联立方程模型的概念和构造
计量经济学之联立方程模型
计量经济学之联立方程模型引言联立方程模型（Simultaneous Equation Model，简称SEM）是计量经济学中的一个重要分析工具，用于研究多个经济变量之间的相互关系。
通过建立一组方程，可以理解变量之间的联动效应，并进行预测和政策分析。
本文将介绍联立方程模型的基本概念、建模步骤和常见的估计方法等内容。
基本概念联立方程模型的定义联立方程模型是指由多个方程组成的一种数学模型，用于描述多个经济变量之间的关系。
每个方程都包含一个因变量和若干个解释变量，以及一个误差项。
联立方程模型的核心思想是通过解方程组，得到各个变量的估计值，进而分析它们之间的关系。
基本假设在建立联立方程模型时，需要对变量之间的关系进行假设。
常见的基本假设有：1.线性关系假设：方程中的变量之间的关系是线性的。
2.独立性假设：各个方程中的误差项是独立的，即它们之间不存在相关性。
3.零条件均值假设：解释变量的条件均值为零，即解释变量的期望与误差项无关。
4.同方差假设：各个方程中的误差项方差相等。
建模步骤建立联立方程模型的步骤如下：步骤一：确定变量根据研究主题和数据可获得的变量，确定需要建立模型的变量集合。
步骤二：构建方程根据经济理论和实际问题，构建联立方程模型的方程形式。
每个方程包含一个因变量和若干个解释变量。
步骤三：参数估计通过收集数据，对联立方程模型进行参数估计。
常用的估计方法有最小二乘估计（Ordinary Least Squares，简称OLS）和广义矩估计（Generalized Method of Moments，简称GMM）等。
步骤四：模型诊断对估计得到的模型进行诊断，检验模型的拟合优度、参数显著性和误差项的假设等。
常见的诊断方法有虚拟变量检验、异方差性检验和序列相关性检验等。
步骤五：模型解释与政策分析根据估计得到的模型结果，解释各个变量之间的关系，并进行政策分析。
可以利用模型进行预测和模拟，评估不同政策对经济变量的影响。
第七章---联立方程模型的概念和构造(金融计量学)
二、秩条件
秩条件的表述如下：对于一个由G个方程组成的联立方程 模型中的某个结构方程而言，如果模型中其他方程所 含而该方程不含的诸变量的系数矩阵的秩为G-1，则该 结构方程是可识别的，若秩小于G-1则该结构方程是不 可识别的对某结构式模型中的第i个方程利用秩条件判 断其可识别性，可按以下步骤进行：
一般的，简化式模型就是把结构式模型中的内 生变量表示为前定变量和随机误差项的函数的 联立方程模型。同结构参数矩阵的表示方法一 样，模型7.3中的简化式参数矩阵可表示为：
Qt Pt
1
Yt
Pt 1
1
0
21 12 2 2
0 1
1 1 2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
五、联立性偏误
2 2 2 2 2 2
2 2
= 21 22Yt 23Pt 1 wt
其中 的各值表示为各变量前的系数，
根据上述关系式，若已知 11、 12、 13、 21、 22、 2 ，则可得：
= 22或
12
=
23 13
， 1 = 21 11 * 2，
但我们却无法求得 1、2、、4 的值，
表述2：在一个线性联立方程模型中，某方程可识别的 一个必要条件（阶条件）是：该方程所不包含的前定 变量的个数必须不少于方程右边所包含的内生变量的 个数。若该方程所不包含的前定变量的个数等于方程 右边所包含的内生变量的个数，则该方程是恰好识别 的；若大于，则该方程是过度识别的。
可以证明两种表述方式是等价的。下面通过一个例子说
第十章 联立方程模型
It
ut
1 1
Yt Ct It
3、递归模型
形如：
Y1 11 X 1 12 X 2 1k X k 1t
YY23
21Y1 21 X 1 31Y1 32Y2
22 X 2 2k X k 2t 31 X 1 32 X 2 3k X k
单一方程模型： Y X u
i
1
2i
i
Yi 1 2 X2i 3 X3i k Xki i
联立方程模型：
例如：某种农产品需求模型
Qtd 0 1Pt 2Yt u1t
(1)
Pt 0 1P*t 2Qtd u2t
Ct
Yt
,
0
0
0 1 , X
1
It
,U
ut 0
1
B
1
1 B
1
1
1
,
Y
Ct
Yt
,
0
0
0 1 , X
1
It
,U
(2)
其中：Qtd —需求量 Pt —价格 Pt* —替代品价格
Yt —消费者收入
需求供给模型
QQttds
0 0
1Pt 1Pt
u1t u2t
Qtd Qts
(1 0) (1) (1 0) (2)
(3)
联立方程模型
第十一章 联立方程模型单一方程模型：描述某一经济变量与影响该变量变化的诸因素之间的数量关系，即描述经济变量之间的单向因果关系。
联立方程模型：就是由两个或两个以上的相互联系的单一方程组成的方程组。
第一节 联立方程模型的基本概念一、联立方程模型及其设定从经济意义上看，联立方程模型主要反映了模型对象的经济行为以及经济行为的外部环境、市场均衡条件。
例子1，⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩Q =b +b P+b R+μs 202Q =b +b P+b Y+μd 1011121Q =Q s d1222………(1.1.1)式中，Q d 表需求量，Qs 表供给量,P 表价格,Y 表消费者收入,R 表气候条件。
(11.1)式是反映某农产品的市场局部均衡模型。
例子2，小型国民经济宏观模型⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩C =b +b Y +b C +μt t 101112t-11tR =b +b Y +b (Y -Y )+b (M -M )t t t 303132t-133t-1+b (R -R )+μ34t-1t-23Y =C +I +G t t t I =b +b (Y -Y )+b Y +b R +μt t 2021t-122t-1t 23t-t t12…………………………………………………………………(11.2)例子3，在一个由国民收入Y 、消费C 、投资I 、政府支出G 等变量构成的简单的宏观经济系统中，对这些变量之间的关系用经济数学模型来进行描述。
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩I =b +b Y +b Y +u t t 012t C =a +a Y +u t t 011tY =C +I +G t t t t-12t …… (11.3) 式(11.3)中，内生变量包括：国民收入Y 、消费C 、投资I ；外生变量包括：前期国民收入Y t-1和政府支出G 。
消费函数和投资函数为随机方程式，而收入函数为非随机方程式。
二、联立方程模型的变量和方程式1.变量(1)内生变量：是受模型系统中其他变量的影响，也可能影响其他变量。
第11章 联立方程模型
11.2 联立方程的偏误：OLS估计量的非一致性
假设暂时忽略消费支出和收入之间的联立性，利用普通最小二 乘法仅仅估计消费函数(11.1)式。
Yt C t I t (B0 B1Yt t ) I t B0 B1Yt t I t 把（ 11.1 ）式中的C t 带入
ˆ ˆ1 ˆ2 It ˆ 3Gt Y t
ˆ w Yt Y t t
第二阶段
2-24
11.8 2SLS：一个数字例子 第一阶段回归
第二阶段回归
OLS回归
2-25
2-2
一、联立方程模型的性质
（二）联立方程模型的基本概念
1.联立方程模型：由多个方程所组成的模型。 Y1i=β10 + β12Y2i + γ11X1i+ u1i Y2i=β20 + β22Y1i + γ21X1i+ u2i 2.内生变量与外生变量 内生变量是模型中本身决定的变量，也就是说它的取值 是模型系统内决定的。 外生变量不是由模型系统内决定的变量，也就是说它 的取值是由模型系统外部决定的。 注意：一个变量是内生变量还是外生变量，由经济理 论和经济意义决定，不是从数学形式决定。 2-3
2-23
11.7 过度识别方程的估计：两阶段最小二乘法
为了说明两阶段最小二乘法，考虑如下模型： 收入函数： 货币供给函数： M B B Y u t 1 2 t 2t
Yt A1 A2 M t A3 I t A4Gt u1t
第一阶段
Yt 1 2 I t 3Gt wt
2-5
二、联立方程模型举例
（一）需求与供给模型 （二）凯恩斯收入决定模型
（三）工资—价格模型
联立方程模型 make system
联立方程模型是一种数学方法，通过联立多个方程来描述和解决复杂的问题。
这种模型在经济学、物理学、工程学等领域中得到了广泛的应用，能够帮助研究人员理解和预测各种变量之间的关系。
本文将介绍联立方程模型的基本概念和应用，以及如何构建和求解联立方程模型。
一、联立方程模型的基本概念联立方程模型是一种描述多个变量之间关系的数学模型。
我们可以用一组方程组来表示这些变量之间的相互影响。
一般来说，联立方程模型可以写成如下形式：1. 假设我们有n个变量和m个方程，我们可以用矩阵和向量的形式来表示联立方程模型：其中，Y是一个n维向量，代表因变量；X是一个n×k维矩阵，代表自变量；β是一个k维向量，代表自变量的系数；ε是一个n维向量，代表误差项。
2. 联立方程模型的基本假设包括：（1）线性关系假设：假设因变量和自变量之间的关系是线性的；（2）随机抽样：样本必须是随机抽样的，以保证估计结果的一致性；（3）独立同分布假设：误差项之间是相互独立的，并且服从相同的分布；（4）方差齐性假设：误差项的方差是相同的。
二、构建联立方程模型构建联立方程模型的基本步骤包括：1. 确定研究的目标和问题：首先需要明确研究的目的，确定需要研究的变量和它们之间的关系。
2. 收集数据：根据研究目标，需要收集相关的数据样本。
3. 设定模型：选择合适的自变量和因变量，并设计出联立方程模型的形式。
4. 估计参数：通过最小二乘法或其他方法，估计模型的参数。
5. 检验模型：对模型的拟合度和估计结果进行检验，检验模型是否符合现实情况。
6. 修正模型：根据检验结果对模型进行修正，直至得到较为合理的模型。
三、求解联立方程模型求解联立方程模型的常用方法有：1. 最小二乘法：通过最小化因变量的观测值和模型估计值之间的差异来估计参数。
2. 极大似然估计：通过最大化样本数据出现的概率来估计参数。
3. 广义最小二乘法：当误差项不满足方差齐性和独立同分布假设时，可以使用广义最小二乘法进行参数估计。
计量经济学联立方程模型evlr
需求函数 Pt 1 2Qt 2t
模型的简化式：
Qt
1 21 1t 2 2t 122 122
11 u1t
Pt
1 12 122
21t 2t 122
21 u2t
1 21 122
11
1 12 122
21
供求模型都不可识别。
在需求函数中引入收入变量 Yt来说明
变其量中。，Y如1，果，模Y型m 中为有m个常内数生项变，量X1；可X1视,为,始X k终为取k个值前为定1
的外生变量。
引入向量和矩阵记法
11 12 1m
R 21
22
2m
,
m1
m2
mm
Y1t
Y
Y2t
,
Ymt
11 12 1K
β
21
22
2K
,
m1
Yt Ct It Gt
变形为： Ct 0 1Yt 2Tt 1t , It 0 1Yt1 2rt 2t , Tt 0 1Yt 3t ,
Yt Ct It Gt 0
恒等方程无识别问题，因为无未知参数。
讨论第一个方程的识别性。根据阶条件的两个等价条 件，可知第一个方程是过度识别的。
（二）简单的例子
简单的两方程宏观经济模型
Ct Yt t
Yt Ct It
其简化式模型：
Ct
1
It
1
1
t
Π1It
ut
Yt11It11t
Π2It
ut
第一个方程的最小二乘估计为
Ct It
Πˆ 1 t
I
2 t
t
根据：
ˆ 1 ˆ
Πˆ 1
t
Ct It
《计量经济学》-联立方程模型
γ 2k
X
kt
u2t
L L L L L L
bg1Y1t b Y g2 2t L b Y gg gt γ X g1 1t γ X g2 2t L γ X gk kt ugt
结构方程的个数等于内生变量的个数，称为完备模型
10
结构型的矩阵表示（一）
b11 b12 L
b21
b22
L
L L L
c5
a2b1 a b
,
c6
a3b1 a b
17
1.结构方程的识别
恰好识别：通过简化模型的参数估计值和参数关系式可以得到 结构方程的参数估计值的惟一解，该结构方程恰好识别
过度识别：通过简化模型的参数估计值和参数关系式可以得到 结构方程的参数估计值的多个解，该结构方程过度识别
不可识别：通过简化模型的参数估计值和参数关系式可以得不 到结构方程的参数估计值，该结构方程不可识别
u1t
u2
t
Ut
u
BYt ΓXt Ut
或
B
Γ
Yt Xt
Ut
12
2. 简化型
Ct
a1b2 1 a1
b1
Yt 1
a1 1 a1
b1
Gt
u1t
a1u2t b1u1t 1 a1 b1
It
b2 ( 1
1 a1 ) a1 b1
Yt
1
b1 1 a1 b1
Gt
u2 t
第九章
联立方程模型
主要内容
联立方程模型的概念 联立方程模型的形式 模型的识别 联立方程模型的参数估计
2
一. 联立方程模型的概念
由若干个单一线性经济计量方程构成联立方程组，描述整个经 济系统的模型称为联立方程经济计量模型，简称联立方程模型
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8
随机方程式、非随机方程式
联立方程模型中的方程可以分为两类，一类是含 有随机误差项和未知参数的方程，称为随机方程 式，也即行为方程（behavior equation），它主 要是描述了金融、经济模型中某一部分的行为， 随机方程式中的参数需要估计； 另一类是不含随机误差项和未知参数的方程，称 为非随机方程式，主要是恒等式（identity），非 随机方程式不需要估计参数。 在模型7.1中，供给方程、需求方程中含有随机误 差项和未知参数，并且分别描述了某商品市场供 给方和需求方的行为，因此是随机方程式，即行 为方程。而均衡方程则属于非随机方程式。
若将模型7.2中的内生变量 Qt、 Pt 只用模型中的前定
变量和随机误差项表示出来，则可得到就是结构
式模型所对应的简化式模型 :
Qt 21 12 ut 2t Yt Pt 1 2 2 2 2 2 2 2 2
第七章
联立方程模型的概念和构造
1
本章要点
联立性偏误的定义 识别的定义及识别的阶条件和秩条件 内生变量和外生变量的定义及联立性检验的步骤 联立方程模型的估计方法（单一方程法和系统方 程法） 递归模型的特点及普通最小二乘估计方法
2
第一节
联立方程模型的基本概念
3
首先考虑一个由三个方程组成的简单的市场供需
5
（二）外生变量 由模型系统以外的因素决定其取值的变量称为外 生变量（exogenous variables）。外生变量也可 以表述为：独立于该变量所在方程前期、当期、 未来各期随机误差项的变量。 外生变量只影响系统内的其它变量，而不受其它 变量的影响，因此在方程中只能做解释变量，不 能做被解释变量。由定义可以看出，外生变量不 受模型中随机误差项的影响。 在模型7.1中，t期的收入 Yt 是由模型外的因素决 定的，因而在该模型中 Yt 是外生变量。
D
量，Yt 代表t期的收入。按照经济理论，对于一
般商品，应满足 2 >0， 2 <0。 以下将利用该模型说明联立方程模型的几组概念。
4
内生变量、外生变量、前定变量
(一) 内生变量 由模型系统决定其取值的变量称为内生变量 （endogenous variables） 。内生变量受模型 中其它变量的影响，也可能影响其它内生变量， 即内生变量既可以是被解释变量，也可以是解释 变量。内生变量受模型内随机误差项的影响，是 随机变量。 D S Q Q Pt 的值是由模型决定的， 在模型7.1中， t 、 t 、 因而是内生变量。
9
结构式模型、简化式模型
联立方程模型有两种形式：结构式模型 （structural form model）和简化式模型（reduced form model）。 所谓结构式模型，是指在一定的经济理论基础 上建立的，能够反映经济变量之间结构形式的一 类联立方程模型。模型7.1即为结构式模型。结构 式模型中的方程称为结构方程（structural equation），结构方程中变量的系数成为结构参数 （structural parameters），它表示的是结构方程中 的解释变量对被解释变量的直接影响。所有的结 构参数组成的矩阵成为结构参数矩阵。
因此结构参数矩阵为：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Q
S t
Q
D t
1
Pt
Pt 1 Yt
1 0 1 2 3 0 0 1 1 2 0 3 0 0 0 1 1 0
11
对于模型7.1，若以 Qt 表示t时刻供给量 QtS 和需求 D Q t 量 的均衡值，则模型7.1可表示为 供给方程： Qt 1 2 Pt 3 Pt 1 t 需求方程： Qt 1 2 Pt 3Yt ut （模型7.2）
7
完备方程组
如果一个模型中方程的个数等于内生变量的个数， 则称这个模型为完备方程组（complete system of equations）。 我们可以估计完备方程组中的所有参数，但对于 非完备方程组，我们不能估计或只能估计它的一 部分参数。 D S Pt 三个内 Q Q 在上述市场供需模型中，共有 t 、 t 、 生变量，同时有三个方程，因此该模型是一完备 方程组，所有参数均可估计。
10
对于模型7.1，若将常数项看作变量1的系数，则 模型可以表示为： QtS 0* QtD 1 *1 2 Pt 3Pt 1 0*Yt t
0* QtS QtD 1 *1 2 Pt 0* Pt 1 3Yt ut
QtS QtD 0*1 0* Pt 0* Pt 1 0*Yt 0
模型（假定市场总是出清）： s Q 供给方程： t 1 2 Pt 3Pt 1 t 需求方程： QtD 1 2 Pt 3Yt ut S D Q Q 均衡方程： t t
其中 Pt、Pt 1分别表示t期、t-1期某商品的价
Qt 分别表示t期该商品的供给量和需求 QtS 、 格，
6
（三）前定变量 所谓前定变量（predetermined variables） 是指独立于变量所在方程当期和未来各期随机误 差项的变量。由定义可知，外生变量属于前定变 量，另外还有一类变量也属于前定变量，即滞后 的内生变量，因为滞后的内生变量仅与方程前期 的随机误差项相关而与方程当期、未来各期的随 机误差项无关。前定变量也只能在现期的方程中 做解释变量，并且不受随机误差项的影响。 Pt 1 作为滞后的内生变量， Yt 作为 在模型7.1中， 外生变量都属于前定变量。
1 1 ut t Pt Yt Pt 1 2 2 2 2 2 2 2 2