湖南省长郡中学2019届高三上学期第三次月考理科数学 含答案
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2019年湖南长郡中学高三理科数学月考高考模拟试卷(附答案)
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长郡中学#$"%届高三月考试卷二
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湖南省长郡中学2019届高三上学期第三次月考数学(理)Word版含答案
长郡中学2019届高三月考试卷(三)数学（理科）长郡高三理数备课组组稿得分:本试卷共8页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R ，集合{}1)12(log 3≤-=x x A ，{}x x xy B 232-==，则=B AA. ]1,21(B. ]2,32[C. ]1,32(D. )32,21(★2. 若关于x 的不等式a x ＜1-成立的充分条件是]4＜＜0x ，则实数a 的 取值范围是A. 1≤aB. 1＜aC. ＞3aD. 3≥a 3. 设向量 a=(m ，1)，b= (-1， 2)，且b a b a b a ⋅=--+22)()()，则=m .A.2B. 13-C. 15-D.44.某中学高三第二次月考后，对全校的数学成绩进行统计，发现数学成绩的频率分布直方图形状与正态分布（(95，82)的密度曲线非常拟合.据此统计:在全校随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的数学成绩超过95 分的概率是A. 61B. 21C. 31D. 83 5.已知a>1，b>1，且a b b a b a a b ==+,310log log ，则如图所示的程序框图输出的S=A. 2B. 2C. 3D.3★6.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息。
设定原信息为{})2,1,0(1,0,,,210=∈i a a a a i ，传输信息为12100,,,,h a a a h ，1，其中⊕⊕=⊕=,,201100a h h a a h 的运算规则为: 011,101,110,000=⊕=⊕=⊕=⊕㊉0(!1㊉.例如原信息为111，则传输信息为 01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是A. 11 010B. 01 100C. 10 111D. 00 0117.在数列{n a }中，若5,1124==a a ,且任意连续三项的和都是15,则=2018aA.5B. 7C. 9D.1 8.函数ωπω)(6cos()(+=x x f >0)在[0，π]内的值域为]23,1[-，则ω的取值范围是 A. ]35,23[ B. ]23,65[ C. ],56[+∞ D. ]35,65[ 9.设4log ,34,3log 32===c b a ，则a ，b ，c 的大小关系为 A. b ＜a ＜c B. c ＜a ＜b C. a ＜b ＜c D. c ＜b ＜a10.函数)1(1)(-+=x x e x e x f (其中e 为自然对数的底数)的图象大致为11.锐角△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，点G 为△ABC 的重心，若 AG⊥BG，则cos C 的取值范围为A. ]35,23[B. ]23,65[C. ],56[+∞D. ]35,65[ 12.设实数m>0，若对任意的x≥e(其中e 为自然对数的底数），不等式0ln 2≥-x m x x 恒成立，则m 的最大值是 A. e1 B. 3e C. e2 D. e 选择题答题卡二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年湖南长郡中学高三理科数学第三次月考高考模拟试卷(附答案)
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理科数学试题!长郡版"第!# 页!共"页"
湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第三次调研考试数学(理科)试题 Word版含解析
长郡中学2019届高三第三次调研考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A，求定义域得集合B，再根据交集定义求结果.【详解】因为=,,所以,选B.【点睛】本题考查集合交集定义以及解不等式、求函数定义域，考查基本求解能力.2.已知复数（），其中i为虚数单位，若为实数，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b比值.【详解】因为))，所以因为，所以，选B.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.如图所示的茎叶图记录了长郡中学的甲、乙两名同学在校级运动会的五次一千米训练成绩（单位：秒），通过茎叶图比较两人训练成绩的平均值及方差，并从中推荐一人参加运动会，①甲的成绩的平均值高于乙的成绩的平均值，推荐乙参加运动会②甲的成绩的平均值低于乙的成绩的平均值，推荐甲参加运动会③甲的成绩的方差高于乙的成绩的方差，推荐乙参加运动会④甲的成绩的方差低于乙的成绩的方差，推荐甲参加运动会其中正确结论的编号为A. ①③B. ②④C. ②D. ③【答案】A【解析】【分析】根据平均值及方差公式计算，推荐平均值差不多且方差小的参加运动会.【详解】甲同学平均值为，方差为乙同学平均值为，方差为，尽管乙同学平均值略低于甲同学，但乙同学方差远远小于甲同学，所以推荐乙参加运动会，选A.【点睛】均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性，本题考查基本求解能力，属基本题.4.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据奇偶性淘汰A,C，再根据函数最值确定选项.【详解】因为，所以为奇函数，不选A,C，又因为，所以选D.【点睛】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复5.已知等比数列满足，且，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据条件确定首项与公比，再利用分组求和法求和.【详解】因为，所以，因为，所以，因此，选D.【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为两个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）6.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为55，则判断框中m的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】【分析】执行循环，按终止循环条件列等式，解得结果.【详解】执行循环，得，所以，选D.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先还原几何体，再根据圆锥以及柱体表面积公式求结果.【详解】还原几何体为两个圆锥与一个棱柱的组合体，其中小圆锥的底面半径为2，高为2；大圆锥的底面半径为2，高为4，棱柱的底面为正方形，边长为，高为1，因此该几何体的表面积为=，选D.【点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行求解.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】【分析】先根据条件确定M在双曲线右支上，再根据圆的性质以及三角形不等关系求最值.【详解】因为，所以点M在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以圆，即，设圆心为,则有，选C.【点睛】本题考查双曲线的定义以及圆的性质，考查基本分析转化能力，属中档题.9.已知直三棱柱的底面为等边三角形，且底面积为，体积为，点，分别为线段，上的动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图像可知点M的轨迹为线段，两个端点分别为和的中点，即为等边三角形的高线，由底面积求出等边三角形边长，进而求出三角形的高线，即M的轨迹.【详解】由题意可作如下图像：因为直线PQ与平面无交点所以与此平面平行，所以，当点P、点Q分别在点、C处时，此时中点M为中点，当点P、点Q分别在点、处时，此时中点M为中点，若D、E、F分别为三条棱的中点，则点M的轨迹为等边三角形的中线，设底面边长为x，由底面面积可得：，解得，所以轨迹长度为.故选D.【点睛】本题考查立体几何中，动点的轨迹问题，由题意找出图形中两个临界点，由题意两点之间的线段即为所求，注意计算的准确性.10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，O1（1，0），阴影部分为不等式表示的平面区域，PQ与阴影部分相切于点T，交x轴正半轴于点P，交y轴正半轴于点Q，设，的面积为，若关于t的不等式存在唯一整数解，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求，再根据两个函数图象关系确定实数a的取值范围.【详解】设，从而,由得，由得，作图可得,其中因为所以，选B.【点睛】本题考查函数关系式以及函数图象，考查综合应用分析能力以及灵活转化能力，属难题.11.已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点P、Q均在椭圆上，且均在x轴上方，满足条件PF1∥QF2，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据椭圆定义求P点横坐标，再根据相似求Q横坐标，最后根据椭圆定义得结果.【详解】设，则由椭圆定义得，同理得因为PF1∥QF2，所以，从而，选C. 【点睛】本题考查椭圆定义以及直线与椭圆位置关系，考查等价转化思想与计算能力，属中档题.12.已知存在，且，使得，其中，则实数的值可能为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】先根据诱导公式化简方程，再根据三角函数有界性得方程组，解方程组可得实数的取值范围，进而确定选项.【详解】由得,所以,即，因为，所以当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，选D.【点睛】本题考查诱导公式、三角函数有界性以及三角函数特殊值，考查分类讨论思想与基本分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若的展开式中常数项为－12，则____．【答案】【解析】【分析】先根据二项式定理确定展开式常数项，解得a，再求定积分得结果.【详解】因为的展开式中常数项为，因此.【点睛】本题考查二项式定理以及定积分，考查基本分析求解能力，属基础题.14.在中，记，若，则的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据向量数量积得三角形边角关系，再利用三角形内角关系列函数关系式，最后利用基本不等式求最值，解得的最大值，即得的最大值.【详解】因为，所以,因此,因为,所以.即的最大值为【点睛】本题考查向量数量积、正弦定理、两角和正弦与正切公式、诱导公式以及基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属难题.15.长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．【答案】小学中级【解析】【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，根据条件列不等式组，推出取法，根据取法推测队长的学段及职称.【详解】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，则所以，若则，若则矛盾队长为小学中级时，去掉队长则，满足；队长为小学高级时，去掉队长则，不满足；队长为中学中级时，去掉队长则，不满足；队长为中学高级时，去掉队长则，不满足；综上可得队长为小学中级.【点睛】本题考查不等式性质，考查论证推理能力，属难题.16.已知定义在上的函数满足，对任意，不等式恒成立，其中是的导数，则不等式的解集为____．【答案】【解析】【分析】构造函数，根据条件研究性质：奇偶性与单调性，再根据性质解不等式，即得结果.【详解】构造函数,因为，所以为上偶函数，由，得，所以因为，所以当时，由得，即时单调递增，由偶函数得当时单调递减，因此由不等式得或，所以或，解集为.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等三、解答题（共70分。
2019届长郡高三月考试卷(三)理数
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湖南省长沙市长郡中学2019届高三第三次调研考试数学(理科)试题(解析版)
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由 得 ，
作图可得 ,其中
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选B.
【点睛】本题考查函数关系式以及函数图象，考查综合应用分析能力以及灵活转化能力，属难题.
11.已知椭圆 的左右焦点分别为F1、F2，点P、Q均在椭圆上，且均在x轴上方，满足条件PF1∥QF2， ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量数量积得三角形边角关系，再利用三角形内角关系列 函数关系式，最后利用基本不等式求最值，解得 的最大值，即得 的最大值.
【详解】因为 ，所以 ,
因此 ,
因为 ,所以 .即 的最大值为
【点睛】本题考查向量数量积、正弦定理、两角和正弦与正切公式、诱导公式以及基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属难题.
因为 PCD为正三角形，所以 ， ，
因为PB＝PE＝ BE＝4，所以 ，
因为四边形BCDE为等腰梯形，所以 ，
因为 ,所以 ，
因为 平面 ,所以 平面 ,
因为 平面 ，因此平面 平面 ,
（2）因为 ABE为正三角形，四边形BCDE为等腰梯形，所以 三点共线，
过M作 于 ,则 ,
④甲的成绩的方差低于乙的成绩的方差，推荐甲参加运动会
其中正确结论的编号为
A. ①③ B. ②④ C. ② D. ③
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平均值及方差公式计算，推荐平均值差不多且方差小的参加运动会.
【详解】甲同学平均值为 ，
方差为
乙同学平均值为 ，
方差为 ，
尽管乙同学平均值略低于甲同学，但乙同学方差远远小于甲同学，所以推荐乙参加运动会，
2019-2020年高三年级第三次质量检测数学试卷(理科).doc
2019-2020年高三年级第三次质量检测数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120 分钟.2．请将第第I 卷选择题的答案用2B 铅笔填涂在答题卡上，第II 卷在各题后直接作答。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
）1．设集合U=R ，集合P={x|x 2≥x}，Q={x|x>0}，则下列关系中正确的是 （ ）A ．P ∩Q ⊂QB ．P ∪Q ⊂QC ．P ∪Q ≠RD ．Q ∩Q=φ2．已知f (x )的反函数0)(),2(log )(21=+=-x f x x f 则方程的根为（ ）A ．1B ．0C ．－23D ．23．设a 、b 表示直线，α、β表示平面，P 是空间一点，下面命题正确的是 （ ） A ．a ⊄α，则a//α B ．a//α，b ⊂α，则a//b C ．α//β，a ⊄α，b ⊂α，则a//b D ．P ∈a ，P ∈β，a//α，α//β则a ⊂β 4．设圆x 2+y 2－2x+6y+1=0上有关于直线2x+y+c=0对称的两点，则c 的值为 （ ） A ．2 B ．－1 C ．－2 D ．1 5．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120，则a 9－31a 11的值为 （ ）A ．14B ．15C ．16D ．17 6．设复数z+i （z 为复数）在映射f 下的象为zi ，则－2+2i 的象是 （ ）A ．1－2iB ．－1－2iC ．2－2iD ．－2－2i 7．已知)tan(,cos )sin(),2(53sin βααβαπβπβ+=+<<=则等于 （ ）A ．－2B ．2C ．1D ．258 8．点P 是椭圆6410022y x +=1上一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△PF 1F 2有面积为（ ）A ．64B ．3364C ．64（2+3）D ．64（2－3）9．已知△ABC 中，S ABC 与则,5||,3||,415,0,,===<⋅==∆的夹角是（ ）A ．30°B ．－150°C ．150°D ．120° 10．已知αααπα22sincos33)(),2,0(+=∈M 则的最小值为（ ）A ．3B ．23C ．4D ．不存在11．某公司新招聘进8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部分，另外三名电脑编程人员也不能分在同一个部门，则不同的分配方案共有 （ ） A ．36种 B ．38种 C ．108种 D ．24种 12．若f(x)=2ax 2+bx+c(a>0，x ∈R)，f(－1)=0，则“b<－2a ”是“f(2)<0”的 （ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）13．某校对全校男女学生共1200名进行健康调查，选用分层抽样取一个容量为200的样本，已知男生比女生多抽了10人，则该校男生人数为 人. 14．(1－x+x 2)(1+x)6展开式中x 3项的系数是 . 15．表面积为S 的正八面体的各项点均在体积为π32的球面上，则S 的值为 . 16．已知实数x 、y 满足约速条件：y x z N y x y x x x y +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥+-≤≤+且,,012,4,3的最大值为12，则k 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知M （1+cos2x ，1）N （1，3sin2x +a ）（x ∈R ，a ∈R ，a 是常数），且y=OM ⋅（O 为坐标原点）. （Ⅰ）求y 关于x 的函数关系式y=f (x )（Ⅱ）若x ∈[0，2π]时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图象可由 )6sin(2π+=x y 的图像经过怎样的变换而得到.18．（本小题满分12分）在长方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AD=DC=3. （Ⅰ）求直线A 1C 与D 1C 1所成角的大小；（Ⅱ）在线段A 1C 1上有一点Q 使平面QDC 与平面A 1DC所成的角为30°，求C 1Q 的长.19．（本小题满分12分）某人参加一项专业技能考试，最多有5次参加考试机会，每次考试及格的概率均为32，每次考试的成绩互不影响，当有两次考试及格，考试就能通过.（以后有考试机会也不能参加）（Ⅰ）求某人通过专业技能考试的概率；（Ⅱ）如果考试通过或已参加5次考试则不再参加考试.设某人参加考试次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.20．（本小题满分12分）已知函数f(x)=ln(e x +1)－ax(a>0).（Ⅰ）若函数y=f(x)的导函数是奇函数，求a 的值；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间. 21．（本小题满分12分）设P 是双曲线16422=-y x 右支上任一点. （Ⅰ）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为E 、F ，求||||⋅的值； （Ⅱ）过点P 的直线与两渐近线分别交于A 、B 两点，△ABO 的面积为9，且PB AP λ= （λ>0），求λ的值.22．（本小题满分14分）已知函数f (x )满足ax ·f (x )=b +f (x ),(ab ≠0)，f (1)=2，并且使f (x )=2x 成立的实数x 有且只有一个.（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）若数列{a n }前n 项和为S n ，a n 满足n a f S n a n n =-≥=)(2,2,231时当，求数列{a n } 的通项公式；（Ⅲ）当n ∈N *，且n ≥3时，在（II ）的条件下，令求证：.1341122110+->+++++--n d C d C d C d C C n n n n n n n n n参考答案一、选择题1—5AADDC 6—10BADCB 11—12AB二、填空题：13.63014.1115.23 16. )14,12[三、解答题：17．解：（1）a x x y +++=⋅=2sin 32cos 1∴f (x )=cos2x +3sin2x +1+a .………………………………………………（5分） （2）a x x f +++=1)62sin(2)(π]2,0[6,262ππππ∈==+∴x x 即时，f (x )取最大值3+a ，由3+a =4，得a =1∴f (x )=2sin(2x +6π)+2……………………………………………………（10分） ∴将y=2sin(x +6π)图像上每一点的横坐标缩短到原来的21,纵坐标保持不变，再向上平移2个单位长度可得y=2sin(2x +6π)+2的图像…………………………（12分）18．解法一：（I ）建立空间直角坐标系，如图所示，则D （0，0，0）D 1（0，0，1），A 1（3，0，1）， C （0，3，0），C 1（0，3，1）..721373,cos ).0,3,0(),1,3,3(111111111111=⋅=>=<∴=--=∴C D A C D C A ∴直线A 1C 与D 1C 1所成的角为arccos721.……………………6′（II ）设Q （x 0，y 0，z 0）∵点Q 在直线A 1C 1上，).1),1(3,3(.1),1(3,3)0,3,3()1,3,(000000111λλλλλλ-∴=-==⇒-=--⇔=∴Q z y x z y x A C C设平面QDC 与平面A 1DC 的法向量分别为n 1=（x 1，y 1，z 1），n 2=（x 2，y 2，z 2）.……3′由⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0)1),1(3,3(),,(,0)0,3,0(),,(,0,011111111λλz y x z y x DQ n n 01).3,0,1(,1.03,00)1,0,3(),,(,0)0,3,0(),,(0,08).3,0,1(,1.03,02222222222212211111'-==⎩⎨⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅'-==⎩⎨⎧=+=⇒ n x z x y z y x z y x DA n n n x z x y 则令由则令λλ∵二面角Q —DC —A 1为30°，21.36||31||||11.3123|31231|23|,cos |11111221'==='⇒⇒=++⇒=><∴ A C A C Q C n n λλλλ故 解法二：（I ）∵A 1B 1 //D 1C 1，∴∠B 1A 1C 为异面直线A 1与D 1C 1所成的角……2′ 连B 1C ，在Rt △A 1B 1C 中，A 1B 1=3，B 1C=2，)772sin 721(cos .33232tan 111111111=∠=∠===∠∴C A B C A B B A C B C A B 或∴异面直线A 1C 与D 1C 1所成的角为arctan332.……………………6′ （II ）在平面A 1C 1内过点Q 作EF//A 1B 1， ∴EF//CD ，连FC 、ED.∵B 1C ⊥DC ，FC ⊥DC ，∴∠B 1CF 为二面角A 1—DC —Q 的平面角.…………………………9′ ∴∠B 1CF=30°.又B 1C 1=3，CC 1=1， ∴tan 311111==∠CC C B CC B , ∴∠B 1CC 1=60°，∴CF 为∠B 1CC 1的角平分线，∴∠FCC 1=30°，3631.3330tan 11111111111==⇒===∴A C Q C B C F C A C Q C CC FC 又19．解：（1）记“考试通过”为事件A ，其对立事件为A ，则5415)31()31(32)(+⨯⨯=C A P∴243232])35()31(32[1)(5415=+⨯⋅-=C A P …………………………（6分） （2）考试次数ξ的可能取值为2，3，4，524327)31()32()31(32)31(32)5(27432)31(32)4(278323132)3(94)32()2(5415314213122=+⨯+⨯⨯⨯===⨯⨯⨯===⨯⨯⨯=====C C P C P C P P ξξξξ……………………………………（11分） 24371124327527442783942=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………………（12分） 21．解：（1）由已知得a e e x f xx-+='1)(………………………………（2分） ∵函数y=f (x )的导函数是奇函数，.21),()(='-=-'∴a x f x f 解得……………………………………（4分）（2）由（1）a e a e e x f x xx -+-=-+='1111)( 当a ≥1时，f ′(x )<0恒成立.∴当a ≥1时，函数y= f (x )在R 上单调递减…………………………（7分） 当0<a <1时，解f ′(x )>0得（1－a ）（e x +1）>1，………………12′即aax a e x->-+->1ln,111 当),1(ln )(,10+∞-=<<aax f y a 在时内单调递增 在)1ln,(aa--∞内单调递减……………………………………（11分） ∴当a ≥1时，函数y=f (x )在R 上单调递减 当0<a <1时，y=f (x )在（aa-1ln ，+∞）内单调递增 在)1ln,(aa--∞内单调递减……………………………………（12分） 21．（I ）设.1641164),,(2020202000=-⇒=-y x y x y x P 则∵两渐近线方程为2x ±y=0，……………………………………（2分） 由点到直线的距离公式得)5(.5165|4|||||5|2|||,5|2|||20200000分 =-=⋅∴+=-=y x y x PF y x PE（II ）如图，设渐近线y=2x 的倾斜角为θ则542sin sin ,532cos 2tan ==∠-=⇒=θθθAOB ，……（7分）设A （x 1，2x 1），B （x 2，－2x 2）， ∵0,>=λλ∴P 为有向线段AB 的内分点， ∴x 1>0，x 2>0. ∴,5||,5||21x OB x OA ==)9(.29,922sin ||||212121分 =∴===∴∆x x x x OB OA S ABO θ 又)12,1(,2121λλλλλ+-++=x x x x p 得，代入双曲线方程化简得：.212,)1(29)1(2221或解得即=+=+=λλλλλx x故21=λ或2.……………………………………………………（12分） 22．解：（1）由f(1)=2得2a=b+2 ①由f(x)=2x ，得ax ·2x=b+2x ，即2ax 2－2x －b=0只有一个x 满足f(x)=2x ，又a ·b ≠0， 则a ≠0 ∴△=4+8ab=0 ②由①②解得 a=1,21-=b ………………………………（2分） )4()2(22)(2012,1)()12(分则 ≠-=∴≠⇒≠--=-∴x xx f x xx f x（2）当n ≥2时，2222+=+∴=--n a S n a S n n nn∵当23212323,1111=⇒+=+=+=a a S n 时…………（6分） ∴当n ≥2（n ∈N*）时，S n +a n =n+2，则S n －1+a n －1=n+1两式相减得：2a n －a n －1=1（n ≥2）∴2(a n －1)=a n －1－1，即a n －1=21(a n －1－1) （n ≥2） ∴数列{a n －1}是以21为首项，以21为公式的等比数列.n n n n a a 211)21(2111+=∴=-∴-……………………（9分）（3）1)21(log )1211(log 121121+==-+=++n d n n n)14(1341341)1(2112)12(2)(2222,3112])[(11111)11(112)1()1()1()1()1(11]12)2)(1()[1()1()2)(1(111221101101101111101112111112211011分时当分 +->++++∴+-=++>+-∴+>+++=⋅=≥+-=-++++=++++++=+++∴+=⋅-++--+⋅+=⋅--++---=+=∴--++++++++++++--++n d C d C d C d C C n n n n n C C C n n c c c c n n C n C n C d C d C d C C n C K k k k n n n n n k k k k k n n n n k C d C n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nk n k n k k n。
湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第三次调研考试数学(理科)试题(精编含解析)
长郡中学2019届高三第三次调研考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A，求定义域得集合B，再根据交集定义求结果.【详解】因为=,,所以,选B.【点睛】本题考查集合交集定义以及解不等式、求函数定义域，考查基本求解能力.2.已知复数（），其中i为虚数单位，若为实数，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b比值.【详解】因为))，所以因为，所以，选B.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.如图所示的茎叶图记录了长郡中学的甲、乙两名同学在校级运动会的五次一千米训练成绩（单位：秒），通过茎叶图比较两人训练成绩的平均值及方差，并从中推荐一人参加运动会，①甲的成绩的平均值高于乙的成绩的平均值，推荐乙参加运动会②甲的成绩的平均值低于乙的成绩的平均值，推荐甲参加运动会③甲的成绩的方差高于乙的成绩的方差，推荐乙参加运动会④甲的成绩的方差低于乙的成绩的方差，推荐甲参加运动会其中正确结论的编号为A. ①③B. ②④C. ②D. ③【答案】A【解析】【分析】根据平均值及方差公式计算，推荐平均值差不多且方差小的参加运动会.【详解】甲同学平均值为，方差为乙同学平均值为，方差为，尽管乙同学平均值略低于甲同学，但乙同学方差远远小于甲同学，所以推荐乙参加运动会，选A.【点睛】均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性，本题考查基本求解能力，属基本题.4.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据奇偶性淘汰A,C，再根据函数最值确定选项.【详解】因为，所以为奇函数，不选A,C，又因为，所以选D.【点睛】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复5.已知等比数列满足，且，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据条件确定首项与公比，再利用分组求和法求和.【详解】因为，所以，因为，所以，因此，选D.【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为两个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）6.执行如图所示的程序框图，若输出S的值为55，则判断框中m的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】D【解析】【分析】执行循环，按终止循环条件列等式，解得结果.【详解】执行循环，得，所以，选D.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先还原几何体，再根据圆锥以及柱体表面积公式求结果.【详解】还原几何体为两个圆锥与一个棱柱的组合体，其中小圆锥的底面半径为2，高为2；大圆锥的底面半径为2，高为4，棱柱的底面为正方形，边长为，高为1，因此该几何体的表面积为=，选D.【点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行求解.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，渐近线方程为，，点N在圆上，则的最小值为A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】【分析】先根据条件确定M在双曲线右支上，再根据圆的性质以及三角形不等关系求最值.【详解】因为，所以点M在双曲线C右支上，因为渐近线方程为，所以圆，即，设圆心为,则有，选C.【点睛】本题考查双曲线的定义以及圆的性质，考查基本分析转化能力，属中档题.9.已知直三棱柱的底面为等边三角形，且底面积为，体积为，点，分别为线段，上的动点，若直线平面，点为线段的中点，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图像可知点M的轨迹为线段，两个端点分别为和的中点，即为等边三角形的高线，由底面积求出等边三角形边长，进而求出三角形的高线，即M的轨迹.【详解】由题意可作如下图像：因为直线PQ与平面无交点所以与此平面平行，所以，当点P、点Q分别在点、C处时，此时中点M为中点，当点P、点Q分别在点、处时，此时中点M为中点，若D、E、F分别为三条棱的中点，则点M的轨迹为等边三角形的中线，设底面边长为x，由底面面积可得：，解得，所以轨迹长度为.故选D.【点睛】本题考查立体几何中，动点的轨迹问题，由题意找出图形中两个临界点，由题意两点之间的线段即为所求，注意计算的准确性.10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，O1（1，0），阴影部分为不等式表示的平面区域，PQ与阴影部分相切于点T，交x轴正半轴于点P，交y轴正半轴于点Q，设，的面积为，若关于t的不等式存在唯一整数解，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求，再化简不等式，最后根据唯一整数解确定实数a的取值范围.【详解】设，从而,由得，因此，所以，即，选B.【点睛】本题考查函数关系式以及不等式整数解，考查综合应用分析能力以及灵活转化能力，属难题. 11.已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点P、Q均在椭圆上，且均在x轴上方，满足条件PF1∥QF2，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据椭圆定义求P点横坐标，再根据相似求Q横坐标，最后根据椭圆定义得结果.【详解】设，则由椭圆定义得，同理得，由，得，因为PF1∥QF2，所以，从而，选C.【点睛】本题考查椭圆定义以及直线与椭圆位置关系，考查等价转化思想与计算能力，属中档题.12.已知存在，且，使得，其中，则实数的值可能为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】先根据诱导公式化简方程，再根据三角函数有界性得方程组，解方程组可得实数的取值范围，进而确定选项.【详解】由得,所以,即，因为，所以当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，舍去；当时，，选D.【点睛】本题考查诱导公式、三角函数有界性以及三角函数特殊值，考查分类讨论思想与基本分析求解能力，属中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若的展开式中常数项为－12，则____．【答案】【解析】【分析】先根据二项式定理确定展开式常数项，解得a，再求定积分得结果.【详解】因为的展开式中常数项为，因此.【点睛】本题考查二项式定理以及定积分，考查基本分析求解能力，属基础题.14.在中，记，若，则的最大值为____．【答案】【解析】【分析】根据向量数量积得三角形边角关系，再利用三角形内角关系列函数关系式，最后利用基本不等式求最值，解得的最大值，即得的最大值.【详解】因为，所以,因此,因为,所以.即的最大值为【点睛】本题考查向量数量积、正弦定理、两角和正弦与正切公式、诱导公式以及基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属难题.15.长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．【答案】小学中级【解析】【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，根据条件列不等式组，推出取法，根据取法推测队长的学段及职称.【详解】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，则所以，若则，若则矛盾队长为小学中级时，去掉队长则，满足；队长为小学高级时，去掉队长则，不满足；队长为中学中级时，去掉队长则，不满足；队长为中学高级时，去掉队长则，不满足；综上可得队长为小学中级.【点睛】本题考查不等式性质，考查论证推理能力，属难题.16.已知定义在上的函数满足，对任意，不等式恒成立，其中是的导数，则不等式的解集为____．【答案】【解析】【分析】构造函数，根据条件研究性质：奇偶性与单调性，再根据性质解不等式，即得结果.【详解】构造函数,因为，所以为上偶函数，由，得，所以因为，所以当时，由得，即时单调递增，由偶函数得当时单调递减，因此由不等式得或，所以或，解集为.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等三、解答题（共70分。
炎德英才大联考2019届长郡中学高三月考理数(答案)
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