高一数学组合应用问题
高一排列组合知识点
高一排列组合知识点排列组合是高中数学中的重要内容之一，它是组合数学的基础概念，也是解决许多实际问题的数学工具。
在高一阶段，排列组合的学习主要集中在基本的知识点上。
本文将为大家介绍高一阶段排列组合的基础知识点及其应用。
一、排列与组合的概念排列和组合是组合数学中的两个基本概念。
排列是指从一组元素中有序地选出若干个元素进行排列，排列中的元素不能重复使用；而组合则是从一组元素中无序地选出若干个元素进行组合，组合中的元素可以重复使用。
排列和组合的计算方法也有所不同，下面分别介绍。
二、排列的计算方法排列的计算方法有两种情况：有放回和无放回的排列。
1. 有放回的排列有放回的排列是指从一组元素中有序地选出若干个元素进行排列，并且选过的元素可以重新放回原来的组合中。
假设有n个元素，要选出k个元素进行排列，则有放回的排列数为n^k。
2. 无放回的排列无放回的排列是指从一组元素中有序地选出若干个元素进行排列，并且选过的元素不能重新放回原来的组合中。
假设有n个元素，要选出k个元素进行排列，则无放回的排列数为n!/(n-k)!，其中“!”表示阶乘。
三、组合的计算方法组合的计算方法也有两种情况：有放回和无放回的组合。
1. 有放回的组合有放回的组合是指从一组元素中无序地选出若干个元素进行组合，并且选过的元素可以重新放回原来的组合中。
假设有n个元素，要选出k个元素进行组合，则有放回的组合数为C(n+k-1, k)，其中C表示组合数。
2. 无放回的组合无放回的组合是指从一组元素中无序地选出若干个元素进行组合，并且选过的元素不能重新放回原来的组合中。
假设有n个元素，要选出k个元素进行组合，则无放回的组合数为C(n, k)。
四、排列组合的应用排列组合不仅是一种数学工具，也是许多实际问题的解决方法。
在高一数学中，排列组合的应用主要包括以下几个方面：1. 判断有关事件发生顺序的概率问题。
排列可以用于计算事件发生的不同顺序，从而求解事件发生的概率。
高一数学组合应用题
组合应用题
一．简单组合问题
二．带附加条件的组合问题
1．某些元素有特殊归类问题
例1．平面上有五个兰点和七个红点，其中有三个红点与两个兰点在同一条直线上，
除此以外，再无三点共线，问过两个不
同颜色的点，共可作多少条直线？
2．组合中的有重复问题：
例2．由数1、2、3、4可组成多少个不同的和？
3．“不相邻”的组合问题：
例3．现有十只灯，为节约用电，可以将其中的三只灯关掉，但不能关掉相邻的两只
或三只，也不能关掉两端的灯，关灯方
法有多少种？
4．其他问题
例4．有12个代表名额，分给７个学校，每校至少１个，有多少分法？
作业：
1．有划船运动员10人，其中３人会划右舷，２人会划左舷，其余５人都会划，现要从中选出６人，平均分配在船的两舷，有多少种选法？
2．以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？
3．某仪表显示屏上一排７个小孔，每个小孔可显示红与黄两种颜色信号，若每次有三
个小孔同时给出信号，但相邻的两孔不能同时给出信号，求此显示屏可显示多少种不同的信号？
4．在一块并排10垄的田地中，选择２垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于６垄，不同的选垄方法有多少种？（99高考）
5．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形有多少个？（96高考）
6．四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取３个点，使它们和点A在同一平面上，不同取法有多少种？（97高考）。
高一数学应用题解析与讲解
高一数学应用题解析与讲解数学是一门重要的学科，不仅涉及到理论与公式的运用，还与我们日常生活的应用息息相关。
在高一数学学习中，我们将接触到许多数学应用题，这些题目旨在帮助我们将数学知识应用于实际场景中，培养我们的解决问题的能力。
本文将对高一数学应用题进行解析与讲解，帮助大家更好地理解与掌握数学应用题的解题方法。
1. 几何应用题几何应用题是高一数学学习中的重点之一，涉及到平面几何和立体几何等内容。
下面我们以一个平面几何的应用题为例进行解析。
例题1：某校操场的形状是一个半径为50米的圆形，现需要在操场四周修建一条宽3米的跑道，求跑道的面积。
解析：首先，我们需要明确题目的要求，即求跑道的面积。
根据题目中的描述，我们可以得知，跑道的形状是一个内半径为50米、外半径为53米的圆环。
因此，我们可以通过计算两个圆的面积之差来求得跑道的面积。
内圆的面积为πr^2，外圆的面积为πR^2，其中r为内半径，R为外半径。
跑道的面积即为外圆的面积减去内圆的面积。
所以，跑道的面积为πR^2 - πr^2 = π(R^2 - r^2) = π(53^2 - 50^2) = 9π ≈ 28.27平方米。
在这个例题中，我们运用了几何知识中圆环的面积公式，并通过计算求得了跑道的面积。
这个例题不仅考察了对几何知识的掌握，还培养了我们解决实际问题的能力。
2. 概率与统计应用题概率与统计是数学的一个重要分支，与我们日常生活中的数据、概率密切相关。
下面我们以一个概率与统计的应用题为例进行解析。
例题2：某班级有30个学生，其中20个学生会游泳。
现从班级中随机抽取2个学生，求这2个学生都会游泳的概率。
解析：首先，根据题目中给出的信息，班级总共有30个学生，其中20个学生会游泳。
我们需要计算的是从班级中随机抽取2个学生，这两个学生都会游泳的概率。
根据概率的定义，概率等于“有利结果的个数除以总结果的个数”。
在这个题目中，有利结果就是两个学生都会游泳，总结果就是从班级中随机抽取2个学生。
高中数学组合优秀教案
高中数学组合优秀教案
主题：组合数
主要内容：组合数的概念及性质，组合数的运算法则，组合数在实际问题中的应用
一、学习目标
1. 理解组合数的概念和性质。
2. 掌握组合数的运算法则。
3. 能够灵活运用组合数解决实际问题。
二、教学重点
1. 组合数的定义和性质。
2. 组合数的运算法则。
3. 实际问题中组合数的应用。
三、教学难点
1. 灵活运用组合数解决实际问题。
2. 深入理解组合数的概念和性质。
四、教学过程
1. 导入：通过一个有趣的问题引出组合数的概念，让学生产生兴趣。
2. 授课：讲解组合数的定义和性质，介绍组合数的运算法则。
3. 拓展：通过练习让学生掌握组合数的运算技巧。
4. 应用：通过实际问题让学生灵活运用组合数解决问题。
5. 总结：回顾本节课的内容，强调组合数在数学中的重要性。
五、教学反馈
1. 布置作业：留作业巩固学习成果。
2. 点评作业：对学生的学习情况进行评价，及时纠正错误。
3. 反馈教学：根据学生的反馈对教学方法进行调整，提高教学效果。
六、教学资源
1. 教材：《高中数学》
2. 辅助教材：《高中数学组合数专题讲义》
3. 多媒体教学设备：电脑、投影仪
七、教学评估
1. 学生态度：学生是否主动参与课堂活动。
2. 学生表现：学生是否能够熟练运用组合数解决问题。
3. 教学效果：学生是否能够掌握组合数的相关知识和技能。
排列组合综合应用问题
10. 15 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。
(1)分为三组，每组5人,共有__C_15_5C __15_0C__55_/_A_33__ 种不同的分法。
（2）分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各4人，共有
_____C __17_5C __84_C__44_A_33__/_A_22 种不同的分法。
（3）分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组5人，一组4人，
共有 ____C__16_5C__95_C__44_A_3_3____种不同的分法。
11. 8名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两人都不 站中间两位的排法有__C __6 4A _4 4 _ __C _2 1 C _7 _3A _2 1 _A _3 3 _ _C _6 2 _A _2 2 _A _2 2 _种。
4.某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不 影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能 熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有 （ A）
C C （A）C
3 8
种（B）A
3 8
种
（C）
3 种 （D） 3 种
9
11
5. 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行 测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测 试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？
2.平均分配问题中，给出组名的分步求；若没给出组名的， 一定要在给出组名的基础上除以组数的全排列数。
3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是 平均分配。这样分配问题就解决了。
结论：给出组名(非平均中未指明
各组个数）的要在未给出组名的种 数的基础上，乘以组数的阶乘。
二、搭 配 问 题 例2：某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行
排列组合问题的八种求法(免费)
126
种
（ 1）分成三堆，一堆 2 本，一堆 3 本，一堆 1 本； （ 2）平均分成三堆； （ 3）平均分给三个同学； （ 4）分给三个同学，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本； （ 5）分给甲 1 本，乙 2 本，丙 3 本。 解： （ 1）不是平均分堆，故有：
C C C
1排列组合问题的八种求法云南昭通鲁甸一中李明健云南昭通站张中华推荐排列组合是高中数学的重点难点内容之一同时也是解决概率问题的重要工具下面举例说明排列组合问题的八种求法
排列组合问题的八种求法
云南昭通鲁甸一中 李明健 云南昭通站 张中华推荐 排列组合是高中数学的重点、难点内容之一，同时也是解决概 率问题的重要 “工具 ”，下面举例说明排列组合问题的八种求法： 一、特殊位置或特殊元素：优先法 例 1：由 0、 1、 2、 3、 4、 5 六个数字可组成多少个没有重复数 字且不能被 10 整除的六位数？ 解法一：先安排首末两个特殊位置，从 1、2、3、4、5 中任取 两个排在首位和末位，然后把 0 和剩余的三个数字排在中间四个位 置上，符合条件的六位数共有 A A 个。
种分法
（ 5）不属平均分堆，故有：
C C C
6 5 1 2 3 3
60
种不同的分法
求解完毕，仅以以上几例抛砖引玉，解题时注意积累经验，总 结规律，掌握技巧，定会柳暗花明。
- 4-
2 4 4 5
解法二：先把特殊元素 0 排在中间四个位置的任何一个，然后 把 0 以外的五个数字排在其他五个位置， 可得符合条件的总数共有：
A A 个。
1 5 5 4
二、对称（或机会均等）问题用：除法 例 2、 A、 B、 C、 D、 E 五人排成一排，如果 B 必须站在 A 的 右边，则不同的站法有多少种？ 解：B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边的排列情况是对称的（或 B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边机会相等） ，故有：
高一数学排列组合中分堆问题
（3）甲两本，乙、丙各五本；
（4）一人两本，另两人各五本·
(1)
C
3 12
C
4 9
C
5 5
A
3 3
(2)
C
3 12
C
4 9
C
5 5
(3)
C
2 12
C
5 10
C
5 5
(4)
A
1 3
C
12 2 C
5 10
CБайду номын сангаас
5 5
小结
平均分组问题
理论部分：平均分成的组，不管它们 的顺序如何，都是一种情况，所以 分组后要除以P(m,m)，即m!，其中m 表示组数。
(1)
C
2 6
C
2 4
C22
90
二：分堆安排工作的问题(续)
例2（2）12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、 D、E五个人有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
（2）均分的五组看成是五个元素在五个位置上作 排列
(2)
C
13 2 C
3 9
C62
C 42 C22
A
3 3
A
2 2
A
5 5
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
C132
C
3 9
C36
C33
A
4 4
练习2
2：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分
成四堆有多少种不同 (1)
的分法？
（2）按2∶2∶2∶4分
给甲、乙、丙、丁四 (2)
个人有多少种不同的 分法？
C120
专题研究排列组合的综合应用习题和答案详解
1．(2019·湖北宜昌一中月考)从1到10十个数中，任意选取4个数，其中，第二大的数是7的情况共有( )A ．18种B ．30种C ．45种D ．84种答案 C解析 分两步：先从8，9，10这三个数中选取一个数作最大的数有C 31种方法；再从1，2，3，4，5，6这六个数中选取两个比7小的数有C 62种方法，故共有C 31C 62＝45种情况，应选择C.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 答案 B解析 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C 53C 22×2＝20(种)，故选B.3．(2019·广东省实验中学月考)甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员2名，1名，1名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲、乙、丙三个部门，那么不同的招聘方法共有( ) A ．1 260种 B ．2 025种 C ．2 520种 D ．5 040种 答案 C解析 先从10人中选2人去甲部门，再从剩下的8人中选2人去乙、丙两个部门，有C 102A 82＝2 520种不同的招聘方法．4．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．16种 C ．18种 D ．36种 答案 C解析 可先分组再排列，所以有12C 42A 33＝18(种)放法．5．(2019·西安五校)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( ) A ．80种 B ．90种 C ．120种 D ．150种 答案 D解析有二类情况：(1)其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有C53A33＝60(种)；(2)其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有C51×C422×A33＝90(种)．∴共有150种．故选D.6．(2019·山西大同一模)从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为()A．C102A84B．C91A95C．C81A95D．C81A85答案 C解析先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C81种方法，再排剩余的瓶子，有A95种方法，故不同的放法共有C81A95种，故选C项．7．(2019·安徽毛坦厂中学阶段测试)6名志愿者(其中4名男生，2名女生)义务参加宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有()A．40种B．48种C．60种D．68种答案 B解析4，2分法：A22(C64－1)＝14×2＝28，3，3分法：C63C33＝20，∴共有48种．8．某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为()A．C62C52C82B．C62＋C52＋C82C．A62A52A82D．C192答案 B解析依题意，高一比赛有C62场，高二比赛有C52场，高三比赛有C82场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数为C62＋C52＋C82，选B.9．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A．18 B．24C．30 D．36答案 C解析排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C42＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A33＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A33＝6种，所以共有C42A33－A33＝30种分法．故选C.10．某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( ) A ．144 B ．72 C ．36 D ．48答案 C解析 分两步完成：第一步将4名调研员按2，1，1分成三组，其分法有C 42C 21C 11A 22种；第二步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A 33种．所以满足条件的分配方案有C 42C 21C 11A 22×A 33＝36(种)．11．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是( ) A ．24 B ．36 C ．40 D ．44答案 D解析 分以下四种情况讨论：(1)两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学选乙题作答，一个答对一个答错，此时共有C 42×2×2＝24(种)；(2)四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有C 21C 42＝12(种)情况；(3)一人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有C 41＝4(种)情况；(4)一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对，此时有C 41＝4(种)情况．综上所述，共有24＋12＋4＋4＝44(种)不同的情况．故选D.12．(2019·河南郑州检测)从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有( ) A ．51个 B ．54个 C ．12个 D ．45个 答案 A解析 分三类：第一类，没有2，3，由其他3个数字组成三位数，有A 33＝6(个)； 第二类，只有2或3，需从1，4，5中选2个数字，可组成2C 32A 33＝36(个)；第三类，2，3均有，再从1，4，5中选1个，因为2需排在3的前面，所以可组成12C 31A 33＝9(个)．故这样的三位数共有51个，故选A.13．(2019·安徽马鞍山模拟)某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为( )A ．5 400B ．3 000C ．150D ．1 500答案 D解析 分两步：第一步：从5个培训项目中选取3个，共C 53种情况；第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共C 53种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共C 52C 32A 22种情况．故选择情况数为C 53(C 53＋C 52C 32A 22)A 33＝1 500(种)． 14.(2019·河北唐山一中模拟)中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有( ) A ．C 419 B ．C 389 C ．C 409 D ．C 399答案 D解析 首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下40台；将剩下的40台像排队一样排列好，则这40台校车之间有39个空．对这39个空进行插空(隔板)，比如说用9个隔板隔开，就可以隔成10部分了．所以是在39个空里选9个空插入隔板，所以是C 399.15．(2019·人大附中期末)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)． 答案 60解析 分情况：一种情况将有奖的奖券按2张，1张分给4个人中的2个人，种数为C 32C 11A 42＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 43＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60种．16．某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A 不分配到甲班的分配方案种数是________． 答案 100解析 A 的分配方案有2种，若A 分配到的班级不再分配其他学生，则把其余四人分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是(C 43＋C 42C 22A 22)A 22＝14；若A 分配到的班级再分配一名学生，则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是C 41C 31A 22＝24；若A 分配到的班级再分配两名学生，则剩余的两名学生就分配到另外的两个班级，分配方法种数是C 42A 22＝12.故总数为2×(14＋24＋12)＝100.17．(2019·北京海淀区二模)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有________种不同的抽调方法．答案84解析方法一：(分类法)，在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C71种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A72种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C73种．故共有C71＋A72＋C73＝84(种)抽调方法．方法二：(隔板法)，由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有C96＝84(种)抽调方法．。
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