自动控制原理 时域分析法讲解
0
用于描述对于实际系统的瞬间冲击作用
自动控制原理
7
3.2.1 典型输入信号（续）
（5）正弦函数(sine function)
r t Asint
A
L
A sin t
s2
A 2
0
t
主要用于频域分析,有时也用于时域分析
自动控制原理
8
3.2.2 一阶系统的瞬态响应
Rs Es 1
Cs
C R
s s
1 Ts 1
控制系统一般都存在一定的稳态误差。稳态误差与系统的 结构和参数有关，需要分析系统的结构和参数对系统稳态 误差的影响，并讨论采取何种措施可以减小或消除稳态误 差。
自动控制原理
4
3.2 瞬态响应
瞬态响应，是指系统在输入信号作用下,其输出
量从初始状态到进入稳态之间随时间变化的过程。在
分析系统的瞬态响应时，需要建立对控制系统进行比
普通高等教育“十一五”国家级规划教 材
自动控制原理
第3章 时域分析法
机械工业出版社
第3章 时域分析法
3.1 概述 3.2 瞬态响应 3.3 稳定性 3.4 稳态误差分析
自动控制原理
2
3.1 概述
控制系统性能分析有以下方法： （1）直接求解法 对已建立的系统数学模型，在给定初
始条件和输入信号的情况下，直接求解。直接求解法可 以直观、准确地获得系统时域响应行为的全部信息。 （2）间接评价法 通过某些性能指标来评价系统的品质。 这些性能指标或与时域指标有直接联系，间接地反映系 统时域行为信息。 （3）计算机仿真法 利用计算机进行仿真求解。应用计 算机仿真技术，进行控制系统的分析、设计，是一种非 常重要的辅助方法。
Cs W sRs 1 T
Ts 1 s 1
c
t
1 T
e1 T
t
1 t
T
ct 1
T
63.2% 86.5%
95% 98.2% 99.3%
0.368 1 T
A B
0 T 2T 3T 4T 5T t
自动控制原理
11
3.2.3 二阶系统的瞬态响应
d 2c(t) dt 2
2
2 n
dc(t ) dt
n2c(t)
c
t
1
e
1 T
t
1t
1. 一阶系统总是稳定的
2. td 0.69T
tr 2.2T
3T 5%c ts 4T 2%c
t
t
p、M
不存在
p
3. T反应系统惯性的大小
dct 1
4. dt t0 T
自动控制原理
10
（2）一阶系统的单位脉冲响应（续）
（2）一阶系统的单位脉冲响应
rt t Rs 1 1
ct 1 1 2 sin dt 1t
自动控制原理
15
0.2
0.4 0.6
0.8
衰减振荡
e
nt
ctLeabharlann 112sind t
1t
自动控制原理
16
二阶系统的单位阶跃响应
2. 临界阻尼 1
s1.2 n jn 1 2 n
此时：Cs
s
n2 n
6
3.2.1 典型输入信号（续）
（3） 抛物线函数(parabolic function)
r t 1 t21t
2
1/2
Rs
1 s3
0 1t
用于描述机动的指令输入信号
（4） 单位脉冲函数 (impulse function)
t {0 t 0
t0
t
L t 1
且 0 t dt 1 0-
自动控制原理
3
线性定常系统的主要性能分析
动态性能是指控制系统的输出在输入信号作用下的变化情 况。为了描述系统响应的好坏，提出一系列的动态性能指 标。表征输出响应在阶跃信号作用下的动态性能指标有超 调量、调整时间等。
自动控制系统能够正常工作的前提是系统稳定。不稳定的 系统是不能正常工作的，这需要判断系统的稳定性。判断 方法有多种，例如：劳斯判据、Nyquist判据、李雅普诺夫 第二方法等。
1
2nTa
自动控制原理
13
特征方程的根
二阶系统特征方程： 特征方程的根：
s2 2 ns n2 0 s1.2 n n 2 1
[s]
(1) 1
s1.2 n n 2 1
0
(2) 1
s1.2 n
0
(3) 0 1 s1.2 n jn 1 2
0
(4) 0
s1.2 jn
n2 r (t )
W
s
Cs Rs
s2
n2 2 n s
n2
1
T 2s2 2 Ts 1
R(s)
E(s)
n2
-
ss 2n
C(s) 上式为二阶系统闭环 传递函数的标准形式
或称标准方程。
R(s)
n2 s2 2n s n2
C(s)
阻尼比 n 无阻尼振荡频率
自动控制原理
12
传递函数
如R-Ｌ-Ｃ电路图中，其传递
函数为
W (s) 1/ LC s2 R s
1
L LC
s2
n2 2ns
n2
n
1 LC
1 T1T2
R L
2 n
如电枢控制的直流电动机图 中，角速度 与电枢电压ua之 间传递函数为
W (s) 1/ TaTm s2 1 s 1 Ta TaTm
1 Ke
s2
n2 2 ns n2
n
1 TaTm
0
(5) 0 s1.2 n jn 1 2
0
自动控制原理
14
二阶系统的单位阶跃响应
1.欠阻尼 0<ζ<1
[s]
s1.2 n jn 1 2 n jd
n jn 1 2
Cs
s
n
n 2
jd s
n
jd
1 s
n
0
jn 1 2
arctg 1 2 arccos
e
nt
自动控制原理
5
3.2.1 典型输入信号
（1） 单位阶跃信号 (step function)
r
t
1t
0 {
t0
1 t0
1
Rs 1
s
0
t
用于描述指令突然转换、合闸、负荷突变等
（2）单位斜坡函数 (ramp function)
rt t
R
s
1 s2
1
01
t
用于描述指令随时间线性变化的斜坡信号
自动控制原理
-
Ts
Rs 1
Cs
Ts 1
（1）一阶系统的单位阶跃响应
r t 1t
Rs 1
s
1
C
s
W
s
Rs
1 Ts 1
1 s
s
T
1
1 s
1 s
s
1
1
c
t
1
e1 T
t
1t
T
T
自动控制原理
9
(1)一阶系统的单位阶跃响应 (续)
ct
1
0.632
B A
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
0 T 2T 3T 4T 5T
较的标准，这个标准是:
（1）预先规定一些特殊的试验输入信号
（2）建立比较的标准——性能指标，比较控制系
统对规定输入信号的响应
Rs
Cs
W (s)
Cs W s Rs
ct L1Cs L1 W s Rs
Cs ——控制系统对这些试验信号的响应 Ws ——控制系统传递函数 Rs ——规定的一些特殊试验输入信号
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自动控制原理第三章时域资料
2)
c2
(t
)＝
L1
S
(
1.5S 2 S 1)(S
2)
j
1
c(t)
c1(t) 1 2et 3e2t
-1.33 -0.5
-2 -1
0
1.0
c2(t) 10.5et 0.5e2t
-1 极点和零点分布图
0
12
t
M (s)
ck
lim (s
s pk
pk )
N (s)
传递函数的零点影响到各模态在运动中所占的“比重”
y
瞬态过程
稳态过程
t
0
2) 动态性能与稳态性能
R(S)
稳定是控制系统能够运行的首要条件，只
E(S) G(S ) C(S)
有动态过程收敛，研究动态性能与稳态性 能才有意义。
B(S)
H (S )
稳态性能：稳态误差是描述系统稳态性能的指标，是系统控制精度或 抗干扰能力的一种度量。
通常在典型输入信号（阶跃函数、速度函数、加速度函数）作用下
典型信号选取条件
(1) 信号（实验室、现场）容易产生 (2) 尽可能接近实际工作时的外加信号 (3) 反映系统最不利的工作(环境)条件
瞬态响应：系统在某一典型信号输入作用下，其系统输出量 从初始状态到稳定状态的变化过程。瞬态响应也称动态响应 或过渡过程或暂态响应。 稳态响应：系统在某一典型信号输入的作用下，当时间趋于 无穷大时的输出状态，稳态响应有时也称为静态响应。 分析瞬态响应，选择典型输入信号，有如下优点
线性系统的时域性能指标
1) 动态过程与稳态过程
控制系统的时间响应，可以分为动态（瞬态）过程和稳态过程。
1) 动态过程与稳态过程
自动控制原理第3章
间常数“T”。
12
一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)1t2T tT2(1eT t) t0 2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t)TeT t0
当 t时， y()0
13
一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
38
稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
a n S n a n 1 S n 1 a 1 S a n0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
阶跃响应：
p 2 j1 2 n
Y sss22 n2 n s n2A s1s2 A 2 2 s n s A 3 n
yt 11 12e n t sin 1 2n t
y(t)
ξ=0.3
1
ξ=0.5
20
0
t
二阶系统分析
3、临界阻尼( =1 )
特征根
p1,2 n
阶跃响应：
yt 1 e n t1 n t
42
稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s36s25sK0
列劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s 30 K 0
6
s0
K
稳定必须满足
30 K 0 6
12
一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)1t2T tT2(1eT t) t0 2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t)TeT t0
当 t时， y()0
13
一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
38
稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
a n S n a n 1 S n 1 a 1 S a n0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
阶跃响应：
p 2 j1 2 n
Y sss22 n2 n s n2A s1s2 A 2 2 s n s A 3 n
yt 11 12e n t sin 1 2n t
y(t)
ξ=0.3
1
ξ=0.5
20
0
t
二阶系统分析
3、临界阻尼( =1 )
特征根
p1,2 n
阶跃响应：
yt 1 e n t1 n t
42
稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s36s25sK0
列劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s 30 K 0
6
s0
K
稳定必须满足
30 K 0 6
自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
自动控制原理第三章时域分析法
0.135/T 0.05/T 0.018/T
0
T 2T 3T 4T
t
单位脉冲响应曲线
精选课件
19
三.一阶系统的单位斜坡响应 R(t) t, R(s) 1
s2
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T T 2
Ts 1 s2 s2 s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
Ct (t) (t T) Tet/T (t 0) 其中t T为稳态分量，Tet/T为暂态分量。
%h(tp)h( )10% 0
h( )
精选课件
9
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量 大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的 工作条件下，而且使调节时间加长。
▪ 五.振荡次数N
在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值 次数的一半。
tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速 性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。 即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要
精选课件
20
单位斜坡响应曲线如图所示：
c(t)
r(t)=t
T T
引入误差的概念：0
t
当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实
际稳态值与给定值之差。即：
e hh( )
ss
0 精选课件
21
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。
c(t) 0 0.63 0.86 0.950 0.98 0.99
1
25
2
3
c(0)1 T
精选课件
14
特点： （1）初始斜率为1/T； （2）无超调 （3）稳态误差ess=0 。
0
T 2T 3T 4T
t
单位脉冲响应曲线
精选课件
19
三.一阶系统的单位斜坡响应 R(t) t, R(s) 1
s2
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T T 2
Ts 1 s2 s2 s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
Ct (t) (t T) Tet/T (t 0) 其中t T为稳态分量，Tet/T为暂态分量。
%h(tp)h( )10% 0
h( )
精选课件
9
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量 大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的 工作条件下，而且使调节时间加长。
▪ 五.振荡次数N
在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值 次数的一半。
tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速 性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。 即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要
精选课件
20
单位斜坡响应曲线如图所示：
c(t)
r(t)=t
T T
引入误差的概念：0
t
当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实
际稳态值与给定值之差。即：
e hh( )
ss
0 精选课件
21
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。
c(t) 0 0.63 0.86 0.950 0.98 0.99
1
25
2
3
c(0)1 T
精选课件
14
特点： （1）初始斜率为1/T； （2）无超调 （3）稳态误差ess=0 。
自动控制原理 第3章 时域分析法
1 0 t r (t ) 0t 0，t
单位脉冲函数δ (t)，其数学描述为 t 0 (t ) 且 ( t )dt 1 0t 0 单位脉冲函数的拉氏变换为
R( s) L [ (t )] 1
练习：
根据定义，求一阶系统的动态性能指标： td= ? tr= ?
自动控制原理
第三章 时域分析法
3.3 二阶系统分析
由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。 一、二阶系统的数学模型
位置随动系统原理图
自动控制原理
第三章 时域分析法
前向通道的传递函数
G( s) s La s Ra Js f C m K b
控制系统的时间响应，从时间顺序上，可 以划分为过渡过程和稳态过程。 过渡过程是指系统从初始状态到接近最终 状态的响应过程。 稳态过程是指时间趋于无穷时系统的输出 状态。
自动控制原理
第三章 时域分析法
自动控制原理
第三章 时域分析法
控制系统的典型单位阶跃响应
①延迟时间td
%
h( tp ) h( ) h( ) 100%
自动控制原理
第三章 时域分析法
r(t)
5．正弦函数 其表达式为
a sin t t ≥ 0 r (t ) t 0 0
o
t
其拉氏变换为
a R( s ) L [a sin t 1( t )] 2 s 2
自动控制原理
第三章 时域分析法
二、阶跃响应的性能指标 分析时假定控制系统是单位反馈的、初始 条件为零、给定输入为单位阶跃函数。
1 t T1
1 e T1 / T2 1
单位脉冲函数δ (t)，其数学描述为 t 0 (t ) 且 ( t )dt 1 0t 0 单位脉冲函数的拉氏变换为
R( s) L [ (t )] 1
练习：
根据定义，求一阶系统的动态性能指标： td= ? tr= ?
自动控制原理
第三章 时域分析法
3.3 二阶系统分析
由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。 一、二阶系统的数学模型
位置随动系统原理图
自动控制原理
第三章 时域分析法
前向通道的传递函数
G( s) s La s Ra Js f C m K b
控制系统的时间响应，从时间顺序上，可 以划分为过渡过程和稳态过程。 过渡过程是指系统从初始状态到接近最终 状态的响应过程。 稳态过程是指时间趋于无穷时系统的输出 状态。
自动控制原理
第三章 时域分析法
自动控制原理
第三章 时域分析法
控制系统的典型单位阶跃响应
①延迟时间td
%
h( tp ) h( ) h( ) 100%
自动控制原理
第三章 时域分析法
r(t)
5．正弦函数 其表达式为
a sin t t ≥ 0 r (t ) t 0 0
o
t
其拉氏变换为
a R( s ) L [a sin t 1( t )] 2 s 2
自动控制原理
第三章 时域分析法
二、阶跃响应的性能指标 分析时假定控制系统是单位反馈的、初始 条件为零、给定输入为单位阶跃函数。
1 t T1
1 e T1 / T2 1
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
自动控制原理第三章一控制系统的时域分析
第三章 控制系统的时域分析 法
第三章 控制系统的时域分析法
第一节 第二节 第三节 第四节
二阶系统的瞬态响应及性能指标 增加零极点对二阶系统响应的影响 反馈控制系统的稳态误差 劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第一节 二阶系统的瞬态响应及性能指标
瞬态响应，是指系统的输出从输入信号r(t)作用时刻起， 到稳定状态为止，随时间变化的过程。分析系统的瞬态响应， 可以考查系统的稳定性和过渡过程的性能。分析系统的瞬态 响应，有以下方法：
一般对有振荡的系统常用“(3)”，对无振荡的系统常用“(1)”。
4. 峰值时间tp——响应曲线到达第一个峰值所需的时间，定义 为峰值时间。
5. 调整时间ts——响应曲线从零开始到进入稳态值的 95%~105%（或98%~102%）误差带时所需要的时间，定 义为调整时间。
图3-6 单位阶跃响应
返回
对于恒值控制系统，它的主要任务是维持恒值输出，扰
这时瞬态响应的性能指标有：
1。最大超调量sp——响应曲线偏离稳态值的最大值，
常以百分比表示，即
最大百分比超调量sp＝ c(t p ) c() 100%
c()
最大超调量说明系统的相对稳定性。
2。延滞时间td——响应曲线到达稳态值50%所需的时间，
称为延滞时间。
图3-6
3. 上升时间tr——它有几种定义： (1) 响应曲线从稳态值的10%到90%所需时间； (2) 响应曲线从稳态值的5%到95%所需时间； (3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。
响应，所以脉冲响应和传递函数一样，都可以用来描述系统
的特征。
wn 1 2
e w nt
s in(w n
1 2t)
1
e ( 2 1)wnt
第三章 控制系统的时域分析法
第一节 第二节 第三节 第四节
二阶系统的瞬态响应及性能指标 增加零极点对二阶系统响应的影响 反馈控制系统的稳态误差 劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第一节 二阶系统的瞬态响应及性能指标
瞬态响应，是指系统的输出从输入信号r(t)作用时刻起， 到稳定状态为止，随时间变化的过程。分析系统的瞬态响应， 可以考查系统的稳定性和过渡过程的性能。分析系统的瞬态 响应，有以下方法：
一般对有振荡的系统常用“(3)”，对无振荡的系统常用“(1)”。
4. 峰值时间tp——响应曲线到达第一个峰值所需的时间，定义 为峰值时间。
5. 调整时间ts——响应曲线从零开始到进入稳态值的 95%~105%（或98%~102%）误差带时所需要的时间，定 义为调整时间。
图3-6 单位阶跃响应
返回
对于恒值控制系统，它的主要任务是维持恒值输出，扰
这时瞬态响应的性能指标有：
1。最大超调量sp——响应曲线偏离稳态值的最大值，
常以百分比表示，即
最大百分比超调量sp＝ c(t p ) c() 100%
c()
最大超调量说明系统的相对稳定性。
2。延滞时间td——响应曲线到达稳态值50%所需的时间，
称为延滞时间。
图3-6
3. 上升时间tr——它有几种定义： (1) 响应曲线从稳态值的10%到90%所需时间； (2) 响应曲线从稳态值的5%到95%所需时间； (3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。
响应，所以脉冲响应和传递函数一样，都可以用来描述系统
的特征。
wn 1 2
e w nt
s in(w n
1 2t)
1
e ( 2 1)wnt
自动控制原理之时域分析法
阶跃响应得特点：
i、在t=0时斜率最大，为：
ii、动态性能与时间常数T有关，其指标为：
iii、 的终值为1，即系统在阶跃输入作用下，稳态误差为零
②一阶系统的单位脉冲响应：
响应曲线的斜率在t=0时最大，为 ，在t=0处的切线交时间轴于点
③一阶系统的单位斜坡响应：
一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为：
3、标准二阶系统微分方程
⑴上升时间 ：振荡——第一次上升到终值所需时间
非振荡——从终值的10%上升到终值的90%所需的时间
⑵延迟时间 ：第一次达到其终值的一半所需的时间
⑶峰值时间 ：超过其终值后，达到第一个峰值所需的时间
⑷调节时间 ：达到并保持在终值 5%终值（或 2%）内所需的最短时间
⑸超调量 ：
显然，
若 ，则响应无超调
若想进一步了解导致系统不稳定的根的情况，可以求解辅助方程，辅助方程的根也是系统的特征根。
五、静态误差系数
6、设系统的开环传递函数为
定义：开环传递函数包含积分环节的个数 称为系统的型别（类型）
7、稳态误差和静态误差系数
①阶跃输入
：静态位置误差系数
②斜坡输入
：静态速度误差系数
③加速度输入
：静态加速度误差系数
5、传递函数及其性质
性质：
①分母阶次高， 且所有系数为实数
②只取决于系统或元件的结构和参数
③零初始条件时不可约分
二、梅森增益公式
：单独回路增益； ：每两个互不接触回路增益乘积； ：每三个互不接触回路增益乘积；P：系统总传递函数；n：前向通路总条数； ：第k条前向通路总增益； ：特征式； ：特征式的余子式，即特征式中去掉与第k条前向通路相接触的回路增益项（包括回路增益的乘积项）后的余子式。
i、在t=0时斜率最大，为：
ii、动态性能与时间常数T有关，其指标为：
iii、 的终值为1，即系统在阶跃输入作用下，稳态误差为零
②一阶系统的单位脉冲响应：
响应曲线的斜率在t=0时最大，为 ，在t=0处的切线交时间轴于点
③一阶系统的单位斜坡响应：
一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为：
3、标准二阶系统微分方程
⑴上升时间 ：振荡——第一次上升到终值所需时间
非振荡——从终值的10%上升到终值的90%所需的时间
⑵延迟时间 ：第一次达到其终值的一半所需的时间
⑶峰值时间 ：超过其终值后，达到第一个峰值所需的时间
⑷调节时间 ：达到并保持在终值 5%终值（或 2%）内所需的最短时间
⑸超调量 ：
显然，
若 ，则响应无超调
若想进一步了解导致系统不稳定的根的情况，可以求解辅助方程，辅助方程的根也是系统的特征根。
五、静态误差系数
6、设系统的开环传递函数为
定义：开环传递函数包含积分环节的个数 称为系统的型别（类型）
7、稳态误差和静态误差系数
①阶跃输入
：静态位置误差系数
②斜坡输入
：静态速度误差系数
③加速度输入
：静态加速度误差系数
5、传递函数及其性质
性质：
①分母阶次高， 且所有系数为实数
②只取决于系统或元件的结构和参数
③零初始条件时不可约分
二、梅森增益公式
：单独回路增益； ：每两个互不接触回路增益乘积； ：每三个互不接触回路增益乘积；P：系统总传递函数；n：前向通路总条数； ：第k条前向通路总增益； ：特征式； ：特征式的余子式，即特征式中去掉与第k条前向通路相接触的回路增益项（包括回路增益的乘积项）后的余子式。
自动控制原理 第三章时域分析方法
位脉冲响应，由此可以求得系统的传递函数。
总结与分析：
一阶系统对典型试验信号的响应 输入信号x(t) 输出响应y(t)
1 2 3
t
1() δ(t)
t T Te t / T
1 et /T
1 T
et /T
l 线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过 把系统对输入信号的响应进行微分求得； l 系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原 输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由初 始条件决定。
3.1.1 控制系统的输入信号
● 在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种
系统性能进行比较的基础。
● 从实际应用中抽象出一些典型的输入信号，它
们具有广泛的代表性和实际意义。
● 通过比较各类系统对这些典型试验信号的响
应来分析它们的性能。
常用的典型试验信号：
r(t) A t (a) 阶跃信号
r(t)
1 E
实验方法求取一阶系统的传递函数：
63.2％ T
1 Ts 1
对一阶系统的单位阶跃响应曲线， 1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶 系统的时间常数；
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。 思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
2、系统的稳态响应为y(∞)=t－T，是一个与输入斜 坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。
3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间 常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。系统 的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态 误差也越小。
3.2.3 单位脉冲响应
1 R( s) L[ ( t )] 1 Y ( s) G ( s) R( s) G (s ) Ts 1 系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数
总结与分析：
一阶系统对典型试验信号的响应 输入信号x(t) 输出响应y(t)
1 2 3
t
1() δ(t)
t T Te t / T
1 et /T
1 T
et /T
l 线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过 把系统对输入信号的响应进行微分求得； l 系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原 输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由初 始条件决定。
3.1.1 控制系统的输入信号
● 在分析和设计控制系统时，需要有一个对各种
系统性能进行比较的基础。
● 从实际应用中抽象出一些典型的输入信号，它
们具有广泛的代表性和实际意义。
● 通过比较各类系统对这些典型试验信号的响
应来分析它们的性能。
常用的典型试验信号：
r(t) A t (a) 阶跃信号
r(t)
1 E
实验方法求取一阶系统的传递函数：
63.2％ T
1 Ts 1
对一阶系统的单位阶跃响应曲线， 1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶 系统的时间常数；
2、从t＝0处的切线斜率求得系统的时间常数。 思考题：
若系统增益K不等于1，系统的稳态值应是多少？如何用实
验方法从响应曲线中求取K值？
3.2.2单位斜坡响应
2、系统的稳态响应为y(∞)=t－T，是一个与输入斜 坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。
3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间 常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。系统 的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态 误差也越小。
3.2.3 单位脉冲响应
1 R( s) L[ ( t )] 1 Y ( s) G ( s) R( s) G (s ) Ts 1 系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数
《自动控制原理》第3章线性系统的时域分析法
（3）当 1 时：相等负实根
（4）当 0 时：共轭虚根
(1)过阻尼( 1)
s1,2 n n 2 1
C(s)
n2
1
n2
(S s1)(S s2) S [S n ( 2 1)][S n ( 2 1)]S
A1
A2
A3
S S n ( 2 1) n ( 2 1)
TT
TT
%
t
p
n
K,T
六. 稳定性的基本概念 稳定性系统在扰动消失后，由初始偏差状
态恢复到原平衡态的能力。
若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程 随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作 点），则称系统渐近稳定，简称稳定；
若在初始扰动的影响下，系统的动态过程随时 间的推移而发散，则称系统不稳定。
jd d n 1 2 －阻尼振荡频率
W
(s)
C(s) R(s)
S2
n2 2ns
n2
C(s)
W (s)R(s)
S2
n2 2n S
n2
1 S
1
S n
n
S (S n )2 d 2 (S n )2 d 2
稳态分量
暂态分量
C(t) 1 ent[cosdt
1 2
sin dt]
(d n 1 2 )
统参数K,T和α。
c(t)
7.21
R(s)
K s(Ts 1)
C(s) 5
0 3.25 5
已知： %,t p,c()
10
t
T(s)
s
2
2n 2ns
2 n
思路： % c() lim c(t) limsC(s) c()
tp n
（4）当 0 时：共轭虚根
(1)过阻尼( 1)
s1,2 n n 2 1
C(s)
n2
1
n2
(S s1)(S s2) S [S n ( 2 1)][S n ( 2 1)]S
A1
A2
A3
S S n ( 2 1) n ( 2 1)
TT
TT
%
t
p
n
K,T
六. 稳定性的基本概念 稳定性系统在扰动消失后，由初始偏差状
态恢复到原平衡态的能力。
若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程 随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作 点），则称系统渐近稳定，简称稳定；
若在初始扰动的影响下，系统的动态过程随时 间的推移而发散，则称系统不稳定。
jd d n 1 2 －阻尼振荡频率
W
(s)
C(s) R(s)
S2
n2 2ns
n2
C(s)
W (s)R(s)
S2
n2 2n S
n2
1 S
1
S n
n
S (S n )2 d 2 (S n )2 d 2
稳态分量
暂态分量
C(t) 1 ent[cosdt
1 2
sin dt]
(d n 1 2 )
统参数K,T和α。
c(t)
7.21
R(s)
K s(Ts 1)
C(s) 5
0 3.25 5
已知： %,t p,c()
10
t
T(s)
s
2
2n 2ns
2 n
思路： % c() lim c(t) limsC(s) c()
tp n