高中数学-选修2-2模块测试卷(含详细答案)
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)1.复数就像平面上的点，有实部和虚部。
2.复数就像向量，有大小和方向。
3.复数就像计算机中的复数类型，有实部和虚部。
4.复数就像两个数字的有序对，有序对的第一个数字是实部，第二个数字是虚部。
改写：关于复数的四种类比推理，可以用不同的比喻来描述复数的实部和虚部。
一种比喻是将复数看作平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标；另一种比喻是将复数看作向量，实部和虚部分别对应向量的大小和方向；还可以将复数看作计算机中的复数类型，实部和虚部分别对应类型中的两个数；最后一种比喻是将复数看作有序对，实部和虚部分别对应有序对的第一个数字和第二个数字。
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则。
②由向量a的性质|a|²＝a²，可以类比得到复数z的性质：|z|²＝z²。
③方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b²－4ac>0，类比可得方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b²－4ac>0.④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义。
其中类比得到的结论正确的是：A。
①③B。
②④C。
②③D。
①④2.删除明显有问题的段落。
3.填空题：11.若复数z满足z＋i＝0，则|z|＝1.12.直线y＝kx＋1与曲线y＝x³＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为4.13.第n个正方形数是n²。
14.＋＋＝AA′BB′CC′；＋＋＋＝AA′BB′CC′DD′。
4.解答题：15.1) F(x)的单调区间为(-∞。
0)和(2.+∞)。
2) F(x)在[1,5]上的最小值为-5，最大值为9.16.因为AD⊥BC，所以AB²=AD²+DB²。
又因为AB⊥AC，所以AC²=AD²+DC²。
(完整版)新课改高二数学选修2-2模块综合测试题(含答案)
新课改高二数学选修2-2模块综合测试题（本科考试时间为120分钟，满分为100分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为30分，试卷Ⅱ分值为70分。
第I 卷一．选择题（本大题有10小题，每小题3分,共30分） 1．在“近似替代”中，函数在区间上的近似值（ ）)(x f ],[1+i i x x （A ）只能是左端点的函数值（B ）只能是右端点的函数值)(i x f )(1+i x f （C ）可以是该区间内的任一函数值）（D ）以上答案均正确()∈i i f ξξ(],[1+i i x x 2．已知，其中m 为实数，i 为虚数单位，若，则m 的22123i 4(56)i z m m m z m =-+=++，120z z -=值为 （ ）(A) 4(B)(C) 6(D) 01-3．已知,下列各式成立的是 （ ）1,1x y <<（A ） （B ） （C ） （D ）2x y x y ++->221x y +<1x y +<1xy x y+>+4．设f (x )为可导函数，且满足=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率是(1)(1)lim2x f f x x→--（ ）（A ）2（B ）－1（C ）（D ）－2125．若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）必要条件6．函数在处有极值10, 则点为（ ）223)(a bx ax x x f +--=1=x ),(b a （A ）（B ）（C ） 或 （D ）不存在)3,3(-)11,4(-)3,3(-)11,4(-7．，则的最小值为（ ）1x y z ++=22223x y z ++(A)1(B)(C)(D)34611588．曲线， 和直线围成的图形面积是 （ ）xy e =xy e -=1x =(A)(B)(C)(D) 1e e --1e e -+12e e ---12e e -+-9．点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是（ ）P x x y ln 2-=P 2y x =-(A) １ (B) (C) ２ (D) 10．设（），当时，的最大值为，则的最小值为2()f x x ax b =++,a b R ∈[]11,x ∈-()f x m m （ ）(A) (B) １ (C) (D) ２1232第I 卷二．填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）11．定义运算,若复数满足,其中为虚数单位,则复数a b ad bc c d =-z 112z zi-=i．z =12．如图,数表满足:⑴第行首尾两数均为;⑵表中递推关系类似杨辉三角,n n 记第行第2个数为.根据表中上下两行数据关系,(1)n n >()f n 可以求得当时, ．2n …()f n =13．设函数f (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f (x )在［0,1］上的最大值为．14．设，，，且，，则的i a R +∈i x R +∈12,,i n = 222121n a a a ++= 222121n x x x ++= 1212,,,n na a a x x x 值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是 ．①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1三 解答题（本大题共5小题，共54分）15（本小题满分10分）(1)求定积分的值；(2)若复数，，1222x dx --⎰12()z a i a R =+∈234z i =-且为纯虚数，求12z z 1z12 234 34 7 7 4… … …16（本小题满分10分）现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，求高为多少？l 17（本小题满分12分）已知函数11()ln()x f x x x =+-+（1）求的单调区间；()f x （2）求曲线在点（1，）处的切线方程；()y f x =1()f （3）求证：对任意的正数与，恒有．a b 1ln ln b a b a-≥-18（本小题满分10分）（提示：请从以下两个不等式选择其中一个证明即可，若两题都答以第一题为准）（1）设，，，且i a R +∈i b R +∈12,,i n = 12122n n a a a b b b ++=++= 求证：2221211221n n na a a ab a b a b +++≥+++ （2）设（）求证：i a R +∈12,,i n = 21212222122334122()()n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++≤++++++++ 19（本小题满分12分）设数列满足{}n a 211123,,,,,n n n a a na n +=-+= （1）当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；12a =234,,a a a {}n a （2）当时，证明对所有，有13a ≥1n ≥ ①2n a n ≥+②1211111112n a a a ++≤+++新课改高二数学选修2-2模块综合测试题参考答案一 选择题1 C2 B3 D4 D5 A6 B7 C8 D9 B 10 A二 填空题11 1-i 1213 14 ③⑤222n n -+242()n n n ++三 解答题15 (1)（2）10316 当高时， h =3max V =17 （1）单调增区间 ，单调减区间0(,)+∞10(,)- （2）切线方程为 44230ln x y -+-=（3）所证不等式等价为10ln a bb a+-≥而，设则，由（1）结论可得，1111()ln()f x x x =++-+1,t x =+11()ln F t t t=+-由此，所以即011()(,)(,)F t +∞在单调递减，在单调递增，10min ()()F t F ==10()()F t F ≥=，记代入得证。
高中数学_选修2-2模块测试卷(含详细答案)
高中数学选修2-2模块测试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．因指数函数xa y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”， 上面推理的错误是（ ）A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错2．设O 是原点，向量OA OB ，对应的复数分别为2332i i --+，，那么向量BA 对应的复数是（ ）A ．55i -+B ．55i --C ．55i +D ．55i - 3．函数x x x f ln )(=，则（ ）A ．在(0)∞，上递增B ．在(0)∞，上递减C ．在1(0)e ，上递增 D ．在1(0)e，上递减 4．如右图，阴影部分面积为（ ） A ．[()()]ba f x g x dx -⎰B ．[()()][()()]c bacg x f x dx f x g x dx -+-⎰⎰C ．[()()][()()]c bacf xg x dx g x f x dx -+-⎰⎰D ．[()()]bag x f x dx -⎰5．证明：2111111(1)22342n n n n+<+++++<+>，当2n =时，中间式子等于（ ） A ．1 B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++ 6．42xe dx -⎰的值等于（ ）A ．42e e -- B ．42e e + C ．422e e +- D ．422e e -+-7．函数2sin(2)y x x =+导数是（ ）A ．2cos(2)x x + B ．22sin(2)x x x + C ．2(41)cos(2)x x x ++ D ．24cos(2)x x +8．抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与其平行直线0bx y c ++=间的距离是（ ） A ．24B ．22C ．322D ．29．'()f x 是()f x 的导函数，'()f x 的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ．(0)(2)2(1)f f f +>二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11．若复数()()22563m m m m i -++-是纯虚数，则实数m =_________． 12．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232s t t t =-+，那么速度为零的时刻是_________． 13．若函数()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '-=_________．14．已知2()ln(22)(0)f x x ax a a =-+->，若()f x 在[1)+∞，上是增函数，则a 的取值范围是_________． 15．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为216l ”，可猜想关于长方体的相应命题为：．三、解答题（共6小题，共75分）16．（本小题满分10分）已知复数2(1i)3(1i)2iz ++-=+，若21i()z az b a b ++=+∈R ，，求a b +的值．17．（本小题满分11分）设2(0)()cos 1(0)x x f x x x ⎧=⎨->⎩ ≤，，试求π21()f x dx -⎰．18．（本小题满分12分）设a b c ，，均为大于1的正数，且10ab =．求证：log log 4lg a b c c c +≥．19．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，113a =，且前n 项的算术平均数等于第n 项的21n -倍*()n ∈N ． （1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明．20．（本小题满分14分）已知函数21()ln 2f x x x =+． （1）求函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值；（2）求证：在区间(1)+∞，上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方．21．（本小题满分14分）已知函数3()31f x x ax =+-，()()5g x f x ax '=--，其中()f x '是()f x 的导函数． （1）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；（2）设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点．参考答案一、选择题二、填空题11．2 12．1秒或2秒 13．3 14．12a <≤15．表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为236S ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题 16．解：2i 33i 3i1i 2i 2iz +--===-++，2(1i)(1i)1i a b ∴-+-+=+，()(22i)1i a b ∴++--=+，1a b ∴+=． 17．解：ππ02211()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰π0221(cos 1)x dx x dx -=+-⎰⎰π20201(sin )3xx x -1=+-1π4π13232=+-=-． 18．证明：由于1a >，1b >，故要证明log log lg a b c c c +4≥， 只需证明lg lg 4lg lg lg c cc a b+≥，又1c >，lg 0c >， 所以只需证明11lg lg a b +4≥，即lg lg 4lg lg a b a b+≥． 因为10ab =，所以lg lg 1a b +=，故只需证明14lg lg a b≥．①由于1a >，1b >，所以lg 0a >，lg 0b >，所以2lg lg 10lg lg 24a b a b +⎛⎫<= ⎪⎝⎭≤．即①式成立，所以原不等式成立．19．解：（1）由已知113a =，123(21)n n a a a a n a n ++++=-，分别取2345n =，，，，得2111153515a a ===⨯， 312111()145735a a a =+==⨯，4123111()277963a a a a =++==⨯， 51234111()4491199a a a a a =+++==⨯，所以数列的前5项是113a =，2115a =，3135a =，4163a =，5199a =；（2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+．下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立． ②假设当n k =时猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+．那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++，即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+．所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+，即1(21)(23)k k k a k a +-=+，又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k k a k k +-=+-+，所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，公式也成立．由①和②知，对一切*n ∈N ，都有1(21)(21)n a n n =-+成立．20．（1）解：由已知1()f x x x'=+，当[1e]x ∈，时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[1e]，上单调递增， 所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值分别为2e (e)12f =+，1(1)2f =， 所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大值为2e 12+，最小值为12； （2）证明：设2312()ln 23F x x x x =+-，则221(1)(12)()2x x x F x x x x x -++'=+-=．因为1x >，所以()0F x '<，所以函数()F x 在区间(1)+∞，上单调递减，又1(1)06F =-<，所以在区间(1)+∞，上，()0F x <，即2312ln 23x x x +<， 所以在区间(1)+∞，上函数()f x 的图象在函数32()3g x x =图象的下方．21．解：（1）由题意，得22()335(3)35g x x ax a x a x =-+-=-+-， 设2()(3)35a x a x ϕ=-+-，11a -≤≤．对11a -≤≤中任意a 值，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，(1)0(1)0ϕϕ<⎧∴⎨-<⎩，，即2232080x x x x ⎧--<⎪⎨3+-<⎪⎩，，解得213x -<<．故213x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <． （2）22()33f x x m '=-，①当0m =时，3()1f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点． ②当0m ≠时，列表：()()f x f m ∴==极小． 又()f x 的值域是R ，且在()m +∞，上单调递增，∴当x m >时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点； 当x m <-时，恒有()()f x f m -≤．由题意，得()3f m -<，即3221213m m m -=-<，解得3((02)m ∈，．综上，m的取值范围是(．。
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高二理科数学第三次月考测试题一、选择题（每小题5分，共50分）1、 若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()lim h f x h f x h h→+--值为 （ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x -D ．02、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 （ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 3、定义运算a b ad bc c d=- ，则符合条件1142i iz z -=+ 的复数z 为 ( ) Ａ．3i - Ｂ．13i +Ｃ．3i +Ｄ．13i -4、如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数( )A. 13(,)x xB. 24(,)x xC.46(,)x xD.56(,)x x5、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( )A ． 假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角Ｃ．假设没有一个钝角 Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角6、观察按下列顺序排列的等式：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=，93431⨯+=，…，猜想第*()n n ∈N 个等式应为 （ ）Ａ．9(1)109n n n ++=+ Ｂ．9(1)109n n n -+=- Ｃ．9(1)101n n n +-=-Ｄ．9(1)(1)1010n n n -+-=-7、如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为 （ ） (A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J 8、 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中 （ ） A ．大前提错误 B ． 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确 9、在复平面内, 复数1 + i 与31+i 分别对应向量和, 其中O 为坐标原点,则AB = （ ）A.2B.2C. 10D. 410、函数32()393,f x x x x =--+若函数()()[2,5]g x f x m x =-∈-在上有3个零点，则m 的取值范围为 （ ） A ．（-24,8） B ．（-24,1] C ．[1,8] D ．[1,8）二、填空题（每小题5分，共20分） 11、=---⎰dx x x )2)1(1(10212、函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为________。
高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)
高中数学选修2-2综合测试题(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数为( ) A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．1＋3iD ．1－3i2．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A ．0 B ．锐角 C.π2D ．钝角3．用反证法证明命题“若函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，那么|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”时，反设正确的是( )A ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都不小于12B ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12C ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|至多有两个小于12D ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|至多有一个小于124．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a5.由①y ＝2x ＋5是一次函数；②y ＝2x ＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③①6.如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r)×2π×R ＋r2，所以，圆环的面积等于以线段AB ＝R －r为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M ＝{}(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2(其中0<r<d)绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )A ．2πr 2dB ．2π2r 2dC ．2πrd 2D ．2π2rd 27．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 015的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625D ．8 1258．下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算，可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a |2＝a 2，可以类比得到复数z 的性质：|z |2＝z 2；③方程ax 2＋bx ＋c ＝0，(a ，b ，c ∈R ，且a ≠0)有两个不同的实数根的条件是b 2－4ac >0，类比可得方程ax 2＋bx ＋c ＝0，(a ，b ，c ∈C 且a ≠0)有两个不同的复数根的条件是b 2－4ac >0；④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比得到的结论正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①④9．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A 与B 的大小关系为( )A ．A ＞B B ．A ≥BC ．A ＜BD ．A ≤B10．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii，则|z |＝________.12．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为________． 13．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形，如下图所示：第n 个正方形数是________．14．若O 为△ABC 内部任意一点，连接AO 并延长交对边于A ′，则AO AA ′＝S 四边形ABOCS △ABC，同理连接BO ，CO 并延长，分别交对边于B ′，C ′，这样可以推出AO AA ′＋BO BB ′＋COCC ′＝________；类似地，若O 为四面体ABCD 内部任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO 并延长，分别交相对的面于A ′，B ′，C ′，D ′，则AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＋DODD ′＝________.三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 15．(本小题满分12分)已知F (x )＝1x－t (t －4)d t ，x ∈(－1，＋∞)．(1)求F (x )的单调区间； (2)求函数F (x )在[1,5]上的最值．16．(本小题满分12分)在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝13是函数f (x )的极值点，是否存在实数b ，使得函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点？若存在，请求出b 的取值范围；若不存在，试说明理由．18．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n. (1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．高中数学选修2-2综合测试题参考答案1．选D ∵z ＝10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.2．选D f ′(x )＝e x ·cos x ＋e x ·(－sin x )＝e x (cos x －sin x )．当x ＝1时，cos x －sin x ＜0，故f ′(1)＜0，所以倾斜角为钝角．3．选B “|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”的反设为“|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12”． 4．解析：选A 由题意可得a ＝⎠⎛01x －13d x ＝x 113－＋－13＋110＝32x 2310＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－x 323210＝1－⎝⎛⎭⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 4410＝14.综上，a ＞b ＞c .5．选B 该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y ＝2x ＋5是一次函数(小前提)，y ＝2x ＋5的图象是一条直线(结论)．6．选B 平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体类似于为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr 2)为底，以O 为圆心、d 为半径的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d .7．选D ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝8 125， 58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…∴5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字为f (n )，则f (2 015)＝f (502× 4＋7)＝f (7)．∴52 015与57的末四位数字相同，均为8 125.8．选D ②中|z |2∈R ，但z 2不一定是实数．③中复数集不能比较大小，不能用b 2－4ac 来确定根的个数．9．选Cx 1＋x ＋y 1＋y ＞x 1＋x ＋y ＋y1＋x ＋y ＝x ＋y 1＋x ＋y.10．选C 由函数f (x )在x ＝－2处取得极小值可知x <－2，f ′(x )<0，则xf ′(x )>0；x >－2，f ′(x )>0，则－2<x <0时，xf ′(x )<0，x >0时，xf ′(x )>0.11．解析：∵z ＝3＋i i －i ＝(3＋i )(－i )－i 2－i ＝－i 2－3i －i ＝1－4i ，∴z ＝1＋4i.∴|z |＝12＋42＝17.答案：1712．解析：∵直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a .∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ×1＋13＝13＋a ×1＋b ， k ＝3×12＋a ，解得a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1. 答案：113．解析：观察前5个正方形数，正好是序号的平方，所以第n 个正方形数应为n 2. 答案：n 214．解析：根据面积公式，在△ABC 中， AO AA ′＝AA ′－OA ′AA ′＝1－OA ′AA ′ ＝1－S △OBC S △ABC ＝S 四边形ABOC S △ABC ，所以AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＝3－S △OBC ＋S △OAC ＋S △OABS △ABC＝3－S △ABCS △ABC＝2.根据体积分割方法，同理可得在四面体ABCD 中， AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＋DODD ′＝4－V O -ABD ＋V O -ACD ＋V O -ABC ＋V O -BCDV A -BCD＝4－V A -BCDV A -BCD ＝3.答案：2 3 15．解：F(x )＝1x⎰－ (t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 21x -＝13x 3－2x 2－⎝⎛⎭⎫－13－2 ＝13x 3－2x 2＋73(x >－1)． (1)F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )>0，即x 2－4x >0，得－1<x <0或x >4； 由F ′(x )<0，即x 2－4x <0，得0<x <4， ∴F (x )的单调递增区间为(－1,0)和(4，＋∞)， 单调递减区间为(0,4)．(2)由(1)知F(x )在[1,4]上递减，在[4,5]上递增，∵F (1)＝13－2＋73＝23，F (4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F (5)＝13×53－2×52＋73＝－6，∴F (x )在[1,5]上的最大值为23，最小值为－253.16． 证明：如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2， ∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC2.所以1AD 2＝1AB 2＋1AC2.猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想四面体A -BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确． 17．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －3， ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴在[1，＋∞)上恒有f ′(x )≥0， ∴－a3≤1，且f ′(1)＝2a ≥0.∴a ≥0.故实数a 的取值范围为[0，＋∞)． (2)由题意知f ′⎝⎛⎭⎫13＝0，即13＋2a3－3＝0， ∴a ＝4.∴f (x )＝x 3＋4x 2－3x .若函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点，即方程x 3＋4x 2－3x ＝bx 恰有3个不等实根．∵x ＝0是其中一个根，∴方程x 2＋4x －(3＋b )＝0有两个非零不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋4(3＋b )>0，－(3＋b )≠0.∴b >－7，且b ≠－3.∴满足条件的b 存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)． 18．解：(1)由a n ＋1＝12－a n 可得a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝12－12－a ＝2－a3－2a，a 4＝12－a 3＝12－2－a 3－2a＝3－2a 4－3a . (2)推测a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝a 1＝a ， 右边＝(1－1)－(1－2)a 1－(1－1)a＝a ，结论成立．②假设n ＝k 时等式成立，有a k ＝(k －1)－(k －2)ak －(k －1)a ，则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝12－a k＝12－(k －1)－(k －2)a k －(k －1)a＝k －(k －1)a2[k －(k －1)a ]－[(k －1)－(k －2)a ]＝k －(k －1)a(k ＋1)－ka.故当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②可知，对任何n ∈N *都有a n ＝(n －1)－(n －2)a n －(n －1)a.。
最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套
最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套模块综合检测(A)一、选择题1.复数z＝2－i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限解析：∵z＝2－i＝(2.-1)，在第四象限．∴复数z对应的点的坐标为(2.-1)。
答案：D2.函数f(x)＝x^3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为()A。
10B。
5/3C。
－1D。
－7/3解析：f′(x)＝3x^2＋4，f′(1)＝7，f(1)＝10，y－10＝7(x－1)，y＝7(x－1)+10时，x＝7/3.答案：D3.类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是()①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交。
A。
①②③B。
①③C。
①D。
②③解析：类比①的结论为：平行于同一个空间的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个空间如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个空间与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立。
答案：A4.函数y＝x^3－3x^2－9x(－2<x<2)有()A。
极大值5，极小值－27B。
极大值5，极小值－11C。
极大值5，无极小值D。
极小值－27，无极大值解析：y′＝3x^2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，得x＝－1，x＝3，当x0；当x>－1时，y′<0.当x＝－1时，y极大值＝5，x取不到3，无极小值。
答案：C5.函数y＝4x^2＋1/x的单调递增区间是()A。
(0，＋∞)B。
(－∞，1)C。
(1，2)D。
(2，＋∞)解析：令y′＝8x－1/x^2＝0，即x＝1/2，y′(x)＝8x－1/x^2＞0，所以y＝4x^2＋1/x在(0，＋∞)上单调递增。
(完整版)高二数学选修2-2模块综合测试题(理科)
选修 2-2期中测试卷（本科考试时间为 120 分钟，满分为 100 分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为30 分，试卷Ⅱ分值为 70 分。
班级姓名第 I 卷一．选择题1． 在“近似代替 ”中，函数 f ( x) 在区间 [ x i , x i 1 ] 上的近似值 （）（ A ）只好是左端点的函数值f ( x i )（ B ）只好是右端点的函数值f ( x i 1)（ C ）能够是该区间内的任一函数值 f i (i[ x i , x i 1 ] ）（D ）以上答案均正确2． 已知 z 1 m 23m m 2i ， z 24(5m 6)i ，此中 m 为实数， i 为虚数单位，若 z 1z 2 0 ，则 m 的值为 （）(A) 4(B)1(C) 6(D) 03． 设 S(n)1111L 1*) ，当 n2时， S(2) （ Cnn 1n2 n3 n 2 (n N ）1Ｂ． 1 1Ａ．2 321 11Ｄ．1 1 1 1Ｃ．3 423 4 524． 用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假定正确的选项是（A 、假定起码有一个钝角B ．假定起码有两个钝角B）Ｃ．假定没有一个钝角Ｄ．假定没有一个钝角或起码有两个钝角5． 给出以下命题：⑴若b( ) 0 ，则 f ( x )>0 ； ⑵ 2;af x dx 0sin xdx 4，且 ( ) 是以aa T⑶已知F ( x) f (x) T 为周期的函数，则f ( x)dxf ( x)dx ；F xT此中正确命题的个数为( B )6． 若f'(x 0 )3lim f ( x 0 h)f ( x 0 3h)B ），则 h 0h（A ． 3B ．12C ．9D ．67.已知 x1, y 1, 以下各式建立的是（ D）（ A ） x yx y 2 （ B ） x 2y 2 1（ C ） x y 1 （ D ） xy 1 x yπx dx的值等于（A8. 定积分 2 sin2）02π 1B．π 1C．1ππA．24224D．142【第 9 题 2选 1】9.曲线y x33x 2上的随意一点P 处切线的斜率的取值范围是（）A．[3,) B.(3,) C. (3,) D.[ 3,) 339. 设P为曲线：x22x 3 上的点，且曲线C在点 P处切线倾斜角的取值范围为，，则点P横C y04坐标的取值范围为（）A．，1B．1，0C．01，D．1 ，11 2210.已知数列 { a n }知足 a1 2 ， a2 3 ， a n 2 | a n 1a n | ，则 a2016＝（）A． 111.已知函数 f ( x)x2bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线的斜率为 3，数列1f (n)的前 n 项和为 S n , 则 S2011的值为（ D）A. 2008B. 2009C. 2010D. 2011200920102011201212.平面几何中，有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值3a ，类比上述命题，棱长为 a 2的正四周体内任一点到四个面的距离之和为（B）Ａ． 4 aＢ． 6 aＣ． 5 aＤ． 6 a 3344第Ⅱ卷二．填空题13．若复数z 1i1i，则复数 z= 1i1i14．已知等腰梯形OABC的极点A，B在复平面上对应的复数分别为 1 2i 、 2 6i ，且 O 是坐标原点，OA∥ BC ．求极点 C 所对应的复数z f ( x )，则当a0时，【15题2选1】已知可导函数 f( x)( x R) 的导函数 f ' ( x ) 知足 f ' ( x )15.f (a) 和 e a f ( 0) （ e 是自然对数的底数）大小关系为15. 若函数f (x)4x在区间 (m，2m1) 上是单一递加函数，则实数m 的取值范围是．x21答案：1m ≤ 016.认真察看下边图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，依据这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是91三解答题（本大题共 5 小题，共54 分）17（本小题满分10 分）(1)1x22dx【 2 选 1】 (2) 若复数z1a2i (a R) ， z2 3 4i ，求定积分2的值；且z1为纯虚数，求z1z22z z i3i，求 z ．（ 2）已知复数z知足z2i由已知得 z 2z z i1i ，设 z x yi , x, y R代人上式得x 2y 2 2 xi1ix2y21x 1 2因此2x，解得3 1y2故 z1 3 i22 18.【 3 选 1】（ 1）已知a，b是正实数，求证：a bab b a只要证 a a b b ab ( a b )即证 ( a b ab )( a b)ab(ab)即证 ab abab即证 a b 2 ab ，即 (ab) 2该式明显建立，因此ab abba（ 2）求证： (1) a 2b 2 3 ab3( a b) ;证明：（ 1） ∵ a 2 b 22ab ,a 2 3 2 3a ,b 2 3 2 3b ;将此三式相加得2 (a 2 b 23) 2ab 23a 2 3b ,∴ a 2b 2 3 ab3( a b) .（ 3）已知 a, b,c 均为实数，且 a x 22 y, b y 22 z, c z 22 x，求证： a,b, c 中起码有一个大于 0.236证明：（反证法）假定 a,b,c 都不大于 0，即 a0,b 0,c0 ，则 a bc0 ，由于 a x 22 y π 22 zπ 22 xπ2,b y, c z6π) ( y 23π)π)abc( x22 y2 z( z 2 2 x23 6( x 1) 2( y1) 2( z 1) 2π 3即 ab c 0 ，与 a b c 0 矛盾，故假定错误，原命题建立 .19.设 y f ( x) 是二次函数，方程f ( x)0 有两个相等的实根，且f ( x)2x 2．（ 1）求 yf ( x) 的表达式；（ 2）若直线 x t(0 t 1) 把 y f (x) 的图象与两坐标轴所围成图形的面积二平分，求 t 的值．解：（ 1）设 f (x) ax 2bx c(a 0) ，则 f ( x)2ax b ．由已知 f( x)2x 2 ，得a1， b2．f ( x)x22x c ．又方程x22x c0 有两个相等的实数根，44c0 ，即 c1．故 f (x)x22x1；t2x1)dx0( x22x 1)dx ，（ 2）依题意，得( x2t113x2x t 13x2x0x1x t，33整理，得2t 36t 26t10 ，即 2(t1)3 1 0 ，t 11．3220.已知函数f ( x) ln( x 1)x（ 2）求曲线y f ( x) 在点（1， f (1) ）（1）求f (x)的单一区间；x1a 与b，恒有 ln a lnb 1b．处的切线方程；（ 3）求证：对随意的正数a21.已知数列a n的前n项和S n 1 na n ( n N* ) ．（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式，并用数学概括法证明你的结论．解：（ 1）依题设可得a111， a211， a311， a411；212623123420451 （ 2）猜想： a n．n(n 1)证明：①当 n1 时，猜想明显建立．②假定 nk (k N * ) 时，猜想建立，即 a k1．k( k 1)那么，当 n k1时，S k 11 (k1)a k 1 ，即 S k ak 11 ( k 1)a k 1 ．又 S k1 ka k k ，kk1因此ak 11 (k 1)a k 1 ，1k进而 a k 111．(k 1)(k 2) (k 1)[( k1) 1]即 n k 1 时，猜想也建立．故由①和②，可知猜想建立．21（本小题满分 12 分） 设数列 a n 知足 a n 1 a n 2 na n 1, n1, 2, 3,L ,（ 1） 当 a 12 时，求 a 2 , a3 , a4 ，并由此猜想出 a n 的一个通项公式；（ 2） 当 a 13时，证明对全部 n 1，有 ① a nn 2 ②1 11 1a 1 1 a 2L21 1 a n18、设函数 x 3 x 23x 3a( a 0) （ 12 分）f ( x )3（ 1）假如 a 1 ，点 P 为曲线 y f ( x ) 上一个动点， 求以 P 为切点的切线斜率获得最小值时的切线方程；（ 2）若 x[a,3 a] 时， f ( x) 0 恒建立，求 a 的取值范围。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试题(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知()()()()()()*1232,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数是()f x '，若()()10n f a f '-=，则50a =（ ） A ．150! B ．150 C ．50 D ．50!2．直线y kx b =+与曲线()y f x =相切也与曲线()y g x =相切，则称直线y kx b =+为曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线，已知()x f x e =，()ln 2g x x =+，直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则直线l 的方程为（ ）A ．1y x e =或1y x =-B ．y ex =-或1y x =--C ．y ex =或1y x =+D ．1y x e=-或1y x =-+ 3．如图，()y f x =是可导函数，直线l ：2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令2()()g x x f x =，()g x '是()g x 的导函数，则()3g '等于（ ）A ．3B ．0C ．2D ．44．若曲线()x f x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ）A ．12e +B ．12e -C ．12D ．2e 5．函数()2221sin cos 622x x f x x =+-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知()ln 1x f x x =+，则()0f '等于（ ） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14- 7．函数22sin 22()([,0)(0,])133x x f x x x ππ=∈-+的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．设函数()ln f x x =，且()012,,0,x x x ∈+∞，下列命题：①若12x x <，则()()122121f x f x x x x ->-； ②存在()012,x x x ∈，12x x <，使得()()120121f x f x x x x -=-； ③若11x >，21>x ，则()()12121f x f x x x -<-； ④对任意的1x ，2x ，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭. 其中正确的命题个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（ ） A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－210．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x xf e ='lnx +，则()f e =（ ） A ．e B ．1e - C ．1- D ．e -11．已知函数f(x)=x 2-ax 的图象在点A(1，f(1))处的切线l 与直线x+3y=0垂直，若数列{1()f n }的前n 项和为S n ，则S 2013的值为( ) A ．20102011 B ．20112012 C ．20122013 D ．2013201412．曲线l (n )f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．0x y +=B ．1x =C ．20x y --=D ．1y =-二、填空题13．函数()ln(32)f x x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为_______14．已知函数32()1(0,0)32x b f x x ax a b =-++>>，则函数'()()ln f x g x a x a =+在点(,())b g b 处切线的斜率的最小值是________．15．已知1()2(1)f x xf x=+'，则(2)f '=______． 16．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是28y x =-+，则(3)(3)f f '+=__________．17．已知函数1()f x x x=+和点(1,0)P ，过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则直线MN 的斜率等于____.18．某物体作直线运动，其位移S 与时间t 的运动规律为2S t t =+t 的单位为秒，S 的单位为米），则它在第4秒末的瞬时速度应该为__________米/秒.19．设函数y=-x 2+l 的切线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为__________.20．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()32(2)f x x xf ，则(3)f '=_______．三、解答题21．已知函数，，曲线在处的切线方程为． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若对，恒有成立，求的取值范围． 22．定义在R 上的函数()()313,3f x x cx f x =++在0x =处的切线与直线2y x =+垂直. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）设()()4ln g x x f x =-'，（其中f x 是函数()f x 的导函数），求()g x 的极值. 23．已知函数()31132f x x =+. （1）求曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）求过点122A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作曲线y =f （x ）的切线方程.24．求下列函数的导函数.（1）()521y x =+（2）1log 32a y x =+ 25．已知平面向量(sin 2,cos2),(sin 2,cos2)a x xb ϕϕ==，设函数()f x a b =⋅（ϕ为常数且满足0πϕ-<<），若函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象的一条对称轴是直线8x π=. （1）求ϕ的值；（2）求函数4y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值： （3530x y -+=与函数4y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象不相切． 26．已知函数()()1ln 1x f x x ++=和()()1ln 1g x x x =--+（1）若()f x '是()f x 的导函数，求(1)f '的值（2）当0x >时，不等式()()0g x f x k x'->恒成立，其中()g x '是()g x 导函数,求正整数k 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】求出()1f '-和()0f ，可得出n a 的表达式，进而可计算得出50a 的值.【详解】()()()()()123f x x x x x n =++++，其中2n ≥且n *∈N ，()()()()()()()2313f x x x x n x x x n '∴=++++++++()()()121x x x n ++++-，()()11231f n '∴-=⨯⨯⨯⨯-，()()01231f n n =⨯⨯⨯⨯-⨯，则()()110n f a f n'-==， 因此，50150a =. 故选：B.【点睛】本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于中等题. 2．C解析：C【分析】首先设出切点坐标，根据导数的几何意义列出等量关系，解出切点坐标，从而得到切点方程.【详解】设()f x ，()g x 的切点分别为11(,)x x e ，22(,ln 2)x x +，()x f x e '=，1()g x x '=. 所以121x x k e ==，即1221ln ln x x x ==-. 又因为122221221ln 2ln 2ln x x x e x k x x x x +-+-==-+，所以222221ln 21ln x x x x x +-=+. 整理得22(1)(ln 1)0x x -+=，解得：21x =或21x e=. 所以()g x 的切点为(1,2)或1(,1)e，1k =或e . 切线为21y x -=-或11()y e x e-=-，即：1y x =+或y ex =.故选：C【点睛】本题主要考查导数的切线问题，利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系进行转化为解题的关键，属于中档题. 3．A解析：A【分析】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线求出=(3)k f ，由图(3)=1f ，对2()()g x x f x =求导取值可得.【详解】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线,所以切点(3,1)代入切线方程得1=(3)=3k f ，又(3)=1f 2()()g x x f x =，2()2()+()g x xf x x f x ''=，(3)6(3)+9(3)=3g f f ''∴=故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点00)(P x y ，既在曲线上又在切线上构造方程组求解．4．A解析：A【分析】求导得到()()'1xf x m x e =+⋅，由已知得()1f e =，()1f e '=，解得答案. 【详解】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m e n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A .【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．C解析：C【分析】将函数()y f x =的解析式化简，求出其导数()1sin 3f x x x '=+，，然后结合导函数的符号排除错误选项即可确定导函数的图像.【详解】因为()222211sin cos cos 6226x x f x x x x =+-=-，()1sin 3f x x x '∴=+. 当03x <≤时，103x >，sin 0x >，则()1sin 03f x x x '=+>； 当3x >时，113x >，1sin 1x -≤≤，则()1sin 03f x x x '=+>. 所以，当0x >时，()1sin 03f x x x '=+>，排除ABD 选项， 故选：C.【点睛】本题考查函数图象的识别，给定函数解析式，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．C解析：C【分析】首先利用换元法求出函数()f x 的解析式，再求出其导函数，最后代入求值即可；【详解】解：()ln 1x f x x=+， 令ln t x =，t R ∈，则t x e =()1tt e f t e∴=+，t R ∈()1xx e f x e∴=+，x ∈R ()()()()()222111x x x x x x e e e e f x e e +-'∴==++()()0201041e f e '∴==+故选：C【点睛】 本题考查换元法求函数解析式，导数的计算，属于中档题.7．A解析：A【分析】 根据解析式判断函数的奇偶性，2f π⎛⎫⎪⎝⎭的正负，以及2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'的正负，即可进行选择. 【详解】 因为()221x sinx f x x =+，()221x sinx f x x -=-+，且定义域关于原点对称， 故()f x 是奇函数，排除选项C ； 因为2220212f πππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故排除选项D ； 因为()()()()223222121xsinx x cosx x x sinx f x x ++-=+'，故可得220212f πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦' 故函数()f x 在点(),2f x π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为正数，故排除选项B ； 故选：A.【点睛】 本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，特值的把握，利用导数研究函数某点处切线的斜率，属综合中档题.8．B解析：B【分析】作出函数的图象，并作出切线与割线，结合导数的几何意义，对选项逐个分析，可选出答案.【详解】对于①，设112x =，21x =，()()121221ln ln1122ln 21112f x f x x x x --==>=--，显然①不正确；作出函数()ln f x x =的图象，取点()()11,C x f x ，点()()22,D x f x ，取线段CD 的中点B ，过B 作垂直于x 轴的直线交函数图象于A ，显然A B y y >，即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，即④成立. 在弧CD 之间，必存在某点E ，使过该点的切线的斜率等于割线CD 的斜率，所以②对. 对于③，1()f x x'=，()'f x 在()0,∞+上单调递减，(1)1f '=，表示过点()1,0的切线的斜率为1，若11x >，21>x ，则1()1f x '<，2()1f x '<，割线CD 的斜率小于1，所以③对.故选：B.【点睛】本题考查函数的导数、导数的几何意义，考查对数函数的图象性质，考查学生的推理能力，属于中档题.9．A解析：A【解析】【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =，又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+， 所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x xb =-+， 把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =， 所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 10．C解析：C【分析】求得()12()f x f e x '='+，令x e =，解得1()f e e '=-，得到()2f x x lnx e=-+，即可求解()f e 的值，得到答案.【详解】由题意，函数()2()f x xf e ='lnx +，则()12()f x f e x '='+， 令x e =，则()12()f e f e e '='+，解得1()f e e '=-，即()2f x x lnx e =-+， 令x e =，则()2ln 1f e e e e =-⨯+=-，故选C. 【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得()f e '的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 11．D解析：D【解析】【分析】利用导数的几何意义求b ，然后通过数列{()1f n }的通项公式，利用裂项法进行求和即可求出S 2013的值．【详解】∵f(x)=x 2-ax ，∴f′(x)=2x -a ，根据导数的几何意义，∴y=f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线斜率k=f′(1)=2-a ，∵函数f(x)=x 2-ax 的图象在点A(1，f(1))处的切线l 与直线x+3y=0垂直，∴()1213a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，∴a=-1，∴f(x)=x 2+x ，∴f(n)=n 2+n=n(n+1)，∴()()111111f n n n n n ==-++ , ∴20131111112013112232013201420142014S =-+-++-=-=. 故选D ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，数列的求和．考查学生的综合能力．属于中档题．12．D解析：D 【解析】 由题可得11'()1xf x x x-=-=，则切线的斜率为'(1)0f =，又(1)1f =-，所以切线方程为1y =-，故选D ．二、填空题13．【分析】求出该点坐标和导函数该点的导数值即为此处切线斜率利用点斜式写出直线方程化简可得【详解】由题：所以函数在处的切线斜率所以切线方程：即故答案为：【点睛】此题考查导数的几何意义求函数在某点处的切线 解析：330x y --=【分析】求出该点坐标和导函数，该点的导数值即为此处切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简可得. 【详解】由题：(1)ln(32)0f =-=，3()32f x x '=-， 所以函数()f x 在(1,0)处的切线斜率(1)3k f '==，所以切线方程：03(1)y x -=-，即330x y --=. 故答案为：330x y --=. 【点睛】此题考查导数的几何意义，求函数在某点处的切线方程，易错点在于容易混淆函数值与导数值，考查基本运算，是基础题.14．2【解析】【分析】根据已知条件得到的导函数根据限制性条件和基本不等式进行解答【详解】因为所以又因为所以（b ）所以斜率的最小值是2故答案是：2【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值根据导数的解析：2 【解析】 【分析】根据已知条件得到()()f x g x alnx a'=+的导函数，根据限制性条件0a >，0b >和基本不等式 进行解答． 【详解】 因为()()f x g x alnx a'=+， 所以2()a x b g x x a-'=+． 又因为0a >，0b >， 所以g '（b ）22a b b a ab a b b-=+=+， 所以斜率的最小值是2． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本 题的关键．15．【解析】【分析】先求导再求和【详解】由题得所以故答案为：【点睛】（1）本题主要考查导数的求法意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力(2)解答本题的关键是求在求导时知道它是一个常数就可以了解析：74【解析】 【分析】先求导，再求()1f '和()2f '. 【详解】 由题得222111()2(1),(1)2(1),(1)1,()21f x f f f f f x x x =-+∴=-+∴=∴=-'''''+'，所以()2f '=17244-+=. 故答案为：74【点睛】（1）本题主要考查导数的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)解答本题的关键是求(1)f '，在求导时，知道它是一个常数就可以了.16．【解析】分析：根据导数几何意义得再根据函数值得代入即得结果详解：由题意可知故点睛：利用导数的几何意义解题主要是利用导数切点坐标切线斜率之间的关系来进行转化 解析：0【解析】分析：根据导数几何意义得(3)2f '=-，再根据函数值得(3)2382f =-⨯+=，代入即得结果.详解：由题意可知(3)2382f =-⨯+=，(3)2f '=-，故(3)(3)0f f '+=．点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.17．2【解析】设∵函数∴∵过点作曲线的两条切线∴∴直线的方程为直线的方程为∵∴∴即是方程的两根∴∴直线的斜率故答案为2点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率属于中档题应用导数的几何意义求切点处切线的斜率主解析：2 【解析】设11(,)M x y ，22(,)N x y . ∵函数()1f x x x=+ ∴21()1f x x =-' ∵过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ∴2111PM k x =-，2211PNk x =- ∴直线PM 的方程为11211(1)()y y x x x -=--，直线PN 的方程为22221(1)()y y x x x -=--. ∵1111y x x =+，2221y x x =+ ∴11211110()(1)(1)x x x x -+=--，22222110()(1)(1)x x x x -+=-- ∴211210x x +-=，222210x x +-=，即1x ，2x 是方程2210x x +-=的两根. ∴122x x +=-，121x x ⋅=- ∴直线MN 的斜率12121212121211112MN x x y y x x k x x x x x x +---===-=--⋅.故答案为2.点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.18．【解析】由题意可得所以第4秒末的瞬时速度为填解析：32【解析】由题意可得t 2S t t =+（）,1()1s t t=+'所以第4秒末的瞬时速度为13(4)124s '=+=，填32。
高中数学选修2-2综合测试题及答案
选修2-2综合测试题2一、选择题1．在数学归纳法证明“1211(1)1n na a a a a n a+*-++++=≠∈-N ，”时，验证当1n =时，等式的左边为（ ） Ａ．1Ｂ．1a -Ｃ．1a + Ｄ．21a -2．已知三次函数3221()(41)(1527)23f x x m x m m x =--+--+在()x ∈-+，∞∞上是增函数，则m 的取值范围为（Ａ．m <3．设(f Ａ．1，4Ａ．y =5．数列Ａ．676．已知Ａ．x >7．复数Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限8．定义A B B C C D D A ****，，，的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（ ）的运算的结果 Ａ．B D *，A D *Ｂ．B D *，A C * Ｃ．B C *，A D *Ｄ．C D *，A D *9．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ）Ａ．a ，b 都能被5整除Ｂ．a ，b 都不能被5整除 Ｃ．a 不能被5整除Ｄ．a ，b 有1个不能被5整除 10．下列说法正确的是（ ）Ａ．函数y x =有极大值，但无极小值Ｂ．函数y x =有极小值，但无极大值 Ｃ．函数y x =既有极大值又有极小值Ｄ．函数y x =无极值11．对于两个复数12α=，12β=-，有下列四个结论：①1αβ=；②1αβ=；③1αβ=；17．设n *∈N 且sin cos 1x x +=-，求s i n c o snnx x +的值．（先观察1234n =，，，时的值，归纳猜测sin cos n n x x +的值．）18．设关于x 的方程2(tan )(2)0x i x i θ-+-+=， （1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根；（2）证明：对任意ππ()2k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根．19．设0t ≠，点(0)P t ，是函数3()f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．（1）用t 表示a b c ，，；（2）若函数()()y f x g x =-在(13)-，上单调递减，求t 的取值范围．20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a b c >>，且0a b c ++=，<．21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为(0)k k >，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷22（1）求（217当2n =当3n =而sin x +当4n =18由于a ，tan θ∈R ，那么21tan tan 20tan 111a a a a θθ=-⎧--=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，，．又π02θ<<，得1π4a θ=-⎧⎪⎨=⎪⎩，．（2）若有纯虚数根()i ββ∈R ，使2()(tan )()(2)0i i i i βθβ-+-+=，即2(2)(tan 1)0i βββθ-+--+=，由β，tan θ∈R ，那么220tan 10βββθ⎧-+-=⎨+=⎩，，由于220ββ-+-=无实数解．故对任意ππ()2k k θ≠+∈Z ，方程无纯虚数根19、解：（1）因为函数()f x ，()g x 的图象都过点(0)t ，，所以()0f t =，即30t at +=． 因为0t ≠，所以2a t =-．()0g t =，即20bt c +=，所以c ab =． 又因为()()f x g x ，在点(0)t ，处有相同的切线，所以()()f t g t ''=，而2()3f x x a '=+，()2g x bx '=，所以232t a bt +=． 将2a 323（2当y '由y '若t ][)3+，∞．20a b c ++∵21、解：由题意，存款量2()f x kx =，又当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即0.012x =时， 1.44y =；由21.44(0.012)k=·，得10000k =，那么2()10000f x x =，银行应支付的利息3()()10000g x x f x x ==·， 设银行可获收益为y ，则2348010000y x x =-，由于296030000y x x '=-，则0y '=，即2960300000x x -=，得0x =或0.032x =． 因为，(00.032)x ∈，时，0y '>，此时，函数2348010000y x x =-递增；(0.0320.048)x ∈，时，0y '<，此时，函数2348010000y x x =-递减；故当0.032x =时，y 有最大值，其值约为0.164亿．22、解：（1）由1()a f x =，得21()a f a ==，32()a f a =43()a f a =（2证明：（（2由（1）。
高中数学-选修2-2模块测试卷(含详细答案)
高中数学选修2-2模块测试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．因指数函数xa y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”， 上面推理的错误是（ ）A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错2．设O 是原点，向量OA OB ，对应的复数分别为2332i i --+，，那么向量BA 对应的复数是（ ）A ．55i -+B ．55i --C ．55i +D ．55i - 3．函数x x x f ln )(=，则（ ）A ．在(0)∞，上递增B ．在(0)∞，上递减C ．在1(0)e ，上递增 D ．在1(0)e，上递减 4．如右图，阴影部分面积为（ ） A ．[()()]ba f x g x dx -⎰B ．[()()][()()]c bacg x f x dx f x g x dx -+-⎰⎰C ．[()()][()()]c bacf xg x dx g x f x dx -+-⎰⎰D ．[()()]bag x f x dx -⎰5．证明：2111111(1)22342n n n n+<+++++<+>，当2n =时，中间式子等于（ ） A ．1 B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++ 6．42xe dx -⎰的值等于（ ）A ．42e e -- B ．42e e + C ．422e e +- D ．422e e -+-7．函数2sin(2)y x x =+导数是（ ）A ．2cos(2)x x + B ．22sin(2)x x x + C ．2(41)cos(2)x x x ++ D ．24cos(2)x x +8．抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与其平行直线0bx y c ++=间的距离是（ ）A ．24B ．22C ．322D ．29．'()f x 是()f x 的导函数，'()f x 的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ．(0)(2)2(1)f f f +>二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11．若复数()()22563m m m m i -++-是纯虚数，则实数m =_________． 12．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232s t t t =-+，那么速度为零的时刻是_________． 13．若函数()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '-=_________．14．已知2()ln(22)(0)f x x ax a a =-+->，若()f x 在[1)+∞，上是增函数，则a 的取值范围是_________．15．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为216l ”，可猜想关于长方体的相应命题为：．三、解答题（共6小题，共75分）16．（本小题满分10分）已知复数2(1i)3(1i)2iz ++-=+，若21i()z az b a b ++=+∈R ，，求a b +的值．17．（本小题满分11分）设2(0)()cos 1(0)x x f x x x ⎧=⎨->⎩ ≤，，试求π21()f x dx -⎰．18．（本小题满分12分）设a b c ，，均为大于1的正数，且10ab =．求证：log log 4lg a b c c c +≥． 19．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，113a =，且前n 项的算术平均数等于第n 项的21n -倍*()n ∈N ． （1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明． 20．（本小题满分14分）已知函数21()ln 2f x x x =+． （1）求函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值； （2）求证：在区间(1)+∞，上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方．21．（本小题满分14分）已知函数3()31f x x ax =+-，()()5g x f x ax '=--，其中()f x '是()f x 的导函数． （1）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；（2）设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点．参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADDBDCCCDC二、填空题11．2 12．1秒或2秒 13．3 14．12a <≤15．表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为236S ⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题 16．解：2i 33i 3i1i 2i 2iz +--===-++，2(1i)(1i)1i a b ∴-+-+=+，()(22i)1i a b ∴++--=+，1a b ∴+=． 17．解：ππ02211()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰π0221(cos 1)x dx x dx -=+-⎰⎰1π4π13232=+-=-． 18．证明：由于1a >，1b >，故要证明log log lg a b c c c +4≥， 只需证明lg lg 4lg lg lg c cc a b+≥，又1c >，lg 0c >， 所以只需证明11lg lg a b +4≥，即lg lg 4lg lg a b a b+≥． 因为10ab =，所以lg lg 1a b +=，故只需证明14lg lg a b≥．①由于1a >，1b >，所以lg 0a >，lg 0b >，所以2lg lg 10lg lg 24a b a b +⎛⎫<= ⎪⎝⎭≤．即①式成立，所以原不等式成立．19．解：（1）由已知113a =，123(21)n n a a a a n a n ++++=-，分别取2345n =，，，，得2111153515a a ===⨯， 312111()145735a a a =+==⨯，4123111()277963a a a a =++==⨯， 51234111()4491199a a a a a =+++==⨯，所以数列的前5项是113a =，2115a =，3135a =，4163a =，5199a =；（2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+．下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立． ②假设当n k =时猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+．那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++，即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+．所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+，即1(21)(23)k k k a k a +-=+，又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k k a k k +-=+-+，所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，公式也成立．由①和②知，对一切*n ∈N ，都有1(21)(21)n a n n =-+成立．20．（1）解：由已知1()f x x x'=+，当[1e]x ∈，时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[1e]，上单调递增， 所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值分别为2e (e)12f =+，1(1)2f =， 所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大值为2e 12+，最小值为12； （2）证明：设2312()ln 23F x x x x =+-，则221(1)(12)()2x x x F x x x x x -++'=+-=．因为1x >，所以()0F x '<，所以函数()F x 在区间(1)+∞，上单调递减，又1(1)06F =-<，所以在区间(1)+∞，上，()0F x <，即2312ln 23x x x +<， 所以在区间(1)+∞，上函数()f x 的图象在函数32()3g x x =图象的下方．21．解：（1）由题意，得22()335(3)35g x x ax a x a x =-+-=-+-， 设2()(3)35a x a x ϕ=-+-，11a -≤≤．对11a -≤≤中任意a 值，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，(1)0(1)0ϕϕ<⎧∴⎨-<⎩，，即2232080x x x x ⎧--<⎪⎨3+-<⎪⎩，，解得213x -<<．故213x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <． （2）22()33f x x m '=-，①当0m =时，3()1f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点． ②当0m ≠时，列表：()()f x f m ∴==极小．又()f x 的值域是R ，且在()m +∞，上单调递增，∴当x m >时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点； 当x m <-时，恒有()()f x f m -≤．由题意，得()3f m -<，即3221213m m m -=-<，解得33(20)(02)m ∈-，，．综上，m 的取值范围是33(22)-，．极大值最小值。
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高中数学选修2-2模块测试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．因指数函数xa y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”， 上面推理的错误是（ ）A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错2．设O 是原点，向量OA OB u u u r u u u r ，对应的复数分别为2332i i --+，，那么向量BA u u u r 对应的复数是（ ）A ．55i -+B ．55i --C ．55i +D ．55i - 3．函数x x x f ln )(=，则（ ）A ．在(0)∞，上递增B ．在(0)∞，上递减C ．在1(0)e ，上递增 D ．在1(0)e，上递减 4．如右图，阴影部分面积为（ ） A ．[()()]ba f x g x dx -⎰B ．[()()][()()]c bacg x f x dx f x g x dx -+-⎰⎰C ．[()()][()()]c bacf xg x dx g x f x dx -+-⎰⎰D ．[()()]bag x f x dx -⎰5．证明：2111111(1)22342n n n n +<+++++<+>L ，当2n =时，中间式子等于（ ） A ．1 B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++ 6．42xe dx -⎰的值等于（ ）A ．42e e -- B ．42e e + C ．422e e +- D ．422e e -+-7．函数2sin(2)y x x =+导数是（ ）A ．2cos(2)x x + B ．22sin(2)x x x + C ．2(41)cos(2)x x x ++ D ．24cos(2)x x +8．抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与其平行直线0bx y c ++=间的距离是（ ） A ．2B ．2 C ．32D ．29．'()f x 是()f x 的导函数，'()f x 的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ．(0)(2)2(1)f f f +>二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11．若复数()()22563m m m m i -++-是纯虚数，则实数m =_________． 12．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232s t t t =-+，那么速度为零的时刻是_________． 13．若函数()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '-=_________．14．已知2()ln(22)(0)f x x ax a a =-+->，若()f x 在[1)+∞，上是增函数，则a 的取值范围是_________．15．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为216l ”，可猜想关于长方体的相应命题为：．三、解答题（共6小题，共75分）16．（本小题满分10分）已知复数2(1i)3(1i)2iz ++-=+，若21i()z az b a b ++=+∈R ，，求a b +的值．17．（本小题满分11分）设2(0)()cos 1(0)x x f x x x ⎧=⎨->⎩ ≤，，试求π21()f x dx -⎰．18．（本小题满分12分）设a b c ，，均为大于1的正数，且10ab =．求证：log log 4lg a b c c c +≥．19．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，113a =，且前n 项的算术平均数等于第n 项的21n -倍*()n ∈N ． （1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明．20．（本小题满分14分）已知函数21()ln 2f x x x =+． （1）求函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值；（2）求证：在区间(1)+∞，上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方．21．（本小题满分14分）已知函数3()31f x x ax =+-，()()5g x f x ax '=--，其中()f x '是()f x 的导函数．（1）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；（2）设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点．参考答案一、选择题二、填空题11．2 12．1秒或2秒 13．3 14．12a <≤15．表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为236S ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题 16．解：2i 33i 3i1i 2i 2iz +--===-++，2(1i)(1i)1i a b ∴-+-+=+，()(22i)1i a b ∴++--=+，1a b ∴+=． 17．解：ππ02211()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰π0221(cos 1)x dx x dx -=+-⎰⎰π20201(sin )3xx x -1=+-1π4π13232=+-=-． 18．证明：由于1a >，1b >，故要证明log log lg a b c c c +4≥， 只需证明lg lg 4lg lg lg c cc a b+≥，又1c >，lg 0c >， 所以只需证明11lg lg a b +4≥，即lg lg 4lg lg a b a b+≥． 因为10ab =，所以lg lg 1a b +=，故只需证明14lg lg a b≥．①由于1a >，1b >，所以lg 0a >，lg 0b >，所以2lg lg 10lg lg 24a b a b +⎛⎫<= ⎪⎝⎭≤．即①式成立，所以原不等式成立．19．解：（1）由已知113a =，123(21)n n a a a a n a n ++++=-L ，分别取2345n =，，，，得2111153515a a ===⨯， 312111()145735a a a =+==⨯，4123111()277963a a a a =++==⨯， 51234111()4491199a a a a a =+++==⨯，所以数列的前5项是113a =，2115a =，3135a =，4163a =，5199a =；（2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+．下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立． ②假设当n k =时猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+．那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++L ，即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+L ．所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+，即1(21)(23)k k k a k a +-=+，又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k k a k k +-=+-+，所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，公式也成立．由①和②知，对一切*n ∈N ，都有1(21)(21)n a n n =-+成立．20．（1）解：由已知1()f x x x'=+，当[1e]x ∈，时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[1e]，上单调递增， 所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值分别为2e (e)12f =+，1(1)2f =， 所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大值为2e 12+，最小值为12； （2）证明：设2312()ln 23F x x x x =+-，则221(1)(12)()2x x x F x x x x x -++'=+-=．因为1x >，所以()0F x '<，所以函数()F x 在区间(1)+∞，上单调递减，又1(1)06F =-<，所以在区间(1)+∞，上，()0F x <，即2312ln 23x x x +<， 所以在区间(1)+∞，上函数()f x 的图象在函数32()3g x x =图象的下方．21．解：（1）由题意，得22()335(3)35g x x ax a x a x =-+-=-+-， 设2()(3)35a x a x ϕ=-+-，11a -≤≤．对11a -≤≤中任意a 值，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，(1)0(1)0ϕϕ<⎧∴⎨-<⎩，，即2232080x x x x ⎧--<⎪⎨3+-<⎪⎩，，解得213x -<<．故213x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <． （2）22()33f x x m '=-，①当0m =时，3()1f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点． ②当0m ≠时，列表：()()f x f m ∴==极小．又()f x Q 的值域是R ，且在()m +∞，上单调递增，∴当x m >时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点； 当x m <-时，恒有()()f x f m -≤．由题意，得()3f m -<，即3221213m m m -=-<，解得((0m ∈U ． 综上，m的取值范围是(．。