椭圆与直线相交的弦长公式
椭圆与直线相交的弦长公式
椭圆与直线相交的弦长公式：直线：y=kx+b，椭圆：
x²/a²+y²/b²=1√（1+k²）[（xA+xB）²-4xAxB]。其中A，B是直线和椭圆的交点，xA和xB是点A和B的横坐标。
椭圆的弦长公式
两点间距离公式：|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 完全平方公式： (a +b ) 2＝ ① 完全平方公式： (a -b ) 2＝ ② ①-②，得： 问题：设直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝ ＝ ＝ 同理可得|AB |＝|y 1－y 2|·1＋1k 2 (k ≠0). 例 已知椭圆22 12521 x y +=，的直线交椭圆于,A B 两点，求AB .
练习 已知椭圆x 216＋y 24 ＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程，并求弦AB 的长. 解 方法一 易知直线斜率k 存在. 设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)， 由⎩ ⎪⎨⎪⎧ y －1＝k (x －2)，x 216＋y 24＝1， 得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是上述方程的两根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1 . 又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1 ＝2， 解得k ＝－12 ，且满足Δ>0. 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. ∵x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝4(2k －1)2－164k 2＋1 ＝0. ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋⎝⎛⎭⎫－12242－0＝2 5. 方法二 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2). ∵M (2,1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A 、B 两点在椭圆上， 则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2 ＝－12， 即k AB ＝－12 .故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. |AB |求法同上.
椭圆中的弦长公式推导
椭圆中的弦长公式推导 椭圆是一种经典的曲线，它的研究和应用在流体力学、空间结构、航天学、机械设计等广泛的领域中被广泛使用。因此，研究椭圆的形状特性非常重要。 椭圆的一个重要形状特性是，它存在一种弦长公式，即在椭圆上任意一动点P处，弦PP’的长度可用下式表示： d=2ae√1-e2sin2α 其中，a, e,分别表示椭圆的长轴、离心率、弦PP与椭圆的长轴的夹角。 下面我们将通过推导证明上式的正确性。 以P(x, y)为弦PP上的任意一点，x = acost, y = bsint，坐标系以椭圆的中心为原点，a,b分别为椭圆的长短轴，e为离心率，将P位置投影到椭圆的长轴，得到点P1(acosθ, 0)，与他重合的点P1(a/cosθ, 0)，θ为PP与椭圆的长轴的夹角，由此投影出点P(a/cos θ, bsinθ)，即为PP上的另一点。 由PP上任意一点P可求出P，再求出弦PP的长度。设PP的长度为d，根据勾股定理可得： d2=x2+y2=(acost)2+(bsinθ)2=a2cos2θ+b2sin2θ 又由椭圆方程可知：b2/a2=1-e2 所以有： d2=a2cos2θ+b2sin2θ=a2cos2θ+a2(1-e2)sin2θ=a2{cos2θ +(1-e2)sin2θ}
令cos2θ+(1-e2)sin2θ=c（c为任意常数） 即有： d2=a2c, 又因为e2=1-b2/a2, 可得cos2θ+(1-e2)sin2θ=cos2θ+(1-(1-b2/a2))sin2θ=cos2θ+b2/a2sin2θ 即有： c=cos2θ+b2/a2sin2θ 代入方程d2=a2c，可得： d2=a2{cos2θ+(1-e2)sin2θ} 即有：d=2ae√1-e2sin2α 因而可以得出：在椭圆上任意一点P处，弦PP的长度可用弦长公式下式表示： d=2ae√1-e2sin2α 上式的证明也完成了，由此可以看出，椭圆中的弦长公式是一个非常重要的特性。它可以用来研究椭圆的形状特性以及在实际应用中的使用，可以更好地满足工程的需要。
椭圆中的弦长公式推导
椭圆中的弦长公式推导 椭圆是圆的一种曲线，它把一个平面分割成四个部分，根据它的特性，可以得出椭圆的曲线长度公式。本文将以椭圆中的弦长公式推导为主题，分析其相关概念，给出计算椭圆弦长的公式。 首先，有关椭圆的一些概念需要了解，它是一种特殊的椭圆，在数学上用以下公式表示： $${frac {x^2}{a^2}+frac {y^2}{b^2}=1}$$ 式中，a和b分别表示椭圆的长轴和短轴，他们的值取决于椭圆的形状。椭圆的弦长，就是在椭圆边上从一个点到另一个点的距离。 椭圆的弦长，可以用以下公式表达： $${mathrm {L} =2aint _{alpha }^{beta }sqrt {1-epsilon sin ^{2}theta },dtheta }$$ 式中，L表示椭圆弦长，a表示椭圆长轴，ε表示椭圆长轴除以短轴的比例（ε=a/b），α和β表示椭圆弦的起始点和终止点的极角。 由上式可以推导出，椭圆弦长的近似计算公式为： $${mathrm {L} approx frac{2pi aleft(1-frac{epsilon }{2}+frac{epsilon ^{2}}{12}-frac{epsilon ^{4}}{720}+frac{ epsilon ^{6}}{30240}-frac{epsilon ^{8}}{1209600}+cdotsright)}{sqrt {1-epsilon}}}.$$ 上面这个公式就是椭圆弦长公式，它表示在椭圆边上任意两点之间的距离，只要知道椭圆的长轴和短轴比例，就可以使用该公式计算
弦长。 经过上面的介绍，我们已经完成了椭圆中弦长公式的推导，也就是给出了计算椭圆弦长的近似公式。由此，可以发现，在几何图形领域，椭圆弦长公式有重要的研究价值，既可以用于椭圆的性质分析，也可以用于椭圆形状的构建。 到此，本文着重阐述了椭圆中弦长公式的推导，介绍了各概念的定义，以及计算椭圆弦长的公式。只要掌握了椭圆弦长公式，就可以计算出任意椭圆弦上两点之间的距离，从而有助于深入了解几何图形的性质以及构建复杂的椭圆形状。 结束语 本文讨论了椭圆中弦长公式的推导。通过介绍各相关概念，给出计算椭圆弦长的公式，总结了椭圆弦长公式的重要性，为进一步研究几何体提供了有助于理解的视角。
椭圆弦长公式6种
椭圆弦长公式6种 椭圆是几何中重要的概念，弦长是椭圆的一个重要尺寸，许多椭圆弦长计算中会使用到椭圆弦长公式。关于椭圆弦长公式，近代有着多种。本文将总结分析这6种椭圆弦长公式，以期更好地理解它们的应用，及应用椭圆弦长公式在几何计算中的重要性。 首先，让我们来认识一下这6种椭圆弦长公式，它们分别是：拉弗森法、科赫法、弗兰克法、双曲线法、加勒特-埃斯特罗法、经典椭圆法。 1、拉弗森法：基于拉弗森范数的椭圆弦长公式。拉弗森法的公式表达式是：L=π·ak(1+e/2)，其中，a为轴长，e为离心率，k为拉弗森范数。 2、科赫法：基于拉普拉斯算子的椭圆弦长公式。科赫法的公式表达式是：L=π·ak(1+e/2)，其中，a为轴长，e为离心率，k为拉普拉斯算子。 3、弗兰克法：基于拉普拉斯算子的椭圆弦长公式。弗兰克法的公式表达式是：L=π·ak(1+e/2)，其中，a为轴长，e为离心率，k 为拉普拉斯算子。 4、双曲线法：基于双曲线解析函数的椭圆弦长公式，双曲线法的公式表达式是：L=π·ak(1+e/2)，其中，a为轴长，e为离心率，k为双曲线解析函数。 5、加勒特-埃斯特罗法：基于埃斯特罗多项式的椭圆弦长公式，加勒特-埃斯特罗的公式表达式是： L=π·ak(1+e/2 )，其中，a为
轴长，e为离心率，k为埃斯特罗多项式。 6、经典椭圆法：基于格雷斯沃丁算子的椭圆弦长公式，经典椭圆法的公式表达式是：L=π·ak(1+e/2 )，其中，a为轴长，e为离心率，k为格雷斯沃丁算子。 从上面的介绍可以看到，这6种椭圆弦长公式的计算方法主要是依赖于不同数学模型，有不同的着重点，所以使用时要根据具体情况选择合适的椭圆弦长公式。 接下来，我们看看这6种椭圆弦长公式在实际应用中的重要性。从本文所介绍的6种椭圆弦长公式中可以看出，它们各自有不同的优点和特点，因此可以将它们应用于不同的几何计算中。例如，拉弗森法可以用于非均匀椭圆的弦长计算，科赫法可以用于求解椭圆的法线方程，弗兰克法可以用于求解椭圆的X坐标，双曲线法可以用于求解椭圆的Y坐标，加勒特-埃斯特罗法可以用于椭圆的重心计算，而经典椭圆法可以用来求解椭圆长轴和短轴的边界常量。 最后，值得一提的是，椭圆弦长公式计算过程中可能会面临各种复杂的因素，这时我们要根据具体情况选择恰当的椭圆弦长公式，从而确保准确有效地求出椭圆的弦长。 总体来说，6种椭圆弦长公式扮演着重要的角色，无论是应用于几何计算的椭圆的弦长，还是椭圆特征值及它们之间的数学联系，都是非常实用的。 针对6种椭圆弦长公式，本文给出了简要介绍和实际应用，期望能够通过本文，更加深入地理解椭圆弦长公式，并能有效地利用这些
直线和椭圆的位置关系
直线和椭圆的位置关系 一、要点精讲 1．直线和椭圆的位置关系有三种：相交、相切、相离. 判定方法——代数法。 将直线方程与椭圆方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，判断方程解的情况： △＞0，方程有两个不同的解，则直线与椭圆相交； △＝0，方程有两个相等的解，则直线与椭圆相切； △＜0，方程无解，则直线与椭圆相离． 2．直线与椭圆相交所得的弦长公式：设直线b kx y +=交椭圆于()111,y x P ，()222,y x P ， 则()()()()()22212 21212 212 212212111k x x x x y y x x y y x x P P +-= ??? ????????? ??--+-=-+-= 所以2 21211k x x P P +-=，或()01 122121≠+-=k k y y P P ． 4．研究直线与椭圆位置关系的通性通法 解决直线与椭圆位置关系时，一般通过直线与椭圆交点个数进行研究，用一元二次方程的判别式，根与系数的关系，求根公式等来处理问题，还要注意数形结合思想的运用，通过图形的直观性帮助分析、解决间题． 三、基础自测 1. 椭圆13 42 2=+y x 的右焦点到直线x y 3=的距离是 A. 2 1 B. 23 C. 1 D. 3 2. 直线032:=++by x l 过椭圆1010:2 2 =+y x C 的一个焦点，则b 的值为（ ） A. 1- B. 21 C. 1-或1 D. 21-或2 1 3. 方程2 21y x -=表示的是椭圆的 （A ）上半部分 （B ）下半部分 （C ）左半部分 （D ）右半部分 4.（2012四川）椭圆22 143 x y +=的左焦点为F ，直线x m = 与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ?
椭圆的弦长公式
椭圆的弦长公式 椭圆是常见的几何图形，它与圆相似，但形状略有不同。在本文中，我们将探讨椭圆的弦长公式及其推导过程。 椭圆的定义 椭圆是在平面上定义的几何图形，它是固定点F（称为焦点）和固定直线L （称为直角边）到平面上点P的距离之和与一定的常数2a成比例的点的集合，即 PF1 + PF2 = 2a 其中F1和F2是一个椭圆的两个焦点，a是一个椭圆的半长轴。 椭圆的弦长 弦是在椭圆内部连接两个不相邻的点的线段。图中AB和CD是椭圆的两条弦，其长度为l。 我们的目标是推导出椭圆弦长的公式。 椭圆的标准方程
为了推导椭圆的弦长公式，我们需要引入椭圆的标准方程。 标准方程是将椭圆放在坐标系中并将椭圆的中心与坐标系的原点重合时的方程。一个椭圆的标准方程为： x²/a² + y²/b² = 1 其中a和b是椭圆的半长轴和半短轴。 椭圆的弦长公式的推导 现在我们来推导椭圆的弦长公式。 假设椭圆的标准方程是 x²/a² + y²/b² = 1 弦AB的两个端点的坐标可以表示为： A（-x1, y1）和B（x2, y2）
根据标准方程，我们可以得到： y1²/b² = 1 - x1²/a² (1) y2²/b² = 1 - x2²/a² (2) 将式(1)和式(2)相加： y1²/b² + y2²/b² = 2 - x1²/a² - x2²/a² 将x1和x2相加，得到： x1 + x2 = -（a²/b²）（y1 + y2）/（x1 - x2） 我们假设椭圆的中心为（0, 0），则坐标系中任意一点P的坐标为（x, y）。以y1作为y坐标，可以得到： x = a²x1/（a² - b²），y = b²y1/（a² - b²） 同样地，以y2作为y坐标，可以得到： x = a²x2/（a² - b²），y = b²y2/（a² - b²）
椭圆上两点的弦长公式
椭圆上两点的弦长公式 椭圆弦长公式是一个数学公式，关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交 点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长[1] 。 设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。 释义 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷[2] 。 用极坐标方法 椭圆极坐标方程是： 其中e是椭圆离心率，p是焦点到对应准线的距离，是弦与x轴所夹的角 度 所以你要求的那个弦长就是 椭圆弦长公式编辑播报 若直线过焦点并知道倾斜角，则还可以使用 推导 设直线y=kx+b 代入椭圆的方程可得：x²/a²+ (kx+b)²/b²=1， 设两交点为A、B，点A为（x1,y1)，点B为(x2,y2) 则有AB=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²] 把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入, 则有： AB=√[(x1-x2)²+(kx1-kx2)² =√[(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]
=│x1-x2│√(1+k²)同理可以证明：弦长=│y1-y2│√[(1/k²)+1]直线和椭圆的交点（默认一定存在交点，且直线A!=0，B!=0;） 直线：Ax+By+C=0; 椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1; 求直线和椭圆的交点： (B^2+(A^2*a^2)/b^2)*y^2 + 2*B*C*y+C^2-A^2*a^2=0; 令m=(B^2+(A^2*a^2)/b^2); n=2*B*C; p=C^2-A^2*a^2; 令m1=(A^2+(B^2*b^2)/a^2); n1=2*AC; p1=C^2-B^2*b^2; 得到y=(-n±√(b^2-4*m*p))/2*m; 当y=(-n-√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1-√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1 当y=(-n+√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1+√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1
椭圆弦长公式推导过程
椭圆弦长公式推导过程 椭圆弦长公式是一个用于计算椭圆上两点之间距离的公式。下面我们将详细介绍它的推导过程。 首先，让我们考虑椭圆的一般方程：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a>b>0)，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。 假设椭圆上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)之间的距离为d，那么我们可以根据距离公式计算d^2。具体来说，d^2 = (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2。 将A和B的坐标分别代入椭圆方程，得到： x1^2/a^2 + y1^2/b^2 = 1 (1) x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 1 (2) 从(1)和(2)两式中，我们可以得到： x1^2 - x2^2 = a^2*(1-y1^2/b^2) - a^2*(1-y2^2/b^2) = a^2*(y2^2/b^2 - y1^2/b^2) = a^2*(y2- y1)*(y2+y1)/b^2 y1^2 - y2^2 = b^2*(1-x1^2/a^2) - b^2*(1-x2^2/a^2) = b^2*(x2^2/a^2 - x1^2/a^2) = b^2*(x2- x1)*(x2+x1)/a^2 由于(x1-x2)*(y1+y2)和(y1-y2)*(x1+x2)是两个不相关的项，因此我们可以将它们分离出来，得到： d^2 = (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 = (x1-x2)*(x1+x2) + (y1-y2)*(y1+y2) = [(x1-x2)*(x1+x2)]/a^2 + [(y1- y2)*(y1+y2)]/b^2 = [a^2*(y1-y2)*(y1+y2)]/a^2 + [b^2*(x1-x2)*(x1+x2)]/b^2 = a^2*|y1-y2|/a + b^2*|x1-x3|/b = a*|y1-y2| + b*|x1-x3| 其中，|y1-y3|表示纵坐标之差的绝对值，|x1-x3|表示横坐标之差的绝对值。 从上述推导中，我们可以得到椭圆弦长公式： d = a*|y1-y3| + b*|x1-x3| 这个公式可以用来计算椭圆上任意两点之间的距离。
椭圆专题：中点弦、弦长、焦点弦
直线与椭圆综合问题（一）位置关系，弦长公式，焦点弦，中点弦 一、判断椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）和直线l ：0Ax By C ++=的位置关系： 联立椭圆和直线方程22 2210x y a b Ax By C ⎧+=⎪⎨⎪++= ，消y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程 二、弦长公式 已知直线l ：y kx b =+与椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）交于,A B 两点，如何求AB ？ 练习：1. 已知斜率为1的直线l 交椭圆C ：22 143 x y +=于,A B 两点，求AB 最大值； 2. 已知过(1,0)A 的直线l 交椭圆C ：22 143 x y +=于,A B 两点，求AB 最大值. 三、焦点弦 请你推导椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的过右焦点的弦长公式（分别用斜率k 以及倾斜角θ表示）.
练习：3. 已知椭圆22 221x y a b +=（0a b >>），过右焦点且倾斜角为θ的直线与椭圆交于,A B 两点，求当θ为何值时，AOB ∆面积最大。 思考：焦半径如何用倾斜角θ表示？（表示后再去做一遍47页第7题） 四、中点弦 已知椭圆22 221x y a b +=（0a b >>），直线y kx b =+交该椭圆于,A B 两点，如果求AB 中点M 坐标？ 已知椭圆22 221x y a b +=（0a b >>），过椭圆内一点00(,)M x y 的弦AB 被M 平分，如何求AB k ，直线AB 方程，以及AB ？ 练习：4.倾斜角为4 π的直线l 与椭圆C ：2214x y +=交于,A B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程． 5.如图14-35，过椭圆22 1164 x y +=内的一点(1,1)M 的直线与椭圆交于A B 、两点． （1）若点M 恰为弦AB 的中点，求直线AB 的方程； （2）求过点M 的椭圆弦的中点P 的轨迹方程．
椭圆中的弦长公式
椭圆中的弦长公式 椭圆是一种常见的几何图形，其形状类似于拉长的圆形。在数学中，我们可以通过椭圆中的弦长公式来计算椭圆的相关参数。 我们需要了解什么是弦。弦是连接椭圆上任意两点的直线段。在椭圆中，我们可以通过弦的长度来推导出椭圆的周长、面积等参数。 椭圆中的弦长公式是指，如果一条弦的长度为2a，那么这条弦所对应的两个角的正弦值之和等于2a的长度与椭圆长轴长度2b的比值。 换句话说，假设弦所对应的两个角为角A和角B，那么sinA+sinB=2a/2b，即sinA+sinB=a/b。 这个公式可以通过三角函数的知识来推导，但对于我们来说，更重要的是应用这个公式来解决实际问题。 例如，如果我们已知椭圆的长轴和短轴长度分别为6和4，同时已知一条弦的长度为5，那么我们可以通过弦长公式计算出这条弦所对应的两个角的正弦值之和。 我们可以通过勾股定理计算出椭圆的焦距长度f。根据勾股定理，f 的平方等于长轴长度a的平方减去短轴长度b的平方。因此，f的长度为√(a²-b²)=√(6²-4²)=√20≈4.47。 接下来，我们可以通过椭圆的离心率e来计算弦所对应的两个角的
正弦值之和。椭圆的离心率e为f/a，因此e的值为4.47/6≈0.745。 根据弦长公式，sinA+sinB=a/b=3/2。由于sinA和sinB的值相等，我们可以将它们表示为x，那么2x=3/2，因此x=3/4。 由于sinA和sinB的值相等，因此它们的值均为3/4。我们可以通过反三角函数计算出角A和角B的度数值，然后再将它们转换为弧度制。例如，我们可以使用arcsin函数计算出sinA和sinB的度数值为48.59度，然后将它们转换为弧度制得到0.846弧度。 通过这个例子，我们可以看到，椭圆中的弦长公式可以帮助我们计算出椭圆的相关参数，例如椭圆内部的角度、周长、面积等。同时，我们也需要注意到，在实际应用中，我们需要灵活运用数学知识来解决问题，而不是仅仅依靠公式的记忆。
弦长公式(高二版椭圆)
圆锥曲线综合问 1.宜线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。 （1）若已知直线过点（心儿），则假设方程为y -儿二饥—兀）； （2）若已知直线的斜率斤，则假设方程为y = lcx^m ； （3） 若仅仅知道是直线.则假设方程为〉上总+ 〃？ 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论； （4） 若已知直线恒过x 轴上一点（匚0）,且水平线不满足条件（斜率为0）,可以假设 直线为x=my + t Q 【反斜截式，/n = yl 不含垂直于丿轴的情况（水平线） k 2 2 2•弦长公式：若直线l:y = lcx + m 与椭圆二+ . = 1@>方>0）相交于两点，求弦长 cr Zr \PQ\的步骤：设联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）： y = kx + m, 〜 f _ 、=、=消去y 整理成关于x 的一元二次方程：Af+ & + C = 0, /r 对 =crb\ ■ 则几花是上式的两个根，A = B 2 -4AC>0；由韦达定理得：西+总=一色「皿=£, A A 又P ，0两点在直线/上，=kx } +m i y 2=kx 2+m ,则y 2-y x =k （x 2-x x ）,从而 I PQ 1= Jc® — 召）'+（〉‘2 一 Vi ）' = J （R — 召）2+"（尤2 一齐）'=>/（1 +，）（尤2 — 召）， 【注意：如果联立方程组消去人整理成关于》的一元二次方程：Ay 2 + By + C = o 9则 3、其他常见问题处理 （1） 等腰（使用垂直平分），平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重 合） （2） 直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于-1）,其次考走是否需要求圆的方程。 （3） 锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解; （4） 三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：S △二卩，（这里卩=匕『）； （5） 圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义； （7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。 =J(1 + ")[(X| +吃)2 — 4 斗吃] \PQ 1=
椭圆的弦长与中点弦问题
2.2 椭圆 2.2.2椭圆的简单几何性质 第六课时 椭圆的弦长与中点弦问题 【学习目标】 会用代数方法解决椭圆的弦长和中点弦问题； 【重难点】 重点：椭圆的弦长和中点弦问题 难点：会求椭圆的弦长和中点弦 【学习过程】 复习引入： 1、直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆有三种位置关系：相交，相切，相离。 2、直线与椭圆位置关系的判断方法——代数法 设直线方程为m kx y +=与椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 联立，消去y 得关于x 的 一元二次方程)0(02 ≠=++A C Bx Ax 。 1、⇔>∆0直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交。 2、⇔=∆0直线与椭圆有一个公共点⇔直线与椭圆相切， 3、⇔<∆0直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离。 讲授新课： 知识点一：直线与椭圆相交弦长的求法 1、椭圆的弦：直线与椭圆相交，直线被椭圆所截得的线段，叫做椭圆的弦。 当直线过椭圆的焦点时，所截得的弦称为“焦点弦”。 2、弦长公式：设直线m kx y +=与椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 交于),(11y x A 、 ),(22y x B 两点，则弦长 2122124)(1||x x x x k AB -++=212212 4)(1 1y y y y k -++ = 例1 （新课程导学P19例2）斜率为1的直线l 过椭圆14 22 =+y x 的右焦点F ，交 椭圆于B A ,两点，求||AB 。 练习：（新课程导学P20跟踪训练2-1）过椭圆14 52 2=+y x 的右焦点作一条斜率为2的 直线与椭圆交于B A ,两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为 知识点二：椭圆的通径 垂直于长轴的焦点弦，叫做椭圆的通径，其长为a b 2 2 知识点三：中点弦问题 解决中点弦问题的基本方法——点差法。 点差法：设出交点坐标，代入椭圆方程，整体作差求直线的方程。 例2 （新课程导学P20例3）已知椭圆19 362 2=+y x 和点)2,4(P ，直线l 经过点P 且 与椭圆交于B A ,两点。 （1）当直线l 的斜率为2 1 时，求线段AB 的长度； （2）当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程。 【课堂检测】（新课程导学P20达标检测） 1、（新课程导学P20达标检测）椭圆16422 =+y x 被直线12 1 += x y 截得的弦长为 2、已知焦点在y 轴上的椭圆C 的短轴长6，通径为2，则椭圆C 的标准方程为 。 【课堂小结】 1、直线与椭圆相交弦长的求法、弦长公式：2122124)(1|| x x x x k AB -++= 2、椭圆的通径公式：a b 2 2 3、中点弦及解决中点弦的方法——点差法 【课后作业】 新课程导学《作业与检测》P62 第5、6、10题