行初等变换法求过渡矩阵
讨论Jordan标准形及其过渡矩阵的求法
讨论Jordan 标准形及其过渡矩阵的求法摘要：本文较系统的总结了Jordan 标准形及其过渡矩阵的通用的求法。
关键字：Jordan 标准形，特征向量，过渡矩阵一、求解Jordan 标准形1、通过λ-矩阵求Jordan 标准形定义1：P 是一个数域，λ是一个文字，作多项式环[]P λ。
一个矩阵，若它的元素是λ的多项式，称其为λ-矩阵，用(),(),A B λλ 表示。
定义2：设λ-矩阵()A λ的秩为r ，对于正整数,1k k r ≤≤，()A λ中必有非零的k 级子式，()A λ中全部k 级子式的首相系数为1的最大公因式()k D λ称为()A λ的k 级行列式因子。
定义3：λ-矩阵的初等变换：(,)P i j 、(())P i c 、(,())P i j ϕ。
若()A λ经过有限次初等变换变为()B λ，称()A λ与()B λ等价。
在初等变换过程中，行列式因子是不变的，也就是说等价的λ-矩阵具有相同的行列式因子。
对任意一个非零的s n ⨯的λ-矩阵()A λ进行有限次适当的初等变换总能将其化为以下形式的λ-矩阵12()()()00r d d d λλλ⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭其中1,()(1,2,)i r d i r λ≥= 是首项系数为1的多项式，且1()()(1,2,1)i i d d i r λλ+=- 。
称其为()A λ的标准形。
依据以上论述可以求得：121()()()()(),()(1,2,)()i k k i i D D d d d d i r D λλλλλλλ-=== ，因此可以断定λ-矩阵的标准形是唯一的。
我们称标准形的主对角线上非零元素()i d λ为()A λ的不变因子；将不变因子分解成为互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的按出现的次数计算）称为()A λ的初等因子。
下面给出一个定理。
定理2：,A B 为数域P 上n 级矩阵，(),()A B λλ分别为,A B 的特征矩阵。
矩阵初等变换及其应用毕业论文
矩阵初等变换及其应用毕业论文矩阵初等变换及其应用毕业论文摘 要：初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。
本文列举了矩阵初等变换的几种应用，包括求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵、判断线性方程组解的状况、求解线性方程组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形。
并用具体例子说明矩阵初等变换在以上几种应用中是如何运用的。
关键词：矩阵 初等变换 初等矩阵在代数的学习过程中，我发现矩阵的初等变换有许多应用，几乎贯穿着始终。
本文将对矩阵的初等变换进行介绍并以具体例子说明矩阵初等变换的七种应用。
虽然这些计算格式有不少类似之处，但是也指出由于这些计算格式有不同的原理，所以它们的应用也有一些明显的区别。
定义1：矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵施行的下列变换： （1）交换矩阵的两行（列）(交换第i ，j 两行（列），记作()ij ij r c ）；（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素（用数k 乘以第i 行（列），记作()(())i i r k c k ；（3）用某一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素再加到另一行（列）的对应元素上(第i 行（列）k 倍加到第j 行（列），记作()(())ij ij r k c k 。
初等行、列变换统称为初等变换。
定义2：对单位矩阵I 仅施以一次初等变换后得到的矩阵称为相应的初等矩阵，分别记为第1、2、3类行（列）初等矩阵为()ij ij R C ，()(())i i R k C k ，()(())ij ij R k C k ，有ij R =ij C =10111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ()i R k =()i C k =1k1⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()ij R k =()ij C k =11j 11i k⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行行 初等变换与初等矩阵之间有下列基本性质。
线性代数初等行变换的技巧，高手进
线性代数初等行变换的技巧，高手进线性代数初等行变换的技巧，高手进初等行变换一般用来化梯矩阵和行简化梯矩阵方法一般是从左到右, 一列一列处理先把一个比较简单(或小)的非零数交换到左上角(其实到最后交换也行),用这个数把第1列其余的数消成零.处理完第一列后, 第一行与第一列就不要管它了, 再用同样方法处理第二列(不含第一行的数)有你认为不好处理的题目拿来问吧我帮你解析.满意请采纳^_^线性代数初等行变换技巧！跪求！高手！没有什么技巧的，按照三条规则，从上往下化成阶梯型。
线性代数初等变换的方法初等变换是线性代数中最基本的方法，它体现了线性代数的本质——加法与数乘。
在解决线性问题如求矩阵逆、解线性方程组、计算行列式等都具有步骤简单、运算量小、易于掌握等优点。
然而，正如西安交通大学的邓建中教授在《工科线性代数流行教材的失误及修改意见》一文中指出的那样，近年涌现的一些线性代数教材却大都忽略了这一点，而将行列式法当作讲授重点，过于留恋行列式的计算技巧，给学生的学习增添了麻烦，对初等变换却轻描淡写。
其次，有的教材冷落线性方程组的向量形式，增添麻烦。
例如线性方程组可写成矩阵形式AX=b或0，也可写成向量形式或0。
其中是A的列向量。
当我们要判断向量组是否线性相关时，由定义写出，根据方程组的向量形式，既判断此方程组是否有非零解，故只需对其系数矩阵作初等变换，化为阶梯形就一目了然。
“行初等变换不改变列向量间的线性关系”是一个很有用的结论，很多教材却没有提及，有些也是针对特殊情况略加表述。
另外，有的教材将行与列相提并论，令人迷惑。
众所周知，行、列变换都不改变矩阵的秩，但对于解线性方程组却只有行变换不改变解。
判断向量组的线性相关性、解方程组这类问题中应当只用行变换，少用列交换，绝对不可用列变换。
因此，在参阅一些有关线性代数内容的专著后，本文拟以初等变换为主线，并将其贯穿全文，加强矩阵与向量形式的应用，针对线性代数中的各类问题，主要介绍初等变换法，着重讨论初等变换在不同场合的不同应用，尝试打破传统的编写秩序，形成以初等变换为主线的线性代数层次结构。
矩阵分析考试重点
1
i
1 i
30
因此，只有当 J i 为一阶矩阵时上面的矩阵等 2 式才成立且 i i ，所以有
i 1, i 0
这说明 J 为一个对角矩阵且主对角线上的元 素只能为1 或0，适当地调换主对角线上的元 素次序可以得到方阵
1 1 0 0
1 a 1
a 1
( 1)n 1
21
容易计算出 Dn1 ( ) 1 从而
D1 ( ) D2 ( ) Dn 1 ( ) 1
n
d1 ( ) 1, d 2 ( ) 1,, d n 1 ( ) 1, d n ( ) ( a )
（2） 半正定H-矩阵与正定H-阵之和是 正定的;
证明：设 A , B 都是半正定H-阵，那么 二者之和 A B 仍然是一个H-阵，其对应 的Hermite二次型为
f ( X ) X ( A B) X ,
H T
其中
X ( x1 , x2 , , xn )
42
由于 A , B 都是半正定H-矩阵，所以对于 任意一组不全为零的复数
定理：设 V1 span{a1,a2 ,, as } V2 span{1,2 , ,k } 则： V1＋V2 span{a1,a2 ,, as , 1, 2 ,, k }
6
习题1-7
7
l1
l2
l2
8
3、能给出线性映射（线性变换）在给定基下的矩 阵表示; 会求线性映射的值域空间及核空间的基与维数
27
2-6 设 A 为数域 F 上的 n 阶方阵且满足 2 A A ，证明： A 与对角矩阵
过渡矩阵的求法
过渡矩阵的求法
过渡矩阵是线性代数中的一个重要概念，它是指在两个相似的矩阵之间进行变换时所使用的矩阵。
在矩阵相似的前提下，通过过渡矩阵的变换，我们可以将一个矩阵变换成另一个矩阵。
过渡矩阵的求法主要有两种方法：特征向量法和初等变换法。
特征向量法是利用矩阵的特征值和对应的特征向量，求解其过渡矩阵的方法。
首先需要求出矩阵的特征值和特征向量，然后构造出过渡矩阵。
具体的求法可以参照相关的线性代数教材。
初等变换法是将矩阵进行初等变换，以获得其最简形式，然后再构造出过渡矩阵。
初等变换包括三种操作：交换两行、某一行乘以一个非零数、将一行加上另一行的若干倍。
通过这些操作，可以将目标矩阵转化为其简化形式，进而求得其过渡矩阵。
总的来说，求解过渡矩阵的方法需要根据具体的问题而定，需要选择适合的方法进行求解，以达到更高的计算效率和准确性。
《高等代数》课程中矩阵初等变换方法的应用
一、矩阵初等变换的概念矩阵初等变换是指通过一系列特定操作，使得矩阵的行或列发生变化。
这些操作包括交换两行（列）、某一行（列）乘以一个非零常数，以及某一行（列）加上另一行（列）的若干倍。
二、矩阵初等变换的作用1. 解线性方程组线性方程组可以用矩阵表示，而矩阵初等变换可以通过变换矩阵的行（列）来方便地求解线性方程组，尤其是将矩阵化为阶梯形或最简形式可以大大简化求解的过程。
2. 求矩阵的逆通过对原矩阵进行一系列的初等变换，可以将矩阵变换为单位矩阵，从而求得原矩阵的逆矩阵。
3. 理论研究和实际应用矩阵初等变换在高等代数中具有重要的理论意义，同时也被广泛应用于实际工程中，如计算机图形学、人工智能等领域。
三、矩阵初等变换的具体方法和步骤1. 行初等变换a. 将第i行乘以非零常数k：将矩阵第i行的每个元素都乘以kb. 将第i行加上第j行的k倍：将矩阵第i行的每个元素都加上矩阵第j行对应元素的k倍c. 交换第i行和第j行：将矩阵第i行和第j行进行互换2. 列初等变换a. 将第i列乘以非零常数k：将矩阵第i列的每个元素都乘以kb. 将第i列加上第j列的k倍：将矩阵第i列的每个元素都加上矩阵第j列对应元素的k倍c. 交换第i列和第j列：将矩阵第i列和第j列进行互换四、矩阵初等变换的应用举例1. 解线性方程组考虑如下线性方程组：2x + 3y – z = 14x + 7y + 2z = 23x + 5y + 2z = 2可以将以上方程组表示成矩阵形式，然后通过矩阵初等变换将该矩阵化为阶梯形或最简形式，进而求解方程组的解。
2. 求矩阵的逆假设有一个3阶方阵A，通过一系列的矩阵初等变换，将矩阵A变换为单位矩阵I，则I对应的矩阵就是A的逆矩阵。
3. 实际应用在实际工程中，矩阵初等变换常常被用于求解复杂的线性方程组、矩阵求逆、解析几何等问题中，例如在计算机图形学中的三维变换、机器学习中的回归分析等领域。
五、矩阵初等变换的局限性和注意事项1. 矩阵初等变换并不改变矩阵的秩矩阵初等变换可以将矩阵变换为它的行阶梯形或行最简形，但是这些变换不改变矩阵的秩。
矩阵初等行变换
矩阵初等行变换
矩阵初等行变换是线性代数中最基本也是最重要的概念之一。
它是指将矩阵通
过对各行或各列执行某些操作而实现变换，以求得更为方便后续操作的新矩阵。
以确保有效应用初等行变换，计算机科学中处理矩阵的算法被设计而成。
主要的初等行变换类型有:交换行、乘以一个非零常数和拉格朗日变换。
首先，交换行是指将两行（或两列）互换位置，乘以一个非零常数九指将某一行（或列）的每一项都乘以该常数，最后，拉格朗日变换是指使用一行或一列加上另外一行或另外一列的乘积。
矩阵初等行变换的应用是广泛的，在解方程组，求矩阵的秩和求矩阵的行列式
值等方面都有重要作用，最基本的是矩阵的分解，如LU分解，QR分解以及Cholesky分解等。
这些分解技术的实现全都依赖于初等行变换。
需要专业技术知识才能有效利用初等行变换，也有许多高级技术，水平必须足
以应付初等行变换中涉及的高度数学复杂性。
任何高级科学计算，如优化问题求解，最终都会落实到初等变换中。
总之，矩阵初等行变换是非常重要的数学知识，掌握它可以大大提高学习科学
计算的效率和质量。
此外，它也是许多高级应用，如优化问题的求解，的前提和基础。
初等行变换和初等列变换
初等行变换和初等列变换是矩阵变换的两种基本类型，它们主要用于简化矩阵或求解线性方程组。
初等行变换包括以下三种操作：
1. 行交换：即交换矩阵的两行。
2. 行倍乘：即用一个非零常数k乘以矩阵的某一行。
3. 行加法：即用一个常数k乘以矩阵的某一行，然后加到另一行上。
初等列变换与初等行变换类似，包括以下三种操作：
1. 列交换：即交换矩阵的两列。
2. 列倍乘：即用一个非零常数k乘以矩阵的某一列。
3. 列加法：即用一个常数k乘以矩阵的某一列，然后加到另一列上。
需要注意的是，初等行变换和初等列变换不改变矩阵的秩和解空间，因此它们可以用于求解线性方程组或简化矩阵。
此外，初等行变换和初等列变换可以相互结合使用，以实现更复杂的矩阵变换。
约当标准型的过渡矩阵
有关“约当标准型”的过渡矩阵
有关“约当标准型”的过渡矩阵如下：
约当标准型（Jordan Standard Form）是一种矩阵的标准型，它与特征值和特征向量有关。
过渡矩阵是用来将一个矩阵转化为标准型的矩阵。
对于一个给定的矩阵A，可以通过一系列的初等行变换和初等列变换将其转化为约当标准型。
在约当标准型中，矩阵被分为了若干个约当块，每个约当块都与某个特征值λ有关。
过渡矩阵P是将矩阵A转化为约当标准型的矩阵，其定义如下：P−1AP=J其中，P是可逆矩阵，J是约当标准型。
需要注意的是，过渡矩阵P并不是唯一的，因为对于不同的排列组合方式，可以有不同的过渡矩阵。
对于具体的矩阵而言，可以通过使用数值计算软件或者数学软件包来求得其约当标准型和过渡矩阵。
初等行变换的三种形式
初等行变换的三种形式
初等行变换是矩阵运算中的重要概念，可以通过对矩阵的行进行一些特定的操作来得到一个新矩阵。
初等行变换可以分为三种形式： 1. 交换两行：将矩阵中两行交换位置，可以用“行交换矩阵”来表示。
2. 用一个非零常数乘以一行：将矩阵中某一行的所有元素乘以一个非零常数，可以用“行缩放矩阵”来表示。
3. 用一个非零常数乘以一行，然后加到另一行上：将矩阵中某一行的所有元素乘以一个非零常数，然后加到另一行上，可以用“行加矩阵”来表示。
这三种初等行变换可以组合使用，通过这些变换可以将一个矩阵转化为行阶梯形矩阵或者最简形矩阵，从而方便进行矩阵运算和求解线性方程组。
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ａ
命题 ２ 设 的两组基分 别为 ａ，２… ， 与 １ ２… ， ， 一系列行 初等变换将矩 阵（７ １ａ ， ａ ，， 用 ａ， ；… ，： 化成单位矩 阵 ， 么同样 的用 这一系列行初等变换去作用矩 阵（ ， ， ， ） ， ａ。 ） 那 … 就得 到基
（ １ａ ， ， ＝ （ ， ， ， Ａ 。 ， ２… ａ ） １ ２ … ￡ ） （） １
（ ， ， ， ）＝ （ ， ， ， Ｂ １ ２ … １ ２ … ￡ ）
（） ２
又 因过 渡 矩 阵 为 可 逆 矩 阵 ， 而 由 （ ） 知 因 １可
（ ， ， ， ） ： （ ， ２ … ， ） １ ２ … ￡ ０１ ０ ， ａ Ａ一
解 由命 题 ２ 构 造 如下 的 ３×６矩 阵 ， 后 进 行 一 系列 行 初 等 变 换 ， 然
ｒ１ １ １ ； ３ ２ ０ ｒ１ ｑ １ １ ；
０ ：
即构 造 １×２ ３ ｎ矩 阵 ．
（ｉ。 ． 。 ｛ ， ） 堑 。 ，ｊ…， ； ’ …， — 塑 ，
（ Ｐ） Ｅ；
证 明 由命 题 １ 明过程 知基 ＊到 基 基 的过渡 矩 阵分别 为 Ａ ＝ （ ｉａ ， ， 、 ： 证 ａ ，； … ａ’ Ｂ ）
（ ， ， ， ） 由初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 的关 系 ， 行 初 等 变 换 将 Ａ 化 为单 位 矩 阵 Ｅ， 存 在 一 系列 … ， 用 则
（ ； ） 堕 （ ； ） Ａ ｊ Ｅ Ｐ
例 １ 在 Ｒ 。中求 基 ＝ （ ， ， ） ａ １ ０ １ ， ２＝ （ ， ，一１ ， ３＝ （ ，一１ １ 到基 ＝ （ ， ， ） ＆ ＝ １１ ）ａ １ ，） ３０ １ ， （ ， ．）Ｐ ２ ０ ０ ， ３＝ （ ， ，一２ ０２ ）的过 渡矩 阵 ．
中 图 分 类 号 ： ２ １６ 文 献 标 识 码 ： 文 章 编 号 ：（ ８—７ ７ （０ ２ ０ Ｏ４ ． Ａ １０ １ ９４ ２０ ）５—０ １ ０ ８—０ ３
０ 引 言
过 渡 矩 阵是 线 性 空 间理 论 中 非 常 重 要 的概 念 之 一 ， 线 性 空 间 的 一 组 基 到 另 一 组 基 的过 渡 求 矩 阵 ， 直 接 的 方 法 便 是 按 过 渡 矩 阵 的定 义 先 列 出一 组 等 式 ， 而 需 求 解 ｎ个 非 齐 次 线 性 方 程 组 ， 最 进
收 稿 日期 ：０ １— ３— １ ２０ ０ ５ 作 者 简 介 ： 淑 娜 （９ ６一） 女 ， 化 师 范 学 院 数 学 系讲 师 张 １６ ， 通
・
１ ・ ８
维普资讯
。 到綦 的过 渡矩 阵 Ｐ．其 中 ｉ＝ １２ … ） （ ’ ，，
张 淑 娜
（ 化 师 范 学 院 数 学 系 ， 林 通 化 １４ Ｙ ） 通 吉 ３Ｏ ２
摘
要： 用行初 等 变换法 求线性 空 间
的一组 基到 另一组 基 的过 渡 矩 阵 ， 而说 明 此 法 同样适 用 于求 解 某些 简 进
单的矩 阵方程 ．
关 键词 ： 行初 等 变换 ； 初等 矩阵 ； ； 渡矩 阵 ； 基 过 可逆 矩 阵
然 后写 出过 渡矩阵 ， 间运算量很 大 ， 其 为了简化计算 ， 本文介绍用行初 等变换的方法求 的一组 基
到 另一 组 的过 渡 矩 阵 ， 同时 介 绍 通 过此 法求 解 某 些 简 单 的矩 阵方 程 ．
１ 行 初 等 变 换 法 求 过 渡 矩 阵
取 的一 组 基 １＝ （ ， ， ， ） ２： （ ， ， ， ） … … ， ＝ （ ， ， … ， ） １０ … ０ ， ０ １… ０ ， ￡ ００ … １ （ ＊）
命 题 １ 设
的两 组 基 分 别 为 ａ ， ２ … ， （）与 １ ， ， １ａ ， ａ Ｉ ， … ２
（Ｉ ， Ｂ 分 别 为 基 ＊ 到 Ｉ） Ａ、
第 １Ｉ基 的 过 渡 矩 阵 ， 、Ｉ 则第 １ 基 到 第 １组 基 的过 渡 矩 阵 为 Ａ— ． 组 Ｉ
证 明 因 为 基 ＊到 基 Ｉ基 Ｉ 的过 渡 矩 阵 分 别 为 Ａ、 则 由过 渡 矩 阵 的定 义有 、 Ｉ Ｂ，
维普资讯
第２ ３卷第 ５期
２０ ０ ２年 ｌ ０月
通 化 师 范 学 院 学 报
Ｊ ＲＮＡＩ ＯＵ ＯＦ Ｔ ＯＮＧＨＵＡ Ｔ ＡＣＨＥ ’Ｃ ，ＧＥ Ｅ ＲＳ Ｏｌ Ｅ Ｊ
Ｖｏ ． ３ № ５ １２
０ｃ ． ２ ０ ｔ ０２
行 初 等 变 换 法 求 过 渡 矩 阵
初 等 矩 阵 ＰｌＰ ， Ｐ ， ２ … ｍ，使 得 即 构 造 ｎ×２ ｎ的矩 阵 … Ｐ２ Ａ ： Ｅ，所 以 Ａ－ ＝ Ｐ … Ｐ Ｐｌ Ｐｌ ｍ ２ ，因 而 有 Ａ—Ｂ ＝
Ｐ … Ｐ２ 即 为 基 ａ ｍ Ｐｌ Ｂ． 到基 的过 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 矩 阵 Ｐ．其 中 ＝ １２ … ， ） ． （ ，， ｎ
将 上式 代 人 （ ） ， ２ 式 即得
（ ， ， ， ） ＝ （ １ａ ， ， Ａ Ｂ． １ … 。 ， ２… ａ ）
所 以 ， １ 基 到 第 １组 基 的过 渡 矩 阵 为 一曰． 第 组 Ｉ 由命 题 １已经 将 求 Ｐ 的 过 渡 矩 阵 的 问题 简 化 为求 矩 阵 的 逆 矩 阵 及 矩 阵 的乘 积 的 问题 ， 不 必 而 求 解 Ｉ个 非 齐 次 线 性 方 程 组 。 在 我 们 可 以进 一 步简 化 求 过 渡 矩 阵 的 方 法 ， ／ ， 现 只需 用 行 初 等 变 换 法 求