人教版九年级数学下册锐角三角函数

a c
；
斜边 c
A ∠A的邻边
B
∠A的对边 a C b
课堂小结
2．概念中应该注意的几个问题： （1）sin A是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结 合，构造直角三角形)； （2）sin A是一个完整的符号，如sin A表示∠A的正弦，习惯 省去“∠”号； （3）sin A是一个比值，注意比的顺序.
第二十八章锐角三角函数
28.1锐角三角函数
第1课时
学习目标
理解锐角正弦的概念及表示方法．根据定义会求出 一个锐角的正弦值.
情境导入
情境导入
意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶中点偏 离垂直中心线2.1 m．1972年比萨地区发生地震，这座高54.5 m 的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中 心线增至5.2 m，而且还以每年增加1 cm的速度继续倾斜，随 时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔维修 纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比 纠偏前减少了43.8 cm．
课堂练习
． 4．如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，求sin B的值．
解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，
∴BD=2．
在Rt△ADB中，由勾股定理，知
AD= AB2 BD2 62 22 4 2
∴sinB= AD 2 2
D
AB 3
课堂小结
1．正弦的概念．
sin
A
A 的对边 斜边
B 10
6
AC AB2 BC 2 102 62 8 .
A
C
因此
sin
A
BC AB
6 10
3 5
.
课堂练习
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则
12 sinA= 13 ．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=1∶2，
5
则sin A= 5 ．
课堂练习
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=20 2，则∠B 的度数为 45° ．
2
对边与斜边的比都等于 2 ．
探究新知
任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C=∠C'=90°，
∠A=∠A'，那么
BC AB
与 BACB有什么关系？你能解释一下吗？
B
B'
A
C
A'
C'
在图中，由于∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'，所以
Rt△ABC∽Rt△A'B'C' ．因此
BC AB BC AB
B
B
3
5
13
A
4
C
（1）
C
（2）
A
分析：求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是
要确定∠B的对边与斜边的比．
例题解析
解： 如图（1），在Rt△ABC中，由勾股定理得
B AB AC 2 BC 2 42 32 5.
3
因此 sin A BC 3 ， A
4
C
AB 5
（1）
sin B AC 4 AB 5
线
系和两个锐角之间的关系，但我们不知道边
角之间的关系，因此，这一问题的解答需要
学习新的知识．
A
探究新知
问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿 着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进 行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水 口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？
.
例题解析
如图（2），在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC AB2 BC 2 132 52 12 .
因此 sin A BC 5 ，
B
AB 13 5
13
sin B AC 12 .
AB 13
C （2）
A
例题解析
例2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB =10，BC=6，
求sin A． 解：由勾股定理得
探究新知
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜
边的比叫做∠A的正弦，记作sinA 即
sin
A
A的对边 斜边
a c
．
例如，当∠A=30°时，
Байду номын сангаас斜边 c
有sin
A
sin
30
1 2
；
A
b
当∠A＝45°时，
有 sin A sin 45
2
2．
B
∠A的对边 a C
例题解析
例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．
情境导入
C
垂 直 中 心 线
Ө
B
如果要求你根据上述
塔 信息，用
身 中
“塔身中心线与垂直
心 中心线所成的角Ө”
线 （如图）来描述比萨斜
塔的倾斜程度，你能完
成吗？
A
情境导入
C
垂 直 中 心 线
Ө
B
从数学角度看，上述问题就是：已知直
塔 身
角三角形的某些边长，求其锐角的度数，对
中 心
于直角三角形，我们已经知道三边之间的关
准备多长的水管？
B' B
50 m
A 的对边 斜边
=
BC AB
1 2
A
C C'
AB' =2B' C' =100 m．
结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个
1
直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 2．
探究新知
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°， A
∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比 BC ，由 AB
B
A
C
探究新知
B
A
C
分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，
∠C=90°，∠A=30°，BC=35 m，求AB．
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边半”，
即
A的对边 斜边
BC AB
1， 2
可得AB=2BC=70 (m)，需要准备70 m长的水管．
探究新知
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要
角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于2 ．
2
探究新知
综上可知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A=30°
时，∠A的对边与斜边的比都等于 1 ，是一个固定值；当
2
∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2，也是一个
固定值．
2
思考：一般地，当∠A 是任意一个确定的锐角时，它的 对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
BC BC AB AB
探究新知
这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这 个直角三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定 值．并且在直角三角形中，一个锐角的度数越大，它的对边与斜 边的比值也越大．
探究新知
因此
BC AB
BC 1 2 ． 2BC 2 2
A
C
B
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直
此你能得出什么结论？
C
B
在Rt△ABC中，∠C＝90°，因为∠A＝45°，所以
Rt△ABC是等腰直角三角形．由勾股定理得
AB2 AC 2 BC 2 2BC 2 ，
AB 2BC．
探究新知
因此
BC AB
BC 1 2 ． 2BC 2 2
A
C
B
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，
无论这个直角三角形的大小如何，这个角的