2018年北京大学博雅计划试题和解析
2018年北京大学自主招生数学试题含解析
一、选择题（选对得10分，不选得0分，选错扣5分）1、整数z y x ,,满足1=++zx yz xy ，则()()()222111z y x+++可能取到的值为（）A．16900B．17900C．18900D．前三个答案都不对2、在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（）A．3524B．3624C．3724D．前三个答案都不对3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0 x ，对任意实数a ，函数1cos 2cos 2+-=x a x y 的最小值记为()a g ，则当a 取遍所有实数时，()a g 的最大值为（）A．1B．2C．3D．前三个答案都不对4、已知2020210-是n 2的整数倍，则正整数n 的最大值为（）A．21B．22C．23D．前三个答案都不对5、在凸四边形ABCD 中，4=BC ，60=∠ADC ，90=∠BAD ，四边形ABCD 的面积等于2ADBC CD AB ⋅+⋅，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（）A．6.9B．7.1C．7.3D．前三个答案都不对二、填空题（填空题共5小题；请把每小题的正确答案填在横线上，每题10分）6、满足等式2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++x x 的整数x 的个数是_______．7、已知[]4,2,,,∈d c b a ，则()()()22222cbdacd ab +++的最大值与最小值的和为_______．8、已知对于任意的实数[]5,1∈x ，22≤++q px x ，不超过22q p +的最大整数是_______．9、设bc a c b x 2222-+=，ca b a c y 2222-+=,ab c b a z 2222-+=,且1=++z y x ，则201520152015z y x ++的值为_______．10、设n A A A ,,,21 都是9元集合{}9,,2,1 的子集，已知i A 为奇数，n i ≤≤1，j i A A 为偶数，n j i ≤≠≤1，则n 的最大值为_______．2018年北京大学自主招生选拔录取考试数学部分参考答案一、选择题1、A解析：()()()()()()()2222111x z z y y x z y x+++=+++.令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,13,5,2x z z y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.8,3,5z y x 经检验，这组解满足题意，此时()()()16900111222=+++z y x ．2、D解析：考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组：(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法．经检验，选50,51,52,⋯,98,99满足题意，此时50+51+⋯+98+99=3725，故选D．3、A解析：令[]1,0cos ∈=x t ，令()122+-=at t t h ，[]1,0∈t 则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<=1,2210,1012a a a a a a g ，故()a g 的最大值为1（0≤a 时等号成立）．4、D解析：1()()()()()1555515151521522102345102020202020++++-++=-=-，而1510+模4余2，155+模4余2，15555234++++为奇数，故正整数n 的最大值为24．5、A解析：设四边形ABCD 的面积为S ，直线AC ,BD 的夹角为θ，则2sin 22sin ADBC CD AB AD BC CD AB BD AC S ⋅+⋅≤⋅⋅+⋅≤⋅⋅=θθ,由题意，2ADBC CD AB S ⋅+⋅=，所以D C B A ,,,四点共圆，且BD AC ⊥．故9.634≈=CD ，选A．二、填空题6、11解析：若x 为正整数，则2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+>>⎪⎭⎫⎝⎛++e x x ,若x 为负整数，令()2,≥∈-=*n N n n x ，则1111111-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n x n x .因为数列()2,1111≥∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-+*-n Nn n n 关于n 单调递增，故当且仅当2016-=x 时，有2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x .7、2541解析：注意到()()()()222222bd ac cd ab c bda -++=++,于是()()()()()()22222222211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++++=+++cd ab bd ac bd ac cd ab cd ab c b d a cd ab ,显然当0=-bd ac 时，原式取得最大值为1．接下来考虑cdab bdac +-的最大值．由于1+⋅-=+-cb d ac bd a cd ab bd ac ,令αtan =d a ，βtan =c b ，则问题等价于当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2arctan ,21arctan ,βα时，求βα-tan 的最大值，显然为4321arctan2arctan tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-.因此原式的最小值为2516．注：可以看做向量()d a ,和()c b ,夹角余弦的平方．8、9解析：注意到q px x y ++=2，[]5,1∈x 满足22≤≤-y ，因此符合题意的二次函数只有两个：762+-=x x y ，762-+-=x x y9、1解析：由1=++z y x ，可得()()()()()()()()()()22222223223322322322322=-------=-+-++-+-=-++-++--+=--++-++-+b a c a c b c b a b a c c b a c b a b a abc c b c a c bc ac b a b a ab abc c c b c a b b a bc a ac ab 所以c b a +=或a c b +=或b a c +=，故1201520152015=++z y x ．10、9解析：构造是容易的，取{}i A i =，9,,2,1 =i 即可．用0,1表示集合中的元素是否在子集中，如{}9,5,4,3,11=A ，则记()1,0,0,0,1,1,1,0,11=A ,那么j i j i A A A A =⋅.显然，如果当10≥n 时，必然存在m 个向量线性相关，不妨设()0,,0,02211 =+++m m A A A λλλ,其中()m i Z i ,,2,1 =∈λ，11=λ．此时考虑()m m A A A A λλλ+++⋅ 22111,那么根据题意有11A A ⋅为奇数，而()m i A A i ,,3,21 =⋅为偶数，这样就推出了矛盾．因此所求n 的最大值为9．注：用这个方法，可以得出n 元集合至多有n 个包含奇数个元素的子集，使得这些子集中任意两个的交集均包含偶数个元素．。
(完整)北京大学2018年博雅人才培养计划试题
北京大学2018年博雅人才培养计划试题一、选择题1．以下带点的汉字读音相同的一组是（）A．薄．田薄．地B．干劲．劲．旅C．不胜．枚举胜．利D．溃．烂溃．脓2．下列各组词语中加点的字读音相同的一组是（ )A．中．药大黄山中．大王B．埋．怨埋．藏C．伐木丁丁．．丁丁．．漏水夜何长D．曝．晒曝．光3．下列词语中用字正确的一组是（）A．自暴自弃针贬时弊比比皆是寥若晨星B．含辛茹苦拭目以待穿流不息绿树成荫C．书画精萃浮想联翩迥然不同跌宕起伏D．英雄气概美轮美奂变本加厉眼花缭乱4．以下有三个错别字的一组词是（）A．编篡床第之私沉湎渲泄B．灸手可热饮鸩止渴世外桃源大拇指C．趋之若骛追溯额手称庆发韧D．磬竹难书青睐痉挛一幅对联5．以下句子中,没有错别字的是( ）A．西亚国家以色列开源截流，技术用水，使水资源得以充分合理地利用，其经验值得各国借鉴。
B．他执着地追求自己的理想，不为世俗嘲笑所动，将伤痕变成自己的勋章,将旁观者的垢骂作为自己的踏脚石，一步步地向梦想进发。
C．而斯巴达却完全相反，那是一个贫瘠而且了无生趣的国家.D．那些人正虎视耽耽地积极搜寻这批“宝藏”。
6．以下繁简对应不正确的一组是( ）A．简体：干细胞繁体：乾細胞B．简体：姜太公繁体：姜太公C．简体：瞭望繁体:瞭望D．简体：肤色繁体：膚色7．以下各组中带点的字在繁体字中没有共同偏旁的一组是（）A．喜欢．参观．权．力灌．溉鹳．鸟B．挑拣．练．习锤炼．楝．树阑．干C．遥远．花园．猿．猴轩辕．袁．氏D．了．解明了．瞭．望官僚．了．结8．以下对“陈留,天下之衝"中“衝”字解析有误的是（）A．“衝"是形声字B．“衝”的意符是彳C．“衝”的本义为交通要道D．“衝"字简化后写作“冲”9．以下四个字按笔画多少排列的一组是（）A．谀象鼎溪B．象谀溪鼎C．谀鼎象溪D．溪鼎谀象10．以下各组汉字，按字形结构“象形→指事→会意→形声"排列的是（）A．虎、夕、朝、大B．眉、中、取、遘C．鼎、亦、伐、莫D．车、问、甘、和二、阅读下文，回答下列问题孔子的洒脱周国平我喜欢读闲书,即使是正经书，（1）当闲书读.譬如说《论语》，林语堂把它当作孔子的闲谈读,读出了许多幽默，这种读法就很对我的胃口。
2018北京大学自主招生试题(含语文数学英语)
北京大学【注意事项】本试卷分为语文、数学、英语三部分。
【考试时间】3 个小时语文部分【注意事项】本试卷语文部分分为基础知识题和阅读题两部分．一共 50 道选择题。
第Ⅰ卷（基础知识题）1．【真题】对下面一首诗的赏析，不恰当的一项是（）海臧克家从碧澄澄的天空，摸着潮湿的衣角，看到了你的颜色：触到了你的体温；从一阵阵的清风，深夜醒来，嗅到了你的气息：耳边传来了你有力的呼吸。
（1956 年）A．诗人用平实的语言．分别从视觉、嗅觉、触觉、听觉四个方面写出了他对大海的感受。
B．这首诗反映了诗人对大自然壮观的惊喜，也反映了他的人生哲学，表现了一定的人生哲理。
C．由远而近、从白天到夜晚，大海给诗人的感觉不尽相同，这些形成了全诗的发展层次。
D．诗人将自己的感觉加以升华，使大海人格化、生命化、向我们展示出大海的整体形象。
4．【真题】下列各句中使用，全部正确的一项是（）①在称雄之前，刘备成功地把自己装扮成一个胸无大志的庸才，这一韬光养晦的做法让他得以与强大的曹操和孙权一起称雄三国时代。
②“手如柔荑，肤如凝脂”，《诗经·硕人》通过对齐女庄姜的细腻描绘，刻画了一个珠圆玉润、亮丽动人的古典美人。
③自 8 月 1 日滴滴收购优步中国的消息正式宣布后，网上盛传商务部反垄断局已两次约谈滴滴并依法进行调查，滴滴对此讳莫如深。
④由于缺少有效监督，《公共场所控烟条例》在许多地方沦为一纸空文，只有真正令行禁止，才能达到公共场所“无烟化”的目标。
⑤城市规划大师卡罗琳·博斯在做主题演讲时说，城市环境和建筑休戚相关，所以要改善城市环境不能忽视城市建筑的整体规划。
⑥他此时正心事重重，尽管窗外鸟语花香，一片春意盎然，他也目不窥园，无心欣赏，还时不时的叹上一口气。
A．①②⑤B．①③④C．②⑤⑥D．③④⑥5．【真题】下图是两副吟咏郑成功的对联，请依文意与对联组成原则，选出最适合填入甲、乙、丙、丁处的内容（）四镇多贰心，两岛屯师。
（丙）南天留祠宇，雄图虽渺。
北京大学2018年博雅计划数学真题
二3牛日刚叼北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。
1.设〃为正整数，C：=,“，为组合数,则30*8 + 50^+...+ 4037黑等于( )k\(n-K)\A. 2018-22018B. 2018!C. C：黑D.前三个答案都不对【答案】D解析：2k + 1)C：= 2，kC： + £c：= 2±nC^ += 2n±C^ +，k=0Jt=0 k=0Jt=l £=0 Jt=l £=02018 201S 2018「•+ 3c短 + 5c短 + …+ 4037C；黑=£(2八1)C*§ = 2 x 2018 x £ C/ + £ C机A=0 £=1 jt=0=4036x22017 + 22018 = 2019x22O1S,故选Do2.设o, b, c为非负实数，满足o+b+c=3,则。
+ob+obc的最大值为( )A. 3B.4C. 372D.前三个答案都不对【答案】B解析：a + ab + abc = a(l + b(l + c))<a[ 1+ + c) =。
i + __—,对其求导得至= 2时取I 4 J I 4 J最大值为4。
3. 一个正整数〃称为具有3-因数积性质若〃的所有正因数的乘积等于/,则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为()A. 55B. 50C. 51D.前三个答案都不对【答案】C解析：设〃的所有正因数的乘积为八即T = 〃、〃显然符合题意；下面证明当〃之2时，正整数〃的质因数的个数最多为2：假设〃的质因数的个数大于或等于3,即〃的全部质因数为P]，P”...，P A.伏之3),并设〃= pfpj...p『，则〃的所有正因数的乘积中，p：(i = L2,…公至少在,p：p],有p?,,p：p,T,p；，p：p k,p：p2...p k这些因子中出现，即R%出现的次数大于或等于4,这样7"之(p;p/...pf*)4=〃>这与题意r = 〃3 矛盾，所以假设不成立，即〃的质因数的个数最多为2。
2018北京大学博雅计划真题解析版 w - 数学
数学【真题1】已知!C !()!k m m k m k =-0123201820182018201820182018C +3C +5C +7C ++4037C L 的值为.A.201820192⨯B.2018!C.20184036CD.前三个答案都不对【真题2】已知△ABC 面积为1,D,E 分别是边BC 、AC 上的点,且13BD BC =,13CE CA =,AD,BE 交于点P ,则四边形CDPE 的面积是. A.12 B.23 C.17D.前三个答案都不对 【真题3】[x ]为不超过x 的最大正整数,a n 为满足:x ∈[0,n ),[x [x ]]可能取到的所有值的个数,则2018n a n+取到最小值时n 的取值 . A.63B.1009C.2018D.前三个答案都不对【真题4】已知n 为不超过400的正整数,n 的所有正因数的乘积为n 3,则满足条件的n 有____个A.50B.51C.55D.前三个答案都不对 【真题5】三边长均为正整数的三角形,周长为n ,S n 表示符合该条件的三角形的个数,则20182015S S -=. A.-3 B.0C.3D.前三个答案都不对【真题6】已知a,b,c 为非负实数,a+b+c =3,求a+ab+abc 的最大值.A.3B.4C.D.前三个都不对【真题7】设a,b,c 为公差不为0的等差数列,点(3,2)P -,(2,3)Q ,过点P 作PM 垂直于直线ax+by+c =0,垂足为M ,则|MQ |的最小与最大值乘积为 .A.10B.C.D.前三个都不对 【真题8】15个人圆成一圈,选4人,两两不相邻,有多少种选法？A.1560B.450C.0D.前三个都不对【真题9】_____A.(6,7]B.(7,8]C.(8,9]D.前三个答案都不对【真题10】 设()123,,,,1,2,3i a a a a i =L L 是一组从小到大的非完全平方数(正整数)例如122,3a a ==则2018a 等于 . A.2061B.2062C.2063D.前三个都不对【真题11】 在立方体1111ABCD A B C D -中,1AD 中点为M ,1B C 中点为N ,CM 与1D N所成角的余弦值.A.12B.23C.34D.前三个答案都不对【真题12】4的根的个数共有_____个A.0B.1C.3D.前三个答案都不对【真题13】 P 是椭圆22154x y +=上的一点,则是 .A.B.C.D.前三个答案都不对【真题14】 方程222|1|0x x a a x -++-=三个根,则a 的取值范围为.A.(,1]-∞-B.[1,)∞C.[1,0)(0,1]-UD.前三个都不对【真题15】 122018122018,,,,,,,a a a b b b L L 互异对任意(1,2,,2018)i a i =L 满足122018()()()=2018i i i a b a b a b +++L ,求任意i b 则122018()()()i i i a b a b a b +++L A.2018 B.2018- C.0 D.前三个都不对【真题16】 在2018个正整数任取3个数不相邻的取法种数为_____________。
(完整版)北京大学2018年博雅计划数学真题
北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。
1. 设n 为正整数，)!(!!k n k n C k n-=为组合数，则201820182201812018020184037...53C C C C ++++等于（ ）A. 201822018⋅B. 2018！C. 20184036C D. 前三个答案都不对【答案】D 解析：111111(21)222nn n nn nnk k k k k k knnnn nn n k k k k k k k k CkC C nCC n CC ----=======+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑， 201820182018122018120182018201820182018201720180135...4037(21)22018k k kk k k CC CCk C CC -===∴++++=+=⨯⨯+∑∑∑ 20172018201840362220192=⨯+=⨯，故选D 。
2. 设a ，b ，c 为非负实数，满足a +b +c =3，则a +ab +abc 的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 23D. 前三个答案都不对 【答案】B解析：22(1)(4)(1(1))1144b c a a ab abc a b c a a ⎛⎫⎛⎫++-++=++≤+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对其求导得到2a =时取最大值为4。
3. 一个正整数n 称为具有3-因数积性质若n 的所有正因数的乘积等于3n ，则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为（ ）A. 55B. 50C. 51D. 前三个答案都不对 【答案】C解析：设n 的所有正因数的乘积为T ，即3T n =。
1n =显然符合题意；下面证明当2n ≥时，正整数n 的质因数的个数最多为2：假设n 的质因数的个数大于或等于3，即n 的全部质因数为12,,...,(3)k p p p k ≥，并设1212...k k n p p p ααα=，则n 的所有正因数的乘积中，(1,2,...)i i p i k α=至少在12112,,,...,,...,,...i i i i i i i i i i i i i i i k i k p p p p p p p p p p p p p p ααααααα-+这些因子中出现，即i i p α出现的次数大于或等于4，这样T 124412(...)k k p p p n ααα≥=，这与题意3T n =矛盾，所以假设不成立，即n 的质因数的个数最多为2。
博雅计划试题
博雅计划试题博雅计划试题 "博雅计划”是北京⼤学2015年推出的⾼考⾃主招⽣改⾰计划，很多⼈都会需要试题，这是⼩编找的试题，希望能对你有所帮助。
博雅计划试题 选择题共20⼩题.在每⼩题的四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分. 1.直线y=-x+2与曲线y=-ex+a相切，则a的值为（）A.-3B.-2C.-1D.前三个答案都不对 2.已知三⾓形ABC的三边长分别为a，b，c，则下⾯四个结论中正确的个数为（） （1）以a，b，c为边长的三⾓形⼀定存在 （2）以a2，b2，c2为边长的三⾓形⼀定存在 （3）以a+b2，b+c2，c+a2为边长的三⾓形⼀定存在 （4）以a-b+1，b-c+1，c-a+1为边长的三⾓形⼀定存在A.2B.3C.4D.前三个答案都不对 3.设AB，CD是⊙O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE=24，EF=18，则OE等于（）A.46B.53C.62D.前三个答案都不对 4.函数 f（x）=1p，若x为有理数qp，p与q互素， 0，若x为⽆理数， 则满⾜x∈（0，1）且f（x）>17的x的个数为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对 5.若⽅程x2-3x-1=0的根也是⽅程x4+ax2+bx+c=0的根，则a+b-2c的值为（）A.-13B.-9C.-5D.前三个答案都不对 6.已知k≠1，则等⽐数列a+log2k，a+log4k，a+log8k的公⽐为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对 7.cosπ11cos2π11…cos10π11的值为（）A.-116B.-132C.-164D.前三个答案都不对 8.设a，b，c为实数，a，c≠0，⽅程ax2+bx+c=0的'两个虚数根为x1，x2满⾜x21x2为实数，则∑2015k=0x1x2k等于（）A.1B.0C.3iD.前三个答案都不对 9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为（）A.34650B.5940C.495D.前三个答案都不对 10.设A是以BC为直径的圆上的⼀点，D，E是线段BC上的点，F是CB延长线上的点，已知BF=4，BD=2，BE=5，∠BAD=∠ACD，∠BAF=∠CAE，则BC的长为（）A.11B.12C.13D.前三个答案都不对 11.两个圆内切于K，⼤圆的弦AB与⼩圆切于L，已知AK∶BK=2∶5，AL=10，则BL的长为（）A.24B.25C.26D.前三个答案都不对 12.f（x）是定义在实数集R上的函数，满⾜2f（x）+f（x2-1）=1，x∈R，则f（-2）等于（）A.0B.12C.13D.前三个答案都不对 13.从⼀个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是⼀个等腰三⾓形的三个顶点的⽅法是（）A.30B.36C.42D.前三个答案都不对 14.已知正整数a，b，c，d满⾜ab=cd，则a+b+c+d有可能等于（）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对 15.三个不同的实数x，y，z满⾜x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2，则x+y+z等于（）A.-1B.0C.1D.前三个答案都不对 16.已知a+b+c=1，则4a+1+4b+1+4c+1的最⼤值与最⼩值的乘积属于区间（）A.[10，11）B. [11，12）C. [12，13）D.前三个答案都不对 17.在圆内接四边形ABCD中，BD=6，∠ABD=∠CBD=30°，则四边形ABCD的⾯积等于（）A.83B.93C.123D.前三个答案都不对 18.1！+2！+…+2016！除以100所得的余数为（）A.3B. 13C.27D.前三个答案都不对 19.⽅程组x+y2=z3， x2+y3=z4， x3+y4=z5，的实数解组数为（）A.5B.6C.7D.前三个答案都不对 20.⽅程x3+x33+x3+x3=3x的所有实根的平⽅和等于（） A.0B.2C.4D.前三个答案都不对 参考答案 1.A.由切点在切线y=-x+2上，可设切点坐标为（x0，2-x0）.⼜切点（x0，2-x0）在曲线y=-ex+a 上，可得2-x0=-ex0+a. 再由y=-ex+a，得y′=-ex+a，可得曲线y=-ex+a在切点（x0，2-x0）处切线的斜率为-ex0+a.⼜切线y=-x+2的斜率为-1，所以-ex0+a=-1.进⽽可得2-x0=-ex0+a=-1，x0=3，a=-3. 2.B.可不妨设0c. 结论（1）正确：因为可得a+2ab+b>c，（a+b）2>（c）2，a+b>c. 结论（2）错误：2，3，4是⼀个三⾓形的三边长，但22，32，42不会是某个三⾓形的三边长. 结论（3）正确：因为可得a+b2≤c+a2≤b+c2，a+b2+c+a2>b+c2. 结论（4）正确：因为|a-b|+1=b-a+1， |b-c|+1=c-b+1，|c-a|+1=c-a+1， 所以|a-b|+1≤|c-a|+1， |b-c|+1≤|c-a|+1， （|a-b|+1）+（|b-c|+1）≥|（a-b）+（b-c）|+2>|c-a|+1. 3.解法1C.如图1所⽰，设⊙O的半径为r，由相交弦定理和勾股定理，可得 24·18=AE·EB=（r+OE）（r-OE）=r2-OE2， 242=r2+OE2， 把它们相加后，可求得OE=62. 4.D.由x∈（0，1）知，在f（x）的解析式中可不妨设p，q∈N，p>q，（p，q）=1. 由f（x）>17，可得x=qp，f（x）=1p>17；p=2，3，4，5，6，进⽽可得 x=12，13，23，14，34，15，25，35，45，16，56 所以满⾜题设的x的个数为11. 5.A.解法1D.因为x4+ax2+bx+c=（x2-3x-1）（x2+3x+a+10）+（3a+b+33）x+a+c+10，所以由题意，得⽅程x2-3x-1=0的两个根3+132，3-132均是⽅程（3a+b+33）x+a+c+10=0的根，所以3a+b+33=a+c+10=0.得a+b-2c=（3a+b+33）-2（a+c+10）-13=-13. 解法2D.由题设，可得（x2-3x-1）（x4+ax2+bx+c）.⼜注意到x4+ax2+bx+c不含x3项，所以x4+ax2+bx+c=（x2-3x-1）（x2+3x-c），x4+ax2+bx+c=x4-（c+10）x2+3（c-1）x+c. 8.B.因为实系数⼀元⼆次⽅程的两个虚数根是⼀对共轭复数，所以可设x1=r（cosθ+isinθ），x2=r[cos（-θ）+isin（-θ）]（r>0）. 得x21x2=r（cos3θ+isin3θ）， 因为x21x2为实数，所以θ=kπ3（k∈Z），再得 x1x2=cos2kπ3+isin2kπ3≠1 x1x22016=cos2kπ3·2016+isin2kπ3·2016 =cos（2kπ·672）+isin（2kπ·672）=1， 所以∑2015k=0x1x2k=1-x1x220161-x1x2=0. 9.D.这是均匀分组问题，不同的分法种类为 C412C48C443！=5775. 10.A.如图3所⽰，由∠BAF=∠CAE，∠BAC=90°，得∠EAF=90°. ⼜因为∠BAD=∠ACD，所以AD⊥BC.得 DE·DF=AD2=BD·DC， （5-2）（4+2）=2DC， DC=9， BC=BD+DC=2+9=11. 图3图411.B.如图4所⽰，设BK与⼩圆交于点M，连结ML，设CD为两圆在公共点K处的公切线. 由弦切⾓定理，得∠BAK=∠DKM=∠KLM. ⼜因为∠KLA=∠KML，所以∠AKL=∠BKL. 再由三⾓形⾓平分线性质，可得ALBL=AKBK， 可求得BL=25. 12.C.在题设所给的等式中分别令x=0，1，-1， 得2f（0）+f（-1）=1， 2f（1）+f（0）=1， 2f（-1）+f（0）=1， 可解得f（0）=f（1）=f（-1）=13. 再在题设所给的等式中令x=-2，得2f（-2）+f（1）=1，所以f（-2）=13. 图513.A.在图5所⽰的正9边形ABCDEFGHI中，以A为顶⾓的顶点的等腰三⾓形有且仅有4个（△ABI，△ACH，△ADG，△AEF），其中有且仅有△ADG是正三⾓形. 所以所求答案是3·9+93=30. 14.B.考虑a=mn，b=pq，c=mp，d=nq（m，n，p，q∈N*），得a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=（m+q）（n+p），所以只要选a+b+c+d是合数即可. ⽽101，401都是质数，且301=7·43=（1+6）（1+42）， 所以取m=1，q=6，n=1，p=42，得a=1，b=252，c=42，d=6，所以本题选B. 15.D.可设x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2=m，得x，y，z是关于t的⼀元三次⽅程t3-3t2-m=0的三个实数根. 由韦达定理，得x+y+z=3. 16.解法1C.设f（x）=4x+1，得 f′（x）=24x+1，f″（x）=-4（4x+1）-32<0，。
北京大学自主招生北大自招数学2018+解析
2018年北京大学自主招生数学试卷选择题共20小题：在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。
1. 把实数2018)335(+=a 写成十进制小数，则a 的十分位、百分位和千分位上数字之和等于（ C ） A.0 B. 9 C. 27 D. 前三个答案都不对解答：记2018(5b =−，容易知道b 是一个很小的正数，进一步，0.00001b <.由二项式展开，容易知道20182018*(5(5a b N +=++−∈，从而a 是一个正整数减去一个很小的正数，从而a 的十分位、百分位和千分位上数字都是9. 答案C.2. 已知b a ≠，1)()(22=+=+c a b c b a ，则abc b a c −+)(2的值为（ A ）A. 2B. 1C. 0D. 前三个答案都不对解法一：由22()()()()()0()()0a b c b a c ab a b c a b a b a b ab bc ca +=+⇒−+−+=⇒−++=，又a b ≠，所以0ab bc ca ++=，2()1()1()11a b c a ab ca a bc abc ∴+=⇔+=⇔−=⇒=−，2()()()22c a b abc c ca cb abc c ab abc abc ∴+−=+−=−−=−=。
解法二:记()21ab c +=……①，()21b a c +=……②，①-②有()()()()2200ab a b c a b a b ab c a b −+−=⇔−++=⎡⎤⎣⎦，由b a ≠，()()0ab c a b ab c a b ++=⇔=−+，从而原式=22()2c a b abc +=−.另一方面，由21b c a +=……③，21a c b+=……④，④-③有 222211a b a b a b b a −=−⇒=+，与()ab c a b =−+比较可知道11c abc ab=−⇒=−， 从而原式=22()22c a b abc +=−=. 答案A. 3. 设1,0≠>a a ，函数14)(2−−=x xa ax f 在区间[-1,2]上的最小值为-5，则a 的取值范围是（ C ）A. 221≥=a a 或 B. 210≥<<a a 或 C .2210≥<<a a 或 D. 前三个答案都不对解答：()22()4125x x x f x a a a =−−=−−，则()22xa −在[]1,2x ∈−时的最小值为0，即当[]1,2x ∈−时，xa 的取值范围包含2，根据指数函数的单调性，有()()(21220210a a a a a a ⎛⎫−−≤⇔−≥ ⎪⎝⎭， 考虑到0a >，可得2210≥<<a a 或. 答案C. 4. 设n S 为一等差数列的前n 项和，已知2501510==S S ，，则n nS 的最小值是（ D ）A. -25B. -36C. -48D. 前三个答案都不对 解答：由等差数列常用性质：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且10010S =，155153S =，可知()1103n S n n =−，则 ()21110(202)36n nS n n n n n =−=−⋅⋅−，根据均值不等式可知7n =时，n nS 有最小值-49. 答案D.5. 以梯形ABCD 的下底BC 上一点为圆心做半圆，此半圆与这个梯形的上底AD 和两腰AB 、CD 都相切，则 |AB|+|CD|-|BC|的值（ D ）A. 为正B. 为负C. 可正可负D. 前三个答案都不对 解答：当ABCD 特别接近矩形时，12AB CD BC r ===，可知|AB|+|CD|-|BC|无限趋近于0；事实上，当ABCD 四点共圆的时候，可以证明|AB|+|CD|-|BC|=0（1985年IMO 几何问题）； 另一方面，当A,D 重合，也就是ABCD 退化成一个三角形时，明显有|AB|+|CD|-|BC|大于零.从而|AB|+|CD|-|BC|的值可零可正. 答案D.6. 在ABC ∆中，0tan tan tan >++C B A 是ABC ∆为锐角三角形的（ C ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 前三个答案都不对 解答： 根据三角形中的常用恒等式tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅，可知tan ,tan ,tan 0A B C >，从而ABC ∆为锐角三角形，反之亦然. 答案C.7. 满足对任意实数a ，b 都有)()()(b f a f b a f +=+和)()()(b f a f ab f =的实函数)(x f 的个数是（ B ）A. 1B. 2C.无穷多D. 前三个答案都不对解答： 容易猜测满足题意的实函数)(x f 只有两个：()f x x =或()0f x =. 事实上，有柯西方程可知()f x kx =（这样说并不严谨，只有证明了()f x 单调性或者连续性之后才能严谨地证明()f x kx =，事实上，不难借助两个条件方程证明：当()f x 不恒等于零时，其一定是单调递增的），代入()()()f x x f x f x ⋅=⋅ 有2k k = ，从而0,1k =. 答案B.8. 设函数t t t f 2)(2+=，则点集{})()(2)()(|),(y f x f y f x f y x ≥≤+且所构成的图形的面积是（ B ）A. 4πB. 2πC. πD. 前三个答案都不对解答：平面区域问题()()()()22222222114f x f y x x y y x y +≤⇔+++≤⇔+++≤；()()()()222220f x f y x x y y x y x y ≥⇔+≥+⇔−++≥；如图，画出平面区域后可知，满足两个不等式的区域是两个圆心角为90的扇形， 并且扇形半径为2.所以区域面积为2π. 答案B.9. 不等式122>+yx 且3,3≥≥y x 的正整数解),(y x 的个数是（ D ） A. 3B. 4C. 6D. 前三个答案都不对解答：本质上是不定方程问题:()()()22120224xy x y x y x y+>⇒−+<⇒−−<, 所以()()()()()()2,21,1,1,2,2,1,1,3,3,1x y −−=，所以正整数解),(y x 的个数是5. 答案D. 10. 设数列{}1≥n a n 的首项20191=a ，前n 项和n S =n a n 2，则2018a 的值为（ C ）A.20191B.20181 C. 10091D. 前三个答案都不对解答：n S =n a n 2，1n S +=()211n n a ++，作差可得()()22111112n n n n n n n a S S n a n a n a na ++++=−=+−⇒+=，()()()111211222019n n n n a n n a a +⇒++=+==⋅⋅=⋅，所以2018220191.201820191009a ⋅==⋅ 答案C.11. 在ABC ∆中，AB=13，AC=15，BC=14，AD 为边BC 上的高，则ABD ∆和ACD ∆的内切圆圆心之间的距离为（ D ）A. 2B. 3C. 5D. 前三个答案都不对解答：根据AD 垂直BC 于D,且AB=13，AC=15，BC=14，容易根据勾股数的性质求得：BD=5，CD=9，AD=12， 则三角形ABD 的内切圆半径为5121322+−=，三角形ACD 的内切圆半径为1291532+−=，则ABD ∆和ACD ∆的内切圆圆心之间的距离为d ==答案D.12. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，满足3cos cos c A b B a =−，则BAtan tan 等于（ A ） A. 2B. 1C.21D. 前三个答案都不对 解答：根据正弦定理 ()11sin cos sin cos sin sin 33A B B A C A B −==+展开可得，24tan sin cos sin cos 233tan AA B B A B=⇒=. 13. 设实数y x ,满足1422=+y x ，则1243−+y x 的取值范围为（ B ）A. [)+∞,0B. []13212132-12+， C. []13212,0+ D. 前三个答案都不对 解答：记()(),2cos ,sin x y θθ=，则()34126cos 4sin 121212x y θθθϕ⎡+−=+−=+−∈−+⎣，答案B.14. 过椭圆14922=+y x 上一点M 做圆222=+y x 的两条切线，过切点的直线与坐标轴交于Q P ,两点，O为坐标原点，则POQ ∆面积的最小值为（ B ）A.21 B.32 C.43 D. 前三个答案都不对解答：记()220000,,194x y M x y +=，则由切点弦的性质00:2PQ x x y y +=，则00220,,,0P Q y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，000012222POQS x y x y ∆==，另一方面2200001943x y x y =+≥=，所有0022.3POQ S x y ∆=≤ 答案B.15. 设正实数b a ,满足1=+b a ，则3271ba +的最小值为（ A ） A.2131347+ B. 2131555+ C. 218D. 前三个答案都不对解答：记1a b =−，3127,1u b b =+− 则()241811du db b b =−−，令()2418101du db bb =−=−，根据 10,0a b b =−>>，则()29912b b b −+=−⇒=（舍负），代入可得3271ba +的最小值为 2131347+. 答案A.16. 在正方体1111D C B A ABCD −中，动点M 在底面ABCD 内运动且满足M DD A DD 11∠=∠,则动点M 在底面ABCD 内的轨迹为（ A ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线一支的一部分D. 前三个答案都不对 解答：1145DD M DD A ∠=∠=，从而1DM DD =，答案A.17. 已知21,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是椭圆与双曲线的一个交点，且321π=∠PF F ，则椭圆与双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ D ）A. 32B. 3C.331D. 前三个答案都不对解答：设椭圆和双曲线的短半轴（虚半轴）分别为12,b b ，则由常用面积结论：122212tancot33F PF S b b ππ∆==，于是22213b b =，记两曲线的半焦距为c ，则两条曲线的离心率的倒数之和1211e e +==12111e e +=≤= 答案D.18. 设三个实数c b a ,,组成等比数列，c b a c 320+≤>且，则实数acb 2−的取值范围是（ B ） A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞161-，B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞91-，C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞81-， D. 前三个答案都不对解答：由2,0b ac c =>，可知0a > ，则()()223231233110b ca b c q q q q a a≤+⇒≤+=+⇒−+≥， 所以13q ≥或1q ≤− . 进一步， 222max2111111222483489b c q q q a −⎛⎫⎛⎫=−=−−+=−−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以实数a c b 2−的取值范围是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞91-，. 答案B. 19. 设实函数0,)(2≠++=a c bx ax x f ，定义)2))((()(),()(11≥==−n x f f x f x f x f n n ，已知方程x x f =)(1无实根，则方程x x f =)(2018的实根个数是（ A ）A. 0B. 2018C. 4036D. 前三个答案都不对解答：方程x x f =)(1无实根，则1()f x x >恒成立或1()f x x <恒成立，进而()11()()f f x f x x >>或()11()()f f x f x x <<恒成立，依次类推，()20172017()()f f x f x x >>>或()20172017()()f f x f x x <<<恒成立，从而方程x x f =)(2018没有实根. 答案A.20. 三棱锥ABC P −中，底面ABC 是以A ∠为直角的直角三角形，PA 垂直于底面ABC ，且AC AB PA +=，则三个角CPA BPC APB ∠∠∠与,的和是（ C ）A. 60°B. 75°C. 90°D. 前三个答案都不对解答：记,,APB BPC CPA αγβ∠=∠=∠=，则tan tan 1αβ+=；所以()sin cos sin cos 1sin cos cos cos cos αββααβαβαβ+=⇒+=，另一方面，对二面角B PA C −−用二面角余弦定理可知，cos cos cos cos 0sin sin 2λαβπαβ−==，从而cos cos cos λαβ=，所以()sin cos αβγ+=，又因为,,αβγ都是锐角，所以2παβγ+=−，所以答案C.。