椭圆专题：中点弦、弦长、焦点弦
第7课时 与椭圆有关的弦长问题
题型二：中点弦问题
例2、已知椭圆
过点P(2,1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程. 解：（1）当斜率不存在时，显然不合题意
（2）当斜率存在时，
韦达定理→中点坐标→斜率 方程组思想判别式法：利用韦达定理及中点坐标公式来处理
题型三：中点弦问题
例 2、已知椭圆
过点P(2,1)引一弦，使弦在这点被
当x1≠x2时，
根与系数关 系
可推广到任意二次曲线
弦长公式：
| AB |
1 k 2 | xA xB |
1 1 k2 | yA yB |
当x1=x2时， | AB || yA yB |
题型一：弦长公式
例1：已知斜率为1的直线l 过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
的右焦点，
解 :由椭圆方程知 : a2 4,b2 1, c2 3.
复习回顾 直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离
2.判别方法：方程组思想判别式法
联立直线与椭圆的方程组成方程组 消元得到一个二元一次方程：
通法
(1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点；
(2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点；
(3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
探究
弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
平分,则这条弦所在的直线方程是___x___2__y___4____0___.
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法； 方程组思想，判别式法
2、弦长的计算方法：
弦长公式： |AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(解析版)
专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题一、单选题1．设1F ，2F 为双曲线2214y x -=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为（ ） A ．2 BC ．4 D．【解析】由题意，双曲线2214y x -=，可得1,2a b ==，则c =因为点P 在双曲线上，不妨设点P 在第一象限，由双曲线的定义可得122PF PF -=，又因为1290F PF ∠=︒，可得2221212PF PF F F +=，即2221220PF PF +==，又由222121212()2PF PF PF PF PF PF +=-+，可得2122220PF PF +=，解得128PF PF =，所以12F PF △的面积为12142S PF PF ==.故选：C. 2．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，与直线20x y +=交于A ，B两点，若AB =双曲线的方程为（ ） A ．2225y x -=B ．2216y x -=C ．229y x -=D ．226y x -=【解析】由题意可设双曲线方程为22y x m -=，0m >，由2220y x m x y ⎧-=⎨+=⎩得23x m =，则x =，0m >，不妨假设A x =A y =-由图象的对称性可知，AB =OA9m =， 故双曲线方程为：229y x -=，故选：C3．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB |＝（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x－4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k --＝8，解得k ＝1.所以x 1x 2＝2232321012k k k-+--＝10.所以|AB |＝故选:D. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -= ， ①，222212x y -=. ②①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1. 则直线AB 的方程为y ＝x －2.由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0， 所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |故选：D4．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点()F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长AB =（ ） A．B．C ．10D．【解析】∵双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，∴ba=b，∵左焦点()F，∴c =222233=+==c a b a ，∴21a =，22b =， ∴双曲线方程为2212y x -=，直线l的方程为(2=y x ， 设()11,A x y ，()22,B x y由(22212y x y x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，消y可得270++=x，∴12+=-x x 127=x x ，∴10====AB ．故选:C5．已知双曲线C : 22221x y a b -= (a >0，b >0)， 过点P (3，6) 的直线l 与C 相交于A ， B 两点， 且AB 的中点为N (12，15)， 则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．32D【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由已知可得2211221x y a b-=，2222221x y a b -=，相减化简可得2121221212=0y y y y b a x x x x -+-⋅-+，又AB 的中点N (12,15)，直线AB 过点P (3,6)， ∴ 1224x x +=，1230y y +=，12121y y x x -=-，∴ 2254b a =，∴ 2222914c b a a =+=，∴ 离心率32c e a ==，故选：C.6．已知双曲线C ：2214y x -=，经过点M (2，1)的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为（ ） A ．8x －y －15＝0 B ．8x ＋y －17＝0 C ．4x ＋y －9＝0D ．4x －y －7＝0【解析】设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则2211222244,44,x y x y ⎧-=⎨-=⎩ 两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.因为M (2，1)是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 所以16(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝1212y y x x --＝162＝8， 故直线l 的方程为y －1＝8(x －2)，即8x －y －15＝0.故选：A ．7．已知双曲线222:1(3)9-=>x y C a a 左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线l 交双曲线C 的于A ，B 两点，若2ABF 的周长为25，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）． A ．340±=x yB ．430x y ±=C ．380x y ±=D ．830x y ±=【解析】设1(,0)F c -，12(,),(,)A c y B c y --，因为l 垂直x 轴，所以12y y =-，又A 、B 在双曲线C 上，所以221219y c a -=，又22229c a b a =+=+，所以219b y a a==， 所以2218b AB a a==，所以2ABF 的周长为221122AF BF AB a AF a BF AB ++=++++ =18424225a AB a a +=+⨯=，所以4a =或94a =（舍） 所以双曲线C 的渐近线方程为34yx ，即340±=x y .故选：A8．设双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的右焦点为F,点P 在C的一条渐近线0x =上,O 为坐标原点,若OF PF =且∆POF的面积为则C 的方程为A ．2212x y -=B ．22142x y -=C ．22163x y -=D ．22184x y -=【解析】20x y +=为双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的一条渐近线，故设双曲线方程为22:1(>0)2x y C λλλ-=，则右焦点F 的坐标为)F，20x y +=，因为P 在0x +=上，且OF PF =，则右焦点F 的坐标为)F到直线0x +=的距离d ==OP ∴==1122POF S OP d ∆∴==⨯= 2λ∴=，故22:142x y C -=，故选：B二、多选题9．双曲线E 的方程为2213x y -=，12F F 、分别为左右焦点，P 为双曲线上一点，且172PF =，直线l ：()2y k x =-与E 交于A ，B 两点，则（ ）A ．272PF =+27=2PF -B ．EC ．E 的渐近线与圆2221x y 相切D ．满足AB =l 有3条【解析】由双曲线E 的方程为2213x y -=，则在双曲线E 中1,2a b c ===选项A ，当点P 在右支上时，12PF c a ≥+=722<P 在左支上，则21722PF PF a =+=+A 不正确.选项B.双曲线E 的离心率为c e a ===B 不正确.选项C.双曲线E 的渐近线方程为0x =圆2221x y 的半径为1，圆心为()2,0到渐近线0x =的距离为1d ==所以E 的渐近线与圆2221x y 相切，故选项C 正确.选项D. 由直线l ：()2y k x =-恒过点()2,0，即直线l ：()2y k x =-过双曲线的右焦点.若直线l 与双曲线E 的右支相交于A ，B 两点，当l x ⊥轴时，223b AB a ==由AB =2条.若直线l 与双曲线E 的左、右支各有一个交点，此时2AB a = 则满足条件的直线即为0y =，故此时只有一条直线满足条件. 综上所述：满足条件的直线有3条，故选项D 正确 故选：CD10．已知双曲线22:14x E y -=的右焦点为F ，过F 的动直线l 与E 相交于A ，B 两点，则（ ）A ．曲线E 与椭圆2216y x +=有公共焦点B ．曲线E ，渐近线方程为20x y ±=．C ．AB 的最小值为1D ．满足AB 4=的直线l 有且仅有4条【解析】对于A ：由2214x y -=知双曲线的焦点在x 轴上，由2216y x +=知椭圆的焦点在y 轴上，所以焦点不相同，故选项A 不正确；对于B ：由双曲线22:14x E y -=可得24a =，21b =，所以222415c a b =+=+=，所以双曲线的离心率为c e a ==，渐进线方程为12b y x x a =±=±，即20x y ±=， 故选项B 正确；对于C ：当A ，B 两点位于双曲线的异支时，直线AB 的斜率为0时AB 最小，此时A ，B 两点分别为双曲线的左右顶点，此时24AB a ==，当A ，B 两点位于双曲线的同支时，直线AB 的斜率不存在时AB 最小，直线AB 的方程为x =2214x y -=可得12y =±，所以1212AB =⨯=，所以AB 的最小值为1，故选项C 正确；对于D ：由选项C 知，当A ，B 两点位于双曲线的异支时，min 4AB =，此时只有一条，当A ，B 两点位于双曲线的同支时，min 1AB =，根据对称性可知，此时存在两条直线使得AB 4=，所以满足AB 4=的直线l 有且仅有3条.故选项D 不正确； 故选：BC.11．已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，A 在第一象限，若△1ABF 为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ） A ．双曲线CB ．12AF F △的面积为2 C ．12BF F △的内心在直线x a =±上D ．12AF F △内切圆半径为)1a【解析】对于C ，设12BF F △的内心为I ，作过I 作1212,,BF BF F F 的垂线，垂足分别为,,H G P ，如图，则12122F P F P F B F B a -=-=，所以OP a =， 所以12BF F △的内心在直线x a =±上，故C 正确；△1ABF 为等边三角形,若,A B 在同一支，由对称性知AB x ⊥轴，2(,)b A c a ，2tan 302b a c∴=，2b =.2221b e a ∴=+=,e =12222221232AF Fb bc S c a a a =⨯⨯==△, 设12AF F △的内切圆半径为r，则()2162r a+=，解得)1r a =；若,A B 分别在左右两支，则2112,4F A a F A F B AB a ====， 则2221241641cos 2242a a c F AF a a +-==-⨯⨯，解得c=，离心率e 122124sin120232AF F S a a =⨯⨯=△，设12AF F △的内切圆半径为r ，则()2162r a +=，解得r =；所以结论一定正确的是BC.故选：BC. 12．已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P，1PM MF =，下列判断正确的是（ ）A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C ．ED ．E的渐近线方程为y =【解析】1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，2//OM PF ∴， 12OM F F ⊥，212PF F F ∴⊥，212PF F π∴∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知：22bPF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac -=，220e -=，解得：e =C 正确；c e a ==223c a ∴=，22222b c a a ∴=-=，ba∴ E∴的渐近线方程为y =，D 正确.故选：BCD. 三、填空题13．过点()1,1P 的直线l 与双曲线2212y x -=交于,M N 两点，且点P 恰好是线段MN 的中点，则直线l 的方程为___________.【解析】过点(1,1)P 的直线l 与该双曲线交于M ，N 两点，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，∴221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得：121212121()()()()2x x x x y y y y -+=+-， 因为P 为MN 的中点，122x x ∴+=，122y y +=，12122()x x y y ∴-=-，则12122MNy y x x -==-， 所以直线l 的方程为12(1)y x -=-，即为210x y --=．故答案为：210x y --=．14．已知双曲线22143x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且12PF F S=12FPF ∠=___________.【解析】依题意2,a b c ===12,PF mPF n ==，不妨设m n >，122F F c ==，设()120,F PF θπ=∈∠，根据双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式得(22242cos 1sin 2m n m n mn mn θθ⎧-=⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=⎪⎩，()22216282cos sin m n m n mn mn θθ⎧-=⎪=+-⎨⎪=⎩，2222216282cos sin m n mn m n mn mn θθ⎧+-=⎪=+-⎨⎪=⎩，282162cos mn mn mn θ=+-⎧⎪⎨=⎪⎩，()1221cos mn mn θ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，()1221cos θ=-cos 1θθ+=， 12sin 1,sin 662ππθθ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于70,666πππθπθ<<<+<，所以52,663πππθθ+==，所以1223F PF π∠=.故答案为：23π15．已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以1F ，2F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为M ，1210F F =，122MF MF =，则双曲线的标准方程为______． 【解析】由双曲线定义得122MF MF a -= 又122MF MF =，解得：22MF a =，14MF a =，∵M 为以1F ，2F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点，∴12MF MF ⊥ ∴()()2222410a a +=，解得：25a =，∴22525520b c =-=-=，故双曲线标准方程为：221520x y -=．16．已知双曲线C ：22145x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于P ，Q 两点，当PQ 最小时，四边形12F PF Q 的面积为___________.【解析】设()()1122,,,P x y Q x y ，由22145y x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2284200x mx m ---=，由韦达定理得212128,420x x m x x m +=⋅=--，所以PQ ===当0m =时，PQ 有最小值()()12,,,0330F F -到直线y x =的距离分别为12,d d ，12d d ==所以四边形12F PF Q 的面积为()12121122F PQF PQS S SPQ d d =+=⋅+=⨯=⎝⎭四、解答题17．已知点()4,0M -，()4,0N ，动点P 满足条件PM PN -=P 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）过曲线C 的一个焦点作倾斜角为45°的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB ． 【解析】（1）因为8PM PN MN -==，所以点P 的轨迹是以,M N 为焦点，实轴长为所以24a c ==，所以222212,16124a b c a ==-=-=，所以C 的方程为：221124x y -=； （2）不妨设焦点()4,0F ，则直线l ：4y x =-由2241124y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得：212300x x -+=．设()11,A x y ，()22,Bx y ，则1212x x +=，1230x x =，所以AB==18．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>. （1）求双曲线的标准方程；（2）直线l ：3y x m =+与双曲线交于A ，B两点，若AB =，求m 的值. 【解析】（1）由题得顶点(),0a 到渐近线b y x a =，即0bx ay -=c e a ==222+=a b c ， 则可解得2,a b ==，故双曲线方程为22143x y -=； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立221433x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩可得2233244120x mx m +++=， 则()()22244334120m m ∆=-⨯⨯+>，解得233m >2121224412,3333m m x x x x ++=-=， 则AB ==，解得6m =±.19．已知双曲线22:145x y C 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）．（1）若3PF FQ =，求直线l 的方程； （2）设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值． 【解析】（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y222235(3)4205420x my my y x y =+⎧⇒+-=⎨-=⎩，()225430250m y my ⇒-++= 由过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，则()()22222540300542505*********m m m m m m ⎧-≠⎪-⎪>⎪-⎪⎨⎪<-⎪⎪∆=-⨯⨯->⎪⎩，0m ⇒<<，由点P 在x 轴上方，则12y y ==33PF m FQ ==-⇒=⇒=∴直线l方程为30x y y =+⇒--=（2）由方程可得()()2,0,2,0A B -，设()11,P x y ，()22,Q x y则()221111221111545422444PA PBx y y y k kx x x x -⋅=⨯===+---，所以154AP PBk k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅= 要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，由（1）可知1223054m y y m -+-=，1222554y ym =-()()121212122211BP BQy y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++()2222121222252554542530115454m m mm y y m y y m m m m --==-+++⋅+⋅+--22225252530544m m m ==--+-，∴125414255k k ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭为定值． 20．已知过点()的双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是0x y +=. （1）求双曲线C 的方程；（2）若O 是坐标原点，直线l ：1y kx =-与双曲线C 的两支各有一个交点，且交点分别是A ，B ，AOB 的k 的值.【解析】（1）因为双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是0x y +=，所以可设双曲线C 的方程是()220x y λλ-=≠，则(21λ-=，解得1λ=.所以双曲线C 的方程是221x y -=.（2）由221,1,x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y 整理，得()221220k x kx -+-=.由题意知()22210,4810,k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+->⎪⎩解得k <1k ≠±. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221k x x k -+=-，12221x x k =--. 因为l 与双曲线的交点分别在左､右两支上，所以120x x ⋅<， 所以210k ->，所以11k -<<，则()1212OAB S x x =-=△ 所以()()(2221212124x x x x x x -=+-=，即2228811k k k⎛⎫-+= ⎪--⎝⎭， 解得0k =或k =()1,1-/，所以0k =. 21．直线(,)y kx m k m =+∈R 与双曲线2213y x -=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥．（1）求k 与m 满足的关系；（2）求证：点O 到直线AB 的距离是定值，并求AB 的最小值．【解析】（1）设点A ()11,x y ,B ()22,x y ,联立2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消y 得()2223230k x kmx m ----=,∴21222122302333kkmx xkmx xk⎧⎪-≠⎪⎪+=⎨-⎪⎪--=⎪-⎩,由OA OB⊥得()()2212121212·10OAOB x x y y k x x km x x m=+=++++=代入化简可得k和m满足的关系为:22233(m k k-=≠;（2）由点到直线的距离公式可得:d,由(1)得22233mk-=代入可解得d=;由直线与双曲线交点弦弦长公式可得:AB==令23k t-=(t≤3)化简可得AB==由t≤3可得当113t=,t=3时minAB.22．已知圆锥曲线E的两个焦点坐标是12(F F，且离心率为e=（1）求曲线E的方程；（2）设曲线E'表示曲线E的y轴左边部分，若直线1y kx=-与曲线E'相交于,A B两点，求k的取值范围；（3）在条件（2）下，如果63AB=E'上存在点C，使OA OB mOC+=，求m的值．【解析】（1）由知，曲线E是以F10），F2，0）为焦点的双曲线，且ca=1a=，∴b2=2﹣1=1，故双曲线E的方程是x2﹣y2=1．（2）由22110y kxx y x=-⎧⎨-=⎩，＜消去y整理得()21x2220,0k kx x+=﹣﹣＜，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得方程有两个负数根，∴()22212212210(2)8102121kk kkx xkx xk⎧-≠⎪=+-⎪⎪-⎨+=⎪-⎪-⎪=-⎩＞＜＞，解得1k<-，∴实数k的取值范围是()1-．（3）由题意及（2）得AB 1﹣x 2整理得28k 4﹣55k 2+25=0，解得257k =或254k =1k -＜，∴k=故直线AB 10y ++=． 设C （x 0，y 0），由OA OB +=m OC ，得（x 1，y 1）+（x 2，y 2）=（mx 0，my 0），又12221kx x k -+=-=﹣y 1+y 2=k （x 1+x 2）﹣2=8，∴8C m ⎫⎪⎪⎝⎭． ∵点C 在曲线E 上，∴2280641m m -=，解得m=±4， 当m=﹣4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意， ∴m=4为所求．。
椭圆基本知识点与题型总结
椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的简单几何性质标准方程12222=+by a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点、焦距)0,(1c F -，)0,(2c F ，cF F 221=),0(1c F -，),0(2c F cF F 221=范围a x ≤，b y ≤b x ≤，ay ≤顶点)0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±对称性关于x 轴、y 轴,轴对称，关于原点中心对称轴长长轴长=a 2，短轴长=b2离心率()10122<<-==e ab ac e e 越小,椭圆越圆；e 越大,椭圆越扁通径过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab 22（通径为最短的焦点弦）准线方程ca x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=,02ex a PF -=01ey a PF +=，02ey a PF -=1.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义222c b a +=（见右图）2.椭圆的一般方程：22Ax By C +=()B A C B A 0ABC ≠≠同号，，，，且3.椭圆的参数方程：{cos sin x a y b ϕϕ==（其中ϕ为参数）4.椭圆焦点三角形问题（1）焦点三角形周长：ca 22+（2）在21F PF ∆中，有余弦定理：()θcos 2P P 22122212PF PF F F c -+=经常变形为：()()θcos 22-PF 221212212PF PF PF PF PF c -+=即：()()θcos 22-22212122PF PF PF PF a c -=（3）焦点三角形面积2tan cos 1sin sin 21S 2221P 21θθθθb b PF PF y c p F F =+=⋅=⋅=∆，其中21PF F ∠=θ5.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠为最大角。
椭圆知识点汇总
椭圆知识点汇总一、椭圆的定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
若 M 为椭圆上任意一点，F₁、F₂为椭圆的焦点，则有|MF₁| ＋｜MF₂| ＝ 2a（2a ＞ 2c，其中 2c 为焦距）。
二、椭圆的标准方程1、焦点在 x 轴上的椭圆标准方程：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为椭圆的长半轴长，＼（b\）为椭圆的短半轴长，＼（c\）满足\（c^2 ＝ a^2b^2\），焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。
2、焦点在 y 轴上的椭圆标准方程：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），焦点坐标为\（（0, ＼pm c)＼）。
三、椭圆的性质1、对称性椭圆关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的。
2、范围对于焦点在 x 轴上的椭圆\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），有\（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆\（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\），有\（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
3、顶点焦点在 x 轴上的椭圆顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上的椭圆顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
4、离心率椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度。
＼（e\）越接近0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
椭圆专题：中点弦、弦长、焦点弦
直线与椭圆综合问题（一）位置关系，弦长公式，焦点弦，中点弦一、判断椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）和直线l ：0Ax By C ++=的位置关系： 联立椭圆和直线方程222210x y a b Ax By C ⎧+=⎪⎨⎪++=，消y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程二、弦长公式 已知直线l ：y kx b =+与椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）交于,A B 两点，如何求AB ？练习：1. 已知斜率为1的直线l 交椭圆C ：22143x y +=于,A B 两点，求AB 最大值；2. 已知过(1,0)A 的直线l 交椭圆C ：22143x y +=于,A B 两点，求AB 最大值.三、焦点弦请你推导椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的过右焦点的弦长公式（分别用斜率k 以及倾斜角θ表示）.练习：3. 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>），过右焦点且倾斜角为θ的直线与椭圆交于,A B 两点，求当θ为何值时，AOB ∆面积最大。
思考：焦半径如何用倾斜角θ表示？（表示后再去做一遍47页第7题）四、中点弦 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>），直线y kx b =+交该椭圆于,A B 两点，如果求AB 中点M 坐标？已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>），过椭圆内一点00(,)M x y 的弦AB 被M 平分，如何求AB k ，直线AB 方程，以及AB ？练习：4.倾斜角为4π的直线l 与椭圆C ：2214x y +=交于,A B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程．5.如图14-35，过椭圆221164x y +=内的一点(1,1)M 的直线与椭圆交于A B 、两点． （1）若点M 恰为弦AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）求过点M 的椭圆弦的中点P 的轨迹方程．。
椭圆的综合问题(1)-弦长问题、中点弦问题(学生版)
椭圆的综合问题（1）——弦长、中点弦问题姓名______________2018.03一、知识点及学习目标：（1）弦长公式：（2）中点弦问题：二、例题分析：1．椭圆22143x y+=的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A，B两点．（1）求△ABF2的周长；（2）若l的倾斜角为4π，求弦长|AB|．2．已知椭圆的两个焦点坐标分别是（，0），，0），并且经过点（2，6）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为k的直线l经过点（0，﹣2），且与椭圆交于不同的两点A、B，求△OAB面积的最大值．3．已知：椭圆221164x y+=，求：（1）以P（2，﹣1）为中点的弦所在直线的方程；（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．三、课堂反馈：1．已知F1（﹣1，0）、F2（1，0）为椭圆C的左、右焦点，且点P（1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线1y x=+与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|．2．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为F 1、F 2，该椭圆的离心率为2，A 是椭圆上一点，AF 2⊥F 1F 2，原点O 到直线AF 1的距离为13． （1）求椭圆的方程；（2）是否存在过F 2的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足△AOB 的面积为23，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．3．在椭圆221164x y +=内以点P （﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为 ．四、课后巩固：第60-61页2/51．已知点A （0，﹣2），椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点． （1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的动直线与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．2．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F （1，0），点A （2，0）在椭圆C 上，斜率为1的直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线过点F （1，0），求线段MN 的长；（3）若直线l 过点（m ，0），且以MN 为直径的圆恰过原点，求直线l 的方程．3．已知P （1，1）为椭圆2224x y +=内一定点，过P 引一条弦，使此弦以P 为中点，求弦所在的直线方程．。
MS03椭圆的弦长公式与中点弦问题
椭圆的弦长公式与中点弦问题秒杀秘籍：椭圆的弦长公式与面积（不过焦点的弦）椭圆()222210,0x y a b a b+=>>与直线l ：y kx m =+相交于AB 两点，求AB 的弦长。
设 设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将y kx m =+代入22221x y a b +=得：()22222222220b k a x a kmx a m a b +++-=()212222222122222a km x x b k a a m b x x b k a ⎧-+=⎪+⎪∴⎨-⎪⋅=⎪+⎩ ()22222222221121222221141ab b k a m AB k x x k x x x x k b k a+-∴=+-=++-=++ 例1：已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB的弦长解 解：设：()()1122,,,A x y B x y 则()()()22222121121214AB x x y y k x x x x =-+-=++-将12y x =+代入2212x y +=得： 233202x x +-=12122312x x x x ⎧+=-⎪⎪∴⎨⎪⋅=-⎪⎩222121113AB k x x ∴=+-= 椭圆与直线交点的判别式：()2222224a b b k a m ∆=+-用来判断是否有交点问题。
面积问题：椭圆与直线m kx y l +=:相交与两点，()00,y x C 为AB 外任意一点，求ABC S ∆。
设C 到l 的距离为d ，则22220000222211221ABCkx y m kx y m ab b k a m S AB d AB b k a k ∆-+-+⋅+-===++例2：已知椭圆C :22221x y a b +=221(0)x y a b a b+=>>A B 、的一个顶点为(2,0)A ,离心率为22.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M 、N.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当△AMN 得面积为103时,求k 的值.解：(Ⅰ)22;2,22c a e c b a ===⇒==；故椭圆方程为22142x y +=；(Ⅱ)12AMN S MN d ∆=，设()()1122,,,M x y N x y 则()()()22222121121214MN x x y y k x x x x =-+-=++-；将y kx k =-代入22142x y +=得：()2222428480k x k x k +---=212221228424842k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨--⎪⋅=⎪+⎩；222011k k kd kk--==++；22422222411072502243AMNk k k S MN d k k k ∆⋅⋅+-===⇒--=+，即()()2275101k k k +-=⇒=±。
椭圆的焦点弦公式
椭圆的焦点弦公式
摘要：
1.椭圆焦点弦公式的基本概念
2.椭圆焦点弦公式的应用
3.椭圆焦点弦公式的实际意义
正文：
椭圆是一种常见的数学曲线，其在几何、物理等领域具有广泛的应用。
椭圆的焦点弦公式是研究椭圆性质的重要工具，本文将详细介绍椭圆焦点弦公式及其应用。
一、椭圆焦点弦公式的基本概念
椭圆的焦点弦公式主要包括两部分：焦半径公式和弦长公式。
1.焦半径公式：设椭圆的焦点为F，椭圆上一点为M，焦半径为R，则有R = a * sqrt(1 - e^2) ，其中a为椭圆的长半轴，e为椭圆的离心率。
2.弦长公式：设椭圆的焦点弦为AB，AB的中点为M，椭圆的焦距为2c，则有AB = 2 * R * sqrt(1 - e^2)，其中R为焦半径，e为椭圆的离心率。
二、椭圆焦点弦公式的应用
1.求解椭圆的焦点弦：已知椭圆的长半轴、短半轴和离心率，可以通过焦点弦公式求解椭圆上的焦点弦。
2.求解椭圆的交点：已知椭圆的焦点和直线方程，可以通过焦点弦公式求解椭圆与直线的交点。
3.求解椭圆的性质：通过焦点弦公式，可以研究椭圆的性质，如椭圆的离
心率、长半轴、短半轴等。
三、椭圆焦点弦公式的实际意义
椭圆焦点弦公式在实际应用中具有重要意义，如在航空航天、通信、物理等领域。
以航空航天为例，飞行器的轨道通常为椭圆，通过焦点弦公式可以求解飞行器的轨道参数，从而为飞行器的设计和控制提供依据。
总之，椭圆焦点弦公式是研究椭圆性质的重要工具，其在实际应用中具有重要意义。
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直线与椭圆综合问题（一）位置关系，弦长公式，焦点弦，中点弦
一、判断椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）和直线l ：0Ax By C ++=的位置关系： 联立椭圆和直线方程22
2210x y a b Ax By C ⎧+=⎪⎨⎪++=
，消y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程
二、弦长公式 已知直线l ：y kx b =+与椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）交于,A B 两点，如何求AB ？
练习：1. 已知斜率为1的直线l 交椭圆C ：22
143
x y +=于,A B 两点，求AB 最大值；
2. 已知过(1,0)A 的直线l 交椭圆C ：22
143
x y +=于,A B 两点，求AB 最大值.
三、焦点弦
请你推导椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的过右焦点的弦长公式（分别用斜率k 以及倾斜角θ表示）.
练习：3. 已知椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>），过右焦点且倾斜角为θ的直线与椭圆交于,A B 两点，求当θ为何值时，AOB ∆面积最大。
思考：焦半径如何用倾斜角θ表示？（表示后再去做一遍47页第7题）
四、中点弦 已知椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>），直线y kx b =+交该椭圆于,A B 两点，如果求AB 中点M 坐标？
已知椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>），过椭圆内一点00(,)M x y 的弦AB 被M 平分，如何求AB k ，直线AB 方程，以及AB ？
练习：4.倾斜角为4
π的直线l 与椭圆C ：2214x y +=交于,A B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程．
5.如图14-35，过椭圆22
1164
x y +=内的一点(1,1)M 的直线与椭圆交于A B 、两点． （1）若点M 恰为弦AB 的中点，求直线AB 的方程；
（2）求过点M 的椭圆弦的中点P 的轨迹方程．。