定义：内生变量（endogenous variable ）：由模型内变量所决定的变量。
外生变量（exogenous variable ）：由模型外变量所决定的变量。
前定变量（predetermined variable ）：包括外生变量、外生滞后变量、内生滞后变量。
例如：y t = α0 + α1 y t -1 + β0 x t + β1 x t -1 + u ty t 为内生变量；x t 为外生变量；y t -1, x t , x t -1为前定变量。
联立方程模型必须是完整的。
所谓完整即“方程个数 ≥ 内生变量个数”。
否则联立方程模型是无法估计的。
13.2 联立方程模型的分类（结构模型，简化型模型，递归模型） ⑴结构模型（structural model ）：把内生变量表述为其他内生变量、前定变量与随机误差项的方程体系。
例：如下凯恩斯模型（为简化问题，对数据进行中心化处理，从而不出现截距项） c t = α1 y t + u t 1 消费函数， 行为方程（behavior equation ） I t = β1 y t + β2 y t-1 + u t 2 投资函数， 行为方程 y t = c t + I t + G t国民收入等式，定义方程（definitional equation ） (1)其中，c t 消费；y t 国民收入；I t 投资；G t 政府支出。
联立方程的识别和估计
第八章 联立方程的识别和估计第一部分 学习指导一、本章学习目的与要求1．了解联立方程的概念，能正确区分联立方程中的外生变量、内生变量和前定变量；2．理解联立方程模型估计时会出现什么问题，掌握联立方程模型的结构式和简化式的定义；3．掌握联立方程模型识别的概念，能用识别的阶条件和秩条件判断模型是不可识别、恰好识别还是过度识别；4．掌握联立方程模型的估计方法，重点掌握单方程估计方法——间接最小二乘法（ILS 法）、二阶段最小二乘法（2SLS 法），了解系统估计方法——三阶段最小二乘法（3SLS 法）。
二、本章内容提要联立方程计量经济学模型是相对于单方程计量经济学模型而言的。
它以经济系统为研究对象，以提示经济系统中各部分、各因素之间的数量关系和系统的数量特征为目标，用于经济系统的预测、分析和评价，是计量经济学模型的重要组成部分。
其主要内容有：1．联立方程计量经济学模型的提出：经济研究中的联立方程计量经济学问题，计量经济学方法中的联立方程问题。
2．联立方程计量经济学模型的若干基本概念：变量，结构式模型，简化式模型，参数关系体系。
3．联立方程计量经济学模型的识别：识别的概念，结构式识别条件，简化式识别条件，实际应用中的经验方法。
假设联立方程组中共含有g 个内生变量以及k 个外生变量构成的完备联立方程组，第i 个方程含有i g 个内生变量以及i k 个外生变量，∏为联立方程组的简化型系数矩阵，()B Γ，为联立方程组的结构型系数矩阵，以第i 个方程为代表，则有关的识别条件如下：（1）识别的必要条件1-≥-i i g k k其中：k 表示联立方程组中外生变量的个数，g 表示联立方程组中内生变量的个数，i k 表示第i 个方程含有的外生变量个数，i g 表示第i 个方程含有的内生变量个数。
该条件的直观意思为该方程所排除的外生变量个数不小于其排除的内生变量的个数，也称为阶条件。
（2）识别的充要条件在一个g 含有个内生变量的g 个方程的模型中，一个方程是可识别的，当且仅当，能从模型（其他方程）所含而该方程未含的诸变量（内生变量或前定变量）的系数矩阵中构造出至少一个(g -1)×(g -1)阶的非零行列式来。
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将阶条件和秩条件综合在一起，判断结构式参数的可识别性：
（1）如果 G K G 1 ，且识别矩阵的秩=G-1，则 该模型过度识别； （2）如果 G K G 1 ，且识别矩阵的秩=G-1，则 该模型恰好识别； （3）如果 G K G 1 ，且识别矩阵的秩﹤G-1，则 该模型不可识别； （4）如果 G K G 1 ，则该模型不可识别。
二、联立方程模型的类型
1、模型的结构型
如上例。是依据经济理论设定模型时所采用的形式，直 接反映各变量之间的关系，用来描述某一经济结构。
◆模型中的每一个方程叫结构方程； ◆结构方程中的参数叫结构参数，表示每个前定变量对
内生变量的直接影响； ◆模型中结构方程的个数若等于内生变量的个数，该模 型叫完备模型。若模型不完备，则不能求解。
1
Cov( Pt vt )
2 p
2 v 1 1 2 (1 1 ) p
1 P lim pt t n n 1 2 1 pt P lim n n
pv E( ) p
t t 2 t
1
p p
t t 2 t
由此得出结论：如果模型中解释变量与残差项相关，则参数 估计量有偏且不一致。
( )Qt ( 0 0 ) ( 1 1 ) Pt (vt ut )
0 0 1 1 vt ut Qt Pt
※说明组合出来的式子与(1)、(2)具有相同的统计形式，并且
在数目上无限，因而是不可识别的。
0 0 1 1 vt ut 2 Qt Pt Yt
※线性组合与（1）具有不同的统计形式，可识别，但过度识
别；（2）与组合式具有相同的统计形式，不可识别。
例3 下列模型（1）、（2）都可以识别，且恰好识别
Qts 0 1Pt 2 Rt vt Qtd 0 1Pt 2Yt ut t Qtd Qts Qt
2 E (vt ) 0, E (vt2 ) v , 2 E (ut ) 0, E (ut2 ) u , E (ut vt ) 0
E (vi v j ) 0 E (ui u j ) 0
Pt
2 vt u t v Cov( Pt , vt ) E[( Pt E ( Pt )(vt E (vt ))] E ( vt ) 0 1 1 1 1
11 w1t w2t vt u t α1 β1
1vt 1ut 1 1
约简式参数表示前定变量对内生变量的总影响，包括直接影响 和间接影响，如： 2 1 1 2 22 2 1 1 1 2
3、递归模型
Y1 11 X 1 12 X 2 ... 1k X k u1 Y2 21 X 1 22 X 2 ... 2 k X k 21Y1 u 2 Y3 31 X 1 32 X 2 ... 3k X k 31Y1 32Y2 u 3 .......... ......... Yg g1 X 1 g 2 X 2 ... gk X k g1Y1 g 2Y2 ... g g 1Yg 1 u g
即该方程不包含而为模型中其它方程所包含的那些变量（包括 内生变量和前定变量）的系数矩阵的秩等于G-1。
3、—满足阶条件的方程不一定能识别。 —满足秩条件的方程再用阶条件判断恰好识别或过 度识别。
例1：阶条件识别单一模型
Qts 0 1 Pt vt Qtd 0 1 Pt 2Yt ut Qtd Qts Qt (1) (2) (3)
模型中Q、P是内生变量，则G=2；Y是外生变量，则K=1 （1）式中：G*=0 、K*=1，则G*+K*=1=G-1=1，可识别； （2）式中：G*=0、K*=0，则G*+K*=0<G-1=1，不可识别。
例2：秩条件识别单一模型
Qts 0 1 Pt vt Qtd 0 1 Pt 2Yt ut Qtd Qts Qt
2、模型的约简型
Pt 11 12 Yt w1t Qt 21 22 Yt w2t
其中，约简式参数：
0 0 2 , 12 , 1 1 1 1 α β α 0 β1 21 1 0 , 22 2 1 , α1 β1 1 1
以上两种提法等价。
◆可识别又分为恰好识别和过度识别两种。还有不可识别
的情况。
例1: 下列模型（1）、（2）都不可识别的情况
Qts 0 1 Pt vt Qtd 0 1 Pt ut Qtd Qts Qt (1) (2) (3)
(1)式和(2)式任意的线性组合:有无限多个
例2 下列模型（1）式过度识别，（2）式不可识别
Qts 0 1Pt vt Qtd 0 1Pt 2Yt ut Qtd Qts Qt (1) (2) (3)
( )Qt ( 0 0 ) ( 1 1 ) Pt 2Yt (vt ut )
objects/new objects/system
在上述窗口点确定后出现下面窗口，输入联立方程及工 具变量， 点procs/estimate/3sls
0 0 v ut 2 Yt t 1 1 1 1 1 1
这样，对模型（1）应用OLS法，得：
b1 1 Pv p
t t 2
,
E (b1 ) 1
P limb P lim P lim
n n 1 n
式中： E(ui u j ) 0 i j
特点：递归模型中每个方程的变量间的关系为单向
因果关系，故不存在内生变量之间的相互依赖。可用OLS 法逐个估计各方程。估计结果具有BLUE的统计性质。
三、联立方程模型的识别问题 （针对结构模型）
◆
结构方程的识别
若结构方程的参数可以由相应的约简型的参数来确定， 则称这个结构方程可识别。 若结构方程在模型中具有唯一的统计形式，则这个结 构方程可识别。
一、联立方程模型的概念
1、举例：农产品供求平衡模型
Qts 0 1Pt vt Qtd 0 1Pt 2Yt ut Qtd Qts Qt (1) (2) (3)
其中， Q d 、Q S、p 由模型系统内部决定，为内生变量。Y 由系统外部决定，不受模型系统的影响，为外生变量。假定：
Qts 0 1 Pt vt 0 Qtd 0 1 Pt 2Yt ut 0 Qtd Qts 0
QS -1
Qd 0
P β1
Y 0
0
-1
-1
1
α1
0
α2
0
先划去要识别的单一 模型系数所在行；再 划去要识别的该模型 非零系数所在列，则 得到识别矩阵。
五、联立方程模型参数的估计方法
1、估计方法分类
（1）普通最小二乘法（OLS法） （2）间接最小二乘法（ILS法） 有限信息估计法 （3）工具变量法（IV法）
（单方程估计法） （4）二阶段最小二乘法（2SLS法）
（5）有限信息极大似然法（LIML）
完全信息估计法 （系统估计法） （1）三阶段最小二乘估计法（3SLS） （2）完全信息极大似然法（FIML）
2、OLS法
可直接用于递归模型各方程的估计。
3、ILS法
（1）基本思想：将恰好识别的结构型模型化为约简
型，对此可直接用OLS法估计约简模型参数，由此推出结 构参数的估计值。
（2）应用条件：结构方程恰好识别、约简方程的
残差项满足统计假设、前定变量间不存在多重共线。
（3）ILSE特性：有偏但一致。
4、IV法
第十一章
联立方程模型的识别和估计
学习要点
一、联立方程模型估计中存在的问题 二、联立方程模型的结构式、约简式、递归式 三、联立方程模型识别：不可识别、恰好识别、过度识别 四、联立方程模型识别的条件：阶条件、秩条件
五、联立方程模型的估计方法：OLS、ILS、IV、2SLS、3SLS
六、EViews应用
（1）基本思想: 当某个解释变量与残差项相关时，选择
一个与该解释变量强相关而与残差项无关的前定变量作为 工具，以达到消除该解释变量与残差项之间相关性的目的。
（2）应用条件：结构方程恰好识别。 （3）IV法的步骤
选择适当的解释变量；Z的个数必须与所估计的结构 方程中作为解释变量的内生变量的个数相等。 ◆分别用工具变量去乘结构方程，得到与未知参数一样 多的线性方程，构成方程组，求解得结构参数的估计值。
◆
（4）IVE的特点：有偏但一致。
5、2SLS法(单方程估计法)
（ 1）基本思想：工具变量法
以内生变量的估计值作为工具变量。
（2）步骤：
第一步、由结构式得出约简式，分别OLS估计各方程， 得内生变量的估计值 作为工具变量。 Yˆ
ˆ 代回 原结构式代替作为解释变量的对应 第二步、将 Y 的内生变量，再一次OLS估计各方程。
（3）应用条件：模型可识别（恰好识别和过度识别。） （4）估计量特性：有偏但一致。
例：
COSTt 0 1Yt 2COSTt 1 u1t
（1）恰好识别
（2）过度识别
INV 0 1Yt u2t
Yt INVt GOVt COSTt
用两阶段最小二乘法（TSLS）估计方程（1）： EViews操作: procs/make equation/选择2SLS法,写出待估方 程, 给出工具变量,OK
估计方法选择: TSLS即2SLS
6. 3SLS法（系统估计法）