2023年新高考数学大一轮复习专题11 函数的图象(解析版)
2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第11讲函数的图象学生版
第11讲 函数的图象 思维导图知识梳理1．利用描点法作函数的图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )．②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )．③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． ④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (x ＞0)．(3)翻折变换①y ＝f (x )――→保留x 轴及上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|．②y ＝f (x )――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (4)伸缩变换①y ＝f (x )a ＞1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变→y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )．题型归纳题型1作函数的图象【例1-1】已知函数21,1(),1121,1x f x x x x x <-⎧⎪=-⎨⎪->⎩．（Ⅰ）画出函数()y f x =的图象；（Ⅱ）若1()4f x ，求x 的取值范围； （Ⅲ）直接写出()y f x =的值域．【跟踪训练1-1】已知函数22||1y xx =--．（1）作出函数的图象；（2）由图象写出函数的单调区间．【名师指导】作函数图象的两种常用方法1．直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．2．图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型2函数图象的识辨【例2-1】函数241x y x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【例2-2】已知函数()f x 的图象如图所示，那么该函数可能为( )A ．()||lnx f x x =B ．||()ln x f x x= C ．1,0()(1),0x x x x f x e x e x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩D ．22,0()(),0lnx x x f x ln x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩ 【例2-3】已知角θ的始边与x 的非负半轴重合，与圆22:4C x y +=相交于点A ，终边与圆C 相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为点C ，ABC ∆的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【跟踪训练2-1】函数3222x x x y -=+在[6-，6]的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【跟踪训练2-2】已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是( )A ．sin()x x y e e -=+B ．sin()x x y e e -=-C ．cos()x x y e e -=-D ．cos()x x y e e -=+【跟踪训练2-3】如图，点P 在以2AB =为直径的半圆弧上，点P 沿着BA 运动，记BAP x ∠=．将点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【名师指导】 识别函数图象的方法技巧 函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．题型3函数图象的应用【例3-1】函数322x y x lgx -=+的图象( ) A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y x =对称D ．关于原点对称 【例3-2】已知定义在R 上的偶函数()y f x =部分图象如图所示，那么不等式()0xf x >的解集为 ．【例3-3】已知函数[],0,()(1),0,x x x f x f x x -⎧=⎨+<⎩其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=．若直线(0)y kx k k =+>与函数()f x 的图象恰好有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ．【跟踪训练3-1】函数31(0)()31(0)x x x f x x -⎧+<=⎨-+⎩，若函数y m =的图象与函数()y f x =的图象有公共点，则m 的取值范围是 ．【跟踪训练3-2】已知函数()log a f x x =和()(2)g x k x =-的图象如图所示，则不等式()0()f xg x 的解集是 ．【名师指导】1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．2．利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．。
2023年高考数学(文科)一轮复习——函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
第5节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用考试要求 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.1.函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用“五点法”画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)一个周期内的简图时，要找五个关键点x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种途径1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 2x .( )(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√解析 (2)以y ＝sin x 的图象变换为y ＝sin(ωx ＋φ)的图象为例，“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.2.(易错题)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( )A.2，4π，π3B.2，14π，π3C.2，14π，－π3D.2，4π，－π3 答案 C解析 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.3.(2022·郑州模拟)人的心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg 为标准值.设某人的血压满足函数式p (t )＝101＋25sin(160π t )，其中p (t )为血压(单位：mmHg)，t 为时间(单位：min)，则下列说法正确的是( ) A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值 B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值 C.收缩压高于标准值，舒张压低于标准值 D.收缩压低于标准值，舒张压高于标准值 答案 C解析 p (t )＝101＋25sin(160πt )，∵－1≤sin(160πt )≤1，∴p (t )∈[76，126]， 即收缩压为126 mmHg ，舒张压为76 mmHg.又知120/80 mmHg 为标准值，∴收缩压高于标准值，舒张压低于标准值. 4.(易错题)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是____________. 答案 y ＝3cos 2x解析 由y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，可得到y ＝3sin 2(x ＋π4)＝3sin(2x ＋π2)＝3cos 2x .5.(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.答案 － 3解析 法一(五点作图法) 由题图可知34T ＝13π12－π3＝3π4(T 为f (x )的最小正周期)，即T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，故f (x )＝2cos(2x ＋φ).点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6，故f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2－π6＝－2cos π6＝－ 3.法二(代点法) 由题意知，34T ＝13π12－π3＝3π4(T 为f (x )的最小正周期)，所以T ＝π，2πω＝π，即ω＝2.又点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在函数f (x )的图象上，所以2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝0，所以2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z ).又|φ|＜π2，所以令k ＝0，得φ＝－π6，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2－π6＝－2cos π6＝－ 3.6.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .则这段曲线的函数解析式为____________________.答案 y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8，14]解析 观察图象可知从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象， ∴A ＝12×(50－30)＝10， b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6， ∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8，14].考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 (经典母题)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2)的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2. (1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)；(3)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？ 解 (1)因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2. 又因为当x ＝π6时，f (x )取得最大值2， 所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， φ＝2k π＋π6，k ∈Z .因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，13π6.列表如下：2x ＋π6π6 π2 π 3π2 2π 13π6 x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π f (x )12－21描点、连线得图象：(3)将y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象.迁移 本例已知条件不变，第(3)问改为：函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝cos x 的图象经过怎样的变换得到？ 解 因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，将y ＝cos x 的图象上的所有点向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，再将y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，再将y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象，即为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象.感悟提升 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法： (1)五点法作图，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.训练1 (2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，则f (x )＝( ) A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－7π12B.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π12D.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12答案 B解析 依题意，将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图象，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象――――――――――――――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍 f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12的图象． 考点二 由图象求函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的解析式1．（2020·全国Ⅰ卷改编）设函数f （x ）＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在[－π，π]的图象大致如下图，则f （x ）的解析式为（ ）A ．f （x ）＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋π6B ．f （x ）＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6C ．f （x ）＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x －π6D ．f （x ）＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋π6答案 B解析 由图象知π＜T ＜2π，即π＜2π|ω|＜2π， 所以1＜|ω|＜2.因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π9，0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π9ω＋π6＝0，所以－4π9ω＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝－94k －34，k ∈Z .因为1＜|ω|＜2，故k ＝－1，得ω＝32， 所以f （x ）＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6.2.（2022·南昌模拟）函数f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6（ω＞0）的部分图象如图所示，若△ABC 的面积为π4，则ω＝（ ）A.32B.2C.3π2D.2π答案 A解析 由题图知|AC |＝34T （T 为f （x ）的最小正周期）， 点B 的纵坐标y B ＝sin π6＝12，所以S △ABC ＝12×|AC |×y B ＝12×34T ×12＝π4，解得T ＝4π3，所以ω＝2πT ＝32.3.函数f （x ）＝2sin ()ωx ＋φ（ω>0，－π2<φ<π2）的部分图象如图所示，则ω＝ ，φ＝ .答案 2 －π3解析 设f （x ）的最小正周期为T ， 由题中图象可知34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，得T ＝π，则ω＝2πT ＝2ππ＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝2，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1.∵－π2<φ<π2，∴π3<φ＋5π6<4π3， ∴5π6＋φ＝π2，∴φ＝－π3.感悟提升 根据三角函数图象求解析式，重在对A ，ω，φ的理解，主要从以下三个方面考虑：（1）根据最大值或最小值求出A 的值. （2）根据周期求出ω的值. （3）求φ的常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入.②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口. 考点三 三角函数图象、性质的应用例2 （1）（2022·成都诊断）已知函数f （x ）＝sin （ωx ＋θ）⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤θ≤π2的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2，若将函数f （x ）的图象向左平移π6个单位长度后得到偶函数g （x ）的图象，则函数f （x ）的一个单调递减区间为（ ） A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6（2）（2021·长春模拟）已知x ＝5π12是函数f （x ）＝2sin （2x ＋φ）⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的一个极大值点，若方程f （x ）＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且仅有一个实根，则实数m 的取值范围是（ ）A.[－3，3）∪{2}B.[0，3）∪{2}C.[－2，3]∪{2}D.[3，2]答案 （1）B （2）A解析 （1）因为函数f （x ）＝sin （ωx ＋θ）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2，所以T 2＝π2，即T ＝π，即2πω＝π，ω＝2，得f （x ）＝sin （2x ＋θ），将f （x ）的图象向左平移π6个单位长度后，得到g （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋θ的图象.因为g （x ）为偶函数，所以π3＋θ＝k π＋π2（k ∈Z ），解得θ＝k π＋π6（k ∈Z ）.又因为－π2≤θ≤π2，所以θ＝π6，所以f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π（k ∈Z ），解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π（k ∈Z ）.当k ＝0时，得到一个单调递减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.又⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π12⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，故选B. （2）由题意知2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝2，则5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.方程f （x ）＝m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且仅有一个实根，即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的图象与直线y ＝m 有且仅有一个交点，作出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的大致图象如图所示，由图易知－3≤m ＜3或m ＝2.感悟提升 1.三角函数图象与性质综合问题的求解思路：（1）将函数整理成y ＝A sin （ωx ＋φ）＋B （ω＞0）或y ＝A cos （ωx ＋φ）＋B （ω＞0）的形式；（2）把ωx ＋φ看成一个整体；（3）借助函数y ＝sin x 或y ＝cos x 的图象与性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.训练2 （1）为使函数y ＝sin ωx （ω>0）在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为（ ）A.98πB.1972πC.1992πD.100π（2）（2022·大同调研）设函数f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5（ω＞0），已知f （x ）在[0，2π]上有且仅有5个零点，则ω的取值范围是 . 答案 （1）B （2）⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910解析 （1）由题意，至少出现50次最大值即至少需要4914个周期，所以1974T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.（2）f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5（ω＞0），令ωx ＋π5＝k π，k ∈Z ，解得x ＝1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π5，k ∈Z ，由题意可得当k ＝5时，x ＝1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫5π－π5≤2π，当k ＝6时，x ＝1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π5＞2π，得125≤ω＜2910，即ω∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910.考点四 三角函数模型的简单应用例3 （2021·山东省八所重点中学联考）如图，点A ，B 分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点.动点A 从初始位置A 0⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3，sin π3开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s 做圆周运动，同时点B 从初始位置B 0（2，0）开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s 做圆周运动.记t 时刻，点A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2.（1）求t ＝π4时，A ，B 两点间的距离；（2）若y ＝y 1＋y 2，求y 关于时间t （t ＞0）的函数关系式，并求当t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，y 的取值范围.解 （1）连接AB ，OA ，OB （图略），当t ＝π4时，∠xOA ＝π2＋π3＝5π6，∠xOB ＝π2， 所以∠AOB ＝2π3. 又OA ＝1，OB ＝2，所以AB 2＝12＋22－2×1×2cos 2π3＝7， 即A ，B 两点间的距离为7.（2）依题意，y 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，y 2＝－2sin 2t ， 所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3－2sin 2t＝32cos 2t －32sin 2t＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，即函数关系式为y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3（t ＞0），当t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，2t ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，4π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12，故当t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32. 感悟提升 三角函数模型的实际应用问题的类型及解题关键：（1）已知函数解析式（模型），利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.（2）函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是利用三角函数解析式中的相关参数表示实际问题中的有关量，如周期、振幅、初相等，然后建立模型.训练3 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为P （x ，y ）.若初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则当秒针针尖从P 0（此时t ＝0）开始走时，点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系可以是（ ）A.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π3B.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π3C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π3D.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3答案 C解析 因为函数的周期为T ＝60， 所以ω＝2π60＝π30，设函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋φ（顺时针走动为负方向），因为初始位置为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，所以t ＝0时，y ＝32，所以sin φ＝32，所以φ可取π3，所以函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π3.1.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是（ ）答案 A解析 令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B 、D 项，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，－4π3≤2x －π3≤－π3，在此区间上函数不会出现最高点，排除C 项，故选A.2.（2021·西安五校联考）将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位长度，所得到的图象的解析式是（ ） A.y ＝sin x B.y ＝cos x C.y ＝sin 4xD.y ＝cos 4x答案 A解析 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，再向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin x .3.为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 图象上所有的点（ ）A.向左平移π3个单位长度 B.向右平移π3个单位长度 C.向左平移π6个单位长度 D.向右平移π6个单位长度 答案 C解析 因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以要得到其图象，需把y ＝sin 2x 图象上所有的点向左平移π6个单位长度.4.已知函数f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）（ω＞0，－π2＜φ＜π2）的部分图象如图所示，则φ的值为（ ）A.－π3B.π3C.－π6D.π6答案 B解析 由题意，得T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，所以T ＝π. 由T ＝2πω，得ω＝2.由图可知A ＝1，所以f （x ）＝sin （2x ＋φ）. 又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3.5.（2022·东三省四市模拟）已知直线y ＝－2与函数f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3（其中ω＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f （x ）的单调递增区间为（ ） A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋5π6，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π6，k π＋11π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π6，k π＋11π12，k ∈Z 答案 B解析 ∵y ＝－2与函数f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3（其中ω＞0）的相邻两交点间的距离为π，∴函数的周期T ＝π，即2πω＝π，得ω＝2， 则f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，即函数f （x ）的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 6.若将函数f （x ）＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是（ ）A.π8B.π4C.3π8D.5π4答案 C解析 f （x ）＝sin 2x ＋cos 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，将函数f （x ）的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为g （x ）＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数，故2φ＋π4＝k π（k ∈Z ），所以φ的最小正值为3π8.7.已知函数f （x ）＝A tan （ωx ＋φ）（ω>0，|φ|<π2）的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝ .答案3解析 由题图知πω＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π2，所以ω＝2.因为2×π8＋φ＝k π＋π2（k ∈Z ）， 所以φ＝k π＋π4（k ∈Z ）， 又|φ|<π2，所以φ＝π4， 这时f （x ）＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.又函数图象过点（0，1），代入上式得A ＝1， 所以f （x ）＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝ 3.8.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）（x ＝1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为 ℃. 答案 20.5解析 因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5， 所以y ＝f （x ）＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6），所以当x ＝10时，f （10）＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝23－5×12＝20.5.9.（2022·郑州质检）将函数f （x ）的图象向左平移π3个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4的图象，则f （x ）的解析式是 ；函数f （x ）在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π12上的值域是 .答案 f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－22解析 由题意，把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4的图象的横坐标变为原来的14，纵坐标不变，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，再把所得图象向右平移π3个单位，可得f （x ）＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π12的图象.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π12时，2x －5π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π4，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－22.10.已知函数f （x ）＝－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋1－2sin 2x .（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f （x ）在[0，π]上的图象；（2）先将函数y ＝f （x ）的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）图象的对称中心.解 （1）f （x ）＝－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋1－2sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.列表如下：x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π f （x ）12－21描点、连线，函数f （x ）在区间[0，π]上的图象如图.（2）将函数f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位后得到y ＝2sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6]＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的图象.由x 2－π6＝k π（k ∈Z ）得x ＝2k π＋π3（k ∈Z ），故g （x ）图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π3，0（k ∈Z ）.11.已知函数f （x ）＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6（A ＞0，ω＞0）同时满足下列两个条件：①函数f （x ）的最大值为2；②函数f （x ）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2. （1）求f （x ）的解析式；（2）求方程f （x ）＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和.解 （1）由①可知A ＝2，由②可知T ＝π，ω＝2，所以f （x ）＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. （2）因为f （x ）＋1＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12，所以2x ＋π6＝－π6＋2k π（k ∈Z ）或2x ＋π6＝7π6＋2k π（k ∈Z ），即x ＝－π6＋k π（k ∈Z ）或x ＝π2＋k π（k ∈Z ）. 又因为x ∈[－π，π]，所以x 的取值为－π6，5π6，－π2，π2，所以方程f （x ）＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和为2π3.12.（2022·成都检测）已知锐角φ满足3sin φ－cos φ＝1.若要得到函数f （x ）＝12－sin 2（x ＋φ）的图象，则可以将函数y ＝12sin 2x 的图象（ ） A.向左平移7π12个单位长度 B.向左平移π12个单位长度 C.向右平移7π12个单位长度D.向右平移π12个单位长度 答案 A解析 因为3sin φ－cos φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝12. 因为φ为锐角，所以φ－π6＝π6，所以φ＝π3.所以f （x ）＝12－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π32 ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋π2 ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π12， 所以将函数y ＝12sin 2x 的图象向左平移7π12个单位长度可得到函数f （x ）的图象.13.（2021·厦门质检）已知函数f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋cos ωx （ω＞0）在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，则实数ω的取值范围是 . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，13 解析 f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋cos ωx ＝32sin ωx ＋32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3. 因为x ∈[0，π]，所以ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，ωπ＋π3. 因为f （x ）在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3， 所以π2≤ωπ＋π3≤2π3，所以16≤ω≤13.14.（2022·大庆模拟）已知函数f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b . （1）若函数f （x ）的图象关于直线x ＝π6对称，且ω∈[0，3]，求函数f （x ）的单调递增区间；（2）在（1）的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f （x ）有且只有一个零点，求实数b 的取值范围.解 （1）∵函数f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b ， 且函数f （x ）的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2（k ∈Z ），且ω∈[0，3]， ∴ω＝1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2（k ∈Z ），解得k π－π3≤x ≤k π＋π6（k ∈Z ），∴函数f （x ）的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6（k ∈Z ）. （2）由（1）知f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b . ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3. 当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f （x ）单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3， 即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f （x ）单调递减. 又f （0）＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f （x ）有且只有一个零点， 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b ∈⎝⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. 故实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52.。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《函数y=Asin(ωx+φ)》课件ppt
依题意，将 y＝sinx－π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线 上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，得到 f(x)的图象， 所以 y＝sinx－π4 —将—其—图—象—向—左—平——移—π3—个—单—位—长—度→ y＝sinx＋1π2的图象
—所—有—点—的—横—坐—标—扩—大—到——原—来—的—2→ 倍 f(x)＝sin2x＋1π2的图象.
C 项，先把曲线 C1 上点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)， 得 y＝cos 2x 的图象，再把得到的曲线向右平移1π2个单位长度得 y＝cos 2x－1π2＝cos2x－π6＝sin2x＋π3的图象，故 C 正确；
D 项，先把曲线 C1 上点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)， 得 y＝cos 2x 的图象，再把得到的曲线向左平移1π2个单位长度得 y＝cos 2x＋1π2＝cos2x＋π6＝sin2x＋23π的图象，故 D 错误.
思维升华
(1)由y＝sin
ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移
φ ω
(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度.
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用
诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值.
跟踪训练1 (1)(2023·洛阳模拟)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝ sin2x＋π3 ， 为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是
A.－32π＋3kπ，3kπ(k∈Z) B.3kπ，3kπ＋32π(k∈Z)
√C.－74π＋3kπ，－π4＋3kπ(k∈Z)
D.－π4＋3kπ，54π＋3kπ(k∈Z)
依题意，A－＋Ab＋＝b＝1，－3， 解得Ab＝＝－2，1， ∴f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1， 而 f 1π2＝1，f π3＝－1， ∴T4＝π3－1π2＝π4， 故 T＝π＝2ωπ，则 ω＝2，
2023 高考数学分类解析汇总彩色版
2023高考数学分类解析汇总2023集合运算与逻辑术语 1 2023复数 3 2023算法与程序框图 4 2023平面向量 5 2023数列 6 2023排列与组合 8 2023概率与统计 9 2023三角函数 14 2023解三角形 16 2023解析几何初步(直线与圆) 18 2023圆锥曲线 19 2023函数 22 2023线性规划 24 2023立体几何 25 2023导数 30 2023参数方程 32 2023不等式 332023集合运算与逻辑术语1.【2023甲卷理科T1】设集合A={x∣x=3k+1,k∈Z}，B={x∣x=3k+2,k∈Z}，U为整数集，则∁U(A∪B)=()A.{x∣x=3k,k∈z}B.{x∣x=3k-1,k∈z}C.{x∣x=3k-2,k∈Z}D.ϕ2.【2023甲卷文科T1】设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则N∪(C∪M)=()A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5}3.【2023乙卷理科T2】设集合U=R, 集合M={x x<1},N={x|-1<x<2}，则{x|x≥2}=()A.C U(M∪N)B.N∪C U MC.C U(M∩N)D.M∪C U N4.【2023乙卷文科T2】设全集U={0,1,2,4,6,8}, 集合M={0,4,6},N={0,1,6}, 则M∪C U N=()A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U5.【2023新一卷T1】已知集合M={-2,-1,0,1,2}，A={x|x2-x-6≥0}，则M∩N=()A.{-2,-1,0,1}B.0,1,2C.{-2}D.{2}6.【2023新一卷T7】记S n为数列a n的前n项和，设甲：a n为等差数列；乙：S n n为等差数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7.【2023新二卷T2】设集合A=0,-a，B=1,a-2,2a-2，若A⊆B，则a=()A.2B.1C.23D.-18.【2023上海卷T13】已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P且x∉Q},则M=()A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3}9.【2023天津卷T1】已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4},则C U(B∪A)=()A.{1,3,5}B.{1,3}C.{1,2,4}D.{1,2,4,5}10.【2023天津卷T2】“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件2023复数1.【2023甲卷理科T2】若复数(a+i)1-a i，则a=()A.-1B.0C.1D.22.【2023甲卷文科T2】51+i32+i2-i=()A.-1B.1C.1-iD.1+i3.【2023乙卷理科T1】设z=2+i1+i2+i5, 则z=()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i4.【2023乙卷文科T1】2+i2+2i3=()A.1B.2C.5D.55.【2023新一卷T2】已知z=1-i2+2i，则z-z=()A.-iB.iC.0D.16.【2023新二卷T1】在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.【2023上海卷T6】已知当z=1+i,则|1-i·z|=8.【2023天津卷T10】已知i是虚数单位，化简5+14i2+3i的结果为2023算法与程序框图1.【2023甲卷理科T3】执行下面的程序框圈，输出的B=()A.21B.34C.55D.89开始n=1,A=1，B=2n≤3?A=A+BB=A+Bn=n+1输出结束2.【2023甲卷文科T6】执行右边的程序框图，输出的B=()A.21B.34C.55D.89开始n=3,A=1，B=2,k=1k≤n?A=A+BB=A+Bk=k+1输出B结束2023平面向量1.【2023甲卷理科T4】向量|a |=|b |=b ，|c |=2，且a +b +c =0 ，则cos ‹a -c ，b-c ›=()A.-15B.-25． C.25D.452.【2023甲卷文科T3】已知向量a =(3,1),b =(2,2),则cos ‹a +b,a -b ›=()A.117B.1717． C.55D.2553.【2023乙卷理科T12】已知⊙O 的半径为1, 直线PA 与⊙O 相切于点A , 直线PB 与⊙O 交于B ,C 两点, D 为BC 的中点,若|PO |=2, 则PA ⋅PD的最大值为()A.1+22B.1+222C.1+2D.2+24.【2023乙卷文科T6】正方形ABCD 的边长是2,E 是AB 的中点, 则EC ⋅ED=()A.5B.3C.25D.55.【2023新一卷T3】已知向量a =(1,1)，b =(1,-1). 若(a +λb )⊥(a+μb )，则()A.λ+μ=1B.λ+μ=-1C.λμ=1D.λμ=-16.【2023新二卷T13】已知向量a ,b 满足a -b =3，a +b =2a -b，则b =.7.【2023上海卷T2】已知a =-2,3 ,b =1,2 , 求a ⋅b =.8.【2023天津卷T14】在△ABC 中.∠A =60°,点D 为AB 的中点,点E 为CD 的中点,若设AB =a ,AC =b , 则AE 可用a、b表示为.若BF =13BC ,则AE ⋅AF 的最大值为.2023数列1.【2023甲卷理科T5】已知数到a n中，a1=1，S n为a n前n项和，S5=5S3-4，则S4=()A.7B.9C.15D.302.【2023甲卷文科T5】记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a2+a6=10，a4a8=45，则S5=()A.25B.22C.20D.153.【2023甲卷文科T13】记S n为等比数列{a n}的前n项和.若8S6=7S3,则{a n}的公比为.4.【2023乙卷理科T10】已知等差数列a n的公差为2π3, 集合S=cos a n∣n∈N∗, 若S={a,b}, 则ab=()A.-1B.-12C.0D.125.【2023乙卷理科T15】已知a n为等比数列, a2a4a5=a3a6,a9a10=-8, 则a7=6.【2023新二卷T8】记S n为等比数列{a n}的前n项和，若S4=-5，S6=21S2，则S8=()A.120B.85C.-85D.-1207.【2023上海卷T3】已知{a n}为等比数列，且a1=3,q=2,求S6=8.【2023天津卷T6】已知{a n}为等差数列, S n为数列{a n}的前n项和,a n+1=2S n+2, 则a4的值为()A.3B.18C.54D.1529.【2023甲卷理科T17】已知数列a n中，a2=1，设S n为{a n}前n项和，2S n=na n．(1)求a n的通项公式；(2)求数列a n+12n的前n项和Tn．10.【2023乙卷文科T18】记S n为等差数列a n的前n项和, 已知a2=11,S10=40.(1)求a n的通项公式;(2)求数列a n的前n项和T n.11.【2023新一卷T20】设等差数列a n的公差为d，且d>1. 令b n=n2+na n，记S n,T n分别为数列a n，b n的前n项和.(1)若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求a n的通项公式；(2)若b n为等差数列，且S99-T99=99，求d.12.【2023新二卷T18】若等差数列{a n}，数列{b n}满足b n=a n-6,n为奇数，2a n,n为偶数，记Sn，T n分别为{a n}，{b n}的前n项和，S4=32，T3=16.(1)求{a n}的通项公式；(2)证明：n>5时，T n>S n.13.【2023天津卷T19】已知{an}是等差数列,a2+a5=16, a5-a3=4.(1)求{an}的通项公式和n-1i=2n-1a i(2)已知{b n}为等比数列,对于任意k∈N*,若2k-1≤n≤2k-1, 则b k<a n<b k+1i.当k≥2时,求证:2k-1<b n<2k+1ii.求{b n}的通项公式及其前n项和.1.【2023甲卷理科T9】有五名志愿者参加社服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为()A.120B.60C.40D.302.【2023乙卷理科T7】甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种, 则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种B.60种C.120种D.240种3.【2023新一卷T13】某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种(用数字作答).4.【2023新二卷T3】某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有()A.C45400∙C15200种B.C20400∙C40200种C.C30400∙C30200种D.C40400∙C20200种5.【2023上海卷T10】已知1+2023x10+2023-x100=a0+a1x+a2x2+⋯+a100x100, 其中a0,a1,a2⋯a100∈R,若0≤k≤100且k∈N,当a k<0时,k的最大值是6.【2023上海卷T12】空间内存在三点A、B、C,满足AB=AC=BC=1,在空间内取不同两点(不计顺序),使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥,求方案数为7.【2023天津卷T11】在2x3-1 x6的展开式中,x2项的系数为1.【2023甲卷理科T6】有50人报名足球倶乐部，60人报名乒乓球倶乐部，人报名足球或与丘球倶乐部，若已知某人报足球倶乐部，则其报乒乓球倶乐部的概率为()A.0.8B.0.4C.0.2D.0.12.【2023甲卷文科T4】某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()A.16B.13C.12D.233.【2023乙卷理科T5，文科T7】已知O是平面直角坐标系的原点, 在区域(x,y)∣1≤x2+y2≤4内随机取一点A, 则直线OA的倾斜角不大于π4的概率为()A.18B.16C.14D.124.【2023乙卷文科T9】某学校举办作文比赛, 共6个主题, 每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文, 则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为()A.56B.23C.12D.135.【2023新一卷T9】有一组样本数据x1,x2,⋯,x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则()A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,⋯,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,⋯,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,⋯,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,⋯,x6的极差6.【2023新二卷T12】在信道内传输0，1信号,信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1-α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1-β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输,单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如：若依次收到1，0，1，则译码为1)()A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1-α)(1-β)2B.采用三次传输方案,若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1-β)2C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)2D.当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率7.【2023上海卷T9】国内生产总值(GDP)是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为.8.【2023上海卷T14】根据身高和体重散点图，下列说法正确的是()A.身高越高，体重越重B.身高越高，体重越轻C.身高与体重成正相关D.身高与体重成负相关9.【2023天津卷T7】忘了。
高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析
高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在数学的众多知识点中，函数的性质与图像变换一直是重点和难点。
在高考冲刺阶段，对这部分内容进行全面、深入的复习和理解，将有助于我们在考试中取得更好的成绩。
一、函数的基本性质1、单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，函数值随自变量的增大而增大或减小的性质。
判断函数单调性的方法通常有定义法、导数法等。
定义法：设函数$f(x)＄的定义域为$I$，对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，＄x_2$，当$x_1 ＜ x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就说函数$f(x)＄在区间$D$上是增函数（或减函数）。
导数法：若函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内可导，当$f'（x) ＞0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递增；当$f'（x) ＜ 0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递减。
2、奇偶性奇偶性是函数的另一个重要性质。
若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为偶函数；若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为奇函数。
判断函数奇偶性的一般步骤为：首先确定函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；如果对称，再判断$f(x)＄与$f(x)＄的关系。
3、周期性对于函数$f(x)＄，如果存在一个不为零的常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，＄f(x ＋ T) ＝ f(x)＄都成立，那么就把函数$y＝ f(x)＄叫做周期函数，周期为$T$。
常见的周期函数如正弦函数、余弦函数等。
4、对称性函数的对称性包括轴对称和中心对称。
2023年高考数学一轮复习精讲精练第6练 函数的图像(解析版)
第6练 函数的图像学校____________ 姓名____________ 班级____________一、单选题1．设x ∈R ，定义符号函数()1,00,01,0x x x x ϕ>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()()f x x x ϕ=+的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】由函数()()1,00,01,0x x f x x x x x x ϕ+>⎧⎪=+==⎨⎪--<⎩，故C 选项正确．故选：C2．已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可能是（ ）A ．()cos y x x π=+B ．1cos xxy e -=C ．sin x y x xe =-D ．sin cos y x x x =-【答案】D 【详解】A 的函数即为cos y x x =-， 当02x π<<时，()cos 0f x x x =-<，故排除A由图象可知()f x 关于原点对称，则()f x 为奇函数，排除B ，C. 故选：D.3．已知函数())1lnf x x x=-，则函数()f x 的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【详解】由题可知：函数定义域为{|0}x x ≠，()))111lnln f x x x x xx-=+==-+， 所以()()f x f x -=-，故该函数为奇函数，排除A,C又()0,x f x +→→-∞，所以排除B,故选：D 4．函数()y f x =的图象如图所示，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．(1,0)-B ．()0,1C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】C 【详解】由图象可知，当()1,2x ∈时，()0f x >. 故选：C5．已知函数()24x f x x =+-，()e 4x g x x =+-，()ln 4h x x x =+-的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】C 【详解】 由已知条件得()f x 的零点可以看成2x y =与4y x =-的交点的横坐标，()g x 的零点可以看成e x y =与4y x =-的交点的横坐标，()h x 的零点可以看成ln y x =与4y x =-的交点的横坐标，在同一坐标系分别画出2x y =，e x y =，ln y x =，4y x =-的函数图象，如下图所示, 可知c a b >>， 故选：C .6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个函数的图象如图，其对应的函数解析式可能是（ ）A ．()11f x x =- B ．()211f x x =- C ．()11tan2f x xπ=-D ．()11f x x =- 【答案】D 【详解】A ：函数的定义域为{|1}x x ≠，不符合；B ：由1(0)101f ==--，不符合； C ：由2()03f ，不符合； D ：11()()|||1||||1|f x f x x x -===---且定义域为{|1}x x ≠±，()f x 为偶函数， 在(0,1)上1()1f x x =-单调递增，(1,)+∞上1()1f x x =-单调递减， 结合偶函数的对称性知：(1,0)-上递减，(,1)-∞-上递增，符合. 故选：D7．已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）A ．ln y x x =B ．1ln y x x=C ．1ln e x x x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=D ．1ln ex x x y ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=【答案】A 【详解】由图象可知，()10f =，对选项C,D ，当1x =时，函数没有意义，故排除；由图象可知，()()2e ef f <，对A ：当e x =时，e y =，当2e x =时，22e y =，满足图象要求； 对B ：当e x =时，1e y =，当2e x =时，22ey =，不满足图象要求；故选：A .8．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数()22x xf x x-+=的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】由定义域为{|0}x x ≠，则()2222()()x x x xf x f x x x----++-==-=--， 所以()f x 为奇函数，排除A 、C ； 而565(1)(3)224f f =<=，故()f x 在(0,)+∞上不递减，排除B. 故选：D二、多选题9．已知()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，且在()0,∞+上单调递增，则()f x 的解析式可以是（ ）．A ．()22f x x x -=-B ．()1,01,0x x f x x x ->⎧=⎨+<⎩C ．()1f x x x -=-D ．()()ln ,0ln ,0x x f x x x >⎧=⎨--<⎩【答案】BCD 【详解】对于A ，()22()f x x x f x --=-=，为偶函数，则A 不符合题意；对于B ，画出函数10()10x x f x x x ->⎧=⎨+<⎩，，的图象，如图，由图可知，B 符合题意；对于C ，画出函数1()f x x x=-的图象，如图， 由图可知，C 符合题意；对于D ，画出函数f(x)={lnx ，x >0−ln(−x)，x <0的图象，如图，由图可知，D 符合题意； 故选：BCD ．10．已知函数()f x =()216249111,19x x x f x x ⎧-+≤⎪⎨->⎪⎩，则下列结论正确的有（ ）A ．()19nf n n -=∈，N *B ．1(0,),()x f x x∀∈+∞<恒成立 C ．关于x 的方程()(f x m m =∈R )有三个不同的实根，则119m <<D ．关于x 的方程()19(nf x n -=∈N *)的所有根之和为23n n +【答案】AC 【详解】 由题知12111111()(1)(2)((1))(1)99999n n n f n f n f n f n n f ---=-=-=⋅⋅⋅=--==，故A 正确； 由上可知，要使1(0,),()x f x x∀∈+∞<恒成立，只需满足01x <≤时，1()f x x <成立，即2116249x x x-+<，即321624910x x x -+-<成立，令32()162491g x x x x =-+-，则2()484890g x x x '=-+=得1213,44x x ==，易知当14x =时有极大值1()04g =，故B 不正确；作函数图象，由图可知，要使方程()(f x m m =∈R )有三个不同的实根，则(2)(1)f m f <<，即119m <<，故C 正确；由1()(1)9f x f x =-可知，函数在(,1]n n +上的函数图象可以由(1,]n n -上的图象向右平移一个单位长度，在将所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的19倍得到，由于216249y x x =-+的对称轴为34x =，故0()9f x =的两根之和为32，同理，1()9f x -=的两根之和为322+，…，()19nf x -=的两根之和为32(1)2n +-，故所有根之和为233333(2)(4)[2(1)]22222n n n +++++⋅⋅⋅++-=+，故D 错误. 故选：AC11．关于x 的函数,0()(1)6,0k x k x f x x f x k x ⎧+->⎪=⎨⎪-+-≤⎩有4个零点，则整数k 的可能取值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．9【答案】ABC 【详解】由对勾函数得单调性可知，()(),0,016,016,01k k x k x x k x x f x x k f x k x x x x ⎧⎧+->⎪+->⎪⎪==⎨⎨⎪⎪-+-≤-+-≤⎩⎪-⎩的图象大致如下：x >0时，有两个零点，须满足：k >0，且204k k k -<⇒>；x <0时，有两个零点，须满足：k >0，且()26059050k k f k ⎧-<⎪⇒≤<⎨=-≥⎪⎩， 当0k =时，当0x >时，()f x x =单调递增，无零点，当0x ≤时，()5f x x =--单调递减，有一个零点，故不合题意；当0k <时，当0x >时，()kf x x k x=+-单调递增，当0x ≤时，()161kf x x x=-+--单调递减，故不可能有4个零点， 综上：实数k 的取值范围为[5，9)，故选：ABC.12．定义域和值域均为[],a a -（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（ ）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解 【答案】AD 【详解】解：对于A 中，设()t g x =，则由()0f g x =⎡⎤⎣⎦，即()0f t =， 由图象知方程()0f t =有三个不同的解，设其解为1t ，2t ，3t ，由于()y g x =是减函数，则直线()0y t t a =<<与函数()y g x =只有1个交点， 所以方程1()t g x =，2()t g x =，3()t g x =分别有且仅有一个解，所以()0f g x =⎡⎤⎣⎦有三个解，故A 正确；对于B 中，设()t f x =，则由()0g f x =⎡⎤⎣⎦，即()0g t =，由图象可得()0g t =有且仅有一个解，设其解为b ，可知0b a <<， 则直线y b =与函数()y f x =只有2个交点，所以方程()f x b =只有两个解，所以方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有两个解，故B 错误； 对于C 中，设()t f x =，若()0f f x =⎡⎤⎣⎦，即()0f t =，方程()0f t =有三个不同的解，设其解为1t ，2t ，3t ，设123t t t <<， 则由函数()y f x =图象，可知120a t t -<<<，3t a =，由图可知，直线1y t =和直线2y t =分别与函数()y f x =有3个交点， 直线3y t a ==与函数()y f x =只有1个交点， 所以()1f x t =或()2f x t =或()3f x t =共有7个解， 所以()0f f x =⎡⎤⎣⎦共有七个解，故C 错误；对于D 中，设()t g x =，若()0g g x =⎡⎤⎣⎦，即()0g t =，由图象可得()0g t =有且仅有一个解，设其解为b ，可知0b a <<， 因为()y g x =是减函数，则直线y b =与函数()y g x =只有1个交点， 所以方程()g x b =只有1解，所以方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦只有一个解，故D 正确. 故选：AD. 三、填空题13．已知函数()ln ,111,14x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，()g x ax =，若方程()()g x f x =恰有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________【答案】11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】由题意，作出如下函数图象，由图象可知：当()g x ax =过点5(1,)4即54a =时，方程()()g x f x =有一个实数根； 当()g x ax =与()ln f x x =在1x >上相切时，()()g x f x =有一个实数根， 即1()f x a x '==，1x a =，有切点为1(,1)a ，所以ln 1a -=，得1ea =； 当()g x ax =与()14x f x =+平行即14a =时， 方程()()g x f x =恰有两个不同的实数根；当0a ≤时，()()g x f x =有一个实数根；综上，当0a ≤或1e a =或54a ≥时，方程()()g x f x =有一个实数根； 当104a <<时，方程()()g x f x =恰有三个不同的实数根； 当114ea ≤<时，方程()()g x f x =恰有两个不同的实数根； 当15e 4a <<时，方程()()g x f x =无实数根. 故答案为：11[,)4e14．函数()22,04,0x t x f x x x t x ⎧-≥=⎨---<⎩有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<，则123x x x ++的取值范围是______．【答案】[4,2)--【详解】设22,0()4,0x x g x x x x ⎧≥=⎨--<⎩， 因为函数()22,04,0x t x f x x x t x ⎧-≥=⎨---<⎩有三个零点123,,x x x ，且123x x x <<， 所以()g x 的图象与直线y t =交点的横坐标分别为123,,x x x ，且123x x x <<， 作出()g x 的图象如图所示，由图可知14t ≤<，且12,x x 是方程240x x t ---=的两个实根， 所以12441x x -+=-=--， 因为3x 满足320x t -=，即32log x t =，因为14t ≤<，所以222log 1log log 4t ≤<，所以302x ≤<，所以12342x x x -≤++<-，即123x x x ++的取值范围是[4,2)--，故答案为：[4,2)--15．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，给出如下命题：① 0是函数()y f x =的一个极值点；② 函数()y f x =在12x =-处切线的斜率小于零；③ ()()10f f -<；④ 当20x -<<时，()0f x >.其中正确的命题是___________.（写出所有正确命题的序号）【答案】①③【详解】根据图象可得，0是导函数的零点，且在0的附近异号，于是0是原函数()y f x =的极值点，又根据图象[1,0],()0x f x ，则()f x 在[1,0]-上递增，故()()10f f -< 于是①③正确；根据图象102f ⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，故102k f ，于是②错误，根据图象，当20x -<<，只能推出()0f x '>无法得出()y f x =的范围，于是④错误. 故答案为：①③. 16．已知函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，则函数()ln(1)y f x x =--的零点个数是______个．【答案】3【详解】函数()ln(1)y f x x =--有的零点个数等价于函数函数()f x 与()ln 1y x =-的交点个数， 作出函数()f x 与()ln 1y x =-的图象，如图：，由图可知，函数()f x 与()ln 1y x =-有3个交点，故函数()ln(1)y f x x =--有的零点个数为3，故答案为：3.。
2023年高考一轮复习函数知识点及最新题型归纳
ﻩ20２3高考 一轮复习函数知识点及题型归纳一、函数旳及其表达题型一：函数旳概念映射旳概念：设A ,B 是两个集合,假如按照某种对应法则f ,对于集合A 中旳每一种元素在集合B 中均有唯一确定旳元素和它对应，那么这样旳对应叫做从集合A 到集合B 旳映射，记作f :A →B .函数旳概念:假如A 、B 都是非空旳数集．．．．．，那么A 到B 旳映射f :A →B 就叫做A 到B 旳函数,记作()y f x = ,其中x ∈A ,y ∈B ，原象旳集合A 叫做定义域,象旳集合C 叫做函数()y f x =旳值域．映射旳基本条件:1. 可以多种x 对应一种y ，但不可一种x 对应多种ｙ。
2. 每个x 必然有y 与之对应，但反过来，有旳y 没有x 与之对应。
函数是一种特殊旳映射,必须是数集和数集之间旳对应。
例1：已知集合P ＝{40≤≤x x },Q={20≤≤y y ｝,下列不表达从P 到Q 旳映射是( ) A. ｆ∶x →y ＝21x B. f ∶x →y=x 31 C. ｆ∶x →y=x 32 D ． f ∶x →y=x例2:设M=｛x|－２≤ｘ≤2｝，N=｛y|０≤y ≤2｝,函数f （ｘ）旳定义域为Ｍ，值域为N, 则ｆ(ｘ)旳图象可以是（ ）例3：下列各组函数中,函数)(x f 与)(x g 表达同一函数旳是(1）)(x f =x ,)(x g ＝xx 2； （2）)(x f =３x -1,)(t g =3t -1；(３))(x f =0x ，)(x g =１； （4）)(x f =2x ,)(x g =2)(x ;题型二:函数旳体现式1. 解析式法例４:已知函数()32,0,4tan ,0,2x x f x f f x x ππ⎧<⎛⎫⎪⎛⎫==⎨ ⎪ ⎪-≤≤⎝⎭⎝⎭⎪⎩则 ．真题:【2０23年山东卷第9题】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(Ａ)2 （B) ４ （C ） 6 （D) 8[2023·江西卷] 已知函数f (ｘ)＝错误!(ａ∈Ｒ）.若f [f (-1)]＝1，则a ＝( )A.错误!B.错误!C.1 Ｄ.2【２023高考新课标１文1０】已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ,且()3f a =-,则(6)f a -=( ）(A ）74-（B)54- （C)34- （D)14- 2． 图象法例５：汽车通过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车旳行驶旅程s 看作时间t 旳函数，其图像也许是____＿＿_________ 例6:向高为H 旳水瓶中注水,注满为止.假如注水量V 与水深h 旳函数关系旳图象如图2—４所示,那么水瓶旳形状是( ）sA ．sssB ．C ．D ．例７：如图,半径为1旳半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线1l ,2l 之间，l //1l ,l 与半圆相交于Ｆ，G 两点,与三角形ABC 两边相交于E,D 两点.设弧FG 旳长为x(0<x<π）,y=E Ｂ＋BC+ＣD ，若l 从1l 平行移动到2l ，则函数ｙ=ｆ（x)旳图像大体是( )真题:【20２3高考北京】汽车旳“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶旳里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不一样速度下旳燃油效率状况. 下列论述中对旳旳是A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶５千米Ｂ.以相似速度行驶相似旅程，三辆车中,甲车消耗汽油最多 C ．甲车以80千米/小时旳速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某都市机动车最高限速８0千米/小时. 相似条件下,在该市用丙车比用乙车更省油【２023年新课标2文科】如图,长方形旳边AB =２,BC =１,O 是AB 旳中点,点P 沿着边BC ,C Ｄ与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点Ｐ到A ,B 两点距离之和表达为x 旳函数()f x ，则旳图像大体为（ )A. B ． C ． D.3.表格法例8:已知函数()f x ,()g x 分别由下表给出x 123x 123f(x)131g(x)321则[(1)]f g 旳值为 ﻩﻩ；满足[()][()]f g x g f x >旳x 旳值是.题型三：求函数旳解析式.1. 换元法例9：已知1)1(+=+x x f ,则函数)(x f =变式1：已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f ＝ 变式2：已知f(x 6)=log 2x,那么f(8）等于２．待定系数法例10:已知二次函数f (x ）满足条件f (0)=１及f (ｘ+1)-f （ｘ)=２ｘ。
2023年高考数学试题分类解析【第三章 函数】附答案解析
2023年高考数学试题分类解析【第三章函数】第二节函数的基本性质1.（2023全国甲卷理科13，文科14）若()21sin 2y x ax x π⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则a =.【分析】利用偶函数的性质得到22f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得2a =，再检验即可得解.【解析】因为()()()221sin 1cos 2y f x x ax x x ax x π⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以22f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221cos 1cos 222222a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2211222a ππ⎛⎫⎛⎫π=+--=π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故a =2，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++，所以()()()()221cos 1cos f x x x x x f x -=-++-=++=，又定义域为R ，故()f x 为偶函数，所以2a =.故答案为2.2.（2023全国乙卷理科4，文科5）已知()e e 1xax x f x =-是偶函数，则a =（）A.2- B.1- C.1D.2【分析】根据偶函数的定义运算求解.【解析】因为()e e 1xax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x xx x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a xx --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选D.3.（2023新高考I 卷11）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）A.()00f =B.()10f =C.()f x 是偶函数D.0x =为()f x 的极小值点【解析】选项A，令0x y ==，则()00f =，故A 正确；选项B，令1x y ==，则()()()111f f f =+，所以()10f =，故B 正确；选项C，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，因为()10f =，所以()10f -=，令1y =-，则()()()()21f x f x x f f x -=+-=，所以()f x 是偶函数，故C 正确；选项D，对式子两边同时除以220x y ≠，得到()()()2222f xy f x f y x yxy=+，故可以设()20,0ln ,0x f x x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩，当0x >时，()2ln f x x x =，()()212ln 2ln 1f x x x x x x x'=+⋅=+，令()0f x '>，解得12ex ->，令()0f x '<，解得120e x -<<，故()f x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.又()f x 是偶函数，所以()f x 在12e ,0-⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在12,e -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减.()f x 的图像如图所示，所以0x =为()f x 的极大值点，故D 错误.故选ABC.4.（2023新高考II 卷4）若()()21ln21x f x x a x -=++为偶函数，则a =（）A.1-B.0C.12D.1【解析】()()2111ln ,,,2122x f x x a x x -⎛⎫⎛⎫=+∈-∞-+∞ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()2121lnln 2121x x f x x a x a x x --+-=-+=-+-+-.因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x =-，即()()()212121lnln ln 212121x x x x a x a x a x x x -+-+=-+=-+-+，所以有x a x a +=-，得0a =.故选B.5.（2023北京卷4）下列函数中，在区间()0,+∞上单调递增的是（）A.()ln f x x=- B.()12xf x =C.()1f x x=-D.()13x f x -=【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D 即可.【解析】对于A，因为ln y x =在()0,+∞上单调递增，y x =-在()0,+∞上单调递减，所以()ln f x x =-在()0,+∞上单调递减，故A 错误；对于B，因为2x y =在()0,+∞上单调递增，1y x=在()0,+∞上单调递减，所以()12xf x =在()0,+∞上单调递减，故B 错误；对于C，因为1y x =在()0,+∞上单调递减，y x =-在()0,+∞上单调递减，所以()1f x x=-在()0,+∞上单调递增，故C 正确；对于D，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,+∞上不单调，D 错误.故选C.6.（2023北京卷15）设0a >，函数()2,1,x x a f x a x a x a+<-⎧=->⎪⎩ ，给出下列四个结论：①()f x 在区间()1,a -+∞上单调递减；②当1a 时，()f x 存在最大值；③设()()()111,M x f x x a ，()()()222,N x f x x a >，则1MN >；④设()()()333,P x f x x a <-，()()()444,Q x f x x a - ，若PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.其中所有正确结论的序号是.【分析】先分析()f x 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取12a =，结合图像即可判断；对于②，分段讨论()f x 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知MN 的范围；对于④，取45a =，结合图像可知此时PQ 存在最小值，从而得以判断.【解析】依题意，0a >，当x a <-时，()2f x x =+，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当a x a -≤≤时，()f x =，易知其图像是，圆心为()0,0，半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时，()1f x =-，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取12a =，则()f x 的图像如下，显然，当(1,)x a ∈-+∞，即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故①错误；对于②，当1a ≥时，当x a <-时，()221f x x a =+<-+≤；当a x a -≤≤时，()f x =显然取得最大值a ；当x a >时，()112f x =-<-≤-，综上：()f x 取得最大值a ，故②正确；对于③，结合图像，易知在1x a =，2x a >且接近于x a =处，()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小，当1x a =时，()10y f x ==，当2x a >且接近于x a =处，()221y f x =<，此时，1211MN y y >->+>，故③正确；对于④，取45a =，则()f x 的图像如下，因为()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-，结合图像可知，要使PQ 取得最小值，则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，点Q 在()4455f x x ⎫=-≤≤⎪⎭，同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a ，此时，因为()425f x y x x ⎛⎫==+<- ⎪⎝⎭的斜率为1，则1OP k =-，故直线OP 的方程为y x =-，联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，则()1,1P -，显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，满足PQ 取得最小值，即45a =也满足PQ 存在最小值，故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤⎥⎝⎦，故④错误.故答案为：②③.【评注】本题解决的关键是分析得()f x 的图像，特别是当a x a -≤≤时，()f x =圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.第三节幂函数1.（2023天津卷3）若0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A．c a b >>B．c b a >>C．a b c>>D．b a c>>【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解析】由 1.01x y =在R 上单调递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选D.第四节指数与指数函数1.（2023天津卷3）若0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A．c a b >>B．c b a >>C．a b c>>D．b a c>>【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解析】由 1.01x y =在R 上单调递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选D.2.（2023全国甲卷文科11）已知函数()()21e x f x --=.记2a f ⎫=⎪⎪⎝⎭，2b f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2c f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）A.b c a>> B.b a c>> C.c b a>> D.c a b>>【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【解析】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，因为4112⎛-= ⎝⎭，而22491670+-=+-=->，所以1122->-由二次函数性质知())22g g <，因为4112222⎛---=- ⎝⎭，而22481682)0+-=+-=-=<，即1122-<-，所以()22g g >，综上，22g g g <<，又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>.故选A.3.（2023新高考I 卷4）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞- B.[)2,0- C.(]0,2 D.[)2,+∞【解析】令()t x x a =-，要使得()()2x x a f x -=在区间()0,1单调递减，需要满足()t x x a =-在区间()0,1单调递减，所以12a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选D.4.（2023北京卷11）已知函数()24log xf x x =+，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭.【分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答.【解析】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为1.第五节对数与对数函数1.（2023北京卷11）已知函数()24log xf x x =+，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭.【分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答.【解析】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为1.2.（2023新高考I 卷10）噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级20lgp pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则（）A.12p p ≥ B.2310p p > C.30100p p = D.12100p p ≤【解析】选项A，12121120000220lg 20lg 20lg lg 20lg 0p p p p pL L p p p p p ⎛⎫-=⨯-⨯=⨯-=⨯≥ ⎪⎝⎭，所以12p p ≥，所以A 正确；选项B，223320lg10p L L p -=⨯≥，所以231lg 2p p ≥，所以23p p ≥B 错误；选项C，33020lg40p L p =⨯=，所以30lg 2p p =，所以30100pp =，故C 正确；选项D，112220lg 905040p L L p -=⨯≤-=，所以12lg 2p p ≤，所以12100pp ≤，故D 正确.故选ACD.第六节函数的图像及应用1.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知()f x 为函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位所得函数，则()y f x =与1122y x =-交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】因为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位可得()sin 2.f x x =-而1122y x =-过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，分别作出()f x 与1122y x =-的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，结合图像可知有3个交点.故选C.【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.2.（2023北京卷15）设0a >，函数()2,1,x x af x a x a x a+<-⎧=->⎪⎩ ，给出下列四个结论：①()f x 在区间()1,a -+∞上单调递减；②当1a 时，()f x 存在最大值；③设()()()111,M x f x x a ，()()()222,N x f x x a >，则1MN >；④设()()()333,P x f x x a <-，()()()444,Q x f x x a - ，若PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.其中所有正确结论的序号是.【分析】先分析()f x 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取12a =，结合图像即可判断；对于②，分段讨论()f x 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知MN 的范围；对于④，取45a =，结合图像可知此时PQ 存在最小值，从而得以判断.【解析】依题意，0a >，当x a <-时，()2f x x =+，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当a x a -≤≤时，()f x =，易知其图像是，圆心为()0,0，半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时，()1f x =-，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取12a =，则()f x 的图像如下，显然，当(1,)x a ∈-+∞，即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故①错误；对于②，当1a ≥时，当x a <-时，()221f x x a =+<-+≤；当a x a -≤≤时，()f x =显然取得最大值a ；当x a >时，()112f x =-<-≤-，综上：()f x 取得最大值a ，故②正确；对于③，结合图像，易知在1x a =，2x a >且接近于x a =处，()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小，当1x a =时，()10y f x ==，当2x a >且接近于x a =处，()221y f x =<，此时，1211MN y y >->+>，故③正确；对于④，取45a =，则()f x 的图像如下，因为()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-，结合图像可知，要使PQ 取得最小值，则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，点Q 在()4455f x x ⎫=-≤≤⎪⎭，同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a ，此时，因为()425f x y x x ⎛⎫==+<- ⎪⎝⎭的斜率为1，则1OP k =-，故直线OP 的方程为y x =-，联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，则()1,1P -，显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭上，满足PQ 取得最小值，即45a =也满足PQ 存在最小值，故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故④错误.故答案为：②③.【评注】本题解决的关键是分析得()f x 的图像，特别是当a x a -≤≤时，()f x =圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.3.（2023天津卷4）函数()f x 的图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（）A．()25e e2x xx--+B．25sin1xx+【分析】由图知函数为偶函数，先判断函数的奇偶性排除选项；再判断函数在选项，即得答案.【解析】由图知：函数图象关于第七节函数与方程1.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知()f x为函数cos26y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移6π个单位所得函数，则()y f x=与1122y x=-交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】因为函数πcos26y x⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位可得()sin2.f x x=-而1122y x=-过10,2⎛⎫-⎪⎝⎭与()1,0两点，分别作出()f x与1122y x=-的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x=-==，即3π3π7π,,444x x x=-==处()f x与1122y x=-的大小关系，结合图像可知有3个交点.故选C.【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.。
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专题11 函数的图象【考点预测】一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数. 二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.2.图像的变换 （1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的； ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的； ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的； （2）对称变换①函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； 函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②若函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-（实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ，即()()2a x a x a -++=为常数）；若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图（a ）和图（b ））所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图（c ）所示）.注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.⑤函数1()y fx -=与()y f x =的图像关于y x =对称.（3）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到. 【方法技巧与总结】(1)若)()(x m f x m f -=+恒成立，则)(x f y =的图像关于直线m x =对称.(2)设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)(m x f y -=与)(x m f y -=)0(>m 的图象关于直线m x =对称.(3)若)()(x b f x a f -=+，对任意∈x R 恒成立，则)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称.(4)函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2ba x +=对称. (5)函数)(x f y =与函数)2(x a f y -=的图象关于直线a x =对称. (6)函数)(x f y =与函数)2(2x a f b y --=的图象关于点)(b a ，中心对称. (7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.【题型归纳目录】题型一：由解析式选图（识图） 题型二：由图象选表达式 题型三：表达式含参数的图象问题 题型四：函数图象应用题 题型五：函数图像的综合应用【典例例题】题型一：由解析式选图（识图）例1．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】通过判断()f x 不是奇函数，排除A ，B ，又因为302f π⎛⎫<⎪⎝⎭，排除C ，即可得出答案. 【详解】因为2()sin 12x f x x =++的定义域为R ，又因为()()222sin()sin 1221xx x f x x x f x -⋅-=-+=-+≠-++，所以()f x 不是奇函数，排除A ，B. 33223322sin()10221212f ππππ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭++，所以排除C.故选：D.例2．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（理））函数2ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域与奇偶性，排除A 、B 选项；结合导数求得函数在(1,)+∞上的单调性，排除D 选项，即可求解. 【详解】由题意，函数()2ln x f x x =的定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)-∞--+∞，关于原点对称，且满足()()22()ln ln x x f x f x x x--===-， 所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 选项；当1x >时，可得()2ln x f x x =，则()()()222ln (2ln 1)ln ln x x x x x f x x x --'==，当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；排除A 选项当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以排除D 选项，选项C 符合. 故选：C.例3．（2022·天津·二模）函数sin exx xy =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 令()sin e x x xf x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin e ex xx x x x f x f x ----===， 所以，函数sin exx xy =为偶函数，排除AB 选项， 当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx xy =>，排除C 选项. 故选：D.例4．（2022·全国·模拟预测）已知函数())lnsin f x x x =⋅则函数()f x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据()0,x π∈时，函数值的正负判断. 【详解】易知函数)lny x =为奇函数，sin y x =也是奇函数，则函数())ln sin f x x x =⋅为偶函数，故排除选项B ，C ；因为)lnln y x ⎛⎫==，当0x >1x >恒成立，所以ln 0⎛⎫<恒成立， 且当()0,x π∈时，sin 0x >，所以当()0,x π∈时，()0f x <，故选项A 正确，选项D 错误， 故选：A ．例5．（2022·全国·模拟预测）函数()22e xx xf x -=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据f (x )的零点和x →+∞时函数值变化情况即可判断求解． 【详解】由()0f x =得0x =或2，故排除选项A ；当x →+∞时，函数值无限靠近x 轴，但与x 轴不相交，只有选项B 满足．例6．（2022·河北·模拟预测）函数4cos3()cos (ππ)33xf x x x =---≤≤的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解. 【详解】由已知条件得函数()f x 的定义域关于原点对称， ∵()()cos 34()cos 33x f x x --=---()4cos3cos 33x x f x -=-=， ∴()f x 为偶函数，函数的图象关于y 轴对称，则排除选项B 、C , 又∵4cos3π(π)cos π33f =--4181333=++=， ∴排除选项D ， 故选：A .【方法技巧与总结】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案题型二：由图象选表达式例7．（2022·全国·模拟预测）已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数x ，y 满足的关系式可以为（ ）A ．311log 0x y --=B ．321xx y-=C ．120x y --=D ．ln 1x y =-【答案】A 【解析】 【分析】将311log 0x y --=化为11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，结合图像变换，可判断A;取特殊值验证，可判断B;作出函数12x y -=的图象，可判断C;根据函数ln 1y x =+的性质，可判断D.【详解】 由311log 0x y --=，得31log 1x y=-， 所以3log 1y x -=-，即3log 1y x =--， 化为指数式，得11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，其图象是将函数1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩的图象向右平移1个单位长度得到的， 即为题中所给图象，所以选项A 正确；对于选项B ，取1x =-，则由()31121y---=，得21y =>，与已知图象不符，所以选项B 错误； 由120x y --=，得12x y -=，其图象是将函数2xy =的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：与题中所给的图象不符，所以选项C 错误；由ln 1x y =-，得ln 1y x =+，该函数为偶函数，图象关于y 轴对称， 显然与题中图象不符，所以选项D 错误， 故选：A.例8．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数()f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）A ．(21)y f x =-B ．412x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．(12)y f x =-D ．142x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】分三步进行图像变换①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 【详解】12()()(1)(12)x xx x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 故选：C.例9．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可以是（ ）A ．()()2211--=xxex y eB ．()21sin -=xxex y eC ．()()2211-+=xxex y eD ．()21cos -=xxex y e【答案】B【解析】 【分析】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A ，D ，根据C 项函数没有零点，排除C 项，最终选出正确结果. 【详解】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A ，D ；对于C ，当0x >时，22110,2-+>≥x xe x e x ，函数显然不存在零点，排除C ． 故选：B ．例10．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为( )A ．()sin πf x x x =B ．()()1πsin f x x x =-C ．()()sin π1f x x x =+D ．()()1cos πf x x x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据已知图象的对称性，结合AC 的奇偶性可排除AC ，根据已知图象f (0)=0可排除D ，从而正确可得B 为正确选项． 【详解】对于A ，()()()sin πsin πf x x x x x f x -=--==，故()sin πf x x x =为偶函数，图象应该关于y 轴对称，与已知图象不符；对于C ，()()sin ππf x x x =+sin πx x =-也为偶函数，故排除AC ； 对于D ，()01f =-，与已知图象不符，故排除D ．对于B ，()()()()()()221sin 2(1)sin π1sin ππf x x x x x x x f x -=---=--=-=，故f (x )关于x =1对称，f (0)=0，均与已知图象符合，故B 正确． 故选：B ．例11．（2022·河北沧州·模拟预测）下列图象对应的函数解析式正确的是（ ）A ．()cos f x x x =B ．()sin f x x x =C ．()sin cos f x x x x =+D ．()cos sin f x x x x =+【答案】D 【解析】 【分析】由图可知，函数()f x 的图象关于原点中心对称，所以函数()f x 为奇函数，且()02f π>，对选项B 、C ：由函数()f x 为偶函数即可判断，对选项A ：函数()f x 为奇函数，但()cos 0222f πππ==即可判断；对选项D ：函数()f x 为奇函数，且()cos sin 102222f ππππ=+=>即可判断.【详解】解：由图可知，函数()f x 的图象关于原点中心对称，所以函数()f x 为奇函数，且()02f π>，对A ：因为()()()cos cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以函数()f x 为奇函数，但()cos 0222f πππ==，故选项A 错误；对B ：因为()()()sin sin ()f x x x x x f x -=--==，所以函数()f x 为偶函数，故选项B 错误；对C ：因为()()()()sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x -=--+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，故选项C 错误； 对D ：因为()()()()cos sin cos sin ()f x x x x x x x f x -=--+-=--=-，所以函数()f x 为奇函数，且()cos sin 102222f ππππ=+=>，符合题意，故选项D 正确. 故选：D.例12．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数()sin f x x =，()e e x x g x -=+，下图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ．()()2f x g x +-B ．()()2f x g x -+C ．()()⋅f x g xD ．()()f xg x【答案】D 【解析】 【分析】根据图象体现的函数性质，结合每个选项中函数的性质，即可判断和选择. 【详解】由图可知，图象对应函数为奇函数，且()011f <<； 显然,A B 对应的函数都不是奇函数，故排除；对C ：()()()sin e e x xy f x g x x -=⋅=⋅+，其为奇函数，且当1x =时，11sin1e e 1e 2⎛⎫⋅+>⨯> ⎪⎝⎭，故错误；对D ：y =()()f xg x sin e e x xx-=+，其为奇函数，且当1x =时，sin110112e e<<<+，故正确. 故选：D .【方法技巧与总结】1.从定义域值域判断图像位置；2.从奇偶性判断对称性；3.从周期性判断循环往复；4.从单调性判断变化趋势；5.从特征点排除错误选项．题型三：表达式含参数的图象问题（多选题）例13．（2022·全国·高三专题练习）函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论0,0,0a b c >=>、0,0,0a b c <=<、0,0,0a b c =><、0,0,0a b c =<<四种情况下，()f x 的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性. 【详解】当0,0a b ≠=时，22()()()ax axf x f x x c x c--==-=--++；当0,0a c >>时，()f x 定义域为R 且为奇函数，在(0,)+∞上()0f x >，在上递增，在)+∞上递减，A 可能；当0,0a c <<时，()f x 定义域为{|x x ≠且为奇函数，在上()0f x >且递增，在)+∞上()0f x <且递增，B 可能；当0,0,0a b c =≠<时，22()()()b bf x f x x c x c-===-++且定义域为{|x x ≠，此时()f x 为偶函数，若0b >时，在(上()0f x <(注意(0)0f <)，在(,)-∞+∞上()0f x >，则C 不可能；若0b <时，在(上()0f x >，在(,)-∞+∞上()0f x <，则D 可能； 故选：ABD（多选题）例14．（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D 选项，然后对a 的取值进行分类讨论，比如0a =，可判断A 可能，再对a 分大于零和小于零的情况讨论，结合求导数判断函数单调性，即可判断B,C 是否可能. 【详解】 因为2||()x f x x a=+为定义域上的偶函数， 图象关于y 轴对称，所以D 不可能.由于()f x 为定义域上的偶函数，只需考虑,()0x ∈+∞的情况即可. ①当0a =时，函数2||11()||x f x x x x===，所以A 可能； ②当0a >时，2()xf x x a =+，()222()a x f x x a '-=+，所以()f x 在单调递增，在)+∞单调递减，所以C 可能； ③当0a <时，2()x f x x a =+，()222()0a x f x x a -'=<+，所以()f x 在单调递减，在)+∞单调递减，所以B 不可能； 故选:AC.（多选题）例15．（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知()2xf x x a=-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC 【解析】 【分析】根据a 的取值分类讨论函数f (x )的单调性、奇偶性、值域，据此判断图像即可. 【详解】 若a ＝0，则f (x )＝1x，图像为C ；若a ＞0，则f (x )定义域为{x |x ，f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数，x ∈(－∞，时，f (x )＜0，x ∈(0)时，f (x )＞0，x ∈(0，f (x )＜0，x ∈＋∞)时，f (x )＞0，又x ≠0时，f (x )＝1a x x-，函数y ＝x －ax 在(－∞，0)和(0，＋∞)均单调递增，∴f (x )在(－∞，(0)，(0，∞)均单调递减，综上f (x )图像如A 选项所示； 若a ＜0，则f (x )定义域为R ，f (x )为奇函数，f (0)＝0， 当x ＞0时，f (x )＞0，当x ＜0时，f (x )＜0，当x ≠0时，f (x )＝1a x x-+，函数y ＝x ＋ax-时双勾函数，x ∈((),时，y 均单调递减，x ∈)(,,+∞-∞时，y 均单调递增，∴f (x )在((),单调递增，在)(,,+∞-∞单调递减，结合以上性质，可知B 图像符合.故选：ABC.（多选题）例16．（2022·湖北武汉·高一期末）设0a >，函数21axx y e ++=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD 【解析】令()21,0g x ax x a =++>，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为12x a=-，再根据0,0∆=∆<和0∆>三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数21axx y e ++=，令()21,0g x ax x a =++>，可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为102x a=-<， 当140a ∆=-=时，即14a =时，可得()21104g x x x =++≥， 此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增，且(2)0g -= 可得21axx y e ++=在1(,]2a -∞-递减，在1[,)2a -+∞上递增，且(2)1g e -=； 当140a ∆=-<时，即14a >时，可得()0g x >， 此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增， 由复合函数的单调性，可得21ax x y e ++=在1(,]2a -∞-递减，在1[,)2a-+∞上递增，且1y >， 此时选项B 符合题意； 当当140a ∆=->时，即104a <<时，此时函数()21g x ax x =++有两个零点， 不妨设另个零点分别为12,x x 且1212x x a<-<，此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增， 可得()y g x =在121(,],[,]2x x a-∞-递减，在121[,],[,)2x x a -+∞上递增，且12()()0g x g x ==，则21axx y e ++=在121(,],[,]2x x a-∞-递减，在121[,],[,)2x x a -+∞上递增，且12()()1g x g x e e ==，此时选项D 符合题意.综上可得，函数的图象可能是选项BD. 故选：BD.（多选题）例17．（2022·广东东莞·高一期末）已知函数()af x x x=+()a R ∈，则其图像可能为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】BC 【解析】 【分析】按照0a =，0a >，0a <讨论a 的取值范围，利用排除法解决. 【详解】 0a =，()(0)af x x x x x=+=≠，定义域需要挖去一个点，不是完整的直线，A 选项错误；0a <时，y x =在(,0),(0,)-∞+∞上递增，ay x=也在(,0),(0,)-∞+∞递增，两个增函数相加还是增函数，即()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上递增，故D 选项错误，C 选项正确.；0a >时，由对勾函数的性质可知B 选项正确. 故选：BC.（多选题）例18．（2021·山西省长治市第二中学校高一阶段练习）在同一直角坐标系中，函数()()()10,1,x f x a a a g x a x =->≠=-且的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件对a 值进行分类讨论函数()f x 的单调性及0一侧的函数值，再结合()g x a x =-图象与y 轴交点位置即可判断作答. 【详解】依题意，当1a >时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在点(0,1)上方，排除B ，C ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-<⎩，因此，()f x 在(,0)-∞上递减，且x <0时，0<f (x )<1，D 不满足，A 满足； 当01a <<时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在原点上方，点(0,1)下方，排除A ，D ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-<=-=⎨-≥⎩，因此，f (x )在(0,)+∞上递增，且x >0时，0<f (x )<1，B 不满足，C 满足， 所以给定函数的图象可能是AC. 故选：AC（多选题）例19．（2021·河北·高三阶段练习）函数()211ax f x x +=+的大致图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】对a 的取值进行分类讨论，利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象. 【详解】当0a =时，()01f =，令21y x =+，易知，其在(),0-∞上为减函数，()0,∞+上为增函数，所以()211f x x =+在(),0-∞上为增函数，在()0,∞+上为减函数，故D 正确； 当0a <时，()01f =，()()2'2221ax x afx x--+=+，令22y ax x a =--+，当0x <且0x →时，0y <，当0x >且0x →时，0y <，所以()'0f x <，故A 正确；当0a >时，()01f =，()()2'2221ax x afx x--+=+，令22y ax x a =--+，当0x <且0x →时，0y >，当0x >且0x →时，0y >，所以()'0f x >，故B 正确；综上，()f x 的图象不可能为C. 故选：ABD.（多选题）例20．（2022·全国·高三专题练习）已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【解析】 【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增，故函数()x x f x e e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误； 当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减，故函数()x x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误. 故选:AD ．【方法技巧与总结】根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用.题型四：函数图象应用题例21．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，分析区间（0，2π）和（2π，π）上f （x ）的符号，再分析f （x ）的对称性，排除BCD ，即可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ． 在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ； 在区间（2π，π）上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ， 又由当x 1+x 2＝π时，有f （x 1）＝﹣f （x 2），f （x ）的图象关于点（2π，0）对称，排除D ， 故选：A例22．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】设出圆锥底面圆半径r ，高H ，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解. 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x h r H =，即r x h H =⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得22332233r H vt h vt h h H r ππ⋅=⇒=⇒=而,,r H v 是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是h =203r H t v π≤≤，23103h t -'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓， A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同. 故选：A例23．（2022·四川泸州·模拟预测（文））如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可． 【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．例24．（2021·山东济南·高三阶段练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB BO OA →→)，则小明到O 点的直线距离y 与他从A 点出发后运动的时间t 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C．D．【答案】D【解析】根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定.【详解】小明沿AB走时，与О点的直线距离保持不变，沿BO走时，随时间增加与点О的距离越来越小，沿OA走时，随时间增加与点О的距离越来越大.故选：D.例25．（2021·江苏·常州市西夏墅中学高三开学考试）如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP ＝x(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数y＝f(x)的大致图像是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】分两段，当P点在AO之间时，当P点在OB之间时，再由二次函数的性质及增长趋势可知．【详解】当P 点在AO 之间时，f （x ）12=x 2（0＜x ≤1），排除B,D 当P 点在OB 之间时，y 随x 的增大而增大且增加速度原来越慢，故只有A 正确 故选A ． 【点睛】本题主要考查了函数图像的识别的性质，考查分类讨论思想及排除法应用，属于基础题．【方法技巧与总结】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.题型五：函数图像的综合应用例26．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e 1xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则m 的取值范围为（ ）A ．e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B ．e 1e 1,64--⎛⎫⎪⎝⎭ C ．e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()0,e 1-【答案】B 【解析】 【分析】由题可知函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，利用数形结合即得. 【详解】∵()()2f x f x =-，∴函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 为定义在R 上的偶函数， 故函数()f x 关于直线0x =对称，作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象，要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩，即e 1e 164m --<<. 故选：B.例27．（2022·北京丰台·一模）已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究函数的性质，作出函数函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，利用数形结合即得. 【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-， 作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值12f ，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.例28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,0,43,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合可得210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】设()t f x =，则()21y g t t mt ==++，作出函数()f x 的大致图象，如图所示，则函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点等价于()0g t =在[)3,1-上有两个不同的实数根， 则()()24039310,1110,31,2m g m g m m ⎧->⎪-=-+≥⎪⎪⎨=++>⎪⎪-<-<⎪⎩解得1023m <≤.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数形结合，把问题转化为方程210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根，即二次方程根的分布问题，利用二次函数的性质即解.例29．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()221xf x =--，则关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则实数,m n 满足（ ） A ．0m >且0n > B ．0m <且0n > C ．01m <<且0n = D ．10m -<<且0n =【答案】C 【解析】 【分析】令()u f x =，利用换元法可得20u mu n ++=，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根1u 、2u ，作出函数()f x 的图象，结合题意和图象可得10u =、2u m =-，进而得出结果. 【详解】令()u f x =，作出函数()u f x =的图象如下图所示：由于方程20u mu n ++=至多两个实根，设为1u u =和2u u =，由图象可知，直线1u u =与函数()u f x =图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则关于u 的二次方程20u mu n ++=的一根为10u =，则0n =，则方程20u mu +=的另一根为2u m =-，直线2u u =与函数()u f x =图象的交点个数必为4，则10m -<-<，解得01m <<. 所以01m <<且0n =. 故选：C.例30.（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知函数21244,1(),1x x x x f x e x x -⎧-+>=⎨+≤⎩，若不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,52ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,53ln 33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,62ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,63ln 32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】由不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立.根据相切找临界位置，结合函数的单调性以及图像特征，即可求解. 【详解】 不等式1()||022mf x x --<的解集为∅,等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立. 当1x >时,2()=244,f x x x -+此时()f x 在1x >上单调递增,当11,()=,x x f x e x -≤+则1()=-1,x f x e -'+当<1x 时,0()<f x ',故()f x 在<1x 上单调递减.当2-y x m =与2()=244f x x x -+相切时,设切点为()00,x y ,所以00()4-4=2f x x '=,解得032x =,35()22f =,此时切线方程为35y=2x-+22⎛⎫ ⎪⎝⎭,该切线与x 轴的交点为1,04A ⎛⎫⎪⎝⎭,同理可得当-2+y x m =与1()=x f x e x -+相切时,切线与x 轴的交点为33-ln 3,02B ⎛⎫⎪⎝⎭,又因为=|2|y x m -与x 轴的交点为,02mC ⎛⎫⎪⎝⎭要使()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立,则点C 在,A B 之间移动即可.故133-ln 3422m ≤≤,解得16-3ln 32m ≤≤故选:D例31．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知函数()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩，若函数()()()1g x f x k x =--有4个零点，则实数k 的取值范围为_______________. 【答案】1(0,)4【解析】 【分析】转化求()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像与()1y k x =-图像交点，求出直线与1()11f x x =--相切时的k ，进而得到有4个交点时k 的范围即可 【详解】因为()()()1g x f x k x =--有4个零点， 所以方程()()1f x k x =-有4个实数根，画出()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像，以及()1y k x =-，则两函数的图象有4个公共点．其中直线()1y k x =-经过定点(1,0)，斜率为k当直线与()f x 相切时，联立111(1)y x y k x ⎧=-⎪-⎨⎪=-⎩，22(12)40k k ∆=--=，可求出14k =，由图可知，当104x <<时，方程()()1f x k x =-有4个交点，故k 的取值范围为1(0,)4故答案为1(0,)4.【点睛】方法点睛：根据函数零点个数求参数取值范围的注意点：（1）结合题意构造合适的函数，将函数零点问题转化成两函数图象公共点个数的问题处理； （2）在同一坐标系中正确画出两函数的图象，借助图象的直观性进行求解；（3）求解中要注意两函数图象的相对位置，同时也要注意图中的特殊点，如本题中直线(1)y k x =-经过定点(1,0)等．例32．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．【答案】1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤--⎥⎝⎦【解析】 【分析】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意转化为函数()g x 与直线y m =的图象有3个公共点，利用导数求得函数()g x 的极值，画出函数()g x 的图象，结合图象，即可求解. 【详解】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意函数()f x 恰有3个零点，即为函数()g x 的图象与直线y m =有3个公共点，当12x ≥时，可得2()(3ln 1)g x x x '=+，令()0g x '=，得131e 2x -=>，当131[,e )2x -∈时，函数()g x 单调递减；当13(e ,)x -∈+∞时，函数()g x 单调递增，所以当13e x -=时，函数()g x 取得极小值，极小值为131e 3e g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由11()ln 2028g =-<，作出()g x 的图象，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦． 故答案为：1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦．例33．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝244,01,43,1x x x x x -<≤⎧⎨-+>⎩和函数g （x ）＝2log x ，则函数h （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点个数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】函数零点个数可转化为()y g x =与()y f x =图象交点的个数问题，作出图象，数形结合即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，作出()y g x =与()y f x =的图象如图，由()()()0h x f x g x =-=可得，()()f x g x =，即函数的零点为(),()y f x y g x ==图象交点的横坐标， 由图知()y f x =与()y g x =的图象有3个交点，即()h x 有3个零点． 故答案为：3例34．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在等边三角形ABC 中， AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9； ③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根. 其中，所有正确结论的序号是____. 【答案】①② 【解析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解. 【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根 故正确的是①②. 故答案为：①② 【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.【方法技巧与总结】1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解。