二次根式和分式有意义的条件
整式、分式、二次根式的性质和概念
1、整式的概念和指数： 与 统称为整式。
单项式包括： 、 、 ；一个单项式中所有字母的 叫做这个单项式的次数。
多项式：几个单项式的代数和多项式。
单项式中次数最 的项就是这个多项式的次数。
2、分式的概念和意义：一般地，形如式子BA ，且B ≠0叫做分式。
（1）、分式有意义的条件：（2）、分式无意义的条件：（3）、分式为0的条件：（4）、分式的基本性质：分式的分子与分母同时 （一个不等于0）的整式，分式的值不变。
（5）、约分：（6）、最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。
（7）、通分：（8）、最简公分母：（9）、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
注意：分母有理化时，分子与分母需要同时乘分母的有理化因式。
3、二次根式的概念和意义：（1）、定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。
（2）、二次根式有意义的条件：二次根式无意义的条件：（3）、二次根式的性质：()a 2=a(a ≥0);a 2=a =⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(a a a a a ab =a b ⋅ (a ≥0, b ≥0);④b a =ba ( a ≥0,b ＞0)。
（4）、最简二次根式： 中不含二次根式； 被开方数中不含能开得尽的因数或因式。
（5）、 同类二次根式：最简二次根式后，被开方数相同，叫做同类二次根式。
知识点二：代数式的运算(一)、整式的加减运算(1)、同类项：（2）、合并同类项法则：（3）、去括号法则：（4）、整式的加减的实质就是合并同类项。
（二）、整式的乘除（1）、同底数幂的乘法：a m ·a n= ，底数不变，指数相加.（2）、幂的乘方与积的乘方：(a m )n = ，底数不变，指数相乘；（3）、(ab)n = ，积的乘方等于各因式乘方的积.（4）、单项式的乘法：系数相乘，相同字母 ，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积里.（5）、单项式与多项式的乘法：m(a+b+c)= ，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.（6）、多项式的乘法：(a+b)·(c+d)= ，先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.（7）、乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)= ，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差；完全平方公式：①(a+b)2= ,等于它们的，加上它们的积的2倍；② (a-b)2= ，等于它们的，减去它们的积的2倍；十字相乘法：x2+（m+n）x+mn=（）（）（8）、同底数幂的除法：a m÷a n= ，底数不变，指数相减.（9）、零指数与负指数公式:a0= (a≠0)； a-n= ,(a≠0).注意：00，0-2无意义；（10）．单项式除以单项式: （11）．多项式除以单项式：★整式混合运算：先，后，最后，有括号先算括号内.★整式的化简：合并到不能再合并；首项不能为负数；★整式的因式分解（1）提共因式法：（2）公式法：(3)十字相乘法：（4）分组法，在循环运用“提十公分”法；（三）、分式的运算（1）、分式的加减法：①、同分母的分式相加减，分母，把分子相。
数学中的二次根式与分式方程
数学中的二次根式与分式方程二次根式是数学中的一种重要概念，与之相关的分式方程也是数学中一个常见且有挑战性的问题。
本文将介绍二次根式的定义、性质以及与分式方程的关系，并通过例题进行具体说明。
一、二次根式的定义与性质1. 定义：二次根式是形如√a 的数，其中 a 为非负实数。
其中，√a 可以理解为满足b^2 = a 的非负实数b。
在二次根式中，a 称为根式的被开方数，b 称为根式的值。
2. 性质：（1）二次根式的值是不唯一的，因为一个数的平方可能有两个相反的值。
（2）二次根式的乘法：√a * √b = √(a * b)。
即根式的乘积等于被开方数的乘积的二次根式。
（3）二次根式的除法：√a / √b = √(a / b)。
即根式的商等于被开方数的除法的二次根式。
二、分式方程的概念与解法1. 概念：分式方程是一个含有分式的方程，其中方程中至少有一个变量（未知数）存在于分式中。
2. 解法：解决分式方程的关键是将方程中的分式转化为整式，从而得到更简化的等式。
下面将介绍三种常见的解法。
（1）通分法：将方程中的所有分式的分母找出最小公倍数，并使每个分式的分母都等于最小公倍数，然后将方程两边同乘以最小公倍数，消去分母。
（2）消去法：通过观察可以将分式方程进行简化，将分子或分母中某些数值相同的项通过消去的方式，从而得到一个更简单的等式，进而求解。
（3）代换法：对于某些特定的分式方程，可以通过适当的代换使得方程更加简洁，然后利用已知的数学性质求解。
三、例题分析1. 题目：求解方程 3 / (x+2) + 2 / (x-1) = 1解法：采用通分法解此方程。
首先，找到最小公倍数为 (x+2)*(x-1)，然后将方程两边同时乘以(x+2)*(x-1)，得到 3*(x-1) + 2*(x+2) = (x+2)*(x-1)。
经过展开和整理后，得到 7x - 7 = x^2 + x - 2。
进一步整理后变为 x^2 - 6x + 5 = 0。
2020初高衔接数学—有意义的根式和分式及相关计算
衔接点03 有意义的根式和分式及相关计算【基础内容与方法】1.分式有意义的条件对于分式，分母不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义。
即若0B≠,式子AB有意义；若0B=，则式子AB无意义；若A=0且0B≠，则0AB=，即分式的值为0的条件．2.对于根式，我们主要是指二次根式，一般地，”称为二次根号，是一个非负数，且0a≥．考点一：二次根式的概念例1：在式子，（x＞0），，（y＝﹣2），（x＞0），，，x+y中，二次根式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据二次根式的定义作答．【解答】解：（x＞0），，符合二次根式的定义．（y＝﹣2），（x＞0）无意义，不是二次根式．属于三次根式．x+y不是根式．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．考点练习：1．在式子①②③x2④⑤（x≤1）中，二次根式有3个．【分析】根据二次根式的定义填空即可．【解答】解：因为形如（a≥0）叫二次根式，所以①②⑤都符合要求，而③二次根号，④中的被开方数小于0，即二次根式有3个，故答案为3．【点评】本题考查了二次根式的定义，比较简单．考点二：二次根式有意义的条件例2：（1）当x满足x＞0时，代数式有意义；【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不等于零可得x＞0．【解答】解：由题意得：x＞0，故答案为：x＞0．【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．（2）要使式子有意义，则x的取值范围是x≥﹣2，且x≠﹣1．【分析】首先保证被开方数x+2≥0，再保证分母x+1≠0，解出不等式即可．【解答】解：∵式子有意义，∴x+2≥0，且x+1≠0，解得：x≥﹣2，且x≠﹣1．故答案为：x≥﹣2，且x≠﹣1．【点评】此题主要考查了分式，二次根式有意义的条件，关键是把握：①二次根式中的被开方数是非负数；②分母≠0．考点练习：1.二次根式有意义，则x应满足的条件是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可列出不等式求解．【解答】解：根据题意得：1﹣2x≥0，解得：x≤．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2.若二次根式有意义，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2 B．m＞﹣2 C．m≥﹣2且m≠﹣1 D．m≤﹣2且m≠1【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出m的范围．【解答】解：由题意得，m+2≥0且m+1≠0，解得m≥﹣2且m≠﹣1．故选：C．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3.代数式有意义，则x的取值范围是x．【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：∴x≤且x≠2，∴x的取值范围为：x≤故答案为：x【点评】本题考查二次根式的有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．考点三：与二次根式有关的计算类型（一）1．已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2b﹣ab2的值．【分析】先计算出a﹣b和ab的值，再分解因式得到∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b），然后利用整体代入的方法计算；【解答】解：∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴a﹣b＝4，ab＝9﹣8＝1，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝1×4＝4；【点评】本题考查了整体代入的思想．2．已知a＝+2，b＝2﹣，则a2020b2019的值为（）A．﹣﹣2 B．﹣+2 C．1 D．﹣1【分析】由积的乘方与同底数幂的乘法，可得a2016b2015＝（ab）2015•a，然后由平方差公式求解即可求得答案．【解答】解：∵a＝+2，b＝2﹣，∴a2020b2019＝（ab）2019•a＝[（+2）（2﹣）]2019•（+2）＝﹣（+2）＝﹣﹣2．故选：A．【点评】此题考查了二次根式的乘法以及积的乘方与同底数幂的乘法．注意掌握积的乘方与同底数幂的乘法公式的逆用．类型（二）阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：＝＝＝方法二：＝＝＝＝（1）请用两种不同的方法化简：；（2）化简：．【分析】（1）利用分母有理化和平方差公式计算；（2）先分母有理化，然后合并即可．【解答】解：（1）方法一：原式＝＝﹣；方法二：原式＝＝﹣；（2）原式＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．类型（三）先阅读然后解答问题：化简解：原式＝根据上面所得到的启迪，完成下面的问题：（1）化简：（2）化简：．【分析】（1）把4写成2，把9写成4+5，根据完全平方公式配方即可求解；（2）把算式平方然后再求算术平方根即可得解．【解答】解：（1），＝，＝，＝﹣2；（2）∵（）2，＝4++2+4﹣，＝8+2，＝10，∴＝．【点评】本题考查了二次根式的化简，读懂并理解题目信息，根据完全平方公式把被开方数整理成完全平方的形式是解题的关键，难度较大．考点四：分式的意义例3：若分式的值为0，则x的取值为（）A．x≠1B．x≠﹣1 C．x＝1 D．x＝﹣1【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣1＝0，且x+1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x2﹣1＝0，且x+1≠0，解得：x＝1，故选：C．【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．考点练习：1．若分式的值为零，则x的值是（）A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．4【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．【解答】解：由x2﹣4＝0，得x＝±2．当x＝2时，x2﹣x﹣2＝22﹣2﹣2＝0，故x＝2不合题意；当x＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝（﹣2）2﹣（﹣2）﹣2＝4≠0．所以x＝﹣2时分式的值为0．故选：C．【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．2．分式与都有意义的条件是（）A．x B．x≠﹣1 C．x且x≠﹣1 D．以上都不对【分析】根据分式的分母不能为零分式有意义，可得答案．【解答】解：由分式与都有意义，得2x﹣3≠0且x+1≠0，解得x≠，x≠1，故选：C．【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式的分母不等于零是分式有意义的条件．3．当x＝9时，分式的值等于零．【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．【解答】解：∵|x|﹣9＝0，∴x＝±9，当x＝9时，x+9≠0，当x＝﹣9时，x+9＝0，∴当x＝9时分式的值是0．故答案为9．【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．考点五：分式的计算例4：先化简，再求值：，其中x＝1+，y＝1﹣．【分析】（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．【解答】解：（2）原式＝•＝，当x＝1+，y＝1﹣时，原式＝＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解分式方程的步骤．考点练习：1．已知a+＝1+，求a2+的值．【分析】根据题目中的式子，两边平方整理化简即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a+＝1+，∴∴∴a2+＝9+2．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．。
二次根式章节分类总复习 八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义
第02讲 《二次根式》章节分类总复习考点一 二次根式有意义的条件 知识点睛：1. 二次根式的定义：非负数a 的算术平方根a 叫做二次根式 ☆：二次根式的判断不需要化简，直接根据定义判断即可， 易错类型：因为24=，误认为4不是二次根式2. 二次根式有意义的条件a 中a 叫做被开方数，其中二次根式有意义的条件就是a ≥0；☆1：当二次根式和分式结合时，要注意分式的分母≠0 ☆2：a 的双重非负性⎩⎨⎧≥≥0.0.本身②被开方数①a a ；故有：a 前无“-”，a 本身值不可能是负的 类题训练1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：，，，（x ＞0），，，﹣，，（x ≥0，y ≥0）．【分析】一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式．结合所给式子即可作出判断． 【解答】解：符合二次根式的定义；是三次根式；是分式，不是二次根式； （x ＞0）符合二次根式的定义； 是二次根式； 是四次根式； ﹣符合二次根式的定义； 是分式，不是二次根式；（x ≥0，y ≥0）符合二次根式的定义．2．（2021春•下城区期末）已知二次根式，当x ＝1时，此二次根式的值为（ ） A ．2 B ．±2 C ．4D ．±4【分析】将x的值代入二次根式，然后利用二次根式的性质化简求解．【解答】解：当x＝1时，原式＝，故选：A．3．（2021春•阳谷县期末）已知是整数，则正整数n的最小值是【分析】因为是整数，且＝2，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．【解答】解：∵＝2，且是整数，∴2是整数，即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故答案为：6．4．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是．【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10﹣5x≥0，从而解得x的取值范围．【解答】解：∵是二次根式，∴10﹣5x≥0，∴x≤2．故答案为：x≤2．5．（2021春•余杭区期中）当x＝时，的值最小．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：当x＝3时，此时2x﹣6＝0，的最小值为0，故答案为：36．已知二次根式．（1）求x的取值范围；（2）求当x＝﹣2时，二次根式的值；（3）若二次根式的值为零，求x的值．【分析】（1）根据二次根式的定义得出3﹣x≥0，解之可得答案；（2）将x＝﹣2代入计算可得；（3）当被开方数为0时，二次根式的值即为0，据此列出关于x的方程求解可得．【解答】解：（1）根据题意，得：3﹣x≥0，解得x≤6；（2）当x＝﹣2时，＝＝＝2；（3）∵二次根式的值为零，∴3﹣x＝0，解得x＝6．7.已知x、y为实数，且满足，求5x+|2y﹣1|﹣的值．【分析】先根据二次根式的性质列出不等式组，求出x的取值，再把x的值代入所求代数式即可解答．【解答】解：则；＝＝2．考点二二次根式相关概念知识点睛：1.最简二次根式：满足以下2个条件的二次根式成为最简二次根式①被开方数的因数是整数，因式是整式；②不含开的尽方的因数或因式☆：判断最简二次根式，被开方数的字母部分次数最高为1次，且不含分母二次根式的运算，最后结果都要求必须化为最简二次根式2.同类二次根式：所含被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式类题训练1．（2021秋•桐柏县期中）下列二次根式中的最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．B、原式＝3，故B不符合题意．C、是最简二次根式，故C符合题意．D、原式＝2，故D不符合题意．故选：C．2．把下列根式化成最简二次根式．（1）5（2）6（3）（a＞0）（4）（n＜0）【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：（1）5＝5×2＝10；（2）6＝6×＝6×＝；（3）（a＞0）＝5a；（4）（n＜0）＝×＝﹣．3．（2021春•岳麓区校级期末）下列式子能与合并的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝4，能与合并，符合题意；B 、＝2，不能与合并，不符合题意；C 、＝，不能与合并，不符合题意；D 、＝，不能与合并，不符合题意；故选：A ． 4．如果最简二次根式与2是同类二次根式，则a ＝ ．【分析】根据同类二次根式的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：∵最简二次根式与2是同类二次根式，∴3a ﹣8＝17﹣2a ， 解得，a ＝5， 故答案为：5．考点三 二次根式的运算知识点睛：二次根式乘法公式：()）（③②）（①0b ,0··)0()0(022≥≥=⎩⎨⎧≤-≥==≥=a b a b a a a a a a a a a a 二次根式除法公式：()()()()ba b a c b a b a b a c ba ca aa ab b ab b a b a b a ba ba --=-+-=+=≥==≥=)0(1)0,0()0,0(＞＞变形公式：＞④类题训练1．（2021秋•拱墅区期中）下列计算正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】根据平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【解答】解：A 、原式＝0.3，故A 不符合题意．公式①、②、③常用于以下两种题型：（1）化简求值（2）无理数比较大小常见比较大小的三种方式：（1）利用近似值比较大小（2）把系数移到根号内比较（3）分别平方，然后比较大小以上方法注意两数的正负号公式④及其变形常用于分母有理化的化简，即分式的分子分母同乘分母的无理化因式，使分母变为整数。
分式有意义的条件试题集锦解析
1．（2015•南宁模拟）要使分式有意义，x的取值范围为（）A．x≠﹣5 B．x＞0 C．x≠﹣5且x＞0 D．x≥0考点：分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件可得x+5≠0，再根据二次根式有意义的条件可得x≥0，再解即可．解答：解：由题意得：x+5≠0，且x≥0，解得：x≥0，故选：D．点评：此题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．2．（2015•泰州校级一模）分式有意义的条件是（）A．x≠1 B．x＞0 C．x≠﹣1 D．x＜0考点：分式有意义的条件．分析：根据分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，1﹣x≠0，解得x≠1．故选A．点评：从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．3．（2015•杭州模拟）使代数式有意义的x的取值范围是（）A．x＜B．x=C．x＞D．x≠考点：分式有意义的条件．分析：分式的分母不等于零．解答：解：当分母2x﹣3≠0即x≠时，代数式有意义．故选：D．点评：本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．4．（2015•杭州模拟）使分式无意义的x的值是（）A．x≠﹣B．x≠C．x=D．x=﹣考点：分式有意义的条件．分析：根据分式分母为零分式无意义，可得答案．解答：解：由分式无意义，得2x﹣1=0．解得x=，故选：C．点评：本题考查了分式有意义的条件，分母为零是分式无意义的条件．5．（2015•椒江区一模）若分式无意义，则x的值为（）A．0B．1C．﹣1 D．2考点：分式有意义的条件．分析：根据分式的分母为零分式无意义，可得答案．解答：解：由分式无意义，得x+1=0．解得x=﹣1，故选：C．点评：本题考查了分式有意义的条件，利用分式的分母为零分式无意义得出方程是解题关键．6．（2015•温州二模）要使分式有意义，x的取值范围满足（）A．x≠﹣1 B．x≠1 C．x＞1 D．x＜1考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．解答：解：由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1，故选：B．点评：此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．7．（2015春•山西期中）分式有意义，则x的取值范围是（）A．x=3 B．x≠3 C．x≠﹣3 D．x=﹣3考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件可得：x﹣3≠0，再解不等式即可．解答：解：由题意得：x﹣3≠0，解得：x≠3，故选：B．点评：此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为零．8．（2014•温州）要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x≠2 B．x≠﹣1 C．x=2 D．x=﹣1考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x﹣2≠0，解得x≠2．故选：A．点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．9．（2014•贺州）使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x=1 C．x≤1 D．x≥1考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．解答：解：根据题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：A．点评：本题主要考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键．10．（2014•宜昌）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1考点：分式有意义的条件．专题：常规题型．分析：根据分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x﹣1≠0，解得x≠1．故选：A．点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．11．（2014•六盘水）下列说法正确的是（）B．﹣2的绝对值是﹣2A．﹣3的倒数是C．﹣（﹣5）的相反数是﹣5 D．x取任意实数时，都有意义考点：分式有意义的条件；相反数；倒数．分析：根据倒数的定义，相反数的定义以及分式有意义的条件对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A、﹣3的倒数是﹣，故A选项错误；B、﹣2的绝对值是2，故B选项错误；C、﹣（﹣5）的相反数是﹣5，故C选项正确；D、应为x取任意不等于0的实数时，都有意义，故D选项错误．故选：C．点评：本题考查了分式有意义，分母不等于0，相反数的定义以及倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．12．（2014•大冶市校级模拟）分式有意义，则x应满足的条件是（）A．x≠1 B．x≠2C．x≠1且x≠2 D．以上结果都不对考点：分式有意义的条件．专题：计算题．分析：本题主要考查分式有意义的条件：分母≠0，即（x﹣1）（x﹣2）≠0，解得x的取值范围．解答：解：∵（x﹣1）（x﹣2）≠0，∴x﹣1≠0且x﹣2≠0，∴x≠1且x≠2．故选C．点评：本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．13．（2014•衡阳二模）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞5 B．x≠﹣5 C．x≠5 D．x＞﹣5考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，x﹣5≠0，解得x≠5．故选C．点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．14．（2014•普宁市模拟）要使分式有意义，则x应满足条件（）A．x≠1 B．x≠﹣2 C．x＞1 D．x＞﹣2考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．解答：解：由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1，故选：A．点评：此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不为0．15．（2014•重庆模拟）如果代数式有意义，那么x取值范围是（）A．x≠﹣1 B．x≠1 C．x≠1且x≠0 D．x≠﹣1且x≠0考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解不等式即可．解答：解：由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1，故选：B．点评：此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不能等于零．16．（2014•广东模拟）分式中，x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≠﹣2 C．x＞1 D．x＞﹣2考点：分式有意义的条件．分析：分式有意义，父母不等于零．解答：解：当分母x﹣1≠0，即x≠1时，分式有意义．故选：A．点评：本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．17．（2014•杭州模拟）关于分式，有下列说法，错误的有（）个：（1）当x取1时，这个分式有意义，则a≠3；（2）当x=5时，分式的值一定为零；（3）若这个分式的值为零，则a≠﹣5；（4）当x取任何值时，这个分式一定有意义，则二次函数y=x2﹣4x+a与x轴没有交点．A．0B．1C．2D．3考点：分式有意义的条件；分式的值为零的条件；抛物线与x轴的交点．分析：根据分式有意义的条件是分母不等于零，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零进行分析可得答案．解答：解：（1）当x取1时，这个分式有意义，1﹣4+a≠0，则a≠3，说法正确；（2）当x=5时，a≠﹣5时，分式的值一定为零，原题说法错误；（3）若这个分式的值为零，则a≠﹣5，说法正确；（4）当x取任何值时，这个分式一定有意义，则二次函数y=x2﹣4x+a与x轴没有交点，说法正确；故选：B．点评：此题主要考查了分式有意义和分式值为零的条件，关键是注意：分式值为零时“分母不为零”这个条件不能少．18．（2014•海曙区模拟）使分式有意义的字母x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≠2 C．x≠3 D．x≠2且x≠3考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解即可．解答：解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：B．点评：此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不为0．19．（2014•重庆模拟）已知分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≥3 C．x≠2 D．x≠3考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解不等式即可．解答：解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：C．点评：此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．20．（2014•清新县模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≥0 C．x＞0 D．x＞0且x≠1考点：分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．解答：解：由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1，故选：A．点评：此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．。
专题06 二次根式篇(解析版)
专题06 二次根式考点一：二次根式之定义与有意义的条件1. 二次根式的定义：形如()0≥aa的式子叫做二次根式。
2. 二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。
即a中，0≥a。
1．（2022•湘西州）要使二次根式63-x有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵3x﹣6≥0，∴x≥2，故选：D．2．（2022•广州）代数式11+x有意义时，x应满足的条件为（ ）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：代数式有意义时，x+1＞0，解得：x＞﹣1．故选：B．3．（2022•贵阳）代数式3-x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≥3B．x＞3C．x≤3D．x＜3【分析】直接利用二次根式的定义得出x﹣3≥0，进而求出答案．【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴x ﹣3≥0，解得：x ≥3，∴x 的取值范围是：x ≥3．故选：A ．4．（2022•绥化）若式子21-++x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞﹣1B ．x ≥﹣1C ．x ≥﹣1且x ≠0D ．x ≤﹣1且x ≠0【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，a ﹣p ＝（a ≠0）即可得出答案．【解答】解：∵x +1≥0，x ≠0，∴x ≥﹣1且x ≠0，故选：C ．5．（2022•雅安）使2-x 有意义的x 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x 的不等式，解不等式，即可得出答案．【解答】解：∵∴x ﹣2≥0，∴x ≥2，故选：B ．6．（2022•菏泽）若31-x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，x ﹣3＞0，解得x ＞3．故答案为：x ＞3．7．（2022•青海）若式子11-x 有意义，则实数x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．【解答】解：由题意得x ﹣1＞0，解得x ＞1，故答案为：x ＞1．8．（2022•包头）若代数式x x 11++在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．【解答】解：根据题意，得，解得x ≥﹣1且x ≠0，故答案为：x ≥﹣1且x ≠0．9．（2022•常德）要使代数式4-x x 有意义，则x 的取值范围为 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x ﹣4＞0，解得：x ＞4，故答案为：x ＞4．10．（2022•邵阳）若21-x 有意义，则x 的取值范围是 ．x 的不等式组，求出x 的取值范围即可．【解答】解：∵有意义，∴，解得x ＞0．故答案为：x ＞2．考点二：二次根式之性质与化简1. 二次根式的性质：①二次根式的双重非负性：二次根式本身是一个非负数，恒大于等于0。
数学中的二次根式与分式
数学中的二次根式与分式在数学中，二次根式和分式是我们经常会遇到的两个概念。
它们在解决方程、计算和简化表达式等方面都具有重要的作用。
本文将详细介绍二次根式和分式的定义、性质以及它们在数学中的应用。
一、二次根式的定义与性质二次根式是指根号下包含二次项的表达式。
具体地说，对于一个非负实数a和正整数n，我们定义二次根式√a为满足以下条件的实数x：x的n次方等于a，即x^n = a。
其中，n称为根式的指数，而a则是根式的被开方数。
二次根式的性质如下：1. 非负性质：二次根式的值不会小于0，即根号下的被开方数必须为非负实数。
2. 分解性质：对于一个二次根式√ab，可以将其分解为√a * √b。
3. 合并性质：对于两个同类项的二次根式√a和√b，可以合并为√(a+b)。
4. 化简性质：如果被开方数能够整除完全平方数，那么二次根式就可以化简为一个有理数。
二、分式的定义与性质分式是数学中的一种表达形式，通常由分子和分母组成，中间用分数线分隔。
分式可以表示两个数之间的关系，其中分子表示被除数，分母表示除数。
分式的定义如下：对于两个整数a和b（其中b≠0），我们定义分式a/b为两个整数a和b的比值。
在分式中，a被称为分子，b被称为分母。
分式的性质如下：1. 除法性质：分式表示的是除法运算，即a/b = a÷b。
2. 分子和分母的性质：在一个分式中，如果分子和分母乘（或除）以同一个非零实数k，则分式的值不变。
3. 分式的简化：如果分子和分母有一个公因数，那么可以进行约分，将分式化简为最简形式。
4. 分式的加减乘除：两个分式的加减可以通过通分和化简的方法进行，两个分式的乘除可以通过分子乘分子、分母乘分母的方法进行。
三、二次根式与分式的联系与应用二次根式和分式在数学中经常会有联系，并在解决问题中应用到一起。
1. 化简分式时可以利用二次根式的性质进行转化。
比如，在分式中出现二次根式时，可以将其转化为最简形式，使得分母中不存在二次根式。
九年级上册数学《二次根式》知识点整理
九年级上册数学《二次根式》知识点整理二次根式本节研究指导：在研究二次根式时，我们不仅要研究它的概念，还要巩固平方根的知识。
这样有助于我们系统性研究，把零散的知识整合起来。
在本节中，我们需要掌握二次根式的有意义条件。
知识要点：1、二次根式的概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。
需要注意的是，被开方数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式。
但是，a≥0是二次根式的前提条件。
例如，5、x2+1都是二次根式，而-5、-x2都不是二次根式。
2、取值范围：1）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，a有意义，是二次根式。
因此，只要被开方数大于或等于零，就可以使二次根式有意义。
2）二次根式无意义的条件：由于负数没有算术平方根，所以当a<0时，a没有意义。
3、二次根式a（a≥0）的非负性：a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，即a≥0.由于正数的算术平方根是正数，负数的算术平方根是不存在的，因此非负数的算术平方根也是非负数。
这个性质类似于绝对值、偶次方的性质，在解答题目时应用较多。
例如，如果a+b=0，则a=0，b=0；如果a-b=0，则a=0，b=0；如果a×b=0，则a=0，b=0.4、二次根式（a）的性质：a）=a（a≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
需要注意的是，这个性质公式（a）=a（a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：如果a≥0，则a=（a）。
例如，2=（2），1=（1）。
5、二次根式的性质：a（a≥0）a2=a=___（a<0）描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
需要注意的是：1）化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数。
如果是正数或0，则等于a本身，即a2=a=a（a≥0）；如果a是负数，则等于a的相反数-a，即2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646.2）a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a2一定有意义。
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解答
例4：（2012四川德阳3分 ）函数 y= x 中自变
量x的取值范围是【 】
2x 1
A.x 0 B. x 1 C.x 0且 x 1 D.一切实数
2
2
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根
据二次根式．
C．
D．
例2：（2012湖南郴州3分）函数y= 1 中自变
量x的取值范围是【B 】
x2
A．x=2 B．x≠2 C．x＞2 D．x＜2
能力提升
第三环节能力提升
例3：（2012湖南衡阳3分）函数 y = 2
中自变量x的取值范围是【 】
x+2
A．x＞﹣2 B．x≥2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2
例4：（2012四川德阳3分 ）函数 y= x 中
自变量x的取值范围是【 】
2x 1
A. x 0 B. x 1
2
C. x
0且 x
1 2
D.一切实数
例三解答 例四解答
解答
例3：（2012湖南衡阳分）函数 y = 2
中自变量x的取值范围
x+2
A．x＞﹣2 B．x≥2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2
中考试题中专题16---函数表达式中 自变量的取值范围
知识准备
知识应用
能力提升
第一环节知识准备
分式有意义的条件: 分母不为零
算术根有意义的条件:
被开方数大于等于零
知识应用 能力提升 数轴找解集
第二环节知识应用
例1： （2012浙江衢州3分）函数y= x 1 的自变
量x的取值范围在数轴上可表示为【D 】
围内有意义，必须 X≥0
X≥0
2X-1≠0
x 1
2
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x0
且x
1 2
故选c
知识应用 能力提升 小结
函数表达式中自变量的取值范围求解步骤
看 列 解答
（分式、根式） （不等式或不等式组） （数轴）
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根
据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范
围内有意义，必须 x+20 x2 x+20x2x>2
故选A
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
知识应用 能力提升