2014 暑假 四年级 精英班 第2讲 数列与数表 教师版

第二讲 数列与数表知识要点：数列与数表这一类题目种类繁多，其中数列包括了等差数列、周期数列等，数表中有我们比较常见的三角数表和一些行列数表，这些题目初看比较复杂，但其中都包含了一些规律性的变化，只要认真观察，并将其中的规律找出，那么解决起来就会变得简单许多，通常还会用到余数原理和等差数列相关公式和性质，方便我们找出数列、数表与余数之间的关系。

一、基础应用：【例1】 有一张纸片，第一次将它撕成6小片，第二次将其中的一张又撕成6小片，以后每一次都将其中的一小张撕成更小的6片，撕了五次后一共得到多少张纸片？ 【解析】 每撕一次，把一张纸片撕成6小片，增加了5张；撕了六次后一共得到15526+⨯=张纸片。

【例2】 一列数1，4，7，10，13，…，从第二项起，后项减去它的前面一项的差都相等，从左往右数，第几个数是196？ 【解析】 这是个等差数列，公差是3；从左往右数，第()19613166-÷+=个数是196。

【例3】 计算：6463626160595857565432-++-++-++++-+ 【解析】 6463626160595857565432-++-++-++++-+()()()()()646362616059585756765432=-++-++-+++-++-+()()121216360576312192021336932+⨯=+++++=+++++⨯=⨯=【例4】 有一列数：2、3、6、8、8、……从第三个数开始，每个数都是前两个数乘积的个位数字，那么这列数的第60个数应是多少？ 【解析】 因为从第三个数开始，每个数都是前两个数乘积的个位数字，根据题意将接下来的数字表示出来，有2、3、6、8、8、4、2、8、6、8、8、……，后面会发现数列具有周期现象，且周期从第三个数字开始为6、8、8、4、2、8，六个数字为一个周期，根据周期问题， (602)694-÷=……，第60个数为周期内的第4个数字，即为4。

二、拓展训练：【例5】 由三个数组成的数组按某种规律排成一列：(1,2,3)，(2,3,5)，(3,4,7)，(4,5,9)，……，那么其中第几个数组中的各数之和为1234？ 【解析】 此题如果由数组中单一一个数去考虑，题目会变得比较复杂，因为问题是问第几个数组的和是1234，所以我们可由数组的和入手，便很容易发现数组的规律；题中每个数组的和分别为6、10、14、18、……，很容易看出数组的和是一个公差为4的等差数列，1234是这个等差数列中的第(12346)41308-÷+=项，所以第308个数组的各数之和为1234。

【例6】 下图是按一定的规律排列的数表，那么，这个数表第10行中所有数的和是多少？12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213141516…… …… ……【解析】 此数表具有一个比较明显的特征，即每一行的最右边一个数字为211=、242=、293=、2164=、……，可以看出每个数均为所在行中行数的平方，所以第10行中最右边一个数为210100=，最左边一个数为29182+=，此行中所有数的和为828384+100=1729+++……。

【例7】 1~500中，去掉所有的平方数，剩下的整数之和是多少？ 【解析】 1~500中所有的平方数和是()()222122222221222163795+++=⨯+⨯⨯+÷=；则剩下的整数之和是125003795121455+++-=。

【例8】 将自然数按规律排成了下图的三角形，2013是第几行左起第几个数？【解析】 这个三角形的数表是由从1开始的连续自然数组成的，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，……，第n 行有n 个数，1234+62=1953<2013<1234+63=2016++++++++…………，即2013应该在……………………151413121110987654321第63行；所有的奇数行都是从左至右依次减小的，所以第63行最左边的一个数为2016，则2013排在第63行左起第4个数。

【例9】小明在黑板上写下从1开始的若干个连续的奇数：1、3、5、7、9、11、13、……，他试着擦去其中的两个连续奇数以后，结果剩下的所有奇数之和为1973.那么，他擦去的两个奇数是多少？【解析】如果两个奇数不擦除，则所得的和必定比1973要大，我们知道两个奇数的和必为偶数，所以只要找连续奇数的和为奇数的即可，……（），与题意矛盾；++++⨯÷<1357+85=1+85432=18491973……（），此时可知擦去的两个连续奇++++⨯÷1357+89=1+89452=2025>1973-=，则两个奇数为25和27。

数的和为2025197352……，共1000个数字，第【例10】0123456789012345678901234567890123456789一轮去掉在奇数位置（从左数起）上的数字，剩下500个数字；第二轮再去掉这500个数字中奇数位置上的数字，剩下250个；第三轮，……；直到只剩下一个数字．最后剩下的数字是多少？这时已经操作了多少轮？【解析】第一轮后，留下的是第2、4、6、8、10、12、14、16、……位上的数字，即1=的倍数数位上的数字；22第二轮后，留下的是第4、8、12、16、……位上的数字，即2=的倍数数42位上的数字；第三轮后，留下的是第8、16、……位上的数字，即382=的倍数数位上的数字；第四轮后，留下的是第16、……位上的数字，即4=的倍数数位上的数字；162………………………………………………………………第n轮后，留下的是第2n的倍数数位上的数字。

因为910=的倍数数位上的数字，即第<<，所以最后留下的应为92512210002512个数字，这列数为一个周期数列，且周期为0123456789，十个数字为一÷=……，所以最后留下的数字为数字1，这时已经操作了9个周期，51210512轮。

三、难题解析：【例11】黑板上有100个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0、1、3、8、21、……，问最右边一个数被6除余几？【解析】123、1、0、5、3、÷=……4，那么最右边一个数除以64、3、5”，12个数为一个周期，100128所得余数与周期内第4个数相同，即为2。

、、、、、、、H、I、J、K、【例12】如图所示，在8行8列的数阵中,A B C D E F GL、M、N、O表示从小到大的15个连续自然数，已知右下角的4行4列中所有数的和是576，求整个数阵中所有数的和。

【解析】 此题初看比较复杂，而且也不太好判断出这15个连续的自然数，其实仔细分析不难看出，解决此题并不需要知道这15个连续的自然数，我们只需要将数表分成4行4列的4部分即可，如上右图所示。

由上图不难看出右上角的4行4列与左下角的4行4列为完全相同的两部分，且右下角部分中的每一行按顺序都比右上角部分中的每一行大4416⨯=（如第一行：4I E -=、4J F -=、4K G -=、4L H -=），所以右上角部分的总和为576164512-⨯=；接下来我们又发现，右上角部分中的每一行按顺序都比左上角部分中的每一行大4416⨯=（如第一行：4E A -=、4F B -=、4G C -=、4H D -=），所以左上角部分的总和为512164448-⨯=，即数表的总和为57651224482048+⨯+=。

四、巩固练习：1. 一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：1、1、2、3、5、8、13、21、……。

问：这串数的前100个数中有多少个偶数? 【解析】 这列数按奇偶性排列应为：奇、奇、偶、奇、奇、偶、……，由此可发现此数列按奇偶性排列具有周期性，周期为“奇、奇、偶”三个数为一个周期，每个周期里面有1个偶数，因1003331÷=……，所以前100个数中有33个偶数。

2. 有一串数如下：1、2、4、7、11、16、……。

它的规律是：由1开始，加1，加2，加3，……，依次逐个产生这串数，直到第50个数为止．那么在这50个数中，被3除余1的数有多少个？ 【 C D E F G H I J D E F E F G F G H I G H I J H I J K121个周期，每个周期中余1的数有2个，503162÷=……，所以被3除余1的数有162133⨯+=个。

3. 数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6…的第1000项的值是_____。

（2014年小机灵杯决赛） 【解析】 1244(144)442990++⋅⋅⋅+=+⨯÷=；1245(145)4521035++⋅⋅⋅+=+⨯÷=；第1000项的值是45。

4. 从1，4，7，10，13，16，19，22，25，28这些数中选取三个不同的数a ，b ，c 。

请问a b c ++的和有多少种不同的答案？ 【解析】 题中给出的数列是一个公差为3的等差数列，现要从中选出三个不同的数，三个数的和最小为14712++=，三个数的和最大为22252875++=，且三个数的和排列起来也是一个公差为3的等差数列，所以这样不同的和共有(7512)3122-÷+=个。

5. 将自然数如右图排列，有一个能框住五个数的十字形在上面滑动；如图所示，十字形四个角上四个数的和是40；十字形四个角上四个数的和是464时，中间格子里的数是多少？1 2 67 8 12 13 14 18 19 20 24 … …【解析】 通过观察可知，图中十字形框住的五个数中（如下图所示）， A E B D +=+,且B 、C 、D E 是公差为6的等差数列；4642232A E B D +=+=÷=，因此中间数为116，框住的五个数为110、115、116、117、122。

6. 1，4，2，7，3，10，4，13，1，16，2，19，3，22，4，25，1，……，100。

请观察上面数列的规律，问：(1)这个数列一共有多少项？(2)这个数列所有数的总和是多少？ 【解析】 题中的数列为一个双重数列，先看奇数项，可发现排列顺序为1、2、3、4、1、2、3、4、……，很容易看出此数列为周期数列，以1、2、3、4四个数为一个周期；再看偶数项，可发现排列顺序为4、7、10、13、16、……，很容易看出此数列是一个公差为3的等差数列；这个数列的项数跟等差数列的项数有关，每一项前面都跟着一个数，所以这个数列的项数为等差数列项数的两倍，等差数列有(1004)3133-÷+=项，即这个数列有33266⨯=项；由前面的计算可知，奇数项上的周期数列也有33项，因33481÷=……，即有8个周期还多一个数，多出的这个数应为数字1，所以这个数列所有数的总和为等差数列的和(4100)3321716+⨯÷=加上周期数列的和(1234)8181+++⨯+=，即1716811797+=。