2017年北京大学博雅计划数学试题

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北大博雅计划笔试真题

北大博雅计划笔试真题篇一：16年北京大学博雅计划数学试题XX年北京大学博雅计划数学试题选择题共20小题，在每小题的选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.1.直线y??x?2与曲线y??ex?a相切，则a的值为：；A.?3B.?2C.?1D.前三个答案都不对2.已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c，则下面4个结论中正确的个数为：；（1（2）以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在；（3）以a?bb?cc?a,,为边长的三角形一定存在；（4）以|a?b|?1,|b?c|?1,|c?a|?1为边长的三222角形一定存在；D.前三个答案都不对3.设AB,CD是?O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE?24,EF?18，则OE等于：；ABCD.前三个答案都不对q?1,若x为有理数，p与q互素1?p4.函数f?x???p，则满足x??0,1?且f?x??的x的个数有：； 7?0,若x为无理数?前三个答案都不对5.若方程x?3x?1?0的根也是方程x?ax?bx?c?0的根，则a?b?2c的值为：； 242A.?13B.?9C.?5D.前三个答案都不对6.已知k?1，则等比数列a?log2k,a?log4k,a?log8k的公比为：；111A. B. C. D.前三个答案都不对 234?2?10??的值为：； 111111111A.? B.? C.?D.前三个答案都不对 163264XX?z?z1228.设a,b,c为实数a,c?0，方程ax?bx?c?0的两个虚数根为z1,z2，且满足为实数，则??1?z2k?0?z2?k 等于：；.0 C D.前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为：；D.前三个答案都不对10.设A是以BC为直径的圆上的一点，D,E是线段BC 上的点，F是CB延长线上的点，已知BF?4,BD?2,BE?5,?BAD??ACD，?BAF??CAE，则BC的长为：；D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K，大圆的弦AB与小圆切于L，已知AK:BK?2:5,AL?10，则BL的长为：；D.前三个答案都不对?x?是一个定义在实数R上的函数，满足2f?x??fx?1?1,?x?R，则f； ??? 前三个答案都不对 2313.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数有：；D.前三个答案都不对14.已知正整数a,b,c,d满足ab?cd，则a?b?c?d有可能等于：；D.前三个答案都不对15.三个不同的实数x,y,z满足x3?3x2?y3?3y2?z3?3z2，则x?y?z等于：；A.?1 D.前三个答案都不对16.已知a?b?c?1的最大值与最小值的乘积属于区间：；A.[10,11)B.[11,12)C.[12,13)D.前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD中，BD?6,?ABD??CBD?30?，则四边形ABCD的面积等于：；ABCD.前三个答案都不对!?2!?…+XX!除以100所得余数为：；D.前三个答案都不对19.方程组x?y2?z3，x2?y3?z4，x3?y4?z5的实数解组数为：；D.前三个答案都不对x3?x3x3?x)??3x的所有实根的平方和等于： 20.方程(33D.前三个答案都不对篇二：XX北京大学“博雅人才培养计划”面试题目及对策XX北京大学“博雅人才培养计划”面试题目1.北京申办冬奥会有哪些机遇和挑战2.如何治理雾霾，有何建议3.中国传统文化将如何走出去4.微信在人际交往中的作用5.欧洲历史上的分与合6.如何看待中国申请冬奥会面试分为两个阶段，第二阶段为一对一考察理科生需在45分钟内，尝试解答一道物理题和一道数学题，然后分别接受一名物理考官和一名数学考官的一对一考察。

(完整版)北京大学2018年博雅计划数学真题

北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。

1. 设n 为正整数，)!(!!k n k n C k n-=为组合数，则201820182201812018020184037...53C C C C ++++等于（）A. 201822018⋅B. 2018！C. 20184036C D. 前三个答案都不对【答案】D 解析：111111(21)222nn n nn nnk k k k k k knnnn nn n k k k k k k k k CkC C nCC n CC ----=======+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑， 201820182018122018120182018201820182018201720180135...4037(21)22018k k kk k k CC CCk C CC -===∴++++=+=⨯⨯+∑∑∑ 20172018201840362220192=⨯+=⨯，故选D 。

2. 设a ，b ，c 为非负实数，满足a +b +c =3，则a +ab +abc 的最大值为（）A. 3B. 4C. 23D. 前三个答案都不对【答案】B解析：22(1)(4)(1(1))1144b c a a ab abc a b c a a ⎛⎫⎛⎫++-++=++≤+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对其求导得到2a =时取最大值为4。

3. 一个正整数n 称为具有3-因数积性质若n 的所有正因数的乘积等于3n ，则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为（）A. 55B. 50C. 51D. 前三个答案都不对【答案】C解析：设n 的所有正因数的乘积为T ，即3T n =。

1n =显然符合题意；下面证明当2n ≥时，正整数n 的质因数的个数最多为2：假设n 的质因数的个数大于或等于3，即n 的全部质因数为12,,...,(3)k p p p k ≥，并设1212...k k n p p p ααα=，则n 的所有正因数的乘积中，(1,2,...)i i p i k α=至少在12112,,,...,,...,,...i i i i i i i i i i i i i i i k i k p p p p p p p p p p p p p p ααααααα-+这些因子中出现，即i i p α出现的次数大于或等于4，这样T 124412(...)k k p p p n ααα≥=，这与题意3T n =矛盾，所以假设不成立，即n 的质因数的个数最多为2。

2017年北京卷理科数学高考试卷(原卷答案)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学本试卷共20题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第一部分（选择题共40分）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{|21}{|13}A x x B x x x =−=−<<<>，或，则AB =（A ）{|21}x x −<<− （B ）{|23}x x −<< （C ）{|11}x x −<< （D ）{|13}x x <<（2）若复数(1)()i a i −+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)−∞ （B ）(,1)−∞− （C ）(1,)+∞ （D ）(1,)−+∞ （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2（B ）32 （C ）53（D ）85（4）若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9（5）已知函数1()3()3x xf x =−，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数（6）设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A．B．C．D ．2（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与MN最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）（A ）3310 （B ）5310 （C ）7310 （D ）9310第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

2017北京卷数学试卷(理)及答案

1．若集合A ={x |–2x1}，B={x |x–1或x3}，则A B =（A ）{x |–2x –1} （B ）{x |–2x 3} （C ）{x |–1x 1} （D ）{x |1x 3}2．若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）（–∞，1）（B ）（–∞，–1）（C ）（1，+∞）（D ）（–1，+∞） 3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）2 （B ）32 （C ）53 （D ）854．若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则x + 2y 的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）95．已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数（B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数6．设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）2（B）3（C）2（D）2 8．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）10939．若双曲线221yxm-=3m=_________.10．若等差数列{}na和等比数列{}nb满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则22ab=_______.11．在极坐标系中，点A在圆22cos4sin40ρρθρθ--+=上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________.12．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若1sin3α=，cos()αβ-=___________.13．能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________．14．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.15．在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37a .（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.16．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD =6，AB=4．（I ）求证：M 为PB 的中点；（II ）求二面角B -PD -A 的大小；（III ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．17．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示为服药者.（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机学科网.选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）；（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论）18．已知抛物线C ：y 2=2px 过点P （1，1）.过点（0，12）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.19．已知函数f （x ）=e xcosx −x.（Ⅰ）求曲线y= f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f （x ）在区间[0，]上的最大值和最小值.20．设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,sx x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n=，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc Mn >；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．参考答案1．A【解析】试题分析：{}21 A B x x=-<<-I，故选A.2．B【解析】试题分析：()()()()111z i a i a a i=-+=++-，因为对应的点在第二象限，所以1010aa+<⎧⎨->⎩，解得：1a<-，故选B.3．C【解析】试题分析：0k=时，03<成立，第一次进入循环111,21k s+===，13<成立，第二次进入循环，2132,22k s+===，23<成立，第三次进入循环31523,332k s+===，33<否，输出53s=，故选C.4．D【解析】试题分析：如图，画出可行域，2z x y=+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C时，目标函数取得最大值max3239z=+⨯=，故选D.5．A【解析】试题分析：()()113333x xxxf x f x--⎛⎫⎛⎫-=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x是增函数，13x⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.6．A【解析】试题分析：若0λ∃<，使m nλ=r r，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n⋅==-<r r r r r rT，若0m n⋅<r r，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n，所以是充分不必要条件，故选A. 7．B【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，22222223l++=故选B.8．D【解析】试题分析：设36180310MxN==，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x==-=⨯-=，所以93.2810x=，即MN最接近9310，故选D.9．2【解析】试题分析：221,a b m==，所以13c ma+==，解得2m=.10．1【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为d 和q ，3138d q -+=-= ，求得2,3q d =-= ，那么221312a b -+==11．1【解析】2222:2440(1)(2)1C x y x y x y +--+=⇒-+-=e，所以min ||||211AP AC r =-=-=12．79-【解析】因为α与β关于y 轴对称，所以2k αβππ+=+ ，那么sin sin βα=,cos cos βα=-cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+=2227cos sin 2sin 19ααα-+=-=-13．-1，-2，-3（答案不唯一）【解析】123,1(2)3->->--+-=- 14．1Q ；2.p【解析】作图可得11A B 中点纵坐标比2233,A B A B 中点纵坐标大，所以第一位选1Q分别作123,,B B B 关于原点的对称点123,,B B B '''，比较直线112233,,A B A B A B ''' 斜率，可得22A B '最大，所以选2.p 15．（Ⅰ）sin C （Ⅱ）△ABC的面积S =.【解析】解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为60A ∠=︒，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （Ⅱ）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得222173232bb =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以△ABC 的面积113sin 836322S bc A ==⨯⨯⨯=.16．（I ）详见解析（II ）二面角B PD A --为锐角的大小为3π.；（III ）直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为269.【解析】解：（I ）设,AC BD 交点为E ，连接ME .因为PD ∥平面MAC ，平面MAC I 平面PBD ME =，所以PD ME ∥. 因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点.（II ）取AD 的中点O ，连接OP ，OE . 因为PA PD =，所以OP AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD . 因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP OE ⊥. 因为ABCD 是正方形，所以OE AD ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则2)P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B -，(4,4,0)BD =-u u u r ，(2,0,2)PD =u u u r.设平面BDP 的法向量为(,,)x y z =n ，则00BD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n ，即440220x y x z -=⎧⎪⎨=⎪⎩. 令1x =，则1y =，2z =于是2)=n .平面PAD 的法向量为(0,1,0)=p ，所以1cos ,||||2⋅==<>n p n p n p .由题知二面角B PD A --为锐角，所以它的大小为3π.（III ）由题意知2(1,M -，(2,4,0)D ，2(3,2,MC =u u u u r . 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则||26sin |cos ,|9||||MC MC MC α⋅===u u u u r u u u u r u u u u r <>n n n .所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为69. 17．（I ）0.3（II ）详见解析（III ）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差. 【解析】解：（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为150.350=. （Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.21122222222444C C C C 121(0),(1),(2)C 6C 3C 6P P P ξξξ=========.所以ξ的分布列为ξ 0 1 2P16 23 16故ξ的期望121()0121636E ξ=⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差. 18．（Ⅰ）抛物线C 的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x =-. （Ⅱ）详见解析【解析】解：（Ⅰ）由抛物线C ：22y px =过点P （1，1），得12p =. 所以抛物线C 的方程为2y x =. 抛物线C 的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x =-. （Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为12y kx =+（0k ≠），l 与抛物线C 的交点为11(,)M x y ，22(,)N x y .由212y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得224(44)10k x k x +-+=. 则1221k x x k -+=，12214x x k=. 因为点P 的坐标为（1，1），所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为11(,)x y . 直线ON 的方程为22y y x x =，点B 的坐标为2112(,)y yx x . 因为21122112112222y y y y y y x x y x x x +-+-= 122112211()()222kx x kx x x x x +++-=122121(22)()2k x x x x x -++= 22211(22)42k k k k x --⨯+=0=，所以211122y y y x x +=. 故A 为线段BM 的中点. 19．（Ⅰ）切线方程为1y =（Ⅱ）()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 【解析】解：（Ⅰ）因为()e cos xf x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=.又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-. 当π(0,)2x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减. 所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减. 因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-. 20．（Ⅰ）10,c =21c =-32c =-,证明见解析；（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<，所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减. 所以112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n=---=-=-L . 所以对任意1,1n n c n ≥=-，于是11n n c c +-=-，所以{}n c 是等差数列.（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--.所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨-≤⎩当时，当时，①当10d >时，取正整数21d m d >，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,m m m c c c ++L 是等差数列.②当10d =时，对任意1n ≥，1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).n c b a n n d b a n d a =-+-=-+-- 此时，123,,,,,n c c c c L L 是等差数列.③当10d <时，当21d n d >时，有12nd d <. 所以1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n -+---==-+-++ 111212()||.n d d a d b d ≥-+-+--对任意正数M ，取正整数12112211||max{,}M b d a d d d m d d +-+-->-，故当n m ≥时，n c M n >.。

2017年北京大学(优特)U-Test测试-数学学科试题(解析)

2017北京大学优特测试数学部分1．已知x ，y ∈R ，且4(x -1)2+(y -1)2＝1，求yx的最大值。

2．已知f (x )＝x 2-ln x ，g (x )＝x -2，直线y ＝m 与f (x )和g (x )分别交于P ，Q ，求|PQ |的最小值。

3．已知a ，b ，c 成等差数列，点P (-1，0)在直线l :ax +by +c ＝0上的投影为M ，又已知N 的坐标为(0，3)，求|MN |的最小可能值。

4．已知正数数列{a n }满足a 1＝1，且112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（S n 为数列的前行项和），求S 9。

5．已知f (x )在R 上可导，且满足以下两个条件： ①当x ≠1时，(x -1)[f′(x )-f (x )]＞0 ②f (2-x )＝f (x )e 2-2x试比较f (1)与f (0)的大小关系；以及f (2)与f (0)的大小关系。

6．在△ABC 中，求cos A B C 的最大值。

7．求值：9tan10°+2tan20°+4tan40°-tan80°。

8．已知(a 1-a 2)2+(a 2-a 3)2+(a 3-a 4)2+(a 4-a 5)2＝1，其中a i ∈R ，i ＝1，2，…，5。

求a 1-2a 2-a 3+2a 5的最大值。

9．已知54和128是某等比数列中的两项，问该数列中最多有多少项为正整数。

10．求不定方程x 2-xy -2x +3y ＝11的正整数解。

11．求22018888999⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦…被63除的余数，其中[x ]表示不超过x 的最大整数。

12．求y ＝x 2上任三点所确定的外接圆半径的取值范围。

13．已知()10)1010x x f x x −=+−+，求解集f (3x +1)+f (x )＞2014．60支球队两两比赛，任两支相互胜率均为50％，设有两支球队取胜场数相同的概率为pq ，(p ，q )＝1。

(完整版)2017北京高考数学真题(理科)及答案

绝密★启封并使用完毕前2017 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分。

考试时长120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40 分）、选择题共8小题，每小题5分，共40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1）若集合A={ x|– 2 x 1} ，B={ x|x –1或x 3}，则 A B=A）{x|–2 x –1} （B）{x|–2 x 3}C）{x|–1 x 1} （D）{x|1 x 3}a 的取值范围是2）若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数 A ）（–∞，1）B）（–∞，–1）C）（1，+∞）D）（–1，+∞） 3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A）23B）2C）53D）854）若x，y 满足x≤3，x + y ≥2，y≤x，则x + 2y 的最大值为（A）1（C）5（B）3（D）9第二部分（非选择题共 110 分）、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30 分。

29）若双曲线 x 2 y 1 的离心率为 3 ，则实数 m= ___________________ .m10）若等差数列 a n 和等比数列 b n 满足 a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则 a2 = ___________n n b 25)已知函数 f (x) 3x1，则 f(x)3A ）是奇函数，且在 R 上是增函数B ）是偶函数，且在 R 上是增函数C ）是奇函数，且在 R 上是减函数D ）是偶函数，且在 R 上是减函数6）设 m,n 为非零向量，则“存在负数，使得 m n ”是“ m n <0”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ A ） 3 2 （B ） 2 3 （C ） 2 2 （D ） 28）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为 1080.则列各数中与 M 最接近的是N参考数据： lg3 ≈ 0.4)8A )1033C )1073B )1053 D )109314）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点午的工作时间和加工的零件数，点 B i 的横、纵坐标学科 & 网分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数， i=1， 2，3。

2015年北京大学博雅计划数学试卷

h t t p://l a n q i.o r g2015年北京⼤学博雅计划数学试卷兰琦2017年1⽉11⽇⼀、选择题（共5⼩题；在每⼩题的四个选项中，只有⼀项符合题⺫要求，把正确选项的代号填在括号中，选对得10分，选错扣5分，不选得0分．）1.已知n 为不超过2015的正整数且1n +2n +3n +4n 的个位数为0，则满⾜条件的正整数n 的个数为()A.1511B.1512C.1513D.前三个答案都不对解析B ．n 模4余1,2,3均可．2.在内切圆半径为1的直⾓三⾓形ABC 中，∠C =90◦，∠B =30◦，内切圆与BC 切于D ，则A 到D 的距离AD 等于()A.√4+2√3B.√3+3√3 C.√3+4√3D.前三个答案都不对解析D ．利用面积确定三边长，答案为√5+2√3．3.正⽅形ABCD 内部⼀点P 满⾜AP :BP :CP =1:2:3，则∠AP B 等于()A.120◦B.135◦C.150◦D.前三个答案都不对解析 B.4.满⾜1x +1y =12015，x ⩽y 的正整数对(x,y )的个数为()A.12B.15C.18D.前三个答案都不对解析D.(x −2015)(y −2015)=20152=52·132·312，因此(x,y )共有14对．5.已知a,b,c ∈Z ，且(a −b )(b −c )(c −a )=a +b +c ，则a +b +c 可能为()A.126B.144C.162D.前三个答案都不对解析C.⼆、填空题（共5⼩题；请把每⼩题的正确答案填在横线上，每题10分．）6.设α为复数，α表⽰α的共轭，已知|α−α|=2√3且αα2为纯虚数，则|α|的值为．解析2√3或√3．由题意， r sin Åkπ3+π6ã =√3，其中r 为|α|，k ∈Z ，因此r =2√3或r =√3，对应的α=3+√3i 或α=√3i ．1h t t p://l a n q i.o r g27.椭圆x 2+y 2=1的⼀条切线与x,y 轴交于A,B 两点，则三⾓形AOB 的⾯积的最⼩值为．解析ab ．仿射变换．8.已知x 2−y 2+6x +4y +5=0，则x 2+y 2的最⼩值是．解析12．注意题中⽅程为两条互相垂直的直线．9.已知点集M ={(x,y ) √1−x 2·√1−y 2⩾xy }，则平⾯直⾓坐标系中区域M 的⾯积为．解析2+π2．10.现要登上10级台阶，每次可以登1级或2级，则不同的登法共有种．解析89．。

2017北京大学数学夏令营试题(部分)

【简介】2017 年 8 月 13 日— 15 日，北京大学举行中学生数学科学夏令营活动，活动包含专题讲座、专项测试。

本次夏令营专项测试包含 2 次学生测试，每次考试 3 个小时。

参加的营员在 12 月份数学冬令营中有以下对应优惠。

1、进入前 50 名集训队成员，直接保送北大（每年国决现场集训队选手基本都是保送清北）；
2、进入前 120 名，可降一安分数线录取。

3、数学联赛中进入省队，依照有关状况赐予降20— 60 分录取。

第一天第 1 题参照解答
2 题参照解答
第一天第
剖析
a2k增加，如第一，假如这个递推初始值略微大一点，就能够忽视常数项，就会产生变为
果初始值太小，就会直接到后边变为负数，因此很可能只有独一一个解或许无解，否则只好有无穷个解（不太可能）。

因此猜对初始值特别重点，那么切合题意的初始值可能成为本数列的为数不多的闭合解
之一。

由于我许久没做题了，因此费了点功夫，假如常常在做函数方程的同学，一下子能够
看出闭合解可能是一次多项式，而后就能够猜到答案。

再反证明初始值独一就能够了，使用不等式放缩即可，由于这个递推式对初始值特别敏感，因此不难用不等式导出矛盾。

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2017年北京大学博雅计划数学试题
一、选择题（本大题共 20小题，每小题5分，共100分）
1. 正整数9 • 95^995亠亠9pj |95的十进制表示中数字 1的个数为（）
A.2012 B.2013 C.2014 D.前三个答案都不对
2. 将等差数列1,5,9,H3， ,2017排成一个大数15913…2017，则该大数被9除的余数为（）
A.4 B.1 C.7 D.前三个答案都不对
3. —个三位数等于它
的各位数字的阶乘之和，则此三位数的各位数字之和为（）

A.9 B.10 C.11 D.前三个答案都不对

10. 将正整数集合N •分成两个不相交的子集的并，使得每个子集都不包含无穷等差数列的不同方式
有（）
A.0种 B.1种 C.无穷多种 D.前三个答案都不对
11. O是凸四边形 ABCD对角线AC和BD的交点，已知UAOB「BOC「COD「DOA的周长相同,
厶AOBJBOCJCOD的内切圆半径分别为 3,4,6，^U厶DOA的内切圆半径为（）

12.一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试。已知有 100名学生参加了数学考
试，50名同学参加了物理考试，48名同学参加了化学考试。学生总数是只参加一门考试学生数的

14有多少个互补相似的二ABC满足
sin A = cos B = tan C?
A.0个 B.1个 C.2个

8.—个盒子装有红，白，蓝，绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个，从中随机拿出 4个玻璃球，这4个球是红色的概率为 p1，恰好有三个红色和一个白色的概率为 p2，恰好有两个 A.5 B.6 C.7 D.前三个答案都不对
17.整数p,q满足p • q = 218,x2+px • q = 0有整数根，满足这样条件的整数对（p,q ）的个数为（）

4.单位圆的内接五边形的所有边及所有对角线的平方和的最大值为（
A.15 B.20 C.25
D.前三个答案都不对

2倍，也是参加三门考试学生数的 3倍，则学生总数为（
A.108 名 B.120 名 C.125 名） D.前三个答案都不对

A.9 8 7 B. 8 C.3
4

A.4个
B.6个 C.8个

）
D.前三个答案都不对
D.前三个答案都不对

2017+.3 A. 2017-、3 B. 2017 1+2017
、

；
3

.
2017+,3

D.前三个答案都不对

7.已知正整数n满足n式2017且
n
n与2O172017
有相同的个位数字，则
2017-n
的最小值为（

A.4
B.6 C.8
D.前三个答案都不对

15.已知存在整数
a, b,c 满足 a b+c = 1,S = ( a bc)( b ac)(c，ab) 100，则 S

的最小值属于

()
A. 100,110 B. 110,120】 C. 120,130】 D.前三个答案都不对

16.已知存在正整数 a,b,c满足a+b + c=407,10n abc,则n的最大值（
）

红色，一个白色和一个蓝色的概率为卩3，四种颜色各一个的概率为 P4，» = 0二P3 = P4则这个
盒子里的玻璃球的个数的最小值等于（）
A.17个 B.19个 C.21个 D.前三个答案都不对
1 1 1
9.设a,b,cft（ a -）（b -）（c - ）均为正整数，则2a 3b 5c的最大值与最小值之差（）
b c a

A.0个
18.已知 A.0 A.8 B.15 C.22 D.前三个答案都不对 B.2个 tan2 x tan2 y 2 2 1 tan x tan y =sin2 x sin2 1 B.— 4 C.4个 D.前三个答案都不对 y,则sin x sin y的最大值）