椭圆与直线相交的弦长公式
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
1. 直线必须经过椭圆的中心。 3. 切点必须在椭圆的边界上。
02
弦长公式
弦长的定义
弦长
直线与椭圆相交形成的线段称为 弦，弦的长度即为弦长。
焦点与弦长
椭圆的两焦点与弦长所形成的两 个夹角称为焦点弦角，焦点弦角 的大小会影响弦的长度。
弦长公式的推导
1 2
基于椭圆的参数方程
椭圆的一般方程可表达为x=a×cosθ,y=b×sinθ ，其中a为长半轴，b为短半轴。
判断直线与椭圆的位置关系
通过比较弦长与长短轴的大小关系，可以判断直线与椭圆的位置关系，即相交 、相切或相离。
03
弦中点问题
中点的定义
定义
如果一个点平分一条线段，那么这个 点叫做这条线段的中点。
数学定义
如果点$P$将线段$AB$分成两条相等 的线段$AP$和$BP$，则称$P$为线段 $AB$的中点。
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弦长公式的应用实例
描述
已知椭圆的方程为$\frac{x^{3}}{9} + \frac{y^{3}}{4} = 1$，求该椭圆上一点P到直线l：3x - y - 7 = 0的距离最 短点的坐标。
分析
首先设出平行线方程为$3x - y + m = 0$，利用点到直线的距离公式和平行线之间的距离公式找到距离最短的点 。
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦 中点问题
汇报人： • 弦长公式 • 弦中点问题 • 实例分析
01
直线与椭圆的位置关系
定义与性质
01
02
03
椭圆
一个椭圆是一个二维曲线 ，它是由所有点组成，这 些点到两个固定点的距离 之和等于常数。
直线
直线是二维空间中的一个 几何对象，它通过连接两 个点并延伸至无限而形成 。
椭圆中弦长问题
△AOB面积的最大值.
c 2
e＝ ＝ ，
a 2
由题意得 4 ＋ 1 ＝1，
a2 b2
a2＝b2＋c2，
a＝ 6，
x2 y2
∴椭圆 C 的方程为 6 ＋ 3 ＝1.
∴
b＝ 3，
设直线AB的方程为y＝－x＋m，
y＝－x＋m，
9
2
2 t2·t2＋6
所以|AB|的最大值为 2.
你还能想到其他做法吗？
三、定值、定点问题
【例 3】设
y2 x2
A(x1，y1)、B(x2，y2)是椭圆 a 2 b 2 1(a b 0)
x1 y1
x2 y2
上的两点，已知 m ( b , a ), n ( b , a ) ，若 m n 0 且
a b
1(a>b>0)的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时，
|AB|＝
或|AB|＝
1＋k x1＋x2 －4x1x2
2
2
1
2
1＋k2 y1＋y2 －4y1y2
k存在
k存在且k≠0
.
注意点：
(1)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解
的情况下进行的，不要忽略判别式.
(2)不确定直线斜率的情况下，要分类讨论.
2 ，
1＋2k
|k| 4＋6k2 10
10
由
＝ 3 ，得 k＝±1，满足 Δ>0. 所以当△AMN 的面积为 时，k＝±1.
2
3
1＋2k
二、与弦长有关的最值、范围问题
2
2
x
y
直线与椭圆的位置关系、弦长公式
解：
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
高二数学 熊超进
直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
1直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
练习：已知椭C x2 y2 1斜率为1的 直线 l 与椭圆交
3
于 A, B 两点，且 AB 3 2求直线 l 的方程
2
3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1
直线和椭圆位置关系总结大全
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
椭圆与直线相交的弦长公式推导
椭圆与直线相交的弦长公式推导椭圆与直线相交的弦长公式推导引言概述椭圆与直线相交的弦长公式推导具有繁多的种类和巨大的数量，如果不能够科学处置，将会严重污染到水、大气以及土壤环境。
近些年来，椭圆与直线相交的弦长公式推导产生量呈现出不断增长的态势，迫切需要深入治理。
因此，椭圆与直线相交的弦长公式推导要依据生态文明建设要求，结合椭圆与直线相交的弦长公式推导的产生原因以及处置利用中暴露的问题，及时采取针对性的优化措施，减少椭圆与直线相交的弦长公式推导产生量的基础上，高效利用椭圆与直线相交的弦长公式推导。
1椭圆与直线相交的弦长公式推导的概念1.1椭圆与直线相交的弦长公式推导种类通常情况下，可从三个方面划分椭圆与直线相交的弦长公式推导的种类。
第一，工业椭圆与直线相交的弦长公式推导。
工业生产过程中，难免会有气体、固体、液体等诸多形式的污染物产生。
工业椭圆与直线相交的弦长公式推导涵盖一般废物与危险废物两种，前者的危害较小，后者的腐蚀性，毒性较强，会在较大程度上危害到人体健康与环境。
第二，城市椭圆与直线相交的弦长公式推导。
城市运行过程中，将会有建筑垃圾、商业垃圾等大量的椭圆与直线相交的弦长公式推导产生。
特别是近些年来，随着城市规模的扩大，椭圆与直线相交的弦长公式推导量也显著增加。
第三，农业椭圆与直线相交的弦长公式推导。
植物秸秆、动物粪便等为农业椭圆与直线相交的弦长公式推导的主要类型，如果不能够科学处置，也会污染到生态环境。
1.2椭圆与直线相交的弦长公式推导的影响椭圆与直线相交的弦长公式推导往往经过一段时间的积累后，方才会逐渐体现出对椭圆与直线相交的弦长公式推导的污染。
第一，椭圆与直线相交的弦长公式推导污染水体。
在雨水、重力沉降等作用下，椭圆与直线相交的弦长公式推导地表水系内容易进入空中漂浮的椭圆与直线相交的弦长公式推导细小颗粒，颗粒溶解后，有害成分将会在水中产生。
椭圆与直线相交的弦长公式推导如果向河流中排放大量的椭圆与直线相交的弦长公式推导，河道将会遭到堵塞，出现不同程度的淤积现象。
2.2.2椭圆简单几何性质(第4课时)(直线与椭圆的弦长公式)
条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
2、若P(x,y)满足 大值、最小值.
解：
,求
的直 的最
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条
二、弦长公式
推导：设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线斜率为k．
弦长公式：
其中
、
可以由韦达定理求得
例：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
方法与过程：
(1)联立方程组；
(2)消去其中一个未 知数，得到二元一 次方程；
(3)韦达定理；
为：
一、直线与椭圆的位置关系
种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
由方程组：
消去y
mx2+nx+p=0（m≠ 0） = n2-4mp
通法
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离
回忆：直线与圆的相交弦长 弦长公式：
椭圆的简单几何性质
(第四课时)
弦长公式Байду номын сангаас
要点·疑点·考
椭圆中的弦长公式
椭圆中的弦长公式椭圆是一种常见的几何图形，其形状类似于拉长的圆形。
在数学中，我们可以通过椭圆中的弦长公式来计算椭圆的相关参数。
我们需要了解什么是弦。
弦是连接椭圆上任意两点的直线段。
在椭圆中，我们可以通过弦的长度来推导出椭圆的周长、面积等参数。
椭圆中的弦长公式是指，如果一条弦的长度为2a，那么这条弦所对应的两个角的正弦值之和等于2a的长度与椭圆长轴长度2b的比值。
换句话说，假设弦所对应的两个角为角A和角B，那么sinA+sinB=2a/2b，即sinA+sinB=a/b。
这个公式可以通过三角函数的知识来推导，但对于我们来说，更重要的是应用这个公式来解决实际问题。
例如，如果我们已知椭圆的长轴和短轴长度分别为6和4，同时已知一条弦的长度为5，那么我们可以通过弦长公式计算出这条弦所对应的两个角的正弦值之和。
我们可以通过勾股定理计算出椭圆的焦距长度f。
根据勾股定理，f 的平方等于长轴长度a的平方减去短轴长度b的平方。
因此，f的长度为√(a²-b²)=√(6²-4²)=√20≈4.47。
接下来，我们可以通过椭圆的离心率e来计算弦所对应的两个角的正弦值之和。
椭圆的离心率e为f/a，因此e的值为4.47/6≈0.745。
根据弦长公式，sinA+sinB=a/b=3/2。
由于sinA和sinB的值相等，我们可以将它们表示为x，那么2x=3/2，因此x=3/4。
由于sinA和sinB的值相等，因此它们的值均为3/4。
我们可以通过反三角函数计算出角A和角B的度数值，然后再将它们转换为弧度制。
例如，我们可以使用arcsin函数计算出sinA和sinB的度数值为48.59度，然后将它们转换为弧度制得到0.846弧度。
通过这个例子，我们可以看到，椭圆中的弦长公式可以帮助我们计算出椭圆的相关参数，例如椭圆内部的角度、周长、面积等。
同时，我们也需要注意到，在实际应用中，我们需要灵活运用数学知识来解决问题，而不是仅仅依靠公式的记忆。
椭圆的简单几何性质(直线与椭圆的弦长公式)
3. 两条直线的平行与垂直
平行： l1 / /l2 k1 k2 垂直： l1 l2 k1k2 1
4.两条平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0的距离 为：d C1 C2
A2 B2
问题2：直线与圆的位置关系有哪几种？
怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
线，求弦长AB。
3、 已知椭圆5x2+9y2=45，判断点A(1,1)与 椭圆的位置关系,你能求出以A为中点椭圆的 弦所在的直线方程吗？
三、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解法一：
韦达定理→中点坐标→斜率
课后探讨第二种解法
三、弦中点问题
例 ：已知椭圆
二、直线与椭圆的相交弦长
推导：设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线斜率为k．
弦长公 )2 4x1x2
1
1 k2
( y1 y2 )2 4 y1 y2
其中 x1 x2 、 x1x2 可以由韦达定理求得
例2：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
方法与过程：
(1)联立方程组；
(2)消去其中一个未 知数，得到二元一 次方程；
(3)韦达定理；
(4)弦长公式.
课堂练习
1、过点A(5,5)与椭圆
x2
y2 1只有一个公共点的直线
25 16
有（ ）
A的坐标变为 (0,2)，结果如何？
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
2、过椭圆 x2 2 y2 4 的左焦点作倾斜角为 30 的直