椭圆的弦长公式推导过程
椭圆的弦长公式推导过程
椭圆的弦长公式是指椭圆弧上的弦长，记作L，它等于两端点处对应的椭圆方程的参数b和a的函数：L=2a∫0π/2[1-(εsinθ)2]1/2dθ
其中ε = b/a.
推导过程：
(1)将椭圆x2/a2+y2/b2=1 写成极坐标形式：r = a/[1-ε2cos2θ]
(2)由微分公式：ds2=dr2+r2dθ2,可得：
ds=a/[1-ε2cos2θ]dθ.
(3)由ds=dL, 即可得椭圆弦长公式：
L=2a∫0π/2[1-(εsinθ)2]1/2dθ
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用 摘要 ：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12 AB x -或 者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式： 22222cos ab AB a c θ =-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便. 下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用. 解法一：根据弦长公式直接带入解决. 题：设椭圆方程为122 22=+b y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭 圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB . 椭圆方程12222=+b y a x 可化为02 22222=-+b a y a x b ……①， 直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得： 222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-= ∴24 1212222222 2,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++， ∴ 12AB y -==∴()2 222 221ab AB m b m a =++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90o ,则1 tan m θ = ，则有： ()222 2222 222 221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ ??=+=+ ?+??+, 由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为2 222 2cos ab AB a c θ =-……②. （2）若=90θo ，则0m =，带入()22 222 21ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由
椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式 椭圆是平面上的一条曲线，其定义是到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。这两个固定点称为椭圆的焦点，常数称为焦距。 首先，我们来看一条椭圆的标准方程： (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 其中，a是椭圆的长半轴长，b是椭圆的短半轴长。 设椭圆的两个焦点为F1和F2，焦距为2c。 根据椭圆的定义，我们可以得知： PF1+PF2=2a 接下来，我们需要找到椭圆上其中一点P(x,y)到焦点F1和F2的距离之和。 设点P到F1的距离为d1，到F2的距离为d2、根据勾股定理，我们可以得到以下两个等式： d1^2=(x+c)^2+y^2 d2^2=(x-c)^2+y^2 将这两个等式相加并进行化简，我们可以得到： d1^2+d2^2=(x+c)^2+(x-c)^2+2y^2 =2x^2+2y^2+2c^2 根据椭圆的定义，我们还可以得到以下等式：
d1+d2=2a 将这个等式平方，并进行化简，我们可以得到： (d1+d2)^2=(2a)^2 =4a^2 展开平方操作，并将d1^2+d2^2替换为之前的结果，我们可以得到：d1^2+2d1d2+d2^2=4a^2 将之前的结果代入，并通过移项，我们可以得到以下等式： 2x^2+2y^2+2c^2+2d1d2=4a^2 进一步化简，我们可以得到以下等式： x^2/a^2+y^2/a^2+2c^2/a^2+d1d2/a^2=2 由于d1d2/a^2表示为(x+c)(x-c)/a^2，而(x^2/a^2+y^2/a^2)可以表 示为1，我们可以得到以下等式： 2c^2/a^2+(x+c)(x-c)/a^2=1 将之前的定义中的F1的坐标代入到等式中，我们可以得到以下结果：(x+c)(x-c)=a^2-c^2 其中，a^2-c^2可以表示为b^2，因此上述等式可以进一步化简为： (x+c)(x-c)=b^2 通过乘法公式，我们可以展开上述等式，并进行化简，得到下面的结果：
椭圆的焦点弦长公式推导
椭圆的焦点弦长公式推导 例：设椭圆方程为12222=+b y a x ，直线l ：b kx y +=交椭圆于A 、B 两点，求AB 长度。 解：椭圆方程12222=+b y a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……① ， 将直线l ：t kx y +=带入①得：()0222222=-++b a t kx a x b ，整理得， ()022********=-+++b a t a ktx a x b k a ， ∴222222*********,2b k a b a t a x x b k a kt a x x +-=+-=+， ∴()()()()()222222222222222222222224212212214444b k a t b k a b a b k a b a t a b k a t k a x x x x x x +-+=+-?-+=-+=- ∴2222222212t b k a b k a ab x x -++= - ∴22222222212121t b k a k b k a ab x x k AB -+++= -+= 若直线AB 经过左焦点1F （- c ，0），则kc t =，带入上式可得到， 122222221++=-k b k a ab x x ， ()12122222222222222++=-+++=k b k a ab t b k a k b k a ab AB ……焦点弦长公式① 若直线l 的倾斜角为θ，即θtan =k ，则有： ()()θθθ22222222222222cos 21tan tan 212c a ab b a ab k b k a ab AB -=++=++=……焦点弦长公式②
弦长公式(高二版椭圆)
圆锥曲线综合问 1.宜线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。 （1）若已知直线过点（心儿），则假设方程为y -儿二饥—兀）； （2）若已知直线的斜率斤，则假设方程为y = lcx^m ； （3） 若仅仅知道是直线.则假设方程为〉上总+ 〃？ 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论； （4） 若已知直线恒过x 轴上一点（匚0）,且水平线不满足条件（斜率为0）,可以假设 直线为x=my + t Q 【反斜截式，/n = yl 不含垂直于丿轴的情况（水平线） k 2 2 2•弦长公式：若直线l:y = lcx + m 与椭圆二+ . = 1@>方>0）相交于两点，求弦长 cr Zr \PQ\的步骤：设联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）： y = kx + m, 〜 f _ 、=、=消去y 整理成关于x 的一元二次方程：Af+ & + C = 0, /r 对 =crb\ ■ 则几花是上式的两个根，A = B 2 -4AC>0；由韦达定理得：西+总=一色「皿=£, A A 又P ，0两点在直线/上，=kx } +m i y 2=kx 2+m ,则y 2-y x =k （x 2-x x ）,从而 I PQ 1= Jc® — 召）'+（〉‘2 一 Vi ）' = J （R — 召）2+"（尤2 一齐）'=>/（1 +，）（尤2 — 召）， 【注意：如果联立方程组消去人整理成关于》的一元二次方程：Ay 2 + By + C = o 9则 3、其他常见问题处理 （1） 等腰（使用垂直平分），平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重 合） （2） 直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于-1）,其次考走是否需要求圆的方程。 （3） 锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解; （4） 三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：S △二卩，（这里卩=匕『）； （5） 圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义； （7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。 =J(1 + ")[(X| +吃)2 — 4 斗吃] \PQ 1=
过椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式
过椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式 椭圆是我们初中数学学习中比较基础的一种二次曲线，在学习椭圆的性质时，有一条焦点垂直于长轴的弦长公式是必须要掌握的。那么，什么是椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式呢？ 一、椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式的定义： 椭圆的焦点垂直于长轴的弦长公式是指，对于一个椭圆，设其长轴的长度为2a，短轴的长度为2b，则椭圆的焦点到长轴垂足的距离为c，长轴上任意一点到椭圆上一点的距离为s，则焦点垂直于长轴的弦长公式为： s²=4a²-c² 其中，a、b、c为椭圆的三个参数，分别表示长轴的半长轴、短轴的半长轴和焦距。 二、证明： 证明四步如下： 1) 假设在椭圆上任取一点P(x,y)，设焦点为F1(x1,y1)，垂足为H(x,y1)。连接FP1，FH。则有HF1=c。
2) 再设椭圆的左、右顶点分别为A(-a,0)、B(a,0)，则长轴AB 的中点为O(0,0)。 3) 由于OH垂直于长轴，且∠PFH=90°，则PH是OH的投影，即PH∥OH。又因为FOHF1是平行四边形，所以OF1||FH。 4) 由平行性，有 PH/PF1=OH/OH+2c=OH/OA，所以 PF1⋅PH/OH=F1H=c，于是有PF1²=PH²+c²，代入x²/a²+y²/b²=1可 得s²=4a²-c²。 三、应用： 椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式在椭圆的研究中有广泛的应用，如常数项展开、直线切线、切线方程求解等等。 比如，在切线方程的求解中，就可以用椭圆焦点垂直于长轴的 弦长公式来确定椭圆上点到直线距离的计算，然后利用求解直线 与该点的切线即可得到切线方程。 四、总结： 椭圆焦点垂直于长轴的弦长公式是椭圆的基本公式之一，在学 习椭圆的性质时是必须要掌握的。通过学习其定义、证明和应用，我们可以更深入地了解椭圆的性质，为以后的学习打下扎实的基础。
椭圆的弦长公式
椭圆的弦长公式 椭圆是常见的几何图形，它与圆相似，但形状略有不同。在本文中，我们将探讨椭圆的弦长公式及其推导过程。 椭圆的定义 椭圆是在平面上定义的几何图形，它是固定点F（称为焦点）和固定直线L （称为直角边）到平面上点P的距离之和与一定的常数2a成比例的点的集合，即 PF1 + PF2 = 2a 其中F1和F2是一个椭圆的两个焦点，a是一个椭圆的半长轴。 椭圆的弦长 弦是在椭圆内部连接两个不相邻的点的线段。图中AB和CD是椭圆的两条弦，其长度为l。 我们的目标是推导出椭圆弦长的公式。 椭圆的标准方程
为了推导椭圆的弦长公式，我们需要引入椭圆的标准方程。 标准方程是将椭圆放在坐标系中并将椭圆的中心与坐标系的原点重合时的方程。一个椭圆的标准方程为： x²/a² + y²/b² = 1 其中a和b是椭圆的半长轴和半短轴。 椭圆的弦长公式的推导 现在我们来推导椭圆的弦长公式。 假设椭圆的标准方程是 x²/a² + y²/b² = 1 弦AB的两个端点的坐标可以表示为： A（-x1, y1）和B（x2, y2）
根据标准方程，我们可以得到： y1²/b² = 1 - x1²/a² (1) y2²/b² = 1 - x2²/a² (2) 将式(1)和式(2)相加： y1²/b² + y2²/b² = 2 - x1²/a² - x2²/a² 将x1和x2相加，得到： x1 + x2 = -（a²/b²）（y1 + y2）/（x1 - x2） 我们假设椭圆的中心为（0, 0），则坐标系中任意一点P的坐标为（x, y）。以y1作为y坐标，可以得到： x = a²x1/（a² - b²），y = b²y1/（a² - b²） 同样地，以y2作为y坐标，可以得到： x = a²x2/（a² - b²），y = b²y2/（a² - b²）
弦长公式及其运用
弦长公式在职业高中数学解题中的应用 邹志勇 摘要：直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何中的一个重要内容之一，而弦长公式的应用是其中的一个重要知识点，也是高考的热点，如何培养学生的创新思维，找到求解弦长的有效方法，在数学教学中显得尤为重要。 关键词：弦长、弦长公式、弦长公式的应用。 与“求弦长”有关的知识点在职高数学教学中经常遇到，而弦长公式是求弦长的最快捷方法之一，在实际应用中，如何让学生灵活地应用弦长公式求弦长在解题中显得至关重要。 一、弦长：这里指的是直线与圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交所截的线段。 二、弦长公式：这里指的是弦长计算公式，弦长公式有好几个，而这里所要讲的是简化后的弦长公式（Ｌ＝ a k ∆ +21 ） （1）弦长公式的推导 设直线y=kx+t 与圆锥曲线相交于A （1x ，1y ） B （2x ，2y ）两点。则弦长为AB ,把y=kx+t 代入圆锥曲线方程消去y 化简整理得到一个关于x 的一元二次方程 2x α+bx+c=0 （α≠0） 则1x +2x =－a b ，1x 2x =a c ∴ AB =212212)()(y y x x -+-=[]212212)()()(t kx t kx x x +-++- =2122) )(1(x x k -+=)1(2k +212214)(x x x x -+ =)1(2k + a c a b ⋅--4)(2=)1(2k + 224a ac b -=a k ∆+21 ∴ 弦长公式为 =a k ∆+21 （其中k 表示直线的斜率，△=2b -4ac ，α表示一元二次方程中2 x 的系数） （2）弦长公式的应用 ①直线与圆相交时，弦长公式的应用举例。 例1：已知直线y=2x-5与圆x 2+y 2=25相交于A ，B 两点，求AB 解：把y=2x-5代入x 2+y 2=25化简得x 2—4x=0 ∴ k=2 α=1 △= 2)4(--4×1×0=16 ∴ AB =a k ∆+21=116212+=45 ②直线与椭圆相交时，弦长公式的应用
椭圆上两点的弦长公式
椭圆上两点的弦长公式 椭圆弦长公式是一个数学公式，关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交 点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长[1] 。 设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。 释义 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷[2] 。 用极坐标方法 椭圆极坐标方程是： 其中e是椭圆离心率，p是焦点到对应准线的距离，是弦与x轴所夹的角 度 所以你要求的那个弦长就是 椭圆弦长公式编辑播报 若直线过焦点并知道倾斜角，则还可以使用 推导 设直线y=kx+b 代入椭圆的方程可得：x²/a²+ (kx+b)²/b²=1， 设两交点为A、B，点A为（x1,y1)，点B为(x2,y2) 则有AB=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²] 把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入, 则有： AB=√[(x1-x2)²+(kx1-kx2)² =√[(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]
=│x1-x2│√(1+k²)同理可以证明：弦长=│y1-y2│√[(1/k²)+1]直线和椭圆的交点（默认一定存在交点，且直线A!=0，B!=0;） 直线：Ax+By+C=0; 椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1; 求直线和椭圆的交点： (B^2+(A^2*a^2)/b^2)*y^2 + 2*B*C*y+C^2-A^2*a^2=0; 令m=(B^2+(A^2*a^2)/b^2); n=2*B*C; p=C^2-A^2*a^2; 令m1=(A^2+(B^2*b^2)/a^2); n1=2*AC; p1=C^2-B^2*b^2; 得到y=(-n±√(b^2-4*m*p))/2*m; 当y=(-n-√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1-√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1 当y=(-n+√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1+√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1
椭圆交点弦长公式
椭圆交点弦长公式 椭圆交点弦长公式是数学中关于椭圆的一个重要公式，用于计算椭圆上两点之间的弦长。椭圆是一种特殊的曲线，具有许多独特的性质和特点。掌握椭圆交点弦长公式，可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质和应用。 椭圆交点弦长公式的推导基于椭圆的定义和性质。首先，我们需要了解椭圆的定义。椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点（焦点）的距离之和始终是一个常数。这两个焦点与椭圆的长轴平行。 在椭圆上任取两个点A和B，这两个点分别到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a（a为椭圆的半长轴），即AF1 + AF2 = 2a。现在我们要计算点A和点B之间的弦长AB。 我们可以通过椭圆的定义得到AF1和AF2的关系式，即AF1 + AF2 = 2a。根据这个关系式，我们可以得到AF1 = 2a - AF2。接下来，我们可以使用勾股定理计算弦长AB。 利用勾股定理，我们可以得到弦长AB的平方等于AF1的平方加上AF2的平方减去两倍的AF1和AF2的乘积，即AB² = (2a - AF2)² + AF2² - 2(2a - AF2)(AF2)。 将上式展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4a(AF2) + (AF2)² + (AF2)² - 4a(AF2) + 4(AF2)²。简化后，得到AB² = 4a² - 4a(AF2)
+ 4(AF2)²。 由于椭圆的性质，我们可以将AF2表示为AE - EF2，其中AE为椭圆的半长轴，EF2为焦点F2到点E的距离。代入上式，可以得到AB² = 4a² - 4a(AE - EF2) + 4(AE - EF2)²。 进一步展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4aAE + 4aEF2 + 4AE² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。 根据椭圆的定义，我们可以得到AE² = a² - EF1²，其中EF1为焦点F1到点E的距离。代入上式，可以得到AB² = 4a² - 4aAE + 4aEF2 + 4(a² - EF1²) - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。 继续整理，可以得到AB² = 4a² + 4aEF2 + 4a² - 4EF1² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。 由于椭圆的性质，我们可以得到EF1² + EF2² = AE²。代入上式，可以得到AB² = 8a² - 4EF1² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。 根据椭圆的性质，我们可以得到EF2 = EB - BF2，其中EB为椭圆的半短轴，BF2为焦点F2到点B的距离。代入上式，可以得到AB² = 8a² - 4EF1² - 8AE·(EB - BF2) + 4((EB - BF2)²)。 进一步展开并整理，可以得到AB² = 8a² - 4EF1² - 8AE·EB + 8AE·BF2 + 4(EB² - 2EB·BF2 + (BF2)²)。
椭圆中的弦长公式
椭圆中的弦长公式 椭圆是一种常见的几何图形，其形状类似于拉长的圆形。在数学中，我们可以通过椭圆中的弦长公式来计算椭圆的相关参数。 我们需要了解什么是弦。弦是连接椭圆上任意两点的直线段。在椭圆中，我们可以通过弦的长度来推导出椭圆的周长、面积等参数。 椭圆中的弦长公式是指，如果一条弦的长度为2a，那么这条弦所对应的两个角的正弦值之和等于2a的长度与椭圆长轴长度2b的比值。 换句话说，假设弦所对应的两个角为角A和角B，那么sinA+sinB=2a/2b，即sinA+sinB=a/b。 这个公式可以通过三角函数的知识来推导，但对于我们来说，更重要的是应用这个公式来解决实际问题。 例如，如果我们已知椭圆的长轴和短轴长度分别为6和4，同时已知一条弦的长度为5，那么我们可以通过弦长公式计算出这条弦所对应的两个角的正弦值之和。 我们可以通过勾股定理计算出椭圆的焦距长度f。根据勾股定理，f 的平方等于长轴长度a的平方减去短轴长度b的平方。因此，f的长度为√(a²-b²)=√(6²-4²)=√20≈4.47。 接下来，我们可以通过椭圆的离心率e来计算弦所对应的两个角的
正弦值之和。椭圆的离心率e为f/a，因此e的值为4.47/6≈0.745。 根据弦长公式，sinA+sinB=a/b=3/2。由于sinA和sinB的值相等，我们可以将它们表示为x，那么2x=3/2，因此x=3/4。 由于sinA和sinB的值相等，因此它们的值均为3/4。我们可以通过反三角函数计算出角A和角B的度数值，然后再将它们转换为弧度制。例如，我们可以使用arcsin函数计算出sinA和sinB的度数值为48.59度，然后将它们转换为弧度制得到0.846弧度。 通过这个例子，我们可以看到，椭圆中的弦长公式可以帮助我们计算出椭圆的相关参数，例如椭圆内部的角度、周长、面积等。同时，我们也需要注意到，在实际应用中，我们需要灵活运用数学知识来解决问题，而不是仅仅依靠公式的记忆。
椭圆的焦点弦长公式推导
设焦点弦端点为A，B，A，B横坐标分别为x1，x2，A，B到与焦点对应的准线的距离分别为d1，d2，焦点弦过焦点F， 则离心率e=AF/d1=BF/d2=(AF+BF)/(d1+d2)=AB/(d1+d2)=AB/[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|] 焦点弦长AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|] 若F为右焦点，则d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=(a^2)/c-x1+(a^2)/c-x2=2(a^2)/c-(x1+x2) 焦点弦长AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]=e[2(a^2)/c-(x1+x2)]=2(c/a)(a^2)/c-e(x1+x2) =2a-e(x1+x2) 若F为左焦点，则d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=x1-(a^2)/c+x2-(a^2)/c=(x1+x2)-2(a^2)/c 焦点弦长AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]=e[(x1+x2)-2(a^2)/c]=e(x1+x2)-2(c/a)(a^2)/c =e(x1+x2)-2a 扩展资料： 平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。 由锥体与平面相交的平面曲线。椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面平行于圆柱体的轴线。 如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx²+ny²=1（m>0，n>0，m≠n）。即标准方程的统一形式。 椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ，y=bsinθ 标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是：xx0/a²+yy0/b²=1。椭圆切线的斜率是：-b²x0/a²y0，这个可以通过复杂的代数计算得到
直线与椭圆的位置关系之弦长公式
直线与椭圆的位置关系之弦长公式 一、知识点 1） 弦长公式的推导、几何解释、作用 2） 弦长公式的应用 二、教学过程 1 弦长公式 引例：经过椭圆2 212 x y +=的左焦点F 作倾斜角为60o 的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长． 分析：左焦点(1,0)F - ，则直线:1)l y x =+代入椭圆方程2 212x y +=，得到 271240x x ++=，则=32∆ 设1122(,),(,)A x y B x y ，则 ||AB == =122|||| x x a - = 一般： 若直线l 上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则121212||||PP x x y y =-=-，上述公式称为弦长公式，有推导过程知，其实质是直线上两点距离公式的简化式； 说明： 1） 计算12||x x - ，可以通过12||x x -= 但通常利用12|||| x x a -= 计算，其中a 为对应x 的方程的二次项系数，∆为判别式；12||y y -也同理计算，弦长公式体现了“设而不求”的思想 2 ） 如图，因为2112||:||:|||P M PM PP k =，又 1 12||||PM x x =-，212||||P M y y =-，则 可知 ，12 1212||||PP x x y y =-=- 这里体现了“化斜为直”的思想 2 例题
例1 经过椭圆2 212 x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，若||7 AB = l 的方程． 解：设:(1)l y k x =+，代入椭圆方程：2 2 220x y +-=，得到 2222(12)4220k x k x k +++-=，所以28(1)k ∆=+ 则 ||7 AB == = 所以k = 又当k 不存在时，||AB = 所以，直线l 的方程1)y x =+ 配套练习：上述例题中，也可以将直线l 设为1x y λ=-，请你计算 解：将1x y λ=-代入椭圆方程2 2 220x y +-=，得到： 22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（）， 则||AB == ， 所以，λ= 当λ不存在，即0 y =时，||AB = 所以直线 l 的方程为1x y = - 例2 经过椭圆2 212 x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值． 解：设直线1x y λ=-，代入椭圆方程2 2 220x y +-=，得到：
弦长公式(高二版椭圆)
圆锥曲线综合问题 1. 直线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。 （1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y y k x x ； （2）若已知直线的斜率k ，则假设方程为y kx m ； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为y kx m 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论； （4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设 直线为x my t 。 【反斜截式，1 m k 】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 2.弦长公式：若直线:l y kx m =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>相交于,P Q 两点，求弦长 ||PQ 的步骤： 设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）： 222222 ,, y kx m b x a y a b =+⎧⎨+=⎩消去y 整理成关于x 的一元二次方程：2 0Ax Bx C ++=， 则12,x x 是上式的两个根，2 40B AC ∆=->；由韦达定理得：12,B x x A +=- 12,C x x A = 又,P Q 两点在直线l 上，故1122,y kx m y kx m =+=+，则2121()y y k x x -=-，从而 ||PQ === =【注意：如果联立方程组消去x 整理成关于y 的一元二次方程：2 0Ay By C ，则 ||PQ ==反斜截式 22 (1) m A 】 3、其他常见问题处理 （1）等腰（使用垂直平分）,平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合） （2）直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于1），其次考虑是否需要求圆的方程。 （3）锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解； （4）三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：,()2 a b c S rp p 这里； （5）圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义； （7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。