直线截椭圆的弦长公式
直线截椭圆的弦长公式
椭圆是平面几何的基础形状，常被我们用来来描述自然界中出现的美丽景观。椭圆是一个不对称的椭圆，可以通过绘制某一条直线出现对椭圆的截取。在这种情况下，一般会利用直线截椭圆的弦长公式来确定截取的椭圆的弦长。
具体来说，直线截椭圆的弦长公式可表示为：弦长＝2a*√2*[1−cos(α－
∠BEA/2)]，其中a为椭圆的长轴长，β表示两个圆上的点之间的角度，∠BEA表示弦与长轴的夹角。
若需要计算直线截椭圆的弦长，首先需要确定椭圆的长轴长a，接着确定两个圆上的点之间的角度β，最后确定弦与长轴的夹角∠BEA，最后使用上述公式计算出弦长d部分。计算出来的弦长d就可以作为绘制出椭圆轮廓的基础参数，从而获得漂亮的椭圆图案。
还有值得一提的是，由于椭圆图案在自然界中有着各种传统意义，在道路、室内设计、景观美化中被广泛应用，使得完美的椭圆图案成为标准化设计空间的一种独特美学象征。因此，我们应该更加理解直线截椭圆的弦长公式，引入椭圆的魅力来丰富当今生活空间的设计。
椭圆上两点的弦长公式
椭圆上两点的弦长公式 椭圆弦长公式是一个数学公式，关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交 点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长[1] 。 设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。 释义 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷[2] 。 用极坐标方法 椭圆极坐标方程是： 其中e是椭圆离心率，p是焦点到对应准线的距离，是弦与x轴所夹的角 度 所以你要求的那个弦长就是 椭圆弦长公式编辑播报 若直线过焦点并知道倾斜角，则还可以使用 推导 设直线y=kx+b 代入椭圆的方程可得：x²/a²+ (kx+b)²/b²=1， 设两交点为A、B，点A为（x1,y1)，点B为(x2,y2) 则有AB=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²] 把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入, 则有： AB=√[(x1-x2)²+(kx1-kx2)² =√[(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]
=│x1-x2│√(1+k²)同理可以证明：弦长=│y1-y2│√[(1/k²)+1]直线和椭圆的交点（默认一定存在交点，且直线A!=0，B!=0;） 直线：Ax+By+C=0; 椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1; 求直线和椭圆的交点： (B^2+(A^2*a^2)/b^2)*y^2 + 2*B*C*y+C^2-A^2*a^2=0; 令m=(B^2+(A^2*a^2)/b^2); n=2*B*C; p=C^2-A^2*a^2; 令m1=(A^2+(B^2*b^2)/a^2); n1=2*AC; p1=C^2-B^2*b^2; 得到y=(-n±√(b^2-4*m*p))/2*m; 当y=(-n-√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1-√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1 当y=(-n+√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1+√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1
椭圆的弦长公式
椭圆的弦长公式 椭圆是常见的几何图形，它与圆相似，但形状略有不同。在本文中，我们将探讨椭圆的弦长公式及其推导过程。 椭圆的定义 椭圆是在平面上定义的几何图形，它是固定点F（称为焦点）和固定直线L （称为直角边）到平面上点P的距离之和与一定的常数2a成比例的点的集合，即 PF1 + PF2 = 2a 其中F1和F2是一个椭圆的两个焦点，a是一个椭圆的半长轴。 椭圆的弦长 弦是在椭圆内部连接两个不相邻的点的线段。图中AB和CD是椭圆的两条弦，其长度为l。 我们的目标是推导出椭圆弦长的公式。 椭圆的标准方程
为了推导椭圆的弦长公式，我们需要引入椭圆的标准方程。 标准方程是将椭圆放在坐标系中并将椭圆的中心与坐标系的原点重合时的方程。一个椭圆的标准方程为： x²/a² + y²/b² = 1 其中a和b是椭圆的半长轴和半短轴。 椭圆的弦长公式的推导 现在我们来推导椭圆的弦长公式。 假设椭圆的标准方程是 x²/a² + y²/b² = 1 弦AB的两个端点的坐标可以表示为： A（-x1, y1）和B（x2, y2）
根据标准方程，我们可以得到： y1²/b² = 1 - x1²/a² (1) y2²/b² = 1 - x2²/a² (2) 将式(1)和式(2)相加： y1²/b² + y2²/b² = 2 - x1²/a² - x2²/a² 将x1和x2相加，得到： x1 + x2 = -（a²/b²）（y1 + y2）/（x1 - x2） 我们假设椭圆的中心为（0, 0），则坐标系中任意一点P的坐标为（x, y）。以y1作为y坐标，可以得到： x = a²x1/（a² - b²），y = b²y1/（a² - b²） 同样地，以y2作为y坐标，可以得到： x = a²x2/（a² - b²），y = b²y2/（a² - b²）
椭圆中的弦长公式
椭圆中的弦长公式 椭圆是一种常见的几何图形，其形状类似于拉长的圆形。在数学中，我们可以通过椭圆中的弦长公式来计算椭圆的相关参数。 我们需要了解什么是弦。弦是连接椭圆上任意两点的直线段。在椭圆中，我们可以通过弦的长度来推导出椭圆的周长、面积等参数。 椭圆中的弦长公式是指，如果一条弦的长度为2a，那么这条弦所对应的两个角的正弦值之和等于2a的长度与椭圆长轴长度2b的比值。 换句话说，假设弦所对应的两个角为角A和角B，那么sinA+sinB=2a/2b，即sinA+sinB=a/b。 这个公式可以通过三角函数的知识来推导，但对于我们来说，更重要的是应用这个公式来解决实际问题。 例如，如果我们已知椭圆的长轴和短轴长度分别为6和4，同时已知一条弦的长度为5，那么我们可以通过弦长公式计算出这条弦所对应的两个角的正弦值之和。 我们可以通过勾股定理计算出椭圆的焦距长度f。根据勾股定理，f 的平方等于长轴长度a的平方减去短轴长度b的平方。因此，f的长度为√(a²-b²)=√(6²-4²)=√20≈4.47。 接下来，我们可以通过椭圆的离心率e来计算弦所对应的两个角的
正弦值之和。椭圆的离心率e为f/a，因此e的值为4.47/6≈0.745。 根据弦长公式，sinA+sinB=a/b=3/2。由于sinA和sinB的值相等，我们可以将它们表示为x，那么2x=3/2，因此x=3/4。 由于sinA和sinB的值相等，因此它们的值均为3/4。我们可以通过反三角函数计算出角A和角B的度数值，然后再将它们转换为弧度制。例如，我们可以使用arcsin函数计算出sinA和sinB的度数值为48.59度，然后将它们转换为弧度制得到0.846弧度。 通过这个例子，我们可以看到，椭圆中的弦长公式可以帮助我们计算出椭圆的相关参数，例如椭圆内部的角度、周长、面积等。同时，我们也需要注意到，在实际应用中，我们需要灵活运用数学知识来解决问题，而不是仅仅依靠公式的记忆。
弦长公式(高二版椭圆)
圆锥曲线综合问题 1. 直线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。 （1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y y k x x ； （2）若已知直线的斜率k ，则假设方程为y kx m ； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为y kx m 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论； （4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设 直线为x my t 。 【反斜截式，1 m k 】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 2.弦长公式：若直线:l y kx m =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>相交于,P Q 两点，求弦长 ||PQ 的步骤： 设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）： 222222 ,, y kx m b x a y a b =+⎧⎨+=⎩消去y 整理成关于x 的一元二次方程：2 0Ax Bx C ++=， 则12,x x 是上式的两个根，2 40B AC ∆=->；由韦达定理得：12,B x x A +=- 12,C x x A = 又,P Q 两点在直线l 上，故1122,y kx m y kx m =+=+，则2121()y y k x x -=-，从而 ||PQ === =【注意：如果联立方程组消去x 整理成关于y 的一元二次方程：2 0Ay By C ，则 ||PQ ==反斜截式 22 (1) m A 】 3、其他常见问题处理 （1）等腰（使用垂直平分）,平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合） （2）直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于1），其次考虑是否需要求圆的方程。 （3）锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解； （4）三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：,()2 a b c S rp p 这里； （5）圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义； （7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。
直线与椭圆的位置关系之弦长公式
直线与椭圆的位置关系之弦长公式 一、知识点 1） 弦长公式的推导、几何解释、作用 2） 弦长公式的应用 二、教学过程 1 弦长公式 引例：经过椭圆2 212 x y +=的左焦点F 作倾斜角为60o 的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长． 分析：左焦点(1,0)F - ，则直线:1)l y x =+代入椭圆方程2 212x y +=，得到 271240x x ++=，则=32∆ 设1122(,),(,)A x y B x y ，则 ||AB == =122|||| x x a - = 一般： 若直线l 上两点111222(,),(,)P x y P x y ，则121212||||PP x x y y =-=-，上述公式称为弦长公式，有推导过程知，其实质是直线上两点距离公式的简化式； 说明： 1） 计算12||x x - ，可以通过12||x x -= 但通常利用12|||| x x a -= 计算，其中a 为对应x 的方程的二次项系数，∆为判别式；12||y y -也同理计算，弦长公式体现了“设而不求”的思想 2 ） 如图，因为2112||:||:|||P M PM PP k =，又 1 12||||PM x x =-，212||||P M y y =-，则 可知 ，12 1212||||PP x x y y =-=- 这里体现了“化斜为直”的思想 2 例题
例1 经过椭圆2 212 x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，若||7 AB = l 的方程． 解：设:(1)l y k x =+，代入椭圆方程：2 2 220x y +-=，得到 2222(12)4220k x k x k +++-=，所以28(1)k ∆=+ 则 ||7 AB == = 所以k = 又当k 不存在时，||AB = 所以，直线l 的方程1)y x =+ 配套练习：上述例题中，也可以将直线l 设为1x y λ=-，请你计算 解：将1x y λ=-代入椭圆方程2 2 220x y +-=，得到： 22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（）， 则||AB == ， 所以，λ= 当λ不存在，即0 y =时，||AB = 所以直线 l 的方程为1x y = - 例2 经过椭圆2 212 x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值． 解：设直线1x y λ=-，代入椭圆方程2 2 220x y +-=，得到：
直线截圆的弦长公式
直线截圆的弦长公式 答案：弦长公式为=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1] 其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下： 假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^+(y-u)^2=r^2 假设相交弦为AB,点A为（x1.y1)点B为(X2.Y2)则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1] 的方法也是一样的 拓展资料： 弦长公式的延伸： 公式适用于所有圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线） 椭圆： (1)焦点弦:A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a ±2ex
(2)设直线；与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则 |P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²） 双曲线： (1)焦点弦:A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex (2)设直线；与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则 同上{K=(y2-y1)/(x2-x1)} 抛物线： (1)焦点弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则 |AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin²H）{H为弦AB的倾斜角} (2)设直线；与抛物线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则同上
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用 摘要 ：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即 AB = 1 k 2 x 1 x 2 或者 AB= 1+( k 1 )2 y 1 y 2 ，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公 式： 2ab 2 AB 2 2a 2b 2 ，如果记住公式，可以给我们解题带来方便 . a 2 c 2 cos 2 下面我们用万能弦长公式， 余弦定理， 焦半径公式， 仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式， 这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用 . 解法一 ：根据弦长公式直接带入解决 . 22 题：设椭圆方程为 x 2 y 2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab 圆于 A( x 1 , y 1), B ( x 2 , y 2 )两点，求弦长 AB . 22 椭圆方程 x 2 y 2 1可化为 b 2x 2 a 2y 2 a 2 b 2 ⋯⋯①， a 2 b 2 直线 l 过右焦点，则可以假设直线为： x my c ( 斜率不存在即为 m 0时 ) ，代入①得： (b 2m 2 a 2)y 2 2mc b 2 y b 2 c 2 a 2b 2 0 ，整理得， (b 2m 2 a 2)y 2 2mcb 2 y b 4 ∴ y 1 y 2 b 2m 2 2mcb 2 2 ,y 1y 2 a b 4 b 2m 2 a AB = 1+( k 1 )2 y 1 y 2 1 m 2 ( 2 2 bm 2mcb 2 ) 2 2) a 4b 4 2 2 2 b m a 1 m 2 4a 2 b 4 (1 m 2 ) 2 2 2 2 (b m a ) ∴ AB 2ab 2 2 2 2 b m a 1m 1)若直线 l 的倾斜角为 ，且不为 90o ,则 1 tan ，则有： AB b 2m 2a 2b a 2 1 m 2 b m a 2ab 2 2 1 2 b 2 a tan 1 tan 2 由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为 AB 2ab 2 2 2 2 a c cos ②. 2)若 =90o ，则 m 0，带入 AB 2 2ab 2 2 2 2 b m a 1 m 2 ,得通径长为 2b 2 ，同样满足②式 .并且由 a