2018-2019高中数学选修2-1模块检测(解析版)

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2018年高中数学人教A版选修2-1第1章常用逻辑用语检测(A)习题含解析.docx

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人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修2-1 习题第一章检测 (A)(时间 :90 分钟满分:120分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1 命题“若A? B,则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是()A.0B.2C.3D.4解析 :因为原命题为假,所以其逆否命题为假.因为逆命题为真,所以其否命题为真.故共有 2 个真命题 .答案 :B2 若p:x= 2,且y= 3,则p 为 ()A. x≠2 或 y≠3B.x≠2,且 y≠3C.x= 2 或 y≠3D.x≠2 或 y= 3解析 :因为“且”的否定为“或”,所以p:x≠2 或 y≠3.故选 A.答案 :A3 如果命题“p∧q”是假命题,“p”是真命题,那么()A. 命题 p 一定是真命题B.命题 q 一定是真命题C.命题 q 一定是假命题D.命题 q 可以是真命题也可以是假命题解析 :由于“非 p”是真命题 ,则 p 一定是假命题 ,故 A 错 ;由于“p 且 q”是假命题 ,p 是假命题 ,则 q 可能是真命题 ,也可能是假命题.答案 :D4“x=2kπ+ ( k∈ Z)”是“tan x= 1”成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 :“tan x= 1”的充要条件为“x=k π+ (k∈Z)”,而“x= 2kπ+ (k∈Z )”是“x=k π+ (k∈Z)”的充分不必要条件,故“x= 2kπ+ (k∈Z)”是“tan x=1”成立的充分不必要条件 .答案 :A5 命题“对任意x∈R ,都有x2≥0”的否定为()A. 对任意 x∈R,都有 x2< 02B.不存在 x∈R,使得 x < 0C.存在 x0∈R ,使得≥0D.存在 x0∈R ,使得<0答案 :D6 设命题p:若a>b ,则ac>bc ,q: < 0? ab< 0,给出下列四个由p,q 构成的新命题 :(1)p∨ q;(2)p∧q;(3) p;(4) q.其中真命题的个数是 ()A.0B.1C.2D.3解析 :由已知可知 p 为假 ,q 为真 ,则(1)p∨q 为真 ;(2) p∧q 为假 ;(3)p 为真 ;(4)q 为假 ,故选 C.答案 :C7 命题“?x∈R ,x2≠x”的否定是 ()A. ? x? R,x2≠xB. ?x∈R ,x2=xC.?x0? R, ≠x0D.?x0∈R,=x 0答案 :D8 已知命题p:?x∈ R,2x2+ 2x+< 0;命题 q:?x∈R ,sin x-cos x=,则下列判断正确的是 ()A. p 是真命题B. q 是假命题C. p 是假命题D.q 是假命题解析 :因为 ? x∈R ,2x2+ 2x+≥ 0,所以 p 为假命题 ;当 x= 时 ,sin x-cos x=-,故命题 q 为真命题 .答案 :D9 下列说法错误的是()22A. 命题“若 x≠1,则 x -3x+2≠0”的逆否命题是“若 x -3x+ 2= 0,则 x= 1”21≠0,则2B.若命题 p:? x∈R ,x +x+p:?x∈R,x +x+ 1=0C.若 p∨ q 为真命题 ,则 p,q 均为真命题2D. “x> 2”是“x -3x+ 2> 0”的充分不必要条件解析 :C 中“p∨ q”为真命题 ,则 p,q 不一定均为真命题,可能一真一假 .答案 :C10“a≤0”是“函数f(x)=| (ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 :函数 f(x)的图象有以下三种情形:a= 0a> 0a< 0由图象可知f(x)在区间 (0,+ ∞)内单调递增时,a≤ 0,故选 C.答案 :C二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11 命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是.答案 :圆的切线到圆心的距离等于半径12“存在α,β,使cos(α-β)= cosα-cosβ”是命题 (填“全称”或“特称”),该命题是(填“真”或“假”)命题 .答案 :特称真13 存在实数x0,y0,使得2 + 3≤ 0,用符号“?”或“? ”可表示为,其否定为.答案 :?x0 ,y0∈R ,使 2 + 3 ≤ 0?x,y∈R,都有 2x2+ 3y2> 014 已知命题甲:x≠1,且y≠2,乙:x+y≠3,则甲是乙的.(填“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”)解析 :非甲 :x=1 或 y= 2,非乙 :x+y= 3.∵非甲非乙 ,非乙非甲 ,∴乙甲 ,甲乙,∴甲是乙的既不充分也不必要条件.答案 :既不充分也不必要条件15 若α表示平面,a,b表示直线,给定下列四个命题:①②③a⊥a∥ α,a⊥ b? b⊥ α; a∥ b,a⊥ α? b⊥ α;α,a⊥ b? b∥ α;④a⊥ α,b⊥ α? a∥ b.其中正确命题的序号是.解析 :①错误 ,b 也可能在α内 ; ②正确 ,a∥b,a⊥ α? b⊥α,这是直线与平面垂直的性质;③错误 ,还有可能④正确 ,这是直线与平面垂直的性质定理.b 在α内 ;答案 :②④三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)指出下列命题的构成形式,并写出构成它的命题.(1)36 是 6 与 18 的倍数 ;(2) x= 1 不是方程x2+ 3x-4= 0 的根 .解:(1)是“p∧ q”的形式 ,其中 p:36 是 6 的倍数 ,q:36 是 18 的倍数 .(2)是“ p”的形式 ,其中 p:x=1 是方程 x2+ 3x-4=0 的根 .17(8分)指出下列各题中,p 是 q 的什么条件 :(1)p:(x-2)(x-3)= 0,q:x-2= 0;(2)p:四边形的对角线相等 ,q:四边形是平行四边形 ;(3)p:(x-1)2+ (y-2)2= 0,q:(x-1)(y-2)= 0;(4)在△ABC 中 ,p:A>B ,q:BC>AC.分析要求 p 是 q 的什么条件 ,关键在于分析出p 能否推出 q,q 能否推出p.解 :(1)∵( x-2)(x-3)= 0 x-2= 0(可能 x-3=0),而 x-2= 0? (x-2)(x-3)= 0,∴p是 q 的必要不充分条件 .(2)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形,四边形是平行四边形四边形的对角线相等,∴p 是 q 的既不充分也不必要条件.2222(3)∵(x-1) + (y-2) = 0? x= 1,且 y= 2? (x-1)(y-2)= 0,而 (x-1)(y-2)=0 (x-1) + (y-2) = 0,∴p是 q 的充分不必要条件 .(4)在△ABC 中,大边对大角 ,大角对大边 ,则A>B ? BC>AC.故 p 是 q 的充要条件 .18(9分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假:(1)全等三角形一定相似 ;(2)末位数字是零的自然数能被 5 整除 ;(3)若- + (y+ 1) 2= 0,则 x= 2 且 y=- 1.解:(1)逆命题 :若两个三角形相似 ,则它们一定全等 ,假命题 ; 否命题 :若两个三角形不全等 ,则它们一定不相似 ,假命题 ;逆否命题 : 若两个三角形不相似 ,则它们一定不全等 ,真命题 .(2)逆命题 :若一个自然数能被 5 整除 ,则它的末位数字是零,假命题 ;否命题 :若一个自然数的末位数字不是零,则它不能被 5 整除 ,假命题 ;逆否命题 : 若一个自然数不能被 5 整除 ,则它的末位数字不是零,真命题 .(3)逆命题 :若 x=2 且 y=- 1,则- + (y+1)2 =0,真命题 .否命题 :若- + (y+ 1)2≠0,则 x≠2 或 y≠-1,真命题 .逆否命题 : 若 x≠2 或 y≠-1,则- + (y+ 1)2≠0,真命题 .19(10分)写出下列命题的否定,并判断原命题与其否定的真假:(1)所有自然数的平方是正数 ;(2)任意实数 x 都是方程 5x-12= 0 的根 ;(3)?x∈R,x2-3x+ 3> 0;(4)有些合数不是偶数 .解 :(1)所有自然数的平方是正数,假命题 ;否定 :有些自然数的平方不是正数,真命题 .(2)任意实数x 都是方程 5x-12= 0 的根 ,假命题 ;否定 :?x0∈R ,5x0-12≠0,真命题 .(3)? x∈R,x2-3x+ 3> 0,真命题 ;否定 :?x0∈R ,-3x0+ 3≤ 0,假命题 .(4)有些合数不是偶数,真命题 ;否定 :所有的合数都是偶数,假命题 .20(10分)设命题p:函数f(x)= lg-的定义域为R;命题q:不等式< 1+ax 对一切正实数 x 均成立 .如果命题 p∨ q 为真命题 ,命题 p∧ q 为假命题 ,求实数 a 的取值范围 .分析 p∨ q 为真命题 ,p∧ q 为假命题 ,则说明 p 与 q 中一真一假 .先分别求出 p 和 q 为真命题对应的 a 的取值范围 ,再分 p 真 q 假,p 假 q 真这两种情况讨论 .解 :命题 p 为真命题 ? 函数 f(x)= lg-的定义域为R? ax2-x+a> 0 对任意实数x 均成立 .人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修2-1 习题因为当 a= 0 时 ,-x> 0,其解集不为R,所以 a≠0,所以-解得 a> 2.所以命题 p 为真命题 ? a> 2.命题 q 为真命题?-1<ax 对一切正实数-对x 均成立 ? a>一切正实数 x 均成立 .因为 x>0,所以>1,所以+ 1> 2,所以< 1.所以命题 q 为真命题 ? a≥ 1.根据题意 ,知命题 p 与 q 有且只有一个为真命题,当命题 p 为真命题 ,且命题 q 为假命题时 ,a 不存在; 当命题 p 为假命题 ,且命题 q 为真命题时 ,a 的取值范围是 [1,2] .综上所述 ,命题 p∨ q 为真命题 ,命题 p∧ q 为假命题时 ,实数 a 的取值范围是 [1,2] .。

2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1阶段质量检测(四) 模块综合检测含答案解析

2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1阶段质量检测(四) 模块综合检测含答案解析

阶段质量检测(四) 模块综合检测 [考试时间:120分钟 试卷总分:160分]题 号 一 二总 分 15 16 17 18 19 20 得 分一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.把正确答案填在题中的横线上) 1.(安徽高考)命题“存在实数x ,使x >1”的否定是________________________. 2.“相似三角形的对应角相等”的否命题是________________________________. 3.已知点P (6,y )在抛物线y 2=2px (p >0)上,若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8,则焦点F 到抛物线准线的距离等于________.4.若a =(1,-1,-1),b =(0,1,1),且(a +λb )⊥b ,则实数λ的值是________.5.(重庆高考)设P 为直线y =b 3a x 与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)左支的交点,F 1是左焦点,PF 1垂直于x 轴,则双曲线的离心率e =________.6.已知a =(t +1,1,t ),b =(t -1,t,1),则|a -b |的最小值为________.7.方程x 23+m -y 21-m =1表示焦点在x 轴上的双曲线,则m 的取值范围是________.8.(北京高考改编)双曲线x 2-y 2m=1的离心率大于2的充分必要条件是________.9.(山东高考改编)给定两个命题p ,q .若綈p 是q 的必要而不充分条件,则p 是綈q 的________条件.10.命题“∃x ∈R,2x 2-3ax +9<0”为假命题,则实数a 的取值范围是____________________. 11.已知A (4,1,3)、B (2,3,1)、C (3,7,-5),点P (x ,-1,3)在平面ABC 内,则x 的值为________. 12.(山东高考改编)抛物线C 1:y =12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2:x 23-y 2=1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p =________.13.设过点P (x ,y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点,点Q 与点P 关于y 轴对称,O 为坐标原点,若BP ―→=2P A ―→,且OQ ―→·AB ―→=1,则P 点的轨迹方程是________.14.若方程x 24-t +y 2t -1=1所表示的曲线为C ,给出下列四个命题:①若C 为椭圆,则1<t <4且t ≠52;②若C 为双曲线,则t >4或t <1; ③曲线C 不可能是圆;④若C 表示椭圆,且长轴在x 轴上,则1<t <32.其中正确的命题是________(把所有正确命题的序号都填在横线上).二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)过直角坐标平面xOy 中的抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ,B 两点. (1)用p 表示线段AB 的长;(2)若OA ·OB =-3,求这个抛物线的方程.16.(本小题满分14分)已知函数f (x )=2sin 2⎝⎛⎭⎫π4+x -3cos 2x -1,x ∈R .设p :x ∈⎣⎡⎦⎤π4,π2,q :|f (x )-m |<3,若p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围.17.(本小题满分14分)如图,在正方体AC 1中,O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 1的中点,设Q 是CC 1上的点,问:当点Q 在什么位置时,平面D 1BQ ∥平面 P AO?18.(本小题满分16分)已知点⎝⎛⎭⎫1,32是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点,离心率为12. (1)求椭圆E 的方程;(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆E 交于P ,Q 两点,满足直线OP ,PQ ,OQ 的斜率依次成等比数列,求△OPQ 面积的取值范围.19.(新课标全国卷Ⅱ)(本小题满分16分)如图,直三棱柱ABC -A1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB 1的中点,AA 1=AC =CB =22AB . (1)证明:BC 1//平面A 1CD ; (2)求二面角D -A 1C -E 的正弦值.20.(重庆高考)(本小题满分16分)如图,设椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2,线段OF 1,OF 2的中点分别为B 1,B 2,且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ,Q 两点,使PB 2⊥QB 2,求直线l 的方程.答 案1.对任意实数x ,都有x ≤12.解析:否命题是条件结论都否定. 答案:不相似的三角形的对应角不相等3.解析:抛物线y 2=2px (p >0)的准线为x =-p2,因为P (6,y )为抛物线上的点,所以P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离,所以6+p2=8,所以p =4,焦点F 到抛物线准线的距离等于4.答案:44.解析:λb =(0,λ,λ),a +λb =(1,λ-1,λ-1). ∵(a +λb )⊥b ,∴(a +λb )·b =0. ∴λ-1=0,λ=1. 答案:15.解析:由PF 1⊥x 轴且P 点在双曲线的左支上,可得P ⎝⎛⎭⎫-c ,-b 2a .又因为点P 在直线y =b3ax 上,所以-b 2a =b3a ×(-c ),整理得c =3b ,根据c 2=a 2+b 2得a =22b ,所以双曲线的离心率e =c a =3b 22b =324. 答案:3246.解析:|a -b |2=22+(1-t )2+(t -1)2=2(t -1)2+4, 所以当t =1时,|a -b |取得最小值2. 答案:27.解析:若x 23+m -y 21-m=1表示焦点在x 轴上的双曲线,则⎩⎪⎨⎪⎧3+m >0,1-m >0⇒-3<m <1, ∴m 的取值范围是(-3,1). 答案:(-3,1)8.解析:依题意,e =c a ,e 2=c 2a 2>2,得1+m >2,所以m >1. 答案:m >19.解析:由q ⇒綈p 且綈p ⇒/ q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇒/ p ,所以p 是綈q 的充分不必要条件. 答案:充分不必要10.解析:∵“∃x ∈R,2x 2-3ax +9<0”为假命题, ∴∀x ∈R,2x 2-3ax +9≥0为真命题, ∴Δ=9a 2-4×2×9≤0,即a 2≤8, ∴-22≤a ≤2 2. 答案:[-22,2 2 ]11.解析:因为A (4,1,3),B (2,3,1),C (3,7,-5), P (x ,-1,3),所以AP =(x -4,-2,0),AB =(-2,2,-2),AC =(-1,6,-8).由于点P 在平面ABC 内,所以P 、A 、B 、C 四点共面.所以AP 、AB 、AC 三个向量共面.故由共面向量定理,知存在有序实数对(m ,n ),使AP =m AB +n AC ,即(x -4,-2,0)=m (-2,2,-2)+n (-1,6,-8), 所以⎩⎪⎨⎪⎧x -4=-2m -n ,-2=2m +6n ,0=-2m -8n .解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-4,n =1,x =11.答案:1112.解析:由已知得抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0,p2,双曲线的右焦点坐标为(2,0),所以上述两点连线的方程为x 2+2y p =1.双曲线的渐近线方程为y =±33x .对函数y =12p x 2求导得,y ′=1p x .设M (x 0,y 0),则1p x 0=33,即x 0=33p ,代入抛物线方程得,y 0=16p .由于点M 在直线x 2+2y p =1上,所以36p+2p ×p 6=1,解得p =43=433. 答案:43313.解析:可得A (32x,0),B (0,3y ),Q (-x ,y ),则AB =(-32x,3y ),OQ =(-x ,y ),故OQ ·AB =32x 2+3y 2=1,所以P 点的轨迹方程为32x 2+3y 2=1(x >0,y >0).答案:32x 2+3y 2=1(x >0,y >0)14.解析:若为椭圆,则⎩⎪⎨⎪⎧4-t >0,t -1>0,4-t ≠t -1,即1<t <4,且t ≠52;若为双曲线,则(4-t )(t -1)<0,即4<t 或t <1; 当t =52时,表示圆,若C 表示长轴在x 轴上的椭圆,则1<t <52,故①②正确.答案:①②15.解:(1)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2,0,过点F 且倾斜角为π4的直线方程是y =x -p 2. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2px ,y =x -p2 得x 2-3px +p 24=0,∴x 1+x 2=3p ,x 1x 2=p 24,∴AB =x 1+x 2+p =4p .(2)由(1)知x 1x 2=p 24,x 1+x 2=3p ,∴y 1y 2=⎝⎛⎭⎫x 1-p 2⎝⎛⎭⎫x 2-p 2=x 1x 2-p 2(x 1+x 2)+p 24=p 24-3p 22+p24=-p 2, ∴OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=p 24-p 2=-3p 24=-3, 解得p 2=4,∴p =2.∴这个抛物线的方程为y 2=4x .16.解:∵f (x )=2sin 2⎝⎛⎭⎫π4+x -3cos 2x -1 =1-cos ⎝⎛⎭⎫π2+2x -3cos 2x -1 =sin 2x -3cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, ∴若p 成立,即x ∈⎣⎡⎦⎤π4,π2时,2x -π3∈⎣⎡⎦⎤π6,2π3, 由|f (x )-m |<3⇒m -3<f (x )<m +3.∵p 是q 的充分条件,∴⎩⎪⎨⎪⎧m -3<1,m +3>2,解得-1<m <4,即m 的取值范围是(-1,4).17.解:如图,以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则O ⎝⎛⎭⎫12,12,0,P ⎝⎛⎭⎫0,0,12, A (1,0,0),B (1,1,0),D 1(0,0,1),设Q (0,1,z ),则OP =⎝⎛⎭⎫-12,-12,12, 1BD =(-1,-1,1),∴OP ∥1BD ,∴OP ∥BD 1,AP =⎝⎛⎭⎫-1,0,12,BQ =(-1,0,z ), 当z =12时,AP =BQ ,即AP ∥BQ ,有平面AOP ∥平面D 1BQ ,∴当Q 为CC 1的中点时,平面D 1BQ ∥平面P AO . 18.解:(1)由题意知,c a =12,所以a 2-b 2a 2=14,a 2=43b 2.又1a 2+94b 2=1,解得a 2=4,b 2=3. 因此椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)由题意可知,直线l 的斜率存在且不为0, 故可设直线l 的方程为y =kx +m (m ≠0), P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +m ,x 24+y 23=1消去y 得, (3+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2-3)=0. 由题意知Δ=64k 2m 2-16(3+4k 2)(m 2-3) =16(12k 2-3m 2+9)>0, 即4k 2-m 2+3>0.又x 1+x 2=-8km 3+4k 2,x 1x 2=4(m 2-3)3+4k 2所以y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m ) =k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2 =3m 2-12k 23+4k 2.因为直线OP ,PQ ,OQ 的斜率依次成等比数列,所以y 1x 1·y 2x 2=3m 2-12k 24(m 2-3)=k 2,即(4k 2-3)m 2=0,∵m ≠0,∴k 2=34.由于直线OP ,OQ 的斜率存在,且Δ>0, 得0<m 2<6,且m 2≠3. 设d 为点O 到直线l 的距离, 则S △OPQ =12d |PQ |=12×|m |1+k 21+k 2|x 1-x 2|=12|m |(x 1+x 2)2-4x 1x 2 又因为m 2≠3,所以S △OPQ =33m 2(6-m 2)<33×m 2+6-m 22= 3.所以△OPQ 面积的取值范围为(0,3).19.解:(1)证明:连结AC 1交A 1C 于点F ,则F 为AC 1的中点.又D 是AB 的中点,连结DF ,则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ,BC 1⊄平面A 1CD , 所以BC 1∥平面A 1CD . (2)由AC =CB =22AB 得, AC ⊥BC .以C 为坐标原点,CA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .设CA =2,则D (1,1,0),E (0,2,1),A 1(2,0,2),CD =(1,1,0),CE =(0,2,1),1CA =(2,0,2).设n =(x 1,y 1,z 1)是平面A 1CD 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD =0,n ·1CA =0,即⎩⎪⎨⎪⎧x 1+y 1=0,2x 1+2z 1=0.可取n =(1,-1,-1).同理,设m =(x 2,y 2,z 2)是平面A 1CE 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE =0,m ·1CA =0,即⎩⎪⎨⎪⎧2y 2+z 2=02x 2+2z 2=0可取m =(2,1,-2).从而cos 〈n ,m 〉=n ·m |n ||m |=33,故sin 〈n ,m 〉=63.即二面角D -A 1C -E 的正弦值为63. 20.解:(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),右焦点为F 2(c,0).因△AB 1B 2是直角三角形,又|AB 1|=|AB 2|, 故∠B 1AB 2为直角,因此|OA |=|OB 2|,得b =c2.结合c 2=a 2-b 2得4b 2=a 2-b 2,故a 2=5b 2, c 2=4b 2,所以离心率e =c a =25 5.在Rt △AB 1B 2中,OA ⊥B 1B 2, 故S △AB 1B 2=12·|B 1B 2|·|OA |=|OB 2|·|OA |=c2·b =b 2.由题设条件S △AB 1B 2=4,得b 2=4,从而a 2=5b 2=20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220+y 24=1.(2)由(1)知B 1(-2,0),B 2(2,0).由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为x =my -2.代入椭圆方程得(m 2+5)y 2-4my -16=0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则y 1,y 2是上面方程的两根, 因此y 1+y 2=4m m 2+5,y 1y 2=-16m 2+5,又2B P =(x 1-2,y 1),2B Q =(x 2-2,y 2), 所以2B P ·2B Q =(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2 =(my 1-4)(my 2-4)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2-4m (y 1+y 2)+16 =-16(m 2+1)m 2+5-16m 2m 2+5+16=-16m 2-64m 2+5,由PB 2⊥QB 2,得2B P ·2B Q =0, 即16m 2-64=0, 解得m =±2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x +2y +2=0和x -2y +2=0.。

2018_2019学年高中数学模块综合试卷(二)新人教B版选修1_2

2018_2019学年高中数学模块综合试卷(二)新人教B版选修1_2

模块综合试卷(二)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.正弦函数是奇函数,f (x )=sin(x 2+1)是正弦函数,因此f (x )=sin(x 2+1)是奇函数.以上推理( )A .结论正确B .大前提不正确C .小前提不正确D .全不正确 考点 三段论题点 三段论的结论答案 C解析 因为f (x )=sin(x 2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.2.已知i 为虚数单位,a ∈R ,若2-i a +i为纯虚数,则复数z =2a +2i 的模等于( ) A. 2 B.11 C. 3 D. 6考点 复数的模的定义及应用题点 利用定义求复数的模答案 C解析 由题意得2-i a +i=t i(t ≠0),∴2-i =-t +ta i , ∴⎩⎪⎨⎪⎧ -t =2,ta =-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧ t =-2,a =12,∴z =2a +2i =1+2i ,|z |=3,故选C.3.已知变量x 与y 之间的回归直线方程为y ^=-3+2x ,若∑10i =1x i =17,则∑10i =1y i 的值等于( ) A .3 B .4 C .0.4 D .40考点 回归直线方程题点 求回归直线方程答案 B解析 依题意x =1710=1.7,而直线y ^=-3+2x 一定经过样本点的中心(x ,y ),所以y =-3+2x =-3+2×1.7=0.4,所以∑10i =1y i =0.4×10=4. 4.执行如图所示的程序框图,如果输入的a =4,b =6,那么输出的n 等于( )A .3B .4C .5D .6考点 程序框图题点 循环结构的程序框图答案 B解析 程序运行如下:开始a =4,b =6,n =0,s =0.第1次循环:a =2,b =4,a =6,s =6,n =1;第2次循环:a =-2,b =6,a =4,s =10,n =2;第3次循环:a =2,b =4,a =6,s =16,n =3;第4次循环:a =-2,b =6,a =4,s =20,n =4.此时,满足条件s >16,退出循环,输出n =4,故选B.5.为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况,随机抽取了5天,其开业天数与每天的销售额的情况如表所示:根据上表提供的数据,求得y 关于x 的回归直线方程为y ^ =0.67x +54.9,由于表中有一个数据模糊看不清,请你推断出该数据的值为( )A .67B .68C .68.3D .71 考点 回归直线方程题点 样本点的中心的性质答案 B。

高中数学模块质量检测(含解析)新人教A版选修2-1

高中数学模块质量检测(含解析)新人教A版选修2-1

模块质量检测一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.“(2x-1)x=0”是“x=0"的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是()A.不存在x0∈R,x3,0-x错误!+1≤0B.存在x0∈R,x错误!-x错误!+1≤0C.存在x0∈R,x3,0-x2,0+1>0D.对任意的x∈R,x3-x2+1>03.下列命题中是假命题的是()A.∀x∈(0,错误!),x>sin xB.∃x0∈R,sin x0+cos x0=2C.∀x∈R,3x>0D.∃x0∈R,lg x0=04.方程x+|y-1|=0表示的曲线是( )5.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量不可能是()A.(1,-4,2) B.(错误!,-1,错误!)C.(-错误!,1,-错误!) D.(0,-1,1)6.以椭圆错误!+错误!=1的右焦点为圆心,且与双曲线错误!-错误!=1的渐近线相切的圆方程是()A.x2+y2-10x+9=0 B.x2+y2-10x-9=0C.x2+y2+10x+9=0 D.x2+y2+10x-9=07.如图,在三棱锥O-ABC中,点D是棱AC的中点,若错误!=a,错误!=b,错误!=c,则错误!等于()A.a+b-cB.a-b+cC.错误!a-b+错误!cD.-错误!a+b-错误!c8.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为( )A.y2=±4x B.y2=±8xC.y2=4x D.y2=8x9.在空间直角坐标系O-xyz中,i、j、k分别是x轴、y轴、z轴的方向向量,设a 为非零向量,且<a,i〉=45°,<a,j〉=60°,则〈a,k〉=( )A.30° B.45°C.60° D.90°10.若命题p:∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,则实数a的取值范围是()A.a≤-3或a>2 B.a≥2C.a>-2 D.-2<a<211.已知A(1,2,3),B(2,1,2),C(1,1,2).O为坐标原点,点D在直线OC 上运动,则当错误!·错误!取最小值时,点D的坐标为()A.(错误!,错误!,错误!) B.(错误!,错误!,错误!)C.(错误!,错误!,错误!) D.(错误!,错误!,错误!)12.已知F1,F2分别是双曲线错误!-错误!=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点,若△ABF2为锐角三角形,则双曲线的离心率的取值范围是( )A.(1,1+错误!) B.(1+错误!,+∞)C.(1-错误!,1+错误!) D.(错误!,错误!+1)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________。

2018-2019年高二选修2-1模块综合测试卷含答案

2018-2019年高二选修2-1模块综合测试卷含答案

模块综合测评(满分:150分 时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.椭圆x 225+y 2169=1的焦点坐标是( ) A .(±5,0) B .(0,±5) C .(0,±12)D .(±12,0)C [∵c 2=a 2-b 2=169-25=122,∴c =12.又焦点在y 轴上,故焦点坐标为(0,±12).]2.命题“对任意的x ∈R ,x 3-x 2+1≤0”的否定是( ) A .不存在x ∈R ,x 3-x 2+1≤0 B .存在x ∈R ,x 3-x 2+1≤0 C .存在x ∈R ,x 3-x 2+1>0 D .对任意的x ∈R ,x 3-x 2+1>0C [全称命题的否定是将全称量词改为存在量词,并否定结论,即存在x ∈R ,x 3-x 2+1>0.]3.如图1所示,已知平行六面体OAB -CO 1-A 1B 1C 1,点G 是上底面O 1A 1B 1C 1的中心,且OA →=a ,OC →=b ,OO 1→=c ,则用a ,b ,c 表示向量OG 为→( )图1A.12(a +b +2c ) B .12(2a +b +c ) C.12(a +2b +c )D .12(a +b +c )A [OG →=OO 1→+O 1G →=OO 1→+12(OA →+OC →)=12a +12b +c ,,故选A.]4.已知命题p :∃a ,b ∈(0,+∞),当a +b =1时,1a +1b =3,命题q :∀x ∈R ,x 2-6x +10≥0恒成立,则下列命题是假命题的是( )A .(﹁p )∨(﹁q )B .(﹁p )∧(﹁q )C .(﹁p )∨qD .(﹁p )∧qB [对于命题p ,当a +b =1时,由于1a +1b =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b ·(a +b )=2+b a +ab ≥2+2b a ·a b =4,当且仅当a =b =12时取等号,故1a +1b ≠3,命题p 是假命题;对于命题q ,x 2-6x +10=(x -3)2+1≥0,故命题q 是真命题.从而﹁p 为真命题,﹁q 为假命题,(﹁p )∨(﹁q )为真命题,(﹁p )∧(﹁q )为假命题,(﹁p )∨q 为真命题,(﹁p )∧q 为真命题.故选B.]5.设双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =x 2+1相切,则该双曲线的离心率为( )A.3 B .2 C.5D . 6C [双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =bxa ,代入抛物线方程并整理,得ax 2-bx +a =0,因为渐近线与抛物线相切,故b 2-4a 2=0,即b 2=4a 2.又b 2=c 2-a 2,所以c 2=5a 2,所以e = 5.]6.给出下列命题:①若A ,B ,C ,D 是空间任意四点,则有AB →+BC →+CD →+DA →=0; ②|a |-|b |=|a +b |是a ,b 共线的充要条件; ③若AB →,CD →共线,则AB ∥CD ;④对空间任意一点O 与不共线的三点A ,B ,C ,若OP →=xOA →+yOB →+zOC →(其中x ,y ,z ∈R ),则P ,A ,B ,C 四点共面.其中不正确命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3D .4C [显然①正确;若a ,b 共线,则|a |+|b |=|a +b |或|a +b |=||a |-|b ||,故②错误;若AB →,CD →共线,则直线AB ,CD 可能重合,故③错误;只有当x +y +z =1时,P ,A ,B ,C 四点才共面,故④错误.故选C.]7.给出下列结论:①命题“∀x ∈(0,2),3x >x 3”的否定是“∃x ∈(0,2),3x ≤x 3”; ②“若θ=π3,则cos θ=12”的否命题是“若θ≠π3,则cos θ=12”; ③若(p ∧q )∨(p ∨q )是真命题,则命题p ,q 一真一假;④“函数y =2x +m -1有零点”是“函数y =log m x 在(0,+∞)上为减函数”的充要条件.其中正确结论的个数为 ( ) A .1 B .2 C .3D .4A [根据全称命题与存在性命题的否定关系,可知①是正确的;②中,命题的否命题为“若θ≠π3,则cos θ≠12”,所以②是错误的;③中,若(p ∧q )∨(p ∨q )是真命题,则命题p ,q 都是真命题或p ,q 一真一假,所以③是错误的;④中,由函数y =2x +m -1有零点,得1-m =2x >0,∴m <1,而函数y =log m x 为减函数,则0<m <1,所以④是错误的,故选A.]8.已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12,它的长轴长等于圆x 2+y 2-2x -15=0的半径,则椭圆的标准方程是( )A.x 24+y 23=1 B .x 24+y 2=1 C.x 216+y 24=1D .x 216+y 212=1A [圆的方程可化为(x -1)2+y 2=42,故2a =4,即a =2,又e =c a =12,所以c =1,b 2=a 2-c 2=3.又椭圆的焦点在x 轴上,所以其标准方程为x 24+y 23=1,故选A.]9.已知命题p :“若a >b >0,则log 12a <log 12b +1”,则命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为 ( )A .0B .1C .2D .4B [对于命题p ,当a >b >0时,有log 12a <log 12b ,则必有log 12a <log 12b +1,因此原命题正确,逆否命题也正确;但当log 12a <log 12b +1时,得log 12a <log 12b 2,得a >b2>0,不一定有a >b >0,因此逆命题不正确,故否命题也不正确.因此真命题的个数为1.]10.过点P (-4,0)的直线l 与曲线C :x 2+2y 2=4交于A ,B 两点,则AB 中点Q 的轨迹方程为( )A .(x +2)2+2y 2=4B .(x +2)2+2y 2=4(-1<x ≤0)C .x 2+2(y +2)2=4D .x 2+2(y +2)2=4(-1<x ≤0)B [设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),Q (x ,y ), 则x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y ,⎩⎪⎨⎪⎧x 21+2y 21=4,x 22+2y 22=4, ⇒x 22-x 21=-2(y 22-y 21)⇒y 2-y 1x 2-x 1=-12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2+x 1y 2+y 1 ⇒k AB =-x2y⇒k PQ =yx +4=-x2y ⇒(x +2)2+2y 2=4,AB 中点Q 的轨迹方程为(x +2)2+2y 2=4(-1<x ≤0).]11.已知m ,n ,s ,t 为正实数,m +n =4,m s +nt =9,其中m ,n 是常数,且s +t 的最小值是89,满足条件的点(m ,n )是双曲线x 22-y 28=1一弦的中点,则此弦所在的直线l 的方程为( )A .x +4y -10=0B .2y -y -2=0C .4x +y -10=0D .4x -y -6=0D [s +t =19(s +t )⎝ ⎛⎭⎪⎫m s +n t =19⎝ ⎛⎭⎪⎫m +n +ns t +mt s ≥19(4+2mn ),当且仅当mt 2=ns 2时等号成立.由题意19(4+2mn )=89,所以mn =4.又m +n =4,故m =n =2.设弦的两端点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由线段AB 的中点是(2,2),知直线l 的斜率一定存在,且x 1+x 2=4,y 1+y 2=4.设直线l 的斜率为k ,则x 212-y 218=1,x 222-y 228=1,两式相减得(x 1+x 2)(x 1-x 2)2-(y 1+y 2)(y 1-y 2)8=0,所以k =y 1-y 2x 1-x 2=4(x 1+x 2)y 1+y 2=4×44=4,所以直线l 的方程为y -2=4(x -2),即4x -y -6=0,故选D.]12.如图2所示,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为3,则BB 1与平面AB 1C 1所成的角是( )图2A.π6 B .π4 C.π3D .π2A [以B 为坐标原点,以与BC 垂直的直线为x 轴,BC 为y 轴,建立空间直角坐标系,如图.则A (3,1,0),B 1(0,0,3),C 1(0,2,3),AB 1→=(-3,-1,3),B 1C 1→=(0,2,0),BB 1→=(0,0,3).设平面AB 1C 1的一个法向量为n =(x ,y ,z ), 则⎩⎨⎧AB 1→·n =0,B 1C 1→·n =0,即⎩⎪⎨⎪⎧-3x -y +3z =0,2y =0,取z =1,得n =(3,0,1),∵cos 〈BB 1→,n 〉=BB 1→·n |BB 1→||n |=33×2=12,∴BB 1与平面AB 1C 1所成的角的正弦值为12, ∴BB 1与平面AB 1C 1所成的角为π6.]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确的答案填在题中的横线上.)13.已知抛物线C:4x+ay2=0恰好经过圆M:(x-1)2+(y-2)2=1的圆心,则抛物线C的焦点坐标为________,准线方程为________.(1,0)x=-1[圆M的圆心为(1,2),代入4x+ay2=0得a=-1,将抛物线C的方程化为标准方程得y2=4x,故焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1.]14.已知命题p:一元一次不等式ax+b>0的解集为{x|x>-ba},命题q:关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|a<x<b},则“p∧q”“p∨q”及“﹁p”形式的复合命题中真命题是________.﹁p[p为假命题,因为a的符号不确定,q为假命题,因为a,b的大小不确定.所以p∧q假,p∨q假,﹁p真.]15.如图3所示,直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点,则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为________.【导学号:33242347】图31515[如图所示,以A为原点建立空间直角坐标系.A1(0,0,2),C(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,1,2),则C 1D →=(1,-1,-1),A 1C →=(0,1,-2),|C 1D →|=3,|A 1C →|=5,C 1D →·A 1C →=1,cos 〈C 1D →,A 1C →〉=C 1D →·A 1C →|C 1D →||A 1C →|=1515,故异面直线C 1D 与A 1C 所成角的余弦值为1515.]16.如图4所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,给出下列式子:图4①a 1+c 1=a 2+c 2;②a 1-c 1=a 2-c 2;③c 1a 2>a 1c 2;④c 1a 1<c 2a 2.其中正确式子的序号是________.②③ [椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ中相同的量是|PF |,都为a -c ,所以②正确;两椭圆比较有a 1>a 2,c 1>c 2,∴a 1+c 1>a 2+c 2,所以①错误;两椭圆中轨道Ⅰ较扁,因此离心率较大,即c 1a 1>c 2a 2,整理可得c 1a 2>a 1c 2,所以③正确,④错误.]三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知命题p :若函数f (x )=1-x3,则实数m 满足不等式f (m )<2,命题q :关于x 的方程2x +m =0(x ∈R )有实根.若命题p ,q 中有且仅有一个真命题,求实数m 的取值范围.[解] 若命题p 为真命题,∵f (x )=1-x3,f (m )<2, ∴1-m3<2,解得m >-5;若命题q 为真命题,则关于x 的方程2x +m =0(x ∈R )有实根,等价于函数y =2x 的图象与直线y =-m 有交点,数形结合(图略),可知-m >0,∴m <0.若命题p ,q 中有且仅有一个真命题,则存在两种情况: ①当p 为真命题,q 为假命题时,⎩⎪⎨⎪⎧m >-5m ≥0,,∴m ≥0;②当q 为真命题,p 为假命题时,⎩⎪⎨⎪⎧m ≤-5m <0,∴m ≤-5.综上,若命题p ,q 中有且仅有一个真命题,则实数m 的取值范围是(-∞,-5]∪[0,+∞).18.(本小题满分12分)已知命题p :方程x 2+mx +1=0有两个不等的实数根;命题q :方程4x 2+4(m -2)·x +1=0无实根.若“p ∨q ”为真,“p ∧q ”为假,求实数m 的取值范围.[解] 当p 为真时,有Δ>0,即m 2-4>0,解得m >2或m <-2. 当q 为真时,有Δ=16(m -2)2-16<0,解得1<m <3.由题意,“p ∨q ”为真,“p ∧q ”为假,∴命题p 与命题q 一真一假. ①若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧m >2或m <-2,m ≤1或m ≥3,解得m <-2或m ≥3.②若q 真p 假,则⎩⎪⎨⎪⎧-2≤m ≤2,1<m <3,解得1<m ≤2.综上所述,实数m 的取值范围是(-∞,-2)∪(1,2]∪[3,+∞). 19.(本小题满分12分)已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB |=9.(1)求该抛物线的方程.(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC →=OA →+λOB →,求λ的值. [解] (1)直线AB 的方程是y =22⎝ ⎛⎭⎪⎫x -p 2,与y 2=2px 联立,从而有4x 2-5px +p 2=0,所以x 1+x 2=5p4.由抛物线定义得:|AB |=x 1+x 2+p =9,所以p =4,从而抛物线方程是y 2=8x .(2)由p =4,4x 2-5px +p 2=0可简化为x 2-5x +4=0,从而x 1=1,x 2=4,y 1=-22,y 2=42,从而A (1,-22),B (4,42). 设OC →=(x 3,y 3)=(1,-22)+λ(4,42)=(4λ+1,42λ-22),又y 23=8x 3,即[22(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.20.(本小题满分12分)如图5所示,在四棱锥P -ABCD 中,平面P AD ⊥平面ABCD ,P A ⊥PD ,P A =PD ,AB ⊥AD ,AB =1,AD =2,AC =CD = 5.图5(1)求证:PD ⊥平面P AB .(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.(3)在棱P A 上是否存在点M ,使得BM ∥平面PCD ?若存在,求AMAP 的值;若不存在,说明理由.[解] (1)证明:因为平面P AD ⊥平面ABCD ,AB ⊥AD , 所以AB ⊥平面P AD .所以AB ⊥PD . 又因为P A ⊥PD , 所以PD ⊥平面P AB .(2)取AD 的中点O ,连接PO ,CO . 因为P A =PD ,所以PO ⊥AD .又因为PO ⊂平面P AD ,平面P AD ⊥平面ABCD , 所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ,所以PO ⊥CO . 因为AC =CD ,所以CO ⊥AD .如图,建立空间直角坐标系Oxyz .由题意得A (0,1,0),B (1,1,0),C (2,0,0),D (0,-1,0),P (0,0,1). 设平面PCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则 ⎩⎨⎧n ·PD →=0,n ·PC →=0,即⎩⎨⎧-y -z =0,2x -z =0.令z =2,则x =1,y =-2. 所以n =(1,-2,2). 又PB →=(1,1,-1),所以cos 〈n ,PB →〉=n ·PB →|n ||PB →|=-33.所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33. (3)设M 是棱P A 上一点, 则存在λ∈[0,1]使得AM →=λAP →.因此点M (0,1-λ,λ),BM →=(-1,-λ,λ).因为BM ⊄平面PCD ,所以要使BM ∥平面PCD 当且仅当BM →·n =0,即(-1,-λ,λ)·(1,-2,2)=0.解得λ=14.所以在棱P A 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ,此时AM AP =14. 21.(本小题满分12分)如图6所示,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(0,1),离心率e =32.图6(1)求椭圆C 的方程.(2)设直线x =my +1与椭圆C 交于A ,B 两点,点A 关于x 轴的对称点为A ′(A ′与B 不重合),则直线A ′B 与x 轴是否交于一个定点?若是,求出定点坐标,并证明你的结论;若不是,请说明理由.[解](1)依题意,有⎩⎪⎨⎪⎧b 2=1c a =32,a 2=b 2+c2可得a =2,b =1,所以椭圆C 的方程是x 24+y 2=1.(2)由⎩⎨⎧x 24+y 2=1x =my +1,得(my +1)2+4y 2=4,即(m 2+4)y 2+2my -3=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ′(x 1,-y 1),且y 1+y 2=-2m m 2+4,y 1y 2=-3m 2+4.经过点A ′(x 1,-y 1),B (x 2,y 2)的直线方程为y +y 1y 2+y 1=x -x 1x 2-x 1.令y =0,则x =x 2-x 1y 2+y 1y 1+x 1=(x 2-x 1)y 1+x 1(y 1+y 2)y 1+y 2=x 2y 1+x 1y 2y 1+y 2=(my 2+1)y 1+(my 1+1)y 2y 1+y 2=2my 1y 2+(y 1+y 2)y 1+y 2=-6m m 2+4-2mm 2+4-2mm 2+4=4.故直线A ′B 与x 轴交于定点(4,0).22.(本小题满分12分)如图7所示,正方形ABCD 的中心为O ,四边形OBEF 为矩形,平面OBEF ⊥平面ABCD ,点G 为AB 的中点,AB =BE =2.图7(1)求证:EG ∥平面ADF ; (2)求二面角O -EF -C 的正弦值;(3)设H 为线段AF 上的点,且AH =23HF ,求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.[解] 依题意,OF ⊥平面ABCD ,如图,以O 为坐标原点,分别以AD →,BA →,OF →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意可得O (0,0,0),A (-1,1,0),B (-1,-1,0),C (1,-1,0),D (1,1,0),E (-1,-1,2),F (0,0,2),G (-1,0,0).(1)依题意,AD →=(2,0,0),AF →=(1,-1,2). 设n 1=(x ,y ,z )为平面ADF 的法向量, 则⎩⎨⎧n 1·AD →=0n 1·AF →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧2x =0x -y +2z =0.不妨设z =1,可得n 1=(0,2,1),又EG →=(0,1,-2),可得EG →·n 1=0.又直线EG ⊄平面ADF ,所以EG ∥平面ADF . (2)易证,OA →=(-1,1,0)为平面OEF 的一个法向量. 依题意,EF →=(1,1,0),CF →=(-1,1,2). 设n 2=(x ′,y ′,z ′)为平面CEF 的法向量,则 ⎩⎨⎧n 2·EF →=0n 2·CF →=0即⎩⎪⎨⎪⎧x ′+y ′=0-x ′+y ′+2z ′=0. 不妨设x ′=1,可得n 2=(1,-1,1). 因为有cos 〈OA →,n 2〉=OA →·n 2|OA →||n 2|=-63,于是sin 〈OA →,n 2〉=33.所以二面角O -EF -C 的正弦值为33. (3)由AH =23HF ,得AH =25AF .因为AF →=(1,-1,2),所以AH →=25AF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫25,-25,45,进而有H ⎝ ⎛⎭⎪⎫-35,35,45,从而BH →=⎝ ⎛⎭⎪⎫25,85,45,因此cos 〈BH →,n 2〉=BH →·n 2|BH →|·|n 2|=-721.所以直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721.。

人教版高中数学选修2-1第一章单元测试(一)- Word版含答案

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2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语(一)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知命题:"若0x ≥,0y ≥,则0xy ≥",则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( ) A .1B .2C .3D .42.命题“若A B ⊆,则A B =”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中, 真命题的个数是( ) A .0B .2C .3D .43.给定空间中的直线l 及平面α,条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件4.已知p :若a A ∈,则b B ∈,那么命题p ⌝是( ) A .若a A ∈,则b B ∉ B .若a A ∉,则b B ∉ C .若b B ∉,则a A ∉D .若b B ∈,则a A ∈5.命题“p 且q ”与命题“p 或q ”都是假命题,则下列判断正确的是( )A .命题“非p ”与“非q ”真假不同B .命题“非p ”与“非q ”至多有一个是假命题C .命题“非p ”与“q ”真假相同D .命题“非p 且非q ”是真命题6.已知a ,b 为任意非零向量,有下列命题:①|a |=|b |;②()()22=a b ;③()2⋅=a a b ,其中可以作为=a b 的必要非充分条件的命题是( ) A .①B .①②C .②③D .①②③7.已知A 和B 两个命题,如果A 是B 的充分不必要条件,那么“A ⌝”是“B ⌝”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件8.若向量()(),3x x =∈R a ,则“4x =”是“5=a ”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件9.下列全称命题中,正确的是( ) A .{},x y ∀∈锐角,sin sin s )n (i x y x y +>+ B .{},x y ∀∈锐角,sin cos c )s (o x y x y +>+ C .{},x y ∀∈锐角,cos sin c )s (o x y x y +<+ D .{},x y ∀∈锐角,cos cos s )n (i x y x y -<+10.以下判断正确的是( )A .命题“负数的平方是正数”不是全称命题B .命题“x ∀∈Z ,32x x >”的否定是“x ∃∈Z ,32x x >”C .“=2ϕπ”是“函数()sin y x ϕ=+为偶函数”的充要条件D .“0b =”是“关于x 的二次函数()2f x ax bx c ++=是偶函数”的充要条件此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号11.已知命题p :函数()log 05()3f x x =-.的定义域为(-∞,3);命题q :若k <0,则函数()kh x x=在(0,)+∞上是减函数,对以上两个命题,下列结论中正确的是( )A .命题“p 且q ”为真B .命题“p 或q ⌝”为假C .命题“p 或q ”为假D .命题“p ⌝”且“q ⌝”为假12.已知向量),(x y =a ,co ()s ,sin αα=b ,其中x y α∈R ,,,若4=a b , 则2λ⋅<a b 成立的一个必要不充分条件是( ) A .λ>3或λ<-3 B .λ>1或λ<-1 C .-3<λ<3D .-1<λ<1二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13.“对顶角相等”的否定为________,否命题为________.14.令()221:0p x ax x ++>,如果对x ∀∈R ,()p x 是真命题,则a 的取值范围是________.15.试写出一个能成为2()(0)21a a -->的必要不充分条件________. 16.给定下列结论:①已知命题p :∃x ∈R ,t a n x =1;命题q :∀x ∈R ,210x x -+>.则命题“p q ⌝∧”是假命题;②已知直线1l :ax +3y -1=0,2l :x +b y +1=0,则12l l ⊥的充要条件是3ab =-;③若()1sin 2αβ+=,()1sin 3αβ-=,则t a nα=5t a nβ;④圆224210x y x y ++-+=与直线12y x =,所得弦长为2. 其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填上).三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)已知命题p :∀非零向量a 、b 、c ,若()0⋅-=a b c ,则=b c .写出其否定和否命题,并说明真假.18.(12分)给定两个命题P :对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立;Q :关于x 的方程20x x a -+=有实数根.如果P ∧Q 为假命题,P ∨Q 为真命题,求实数a 的取值范围.19.(12分)求证:一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a <-1.20.(12分)已知p :2290x x a -+<,q :22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩,且p ⌝是q ⌝的充分条件,求实数a 的取值范围.21.(12分)给出命题p:“在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2cos x+1,2cos2x +2)和Q(cos x,-1),∀x∈[0,π],向量OP与OQ不垂直.”试判断该命题的真假并证明.22.(12分)已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是33220a b ab a b++--=.2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语(一)答 案一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.【答案】B【解析】由题得原命题“若0x ≥,0y ≥,则0xy ≥”是真命题,所以其逆否命题也是真命题.逆命题为:“若0xy ≥,则0x ≥,0y ≥”,是假命题,所以否命题也是假命题, 所以四个命题中,真命题的个数为2.故答案为B . 2.【答案】B【解析】可设{}1,2A =,{}1,2,3B =,满足A B ⊆,但A B ≠,故原命题为假命题,从而逆否命题为假命题.易知否命题、逆命题为真. 3.【答案】C【解析】直线l 与平面α内两相交直线垂直⇔直线l 与平面α垂直,故选C . 4.【答案】A【解析】命题“若p ,则q ”的否定形式是“若p ,则q ⌝”.故选A . 5.【答案】D【解析】p 且q 是假命题⇒p 和q 中至少有一个为假,则非p 和非q 至少有一个是真命题.p 或q 是假命题⇒p 和q 都是假命题,则非p 和非q 都是真命题.故选D . 6.【答案】D【解析】由向量的运算即可判断. 7.【答案】B【解析】由于“A ⇒B ,A /⇐B ”等价于“A B ⌝⌝⇐,A ⌝/⇒B ⌝”,故“A ⌝”是“B ⌝”的必要不充分条件.故选B . 8.【答案】A【解析】由“4x =”,得)3(4,=a ,故5=a ;反之,由5=a ,得4x =±.所以“4x =”是“5=a ”的充分而不必要条件.故选A . 9.【答案】D【解析】由于cos cos c (os sin sin )x y x y x y -+=,而当{},x y ∈锐角时,0cos 1y <<,0sin 1x <<,所以cos cos cos sin sin cos s (in )x y x y x y x y -<+=+,故选项D 正确. 10.【答案】D【解析】A 为全称命题;B 中否定应为0x ∃∈Z ,3200x x ≤;C 中应为充分不必要条件.D 选项正确. 11.【答案】D【解析】由题意知p 真,q 假.再进行判断. 12.【答案】B【解析】由已知1=b ,∴44==a b,4.又∵()()cos sin 4sin 4x y αααϕαϕ⋅=++=+≤a b ,由于2λ⋅<a b 成立,则24λ>,解得λ>2或λ<-2,这是2λ⋅<a b 成立的充要条件,因此2λ⋅<a b 成立的一个必要不充分的条件是λ>1或λ<-1.故选B .二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13.【答案】对顶角不相等 若两个角不是对顶角,则它们不相等【解析】“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”,否命题为“若两个角不是对顶角,则它们不相等”. 14.【答案】1a >【解析】由已知x ∀∈R ,2210ax x ++>恒成立.显然0a =不合题意, 所以0440a a ∆>⎧⎨=-<⎩⇒1a >.15.【答案】1a > (不惟一)【解析】2()(0)21a a -->的解集记为B ={1|a a >且a ≠2},所找的记为集合{}1A a a =>,则B ⇒A ,B /⇐A .16.【答案】①③【解析】对于①易知p 真,q 真,故命题p q ⌝∧假,①正确; 对于②1l 与2l 垂直的充要条件应为a +3b =0; 对于③利用两角和与差的正弦公式展开整理即得;,④错.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.【答案】见解析.【解析】p ⌝:∃非零向量a 、b 、c ,若()0⋅-=a b c ,使≠b c .p ⌝为真命题. 否命题:∀非零向量a 、b 、c ,若()0⋅-≠a b c ,则≠b c .否命题为真命题. 18.【答案】()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【解析】命题P :对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立,则“a =0”,或“a >0且240a a -<”.解得0≤a <4.命题Q :关于x 的方程20x x a -+=有实数根,则140a ∆=-≥,得14a ≤. 因为P ∧Q 为假命题,P ∨Q 为真命题,则P ,Q 有且仅有一个为真命题, 故P Q ⌝∧为真命题,或P Q ⌝∧为真命题,则0414a a a <≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或或0414a a ≤<⎧⎪⎨>⎪⎩, 解得a <0或144a <<.所以实数a 的取值范围是()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.19.【答案】见解析.【解析】一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充要条件是:4401a a ∆=->⇔<,并且10a<,从而a <0.有一个正根和一个负根的充分不必要条件应该是{a |a <0}的真子集,a <-1符合题意.所以结论得证. 20.【答案】a ≤9.【解析】由22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩,得1324x x <<⎧⎨<<⎩,即2<x <3.∴q :2<x <3.设{}290|2A x x x a =-+<,B ={x |2<x <3},∵p q ⌝⌝⇒,∴q ⇒p .∴B ⊆A .∴2<x <3包含于集合A ,即2<x <3满足不等式2290x x a -+<.∴2<x <3满足不等式292a x x <-.∵当2<x <3时,222981819818192229,21616488x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎤-=--+-=--+∈ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦,即2819928x x <-≤,∴a ≤9. 21.【答案】见解析.【解析】命题p 是假命题,证明如下:由OP 和OQ 不垂直, 得cos x (2cos x +1)-(2cos2x +2)≠0,变形得:22cos cos 0x x -≠, 所以cos x ≠0或1cos 2x ≠. 而当[]0,x ∈π时,cos2π=0,1cos 32π=, 故存在2x π=或3x π=,使向量OP OQ ⊥成立,因而p 是假命题. 22.【答案】见解析.【解析】必要性:∵a +b =1,∴b =1-a ,∴()()()32332232111a b ab a b a a a a a a ++--=+--+--- 323222133120a a a a a a a a a =+-+-+---+-=.充分性:∵33220a b ab a b ++--=,即()()()22220a b a ab b a ab b --+-+=+, ∴()()2210a ab b a b -+-=+,又ab≠0,即a≠0且b≠0,∴2222324b ba ab b a⎛⎫-+=-+≠⎪⎝⎭,只有1a b+=.综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是33220a b ab a b++--=.。

2018-2019学年高中数学 模块综合检测(含解析)北师大版选修1-2

2018-2019学年高中数学 模块综合检测(含解析)北师大版选修1-2

模块综合检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z 1=2+i ,z 2=1+i ,则z 1z 2在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第三象限 C .第二象限 D .第四象限解析:选Dz 1z 2=2+i 1+i =32-i 2,对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫32,- 12在第四象限.2.以下是解决数学问题的思维过程的流程图(如图):在此流程图中,①②两条流程线与“推理与证明”的思维方法匹配正确的是( ) A .①—综合法,②—分析法 B .①—分析法,②—综合法 C .①—综合法,②—反证法D .①—分析法,②—反证法解析:选A 综合法是从原因推导到结果的思维方法,而分析法是从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.故选A.3.复数a +i1-i为纯虚数,则它的共轭复数是( )A .2iB .-2iC .iD .-i解析:选D ∵复数a +i1-i=a +i1+i 1-i 1+i =a -1+1+a i 2为纯虚数,∴a -12=0,1+a2≠0,解得a =1. ∴a +i1-i=i ,则它的共轭复数是-i.4.下列说法正确的有( ) ①回归方程适用于一切样本和总体. ②回归方程一般都有时间性.③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围. ④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值. A .①②B .②③C .③④D .①③解析:选B 回归方程只适用于所研究样本的总体,所以①不正确;而“回归方程一般都有时间性”正确,③也正确;而回归方程得到的预报值是预报变量的近似值,故选B.5.观察按下列顺序排列的等式:9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=31,…,猜想第n (n ∈N *)个等式应为( )A .9(n +1)+n =10n +9B .9(n -1)+n =10n -9C .9n +(n -1)=10n -9D .9(n -1)+(n -1)=10n -10解析:选B 等式的左边是9×(等式的序号-1)+等式的序号,故选B.6.已知x 1>0,x 1≠1,且x n +1=x n x 2n +33x 2n +1(n ∈N *),试证“数列{x n }对任意正整数n 都满足x n <x n +1,或者对任意正整数n 都满足x n >x n +1”,当此题用反证法否定结论时,应为( )A .对任意的正整数n ,都有x n =x n +1B .存在正整数n ,使x n >x n +1C .存在正整数n (n ≥2),使x n ≥x n +1且x n ≤x n -1D .存在正整数n (n ≥2),使(x n -x n -1)(x n -x n +1)≥0解析:选D 命题的结论是等价于“数列{x n }是递增数列或是递减数列”,其反设是“数列既不是递增数列,也不是递减数列”,由此可知选D.7.观察下列等式,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,根据上述规律,13+23+33+43+53+63=( )A .192B .202C .212D .222解析:选C 归纳得13+23+33+43+53+63=()1+2+…+62=212. 8.设复数z 满足关系式z +|z |=2+i ,那么z 等于( ) A .-34+i B.34-iC .-34-i D.34+i解析:选D 设z =x +y i(x ,y ∈R),则x +y i +x 2+y 2=2+i ,所以⎩⎨⎧x +x 2+y 2=2,y =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =34,y =1.所以z =34+i.9.下表是降耗技术改造后,生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据,根据表中提供的数据,得到y 关于x 的线性回归方程为y =0.7x +0.35,那么表中m 的值为( )x 3 4 5 6 y2.5m44.5A .3.5 C .2.5D .2解析:选B ∵x =3+4+5+64=4.5,y =2.5+m +4+4.54=m +114,又(x ,y )在线性回归方程上, ∴m +114=0.7×4.5+0.35,∴m =3.10.通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动,得到如下的列联表:男 女 总计 爱好 10 40 50 不爱好 20 30 50 总计3070100附表:P (χ2≥k 0)0.10 0.05 0.025 k 02.7063.8415.024χ2=2a +bc +d a +cb +d.经计算,统计量χ2≈4.762,参照附表,得到的正确结论是( ) A .在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B .在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C .有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D .有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析:选A 根据题意得χ2≈4.762>3.841,故应该有95%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,因此选A.11.已知面积为S 的凸四边形中,四条边长分别记为a 1,a 2,a 3,a 4,点P 为四边形内任意一点,且点P 到四边的距离分别记为h 1,h 2,h 3,h 4,若a 11=a 22=a 33=a 44=k ,则h 1+2h 2+3h 3+4h 4=2Sk,类比以上性质,体积为V 的三棱锥的每个面的面积分别记为S 1,S 2,S 3,S 4,此三棱锥内任一点Q 到每个面的距离分别为H 1,H 2,H 3,H 4,若S 11=S 22=S 33=S 44=k ,则H 1+2H 2+3H 3+4H 4=( )A.4VkB.3VkC.2VkD.V k解析:选B 根据三棱锥的体积公式V =13Sh ,得13S 1H 1+13S 2H 2+13S 3H 3+13S 4H 4=V , 即S 1H 1+S 2H 2+S 3H 3+S 4H 4=3V , 所以H 1+2H 2+3H 3+4H 4=3V k.12.函数f (x )在[-1,1]上是减函数,α,β是锐角三角形的两个内角,且α≠β,则下列不等式正确的是( )A .f (cos α)>f (sin β)B .f (sin α)>f (sin β)C .f (cos α)<f (cos β)D .f (sin α)<f (sin β)解析:选A 因为α,β是锐角三角形的两个内角,这就意味着α,β为锐角,另外第三个角π-(α+β)为锐角.所以0<α<π2,0<β<π2,π2<α+β<π.所以π2>β>π2-α>0.所以0<cos β<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=sin α<1,1>sin β>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=cos α>0.又因为f (x )在[-1,1]上为减函数, 所以f (sin β)<f (cos α).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上) 13.复数z 满足(1+i)z =|3-i|,则z =________. 解析:∵(1+i)z =|3-i|=2, ∴z =21+i =21-i2=1-i ,∴z =1+i. 答案:1+i14.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.解析:法一:由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3,则甲的卡片上的数字是1和3,满足题意;若丙的卡片上的数字是1和3,则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3,则甲的卡片上的数字是1和2,不满足甲的说法.故甲的卡片上的数字是1和3.法二:因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2,所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5,所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1,所以乙的卡片上的数字是2和3,所以甲的卡片上的数字是1和3.答案:1和315.执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出的S 的值为________.解析:第一次循环:S =2-1,1<3,i =2; 第二次循环:S =3-1,2<3,i =3; 第三次循环:S =4-1=1,3≥3,输出S =1.答案:116.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.下图中实心点的个数5,9,14,20,…,被称为梯形数.根据图形的构成,记第2 018个梯形数为a 2 018,则a 2 018=________.解析:5=2+3=a 1,9=2+3+4=a 2,14=2+3+4+5=a 3,…,a n =2+3+…+(n +2)=n +12+n +22=12(n +1)(n +4),由此可得a 2 018=2+3+4+…+2 020=12×2 019×2 022=2 019×1 011.答案:2 019×1 011三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知复数z =1-i2+31+i2-i.(1)若复数z 1与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称,求z 1; (2)若实数a ,b 满足z 2+az +b =1-i ,求z 2=a +b i 的共轭复数. 解:由已知得复数z =1-i2+31+i 2-i =-2i +3+3i 2-i =3+i 2-i =3+i2+i2-i2+i=5+5i 5=1+i.(1)因为复数z 1与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称,则它们实部互为相反数,虚部相等,所以z 1=-1+i.(2)因为z 2+az +b =1-i , 所以(1+i)2+a (1+i)+b =1-i , 整理得a +b +(2+a )i =1-i ,因为a ,b ∈R ,所以a +b =1,且2+a =-1, 解得a =-3,b =4,所以复数z 2=-3+4i , 所以z 2的共轭复数为-3-4i.18.(本小题满分12分)为了研究教师工作积极性和对待教育改革态度的关系,随机抽取了278名教师进行问卷调查,所得数据如表:积极支持教育改革不太赞成教育改革总计 工作积极5573128工作一般 98 52 150 总计153125278对于该教委的研究项目,根据上述数据,能否有99%的把握认为对待教育改革的态度与工作积极性有关?解:根据题意可得χ2=278×55×52-73×982128×150×153×125≈13.959>6.635,所以有99%的把握认为对待教育改革的态度与其工作积极性是有关的. 19.(本小题满分12分)设函数f (x )=1x +2,a ,b ∈(0,+∞). (1)用分析法证明:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b +f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23;(2)设a +b >4,求证:af (b ),bf (a )中至少有一个大于12.证明:(1)要证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b +f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23,只需证明1a b +2+1b a +2≤23, 只需证明ba +2b +ab +2a ≤23,即证b 2+4ab +a 22a 2+5ab +2b 2≤23,即证3b 2+12ab +3a 2≤4a 2+10ab +4b 2. 即证(a -b )2≥0,这显然成立,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b +f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23. (2)假设af (b ),bf (a )都小于或等于12,即a b +2≤12,b a +2≤12,∴2a ≤b +2,2b ≤a +2,两式相加得a +b ≤4, 这与a +b >4矛盾,∴af (b ),bf (a )中至少有一个大于12.20.(本小题满分12分)先解答(1),再通过结构类比解答(2):(1)求证:tan ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4=1+tan x 1-tan x ;(2)设x ∈R ,a 为非零常数,且f (x +a )=1+f x1-f x,试问:f (x )是周期函数吗?证明你的结论.解:(1)证明:根据两角和的正切公式得tan ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4=tan x +tanπ41-tan x tanπ4=tan x +11-tan x =1+tan x1-tan x,即tan ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4=1+tan x 1-tan x ,命题得证. (2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数.因为f (x +2a )=f [(x +a )+a ]=1+f x +a1-f x +a =1+1+fx 1-f x 1-1+fx 1-f x=-1f x , 所以f (x +4a )=f [(x +2a )+2a ] =-1fx +2a=f (x ).所以f (x )是以4a 为周期的周期函数.21.(本小题满分12分)通过计算可得下列等式: 22-12=2×1+1, 32-22=2×2+1, 42-32=2×3+1, …(n +1)2-n 2=2n +1.将以上各等式两边分别相加得:(n +1)2-12=2(1+2+3+…+n )+n ,即1+2+3+…+n =n n +12.(1)类比上述求法,请你求出12+22+32+…+n 2的值. (2)根据上述结论,求12+32+52+…+992的值. 解:(1)∵23-13=3×12+3×1+1, 33-23=3×22+3×2+1, 43-33=3×32+3×3+1, …,(n +1)3-n 3=3×n 2+3×n +1,将以上各式两边分别相加得(n +1)3-13=3(12+22+…+n 2)+3(1+2+…+n )+n , ∴12+22+…+n 2=13⎣⎢⎡⎦⎥⎤n +13-1-n -3·1+n n 2=16n (n +1)(2n +1).(2)12+32+52+…+992=12+22+32+…+1002-(22+42+62+…+1002)=12+22+32+…+1002-4(12+22+32+…+502)=16×100×101×201-4×16×50×51×101=166 650.22.(本小题满分12分)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:(1)(2)用所求回归方程预测该地区2018年(t =6)的人民币储蓄存款.附:回归方程y =bt +a 中,b =∑i =1nt i y i -n t y∑i =1nt 2i -n t 2,a =y -b t .解:(1)列表计算如下:这里n =5,t =1n ∑i =1nt i =155=3,y =1n ∑i =1n y i =365=7.2.又∑i =1nt 2i -n t 2=55-5×32=10,∑i =1nt i y i -n t y =120-5×3×7.2=12,从而b =1210=1.2,a =y -b t =7.2-1.2×3=3.6,故所求回归方程为y =1.2t +3.6.(2)将t =6代入回归方程可预测该地区2018年的人民币储蓄存款为y =1.2×6+3.6=10.8(千亿元).。

2018~2019学年度高中数学选修2-1教师用书配套课件整理学案模块质量评估

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模块质量评估一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【试题解析】选D.可采用特殊值法进行判断,令a=1,b=-1,满足a>b,但不满足a2>b2,即条件“a>b”不能推出结论“a2>b2”;再令a=-1,b=0,满足a2>b2,但不满足a>b,即结论“a2>b2”不能推出条件“a>b”.2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为( )A.a2B.a2C.a2D.a2【试题解析】选C.如图,=(+),=,·=(·+·)=(a2cos 60°+a2cos 60°)=a2.3.对∀k∈R,则方程x2+ky2=1所表示的曲线不可能是 ( )A.两条直线B.圆C.椭圆或双曲线D.抛物线【试题解析】选D.分别令k=0,1及k>0且k≠1或k<0可知:方程x2+ky2=1不可能为抛物线.4.给出下列命题:①若给定命题p:∃x0∈R,使得+x0-1<0,则p:∀x∈R,均有x2+x-1≥0;②若p∧q为假命题,则p,q均为假命题;③命题“若x2-3x+2=0,则x=2”的否命题为“若 x2-3x+2=0,则x≠2”. 其中正确的命题序号是 ( )A.①B.①②C.①③D.②③【解题指南】写出原命题的否定,可判断①;根据复合命题真假判断的真值表,可判断②;写出原命题的否命题,可判断③.【试题解析】选A.若给定命题p:∃x 0∈R,使得+x0-1<0,则p:∀x∈R,均有x2+x-1≥0,故①正确;若p∧q为假命题,则p,q存在假命题,但不一定均为假命题,故②错误;命题“若x2-3x+2=0,则x=2”的否命题为“若 x2-3x+2≠0,则x≠2”,故③错误.5.一条线段的长等于10,两端点A,B分别在x轴和y轴上滑动,M在线段AB上且=4,则M的轨迹方程是( )A.x2+16y2=64B.16x2+y2=64C.x2+16y2=8D.16x2+y2=8【试题解析】选B.设M(x,y),A(a,0),B(0,b),则a2+b2=100.因为=4,所以即代入a2+b2=100,得25x2+y2=100,即16x2+y2=64.6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A, B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p=( )A.1B.C.2D.3【试题解析】选C.因为双曲线的离心率e==2,所以b=a,所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,与抛物线的准线x=-相交于A,B,所以△AOB的面积为××p=,又p>0,所以p=2.7.已知非零向量a,b,c,若p=++,那么|p|的取值范围是( )A.[0,1]B.[1,2]C.[0,3]D.[1,3]【试题解析】选C.p2==3+2≤3+2×3=9,所以0≤|p|≤3.8.已知F1(-3,0),F2(3,0)是椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,∠F1PF2=α.当α=时,△F1PF2的面积最大,则m+n的值是 ( )A.41B.15C.9D.1【试题解析】选B.由=|F1F2|·|y P|=3|y P|,知点P为短轴端点时,△F1PF2的面积最大.此时∠F1PF2=,得a==2 ,b==,故m+n=15.9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为棱AB的中点,则D1E与平面BC1D所成角的正弦值为 ( )A. B.C. D.【试题解析】选A.建系如图,则B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),E(2,1,0),C1(0,2,2),=(-2,2,-2),=(2,1,-2),=(-2,-2,0),=(-2,0,2).所以·=0,·=0,为平面BC1D的法向量.因为cos<,>==,所以D1E与平面BC1D所成角的正弦值为.10.若直线y=2x与双曲线-=1(a>0,b>0)有公共点,则双曲线的离心率的取值范围为( )A.(1,)B.(,+∞)C.(1,]D.[,+∞)【试题解析】选B.双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y=x.由条件知,应有>2,故e===>.11.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若·=0,则k=( )A. B. C. D.2【试题解析】选D.y2=8x的焦点为(2,0),由题可知直线AB斜率存在,可设为y =k(x-2),所以所以y=k,即y2-y-2k=0,又设A(x1,y1),B(x2,y2),y1+y2=,y1y2=-16.·=(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=0,(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0,即+(y1-2)(y2-2)=0,所以+(+)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0,即++4-16-+4=0,解得k=2.12.如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD, PA=AD=AC,点F为PC的中点,则二面角C-BF-D的正切值为( )A. B.C. D.【试题解析】选D.如图所示,连接BD,AC∩BD=O,连接OF.建立如图所示的空间直角坐标系.设PA=AD=AC=1,则BD=.所以B,F,C,D.结合图形可知,=且为平面BDF的一个法向量,由=,=,可求得平面BCF的一个法向量n=.所以cos<n,>=,sin<n,>=,所以tan<n,>=.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.命题“∃x0∈R,2-3ax0+9<0”为假命题,则实数a的取值范围是________.【试题解析】因为∃x0∈R,2-3ax0+9<0为假命题,所以∀x∈R,2x2-3ax+9≥0为真命题,所以Δ=9a2-4×2×9≤0,即a2≤8,所以-2≤a≤2.答案:[-2,2]14.过双曲线的左焦点F1且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,若在双曲线虚轴所在直线上存在一点C,使·=0,则双曲线离心率e的取值范围是________.【试题解析】设双曲线的方程为-=1,A,B,C(0,t),由·=0,得t2=-c2≥0,e≥.答案:15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B与平面A1B1CD所成角的大小为________.设与B1C交于O点,连接A1O.因为BC1⊥B1C,A1B1【试题解析】连接BC⊥BC1,A1B1∩B1C=B1,所以BC1⊥平面A1B1C,所以A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O.所以∠OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角,设正方体的棱长为1.在Rt△A1OB中,A1B=,BO=,所以sin∠OA1B===.所以∠OA1B=30°.即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.答案:30°【一题多解】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),C(0,1,0).所以=(1,0,1),=(0,1,0).设平面A1B1CD的一个法向量为n=(x,y,z),则所以令z=-1,得x=1.所以可取n=(1,0,-1),又B(1,1,0),所以=(0,1,-1),cos<n,>===.所以<n,>=60°,所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.答案:30°16.下列命题中,正确的是__________.①空间向量a与b的夹角为60°,a=(2,0,0),|b|=1,则|a+b|=;②已知命题p:∀x∈R,3x>0,则p:∃x 0∈R,≤0;③“a>b”是“2a>2b”的充分不必要条件;④设M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件.【试题解析】①中,|a|=2,所以a·b=|a|·|b|cos 60°=2×=1,所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=7,所以|a+b|=,正确;②全称命题的否定是特称命题,所以p:∃x 0∈R,≤0,故②正确;由2a>2b可知a>b,另外由a>b,可知2a>2b,所以“a>b”是“2a>2b”的充要条件,所以③不正确;“N⊆M”,则有a2=1或a2=2,解得a=±1或a=±,所以“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件,故④正确.答案:①②④【补偿训练】有下列命题:①双曲线-=1与椭圆+y2=1有相同的焦点;②“-<x<0”是“2x2-5x -3<0”的必要不充分条件;③若a,b共线,则a,b所在的直线平行;④若a,b,c 三向量两两共面,则a,b,c三向量一定也共面;⑤∀x∈R,x2-3x+3≠0.其中是真命题的有__________.(把你认为正确命题的序号都填上)【试题解析】①中的两曲线的焦点均为(±,0),正确;对于②,不等式2x2-5x-3<0的解为-<x<3,所以不正确;③中a,b所在的直线也可能重合,所以不正确;④举反例,如空间直角坐标系中x,y,z轴的方向向量,所以不正确;⑤∀x∈R,x2-3x+3=+>0,正确.答案:①⑤三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知命题p:方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆;命题q:∀x∈R,4x2-4mx+4m-3≥0.若(p)∧q为真,求m的取值范围.【试题解析】p真时,m>2.q真时,4x2-4mx+4m-3≥0在R上恒成立.Δ=16m2-16(4m-3)≤0,1≤m≤3.因为(p)∧q为真,所以p假,q真.所以即1≤m≤2.所以所求m的取值范围为[1,2].18.(12分)如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:(1)AM∥平面BDE.(2)AM⊥平面BDF.【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设AC∩BD=N,连接NE.则点N,E的坐标分别为N,E(0,0,1).所以=.又点A,M的坐标分别是A(,,0),M,所以=.所以=且NE与AM不共线,所以NE∥AM.又因为NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,所以AM∥平面BDE.(2)由(1)知=.因为D(,0,0),F(,,1),所以=(0,,1).所以·=0,所以⊥.同理⊥,且DF∩BF=F,所以AM⊥平面BDF.19.(12分)在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,∠ABC=90°,如图①把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD.(1)求证:CD⊥AB.(2)若点M为线段BC的中点,求点M到平面ACD的距离.【试题解析】(1)由已知条件可得BD=2,CD=2,CD⊥BD.因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,又因为AB ⊂平面ABD,所以CD⊥AB.(2)以点D为原点,DB所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图,由已知可得A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,1,0),所以=(0,-2,0),=(-1,0,-1),=(-1,1,0).设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则⊥n,⊥n,所以令x=1,得平面ACD的一个法向量为n=(1,0,-1),所以点M到平面ACD的距离d==.20.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.【试题解析】(1)由题意设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),且a+c=3,a -c=1,所以a=2,c=1,所以b2=3,所以+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,3+4k2-m2>0.又x1+x2=-,x1·x2=,所以y1·y2=(kx1+m)·(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=.因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),所以k AD·k BD=-1,即·=-1,所以y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,+++4=0,7m2+16mk+4k2=0,解得m1=-2k,m2=-,且满足3+4k2-m2>0.当m=-2k时,l:y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾;当m=-时,l:y=k,直线过定点.综上可知,直线l过定点,定点坐标为.21.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点O,D是B1C1的中点.(1)证明:A1D⊥平面A1BC.(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.【试题解析】(1)连接A1O,AO.因为AB=AC=2,D是B1C1的中点.所以A1D⊥B1C1,因为BC∥B1C1,所以A1D⊥BC,因为A1O⊥面ABC,所以A1O⊥AO,A1O⊥BC,又因为A1D∥AO,所以A1O⊥A1D,因为BC∩A1O=O,所以A1D⊥平面A1BC.(2)因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,O为BC中点,所以AO⊥BC,以OA,OB,OA1所在直线分别为x,y,z轴,建立坐标系如图.所以O(0,0,0),B(0,,0),B1(-,,),A1(0,0,),即=(0,,-),=(0,,0),=(-,0,),设平面BB1C1C的法向量为n(x,y,z),即得出得出n=(,0,1),||=4,|n|=2,因为n·=,所以cos<n,>==,可得出直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值为.22.(12分)(2017·全国卷Ⅲ)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC.(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.【试题解析】(1)取AC中点O,连接OD,OB.由∠ABD=∠CBD,AB=BC=BD知△ABD≌△CBD,所以CD=AD,由已知可得△ADC为等腰直角三角形,D为直角顶点,则OD⊥AC,设正△ABC边长为a,则OD=AC=a,OB=a,BD=a,所以OD2+OB2=BD2,即OD⊥OB,又OB∩AC=O,所以OD⊥平面ABC,又OD⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)以OA,OB,OD所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,由(1)得当E为BD中点时,平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,故可得A,D,C,E,则=,=,设平面ADE的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则即令z1=1, 则x1=1,y1=,所以n1=,同理可得平面AEC的一个法向量n2=, 所以cos<n1,n2>===,因为二面角D-AE-C的平面角为锐角,所以二面角D-AE-C的余弦值为.。

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2018-2019高中数学选修2-1模块检测(解析版)(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知命题p :若x 2+y 2=0(x ,y ∈R ),则x ,y 全为0;命题q :若a >b ,则1a <1b.给出下列四个复合命题:①p 且q ;②p 或q ;③綈p ;④綈q .其中真命题的个数是 ( ).A .1B .2C .3D .4解析 命题p 为真,命题q 为假,故p ∨q 真,綈q 真.答案 B2.“α=π6+2k π(k ∈Z )”是“cos 2α=12”的 ( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析 当α=π6+2k π(k ∈Z )时,cos 2α=cos(4k π+π3)=cos π3=12. 反之当cos 2α=12时,有2α=2k π+π3(k ∈Z )⇒α=k π+π6(k ∈Z ),或2α=2k π-π3(k ∈Z )⇒α=k π-π6(k ∈Z ),故应选A. 答案 A3.若直线l 的方向向量为b ,平面α的法向量为n ,则可能使l ∥α的是 ( ).A .b =(1,0,0),n =(-2,0,0)B .b =(1,3,5),n =(1,0,1)C .b =(0,2,1),n =(-1,0,-1)D .b =(1,-1,3),n =(0,3,1)解析 若l ∥α,则b·n =0.将各选项代入,知D 正确.答案 D4.已知a =(cos α,1,sin α),b =(sin α,1,cos α),则向量a +b 与a -b 的夹角是 ( ).A .90°B .60°C .30°D .0°解析 ∵|a|=|b|=2,∴(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=0.故向量a +b 与a -b 的夹角是90°. 答案 A5.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6,那么|AB |等于 ( ).A .10B .8C .6D .4解析 由抛物线的定义得|AB |=x 1+x 2+p =6+2=8.答案 B6.如图,在长方体ABCD -A1B 1C 1D 1中,AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 ( ). A.63 B.255 C.155 D.105解析 建立如图所示坐标系,得D (0,0,0),B (2,2,0),C 1(0,2,1),B 1(2,2,1),D 1(0,0,1),则DB →=(2,2,0),DD 1→=(0,0,1),BC 1→=(-2,0,1).设平面BD 1的法向量n =(x ,y ,z ).∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →=2x +2y =0,n ·DD 1→=z =0,∴取n =(1,-1,0).设BC 1与平面BD 1所成的角为θ,则sin θ=cos 〈n ,BC 1→〉=|BC 1→·n ||BC 1→||n |=25·2=105. 答案 D7.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax (a ≠0)的焦点F ,且和y 轴交于点A ,若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为 ( ).A .y 2=±4xB .y 2=±8xC .y 2=4xD .y 2=8x解析 y 2=ax 的焦点坐标为(a 4,0),过焦点且斜率为2的直线方程为y =2(x -a 4),令x = 0得y =-a 2.∴12×|a |4×|a |2=4,∴a 2=64,∴a =±8. 答案 B8.三棱锥A —BCD 中,AB =AC =AD =2,∠BAD =90°,∠BAC=60°,则AB →·CD →等于 ( ).A .-2B .2C .-2 3D .2 3解析 AB →·CD →=AB →·(AD →-AC →)=AB →·AD →-AB →·AC →=|AB →||AD →|cos 90°-2×2×cos 60°=-2.答案 A9.设双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =x 2+1相切,则该双曲线的离心率等于 ( ). A. 3 B .2 C. 5 D. 6解析 双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的渐近线方程为y =±b a x ,因为y =x 2+1与渐近线相切,故x 2+1±b ax =0只有一个实根,∴b 2a 2-4=0,∴c 2-a 2a =4,∴c 2a 2=5,∴e = 5. 答案 C10.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1与椭圆x 2m 2+y 2b 2=1(a >0,m >b >0)的离心率互为倒数,那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是 ( ).A .锐角三角形B .钝角三角形C .直角三角形D .等腰三角形解析 双曲线的离心率e 12=a 2+b 2a 2,椭圆的离心率e 22=m 2-b 2m 2,由已知e 12e 22=1,即a 2+b 2a 2 ×m 2-b 2m 2=1,化简,得a 2+b 2=m 2. 答案 C二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)11.已知命题p :∀x ∈R (x ≠0),x +1x≥2,则綈p :________. 解析 首先将量词符号改变,再将x +1x ≥2改为x +1x<2. 答案 ∃x ∈R (x ≠0),x +1x<2 12.与双曲线x 2-y 24=1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是______________.解析 依题意设双曲线的方程x 2-y 24=λ(λ≠0),将点(2,2)代入求得λ=3,所以所求双 曲线的标准方程为x 23-y 212=1. 答案 x 23-y 212=113.给出下列结论:①若命题p :∃x ∈R ,tan x =1;命题q :∀x ∈R ,x 2-x +1>0,则命题“p ∧綈q ”是假命题;②已知直线l 1:ax +3y -1=0,l 2:x +by +1=0,则l 1⊥l 2的充要条件是a b=-3; ③命题“若x 2-3x +2=0,则x =1”的逆否命题为:“若x ≠1,则x 2-3x +2≠0”. 其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上).解析 对于①,命题p 为真命题,命题q 为真命题,所以p ∧綈q 为假命题,故①正确; 对于②,当b =a =0时,有l 1⊥l 2,故②不正确;易知③正确.所以正确结论的序号为①③. 答案 ①③14.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 225+y 29=1的左、右焦点分别是F 1、F 2,P 为椭圆C 上的一点,且PF 1⊥PF 2,则△PF 1F 2的面积为______.解析 ∵PF 1⊥PF 2,∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,由椭圆方程知a =5,b =3,∴c =4,∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2=64|PF 1|+|PF 2|=2a =10, 解得|PF 1||PF 2|=18.∴△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|=12×18=9. 答案 9三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)15.(10分)已知命题p :方程x 22m +y 29-m =1表示焦点在y 轴上的椭圆,命题q :双曲线y 25-x 2m =1的离心率e ∈(62,2),若命题p 、q 中有且只有一个为真命题,求实数m 的取值范围.解 若p 真,则有9-m >2m >0,即0<m <3.若q 真,则有m >0,且e 2=1+b 2a 2=1+m 5∈(32,2), 即52<m <5. 若p 、q 中有且只有一个为真命题,则p 、q 一真一假.①若p 真、q 假,则0<m <3,且m ≥5或m ≤52,即0<m ≤52; ②若p 假、q 真,则m ≥3或m ≤0,且52<m <5, 即3≤m <5.故所求范围为:0<m ≤52或3≤m <5. 16.(10分)已知两点M (-2,0)、N (2,0),点P 为坐标平面内的动点,满足|MN →||MP →|+MN →·NP→=0,求动点P (x ,y )的轨迹方程.解 设P (x ,y ),则MN →=(4,0),MP →=(x +2,y ),NP →=(x -2,y ).∴|MN →|=4,|MP →|=(x +2)2+y 2MN →·NP →=4(x -2),代入|MN →|·|MP →|+MN →·NP →=0,得4(x +2)2+y 2+4(x -2)=0, 即(x +2)2+y 2=2-x ,化简整理,得y 2=-8x ,故动点P (x ,y )的轨迹方程为y 2= -8x .17.(10分)已知直线y =ax +1与双曲线3x 2-y 2=1交于A 、B 两点.(1)求a 的取值范围;(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点,求实数a 的值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y =ax +1,3x 2-y 2=1消去y , 得(3-a 2)x 2-2ax -2=0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3-a 2≠0,Δ>0,即-6<a <6且a ≠±3. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=2a 3-a 2,x 1x 2=-23-a 2. ∵以AB 为直径的圆过原点,∴OA ⊥OB ,∴x 1x 2+y 1y 2=0,即x 1x 2+(ax 1+1)(ax 2+1)=0,即(a 2+1)x 1x 2+a (x 1+x 2)+1=0.∴(a 2+1)·-23-a 2+a ·2a 3-a 2+1=0, ∴a =±1,满足(1)所求的取值范围.故a =±1.18.(12分)如图,在五面体ABCDEF 中,F A ⊥平面ABCD ,AD ∥BC ∥FE ,AB ⊥AD ,M 为EC 的中点,AF =AB =BC=FE =12AD . (1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小;(2)证明平面AMD ⊥平面CDE ;(2)求二面角A -CD -E 的余弦值.解 如图所示,建立空间直角坐标系,点A 为坐标原点.设AB =1,依题意得B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),E (0,1,1),F (0,0,1),M (12,1,12). (1)BF →=(-1,0,1),DE →=(0,-1,1),于是cos 〈BF →,DE →〉=BF →·DE →|BF →||DE →|=0+0+12×2=12. 所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明 由AM →=(12,1,12),CE →=(-1,0,1), AD →=(0,2,0),可得CE →·AM →=0,CE →·AD →=0.因此,CE ⊥AM ,CE ⊥AD .又AM ∩AD =A ,故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ,所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)设平面CDE 的法向量为u =(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →=0,u ·DE →=0. 于是⎩⎪⎨⎪⎧-x +z =0,-y +z =0.令x =1,可得u =(1,1,1). 又由题设,平面ACD 的一个法向量为v =(0,0,1).所以,cos 〈u ,v 〉=u ·v |u||v |=0+0+13×1=33. 因为二面角A -CD -E 为锐角,所以其余弦值为33. 19.(12分)设圆C 与两圆(x +5)2+y 2=4,(x -5)2+y 2=4中的一个内切,另一个外切.(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程;(2)已知点M (355,455),F (5,0),且P 为L 上动点,求||MP |-|FP ||的最大值及此时点P 的坐标.解 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ,y ),半径为r .圆(x +5)2+y 2=4的圆心为F 1(-5,0),半径为2,圆(x -5)2+y 2=4的圆心为F (5,0),半径为2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|=r +2,|CF |=r -2或⎩⎪⎨⎪⎧|CF 1|=r -2,|CF |=r +2, ∴||CF 1|-|CF ||=4.∵|F 1F |=25>4,∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(-5,0),F (5,0)为焦点的双曲线,其方程为x 24-y 2=1. (2)由图知,||MP |-|FP ||≤|MF |,∴当M ,P ,F 三点共线,且点P 在MF 延长线上时,|MP |-|FP |取得最大值|MF |, 且|MF |=(355-5)2+(455-0)2=2. 直线MF 的方程为y =-2x +25,与双曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y =-2x +25,x 24-y 2=1,整理得15x 2-325x +84=0. 解得x 1=14515(舍去),x 2=655. 此时y =-255. ∴当||MP |-|FP ||取得最大值2时,点P 的坐标为。

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