新人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数28.2解直角三角形的应用_仰角俯角与圆弧问题
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人教版九年级下册数学作业课件 第二十八章 锐角三角函数 第1课时 仰角、俯角与解直角三角形
＝
3
3）
＝(30
3
＋45)米，
3
∴DG＝EH＝AH－AE＝(30 3 ＋45)－15＝(30 3 ＋30)米，(30 3 ＋30)÷5＝(6 3
＋6)秒，∴经过(6 3 ＋6)秒时，无人机刚好离开了操控者的视线
2．如图，在高为 2 m，倾斜角为 30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 (C )
A．[2பைடு நூலகம்( 3 ＋1)] m B．4 m C．2( 3 ＋1) m D．2( 3 ＋3) m
3．(威海中考)小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的 河流宽度．他先在河岸设立 A，B 两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点 M.测得 AB＝50 米，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°.请你依据所测数据求出这段河流的 宽度．(结果精确到 0.1 米，参考数据：sin22°≈38 ，cos22°≈1156 ，tan22°≈25 ，sin67°≈1123 ， cos67°≈153 ，tan67°≈152 )
2
∴x ＝ 17 ≈0.82 ， ∴OD ＝ 0.82 m ， ∴DH ＝ OH － OD ＝ OA － OD ＝ 3.4 － 0.82 ＝
5
2.58≈2.6(m)，答：最大水深约为 2.6 m.
13．(广元中考)如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到 一定高度 D 点处时，无人机测得操控者 A 的俯角为 75°，测得小区楼房 BC 顶端点 C 处的俯角为 45°.已知操控者 A 和小区楼房 BC 之间的距离为 45 米，小区楼房 BC 的高 度为 15 3 米．
解：如图，过点 D 作 DG⊥AE 于点 G，得矩形 GBFD，∴DF＝GB，在 Rt△GDE 中，DE＝80 cm，∠GED＝48°，∴GE＝DE·cos 48°≈80×0.67＝53.6(cm)，∴GB＝ GE＋BE≈53.6＋110＝163.6≈164(cm).∴DF＝GB≈164(cm).答：活动杆端点 D 离地面 的高度 DF 约为 164 cm
人教版九年级数学下册作业课件 第二十八章 锐角三角函数 第2课时 仰角、俯角与解直角三角形
AF的高度约为9.0米
【素养提升】 11．(18分)(广州中考)某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的 高度．如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD， 标杆CD的影子为CE，CD＝1.6 m，BC＝5CD. (1)求BC的长； (2)从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度． 条件①：CE＝1.0 m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°. 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 参考数据：sin 54.46°≈0.81，cos 54.46°≈0.58，tan 54.46°≈1.40.
A．8(3－ 3 ) m B．8(3＋ 3 ) m C．6(3－ 3 ) m D．6(3＋ 3 ) m
8．(5分)(广西中考)如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼 顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120 m，则乙楼的高 CD是__4_0__3____m．(结果保留根号)
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例
第2课时 仰角、俯角与解直角三角形
仰角与俯角问题 1．(5分)(玉林中考)如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( ) D A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC
2．(5分)(教材P78习题T3变式)如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道 (点A，B在同一水平面上).为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发， 垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为 _____t_a8_n0_0_α__米．
3．(5分)如图，甲，乙两座建筑物相距30 m，从甲顶部点A测得乙顶部点D的仰角为 37°，若甲建筑物AB的高为40 m，则乙建筑物CD的高约为____m6．3 (结果取整数， 参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
人教版九年级下册数学 28.2.2解直角三角形的应用举例 例5 航海——方位角(共18张PPT)
军舰从B处向正西方向行驶至C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向，求该军舰行驶的路程。
险区。这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
方位角
区的可能？ (3)边角之间的关系:
某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向
的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北 方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上， 于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处 相遇。 （1）甲船从C处追赶上乙船用了多长时间？ （2）甲船追赶乙船的速度北是每小时多少千米？
B
D
C 75°
45°
西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向。 这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能？
C
为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
2解直角三角形的应用举例
北 为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛2解直角三角形的应用举例 航海问题——方位角
北 M东
B
A
D
N
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系:
(3)边角之间的关系:
Ｂ
c a
Ａ
bＣ
仰角俯角
A
?
E 34
F
18
D
10米
B
方位角
北
C
西
O
B
东
南
利用锐角三角函数解决航海问题
如图，一艘海伦位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯 塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔P的南偏东34°方向的B处。这时，B处距离 灯塔P有多远？（结果取整数）（cos25°=0.9063, sin34°=0.5291, ）
险区。这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
方位角
区的可能？ (3)边角之间的关系:
某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向
的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北 方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上， 于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处 相遇。 （1）甲船从C处追赶上乙船用了多长时间？ （2）甲船追赶乙船的速度北是每小时多少千米？
B
D
C 75°
45°
西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向。 这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能？
C
为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
2解直角三角形的应用举例
北 为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛2解直角三角形的应用举例 航海问题——方位角
北 M东
B
A
D
N
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系:
(3)边角之间的关系:
Ｂ
c a
Ａ
bＣ
仰角俯角
A
?
E 34
F
18
D
10米
B
方位角
北
C
西
O
B
东
南
利用锐角三角函数解决航海问题
如图，一艘海伦位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯 塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔P的南偏东34°方向的B处。这时，B处距离 灯塔P有多远？（结果取整数）（cos25°=0.9063, sin34°=0.5291, ）
人教版数学九年级下册第28章28.2-解直角三角形及其应用
课堂小结
解 直 角 三 角 形
依据
勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至 少有一个是边），就可以求出余下的三个未 知元素
对接中考
对接中考
H
对接中考
A
B
C
对接中考
A
B
C D
对接中考
B
CD
A
对接中考
B
C D
A
课后作业 请完成课本后习题第1题.
12 、能者上，庸者下，平者让。谁砸企业的牌子，企业就砸谁的饭碗。 19 、生活中的许多事，并不是我们不能做到，而是我们不相信能够做到。 5 、当你手中抓住一件东西不放时，你只能拥有一件东西，如果你肯放手，你就有机会选择更多。（ ） 1 、生活是一面镜子。你对它笑，它就对你笑;你对它哭，它也对你哭。 17 、再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。 17 、忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。 15 、如果你不给自己烦恼，别人也永远不可能给你烦恼。因为你自己的内心，你放不下。 19 、你不能左右天气，但可以改变心情。你不能改变容貌，但可以掌握自己。你不能预见明天，但可以珍惜今天。 7 、如果我们投一辈子石块，即使闭着眼睛，也肯定有一次击中成功。 1 、生活是一面镜子。你对它笑，它就对你笑;你对它哭，它也对你哭。 19 、经营信为本，买卖礼当先。心态决定成败，有志者事竟成。 10 、人生有顺境也有逆境，输什么也不能输了心情;人生有进有退，输什么也不要输掉自己。 7 、成功在于好的心态与坚持，心态决定状态，心胸决定格局，眼界决定境界。 7 、喜欢一个人不是回复他每条动态，而是研究下面可疑的评论。 13 、用冷静的目光去看待人世间的一切，才能活得坦荡，活得超然。 6 、人的一生要面临许多选择，而每次选择都会带来一阵阵剧痛，而这种剧痛叫做成长。 12 、天下没有免费的午餐，一切成功都要靠自己的努力去争取。机会需要把握，也需要创造。 6 、大部分人往往对已经失去的机遇捶胸顿足，却对眼前的机遇熟视无睹。 16 、并不是先有了勇气才敢于说话，而是在说话的同时培养了勇气。 13 、不要在你的智慧中夹杂着傲慢，不要使你的谦虚心缺乏智慧。 12 、你希望别人怎样对待自己，你首先应该怎样来对待别人。
福建省2024九年级数学下册第28章解直角三角形及其应用3应用举例__仰角俯角应用课件新版新人教版
第二十八章 锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用 第3课时 应用举例——仰角、俯角
应用
1．在进行高度测量时，视线与水平线所成的角中，当 视 线 在 水 平 线 上 方 时 叫 做 _仰__角_____ ， 如 图 中 的 _____α___；当视线在水平线下方时叫做___俯__角_____， 如图中的____β____．
PH( 3 ≈1.73，结果精确到0.1米)．
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解：由题意可得 KH＝OQ＝5 米，QH＝OK＝1.5 米，∠ PQO＝90°，∠POQ＝60°.∵tan∠POQ＝OPQQ， ∴tan 60°＝P5Q.∴PQ＝5 3米． ∴PH＝PQ＋QH＝5 3＋1.5≈10.2(米)， 即树高 PH 约为 10.2 米．
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解：∵∠COG＝90°，∠AON＝90°， ∴∠POC＋∠CON＝∠GON＋∠CON＝90°. ∴∠POC＝∠GON.
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(2) 实地测量 如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测 点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距 离 KH 为 5 米 ， 点 O 到 地 面 的 距 离 OK 为 1.5 米 ， 求 树 高
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2．【2022·眉山】数学实践活动小组去测量眉山市某标志性 建筑物的高CD.如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰 角为30°，沿AD方向前进60 m到达B处，测得楼顶C处 的仰角为45°，则此建筑物的高为约____8_2___m．(结果 保留整数．参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)
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3．盐城电视塔是我市标志性建筑之一．如图，在一次数学课外 实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB.小明在D处用高 1.5 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，然后 向电视塔前进224 m到达E处，又测得电视塔顶端A的仰角为
28.2 解直角三角形及其应用 第3课时 应用举例——仰角、俯角
应用
1．在进行高度测量时，视线与水平线所成的角中，当 视 线 在 水 平 线 上 方 时 叫 做 _仰__角_____ ， 如 图 中 的 _____α___；当视线在水平线下方时叫做___俯__角_____， 如图中的____β____．
PH( 3 ≈1.73，结果精确到0.1米)．
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解：由题意可得 KH＝OQ＝5 米，QH＝OK＝1.5 米，∠ PQO＝90°，∠POQ＝60°.∵tan∠POQ＝OPQQ， ∴tan 60°＝P5Q.∴PQ＝5 3米． ∴PH＝PQ＋QH＝5 3＋1.5≈10.2(米)， 即树高 PH 约为 10.2 米．
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解：∵∠COG＝90°，∠AON＝90°， ∴∠POC＋∠CON＝∠GON＋∠CON＝90°. ∴∠POC＝∠GON.
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(2) 实地测量 如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测 点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距 离 KH 为 5 米 ， 点 O 到 地 面 的 距 离 OK 为 1.5 米 ， 求 树 高
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2．【2022·眉山】数学实践活动小组去测量眉山市某标志性 建筑物的高CD.如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰 角为30°，沿AD方向前进60 m到达B处，测得楼顶C处 的仰角为45°，则此建筑物的高为约____8_2___m．(结果 保留整数．参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)
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3．盐城电视塔是我市标志性建筑之一．如图，在一次数学课外 实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB.小明在D处用高 1.5 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，然后 向电视塔前进224 m到达E处，又测得电视塔顶端A的仰角为
人教初中数学九年级下册28-2 解直角三角形及其应用(教学设计)
师：尝试写出∠A 的三角函数。
生：∠A 的正弦值：sin A=∠A 所对的边斜边= ac∠A 的余弦值：cos A= ∠A 所邻的边斜边= bc∠A 的正切值：tan A=∠A 所对的边邻边= ab师：将 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表：生：变式1-1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a = 30， b = 20，根据条件解直角三角形.变式1-2 在△ABC 中，∠C =90∘, AB =6, cosA =13，则AC 等于（ ）A ．18B ．2C ．12D ．118变式1-3在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．msin35° B ．mcos35° C ．m sin35°D ．mcos35°变式1-4 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=35° ，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）． 变式1-5 如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB ＝2米， 要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC ，使光线不 能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（ ） A ．2tan70°米 B ．2sin70°米 C ．2.2tan70°米 D ．2.2cos70°米平线下方的叫做俯角。
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. 师：尝试说出A,B关于坐标原点O的位置？生：点A位于点O北偏东30°位置，点B位于点O南偏西45°位置[多媒体展示]热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）。
人教版九年级下册数学：第28章 28.2.2解直角三角形的应用 (2)方位角、坡度坡比
达标测试
1.如图,C岛在A岛的北偏东50°方 向,C岛在B岛的北偏西40°方向,则从C
岛看A,B两岛的视角∠ACB等于 90° 。 50°
40° 50° 40°
2、如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与 钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60º，则 这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米．
tanα= 1 = 3 33
∴α=30°
240
C
1: 3
?
A?
B
在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AC=240m
∴ sinα= BC = BC
AC 240
∴ BC=240×sin30°=120(m)
答:这座山坡的坡角为30°,小刚上升了120m.
【例4 】水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,
北
PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°
≈80×0.91 =72.8
65°
在Rt△BPC中,∠B=34°
西
P
∵ sinB = PC
PB
34°
∴
PB
=
PC sinB
=
72.8 sin340
≈
72.8 0.559
≈130.23（海里）
南
?
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°
方向时，它距离灯塔P大约130.23海里。
45° 南
45° 45°
西南
（南偏西45°）
南
东南
（南偏东45°）
典例精析
【例1】如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距
离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位
人教版九年级下册数学第28章 锐角三角函数 利用解直角三角形解含方位角、坡角(坡度)的应用
感悟新知
知1－练
1. 如图，海中有一个小岛A，它周围8nmile内有暗礁. 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏
东60°方向上，航行12nmile到达D点，这时测得小 岛A在北偏东30° 方向上.如果渔船不改 变航线继续向东航行， 有没有触礁的危险？
感悟新知
解：如图，过点A作AC⊥直线BD，垂足为点C.
C．200D3．300
3
感悟新知
知识点 2 用解直角三角形解坡角问题
探究
B
一、如图是某一大坝的横断面：
坡面AB的垂直高度与 水平宽度AE的长度之 比是α的什么三角函数？
Aα
E
知2－练
C
D
tan
BE 坡面AB与水平面的夹角叫做坡角.
AE
感悟新知
坡度的定义：
知2－练
坡面的垂直高度与水平宽度之比
B
叫做坡度，记作i.
感悟新知
例1 如图, 一艘海轮位于灯塔P的北 偏东65°方向，距离灯塔 80nmile的A处，它沿正南方向 航行一段时间后，到达位于灯
塔P的南偏东34°方向上的B处. 这时，B处距离灯塔P有多远 （结果取整数)？
北 65°
P 34°
知1－练
A
C
B
感悟新知
解：如图，在Rt△APC中， PC=PA•cos(90°-65°) =80×cos25° ≈72. 505. 在Rt△BPC中，∠B=34°，
第二十八章锐角三角函数
28.2解直角三角形及其应用
第6课时利用解直角三 角形解含方位角、坡角 （坡度）的应用
学习目标
1 课时讲解 用解直角三角形解方位角问题
用解直角三角形解坡角（或坡度） 问题
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南A
北
16m
D
B 20m
C
巩固
1、如图，塔AB和楼CD的水平距离为 80m，从楼顶C处测得塔顶A的仰角为 45°,从塔顶A测得楼底D处俯角为60°， 试求楼高CD。
A
C
B
D
巩固 2、如图，在甲建筑物上从A点到E点 挂一长为30m的宣传条幅，在乙建筑物 的顶部D点测得条幅顶端A的仰角为45°，
测得条幅底端E点的俯角为30°，求 甲、乙两建筑物之间的水平距离BC。
A D
E
B
C
3. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进 度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一 点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°， 那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线
（精确到0.1m）
AB
解：要使A、C、E在同一直线上，则 140° ∠ABD是 △BDE 的一个外角
C
AO
B
D
例1
热气球探测器显示，从热气球看一
栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼
底部的俯角为60°，热气球与高楼的水
平距离为120m，这栋高楼有多高(结果
精确到0.1m)？
B
A
α
βD
C
解直角三角形的应用：
1、从实际问题抽象出数学模型，画示意图
2、审清已知未知 3、解直角三角形 4、解决实际问题
练习 某人在A处测得建筑物的仰角 ∠BAC为30°，沿AC方向行20m至D 处，测得仰角∠BDC为45°，求此建 筑物的高度BC。
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
cos BDE DE BD
DE cosBDE BD
cos50 520 0.64520 332.8
C
E
50° D
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
小结
解直角三角形的应用：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面 图形，转化为解直角三角形的问题)；
•
14、抱最大的希望，作最大的努力。2 021年4 月4日 星期日 上午9时 21分1 秒09:21: 0121.4. 4
•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。202 1年4月 上午9 时21分2 1.4.409 :21Apri l 4, 2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2 021年4 月4日 星期日9 时21分 1秒09: 21:014 April 2021
练习 如图，我市某住宅区高层建筑均 为正南正北方向，楼高都是16m。某时 太阳光线与水平线的夹角为30°，如果 南北两楼间隔仅有20m，试求： (1)此时南楼的影子落在北楼上有多高？
南A
北
16m
D
B 20m
C
练习 如图， 我市某住宅区高层建筑均 为正南正北方向，楼高都是16m。某时 太阳光线与水平线的夹角为30°，试求： (2)要使南楼的影子刚好落在北楼的墙 脚，两楼间的距离应当是多少？
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午9时21 分1秒 上午9时 21分09 :21:012 1.4.4
谢谢大家
F
,
）
P
Q
α
O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
cosa OQ 6400 0.95 OF 6400 350
a 18
∴ PQ的长为 18 6400 3.14640 2009.6 180
F
P Q
α O·
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时 的最远点距离P点约2009.6km
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角 函数等知识去解直角三角形； (3)得到数学问题答案； (4)得到实际问题答案；
•
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。21.4.4 21.4.4S unday, April 04, 2021
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10、低头要有勇气，抬头要有低气。0 9:21:01 09:21:0 109:21 4/4/202 1 9:21:01 AM
B8年10月15日“神舟”7号载人航
天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就
在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如
图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方
时，从飞船上最远能直接看到地球上的点
在什么位置？这样的最远点与P点的距离是
多少？（地球半径约为6400km，结果精确
到03..11k4m
解直角三角形的应用
——仰角、俯角与圆弧问题
例1
热气球探测器显示，从热气球看一
栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼
底部的俯角为60°，热气球与高楼的水
平距离为120m，这栋高楼有多高(结果
精确到0.1m)？
B
A
α
βD
C
仰角、俯角的定义：
在视线与水平线所成的角中，视线 在水平线上方时形成的角叫做仰角，在 水平线下方形成的角叫做俯角。
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11、人总是珍惜为得到。21.4.409:21:0 109:21 Apr-214 -Apr-21
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12、人乱于心，不宽余请。09:21:0109 :21:010 9:21Sunday, April 04, 2021
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。21. 4.421.4. 409:21: 0109:2 1:01Apr il 4, 2021