椭圆焦点弦长公式
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .椭圆方程12222=+by a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=∴2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，∴12AB y -==∴()2222221ab AB m b m a=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1tan m θ=，则有： ()2222222222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-……②. （2）若=90θ，则0m =，带入()2222221ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由()222232222222222222222222()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2cos b x a c θ=-，在12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2cos b y a c θ=+，则弦长2222222=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：由解法一知22212121222222222=()22m cb a cx x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-故222221212222222222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：利用仿射性，可做如下变换''x xa y yb =⎧⎪⎨=⎪⎩，则原椭圆变为222(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为ak b.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为212''1()a A B k x x b=+-，带入，得变换前后弦长关系为22221=''b k AB A B b a k++……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()ay k x c b=-，圆心到直线的距离为21()a kc bd a k b=+，根据半径为a ，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b+-=++，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k++++++++，由tan k θ=，带入得 22222cos ab AB a c θ=-.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cos ab AB a c θ=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521x y +=的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3a b c πθ===，,带入22222cos ab AB a c θ=-得=10AB . 例2已知点3(1,)2P -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MNAB ，2ABW MN=,试判断W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得221914a b+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. （2）假设(,)A m n，则AB =，设倾斜角为θ，则cos θ=，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos 12()4abm n MN m a c m n m n θ+===-+-+，故222=443ABm n W MN =+（）=4. 例3如图，已知椭圆22143x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且1234F PF π∠=，求四边形ABCD 的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234F PF π∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cos AC θ=-, 2124cos ()4BD πθ=--，221221212=2244cos 4cos ()4S AC BD πθθ⋅⋅⋅=⋅⋅---, 设22()(4cos )(4cos ())4f πθθθ=---71714971(cos 2)(sin 2)sin 2+cos 2+sin 42222448θθθθθ=--=-（） 设sin 2cos 2(2,2)t t θθ⎡⎤+=∈-⎣⎦， 则2sin 41t θ=-,带入得24971()+(1)448f t t t =-- 即21797()848f t t t =-+ min 99142()8f t -=,此时2t =， 即sin 2cos 22θθ+=，得到=8πθ.综上，四边形ABCD 的最大值为2882=5.1499142S ≈-.此时=8πθ，得到2l 的倾斜角为78π,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.。
弦长公式椭圆与直线
弦长公式椭圆与直线
弦长公式是指计算椭圆上任意两点间弦的长度的公式。
椭圆是一个几何图形，由一组点构成，这些点到两个焦点的距离之和是一个定值。
直线是一个几何图形，由无穷多个点构成，这些点在同一条直线上。
本文将介绍弦长公式在椭圆和直线中的应用。
椭圆上任意两点间弦的长度可以用弦长公式进行计算，公式为：
s = 2a ×sin(θ/2)
其中，s表示弦的长度，a表示椭圆的半长轴，θ表示弦与椭圆中心连线的夹角。
这个公式可以用来计算任意两点间的弦长。
当弦与直线相交时，可以使用弦长公式计算弦长。
具体地，将直线延长到椭圆外，并交于点P，那么椭圆上的任意一点Q与直线的交点为T。
连接PT，QT两线段，那么QT就是弦，且θ=∠QPT。
因此，可以使用弦长公式计算QT的长度。
除此之外，还可以利用椭圆的对称性来计算弦长。
具体方法是，找到椭圆中心O，并将直线过O，与椭圆相交于点P和Q。
将OP和OQ分别连接到椭圆上的两点，这时可以证明，PQ的中点即为弦的中点。
因此，可以计算出OP和OQ的长度，然后用勾股定理计算PQ的长度。
综上所述，弦长公式可以用来计算椭圆上任意两点间弦的长度，在弦与直线相交时也可以使用该公式进行计算。
在计算弦长时，还可以利用椭圆的对称性来简化计算过程。
圆锥曲线二级结论(2)
四、焦点弦【知识讲解】1.1椭圆焦半径公式（2）已知直线l 过左焦点1F 与椭圆交于B A ,两点，设α=∠21F AF ，则焦半径αcos ||2⋅-=c a b AF ，αcos ||2⋅+=c a b BF ，22||1||1ba BF AF =+1.2椭圆焦点弦长公式：α2222cos 2||||||⋅-=+=c a ab BF AF AB ，最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径。
2.1双曲线焦半径公式（2）已知直线l 过左焦点1F 与双曲线交于B A ,两点，设α=∠21F AF ，则焦半径αcos ||2⋅-=c a b AF ，αcos ||2⋅+=c a b BF ，22||1||1ba BF AF =+2.2双曲线焦点弦长公式：α2222cos 2||||||⋅-=+=c a ab BF AF AB 3焦点弦定理已知焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，经过其焦点F 的直线交曲线于B A ,两点，直线AB 的倾斜角为θ，FB AF λ=，则曲线的离心率满足等式：|11||cos |+-=λλθe 【典型例题】1.已知椭圆13422=+y x ，直线01:1=-+y x l ，01:2=++y x l 与椭圆分别交于B A ,和D C ,，则||||CD AB +的值为（）。
2.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k )0(>k 的直线与椭圆交于B A ,两点。
若FB AF 3=，则k 的值为（）。
【变式训练】1.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交双曲线于B A ,两点，若FB AF 4=，则双曲线的离心率为（）。
2.设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为︒60，FB AF 2=。
椭圆双曲线弦长公式
椭圆双曲线弦长公式
椭圆和双曲线是常见的数学曲线，它们在物理学、工程学和其他领域中具有广泛的应用。
在研究椭圆和双曲线时，弦长是一个重要的概念。
弦是连接椭圆或双曲线上两个点的线段。
在椭圆上，弦始于一个焦点，结束于另一个焦点，通过椭圆的内部。
在双曲线上，弦同样连接两个点，但它通过双曲线的外部。
我们可以通过弦的长度来描述椭圆或双曲线的形状。
弦长公式是一个用于计算椭圆或双曲线弦长的公式。
下面我们将分别介绍椭圆和双曲线的弦长公式。
1. 椭圆弦长公式：
对于一个椭圆，其长轴长度为2a，短轴长度为2b。
如果我们选择椭圆上两个点，它们的坐标分别为(x, y)和(x, y)，那么它们之间的弦长可以通过以下公式计算：
S = 2a * sin(θ/2)
其中，θ是两个点所在的角度。
注意，这里的角度是弧度制。
2. 双曲线弦长公式：
对于一个双曲线，其长轴长度为2a，短轴长度为2b。
同样地，我们
选择双曲线上两个点，它们的坐标为(x, y)和(x, y)。
双曲线上这两个点之间的弦长可以通过以下公式计算：
S = 2a * sinh(d/2)
其中，d是两个点之间的距离，sinh表示双曲正弦函数。
椭圆和双曲线的弦长公式可以帮助我们计算曲线上两个点之间的距离，从而更好地理解和分析这些曲线的性质。
它们在计算机图形学、天体力学、电磁学等领域中有重要的应用。
椭圆弦长公式带△的那个公式推导
椭圆弦长公式带△的公式推导椭圆是数学中常见的图形，它具有许多特殊的性质和公式。
其中一个重要的公式是椭圆上的弦长公式，它描述了椭圆上两点之间的弦长与椭圆参数之间的关系。
本文将详细推导带有△的椭圆弦长公式。
1. 弦长的定义在推导椭圆弦长公式之前，首先要明确弦长的定义。
在椭圆上，如果有两点A和B，那么从A点到B点的曲线段称为弦。
弦的长度即为弦长。
2. 椭圆的参数椭圆可以由其两个焦点F1和F2以及其长轴的长度2a定义。
椭圆的长轴是连接两个焦点并且通过椭圆中心的线段。
椭圆的焦距定义为常数c，其中c满足c^2 = a^2 - b^2，其中b是椭圆的短轴的长度的一半。
椭圆的离心率e定义为e = c/a。
3. 弦长公式的推导假设A点的坐标为(x1, y1)和B点的坐标为(x2, y2)。
为了推导带有△的椭圆弦长公式，我们可以使用解析几何的基本原理。
首先，我们需要计算AB线段的斜率k。
斜率k可以通过以下公式计算：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)接下来，我们可以编写AB线段的方程。
假设AB线段的方程为y = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。
根据A点和B点的坐标，我们可以使用点斜式计算出方程的参数m和b：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)b = y1 - mx1由此得到AB线段的方程为：y = (y2 - y1) / (x2 - x1) * x + y1 - (y2 - y1) / (x2 - x1) * x1接下来，我们将该直线方程代入椭圆的方程中，即将y替换为椭圆方程中的y，得到：(x/a)^2 + ([(y2 - y1) / (x2 - x1) * x + y1 - (y2 - y1) / (x2 - x1) * x1]/b)^2 = 1将上述等式两边平方，消去分母并整理得到：b^2 * x^2 + a^2 * [(y2 - y1) * x + (y1 - y2) * x1]^2 - a^2 * b^2 * [(y2 - y1) * (x2 - x1)]^2 = 0利用二次方程的一般解公式，我们可以求得x的值。
椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有 命题： 若椭圆的焦点弦F i F 2所在直线的倾斜角为，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短2ab 2~22 2a c cos上面命题的证明很容易得岀，在此笔者只谈谈该命题的应用。
例1、已知椭圆的长轴长 AB 8，焦距F J F 2 4J2，过椭圆的焦点 F j 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设 PF 1X（0长？），当 取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴PQ 是椭圆的焦点弦，且 a 4，c 2.. 2，从而b 2 2，故由焦厂譬 —及题设可得：2 4（2•斗 4 2，解得a c cos16 8cos2 2 2a c cos —3cos 2 2，即 arc cos . 22 或 arc cos . 2 2。
例2、在直角坐标系中, 线|通过点F ，且倾斜角为 已知椭圆 E 的一个焦点为 F （ 3，1），相应于F 的准线为丫轴，直 —，又直线|被椭圆E 截得的线段的长度为 16，求椭圆 3 5 E 的方程。
分析：由题意可设椭圆 E 的方程为（X c 3） (y21) 1，又椭圆 b 2E 相应于F 的准线为丫 轴，故有a 2（1），又由焦点弦长公式有2ab 216(2)又a 2b 2(3) 。
解由（1）、2（2）、（3）联列的方程组得：a 24，b 2从而所求椭圆 E 的方程为(x 4)2(y 1)2F i F 222a b2及其应用 a c cos分析：由题意可知点弦长公式F 1F 2半轴长和焦半距，则有例3、已知椭圆C:2x~2a b21 （a b 0），直线h ：-丄1被椭圆a b长为2、2，过椭圆右焦点且斜率为..3的直线12被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的圆C的方程。
2 2分析：由题意可知直线h过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有 a b 8，由焦点弦长公式得2ab2~2 2 2a c cos4a5（2）因tan =、. 3，得一3b2 2 （4）。
椭圆交点弦长公式
椭圆交点弦长公式椭圆交点弦长公式是数学中关于椭圆的一个重要公式，用于计算椭圆上两点之间的弦长。
椭圆是一种特殊的曲线，具有许多独特的性质和特点。
掌握椭圆交点弦长公式，可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质和应用。
椭圆交点弦长公式的推导基于椭圆的定义和性质。
首先，我们需要了解椭圆的定义。
椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点（焦点）的距离之和始终是一个常数。
这两个焦点与椭圆的长轴平行。
在椭圆上任取两个点A和B，这两个点分别到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a（a为椭圆的半长轴），即AF1 + AF2 = 2a。
现在我们要计算点A和点B之间的弦长AB。
我们可以通过椭圆的定义得到AF1和AF2的关系式，即AF1 + AF2 = 2a。
根据这个关系式，我们可以得到AF1 = 2a - AF2。
接下来，我们可以使用勾股定理计算弦长AB。
利用勾股定理，我们可以得到弦长AB的平方等于AF1的平方加上AF2的平方减去两倍的AF1和AF2的乘积，即AB² = (2a - AF2)² + AF2² - 2(2a - AF2)(AF2)。
将上式展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4a(AF2) + (AF2)² + (AF2)² - 4a(AF2) + 4(AF2)²。
简化后，得到AB² = 4a² - 4a(AF2)+ 4(AF2)²。
由于椭圆的性质，我们可以将AF2表示为AE - EF2，其中AE为椭圆的半长轴，EF2为焦点F2到点E的距离。
代入上式，可以得到AB² = 4a² - 4a(AE - EF2) + 4(AE - EF2)²。
进一步展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4aAE + 4aEF2 + 4AE² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。
圆锥曲线二级结论(2)讲义-2022届山东省高考数学二轮复习
【知识讲解】1.1 椭圆焦半径公式（2）已知直线l 过左焦点1F 与椭圆交于B A ,两点，设α=∠21F AF ，则焦半径αcos ||2⋅-=c a b AF ，αcos ||2⋅+=c a b BF ，22||1||1ba BF AF =+ 1.2 椭圆焦点弦长公式：α2222cos 2||||||⋅-=+=c a ab BF AF AB ，最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径。
2.1 双曲线焦半径公式（2） 已知直线l 过左焦点1F 与双曲线交于B A ,两点，设α=∠21F AF ，则焦半径αcos ||2⋅-=c a b AF ，αcos ||2⋅+=c a b BF ，22||1||1ba BF AF =+ 2.2 双曲线焦点弦长公式：α2222cos 2||||||⋅-=+=c a ab BF AF AB 3 焦点弦定理已知焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，经过其焦点F 的直线交曲线于B A ,两点，直线AB 的倾斜角为θ，FB AF λ=，则曲线的离心率满足等式：|11||cos |+-=λλθe 【典型例题】 1. 已知椭圆13422=+y x ，直线01:1=-+y x l ，01:2=++y x l 与椭圆分别交于B A ,和D C ,，则||||CD AB +的值为（ ）。
2. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k )0(>k 的直线与椭圆交于B A ,两点。
若FB AF 3=，则k 的值为（ ）。
1. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交双曲线于B A ,两点，若FB AF 4=，则双曲线的离心率为（ ）。
2. 设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为︒60，FB AF 2=。