椭圆的弦长公式
两点间距离公式：|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
完全平方公式： (a +b ) 2＝ ①
完全平方公式： (a -b ) 2＝ ②
①-②，得：
问题：设直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，
则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝
＝
＝
同理可得|AB |＝|y 1－y 2|·1＋1k
2 (k ≠0).
例 已知椭圆22
12521
x y +=，的直线交椭圆于,A B 两点，求AB .
练习 已知椭圆x 216＋y 24
＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程，并求弦AB 的长.
解 方法一 易知直线斜率k 存在.
设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y －1＝k (x －2)，x 216＋y 24＝1， 得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.
设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是上述方程的两根，
于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1
. 又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1
＝2， 解得k ＝－12
，且满足Δ>0. 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.
∵x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝4(2k －1)2－164k 2＋1
＝0. ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋⎝⎛⎭⎫－12242－0＝2 5. 方法二 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2).
∵M (2,1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.
又A 、B 两点在椭圆上，
则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16，
两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，
∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2
＝－12， 即k AB ＝－12
.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. |AB |求法同上.
椭圆的弦长公式
两点间距离公式：|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 完全平方公式： (a +b ) 2＝ ① 完全平方公式： (a -b ) 2＝ ② ①-②，得： 问题：设直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝ ＝ ＝ 同理可得|AB |＝|y 1－y 2|·1＋1k 2 (k ≠0). 例 已知椭圆22 12521 x y +=，的直线交椭圆于,A B 两点，求AB .
练习 已知椭圆x 216＋y 24 ＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程，并求弦AB 的长. 解 方法一 易知直线斜率k 存在. 设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)， 由⎩ ⎪⎨⎪⎧ y －1＝k (x －2)，x 216＋y 24＝1， 得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是上述方程的两根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1 . 又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1 ＝2， 解得k ＝－12 ，且满足Δ>0. 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. ∵x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝4(2k －1)2－164k 2＋1 ＝0. ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋⎝⎛⎭⎫－12242－0＝2 5. 方法二 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2). ∵M (2,1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A 、B 两点在椭圆上， 则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2 ＝－12， 即k AB ＝－12 .故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. |AB |求法同上.
椭圆弦长公式6种
椭圆弦长公式6种 椭圆是几何中重要的概念，弦长是椭圆的一个重要尺寸，许多椭圆弦长计算中会使用到椭圆弦长公式。关于椭圆弦长公式，近代有着多种。本文将总结分析这6种椭圆弦长公式，以期更好地理解它们的应用，及应用椭圆弦长公式在几何计算中的重要性。 首先，让我们来认识一下这6种椭圆弦长公式，它们分别是：拉弗森法、科赫法、弗兰克法、双曲线法、加勒特-埃斯特罗法、经典椭圆法。 1、拉弗森法：基于拉弗森范数的椭圆弦长公式。拉弗森法的公式表达式是：L=π·ak(1+e/2)，其中，a为轴长，e为离心率，k为拉弗森范数。 2、科赫法：基于拉普拉斯算子的椭圆弦长公式。科赫法的公式表达式是：L=π·ak(1+e/2)，其中，a为轴长，e为离心率，k为拉普拉斯算子。 3、弗兰克法：基于拉普拉斯算子的椭圆弦长公式。弗兰克法的公式表达式是：L=π·ak(1+e/2)，其中，a为轴长，e为离心率，k 为拉普拉斯算子。 4、双曲线法：基于双曲线解析函数的椭圆弦长公式，双曲线法的公式表达式是：L=π·ak(1+e/2)，其中，a为轴长，e为离心率，k为双曲线解析函数。 5、加勒特-埃斯特罗法：基于埃斯特罗多项式的椭圆弦长公式，加勒特-埃斯特罗的公式表达式是： L=π·ak(1+e/2 )，其中，a为
轴长，e为离心率，k为埃斯特罗多项式。 6、经典椭圆法：基于格雷斯沃丁算子的椭圆弦长公式，经典椭圆法的公式表达式是：L=π·ak(1+e/2 )，其中，a为轴长，e为离心率，k为格雷斯沃丁算子。 从上面的介绍可以看到，这6种椭圆弦长公式的计算方法主要是依赖于不同数学模型，有不同的着重点，所以使用时要根据具体情况选择合适的椭圆弦长公式。 接下来，我们看看这6种椭圆弦长公式在实际应用中的重要性。从本文所介绍的6种椭圆弦长公式中可以看出，它们各自有不同的优点和特点，因此可以将它们应用于不同的几何计算中。例如，拉弗森法可以用于非均匀椭圆的弦长计算，科赫法可以用于求解椭圆的法线方程，弗兰克法可以用于求解椭圆的X坐标，双曲线法可以用于求解椭圆的Y坐标，加勒特-埃斯特罗法可以用于椭圆的重心计算，而经典椭圆法可以用来求解椭圆长轴和短轴的边界常量。 最后，值得一提的是，椭圆弦长公式计算过程中可能会面临各种复杂的因素，这时我们要根据具体情况选择恰当的椭圆弦长公式，从而确保准确有效地求出椭圆的弦长。 总体来说，6种椭圆弦长公式扮演着重要的角色，无论是应用于几何计算的椭圆的弦长，还是椭圆特征值及它们之间的数学联系，都是非常实用的。 针对6种椭圆弦长公式，本文给出了简要介绍和实际应用，期望能够通过本文，更加深入地理解椭圆弦长公式，并能有效地利用这些
椭圆过焦点的弦长公式
椭圆过焦点的弦长公式 椭圆过焦点的弦长公式是一种有趣的几何主题，它也可以成为数学的宝藏。在学校里，我们知道椭圆是一种经典的曲线，这种椭圆形在几何学中占据了重要的位置。特别是在椭圆沿着其焦点上的两个弦上，可以求出它们的长度，这时，椭圆过焦点的弦长公式就显示出它的重要性。 椭圆过焦点的弦长公式是一个重要的几何概念，它可以帮助我们明确弦长的定义，从而解决椭圆和圆的相关问题。弦长是椭圆沿着其焦点上的两条弦上的最大长度，而椭圆的弦长采用“椭圆过焦点的弦长公式”计算。 该公式可以用以下公式表示：2a2 = c2 + b2，其中a是椭圆的长轴长，b是椭圆的短轴长，c是椭圆沿着其焦点上的两条弦上的最大长度。原理上，如果一个椭圆其长短轴是长轴长度a和短轴长度b，那么该椭圆的长短轴之和应该是它的弦长的平方。也就是说，a2 + b2 = c2。简单地说，椭圆的弦长应该是这两个轴之和的平方根。 知道了椭圆过焦点的弦长公式，就可以轻松地解决一般椭圆的最大弦长和最小弦长问题了。因为椭圆的最大弦长是椭圆的长轴长度，即a，而最小弦长是椭圆的短轴长度，即b。也就是说，最大弦长c 有：c=a，最小弦长c有：c=b。通过椭圆过焦点的弦长公式，计算出了椭圆沿着其焦点上的两条弦上的弦长长度，从而将椭圆和圆划分开来。 除此之外，这个公式还可以用于求解类似椭圆的另一种几何体：
圆形。圆形是一种完全相同的曲线，但是它的中心点不同，这样，就有了相应的新的圆形椭圆公式：2a2 = c2 + b2 - 2ab，其中a是圆形的半径，b是圆形的中心点距离圆的远点的距离，c是圆形的弦长。 椭圆过焦点的弦长公式是一个重要的几何概念，它可以用于求解类似椭圆和圆形的长度和宽度，并可以帮助解决椭圆和圆形之间的相关问题。尽管椭圆过焦点的弦长公式是一个简单的公式，但它蕴藏着丰富的几何信息，为我们提供了重要的几何知识，同时也提供了足够的帮助，以便解决椭圆和圆形的相关问题。
椭圆弦长公式推导过程
椭圆弦长公式推导过程 椭圆弦长公式是一个用于计算椭圆上两点之间距离的公式。下面我们将详细介绍它的推导过程。 首先，让我们考虑椭圆的一般方程：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a>b>0)，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。 假设椭圆上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)之间的距离为d，那么我们可以根据距离公式计算d^2。具体来说，d^2 = (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2。 将A和B的坐标分别代入椭圆方程，得到： x1^2/a^2 + y1^2/b^2 = 1 (1) x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 1 (2) 从(1)和(2)两式中，我们可以得到： x1^2 - x2^2 = a^2*(1-y1^2/b^2) - a^2*(1-y2^2/b^2) = a^2*(y2^2/b^2 - y1^2/b^2) = a^2*(y2- y1)*(y2+y1)/b^2 y1^2 - y2^2 = b^2*(1-x1^2/a^2) - b^2*(1-x2^2/a^2) = b^2*(x2^2/a^2 - x1^2/a^2) = b^2*(x2- x1)*(x2+x1)/a^2 由于(x1-x2)*(y1+y2)和(y1-y2)*(x1+x2)是两个不相关的项，因此我们可以将它们分离出来，得到： d^2 = (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 = (x1-x2)*(x1+x2) + (y1-y2)*(y1+y2) = [(x1-x2)*(x1+x2)]/a^2 + [(y1- y2)*(y1+y2)]/b^2 = [a^2*(y1-y2)*(y1+y2)]/a^2 + [b^2*(x1-x2)*(x1+x2)]/b^2 = a^2*|y1-y2|/a + b^2*|x1-x3|/b = a*|y1-y2| + b*|x1-x3| 其中，|y1-y3|表示纵坐标之差的绝对值，|x1-x3|表示横坐标之差的绝对值。 从上述推导中，我们可以得到椭圆弦长公式： d = a*|y1-y3| + b*|x1-x3| 这个公式可以用来计算椭圆上任意两点之间的距离。
椭圆中的弦长公式推导
椭圆中的弦长公式推导 椭圆是一种经典的曲线，它的研究和应用在流体力学、空间结构、航天学、机械设计等广泛的领域中被广泛使用。因此，研究椭圆的形状特性非常重要。 椭圆的一个重要形状特性是，它存在一种弦长公式，即在椭圆上任意一动点P处，弦PP’的长度可用下式表示： d=2ae√1-e2sin2α 其中，a, e,分别表示椭圆的长轴、离心率、弦PP与椭圆的长轴的夹角。 下面我们将通过推导证明上式的正确性。 以P(x, y)为弦PP上的任意一点，x = acost, y = bsint，坐标系以椭圆的中心为原点，a,b分别为椭圆的长短轴，e为离心率，将P位置投影到椭圆的长轴，得到点P1(acosθ, 0)，与他重合的点P1(a/cosθ, 0)，θ为PP与椭圆的长轴的夹角，由此投影出点P(a/cos θ, bsinθ)，即为PP上的另一点。 由PP上任意一点P可求出P，再求出弦PP的长度。设PP的长度为d，根据勾股定理可得： d2=x2+y2=(acost)2+(bsinθ)2=a2cos2θ+b2sin2θ 又由椭圆方程可知：b2/a2=1-e2 所以有： d2=a2cos2θ+b2sin2θ=a2cos2θ+a2(1-e2)sin2θ=a2{cos2θ +(1-e2)sin2θ}
令cos2θ+(1-e2)sin2θ=c（c为任意常数） 即有： d2=a2c, 又因为e2=1-b2/a2, 可得cos2θ+(1-e2)sin2θ=cos2θ+(1-(1-b2/a2))sin2θ=cos2θ+b2/a2sin2θ 即有： c=cos2θ+b2/a2sin2θ 代入方程d2=a2c，可得： d2=a2{cos2θ+(1-e2)sin2θ} 即有：d=2ae√1-e2sin2α 因而可以得出：在椭圆上任意一点P处，弦PP的长度可用弦长公式下式表示： d=2ae√1-e2sin2α 上式的证明也完成了，由此可以看出，椭圆中的弦长公式是一个非常重要的特性。它可以用来研究椭圆的形状特性以及在实际应用中的使用，可以更好地满足工程的需要。
弦长公式(高二版椭圆)
圆锥曲线综合问 1.宜线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。 （1）若已知直线过点（心儿），则假设方程为y -儿二饥—兀）； （2）若已知直线的斜率斤，则假设方程为y = lcx^m ； （3） 若仅仅知道是直线.则假设方程为〉上总+ 〃？ 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论； （4） 若已知直线恒过x 轴上一点（匚0）,且水平线不满足条件（斜率为0）,可以假设 直线为x=my + t Q 【反斜截式，/n = yl 不含垂直于丿轴的情况（水平线） k 2 2 2•弦长公式：若直线l:y = lcx + m 与椭圆二+ . = 1@>方>0）相交于两点，求弦长 cr Zr \PQ\的步骤：设联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）： y = kx + m, 〜 f _ 、=、=消去y 整理成关于x 的一元二次方程：Af+ & + C = 0, /r 对 =crb\ ■ 则几花是上式的两个根，A = B 2 -4AC>0；由韦达定理得：西+总=一色「皿=£, A A 又P ，0两点在直线/上，=kx } +m i y 2=kx 2+m ,则y 2-y x =k （x 2-x x ）,从而 I PQ 1= Jc® — 召）'+（〉‘2 一 Vi ）' = J （R — 召）2+"（尤2 一齐）'=>/（1 +，）（尤2 — 召）， 【注意：如果联立方程组消去人整理成关于》的一元二次方程：Ay 2 + By + C = o 9则 3、其他常见问题处理 （1） 等腰（使用垂直平分），平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重 合） （2） 直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于-1）,其次考走是否需要求圆的方程。 （3） 锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解; （4） 三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：S △二卩，（这里卩=匕『）； （5） 圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义； （7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。 =J(1 + ")[(X| +吃)2 — 4 斗吃] \PQ 1=
弦长公式(高二版椭圆)
圆锥曲线综合问题 1. 直线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。 （1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y y k x x ； （2）若已知直线的斜率k ，则假设方程为y kx m ； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为y kx m 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论； （4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设 直线为x my t 。 【反斜截式，1 m k 】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 2.弦长公式：若直线:l y kx m =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>相交于,P Q 两点，求弦长 ||PQ 的步骤： 设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）： 222222 ,, y kx m b x a y a b =+⎧⎨+=⎩消去y 整理成关于x 的一元二次方程：2 0Ax Bx C ++=， 则12,x x 是上式的两个根，2 40B AC ∆=->；由韦达定理得：12,B x x A +=- 12,C x x A = 又,P Q 两点在直线l 上，故1122,y kx m y kx m =+=+，则2121()y y k x x -=-，从而 ||PQ === =【注意：如果联立方程组消去x 整理成关于y 的一元二次方程：2 0Ay By C ，则 ||PQ ==反斜截式 22 (1) m A 】 3、其他常见问题处理 （1）等腰（使用垂直平分）,平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合） （2）直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于1），其次考虑是否需要求圆的方程。 （3）锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解； （4）三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：,()2 a b c S rp p 这里； （5）圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义； （7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。