【优化方案】2020高中数学 第一章1.2.2知能优化训练 苏教版必修4.doc

1．已知cos θ＝35，且3π
2
＜θ＜2π，那么tan θ的值为________．
解析：因为θ为第四象限角，所以tan θ＜0，sin θ＜0，sin θ＝－1－cos 2
θ＝－45
，所
以tan θ＝sin θcos θ＝－4
3.
答案：－4
3
2．已知sin α＝13，则1
cos α的值为________．
解析：因为sin α＝13＞0，所以α为第一、二象限角，所以cos α＝±1－sin 2
α＝±223，
所以1cos α＝±32
4.
答案：±324
3．已知α是第四象限角，tan α＝－5
12，则sin α＝________.
解析：∵5,12,13为勾股数组，且α为第四象限角，∴sin α＝－5
13
.
答案：－5
13
4．已知sin(α－π4)＝13，则cos(α－π
4)等于________．
解析：cos(α－π
4)＝±
1－sin
2
α－
π
4
＝± 1－
13
2
＝±223
.
答案：±22
3
一、填空题
1．已知tan α＝m (π＜α＜3π
2)，则sin α＝________. 解析：因为tan α＝m ，所以sin 2
αcos 2
α＝m 2，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1m 2＋1
，sin 2
α＝m 2m 2＋1.又因为π＜α＜3π2，所以tan α＞0，即m ＞0.因而sin α＝－m m 2＋1 . 答案：－
m
1＋m
2
2．已知sin θ＋cos θ＝1
5
，θ∈(0，π)，那么tan θ的值是________．
解析：设P (x ，y )是角θ终边上任一点，P 到坐标原点的距离为r ，则r ＝x 2
＋y 2
≠0，且
sin θ＝y r ，cos θ＝x r .由已知有y ＋x r ＝15，①即25(x ＋y )2＝x 2＋y 2
，整理并解得y x ＝－34或y x ＝
－4
3
，②.因为0＜θ＜π，所以y ＞0，又由②知x ＜0，再由①知x ＋y ＞0，则|x |＜|y |.所以－1＜x y ＜0，y x ＜－1.所以tan θ＝y x ＝－4
3.
答案：－4
3
3．已知cos α＝tan α，则sin α＝________.
解析：利用同角三角函数关系式求解．因为cos α＝tan α，所以cos α＝sin α
cos α，即sin α
＝cos 2
α≥0，可得sin α＝1－sin 2
α，即sin 2
α＋sin α－1＝0，解得sin α＝－1±5
2
，舍去负值，得sin α＝5－1
2
. 答案：
5－1
2
4．下列各命题中，正确的是________．
①存在角α，使cos α＝13，tan α＝15
4
②不存在角α，使sin α＝cos α＝22
3
③cos 2π3
＝
1－sin
2
2π3
④若sin α－cos α＝
3
3
，则α是锐角 解析：②中sin 2α＋cos 2
α＝89＋89＝169
＞1.故不存在这样的角α.
答案：②
5．若sin x ＋sin 2x ＝1，则cos 2x ＋cos 4
x ＝________.
解析：由已知sin x ＝1－sin 2x ＝cos 2x ，∴cos 2x ＋cos 4x ＝cos 2x ＋(cos 2x )2＝sin x ＋sin 2
x ＝1. 答案：1
6．下列等式中正确的是________．
①sin 2α2＋cos 2α2＝12
；
②若α∈(0,2π)，则一定有tan α＝sin α
cos α；
③sin π
8
＝±
1－cos
2
π8
； ④sin α＝tan α·cos α(α≠k π＋π
2
，k ∈Z)．
解析：同角的三角函数基本关系中要求角是“同角”，且对于“任意角”都成立，所以①不正确；利用同角三角函数的基本关系时一定要注意其隐含的条件，对于②中cos α≠0，也
即α≠k π＋π2(k ∈Z)，因而②不正确；因为0＜π8＜π2，所以sin π
8
＞0，所以③错．
答案：④
7．已知tan α＋sin α＝a ，tan α－sin α＝b (a ≠－b )，则cos α＝________.
解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧
tan α＋sin α＝a ，tan α－sin α＝b ，解得：sin α＝a －b 2，tan α＝a ＋b 2.利用tan α＝sin α
cos α，
可得cos α＝sin αtan α＝a －b
a ＋
b .
答案：a －b a ＋b
8.2cos θ
1－sin 2
θ
＋1－cos 2
θ
sin θ的值为________． 解析：原式＝2cos θ|cos θ|＋|sin θ|sin θ＝
⎩⎪⎨⎪⎧
3， θ为第一象限角，
－1， θ为第二象限角，
－3， θ为第三象限角，
1， θ为第四象限角.
答案：3或－1或－3或1
二、解答题
9．若cos α＝－35且tan α＞0，求tan α·cos 3
α
1－sin α
的值．
解：tan α·cos 3
α1－sin α＝sin αcos α·cos 3
α1－sin α
＝sin α·cos 2α1－sin α＝sin α1－sin 2
α1－sin α
＝sin α1－sin α1＋sin α1－sin α
＝sin α(1＋sin α)．
由tan α＝sin αcos α＞0，cos α＝－3
5
＜0，
∴sin α＜0.又sin 2α＋cos 2
α＝1，
∴sin α＝－1－cos 2
α＝－45
，
∴原式＝sin α(1＋sin α)
＝－45·(1－45)＝－425
.
10．化简：sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x
tan 2
x －1
. 解：原式＝sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos x
sin 2
x
cos 2x
－1
＝sin 2x sin x －cos x －cos 2
x sin x ＋cos x sin 2x －cos 2
x ＝sin 2x －cos 2x sin x －cos x
＝sin x ＋cos x . 11．(1)已知0＜α＜π，sin α·cos α＝－60
169
，求sin α－cos α的值；
(2)已知0＜α＜π，sin α·cos α＜0，且sin α＋cos α＝1
4
，求sin α－cos α的值．
解：(1)∵0＜α＜π，sin α·cos α＝－60
169
＜0，
∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，
∴(sin α－cos α)2
＝1－2sin αcos α＝1－2×(－60169)＝289169，∴sin α－cos α＝1713
.
(2)∵sin α＋cos α＝14，∴(sin α＋cos α)2
＝116，
∴1＋2sin αcos α＝1
16，
∴2sin αcos α＝－15
16
.
又∵0＜α＜π，sin α·cos α＜0，
∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，
∴(sin α－cos α)2
＝1－2sin αcos α＝3116，
∴sin α－cos α＝
314
.。