函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用
π π π 用，由图象一对称轴为x＝ 得：当x＝ 时2x＋φ＝kπ＋ (k∈Z) 8 8 2 进而可求φ值．
第一章
1.5
1.5.2
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[解析]
π kπ π φ (1)由2x＋φ＝kπ＋ ，k∈Z得x＝ ＋ － ， 2 2 4 2
kπ π φ π π 令 2 ＋4－2 ＝8，解得φ＝kπ＋4，k∈Z. 3π ∵－π<φ<0，∴φ＝－ 4 .
第一章
1.5
1.5.2
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3π (2)由(1)知，f(x)＝sin(2x－ 4 )． π 3π π 由2kπ－2≤2x－ 4 ≤2kπ＋2(k∈Z) π 5π 解得kπ＋ ≤x≤kπ＋ (k∈Z) 8 8 故函数的单调递增区间是 π 5π [kπ＋8，kπ＋ 8 ](k∈Z)． 同理可得函数的单调递减区间是 5π 9π [kπ＋ 8 ，kπ＋ 8 ](k∈Z)．
第一章
1.5
1.5.2
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已知函数f(x)＝Asin
π ωx＋ 3
(>0，ω>0)在一个周期内，当x
π 7π ＝ 12 时，取得最大值2；当x＝ 12 时，取得最小值－2，则函数 f(x)＝________.
π 2sin2x＋3
[答案] A
)
11π D．( 12 ，0)
第一章
1.5
1.5.2
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π 4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋ 3 )(ω>0)的最小正周期为π，则 该函数图象( )
π A．关于点3，0对称
π B．关于直线x＝ 对称 4
π C．关于点4，0对称
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第一章
1．5.2 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用
第一章 三角函数
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1．简谐运动 简谐运动 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))中， 2π ω A 叫振幅，T＝ 叫______ 周期 ，f＝ 叫______ 频率 ，_______ ωx＋φ 叫相位， ___ ω 2π
1.5
1.5.2
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命题方向
求三角函数的解析式问题
三角函数式中确定φ的方法： 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定常 用方法有： (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A、ω已 知)或代入图象与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区 间还是在下降区间上)
第一章
1.5
1.5.2
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规律总结：对解法一，如果从图象可确定振幅和周期， 则可直接确定函数式 y＝A sin(ωx＋φ)中的参数 A 和 ω，再选取 “第一零点 ”(即五点作图法中的第一个点)或最值点的数据代 入求得 φ. 对解法二，一定要搞清各点位置，否则易出错．
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[解析]
T 2π 依题意知：A＝ 2 ， ＝4，故T＝ ＝16，ω＝ 4 ω
π π ，∴y＝ 2sin( x＋φ) 8 8 π π π 又由函数最高点(2， 2)得sin( ×2＋φ)＝1，故 ＋φ＝ ＋ 8 4 2 2kπ，k∈Z， π ∴φ＝2kπ＋ ，k∈Z 4 π π 又由|φ|< 得φ＝ ， 2 4
第一章
1.5
1.5.2
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[例2]
(2011～2012· 临沂高一检测)设函数f(x)＝sin(2x＋
π φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝ . 8 (1)求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值； [分析] π 本题关键是对图象的对称轴为x＝ 这一条件的利 8
第一章
1.5
1.5.2
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π 如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(|φ|< 2，x∈R)的图象中的一 段，则函数f(x)的解析式为( )
第一章
1.5
1.5.2
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π π A．f(x)＝2sin2x＋4 π π B．f(x)＝2sin2x－4 π π C．f(x)＝2sin4x＋4 π π D．f(x)＝2sin4x－4
π 2．函数y＝sin(x＋2)，x∈R( π π A．在[－ ， ]上是增函数 2 2 B．在[0，π]上是减函数 C．在[－π，0]上是减函数 D．在[－π，π]上是减函数
[答案] B
)
第一章
1.5
Байду номын сангаас
1.5.2
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π 3．函数y＝sin(3x－4)的图象的一个对称中心是( 7π π A．(－ ，0) B．(－ ，0) 12 12 7π C．(12，0)
第一章
1.5
1.5.2
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(2)五点法： “五点”中的 ωx＋φ 的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； π “第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx＋φ＝2； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π.
第一章
[答案]
第一章
1.5
1.5.2
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[解析]
7π π T＝212－12＝π，A＝2.
2π 又π＝ ω ，∴ω＝2.
π ∴函数f(x)＝2sin2x＋3.
第一章
1.5
1.5.2
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思路方法技巧
第一章
第一章 1.5 1.5.2
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[拓展]①对称性：函数图象与x轴的交点是对称中心，即
kπ－φ 对称中心是 ，0 ，对称轴与函数图象的交点的纵坐标是 ω
π kπ＋2－φ 函数的最值，即对称轴是直线x＝ ，其中k∈Z. ω
第一章
1.5
1.5.2
第一章 1.5 1.5.2
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3π π 5π 当2x－ ＝2kπ＋ (k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)时函数有最 4 2 8 大值1； 3π π π 当2x－ 4 ＝2kπ－ 2 (k∈Z)，即x＝kπ＋ 8 (k∈Z)时函数有最 小值－1.
第一章
1.5
1.5.2
第一章
1.5
1.5.2
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解法二：(五点法) π π 由 图 知 第 一 点 为 ( － ， 0) ， 第 三 点 为 ( ， 0) ， 因 此 6 3 π ω×－6＋φ＝0 ω×π＋φ＝π 3 ω＝2 π 解得 所以 y＝3sin(2x＋ 3)． π φ＝3，
[答案] C
第一章
1.5
1.5.2
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[解析]
T π 由 ＝4得T＝8，∴ω＝ ，排除A、B；当x＝1 2 4
时，y＝2，排除D，∴选C.
第一章
1.5
1.5.2
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命题方向
函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的运用
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质运用 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质较为综合，在历年高考题 中都有所体现和考查．围绕着函数单调性、最值、奇偶性， 图象的对称性等都有所体现和考查． (2)有关函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质运用问题，要特别注 意整体代换思想的运用．
1 [答案] 6 2π 1 1 [解析] 周期 T＝1 ＝6，则频率 f＝T＝6. 3π
第一章
1.5
1.5.2
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[例3]
π 函数y＝2sin(－2x＋3)的相位和初相分别是(
)
π π π π A．－2x＋ ， B．2x－ ，－ 3 3 3 3 2π 2π 2π π C．2x＋ 3 ， 3 D．2x＋ 3 ，3 [错解] 对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
第一章
1.5
1.5.2
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(4)奇偶性：当且仅当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ) π 是奇函数；当且仅当φ＝kπ＋ 2 (k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ) 是偶函数． (5)单调性：单调递增区间是 π π 2kπ－2－φ 2kπ＋2－φ (k∈Z)； ， ω ω π 3π 2kπ＋2－φ 2kπ＋ 2 －φ 单调递减区间是 (k∈Z)． ， ω ω
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②对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两 个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心 和一条对称轴相距周期的四分之一． ③讨论函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质， 要善于采用整体策略， 即把 ωx＋φ 看成一个整体， 将问题化归为正弦函数的性质来解 决．
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(2011～2012· 郑州高一检测)已知曲线y＝Asin(ωx＋ π φ)(A>0，ω>0，|φ|<2)上最高点为(2， 2)，该最高点到相邻的 最低点间曲线与x轴交于一点(6,0)，求函数解析式，并求函数 在x∈[－6,0]上的值域．
第一章
1.5
1.5.2
π D．关于直线x＝3对称
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(一)
你认为应该按怎样的思路进行研究?
答案
能.可以先研究 φ 对函数 y=sin(x+φ)图象的影响,再依次研究 ω,A 对函数
y=Asin(ωx+φ)图象的影响.
问题 2:函数 y=sin x 的图象与 y=sin(x+φ)的图象有什么关系?
π
π
3
3
(2)将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 个单位长度得到函数 y=sin 的图象,再把函数 y=sin y=sin
3
-
π
3
的图象.
π
3
的图象上各点的横坐标扩大到原来的 3 倍,就得到函数
课前预学
方法总结
课堂导学
伸缩变换的解题关键及方法
关键:确定伸缩量.
1
解决方法:已知函数 y=f(x)的图象,作函数 y=f(ωx)(ω>0)的图象, 为伸缩量.
π
6
图象上的一点,则点 G'
1
2
, 与 G″(2x,y)分别
在哪个函数图象上?
答案
G'
1
2
, 是 y=sin 2 +
问题 3:(1)函数 y=sin 2 +
π
6
图象上一点;G″(2x,y)是 y=sin
π
1
2
+
π
6
图象上的一点.
π
,x∈R 的图象,可看作是把 y=sin + ,x∈R 图象上
30
+
π
6
π
函数y=Asin(ωx φ)的性质及应用 课件
115
90
115
解析:描点、连线并左右扩展得到函数的简图如图所示. (4)此人的收缩压为 115+25=140(mmHg),舒张压为 115-25=90(mmHg).与标
准值 120/80 mmHg 相比较,此人血压偏高.
题型四
易错辨析
易错点 求 y=Asin(ωx+φ)的解析式时错求 φ的值
【例 4】 函数 y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中|φ|< ,则( ). 2
函数 y=Asin(ωx+φ)的性质及应用
题型一
图象对称问题
【例 1】
已知函数
f(x)=sin
ωx
3
(ω>0)的最小正周期为π,则该函数图象
( ).
A.关于点
3
,
0
对称
B.关于直线 x= 对称 4
C.关于点
4
,
0
对称
D.关于直线 x= 对称 3
解析:由 T= 2 =π,解得 ω=2,
正解:由图可得 T=π,
∴ω=2.∴y=sin(2x+φ).
又由图可知 y=sin 2x
∴φ = .∴φ= .故选 A.
2 12 6
y=sin(2x+φ)=sin
2
x
φ 2
,
ω
则
f(x)=sin
2x
3
,
故该函数图象关于点
3
,
0
对称.
答案:A
反思:对于函数 f(x)=Asin(ωx+φ),若 f(m)=0,则(m,0)是 f(x)的对称中心;若 f(m)=A
或 f(m)=-A,则直线 x=m 是 f(x)的对称轴.
第六节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
栏目索引
3.用五点法作函数y=sin x
6
在一个周期内的图象时,主要确定的五个
点是
、
、
、
、
.
答案
6 ,
0
; 23
,1; 76
,
0
; 53
,
1
; 136
,
0
解析 分别令x- =0, ,π, 3 π,2π,即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为
3
=2sin
X.
列表:
x
- π6
π 12
π 3
7π
5π
12
6
X
0
π
π
3π
2π
2
2
sin X
0
1
0
-1
0
y=2sin X
0
2
0
-2
0
描点并画出一个周期内的图象:
栏目索引
(3)把y=sin
x的图象上所有的点向左平移 3 个单位,得到y=sin x
3
的
图象,再把y=sin x
移的长度一致. (×)
(2)将y=3sin 2x的图象向左平移 4 个单位后所得图象的解析式是y=3sin
2
x
4
.
(×)
(3)y=sin x
4
的图象是由y=sin x
4
的图象向右平移 个单位得到
2
的. (√)
(4)由图象求解析式时,振幅A的大小是由图象中最高点的纵坐标与最低点
函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 课件
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(其中A>0，ω>0)中各量的物理意义 物理中，描述简谐运动的物理量， 如振幅、周期和频率等都与函数y＝Asin(ωx＋φ)中的常数有关： (1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅(amplitude of vibration)；
(3)由 y＝sin(2x－34π)知，
x
0
π
3π
5π
7π
8
8
8
8
π
2x－34π
－34π
－π2
0
π 2
π
5π 4
y
－
2 2
－1
0
1
0
－
2 2
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象是
相位、初相概念理解错误
典例 4 函数 y＝2sin(－2x＋π3)的相位和初相分别是( )
A．－2x＋π3，π3
[解析] (1)由 2x＋φ＝kπ＋π2，k∈Z 得 x＝k2π＋π4－φ2， 令k2π＋π4－φ2＝π8，解得 φ＝kπ＋π4，k∈Z． ∵－π<φ<0，∴φ＝－34π． (2)由(1)知，f(x)＝sin(2x－34π)． 由 2kπ－π2≤2x－34π≤2kπ＋π2(k∈Z)
解得 kπ＋π8≤x≤kπ＋58π(k∈Z) 故函数的单调递增区间是[kπ＋π8，kπ＋58π](k∈Z)． 同理可得函数的单调递减区间是[kπ＋58π，kπ＋98π](k∈Z)． 当 2x－34π＝2kπ＋π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋58π(k∈Z)时函数有最大值 1； 当 2x－34π＝2kπ－π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋π8(k∈Z)时函数有最小值－1．
高中数学函数y=Asin(ωx+φ)的性质
[一题多变]
1．[变条件，变设问]将本例中对称中心改为对称轴，其他条
件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程． 解：由4x＋23π＝kπ＋π2，得x＝k4π－2π4， 取k＝0时，x＝－2π4满足题意． 2．[变条件]将本例中“sin”改为“cos”，其他条件不变，结果
)
A．3π，13，π6
B．6π，13，π6
C．3π，3，－π6
D．6π，3，π6
答案：B
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝
A．5
B．－5
()
C．4
D．－4
答案：C
4．函数f(x案：x＝kπ＋34π，k∈Z
[法二 待定系数法]
由图象知A＝3.∵图象过点π3，0和56π，0，
∴5π3πω6ω＋＋φφ＝＝π2，π，
ω＝2， 解得φ＝π3.
∴y＝3sin2x＋π3. [法三 图象变换法]
由A＝3，T＝π，点 －π6，0 在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x向左平移π6个单位长度而得，
B．T＝6，φ＝π3
C．T＝6π，φ＝π6
D．T＝6π，φ＝π3
解析：选A T＝2ωπ＝2ππ＝6，
3
∵图象过(0,1)点，∴sin φ＝12.
∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6.
由图象确定函数的解析式
[典例] 如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)
A>0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，求此 函数的解析式．
三角函数图象的对称性
[典例] 在函数y＝2sin4x＋23π的图象的对称中心中，离原
点最近的一个中心的坐标是________． [解析] 设4x＋23π＝kπ(k∈Z)，得x＝k4π－π6(k∈Z) ∴函数y＝2sin 4x＋23π 图象的对称中心坐标为 k4π－π6，0
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用考点与提醒归纳
函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用考点与提醒归纳一、基础知识1．函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念2．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法(1)两种变换的区别①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度．(2)变换的注意点无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x 而言的，即图象变换要看“自变量x ”发生多大变化，而不是看角“ωx ＋φ”的变化．考点一 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[典例] (1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4 B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋3π4 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 (2)(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝________________.[解析] (1)由题图可知A ＝2，T ＝2×⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝4π，故2πω＝4π，解得ω＝12. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.把点⎝⎛⎭⎫－π2，2代入可得2sin ⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫－π2＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝1，所以φ－π4＝2k π＋π2(k ∈Z)， 解得φ＝2k π＋3π4(k ∈Z)．又0<φ<π，所以φ＝3π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4. (2)依题意得22＋⎝⎛⎭⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ，由于该函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，因此sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12，而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6.[答案] (1)B (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6[解题技法]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法有以下2种[题组训练]1.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )A ．－62B ．－32C ．－22D ．－1解析：选D 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.由f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin5π4＝－1. 2.(2018·咸阳三模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8＋π4B ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8＋3π4C ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8－π4D ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8－3π4解析：选D 由图象可得，A ＝23，T ＝2×[6－(－2)]＝16， 所以ω＝2πT ＝2π16＝π8.所以f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ. 由函数的对称性得f (2)＝－23， 即f (2)＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝－23， 即sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1， 所以π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π－3π4(k ∈Z)．因为|φ|<π，所以k ＝0，φ＝－3π4.故函数的解析式为f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8－3π4.考点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与变换[典例] (2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2[解析] 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2. [答案] D[解题技法] 三角函数图象变换中的3个注意点(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； (2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y ＝A sin x 到y ＝A sin(x ＋φ)的变换 量是|φ|个单位，而函数y ＝A sin ωx 到y ＝A sin(ωx ＋φ)时，变换量是⎪⎪⎪⎪φω个单位．[题组训练]1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π12C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π12 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π24解析：选B 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋5π12的图象，因此变换后所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π12.2．(2019·潍坊统一考试)函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的值为( )A.π12 B.π6C.π4D.π3解析：选B 由题意知y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ－π6的图象，因为g (x )为偶函数，所以2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π2，k ∈Z ，又因为φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6.考点三 三角函数模型及其应用[典例] 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元，则7月份的出厂价格为________元．[解析] 作出函数f (x )的简图如图所示，三角函数模型为：f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点， 则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．∴f (7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元． [答案] 6 000[解题技法]三角函数模型在实际应用中的2种类型及解题策略(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[题组训练]1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：选C 设水深的最大值为M ，由题意并结合函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧3＋k ＝M ，k －3＝2，解得M＝8.2．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋A ＝28，a －A ＝18，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，令x ＝10，得y ＝20.5.答案：20.5[课时跟踪检测]A 级1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C ，故选A.2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( )A ．－3 B.33C ．1D.3解析：选D 由题意可知该函数的周期为π2，∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x . ∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝ 3. 3．(2018·天津高考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减解析：选A 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，5π4，一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤5π4，7π4.由此可判断选项A 正确．4.(2019·贵阳检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3B.π3C ．－π6D.π6解析：选B 由题意，得T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，所以T ＝π，由T ＝2πω，得ω＝2，由图可知A ＝1，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．又因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，－π2<φ<π2，所以φ＝π3. 5.(2019·武汉调研)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论： ①f (x )的最小正周期为2；②f (x )图象的一条对称轴为直线x ＝－12；③f (x )在⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 上是减函数； ④f (x )的最大值为A . 则正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2，故①正确；因为函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫14，0和⎝⎛⎭⎫54，0，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝12⎝⎛⎭⎫14＋54＋kT 2＝34＋k (k ∈Z)，故直线x ＝－12不是函数f (x )图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当14－T4＋kT ≤x ≤14＋T 4＋kT (k ∈Z)，即2k －14≤x ≤2k ＋34(k ∈Z)时，f (x )是减函数，故③正确；若A >0，则最大值是A ，若A <0，则最大值是－A ，故④不正确．综上知正确结论的个数为2.6．(2018·山西大同质量检测)将函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度后与函数f (x )的图象重合，则ω＝( )A ．9B ．6C ．4D ．8解析：选B 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y ＝tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋π3，∵平移后的图象与函数f (x )的图象重合，∴－ωπ6＋π3＝π3＋k π，k ∈Z ，解得ω＝－6k ，k ∈Z.又∵0<ω<10，∴ω＝6. 7．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2 的图象经过点(0,1)，则该函数的振幅为____________，最小正周期T 为__________，频率为___________，初相φ为___________．解析：振幅A ＝2，最小正周期T ＝2ππ3＝6，频率f ＝16.因为图象过点(0,1)，所以2sin φ＝1，所以sin φ＝12，又因为|φ|＜π2，所以φ＝π6.答案：2 6 16 π68.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f (x )＝________.解析：由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－ωx (ω>0)向左平移半个周期得g (x )的图象，若g (x )在[0，π]上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1，则ω的取值范围是________．解析：由题意，得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤π3－ω⎝⎛⎭⎫x ＋πω ＝sin ⎣⎡⎦⎤－π－⎝⎛⎭⎫ωx －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3， 由x ∈[0，π]，得ωx －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，ωπ－π3. 因为g (x )在[0，π]上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1， 所以π2≤ωπ－π3≤4π3，解得56≤ω≤53.故ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤56，53. 答案：⎣⎡⎦⎤56，5310．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：选用一个三角函数模型来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________．解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)， 由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ＋6. 因为当x ＝1时，y ＝6，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝0， 故π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2， 所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2＋6＝－cos π2x ＋6. 答案：y ＝－cos π2x ＋611．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． 解：(1)因为T ＝2πω＝π，所以ω＝2，又因为f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32且－π2<φ<0，所以φ＝－π3. (2)由(1)知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 列表：12．(2019·湖北八校联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤5π12，11π12.将y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值． 解：(1)∵T 2＝11π12－5π12＝π2，∴T ＝π，ω＝2πT ＝2，又∵sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝1，|φ|<π2， ∴φ＝－π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上所有点的横坐标变为原来的12 (纵坐标不变)得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. ∴g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，∴4x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，当4x ＋π6＝π2时，x ＝π12，∴g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上为增函数，在⎣⎡⎦⎤π12，π4上为减函数， 所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫π12＝1，又因为g (0)＝12，g ⎝⎛⎭⎫π4＝－12，所以g (x )min ＝－12， 故函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值分别为1和－12. B 级1．(2019·惠州调研)函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫A >0，|θ|≤π2的部分图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是减函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是增函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是减函数 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是增函数解析：选B 由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝3，∴2sin θ＝3，sin θ＝32，又∵|θ|≤π2，∴θ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增．所以选项B 正确．2．(2019·福州四校联考)函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y＝g (x )的图象，并且函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则实数ω的值为( )A.74 B.32C ．2D.54解析：选C 因为将函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，所以g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π12，又因为函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以g ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ωπ4＝1且2πω≥π3，所以{ ω＝8k ＋2(k ∈Z )，0<ω≤6，所以ω＝2.3.(2018·南昌模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式，并写出其图象的对称中心； (2)若方程f (x )＋2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＝a 有实数解，求a 的取值范围． 解：(1)由图可得A ＝2，T 2＝2π3－π6＝π2，所以T ＝π，所以ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝2，可得2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2， 因为|φ|<π2，所以φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令2x ＋π6＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2－π12(k ∈Z)，所以函数f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z)． (2)设g (x )＝f (x )＋2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3， 则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 令t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，t ∈[－1,1]， 记h (t )＝－4t 2＋2t ＋2＝－4⎝⎛⎭⎫t －142＋94， 因为t ∈[－1,1]， 所以h (t )∈⎣⎡⎦⎤－4，94， 即g (x )∈⎣⎡⎦⎤－4，94，故a ∈⎣⎡⎦⎤－4，94.故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－4，94.。
函数y=Asin(ωx+φ)的性质-三角函数
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填一填
函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
定义域
R
值域
1 __[_－___A__，___A__]_____
周期
T＝2ωπ
第3 页
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奇偶性 φ＝ 2 kπ，k∈Z 时，y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数；φ＝ 3 kπ＋π2，k∈Z
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类型 二 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用(自主探究) 1．若函数 y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是 R 上的偶函数，则 φ＝( C )
A．0
π B.4
π C.2
D．π
解析 因为函数 y＝sin(ωx＋φ)在 φ＝kπ±2π(k∈Z)时为偶函数，且 0≤φ≤π，所以
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类型 三 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 【例】 函数 h(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．若把函 数 h(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 f(x)的图 象． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若函数 y＝f(x＋φ′)0<φ′<2π是奇函数，求函数 g(x)＝cos(2x－φ′)在[0,2π]上的单调递减区间．
函数y=Asin(ωx+φ)的性质及其应用
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规范解答 随堂演练
变式训练 1 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则 f
7π 12
=
.
解析:函数的周期为 T=2
间的距离为π3,
3
5π 4
−
π 4
=23π,则图中相邻两个零点之
又π
4
+
π 3
=
71π2,所以
f
7π 12
=0.
答案:0
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所以 φ=π,故选 C.
(3)依题意有2���π��� =4π,
所以 ω=12,即 y=13sin
1 2
������
+
π 6
,
而当 x=-43π时,函数取得最小值-13,故 x=-43π是其图象的一条对称
轴.选 A.
答案:(1)D (2)C (3)A
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规范解答 随堂演练
三角函数图象变换的应用
(3)因为1π2≤x≤π2,所以π3≤2x+π6 ≤ 76π,
即-1≤2sin
2������
+
π 6
≤2,
因此-1≤y≤2,故函数 f(x)的值域为[-1,2].
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规范解答 随堂演练
例 且函数
f5(x已)的知图函象数的f(两x)相=2邻sin对���称���������轴+间������的- π6距+离1(0为<π2φ.<π,ω>0)为偶函数,
因为|φ|<π2,所以 φ=π3,故 y=3sin
《函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质》知识拓展
《函数y =A sin(ωx +ϕ)的图象与性质》知识拓展知识要点1.ϕ对sin(),y x x ϕ=+∈R 图象的影响函数sin()y x ϕ=+的图象,可以看作是将函数sin y x =的图象上所有的点向左(ϕ>0)或向右(0)ϕ<平移||ϕ个单位长度而得到的,简记为“左加右减”. 2.(0)ωω>对sin(),y x x ωϕ=+∈R 图象的影响(0)ωω>影响函数sin()y x ωϕ=+的周期,且函数的最小正周期2T πω=.3.(0)A A >对sin(),y A x x ωϕ=+∈R 图象的影响(0)A A >影响函数sin()y A x ωϕ=+的值域,且函数值域为[,]A A -. 4.函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>中各量的物理意义A 表示这个振动物体离开平衡位置的最大距离,称为振幅; 这个简谐运动的周期是2T πω=,而12f T ωπ==表示单位时间内往复振动的次数,称为频率; x ωϕ+称为相位;0x =时的相位ϕ称为初相.问题探究问题1由sin 2y x =的图象如何平移得到sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象?是向左平移3π个单位长度吗? 提示 不是.∵sin 2sin 2,sin 2363y x x y x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+∴=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象是由sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度得到的.此种情况需将x 的系数化为“1”.不论哪一种变换,都是对自变量x 而言的,即看“变量”起多大变化,而不是“角”变化多少.问题2用图象变换法画函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象时,由y =sin x 的图象通过变换可得到函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象,先平移后伸缩和先伸缩后平移有什么区别?提示 先平移后伸缩:sin y x =的图象0)||(0)ϕϕϕ><−−−−−−−→向左(平移个单位长度或向右sin()y x ϕ=+的图象1ω−−−−−−−→横坐标变为原来的倍纵坐标不变sin()y x ωϕ=+的图象A −−−−−−−→纵坐标变为原来的倍横坐标不变sin()y A x ωϕ=+的图象. 先伸缩后平移:sin y x =的图象1ω−−−−−−−→横坐标变为原来的倍纵坐标不变sin y x ω=|(|0)0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左(平移个单长度或向右位sin()y x ωϕ=+的图象A −−−−−−−→纵坐标变为原来的倍横坐标不变sin()y A x ωϕ=+的图象. 注意先平移后伸缩与先伸缩后平移的区别,在作图象时,提倡先相位变换再周期变换.问题3五点法作图时需注意哪些问题?提示 (1)“五点法”作图时,五点的确定,应先令x ωϕ+分别为30,,,,222ππππ,解出x ,从而确定这五点.(2)用“五点法”作图的顺序是:列表→描点→连线→按周期“重复”.。
专题61 高中数学函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用(解析版)
专题61 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质及应用知识点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)中，A ，ω，φ的物理意义(1)简谐运动的振幅就是A . (2)简谐运动的周期T ＝2πω.(3)简谐运动的频率f ＝1T ＝ω2π.(4)ωx ＋φ称为相位．(5) x ＝0时的相位φ称为初相．知识点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质题型一 已知函数图象求解析式1．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，求此函数的解析式．[解析]解法一：逐一定参法：由图象知A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝3sin(2x ＋φ)． ∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上，且是上升趋势的零点，∴－π6×2＋φ＝2k π，得φ＝π3＋2k π(k ∈Z)． ∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解法二：待定系数法由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，且由图象的上升及下降趋势，可得⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解法三：图象变换法由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin2x 向左平移π6个单位长度而得， 所以y ＝3sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 2．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3 B.π3 C ．－π6D.π6[解析]由图象知T ＝2πω＝2⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝π，所以ω＝2，2×π6＋φ＝2k π(k ∈Z)，又因为－π2<φ<π2， 所以φ＝－π3.故选A.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，且图象如图所示，求其解析式．[解析]法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，又由点⎝⎛⎭⎫－π6，0， 根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－π6×2＋φ＝0得φ＝π3，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法二：(方程法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，又图象过点⎝⎛⎭⎫－π6，0， 所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0， 所以sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0，－π3＋φ＝k π(k ∈Z)，又因为|φ|＜π2，所以k ＝0，φ＝π3，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法三：(变换法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，且f (x )＝A sin(ωx ＋φ)是由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位而得到的，解析式为f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 4．如图所示为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<|φ|<π2的图象的一部分，则函数的一个解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫1011x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫1011x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 [解析]由图象知A ＝2，T 2＝2π3－π6＝π2，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2，∵图象过⎝⎛⎭⎫π6，2，∴2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，∴π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又∵0<|φ|<π2，∴φ＝π6.∴函数解析式y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 5．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 [解析]由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2. 又x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．[答案] D6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫7π12等于( )A.12B ．0C ．2D ．－2 [解析]解法一：由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3，∴ω＝2πT＝3.∴y ＝2sin(3x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫π4，0代入上式得，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝0，又⎝⎛⎭⎫34π，0是图象上升的趋势的点， ∴3π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，则φ＝2k π－3π4.∴f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π4＋2k π－3π4＝0. 解法二：由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3.又由正弦图象性质可知，若f (x 0)＝0，则f ⎝⎛⎭⎫x 0＋T 2＝0.∴f ⎝⎛⎭⎫7π12＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝0.[答案] B 7．已知函数f (x )＝|A cos(x ＋φ)＋1|⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．A ＝2，φ＝π6B ．A ＝3，φ＝π6C ．A ＝2，φ＝π3D ．A ＝3，φ＝π3[解析]由题图知：A ＝3－（－1）2＝2，又f (0)＝|2cos φ＋1|＝2，所以cos φ＝12或cos φ＝－32(舍)，因为|φ|<π2，即－π2<φ<π2，由图象知φ>0，所以φ＝π3，故选C.8．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝________.[解析]由图象可得最小正周期为2π3.所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，注意到2π3与π2关于7π12对称，故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π2＝23. 9．已知函数f (x )＝2cos(ωx －φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分图象如图所示．若A ⎝⎛⎭⎫π2，2，B ⎝⎛⎭⎫3π2，2，则f (0)＝________．[解析]由函数图象可知函数f (x )的周期T ＝3π2－π2＝π，ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cos(π－φ)＝－2cos φ＝2， 则cos φ＝－22.因为φ∈[0，π]，所以φ＝3π4，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，则f (0)＝－ 2. 10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A ．A ＝4B ．ω＝1C ．φ＝π6D ．B ＝4[解析]由图象可知，A ＝2，14T ＝5π12－π6＝π4，T ＝π，ω＝2.因为2×π6＋φ＝π2，所以φ＝π6，故选C.11．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4＋4B ．y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋4C ．y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4＋2D ．y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋2 [解析]由函数f (x )的最大值和最小值得A ＋B ＝6，－A ＋B ＝2，所以A ＝2，B ＝4，函数f (x )的周期为⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫－π2×4＝4π，又ω＞0，所以ω＝12，又因为点⎝⎛⎭⎫π2，6在函数f (x )的图象上 所以6＝2cos ⎝⎛⎭⎫12×π2＋φ＋4，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1， 所以π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，所以φ＝2k π－π4，k ∈Z ，又|φ|＜π2所以φ＝－π4，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4＋4. 12．某函数部分图象如图所示，它的函数的解析式可能是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－56x ＋3π5B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x －2π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x ＋3π5D ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫56x ＋3π5 [解析]T 4＝3π4－π3＝5π12，于是2πω＝5π3，即ω＝65，排除A 、D.不妨令该函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，由题图知A ＝1，于是65·π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z)，所以φ＝2k π＋3π5(k ∈Z)，所以φ可以是3π5，故选C.13．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的解析式为______________．[解析]由题图得A ＝2，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，即T ＝π.由ω>0，T ＝2πω＝π得ω＝2. 又当x ＝π3时，ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，即2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝2k π－π6(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝－π6.因此f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6(x ∈R)．14．下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变[解析] 由图象可知A ＝1，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2πT＝2.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z.∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2k π＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 故将函数y ＝sin x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得原函数的图象．[答案] A15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数解析式为f (x )＝______________.[解析]由函数图象上相邻最高点和最低点距离为22，得 ⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝2 2.解得T ＝4，∴ω＝2πT ＝π2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ. 又∵函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，∴f (2)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12. 又∵－π2≤φ≤π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. 16．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ <π2的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差π4，且图象经过点⎝⎛⎭⎫0，52，求这个函数的解析式．[解析]由题意知A ＝5，T 2＝π4，所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4，所以y ＝5sin(4x ＋φ)．又因为图象经过点⎝⎛⎭⎫0，52，所以52＝5sin φ， 即sin φ＝12，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z)或φ＝5π6＋2k π(k ∈Z)，又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以这个函数的解析式为y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. 17．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π4，且图象上有一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫7π12，－3. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间．[解析] (1)由函数f (x )的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π4，可知函数f (x )的周期为π，所以ω＝2ππ＝2.又函数f (x )图象上有一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫7π12，－3，|φ|<π2，所以A ＝3，2×7π12＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ， 得φ＝π3，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 可得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，则可得单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π12，⎣⎡⎦⎤7π12，π. 18．已知定义在(－∞，＋∞)上的函数f (x )，对任意x ∈R ，恒有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－f (x )成立． (1)求证：函数f (x )是周期函数，并求出它的最小正周期； (2)若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0＜φ＜π2 在一个周期内的图象如图所示，求出f (x )的解析式，并写出它的对称轴方程． [解析] (1)因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π2＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－[－f (x )]＝f (x )， 所以f (x )是周期函数，它的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )的最小正周期为π，ω>0，所以2πω＝π，所以ω＝2.由题中图象知A ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又2×π3＋φ＝π，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)， 所以它的对称轴方程为x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．19．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，求f (x )的解析式． [解析]由最低点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，得A ＝2. 在x 轴上两相邻交点之间的距离为π2，故T 2＝π2，即T ＝π，ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z)．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 20．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)如何由函数y ＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程． [解析] (1)由图象知A ＝1.f (x )的最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2， 将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )的解析式得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1， 又|φ|＜π2，∴φ＝π6.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)变换过程如下：y ＝sin x 图象上的――――――――――――――――→所有点的横坐标缩小为原来1/2倍纵坐标不变y ＝sin 2x 的图象，再把y ＝sin 2x 的图象,向左平移π12个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象． 21．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围． [解析] (1)由函数图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12，所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 22．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，A >0，|φ|<π2的图象如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的值域．[解析] (1)由图象可知A ＝1，T 4＝2π4ω＝7π12－π3＝π4，所以ω＝2.又由图象知2·π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π6时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1. 23．如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一个周期内的图象． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在x ∈[－1，2]的值域．[解析] (1)由题图，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8，所以ω＝2πT ＝2π8＝π4， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ.将点(－1，0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ.因为|φ|＜π2，所以φ＝π4， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)因为－1≤x ≤2，所以0≤π4x ＋π4≤34π，所以0≤sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4≤1，所以0≤2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4≤2. 所以函数f (x )的值域为[0，2]．24．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？ [解析] (1)A ＝3，2πω＝43⎝⎛⎭⎫4π－π4＝5π，ω＝25. 由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋φ过⎝⎛⎭⎫π4，0，得sin ⎝⎛⎭⎫π10＋φ＝0. 又∵|φ|<π2，故φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x －π10. (2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎡⎦⎤25(x ＋m )－π10＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数(m ＞0)， 知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2，k ∈Z ∵m ＞0，∴m min ＝3π2. 故把f (x )的图象向左至少平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．25．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π2，2，由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫3π2，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数解析式； (2)写出函数的单调区间．[解析] (1)依题意，得A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫3π2－π2＝4π，∵T ＝2π|ω|＝4π，ω＞0，∴ω＝12.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.∵曲线上的最高点为⎝⎛⎭⎫π2，2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫12×π2＋φ＝1.∴φ＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4. (2)令2k π－π2≤12x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z.∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－3π2，4k π＋π2(k ∈Z)． 令2k π＋π2≤12x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，∴4k π＋π2≤x ≤4k π＋5π2，k ∈Z.∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π2，4k π＋5π2(k ∈Z)．26．如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一个周期内的图象． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )的图象与f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求函数g (x )的解析式及g (x )的最小正周期．[解析] (1)由图，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8，∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ.∵|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)作出与f (x )的图象关于直线x ＝2对称的图象(图略)，可以看出g (x )的图象相当于将f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(x －2)＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4， ∴g (x )的最小正周期为2ππ4＝8.27．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6＋1(ω＞0,0＜φ＜π) 为偶函数，且函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递减区间． [解析] (1)∵f (x )为偶函数，∴φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋2π3(k ∈Z )．又0＜φ＜π，∴φ＝2π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＋1＝2cos ωx ＋1. 又函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，∴T ＝2πω＝2×π2，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos 2x ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π8＋1＝2＋1. (2)将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图象，所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x 4－π6＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3＋1. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减．∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )． 28．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一系列对应值如下表：x －π6 π3 5π6 4π3 11π6 7π3 17π6 y－1131－113(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的最小正周期为2π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1，令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋1.(答案不唯一) (2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝⎛⎭⎫kx －π3＋1的最小正周期为2π3，且k ＞0，∴k ＝3.令t ＝3x －π3，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3， ∴t ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，如图所示，当sin t ＝s 在⎣⎡⎦⎤－π3，2π3上有两个不同的实数解时，s ∈⎣⎡⎭⎫32，1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时，由方程f (kx )＝m 恰有两个不同的实数解得m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．题型二 三角函数图象与性质的综合应用1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的对称中心是___________，对称轴方程是__________________． [解析] 函数的对称中心：12x ＋π6＝k π，k ∈Z ，∴x ＝2k π－π3，k ∈Z ，即⎝⎛⎭⎫2k π－π3，0(k ∈Z)， 对称轴方程：12x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝2k π＋2π3，k ∈Z.2．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6[解析]∵x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6.3．将函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )的图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫π12，0B.⎝⎛⎭⎫π3，0C.⎝⎛⎭⎫5π12，0D.⎝⎛⎭⎫2π3，0 [解析]由题意g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，令2x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ， 解得x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝2π3，故函数y ＝g (x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫2π3，0. 4．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数g (x )图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫5π12，0B.⎝⎛⎭⎫π4，0C.⎝⎛⎭⎫π6，0D.⎝⎛⎭⎫π12，0 [解析]将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 可以得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫12x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，再向右平移π6个单位可以得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －5π12的图象，因此，g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －5π12，由g ⎝⎛⎭⎫5π12＝sin 0＝0，选项A 正确． 5．在函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________． [解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π4－π6(k ∈Z)，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π4－π6，0(k ∈Z)．取k ＝1得⎝⎛⎭⎫π12，0满足条件． 6．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增”的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 [解析] 由①知T ＝π＝2πω，ω＝2，排除A.由②③知x ＝π3时，f (x )取最大值，验证知只有C 符合要求．7．在函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x ＝π6时，有最大值2，当x ＝2π3时，有最小值－2，则ω＝________.[解析]依题意知T 2＝2π3－π6＝π2，所以T ＝π，又T ＝2πω＝π，得ω＝2.8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，以下命题中为假命题的是( ) A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称B ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点C ．函数f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上是增函数 [解析]令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，当k ＝0时，x ＝π12，即函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，选项A 正确；令2x ＋π3＝k π(k ∈Z)，当k ＝0时，x ＝－π6，即x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，选项B 正确；2x ＋π3＝2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，故函数f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到，选项C 错误；若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12， 则2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上是增函数，选项D 正确．故选C. 9．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号) ①图象C 关于直线x ＝π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称； ③函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数；④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . [解析] f ⎝⎛⎭⎫π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－32.f ⎝⎛⎭⎫23π＝3sin ⎝⎛⎭⎫43π－π3＝0，故①错，②正确． 令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π，k ∈Z ，故③正确．函数y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图象，故④错． 10．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则φ的值为________．[解析]由题意知2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，所以φ＝－56π.11．函数f (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向右平移π6个单位后得到的函数是奇函数，则函数f (x )的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫－π3，0对称 B ．关于直线x ＝－π6对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D ．关于直线x ＝π12对称 [解析]将函数f (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向右平移π6个单位后，可得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π6，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令x ＝－π3，求得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－32，故排除A ； 令x ＝－π6，求得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－π2＝0，故排除B ；令x ＝π12，求得f (x )＝cos 0＝1，为函数的最大值，排除C ，选D.12．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)，若f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝( )A.23B.143C.263D.383[解析]因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，所以直线x ＝π6＋π32＝π4是函数f (x )图象的一条对称轴， 又因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以当x ＝π4时，f (x )取得最小值． 所以π4ω＋π3＝2k π－π2，k ∈Z ，解得ω＝8k －103，(k ∈Z)又因为T ＝2πω≥π3－π6＝π6，所以ω≤12，又因为ω＞0，所以k ＝1，即ω＝8－103＝143.13．已知函数f (x )＝32sin x cos x ＋12cos 2x ＋1. (1)求f (x )的振幅、最小正周期及单调增区间； (2)求f (x )的图象的对称轴方程和对称中心； (3)求f (x )的最小值及取得最小值时的x 的取值集合．[解析] (1)f (x )＝34sin2x ＋cos2x ＋14＋1＝34sin2x ＋14cos2x ＋54＝12⎝⎛⎭⎫32sin2x ＋12cos2x ＋54＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54. 所以函数f (x )的振幅为12，最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)． (2)令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)．令2x ＋π6＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2－π12(k ∈Z)，所以对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，54(k ∈Z)． (3)当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－1，即2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z)， 所以x ＝－π3＋k π(k ∈Z)时，f (x )的最小值为34，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝－π3＋k π，k ∈Z .14．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值． [解析]由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图象关于y 轴对称， ∴f (x )在x ＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫3π4ω＋π2＝0，即3π4ω＋π2＝k π，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z. 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π.∴ω≤2，又ω＞0， ∴k ＝1时，ω＝23；k ＝2时，ω＝2.故φ＝π2，ω＝2或23.15．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，3π]时，方程f (x )＝m 有唯一实数根，求m 的取值范围．[解析] (1)将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象． (2)因为x ∈[0，3π]，所以12x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π3， sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6∈[－1，1]，因为当x ∈[0，3π]时，方程f (x )＝m 有唯一实数根， 所以函数f (x )的图象和直线y ＝m 只有一个交点，如图所示： 故方程f (x )＝m 有唯一实数根m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，12∪{1，－1}．16．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝712π时，f (x )取得最小值－3. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 有两个零点，求实数m 的取值范围． [解析] (1)由题意，易知A ＝3，T ＝2⎝⎛⎭⎫712π－π12＝π，∴ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 得φ＝π3＋2k π，k ∈Z.又∵－π<φ<π，∴φ＝π3，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z. (3)由题意知，方程sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝m －16在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π6上有两个实根． ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈⎣⎡⎭⎫32，1，∴m －16∈⎣⎡⎭⎫32，1，∴m ∈[1＋33，7)． 17．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23sin ωx cos ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin α的值． [解析] (1)f (x )＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)， 解得ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝12，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为[2k π－2π3，2k π＋π3](k ∈Z)．(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6，即g (x )＝2cos x2， 由g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝65，得cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故π6＜α＋π6＜2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310. 18．设m 为实常数，已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β.(1)求m 的取值范围；(2)求α＋β的值．[解析]作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在区间(0,2π)上的图象如图所示．(1)若方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在区间(0,2π)内有两相异实根α，β，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象与y ＝m 有两个相异的交点．观察图象知，当－2＜m ＜2且m ≠1时有两个相异的交点，即方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在区间(0,2π)内有两个相异实根，故实数m 的取值范围为(－2，1)∪(1，2)．(2)当m ∈(－2，1)时，由图象易知两交点关于直线x ＝5π4对称，∴α＋β2＝5π4，α＋β＝5π2.当m ∈(1，2)时，由图象易知两交点关于直线x ＝π4对称，∴α＋β2＝π4，α＋β＝π2，故α＋β的值为5π2或π2.。