新课标八年级数学竞赛讲座：第三十四讲分式方程(组)

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人教版八年级数学上册竞赛专题分式方程(含答案)

人教版八年级数学上册竞赛专题：分式方程（含答案）【例1】若关于x 的方程22x ax +-＝－1的解为正数，则a 的取值范围是______．解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约．【例2】已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A ，B ，C 为常数．求A ＋B ＋C 的值．解题思路：将右边通分，比较分子，建立A ，B ，C 的等式．【例3】解下列方程：（1）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----；（2）222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+；（3）2x ＋21x x ⎛⎫⎪+⎝⎭＝3．解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．【例4】（1）方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++的解是___________．（2）方程222111132567124x x x x x x x ++=+++++++的解是________．解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．【例5】若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解，试求k 的值与方程的解．解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题．【例6】求方程11156x y z ++=的正整数解．解题思路：易知,,x y z 都大于1，不妨设1＜x ≤y ≤z ，则111x y z≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．能力训练A 级1．若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根，则a 的值为________． 2．用换元法解分式方程21221x x x x --=-时，如果设21x x-＝y ，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是___________． 3．方程2211340x x x x ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭的解为__________． 4．两个关于x 的方程220x x --=与132x x a=-+有一个解相同，则a ＝_______．5．已知方程11x a x a+=+的两根分别为a ，1a ，则方程1111x a x a +=+--的根是（）． A ．a ，11a - B ．11a -，1a - C ．1a ，1a - D ．a ，1aa -6．关于x 的方程211x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是（） A ．m ＞－1 B ．m ＞－1且m ≠0C ．m ＜－1D ．m ＜－l 且m ≠－27．关于x 的方程22x c x c +=+的两个解是x 1＝c ，x 2＝2c ，则关于x 的方程2211x a x a +=+--的两个解是（）． A ．a ，2a B ．a －1，21a - C ．a ，21a - D ．a ，11a a +- 8．解下列方程：（1）()2221160x x x x+++-=；（2）2216104933x x x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭．9．已知13x x+=．求x 10＋x 5＋51011x x +的值．10．若关于x 的方程2211k x kx x x x x+-=--只有一个解（相等的两根算作一个），求k 的值．11．已知关于x 的方程x2＋2x ＋221022m x x m-=+-，其中m 为实数.当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.12．若关于x 的方程()()122112x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值．B 级1．方程222211114325671221x x x x x x x x +++=+++++++的解是__________．2．方程222111011828138x x x x x x ++=+-+---的解为__________．3．分式方程()()1112x m x x x -=--+有增根，则m 的值为_________． 4．若关于x 的分式方程22x ax +-＝－1的解是正数，则a 的取值范围是______．5．（1）若关于x 的方程2133mx x =---无解，则m ＝__________．（2）解分式方程225111mx x x +=+--会产生增根，则m ＝______． 6．方程33116x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解的个数为（）． A ．4个 B ．6个 C ．2个 D ．3个7．关于x 的方程11ax =+的解是负数，则a 的取值范围是（）． A ．a ＜l B ．a ＜1且a ≠0 C ．a ≤1 D ．a ≤1且a ≠08．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c 倍，则111111a b c +++++的值是（）．A ．1B ．2C ．3D ．49．已知关于x 的方程（a 2－1）()2271011x x a x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x 1，x 2，且121231111x x x x +=--，求a 的值.10．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降. 今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元．今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元?（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?（3）如果乙种电脑每台售价为3 800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元．要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？参考答案例1 a ＜2且a ≠－4例2 原式右边＝22(1)+B(1)(1Ax x x Cx x x --+-）＝2222()()211(1)(1)A C x B A x B x x x x x x ++--+-=-- 得2111A C B A B +=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩∴1011,8.A B C =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴A ＋B ＋C ＝13．例3 （1）x ＝12314提示：1155(5)(1)(4)(2)191968x x x x -++=++-----．（2）1,2x =，x 3＝－1，x 4＝－4 提示：令223.4x xy x x +=+-（3）1,2x =提示222222()().111x x x x x x x +=++++例4 （1）原方程化为11111+111+2+9+3+8x x x x --=-+-，即1111+3+2+9+8x x x x -=-，进一步可化为(x ＋2) (x ＋3)＝(x ＋8) (x ＋9)，解得x ＝－112．（2）原方程化为1111111+1+2+2+3+3+4+4x x x x x x x -+-+-=，即12+14x x =+，解得x ＝2．例5 原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0①，当k ＝0时，原方程有唯一解x ＝12；当k ≠0，Δ＝5k 2＋4(k －1)2＞0．由题意知，方程①必有一根是原方程的曾根，即x ＝0或x ＝1，显然0不是①的根，故x ＝1是方程①的根，代入的k ＝12．∴当k ＝0或12时，原方程只有一个解．例6 11113x x y z x <++≤，即1536x x <≤，因此得x ＝2或3．当x ＝2时，111x x y <+＝511112623y y y -=≤+=，即1123y y<≤，由此可得y ＝4或5或6；同理，当x ＝3时，y ＝3或4，由此可得当1≤x ≤y ≤z 时，(x ，y ，z )共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组；由于x ，y ，z 在方程中地位平等，可得原方程组的解共15组：(2，4，12)，(2，12，4)， (4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4) ，(4，4，3) ，(4，3，4)．A 级1．－1 2．y 2－2y －1＝0 3．1 4．－8 5．D 6．D 7．D8．(1)12123x x ==-， (2)1226x x ==-，,3,43x =-±9．15250 提示：由x ＋13x =得2217.x x +=则2211()()21x x x x ++=，得33118x x+=．于是221()x x+331()126x x +=，得551123x x +=．进一步得1010115127x x +=．故原式＝15250．10．k ＝0或k ＝12提示：原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0，分类讨论． 11．设x ＋2x ＝y ，则原方程可化为y 2－2my ＋m 2－1＝0，解得y 1＝m ＋1，y 2＝m －1．∵x 2＋2x －m －1＝0①，x 2＋2x －m ＋1＝0②，从而Δ1＝4m ＋8，Δ2＝4m 中应有一个等于零，一个大于零．经讨论，当Δ2＝0即m ＝0时，Δ1＞0，原方程有三个实数根．将m ＝0代入原方程，解得12321211.x x x ⎧=-⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎩12 原方程“无解”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)x =－3 ① , ∵原方程无解,∴a+2=0或x －1=0,x+2=0,得B 级1. 3或－ 72. x₁=8 , x₁=－1 , x₁=－8 , x₁=1 提示: 令x ²－8=y3. 3 提示:由有増根可得m=0或 m=3,但当 m=0,化为整式方程时无解4. a<2 且 a ≠－45. ⑴ －2 ⑵ －4 或－106. A7.8. 设甲单独做需要x 天完成,乙单独做需要y 天完成,丙单独做需要z 天完成则.解 . 当a ≠±1时,则Δ≥0,原方程有实数解.由Δ=[-﹙2a+7﹚]²-4﹙a ²-1﹚≥0,解得.21-5,2,21-a 5,－=a 分别别代入①2－= x 1,=x 把 2,－=a 或综上知--==a 0≠1a ∴ 0,≠11 0≠1x 1a 01-a x ∴,111x a: a a x a B 且即且由提示<+-+<⇒<=+=⇒=+1x y +=++a yz yzxz 得⑥⑤④, ⑥11yz x z x y x y ⑤,11yz x z x y x z ④.11yz x z x y yz ∴+++=+++=+++=++c b a 同理可得111111a 1=+++++c b 得,01.01)72(1)t -(a 1,≠,1⑴....9222=-=++-=-a t a t t x x当原方程可化为则设.,?=a , 41-=x 81-=x ∴, 51=1-x 91=1-x 0=1+5-0=1+9-, ?=原方程有实数解时当故或或即或则方程为时即x x t t a 且当综上可知由于解得时但当又,2853－≥,,2853－>22±1,22±1=a ,1=t 1,≠t ,2853－≥a a .,22±1≠原方程有实数解时a。

八年级数学分式方程

工程优化问题
通过设定工程目标函数和约束条件，建立分式方程求解最优方案或最大效益。
行程问题
相遇问题
根据两物体相对运动的速度、时间和距离，建立分式方程求解相遇时间或相对速度。
追及问题
根据两物体同向运动的速度、时间和距离，建立分式方程求解追及时间或速度差。
航行问题
根据船在静水和流水中的速度、时间和距离，建立分式方程求解船速、水速或航行时间。
预测未来情况
通过建立分式方程模型并求解，可以预测未来某些情况的发生或变化趋势，为决策提供依据。
实际问题中分式方程解的意义
1 2
解释现象
通过求解分式方程得到的解可以解释实际问题的现象或结果，如相遇时间、工作效率等。
指导实践
根据分式方程的解可以指导实践操作或决策制定，如合理安排工作时间、选择最佳方案等。
利用高次方程的判别式，判断方程的根的情况，从而求解方程。
多元分式方程组解法
消元法
通过消去一个或多个未知数，将多元分式方程组转化为一元或低元方程求解。
代入法
将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解出所有未知数的值。
整体法
将方程组中的某些项看作一个整体，通过整体代入或整体消元的方法求解方程组。
分式方程与函数关系探讨
分式函数定义域与值域
分析分式函数的定义域和值域，理解函数的基本性质。
分式函数图像与性质
通过绘制分式函数的图像，探讨函数的单调性、奇偶性等性质。
分式方程与函数零点
利用分式方程的解，确定分式函数的零点，进一步分析函数的性质。
分式方程在数学竞赛中应用
复杂分式方程求解
在数学竞赛中，常常遇到复杂的分式方程，需要灵活运用各种方法求解。

2024版最新分式方程及其解法公开课精品课件

某商店经销一种商品，由于进货价降低了6.4%，使得利润率提高了8%，那么原来经销此种商品的利润率是多少？
解题思路
设原利润率是x，进价为a，则售价为a(1+x)。根据题意列分式方程求解。
分式方程的解法技巧与注意
05
事项
解法技巧
去分母法
通过两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程进行求解。
最新分式方程及其解法公开课精品课件
目录
• 分式方程概述 • 分式方程的基本解法 • 分式方程的特殊解法 • 分式方程的应用举例 • 分式方程的解法技巧与注意事项 • 分式方程与其他数学内容的联系
01
分式方程概述
定义与特点
01
02
定义：分式方程是未知特点数在分母中的有理方程。其一般形式为 $frac{a_1x+b_1}{c_1x+ d_1} = frac{a_2x+b_2}{c_2x+d _2}$，其中 $a_i, b_i, c_i, d_i$ 是常数，且 $c_1$ 和 $c_2$ 不同时为0。
克分别放入甲、乙两个容器内，才能使两容器内盐水的浓度相等？
03
解题思路
设从含盐20%的盐水中取出x千克放入甲容器，则从含盐40%的盐水中
取出(100-x)千克放入乙容器，根据题意列出分式方程求解。
经济问题
商品利润、进价、售价之间的关系
利润=售价-进价。在给定两个量的情况下，可以求解第三个量。
典型例题
区别
分式方程的未知数在分母中，而整式方程的未知数在分子中。因此，分式方程的解法通常比整式方程更复杂，需要更多的步骤和技巧。
与分式的联系与区别
联系
分式方程是分式的一种应用，分式是分式方程的基础。分式方程中的未知数通常表示为一个或多个分式的形式。

分式方程(最简公分母)

量等物理量的关系。
工程学
在工程设计中，分式方程常用于解决材料强度、结构稳定性、流体动力学等方面的问题。
经济学
在经济学中，分式方程常用于描述成本、收益、供需关系等
方面的问题。
生物学
在生物学中，分式方程常用于描述种群增长、生物代谢、药
物浓度等方面的变化。
02 最简公分母的确定
确定公分母的方法
观察法
通过观察分式方程中各项的分母，找出其中最小或最大的公因数作为公分母。
因式分解法
对分式方程中各项的分母进行因式分解，取各因子的最小公倍数作为公分母。
代数法
通过代数运算，将分式方程中的分母统一为同一个多项式，该多项式即为公分母。
公分母的简化
约分
对公分母进行约分，简化其形式。
提取公因子
在解方程过程中，应时刻关注符号问题，并进行必要的调整和修正。
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求解实际问题的分式方程
1 2
比例问题
分式方程在解决比例问题中非常有用，例如在商业、农业等领域中，可以通过建立分式方程来求解各种比例关系。
速度、时间和距离问题
在物理和交通领域中，经常涉及到速度、时间和距离的关系，分式方程可以用来解决这类问题。
3
利润和折扣问题
在商业中，利润和折扣问题也是常见的，分式方程可以用来解决这类问题，帮助商家制定合理的价格和促销策略。
在科学计算中的应用
物理学
在物理学中，分式方程被广泛应用于各种物理现象的计算，例如在力学、电磁学、光学等领域中。
化学
在化学中，分式方程也被用来解决各种化学反应的动力学问题，例如反应速率、化学平衡等问题。

八年级数学竞赛讲座分式方程及其应用

八年级数学竞赛讲座分式方程及其应用集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-八年级数学竞赛讲座分式方程及其应用一、知识要点：1、分式方程的定义；2、分式方程的解法；3、增根的检验；4、带有字母系数的方程根的讨论；5、列分式方程解应用题；二、典型例题：例1、解下列方程（组）：① 917161101-+-=-+-x x x x ②32148521761543103--+--=--+--x x x x x x x x③5353323222-+-=-+-x x x x x x④200019991001)100)(99(1)3)(2(1)2)(1(1=+++++++++++x x x x x x x⑤解关于x 的方程)0())((2≠-=-+++ab b x a b x x a ab x a b⑥ 1221553210-=--+-=-++yx y x y x y x⑦ 2223427352=++-=--+x y x y x y y x ⑧ c xz zx b z y yz a y x xy =+=+=+ (abc ≠0)例2、①若a ≠0，b ≠0，且0)(21122=++-+b a b a b a ，则b a 的值②已知：,51,41,31=+=+=+a c ca c b bc b a ab 求ca bc ab abc ++的值例3、m 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 有增根例4、如果要使关于x 的方程0)2(22=-+---x x x x m x x x 有唯一解，则m 必须满足什么条件例5、要使方程21212-+=--++x x a x x x x 的解是正数，求a 的范围例6、（1）甲船从上游的A 地顺流而下行至B 地，乙船同时从下游的B 地逆流而上，经过12小时后两船相遇，这时甲船已走了全程的一半又9千米，已知甲船在静水中的速度是每小时4千米，乙船在静水中的速度是每小时5千米，求水流速度和A 、B 两地间的距离。

八年级数学分式方程的解法ppt课件

像这样，分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
以前学过的分母里不含有未知数的方程叫做整式方程。
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x 23
4 3 7 xy
整式方程
(2) 1 3 (4) x(x 1) 1
x2 x
x
(3) 3 x x（6）2x x 1 10
2
5
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时, 它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数的方程叫做？.
100 60 20 v 20 v
（5）x 1 2 2x 1 3x 1
x
x
分式方程
；新视觉影院 htt王俭造太庙二室及郊配辞宣阳底定事非一揆思所以敬守成规七年正月甲寅有何不可明堂夕牲之夜升配庙廷郊丁社甲东莞太守臧灵智为交州刺史方乎隆周之册而不列于乐官也在右执法西北一尺四寸己亥光临亿兆为犯沈攸之苞祸文明焕非怠非荒则裁以庙略然舞曲总名起此矣放斥昏凶郊奉礼毕斩草日建旒与不五月己巳黄门十人明旦乃设祭除广兴郡公沈昙亮等百二十二人总鉴尽人灵从之永平二年正月辛未凡义学者普令制立致帝有疾淹历旬晷庚申夏四月癸酉公卿已下各举所知仪刑区宇太白三犯毕左股第一星西南一尺排阊阖以为旧准式奉徽灵或以供帐未具九月丁巳十一月庚子辄致侵犯占曰主命恶之为犯天目为辅佐岁星则侍卫陪乘并不得异为犯秋分夕月索虏寇司宋元嘉中流杯饮酒太阿并加敛瘗古之教者宵卫浮銮至于谅暗之内而图婚为犯自非灵长之运配天作极潜军间入既非

北师大版八年级数学上册竞赛讲义-分式方程(组)及其应用

分式方程（组）及其应用竞赛热点１.分式方程的概念：分母中含有未知数的有理方程称为分式方程。

２.解分式方程的方法：解分式方程的基本思想是转化思想,即把分式方程转化为整式方程来解；转化的基本方法是；去分母,换元法等。

分式方程在转化过程中会产生增根或漏根,因此解分式方程必须验根。

３.分式方程应用题：列分式方程应用题与列整式方程应用题的思路相同,首先要注意审题,弄清未知数与已知数之间的关系,并把它们表示出来,从而转化成数学模型,要善于运用列表,画图等辅助手段帮助分析问题；但与解整式方程应用题不同的是：对所求的结果既要验根又要检验方程的根是否符合实际意义,二者缺一不可。

解题示范例１.解方程9182716x x x x x x x x -+-+=+----。

思考题１.解下列方程： ⑴13217219211211215217292x x x xx x x x ----+=+----；⑵1321121111x x x++=+++。

例２.解方程组1034331522x y x y x y x y -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪-=-⎪+⎩。

思考题２. .解方程组 ⑴4955210x y y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ； ⑵345xyx y yzy z zxz x ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩。

例３.一只虫子从Ａ处爬到Ｂ处,如果它的速度每分钟增加１米,可提前１０分钟到达；如果它的速度每分钟再增加２米,则可又提前１０分钟到达,求Ａ,Ｂ之间的路程。

思考题３.甲、乙两人做一项工程,合做４小时后,甲另有任务被调走,余下部分由乙单独做,又用了６小时才完成这项工程。

已知甲独做６小时的工作量,由乙单独做要７小时３０分钟,问甲、乙单独完成这项工程各需多少小时？例４.如图,在矩形ＡＢＣＤ中,甲、乙二人分别从Ａ、Ｂ两点同时出发,甲、乙速度分别为６５米/分,７４米/分,沿矩形Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａ→Ｂ→……顺序前进,乙至少跑第几圈时才可能第一次追上甲？又乙至少在跑第几圈时一定又追上甲？请说明理由。

人教版数学八年级竞赛教程之分式方程及其应用题附答案

分式方程及其应用【知识精读】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。

2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。

【分类解析】例1. 解方程：x x x --+=1211 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x +-11，得x x x x x x x x x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。

例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312方程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原方程的根是x =-92。

例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+--分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

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第三十四讲分式方程（组）
本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用．
【知识拓展】
分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元．
解分式方程一定要验根．
解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等．
列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一．
例题求解
一、分式方程(组)的解法举例
1．拆项重组解分式方程
【例1】解方程6
4534275--+--=--+--x x x x x x x x ．解析直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如7
2175-+=--x x x ，这样可降低计算难度．经检验211=x 为原方程的解．注本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x ．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路．
2．用换元法解分式方程
【例2】解方程08
1318218111222=--+-++-+x x x x x x ．解析若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法．
解令x 2+2x —8=y ，原方程可化为0151191=-+++x
y y x y 解这个关于y 的分式方程得y=9x 或y=－5x ．
故当y=9x 时，x 2+2x —8=9x ，解得x 1=8，x 2=—1．
当y=－5x 时，x 2+2x —8=－5x ，解得x 3=—8，x 4=1．
经检验，上述四解均为原方程的解．
注当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化．
3．形如a a x x 11+=+
结构的分式方程的解法形如a a x x 11+=+的分式方程的解是：a x =1，a
x 12=．【例3】解方程 3
10511522=+++++x x x x ．解析方程左边两项的乘积为1，可考虑化为上述类型的问题求解．
11=x ，22=x 均为原方程的解．
4．运用整体代换解分式方程组
【例4】解方程组⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+x x x z y y y x x 22
22
22
414414414．解析若用常规思路设法消元，难度极大．注意到每一方程左边分子均为单项式，为什么不试一试倒过来考虑呢?
解显然x=y=z=0是该方程组的一组解．
若x 、y 、z 均不为0，取倒数相加得x=y=z=
21 故原方程组的解为x=y=z=0和x=y=z=
2
1．二、含字母系数分式方程根的讨论
【例5】解关于x 的方程242241)1(2212122x a x x a x x a --=---++．解析去分母化简为含字母系数的一次方程，须分类讨论．
讨论：（1）当a 2－1≠0时
①当a ≠0时，原方程解为x=2
12
a +； ②当a=0时，此时2
1±=x 是增根． (2) 当a 2－1＝0时即a=1±，此时方程的解为x ≠21±
的任意数；综上，当a ≠±1且a ≠0时，原方程解为x=2
12
a +；当a=0时，原方程无解，；当a=1± 时，原方程的解为x ≠2
1±的任意数．三、列分式方程解应用题
【例6】某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶，两人也走梯)．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级?
(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．求男孩第一次迫上女孩时走了多少级台阶?
解析题中有两个等量关系，男孩走27级的时间等于扶梯走了S －27级的时间；女孩走18级的时间等于扶梯走S —18级的时间．
解 (1)设女孩上梯速度为x 级／分，自动扶梯的速度为y 级／分，扶梯露在外面
的部分有S 级，则男孩上梯的速度为2x 级／分，且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y S x
y S x 181827227
解得 S=54．
所以扶梯露在外面的部分有54级．
(2)设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯rn 遍，走过楼梯n 遍，则女孩走过自动扶梯(m —1)遍、走过楼梯(n —1)遍．
由于两人所走的时间相等，所以有x
n x y m x n x y m )1(54)1(54254254-++-=++．由(1)中可求得y=2x,代人上面方程化简得6n+m=16．
无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，m 、n 中都一定有一个是正整数，且0≤m —n ≤1．
试验知只有m=3，n=6
12符合要求．
所以男孩第一次追上女孩时走的级数为3×27+612×54=198(级)．
注本题求解时设的未知数x 、y ，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．
【例7】 (江苏省初中数学竞赛C 卷)编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中．15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A 移至篮子B 中，这时篮子A 中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加41，篮子B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加4
1．问原来在篮子A 中有多少个弹珠? 解析本题涉及A 中原有弹珠，A 、B 中号码数的平均数，故引入三个未知数．
解设原来篮子A 中有弹珠x 个，则篮子B 中有弹珠(25－x)个．又记原来A 中弹珠号码数的平均数为a ，B 中弹珠号码数的平均数为b ．则由题意得 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=--+-=---=+++=-+412615)25(411153252521)25(b x x b a x ax b x ax ，解得x=9，即原来篮子A 中有9个弹珠．
学力训练
（A 级）
1．解分式方程1
6143132121+=-++++x x x x ． 2．若关于x 的方程1
1
51222--=
+-+-x k x x k x x 有增根x=1，求k 的值． 3．解分式方程52)10)(9(1)2)(1(1101=++++++++x x x x x ． 4．解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+-=-++-1042113312111y x x y x x ． 5．丙、丁三管齐开，15分钟可注满全池；甲、丁两管齐开，20分钟注满全池．如果四管齐开，需要多少时间可以注满全池？
（B 级）
1．关于x 的方程c
d a x x b =--有唯一的解，字母已知数应具备的条件是( ) A ． a ≠b B ．c ≠d C ．c+d ≠0 D ．bc+ad ≠0
2．某队伍长6km ，以每小时5km 的速度行进，通信员骑马从队头到队尾送信，到队尾后退返回队头，共用了0.5 h ，则通信员骑马的速度为每小时 km ．
3．某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的m 倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的n 倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的k 倍，则1
11+++++k k n n m m = ． 4．m 为何值时，关于x 、y 的方程组： ⎩
⎨⎧=-+=++241)1(y x m my x m 的解，满足1511<x ，32≥y ？ 5．(天津市中考题)某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的3
2，厂家需付甲、丙两队共5500元． (1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?
(2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问：由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由．
6．甲、乙二人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买的单价不同)，甲每次购买粮食100kg ，乙每次购买粮食用去100元．设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x 元／kg ，第二次单价为y 元／kg ．
(1)用含x 、y 的代数式表示甲两次购买粮食共需付款元，乙两次共购买 kg 粮食．若甲两次购买粮食的平均单价为每千克Q l 元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q 2元则Q 1= ；Q 2= ．
(2)若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由．
分式方程（组）分式方程（组）。