专题讲练：三角形边角关系及命题与证明重难点问题(含同步练习)
三角形中边角关系,命题与证明专项复习(附带知识点练习)
第十三章:三角形中的边角关系,命题与证明第一节:三角形三边关系知识点:1、三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形；组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共断点叫做顶点；相邻两边组成的角叫做三角形的内角。
如图三角形可记做，读作“三角形ABC”2、角形的分类:,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,的三角形叫做等边三角形又叫做正三角形.边,两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做低角.3、三角形角的关系:三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形,有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形考点:(一)、会用符号表示三角形,了解什么是三角形的边、角、顶点,并且能用符号来表示;(二)、了解等腰三角形的腰,顶角,低角的概;(三)、运用两边之和大于第三边,两边之差小于第三边求范围和判断是否能围成三角形;(四)、运用三角形的内角和和直角三角形求角的度数例题:3、已知一个等腰三角形的一边长是5，一边长是12，求这个三角形的周长4、已知三角形的三边长分别是a、b、c，化简│a+b-c│-│b-a-c│的结果为————5、已知等腰∆ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围————6、三角形中最大角α的范围是——————，最小角β的范围是——————7、在下列空白出，分别填上“锐角”、“直角”、“钝角”（一）∆ABC中，∠A=∠B+∠C，则∆ABC是——————三角形（二）∆ABC中，∠A+∠B=20°，则∆ABC是——————三角形（三）∆ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，则∆ABC是——————三角形8、在∆ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A与∠B的和还要大30°，求∆ABC各角的度数。
9、四条线段的长度分别为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为（）A.4B.3C.2D.1第二课时：三角形的角平分线、中线、高知识点：（一）、三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线（二）、三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线三角形的任意一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形（三）、从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫三角形的高。
三角形中的边角关系、命题与证明
高效学案4、三角形中的重要线段（1）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段.（2）三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线.（3）三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高.三、经典例题【例1】以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）A ．1cm ，2cm ，4cmB ．8cm ，6cm ，4cmC ．12cm ，5cm ，6cmD ．2cm ，3cm ，6cm【变式1】两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长x cm 的范围是__________．【变式2】若a 、b 、c 是△ABC 的三边，化简c b a a c b c b a +--+--+--．【变式3】如图，已知P 是△ABC 内一点，连结AP ，PB ，PC ．求证：PA+PB+PC >21(AB+AC+BC)．【例2】等腰三角形的两边长分别为5 cm 和10 cm ，则此三角形的周长是（ ）A ．15cmB ．20cmC ．25 cmD ．20 cm 或25 cm【例3】已知△ABC 中：（1）∠A=20°，∠B ﹣∠C=40°，则∠B=______；（2）∠A=120°，2∠B+∠C=80°，则∠B=_______；（3）∠B=∠A+40°，∠C=∠B ﹣50°，则∠B=_______；（4）∠A ：∠B ：∠C=1：3：5，则∠B=_______．E DA 2 1 ABC 【变式】如图把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 在四边形BCDE 的内部时，则∠A 与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找出这个规律，你发现的规律是（ ）A.∠A=∠2＋∠1B.2∠A=∠2＋∠1C.3∠A=2∠1＋∠2D.3∠A=2∠1＋2∠2【例4】如图，α、β、γ分别是△ABC 的外角，且α：β：γ= 2：3：4，则α =__________．【变式1】如图，五角星ABCDE ，求E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠的度数．【变式2】已知：如图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关 ；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．利用（1）的结论，试求∠P 的度数；（3）如果图2中∠D 和∠B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠D 、∠B 之间存在着怎样的数量关系？【例5】如图，∆ABC 中，AD 是BC 上的中线，BE 是∆ABD 中AD 边上的中线，若∆ABC 的面积是24，则∆ABE 的面积是________．【例6】如图，在△ABC 中，BE ⊥AC ，BC=5cm ，AC=8cm ，BE=3cm .（1）求△ABC 的面积；（2）画出△ABC 中的BC 边上的高AD ，并求出AD 的值．【例7】已知：如图AB//CD 直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线相交于P ，求证 90=∠P ．【变式】如图，∠MON=90°，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上运动，BE 平分∠NBA ，BE 的反向延长线与∠BAO 的平分线交于点C ．∠BAO=45°则∠C 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°【例8】如图，△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线交于点O ，若∠A=70°，则∠BOC= 度．【变式】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 探究2：如图2中，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 探究3：如图3中，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？四、方法归纳1、三角形的边的关系，只需验证：两个较短的边之和大于第三边即可.2、三角形的两边长分别为b a ,，则第三边长c 的取值范围是：b a c b a +<<-.3、三角形的几种“心”.（1）重心：三条中线的交点.（2）外心：三边垂直平分线的交点.（3）内心：三条内角平分线的交点.（4）垂心：三条高线的交点.五、课后作业【作业1】1.如图所示，共有_______个三角形，以AD 为一边的三角形有___________________，∠C 是△ADC 的________边的对角，AE 是△ABE 中∠_____的对边.2.一个三角形周长为27cm ，三边长为2：3：4，则最长边为______cm.3.已知在△ABC 中，5=a ，3=b ，那么第三边c 的取值范围是_____________.4.在△ABC 中，2∠A=3∠B=6∠C ，则△ABC 是________三角形.5.在△ABC 中，已知∠B －∠A=5°，∠C －∠B=20°，则∠A=_______.6.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，CD ⊥AB 于D ，则∠ACD =_________.7.等腰三角形周长为14，其中一边长为3，则腰长为________.8.一个三角形有两条边相等，一边长为4cm ，另一边长为9cm ，那么这个三角形的周长是__________.9.在△ABC 中，∠B ，∠C 的平分线交与点O ，若∠BOC=132°，则∠A=________.10.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，∠ADE=30°，∠C=120°，则∠A 等于（ ）A.60°B.45°C.30°D.20°11.如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形一定是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定12.一个三角形的两边长分别为3和7，若第三边长为偶数，则第三边为（ ）A.4，6B.4，6，8C.6，8D.6，8，1013.能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高线D.以上都不对14.在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则△ABC 是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形15.如图，AD 、AF 分别是△ABC 的高和角平分线，已知∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF 数.（提示：先证明∠DAF=21（∠C －∠B ））16.如图，已知I 为△ABC 的内角平分线的交点.求证：∠BIC=90°＋21∠A.17.如图，在△ABC 中，∠B = 60°，∠C = 50°，AD 是∠BAC 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，求∠BDE 的度数.18.如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，已知∠AFD=150°，求∠EDF 等于多少度？【作业2】1.如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 的中线、高、角平分线.则：BD=___=21___；∠___=∠___=90°；∠___=∠___=21∠___. 2.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，已知AB=6，BC=4，AD=5，则CE=______.3.如图，AD 、AE 分别是△ABC 的中线、高，且AB=5，AC=3，则△ABD 与△ACD 的周长的差是_________，△ACD 与△ABD 的面积关系为__________.第1题 第2题 第3题 第4题 第5题4.如图，△ABC 的周长是21cm ，AB=AC ，中线BD 分△ABC 为两个三角形，且△ABD 的周长比△BCD 的周长大6cm ，则AB= ，BC=_________.5.如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且2ABC cm 8=∆S ，则阴影部分的面积等于_________.6.在△ABC 中，若AB=5，AC=2，且三角形周长为偶数，则BC=________.7.△ABC 的三边长是a ，b ，c ，则c b a a c b c b a +++-----=________.第8题 第9题 第10题8.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点B 沿CB 所在直线远离C 点移动，下列说法不正确的是（ ）A.三角形面积随之增大B.∠CAB 的度数随之增大C.边AB 的长度随之增大D.BC 边上的高随之增大9.如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ）A.118°B.119°C.120°D.121°10.如图，在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，则∠BOC 与∠A 的大小关系是（ ）A.∠BOC=2∠AB.∠BOC=90°+∠AC.∠BOC=90°+21∠A D.∠BOC=90°21-∠A11.如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④∠BDC=∠BAC.其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个12.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，已知∠A=50°，求∠BDC的度数．13.如图，已知BD为∠ABC的平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，CD与BD交于点D，试说明∠A=2∠D．14.如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP．15.如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．16.已知：∠MON=40°，OE 平分∠MON ，点A 、B 、C 分别是射线OM 、OE 、ON 上的动点（A 、B 、C 不与点O 重合），连接AC 交射线OE 于点D ．设∠OAC x =°.21（1）如图1，若AB ∥ON ，则①∠ABO 的度数是 ；②当∠BAD=∠ABD 时，=x ；当∠BAD=∠BDA 时，=x ．（2）如图2，若AB ⊥OM ，则是否存在这样的x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．第二节：命题与证明一、课堂导入有个学生请教爱因斯坦逻辑学有什么用。
八年级三角形的边角关系练习题(含解析答案)
三角形的边角关系练习题回顾：1、三角形的概念定义：由_______直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类按角分:⎧⎪⎨⎪⎩锐角三角形三角形直角三角形钝角三角形按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形3、三角形的重要线段在三角形中，最重要的三种线段是三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高。
说明:（1）三角形的三条中线的交点在三角形的____部。
（2）三角形的三条角平分线的交点在三角形的______部。
（3）_______三角形的三条高的交点在三角形的内部；______三角形的三条高的交点是直角顶点;_____三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部。
4、三角形三边的关系定理:三角形任意两边的和____第三边；推论：三角形任意两边的差____第三边；说明：运用“三角形中任意两边的和大于第三边"可以判断三条线段能否组成三角形，也可以检验较小的两边的和是否大于第三边。
5、三角形各角的关系定理:三角形的内角和是______度；推论：（1)当有一个角是90°时，其余的两个角的和为90°；(2）三角形的任意一个外角______和它不相邻的两个内角的和。
（3）三角形的任意一个外角______任意一个和它不相邻的内角。
说明:任一三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角。
三角形的计数例1 如图，平面上有A、B、C、D、E五个点，其中B、C、D及A、E、C分别在同一条直线上，那么以这五个点中的三个点为顶点的三角形有( )A、4个B、6个C、8个D、10个解析：连接AB、AD、BE、DE。
课件出示答案： C。
小结:分类讨论是三角形的计数中常见的思路方法.举一反三:1、已知△ABC是直角三角形，且∠BAC=30°，直线EF与△ABC的两边AC，AB分别交于点M，N，那么∠CME+∠BNF=（）A、150°B、180°C、135°D、不能确定解析：因为∠A=30°，所以∠NMA+∠MNA=180°—30°=150°，所以∠CME+∠BNF=∠NMA+∠MNA=150°。
2020秋八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明同步练习沪科版
2020秋⼋年级数学上册第13章三⾓形中的边⾓关系、命题与证明同步练习沪科版1.三⾓形中边的关系知识点：1、三⾓形：不在同⼀条直线上的线段⾸位顺次相接组成的封闭图形2、三⾓形分类3、三⾓形的三边关系：两边之和⼤于第三边，两边之差⼩于第三边测试题1.由______________的三条线段______相接所组成得图形叫做三⾓形。
2.如图，三⾓形的三边分别是________或______，三⾓形的内⾓分别是__________，三⾓形的顶点分别是_______ ，这个三⾓形记作______，读作____________.3.三⾓形按边的关系可分为和，⽽等腰三⾓形⼜分为和。
三⾓形按内⾓⼤⼩可分为、和。
4.三⾓形两边的和第三边，三⾓形两边的差第三边。
5.三⾓形的三边分别为2、x、5，则整数x = 。
6.等腰三⾓形的周长为16，其⼀边长为6，则另两边长为。
7.已知三⾓形的两边长是3cm和8cm ，则此三⾓形的第三边长可能是（）A.4 cmB.5 cmC.6 cmD.13cm8.⼀个三⾓形的三边长是 m 、3 、5，那么m的取值范围是（）A.3B.0C.2D.09.下列选项中，给出的三条线段不能组成三⾓形的是（）A.a+1,a+2,a+3B.三边之⽐为2:3:4C.30cm，8cm ，10cmD.3k ，4k ，5k10.下列说法中正确的是（）A.等腰三⾓形⼀腰的长⾄少要⼤于底边长的⼀半B.三⾓形按边的关系分为不等边三⾓形、等边三⾓形C.长度为5、6、10的三条线段不能组成三⾓形 D.等腰三⾓形的两边长是1和2，则其周长为4或511、现有两根⽊棒，它们的长分别为40cm和50cm，若要钉成⼀个三⾓形⽊架（?不计接头），则在下列四根⽊棒中应选取（）A．10cm长的⽊棒 B．40cm长的⽊棒 C．90cm长的⽊棒 D．100cm长的⽊棒拓展训练：1.已知⼀个三⾓形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是．?若x是奇数，则x的值是______；则它的周长为______；?若x?是偶数，?则x?的值是______ 。
八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.1三角形中的边角关系(3)练习题(无答案
2018年秋八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.1 三角形中的边角关系（3）练习题（无答案）（新版）沪科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.1 三角形中的边角关系（3）练习题（无答案）（新版）沪科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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13。
1三角形中的边角关系(3）练习题1。
三角形的角平分线、高和中线均为（ )A.直线B.射线C.线段 D。
以上说法都不正确2.如果三角形三条高的交点是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A。
锐角三角形 B。
钝角三角形 C。
直角三角形 D. 以上说法都不正确3。
下图中AE是△ABC的高线，作图正确的是（）4.下列说法中正确的是（）A.如a,由AB、BC、DE三条线段组成的图形是三角形B.如b，已知∠BAD＝∠CAD，则射线AD是△ABC的角平分线C。
如c,已知D为BC的中点，则线段AE为△ABC的中线D.如d，已知△ABC中，AD⊥BC交于点D，则线段AD是△ABC的高第5题图5如图所示，已知在△A BC中，∠BAC＝70°，AC=6cm，AD是△ABC的角平分线，则∠BAD= 。
BE是△ABC的中线，则AE=CE= cm，CF是△ABC的高，则∠ =∠ =90°。
6。
古代有一位商人有一块三角形土地，土地的一边靠水渠如图所示，现在他想把这块土地分给他的三个儿子,为使土地灌溉方便，想使每个儿子分得的土地都有一边和水渠相邻。
八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.1三角形中的边角关系(2)练习题(无答案
2018年秋八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.1 三角形中的边角关系（2）练习题（无答案）（新版）沪科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋八年级数学上册第13章三角形中的边角关系、命题与证明13.1 三角形中的边角关系（2）练习题（无答案）（新版）沪科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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13。
1三角形中的边角关系（2）练习题1、直角三角形的两个锐角相等，则每一个锐角等于度。
2、△ABC中，∠A=∠B+∠C,这个三角形是三角形。
3、国旗上的五角星中，五个锐角的和等于度。
4、在△ABC中（1）已知:∠A=32.5°，∠B=84.2°，求∠C的度数.（2）已知:∠A=50°，∠B比∠C小15°,求∠B的度数。
（3）已知：∠C=2∠B，∠B比∠A大20°，求∠A、∠B、∠C的度数.5、已知，在△ABC中与最大的内角相邻的外角是120°,则这个三角形一定是（）A、不等边三角形B、钝角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形6、、△ABC中，∠B=∠C=50°,AD平分∠BAC,则∠BAD=7、、在△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大30°，则∠C的外角为度，这个三角形是三角形8、、△ABC中,∠A=40°,∠B=60°，则与∠C相邻的外角等于9、、△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠B=（）A、30°B、60°C、90°D、120°10、一个三角形有一外角是88°，这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、无法确定11、已知△ABC中，∠A为锐角,则△ABC是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、无法确定12、已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角,那么这个三角形（）A、是锐角三角形B、是直角三角形C、是钝角三角形D、以上三种都有可能。
中考数学易错难题（含解析）之直角三角形的边角关系及答案
备战中考数学培优易错难题(含解析)之直角三角形的边角关系及答案一、直角三角形的边角关系1．已知：如图，在四边形 ABCD中， AB∥CD，∠ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD垂直平分 A C．点 P从点 B出发，沿 BA方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q从点 D出发，沿 DC方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作 PE⊥AB，交 BC于点 E，过点 Q作 QF∥AC，分别交 AD， OD于点 F， G．连接 OP，EG．设运动时间为 t ( s )（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当 t为何值时，点 E在BAC的平分线上？（2）设四边形 PEGO的面积为 S(cm2)，求 S与 t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使四边形 PEGO的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）连接 OE， OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 OE⊥OQ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t=4s；（2）S四边形PEGO=-t+382155t+6，(0<t<5)；（3）t=时，28S四边形PEGO取得最大值；（4）t=【解析】【分析】16时，OE⊥OQ.5（1）当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE=EC，由此构建方程即可解决问题．（2）根据S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）构建函数关系式即可．（3）利用二次函数的性质解决问题即可．（4）证明∠EOC=∠QOG，可得tan∠EOC=tan∠QOG，推出可解决问题．【详解】（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，∴AC=102-82=6（cm），∵OD垂直平分线段AC，∴OC=OA=3（cm），∠DOC=90°，∵CD∥AB，EC GQ=，由此构建方程即OC OG∴∠BAC=∠DCO，∵∠DOC=∠ACB，∴△DOC∽△BCA，∴∴AC AB BC==，OC CD OD6108==，3CD OD∴CD=5（cm），OD=4（cm），∵PB=t，PE⊥AB，易知：PE=35t，BE=t，44当点E在∠BAC的平分线上时，∵EP⊥AB，EC⊥AC，∴PE=EC，35t=8-t，44∴t=4．∴∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．（2）如图，连接OE，PC．S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）=⎡11⎛4⎫4⎫1⎛5⎫31⎛⎛5⎫⨯ 4-t⎪⨯3+⎢⨯3⨯ 8-t⎪+⨯ 8-t⎪⨯t-⨯3⨯ 8-t⎪2⎝5⎭4⎭524⎭⎝5⎭2⎝⎝⎣283215t+16(0<t<5)．3（3）存在．=-t+8⎛5⎫68∵S=- t-⎪+(0<t<5)，3⎝2⎭32568时，四边形OPEG的面积最大，最大值为．32（4）存在．如图，连接OQ．∵OE⊥OQ，∴t=∴∠EOC+∠QOC=90°，∵∠QOC+∠QOG=90°，∴∠EOC=∠QOG，∴tan∠EOC=tan∠QOG，∴EC GQ=，OC OG35t8-t4=5，∴434-t5整理得：5t2-66t+160=0，解得t=∴当t=16或10（舍弃）516秒时，OE⊥OQ．5【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12方向旋转30°．【解析】）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，）cm；=12，∴BD=OBsin∠BOD，，∵O′C⊥OA，，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．3．如图，在平行四边形ABCD中，，与交于点，连接，.的值.（1）求证：四边形（2）若，是菱形；，，求平分，交于点，平分，交于点【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC∴∠BAE=∠EAF∠ABF=∠EBF∵AD//BC∴∠EAF=∠AEB∠AFB=∠EBF∴∠BAE=∠AEB∠AFB=∠ABF∴AB=BE AB=AF∴AF=AB=BE∵AD//BC∴ABEF为平行四边形又AB=BE∴ABEF为菱形（2）作PH⊥AD于H由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=∴tan∠ADP=，AH=1，∴DH=AD-AH=5考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数4．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)证明见解析；（2）【解析】75+8-1+5；（3）．162试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD；（2）∵∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD，∵BD=BC，∴AD=BD=CD=1，设CD=x，则有AB=AC=x+1，∵△ABC∽△BCD，AB BC x+11==，，即BD CD1x整理得：x2+x-1=0，∴解得：x1=则x=-1-5-1+5，x2=（负值，舍去），22-1+5；2（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，∵BD=CD，∴E为CD中点，即DE=CE=-1+5，4-1+5AE5+14==在Rt△ABE中，cosA=cos36°=，AB-1+54+121+-1+5在Rt△BCE中，cosC=cos72°=EC-1+5，4==BC14则cos36°-cos72°==5+1-1+51-=．244【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？【答案】（1）3；（2）【解析】；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm∴t=s=3s．（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1∴BM=cm.∴t=s.当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=∵AD=AH+DH=∴x=3．当≤t≤4时，SMNGN =1cm2．x+x=x=4x，，当4＜t≤6时，SMNGH=（t﹣3）2cm2∴S关于t的函数关系式为：（3）分两种情况：.①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm ∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；②当DC=PC时，DC=PC=12cm∴NC=6cmcm=（15﹣6）cm∴EN=16cm﹣1cm﹣6∴t=（15﹣6故当t=（15﹣6）s）s时，△CPD为等腰三角形．）s时，△CPD为等腰三角形．综上所述，当t=9s或t=（15﹣6考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.11x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过22A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；6．如图，直线y＝（2）根据图象，直接写出满足11x+2≥﹣x2+bx+c的x的取值范围；22（3）设点D为该抛物线上的一点、连结AD，若∠DAC＝∠CBO，求点D的坐标．【答案】（1）y=-（2，﹣3）．【解析】【分析】（1）由直线y＝式；123x-x+2；（2）当x≥0或x≤﹣4；（3）D点坐标为（0，2）或221x+2求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析2（2）观察图象，找出直线在抛物线上方的x的取值范围；（3）如图，过D点作x轴的垂线，交x轴于点E，先求出CO＝1，AO＝4，再由∠DAC＝∠CBO，得出tan∠DAC＝tan∠CBO，从而有，【详解】解：（1）由y＝DE CO=,最后分类讨论确定点D的坐标．AE BO1x+2可得：2当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），3⎧b=-1⎪把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：⎨2，，2⎪⎩c=2123x-x+22211（2）当x≥0或x≤﹣4时，x+2≥﹣x2+bx+c22∴抛物线的解析式为：y=-（3）如图，过D点作x轴的垂线，交x轴于点E，123x-x+2令y＝0，22解得：x1＝1，x2＝﹣4，∴CO＝1，AO＝4，123设点D的坐标为（m，-m-m+2），22∵∠DAC＝∠CBO，∴tan∠DAC＝tan∠CBO，DE CO=∴在Rt△ADE和Rt△BOC中有，AE BO由y=13-m2-m+21当D在x轴上方时，22=m+42解得：m1＝0，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D的坐标为（0，2）．13-(-m2-m+2)1当D在x轴下方时，22=m+42解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D的坐标为（2，﹣3），故满足条件的D点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式．解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题，分类讨论是第（3）题的难点．7．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．【答案】（1）见解析；（2）∠FCN＝45°，理由见解析；（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝【解析】【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH⊥MN于H．先证△ABE≌△EHF，得到对应边相等，从而推出△CHF是等腰直角三角形，∠FCH的度数就可以求得了．（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG＝EF，∠BAD＝∠EAG＝∠ADC＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∠ADG＝90°＝∠ABE，∴∠BAE＝∠DAG，在△ADG和△ABE中，4．理由见解析.3⎧∠ADG=∠ABE⎪⎨∠DAG=∠BAE，⎪AD=AB⎩∴△ADG≌△ABE（AAS）．（2）解：∠FCN＝45°，理由如下：作FH⊥MN于H，如图1所示：则∠EHF＝90°＝∠ABE，∵∠AEF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠BAE，在△EFH和△ABE中，⎧∠EHF=∠ABE⎪⎨∠FEH=∠BAE，⎪EF=AE⎩∴△EFH≌△ABE（AAS），∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH，∵∠FHC＝90°，∴∠FCN＝45°．（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，理由如下：作FH⊥MN于H，如图2所示：由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，结合（1）（2）得：△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH＝AD＝BC＝8，∴CH＝BE，∴EH FH FH==；AB BE CHFH EH84===，CH AB634．3在Rt△FEH中，tan∠FCN＝∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．（1）如图1，求证：KE＝GE；（2）如图2，连接CABG，若∠FGB＝1∠ACH，求证：CA∥FE；23，AK＝10，求CN5（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sin E＝的长．【答案】（1）证明见解析；（2）△EAD是等腰三角形．证明见解析；（3）【解析】试题分析：2010.13（1）连接OG，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA可得∠AGO=∠OAG，从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG，这样即可得到KE=GE；（2）设∠FGB=α，由AB是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°-α，结合GE=KE可得∠EKG=90°-α，这样在△GKE中可得∠E=2α，由∠FGB=∠E=∠ACH，由此即可得到CA∥EF；（3）如下图2，作NP⊥AC于P，由（2）可知∠ACH=∠E，由此可得sinE=sin∠ACH=CH=4a，则tan∠CAH=1∠ACH可得∠ACH=2α，这样可得2AH3=，设AH=3a，可得AC=5a，AC5CH4=，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC，从而可AH3AH=3，AK=10a，结合AK=10可得a=1，HK得CK=AC=5a，由此可得HK=a，tan∠AKH=则AC=5；在四边形BGKH中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG可得∠ACG=∠AKH，在Rt△APN中，由tan∠CAH=tan∠ACG=4PN=，可设PN=12b，AP=9b，由3APPN5 =tan∠AKH=3可得CP=4b，由此可得AC=AP+CP=13b=5，则可得b=，由CP13此即可在Rt△CPN中由勾股定理解出CN的长.试题解析：（1）如图1，连接OG．∵EF切⊙O于G，∴OG⊥EF，∴∠AGO+∠AGE=90°，∵CD⊥AB于H，∴∠AHD=90°，∴∠OAG=∠AKH=90°，∵OA=OG，∴∠AGO=∠OAG，∴∠AGE=∠AKH，∵∠EKG=∠AKH，∴∠EKG=∠AGE，∴KE=GE．（2）设∠FGB=α，∵AB是直径，∴∠AGB=90°，∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，1∠ACH，2∴∠ACH=2α，∴∠ACH=∠E，∴CA∥FE．∵∠FGB=（3）作NP⊥AC于P．∵∠ACH=∠E，∴sin∠E=sin∠ACH=则CH=2AH3=，设AH=3a，AC=5a，AC52AC-CH=4a，tan∠CAH=CH4=，AH3∵CA∥FE，∴∠CAK=∠AGE，∵∠AGE=∠AKH，∴∠CAK=∠AKH，∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH=∵AK=10，∴AH=3，AK=AH2+HK2=10a，HK10a=10，∴a=1．AC=5，∵∠BHD=∠AGB=90°，∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，∴∠AKH=∠ABG，∵∠ACN=∠ABG，∴∠AKH=∠ACN，∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，∵NP⊥AC于P，∴∠APN=∠CPN=90°，在Rt△APN中，tan∠CAH=在Rt△CPN中，tan∠ACN=∴CP=4b，∴AC=AP+CP=13b，∵AC=5，∴13b=5，∴b=PN4=，设PN=12b，则AP=9b，AP3PN=3，CP5，132010．13∴CN=PN2+CP2=410⋅b=9．已知Rt△ABC,∠A=90°,BC=10,以BC为边向下作矩形BCDE,连AE交BC于F. (1)如图1,当AB=AC,且sin∠BEF=3BF时，求的值；CF5(2)如图2,当tan∠ABC=1时,过D作DH⊥AE于H,求EH⋅EA的值；2(3)如图3,连AD交BC于G,当FG2=BF⋅CG时,求矩形BCDE的面积【答案】(1)【解析】【分析】1；（2）80；（3）100.7(1)过A作AK⊥BC于K,根据sin∠BEF=3FK3=,设FK=3a,AK=5a，可求得BF=a,故得出5AK5BF1=；（2）过A作AK⊥BC于K,延长AK交ED于G,则AG⊥ED，得△EGA∽△EHD，CF7利用相似三角形的性质即可求出；（3）延长AB、ED交于K,延长AC、ED交于T,根据相似三角形的性质可求出BE=ED，故可求出矩形的面积.【详解】解：(1)过A作AK⊥BC于K,∵sin∠BEF＝∴33,sin∠FAK＝,55FK3=,AK5设FK=3a,AK=5a,∴AK=4a,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴BK=CK=4a,∴BF=a,又∵CF=7a,∴BF1=CF7(2)过A作AK⊥BC于K,延长AK交ED于G,则AG⊥ED，∵∠AGE=∠DHE=90°,∴△EGA∽△EHD,∴EH ED=，EG EA∴EH⋅EA=EG·ED,其中EG=BK,∵BC=10,tan∠ABC＝cos∠ABC＝1，22，520，5∴BA＝BC· cos∠ABC＝BK= BA·cos∠ABC＝∴EG=8,另一方面：ED=BC=10,∴EH·EA=80202⨯=855(3)延长AB、ED交于K,延长AC、ED交于T,∵BC∥KT,∴BF AF FG==，KE AE EDBF KE FG ED==，同理：FG DE CG DTBF FG=，FG CGKE ED=，DE DT∵FG2= BF·CG∴∴ED2= KE·DT∴KE CD=，BE DT∴KE·DT＝BE2，∴BE2＝ED2∴BE=ED∴S矩形BCDE=10⨯10=100又∵△KEB∽△CDT,∴【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解. 10．如图，半圆O的直径AB＝20，弦CD∥AB，动点M在半径OD上，射线BM与弦CD 相交于点E（点E与点C、D不重合），设OM＝m．（1）求DE的长（用含m的代数式表示）；（2）令弦CD所对的圆心角为α，且sinα2=4．5①若△DEM的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出m的取值范围；②若动点N在CD上，且CN＝OM，射线BM与射线ON相交于点F，当∠OMF＝90°时，求DE的长．100-10m503m2-60m+300【答案】（1）DE＝；（2）①S＝，（＜m＜10），m13m5.2【解析】【分析】②DE＝（1）由CD∥AB知△DEM∽△OBM，可得DE DM=，据此可得；OB OM1∠COD，据此2（2）①连接OC、作OP⊥CD、MQ⊥CD，由OC＝OD、OP⊥CD知∠DOP＝可得sin∠DOP＝sin∠DMQ＝DM sin∠ODP＝43、sin∠ODP＝，继而由OM＝m、OD＝10得QM＝553（10﹣m），根据三角形的面积公式即可得；如图2，先求得PD＝8、CD5CD DM50=，求得OM＝，据此可得m的取值范围；BO OM133＝6，可得OM＝8，根据（1）所求结果可得答5＝16，证△CDM∽△BOM得②如图3，由BM＝OB sin∠BOM＝10×案．【详解】（1）∵CD∥AB，∴△DEM∽△OBM，∴DE DM DE10-m==，即，OB OM10m∴DE＝100-10m；m（2）①如图1，连接OC、作OP⊥CD于点P，作MQ⊥CD于点Q，∵OC＝OD、OP⊥CD，∴∠DOP＝∵sin1∠COD，2α2＝4，543，sin∠ODP＝，55∴sin∠DOP＝sin∠DMQ＝∵OM＝m、OD＝10，∴DM＝10﹣m，∴QM＝DM sin∠ODP＝3（10﹣m），511100-10m33m2-60m+300×（10﹣m）＝则S△DEM＝DE•MQ＝×，22m5m如图2，∵PD＝OD sin∠DOP＝10×∴CD＝16，∵CD∥AB，∴△CDM∽△BOM，∴4＝8，5CD DM1610-OM==，即，BO OM10OM50，13解得：OM＝∴50＜m＜10，13503m2-60m+300∴S＝，（＜m＜10）．13m②当∠OMF＝90°时，如图3，则∠BMO＝90°，在Rt△BOM中，BM＝OB sin∠BOM＝10×则OM＝8，由（1）得DE＝【点睛】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质、相似三角形的判定与性质及解直角三角形的能力．3＝6，5100-10⨯85=．8211．如图所示，一堤坝的坡角∠ABC=62︒，坡面长度AB=25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50︒，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01米)(参考数据：sin62︒≈0.88，cos62︒≈0.47，tan50︒≈1.20)【答案】6.58米【解析】试题分析：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DE﹣BE即可求解．试题解析：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，∠ABE=62°．∴AE=AB•sin62°=25×0.88=22米，BE=AB•cos62°=25×0.47=11.75米，在Rt△ADE中，∠ADB=50°，∴DE=∴DB=DE﹣BE≈6.58米．故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．=18米，考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点B（0，33），点O为原点．动点C、D分别在直线AB、OB上，将△BCD沿着CD折叠，得△B'CD．（Ⅰ）如图1，若CD⊥AB，点B'恰好落在点A处，求此时点D的坐标；（Ⅱ）如图2，若BD=AC，点B'恰好落在y轴上，求此时点C的坐标；（Ⅲ）若点C的横坐标为2，点B'落在x轴上，求点B'的坐标（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（0，3）；（2）C（12﹣63，123﹣18）；（3）B'（2+13，0），（2﹣13，0）.【解析】【分析】(1)设OD为x，则BD=AD=33x，在RT△ODA中应用勾股定理即可求解；(2)由题意易证△BDC∽△BOA，再利用A、B坐标及BD=AC可求解出BD长度，再由特殊角的三角函数即可求解；(3)过点C作CE⊥AO于E，由A、B坐标及C的横坐标为2，利用相似可求解出BC、CE、OC等长度；分点B’在A点右边和左边两种情况进行讨论，由翻折的对称性可知BC=B’C，再利用特殊角的三角函数可逐一求解.【详解】（Ⅰ）设OD为x，∵点A（3，0），点B（0，33），∴AO=3，BO=33∴AB=6∵折叠∴BD=DA在Rt△ADO中，OA2+OD2=DA2．∴9+OD2=（33﹣OD）2．∴OD=3∴D（0，3）（Ⅱ）∵折叠∴∠BDC=∠CDO=90°∴CD∥OA∴∴BD BC=且BD=AC，BO ABBD6-BD=633∴BD=123﹣18∴OD=33﹣（123﹣18）=18﹣93∵tan∠ABO=AO3，=OB3CD3，=BD3∴∠ABC=30°，即∠BAO=60°∵tan∠ABO=∴CD=12﹣63∴D（12﹣63，123﹣18）（Ⅲ）如图：过点C作CE⊥AO于E∵CE⊥AO∴OE=2，且AO=3∴AE=1，∵CE⊥AO，∠CAE=60°∴∠ACE=30°且CE⊥AO∴AC=2，CE=3∵BC=AB﹣AC∴BC=6﹣2=4若点B'落在A点右边，∵折叠∴BC=B'C=4，CE=3，CE⊥OA∴B'E=B'C2-CE2=13∴OB'=2+13∴B'（2+13，0）若点B'落在A点左边，∵折叠∴BC=B'C=4，CE=3，CE⊥OA∴B'E=B'C2-CE2=13∴OB'=13﹣2∴B'（2﹣13，0）综上所述：B'（2+13，0），（2﹣13，0）【点睛】本题结合翻折综合考查了三角形相似和特殊角的三角函数，第3问中理解B’点的两种情况是解题关键.。
期末总复习 三、三角形中的边角关系、命题与证明
(2)根据第(1)问的结论猜想：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三 角形按角分类属于什么三角形？ 解：根据(1)的结论可知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形 的三个角都是锐角，故三角形是锐角三角形．
8．如图，∠A＝∠B，∠C＝α，DE⊥AC于点E，FD⊥AB于点D，探索，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/132021/8/13Friday, August 13, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/132021/8/132021/8/138/13/2021 11:45:13 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/132021/8/132021/8/13Aug-2113-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/132021/8/132021/8/13Friday, August 13, 2021
【解答】 若P点在C、D之间运动时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD.理由：如 图1，过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，又∵l1∥l2，∴PE∥l2.∴∠BPE ＝∠PBD.∴∠APE＋∠BPE＝∠PAC＋∠PBD，即∠APB＝∠PAC＋∠ PBD.若点P在C、D两点的外侧运动时(P点与点C、D不重合)，则有两种情 形：①如图2，结论：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由：过点P作PE∥l1，则 ∠APE＝∠PAC，又∵l1∥l2，∴PE∥l2.∴∠BPE＝∠PBD.∵∠APB＝∠ BPE－∠APE，∴∠APB＝∠PBD－∠PAC.②如图3，结论：∠APB＝∠ PAC－∠PBD.理由：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD，又∵l1∥l2，∴ PE∥l1.∴∠APE＝∠PAC.∵∠APB＝∠APE－∠BPE，∴∠APB＝∠PAC －∠PBD.
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专题讲练：三角形边角关系及命题与证
明重难点问题
※题型讲练
【例1】设△ABC的三边a , b ,c 的长度均为自然数，a + b + c=13 , 求以a , b , c为三边的三角形共有多少个
【例2】如图,已知P是△ABC内一点,连结AP，PB,PC, 求证:(1)PA+PB+PC < AB+AC+BC
(2) PA+PB+PC >
2
1
(AB+AC+BC)
【例3】在△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，2∠C=5∠A，求∠B
的取值范围.
【例4】△ABC中，AD、BE、CF是角平分线，交点是点G，
GH⊥BC。
求证：∠BGD=∠CGH.
【例5】已在△ABC中，AB=AC，AC上中线BD把△ABC
周长分别24和18两部分，求△ABC的三边长.
【例6】如图，已知：AB∠∠∠360︒
【例9】如图（1）直线GC∥HD，EF交CG、HD于A、B，三条
直线把EF右侧的平面分成①、②、③三个区域，（规定：直线
上各点不属于任何区域）．将一个透明的直角三角尺放置在该图
中，使得30°角（即∠P）的两边分别经过点A、B，当点P落
在某个区域时，连接PA、PB，得到∠PBD、∠PAC两个角．
（1）如图(1)，当点P落在第②区域时，求∠PAC+∠PBD度数；
（2）如图（2），当点P落在第③区域时，∠PAC﹣∠PBD=度
（3）如图（3），当点P落在第①区域时，直接写出∠PAC、∠PBD
之间的等量关系．
※课后练习
1．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形
的最大内角的度数是．
2．若ABC的三个内角满足3A>5B，3C<2B，则
三角形是（）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．都有可能
3．如图5，
12
//
l l，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=。
4．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D
分别落在C′，D′上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=58°，
那么∠BEG= .
5．一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三
条线段组成一个三角形，求a的取值范围.
E
A B
D
G
A
B C
E
F
6．如图，在△ABC 中，∠ABC = ∠ACB ，∠A = 40°，P 是△ABC 内一点，且∠1 = ∠2．则∠BPC =________。
7．周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形有多
少个
8．如图△ABC 中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°，∠ACB=62°,求∠DFE
的大小。
9．如图所示，已知在△ABC 中，AB=AC =8，P 是BC 上任意一点，PD⊥AB 于点D ，PE⊥AC 于点E.若△ABC 的面积为14，问：PD+PE 的值是否确定若能确定，是多少若不能确定，请说明理由.
10．如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D 、G ，且∠1=∠2，
猜想∠BDE 与∠C 有怎样的大小关系试说明理由.
11．已知AB∥CD，直线l 与AB 、CD 分别交于点E 、F ，点P 是直线CD 上的一个动点（点P 不与F 重合），点M 在EF 上，且
∠FMP=∠FPM，
（1）如图1，当点P 在射线PC 上移动时，若∠AEF=60°，则∠FPM= ；假设∠AEF=a，则∠FPM= ； （2）如图2，当点P 在射线FD 上移动时，猜想∠FPM 与∠AEF 有怎样的数量关系请你说明理由．
2
1
P
C
B
A
E D
C
B
A
F。