第九章 半角模型
半角模型-初三数学半角模型
半角模型1、产生条件：共顶点、等线段，一个小角等于大角的一半，对角互补的四边形。
2、常见形式：图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况，还有2α套α的情况。
求证的结论一般是“a+b=c 或者a -b=c ”。
3、解题方法: 通过辅助线“截长补短”，构造全等三角形，转移边角。
旋转移位造全等，翻折分割构全等。
4、经典题型：4.1、正方形半角模型：90°→ 45°例1、如图，正方形ABCD 中，∠EAF=45°。
求证： （1）EF=BE+DF ． （2）∠EFC 周长 = 2AB （3）EA 平分∠BEF变式训练：如图，正方形ABCD 中，∠EAF=45°。
求证：EF=DF - BEBB4.2、等腰直角三角形半角模型：90°→ 45°例2、如图，等腰直角三角形中∠BAC=90°，∠EAF=45°，求证：BE 、EF 、CF 的数量关系。
变式训练：如图，等腰直角三角形中∠BAC=90°，∠EAF=45°，求证：BE 2 + CF 2 = EF 2。
FE4.3、对角互补、邻边相等四边形半角模型：2α → α例3、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=BC ，E 、F ，分变式训练：如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=BC ，若E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且∠EBF=60°，求证：AF=EF+CE ．专题训练：1、如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF．（1）求证：EF=BE+DF；（2）在（1）问中，若将∠AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系．CBAE2、 如图，∠ABC 中，CA=CB ，∠ACB=120°，点E 为AB 上一点，∠DCE=∠DAE= 60°，求证:AD+DE= BE.3、 如图，∠A=∠B=90°，CA=CB=4， ∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3， BF=2，求五边形ABCDE 的面积.A。
半角模型十五个结论及证明
半角模型十五个结论及证明《探索半角模型的十五个结论及证明》嗨，大家好！今天我要和大家一起探索一个超有趣的数学知识——半角模型的十五个结论及证明。
这就像是一场奇妙的数学冒险，跟我来呀！一、什么是半角模型呢？半角模型呀，就像是一个神秘的数学宝藏，藏在各种几何图形里。
想象一下，我们有一个正方形或者等腰直角三角形，然后在这个图形里出现了一个角，这个角是另外一个大角的一半，这就形成了半角模型。
比如说，在正方形里，一个角是45度，它就是直角90度的一半呢。
这时候啊，就会有好多神奇的结论冒出来。
二、结论一：线段相等我给大家举个例子哈。
在正方形ABCD中，∠EAF = 45度（E、F分别在BC、CD 上）。
我们能发现BE + DF = EF。
这是为啥呢？我们可以把△ADF绕着点A顺时针旋转90度，这样AD就和AB重合了。
旋转后的点F变成了F'。
那这个时候呀，我们就会发现△AEF和△AEF'是全等的。
为啥呢？因为AF = AF'，∠EAF = ∠EAF' = 45度，AE是公共边啊。
就像两个一模一样的小积木，那EF就等于EF'了，而EF'就是BE + DF呀。
你们说神奇不神奇？这就好比是把分散的力量集中起来了，原本分开的BE和DF，通过旋转这个魔法，就变成了和EF相等的线段。
三、结论二：三角形面积关系还有一个有趣的结论呢。
三角形AEF的面积等于三角形ABE的面积加上三角形ADF的面积。
这又怎么理解呢？我们刚刚把△ADF旋转到了△ABF'的位置。
那三角形AEF的面积就等于三角形AEF'的面积啦。
而三角形AEF'的面积就是三角形ABE的面积加上三角形ABF'（也就是原来的三角形ADF）的面积。
这就好像是把两个小地块合并起来就等于一个大地块的面积一样。
四、结论三：角平分线如果我们延长CB到G，使得BG = DF，连接AG。
我们会发现AG是∠EAG的角平分线呢。
2023中考数学常见几何模型《全等模型-半角模型》含答案解析
专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型【模型解读】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ∠∠=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =，若在M ，N 之间修一条直路，则路线M N →的长比路线M A N →→的长少_________m 1.7≈）．2．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置，然后证明AFE AFE '≌△△，从而可得=EF E F '．E F E D DF BE DF ''=+=+，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，12EAF BAD ∠=∠，求证：EF ＝BE ＋DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O 的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系．3．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且45EAF∠=︒，则EF，BE，DF之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE=，求AF的长．4．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF12=∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时， CEF的周长等于．（4）如图4，正方形ABCD中， AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝，求EF的长．（5）如图5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2+DN2=BM2．课后专项训练：1．（2022·重庆市育才中学二模）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．2．（2022·江西九江·一模）如图（1），在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AB AD =，以点A 为顶点作EAF ∠，且12EAF BAD ∠=∠，连接EF ．(1)观察猜想 如图（2），当90BAD B D ∠=∠=∠=︒时，①四边形ABCD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE ，DF ，EF 之间的数量关系为______．(2)类比探究 如图（1），线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题 如图（3），在ABC 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D ，E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若BD =，求DE 的长．3．（2022·山东聊城·九年级期末）（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，求证：EF BE DF =+，试说明理由．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，若B Ð、D ∠都不是直角，则当B Ð与D ∠满足等量关系______时，仍有EF BE DF =+，试说明理由．（3）联想拓展：如图3，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE =45，若1BD =，2EC =，求DE 的长．4．（2022·黑龙江九年级阶段练习）已知：正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，（如图1），易证BM +DN =MN ．(1)当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．5．（2022·重庆南川·九年级期中）如图，正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．(1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），证明：2MN BM =；(2)绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），求证：MN BM DN =+；(3)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．6．（2022·江西景德镇·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，猜想并写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，证明你的猜想；（2）【迁移推广】如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，2BAD EAF ∠∠=．请写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并证明；（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（O 处）北偏东20°的A 处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C ，D 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．7．（2022·上海·九年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 在边BC 上，∠DAE ＝45°．若BD ＝3，CE ＝1，求DE 的长．小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是，DE的长为．参考小明思考问题的方法，解决问题：(2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．且∠EAF＝128．（2022·黑龙江·哈尔滨市九年级阶段练习）已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD 于M，N．(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．9．（2022·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关∠EAF=12系．并证明你的猜想．10．（2022·北京四中九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB 上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°)，射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
初中几何｜半角模型
初中几何｜半角模型
半角模型是初中学习几何最常见的一个模型，这个模型常用的辅助线思维是旋转，而旋转又是学生几何思维中最不习惯的，那么我们如何进行利用呢？今天具体的进行讲解。
一、半角模型特征
1、共端点的等线段；
2、共顶点的倍半角；
二、半角模型辅助线的作法
1、旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角；
2、旋转的条件：具有公共端点的等线段；
3、旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。
三、等腰直角三角形的半角模型(大角夹小角)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E在边BC上，且∠EAD=45°.
（1）求证：△BAE∽△ADE∽△CDA
（2）求证：BD2+CE2=DE2
四、等腰直角三角形的半角模型(拓展)
1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在边BC上，点E在BC的延长线上，且∠EAD=45°.求证：BD2+CE2=DE2
五、一般三角形的半角模型
六、正方形中半角模型相关结论（大角夹小角）
七、正方形中半角模型（拓展）。
半角模型课件
六、链接中考 实战模型
青春从不辜负拼尽全力的你
谢谢！
E
D
解：延长CB，使BF'=DF，连接AF'。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD, ∠ABF ′ =∠ADF, ∴△ADF≌△ABF′ F ∴AF=AF′,∠1=∠2. ∴∠1+∠3=∠2+∠3=45° 即∠EAF′=∠EAF ∵AE=AE ∴△AEF′≌△AEF ∴EF'=EF ∴BE+DF=BE+BF′=EF′=EF
、N，则BM、MN、DN之间的数量关系为
。
A
D
NF M
B
E
C
三、拓展提高 延伸模型
小组合作要求； 1、先独立思考。 2、小组内互相交流方法、思路、疑惑，互相帮助。 3、选出代表，向全班同学展示。
三、拓展提高 延伸模型
【变式二】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，连接BD，分别交AE、AF于点M
试着说明理由。
D
A
F
A
D F
BE
C
F'
B
E
C
一、探究规律 创建模型
A
D
D
F
A
F
F' B
E
C
F'
B
E
C
★观察以上两个题目，你发现了什么？
二、一试身手 体验模型
【从特殊到一般】1、如图，已知AB=AC，在∠BAC内部∠BAC
共顶点的一个角∠DAE= ∠BAC，并且有∠B+∠C=180°.
则BD、CE、DE之间的数量关系为
AB、AC边于M、N两点，连接MN. 则BM、CN、MN之间的数量关系为
【教学研究】半角模型的定义、八个结论、逆命题及应用
【教学研究】半角模型的定义、八个结论、逆命题及应用
定义
半角模型是指：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连结它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型。
由于两射线的夹角是正方形一个内角的一半，故名半角模型，又称“角含半角模型”。
其中，将45°角的两边及其对边围成的三角形称为“半角三角形”（即图中的△AEF）
半角模型的结论：
半角模型中射线与端点对边交点的连线长等于端点两相邻点到各自最近交点的距离和。
即：如图中，EF=BE+DF。
结论
其他结论
逆命题
应用
半角模型是初中几何方面问题的常见模型，常用于基本几何命题的证明和一些边长、角度等的计算。
其逆定理则使其可用性更强，避免冗长的证明过程。
九年级中考几何模型之半角模型详解
中考几何模型之半角模型【模型由来】半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。
如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。
【模型思想】通过旋转变化后构造全等三角形，实线边的转化。
【基本模型】类型一、90°中夹45°(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。
结论①：图1、2中，EF=BE+FD；证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三点共线，∴EF’=BE+BF’=BE+DF。
结论②：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，且AM=AM，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN ’，∠ABD=45°，∴∠MBN ’=∠ABD+∠ABN ’=45°+45°=90°，∴在Rt △MBN ’中，MN ’²=BM ²+BN ’²，即MN ²=BM ²+BN ’²。
结论③：图1、2中EA 平分∠BEF ，FA 平分∠DFE 。
半角模型定理公式
半角模型定理公式【原创实用版】目录1.半角模型定理的概述2.半角模型定理的公式表示3.半角模型定理的证明4.半角模型定理的应用正文一、半角模型定理的概述半角模型定理是数学领域中的一个重要定理，主要应用于解决三角函数、微积分等数学问题的计算与求解。
该定理以其独特的视角和简便的计算方法，为数学研究带来了很大的便利。
二、半角模型定理的公式表示半角模型定理的公式表示如下：设角 A 的半角为 B，则有：sin(B) = ±√((1 - cos(A))/2)cos(B) = ±√((1 + cos(A))/2)tan(B) = ±√((1 - cos(A))/(1 + cos(A)))三、半角模型定理的证明为了证明半角模型定理，我们可以利用三角函数的和角公式进行推导。
以 sin(B) 为例，根据和角公式，有：sin(B) = sin(A/2) * √(1 - cos(A/2))由于 A = 2B，所以 A/2 = B，代入上式得：sin(B) = sin(B) * √(1 - cos(B))进一步化简，得：√(1 - cos(A)) = √(1 - cos(B))由于√(1 - cos(A)) 和√(1 + cos(A)) 的正负号不确定，所以需要加上±号。
同理，可以证明 cos(B) 和 tan(B) 的公式。
四、半角模型定理的应用半角模型定理在实际应用中具有很高的价值，尤其在解决一些复杂数学问题时，可以大大简化计算过程。
例如，在求解三角函数的值、计算微积分等问题时，都可以利用半角模型定理进行简化。
总之，半角模型定理以其独特的公式表示和简便的计算方法，为数学研究带来了很大的便利。
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第九章 半角模型
模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形
已知如图：∠2=1
2∠AOB ；OA =OB 。
连接F ′B ，将△FOB 绕点O 旋转至△FOA 的位置，连接F ′E 、FE ，可得△OEF ′≌△OEF 。
模型分析
（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；
（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；
（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。
模型实例
1．如图，已知正方形ABCD 中，∠MAN =45°，它的两边分别交线段CB 、DC 于点M 、N 。
（1）求证：BM +DN =MN ； （2）作AH ⊥MN 于点H ，求证：AH =AB 。
D
C
B A M N
2．在等边△ABC 的两边AB 、AC 上分别有两点M 、N ，D 为△ABC 外一点，且∠MDN =60°，∠BDC =60°，BD =DC 。
探究：当M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系。
（1）如图①，当DM =DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ；
（2）如图②，当DM ≠DN 时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明。
图2A M
B D
C N 1图
B A
C
D M N
3．如图，在四边形ABCD 中，∠B +∠ADC =180°，E 、F 分别是BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =
12
∠BAD 。
求证：EF =BE -FD 。
A F
E B
C
D
热搜精练
4．如图，正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线，∠MAN =45°。
求证：MN =DN -BM 。
A B C
D
M N
5．已知，如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若∠DAE =45°。
探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系。
小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ′，连接E ′D ，使问题得劲解决。
请你参考小明的思路探究并解决以下问题：
（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动到线段CB 的延长线上时，如图②，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。
2图A
D B
E C
图1D C E B A
6．已知，在等边△ABC 中，点O 是边AC 、BC 的垂直平分线的交点，M 、N 分别在直线AC 、BC 上，且∠MON =60°。
（1）如图①，当CM =CN 时，M 、N 分别在边AC 、BC 上时，请写出AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系；
（2）如图②，当CM ≠CN 时，M 、N 分别在边AC 、BC 上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证
明；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，当点M 在边AC 上，点N 在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM 、CN 、MN 三者之间的数量关
系。
A M
C
N O
B A B M O
C N 图
32图图1A C B
O M N
7．如图，在四边形ABCD 中，∠B +∠D =180°，AB =AD ，E 、F 分别是线段BC 、CD 上的点，且BE +FD =EF 。
求
证：∠EAF =
12∠BAD 。
A
B D
F
E C
8．如图①，已知四边形ABCD ，∠EAF 的两边分别与DC 的延长线交于点F ，与CB 的延长线交于点E 连接EF 。
（1）若四边形ABCD 为正方形，当∠EAF =45°时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）
（2）如图②，如果四边形ABCD 中，AB =AD ，∠ABC 与∠ADC 互补，当∠EAF =12
∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明；
（3）在（2）中，若BC =4，DC =7，CF =2，求△CEF 的周长（直接写出结论即可）。
图2
E A D B C
F B
1图D F E
A
C。