电路 邱关源第五版课件 22第14章

0

BUCT
在线性电路分析中，用存在拉氏变换的电源激励系统，没有拉氏变 换的激励是没有意义的。
如：t 或 e ( t ) 拉氏变换不存在。
t t
2
2） 积分下限为 0- 的问题 该变换忽略了 t<0 时的 f（t），而0-以前的状态可以通过初 始条件来考虑.
f（t） k（t）
积分从0- 开始可以计及t=0 时 f(t) 包含的冲激， 给计算存在冲激函数电压和电流的电路带来 方便。
s j
]
s
2
2
6
二 、导数性质
L[

F ( s)
df ( t ) dt



f ( t )e

st
dt
0
BUCT
] sF ( s ) f (0 )
df ( t ) st st e dt e df ( t ) 0 0 dt st st e f ( t ) 0 f ( t )( s )e dt 0
f ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t ) f n ( t )
(3)分解法（部分分式展开法）
am 象函数的 F ( s) A A (n m ) n n 1 一般形式： F2 ( s ) b0 s b1 s bn F1 ( s )
设k1 k k2 k
p1, 2 j
例 : F ( s)
k1 s
s s 2s 5
2
s 1 j 2
p1、 1 j 2 2
1 j2 1 j2 1 j2

s ( 1 j 2)

j 0.25( 1 j 2) 0.5 j 0.25 0.559 26.6
例：L[t ] L[ ( t )dt ]
0 t
1 s

1 s
L[( t )]
1 s
9
四.平移（延迟）性质
设：L[ f (t )] F ( s )
st0
BUCT
则
L[ f ( t t 0 )] e
F ( s)
e
st 0
延迟因子
f(t)
f(t-t0)
t t0
m
a0 s a1 s
m 1
F2 (s) = 0的根：单根、重根、共轭复根
12
F ( s) A
F1 ( s ) F2 ( s )
A
a0 s a1 s
m
m 1 n 1
... am ... bn
b0 s b1 s
n
(n m )
BUCT
1. F2 ( s ) 0的根为不等实根 p1 ... pn
s
2 2
2
cos t ( t )
s s
2
e
-t
(t )
e
-t
sin t ( t )

1 s
( s )
2
2
e
-t
t (t )
n
n! ( s )
n1
L[ f ( t t 0 )( t t 0 )] e
st0
F ( s)
11
2 '


L[
d f (t ) dt
n
n
] s F ( s ) s
n
n 1
f (0 ) f

n 1
(0 )

8
三.积分性质
t
设：L[ f (t )] F ( s )
1 s F ( s)
BUCT
L[ f ( )d]
0
该式表明，时域中的积分运算转化为复频域中的除法运算。
2 2
s
2
7
L[
df ( t ) dt
] sF ( s ) f (0 )

BUCT
例2：L[ ( t )] L[
d dt
( t )] s
1 s
01
推广：L[
d f (t ) dt
2
2
] s[ sF ( s ) f (0 )] f (0 )
'


s F ( s ) sf (0 ) f (0 )
F ( s ) L{ f ( t )}


BUCT
, f(t)=0 。
f ( t )e
st
0
dt
即将时域函数f(t)积分变换到复频域F(s)。
F(s) 称为时域函数f(t)的象函数，用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 f(t) 称为F(s)的原函数，用小写字母表示，如 i(t ), u(t )。
利用部分分式将F(s)分解为：
( s p1 )F ( s )
( s p1 ) ( s p1 ) k1 k2
( s p1 )

s p1

s p2
p2 t
...
kn
pn t
s pn
f ( t ) k1e
p1t
k2e
...kn e
k1 ( s p1 )F ( s )
k2 s s ( 1 j 2 )
s 1 j 2
0.559 26.6


f ( t ) 2 0.559e
t
cos(2t 26.6 )

1.118e
t
cos(2t 26.6 )
17
3.F2 ( s )有相等的实根（重根 ）
F ( s)
F ( s)
0
t
4
拉氏变换分为两种：
函数变换和算子变换（比例、加减、微分、积分、平移等）。
3.典型函数的拉氏变换 (1)指数函数
L[e
at
BUCT
F ( s)
e
st



f ( t )e
0

st
dt
1
0
]
0


e
at
dt
1 sa
e
( s a ) t

sa
(2)单位阶跃函数
3
k 21
d ds
[( s 1) F ( s )] s 1
2
d ds
[
s4 s
] s 1 4
f ( t ) 4 4e
t
3te
t
19
小结： 由F(s)求f(t) 的步骤：
e
j ( t )
]
cos t j sin t cos t j sin t
2 k e cos(t )
e e
jt jt
16
F (s)
k1 s j
t

k2 s j
BUCT
f ( t ) 2 k e cos(t )
k1n 2
d ds
1 2!
1
[( s p1 ) F ( s )] s p1
n

d
2
ds
[( s p1 ) F ( s )] s p1 2
n
...
k11
( n 1)!

d
n 1 n 1
ds
[( s p1 ) F ( s )] s p1
n
18
k22 [( s p2 ) F ( s )] s P2
14. 3
拉普拉斯反变换的部分分式展开
BUCT
由象函数求原函数的方法：
(1)公式法s (2)查表法
F ( s) f (t )
f (t )
1 2j

j
j
F ( s )e ds
st
F ( s ) F1 ( s ) F2 ( s ) Fn ( s )
BUCT
一对共轭复根为
F ( s) F1 ( s ) F2 ( s )
p1, 2 j
F1 ( s ) [ s ( j)][ s ( j)]

k1 s j

k2 s j
k1,k2也是一对共轭复根
设k1 k k 2 k
A B AB
乘法运算简化 为加法运算
lg A lg B lg AB
例2: 相量法
正弦量
i1 i2 i I1 I2 I
正弦运算简化 为复数运算
相量
2
1. 拉氏变换
f(t)为定义在 [0，）区间的函数，t < 0 定义f(t)的拉氏变换式为： L{ f ( t )} 式中： s 为复频率 s j
15
F (s)
k1 s j

k2 s j
L[e
at
BUCT
设k1 k
k2 k
]
1 sa
f (t ) ( k e e
j ( j) t
ke
j ( j) t
e
)
k e [e
t
t
j ( t )
例1： [ K( t )] jt L
e K cos t j sin t e s cos t j sin t
L[( t )]
L[( t )] 1
例2： [sin t ] L[ L
1 [ 1
1 2j