三角形角平分线、中线、高线证明题

DE 的异侧,BD⊥AE 于 D,CE⊥AE 于 E,求证:BD=DE+CE.(8 分)
A
C D
B
C
E
A
B
15.已知如图,在△ABC 中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,求证:△ABC 是直角三 角形?( 8 分)
16.已知如图,在△ABC 中,以 AB、AC 为直角边, 分别向外作等腰直 角三角形 ABE、ACF,连结 EF,过点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D,反向延长 DA 交 EF 于点 M.
BQ+AQ=AB+BP B
Q
P
C
4、如图，在四边形 ABCD 中，BC＞BA,AD＝CD，BD 平分 ABC ，
求证： A C 1800
A B
D C
5、如图在△ABC 中，AB＞AC，∠1＝∠2，P 为 AD 上任意一点，求
证;AB-AC＞PB-PC
A
12 P
B
C D
三、借助角平分线造全等
A
1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线
10.如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=2AC,M 是 AB 的中点,点 N 在 BC 上,MN ⊥AB.
求证:AN 平分∠BAC.(7 分)
A
12
M
B
N
C
11. 已 知 : 如 图 AC 、 BD 相 交 于 点 O,AC=BD, ∠ C= ∠ D=90 ° , 求 证:OC=OD.(8 分)
N E
F
M
AC
B
B N
P
O
MA
12、工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图所示,∠AOB 是一个任意角,在边 OA、OB 上分别取 OM=ON,移动角尺,使角尺两边 相同的刻度分别与 M、N 重合. 过角尺顶点 P 的射线 OP 便是∠AOB 的平分线,根据做法,结合图形写出已知、求证、证明.
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构 造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线， 利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常 常是角平分线的性质定理或逆定理．
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维
(1)写出点 O 到△ABC 的三个顶点 A、B、C 的距离的关系(不证明);
(2) 如 果点 M 、 N 分 别 在 线段 AB 、 AC 上 移动 , 在 移动 中保 持 AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论.
2、如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D 证明：∠A=∠F
D
E
F
2
3 4
1
A
（1）图中哪一个三角形的面积与三角形 ABE 的面积相等？
（2）图中哪些三角形的面积与三角形 ABC 的面积相等？
（3）如果平行四边形 ABCD 的面积为 8 平方厘米，
分别求出图中所有三角形的面积。
A
E
D
B
C
8、 如图，已知 S△ABC=5，S△BCD=,9，S△CDA=10，S△DAB=6，求 S△OAB 的值
BAE.
A
B
DE C
二、截长补短
1 、 如 图 ， ABC 中 ， AB=2AC ， AD 平 分 BAC ， 且 AD=BD，求证：CD⊥AC
B
A C
D
3、如图，已知在
ABC
内，
BAC
0
60
，
C
400
，P，Q
分别在
BC，CA
A
上，并且 AP ，BQ 分别是 BAC ， ABC 的角平分线。求证：
F
C
E D
B
D
C
MA
F
B
6．△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，D 为 BC 中点，E、F 分别在 AC、AB 上，且 DE⊥DF，试判断 DE、DF 的数量关系，并说明理由．
7.已知：如图，△ABC 中， ABC 45° ， CD AB 于 D ， BE 平分 ABC ， 且 BE AC 于 E ，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G ．
三角形辅助线做法
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关
系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试
试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可
试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等
中线。
A
一、倍长中线（线段）造全等
B
E C
B
C
3、已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D．求证：BE⊥DE．
4、如图，AB∥CD，求证：∠A+∠C+∠AEC=360°
A
B
E
C
D
5、如图，若 AB∥CD，猜想∠A、∠E、∠D 之间的关系，并证明之。
A
B
E
C
D
7、 如图，平行四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，E 为 AD 的中点， 在不添其他字母和线段的情况下，回答下列问题：
15、已知：如图,在等边三角形 AB,AD=BE=CF,D,E,F 不是各边的中 点,AE,BF,CD 分别交于 P,M,N 在每一组全等三角形中,有三个三角形 全等,在图中全等三角形的有几组？请指出它们，并且选择一组给出 证明
C
O N
A
M
B
16.(2003·广东)如图,在 Rt△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,O 为 BC 的 中点.
(1)用圆规比较 EM 与 FM 的大小.
(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?(8 分)
F M E
A
BD
C
全等三角形
1．将直角三角形（∠ACB 为直角）沿线段 CD 折叠使 B 落在 B’处， 若∠ACB’=60°，则∠ACD 度数为______．
A
D
B'
F
A HE
C
B
图 1图图
图 2图图
B
图 3图图 D
9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形
全等。(ASA)
10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 (AAS) 11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法
常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解 题，思维模式是全等变换中的“对折”．
是怎样的三角形，试证明你的结论．
N
A
E
D
G
MO
DE
B
F
C
AC
B
11.如图所示,已知点 C 为线段 AB 上一点,△ACM、△BCN 是等边三角 形.试说明:
（1）AN = BM;
（2） CD = CE
（3）连接 DE，猜想：①△CDE 的形状 ②DE 与 AB 的位置关系。
(4)若把原题中“△ACM 和△BCN 是两个等边三角形”换成两个 正方形(如图所示),AN 与 BM 的关系如何?请说明理由.
C
2．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着 AB、AC 边翻折 180°形成 的，若∠BAC=150°，则∠EFC 的度数为_________．
3．已知△ABC 中，∠ABC=45°，AC=4，H 是高 AD 和 BE 的交点，则线 段 BH 的长度为_______．
4．如图，△ ABC 是等边三角形，点 D 、 E 、 F 分别是线段 AB 、 BC 、 CA 上的点，
AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD
E O
B D
C
A
E
B
G
C
2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，DG⊥BC 且平分 BC，DE⊥AB
F
D
于 E，DF⊥AC 于 F.
（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB= a ，AC= b ，求 AE、BE 的长. 三、解答题:(共 55 分)
A
E
G
F
B
D
C
10 ．已知：如图，△ABC 是等边三角形，过 AB 边上的点 D 作 DG ∥ BC ，交 AC 于点 G ，在 GD 的延长线上取点 E ，使 DE DB ，连接 AE，CD ．
（1）求证：△AGE ≌△DAC ；
（2）过点 E 作 EF ∥ DC ，交 BC 于点 F ，请你连接 AF ，并判断△AEF
2．证题的思路：
找夹角（SAS）
性质 1、全等三角形的
已知两边找直角（HL）
对应角相等、对应边
找第三边（SSS）
相等。
若边为角的对边，则找任意角（AAS）
已知一边一角边为角的邻边找找已已知知边角的的对另角一（边（AASSA）S）
找夹已知边的另一角（ASA）
2、全等三角形的 对应边上的高对应相 等。 3、全等三角形的
例 1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线
AD 的取值范围是_________.
B
D
C
例 2、如图，△ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DE⊥DF，D 是中点，
试比较 BE+CF 与 EF 的大小.
A
E
F
B
D
C
3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分∠
（3）探究：当 为多少度时，△AOD 是等腰三角形？
9．如图，△ABC 中，E、F 分别是 AB、AC 上的点．①AD 平分∠BAC；② DE⊥AB，DF⊥AC；③AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结 论，可构成三个命题，即①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①．