高考数学直线的参数方程知识点
高考数学知识点参数方程
高考数学知识点参数方程高考数学知识点：参数方程数学在高考中占据着重要的地位，其中一个重要的知识点就是参数方程。
参数方程是描述物体运动以及数学曲线的一种有效方式。
本文将从基本概念开始，逐步深入探讨参数方程的相关内容。
一、什么是参数方程？参数方程是一种使用参数表示变量关系的表达方式。
在平面直角坐标系中，我们通常使用 x 和 y 坐标轴来表示一个点的位置。
但在有些情况下，一个点的位置需要通过另外的变量来确定。
例如，我们可以使用时间作为参数来描述物体的运动轨迹。
二、参数方程的表示方法通常，参数方程可以用以下形式表示：x = f(t)y = g(t)其中，f(t) 和 g(t) 是关于参数 t 的函数。
通过不同的 t 值，我们可以得到一组点 (x, y) 的坐标。
三、平面曲线的参数方程1. 点的轨迹考虑一个点 P(x, y)，沿着一条轨迹运动。
如果我们能够找到一个参数 t，能够唯一确定点的位置，那么我们可以使用参数方程来描述点的轨迹。
2. 直线的参数方程对于直线，我们可以使用参数方程表示。
例如，一条直线的参数方程可以写作：x = at + by = ct + d其中 a、b、c、d 是常数。
3. 圆的参数方程对于一个圆，我们可以使用参数方程表示。
以原点 O 为圆心，半径为 r 的圆的参数方程可以写作：x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中，t 是参数，范围在[0, 2π]。
四、参数方程的应用1. 物体运动在物理学中，参数方程常常用于描述物体的运动轨迹。
例如，一个抛体运动的轨迹可以使用参数方程来表示。
2. 曲线绘制在计算机图形学中，参数方程可以用于生成各种复杂的曲线。
通过调整参数的取值，我们可以绘制出各种形状的曲线，如椭圆、双曲线等。
3. 函数的参数化有些函数无法用解析式直接表示，但可以通过参数方程来表示。
例如，钟摆的运动可以通过一个参数方程来描述。
五、参数方程的优点和不足1. 灵活性参数方程具有很大的灵活性，可以描述出各种复杂的曲线。
高考数学中的参数方程解析技巧
高考数学中的参数方程解析技巧高中数学中，参数方程是一个比较重要的知识点，它在高考中也经常出现。
在考场上如何快速解析参数方程是一个必备的技巧。
本文将从以下几个方面探讨高考数学中的参数方程解析技巧。
一、掌握参数方程的基本概念和性质首先，我们需要掌握参数方程的基本概念和性质。
参数方程就是用一个或多个变量来表示一组解的方程，通常是用二元函数表示。
例如，设：x=f(t) , y=g(t) ，则称x，y是由参数t确定的一组函数或者向量。
又如，曲线的参数方程可以表示为：x=cos t, y=sin t。
同时，我们还需要了解参数方程的基本性质。
比如，当参数t取遍一个区间时，对应的点以一定的方式运动，从而构成一个曲线(或者说路径)。
因此，参数方程很适合用来表示一些曲线、轨迹等形状。
二、常见的参数方程解题方法1、画图法：画出参数曲线的关键点和性质，如切线斜率、弧长等，利用图形解决问题。
2、换元法：将复杂的参数方程化简成简单的形式，以便求解。
比如，将参数方程中的sin t，cos t换成tan t，以求得此函数的导数。
3、消元法：当问题中只需求出一种变量的值时，可以通过解方程组，消元得到所求的变量。
例如，已知x=f(t) , y=g(t)，求y=f(x) 时，可以用消元法解得。
4、向量法：参数方程中的x，y一般可以看作是向量的i,j分量。
因此，我们可以构造出向量的形式，利用向量的性质解题。
三、解析参数方程的常见技巧1、化简参数方程：通过变形，将参数方程化为指数函数、三角函数等常见函数形式，以便于求导。
2、求导、求导数：通过求导，可以求出参数曲线的切线斜率、曲率等性质，以便于解析问题。
3、曲率半径：利用曲率半径和曲率公式，可以求出参数曲线上任意一点的曲率半径。
4、求交点、对称点：通过等式联立，求得参数方程下两曲线的交点坐标。
通过在参数方程下的对称关系求得参数曲线下的对称点。
四、例题分析1、设直线 L ： y=x+k（k > 0），曲线 C 的参数方程为 x=cost ，y=sin(t+θ). 试确定θ的取值范围，并解决直线 L 在曲线 C 上的截距。
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习71---参数方程
高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第71讲 参数方程考点知识：1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．知识梳理1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )， y ＝g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．3．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)圆 x 2＋y 2＝r 2 ⎩⎨⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝ 1(a ＞b ＞0)⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)1．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 解析 (4)当t ＝π3时，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，4sin π3，即M (1,23)，∴OM 的斜率k＝2 3.2．曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上 答案 B解析 由⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ得⎩⎨⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．3．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值是________．答案 3解析 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过点(3,0)，则3－a ＝0，所以a ＝3.4．(2019·北京卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋4t (t 为参数)，则点(1,0)到直线l 的距离是( )A.15 B ．25 C ．45 D ．65 答案 D解析 由题意可知直线l 的普通方程为4x －3y ＋2＝0，则点(1,0)到直线l 的距离d ＝|4×1－3×0＋2|42＋(－3)2＝65.故选D. 5．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，若l 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则直线l 的斜率为________． 答案 ±1515解析 由⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，得y ＝x tan α，设k ＝tan α，得直线的方程为y ＝kx ，由x 2＋y 2－4x ＋3＝0，得(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2,0)，半径为1， ∴圆心到直线y ＝kx 的距离为12－|AB |24＝12＝|2k |k 2＋1，得k ＝±1515. 6．(2019·天津卷)设直线ax －y ＋2＝0和圆⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)相切，则实数a ＝________. 答案 34解析 圆的参数方程消去θ，得(x －2)2＋(y －1)2＝4. ∴圆心(2,1)，半径r ＝2. 又直线ax －y ＋2＝0与圆相切． ∴d ＝|2a －1＋2|a 2＋1＝2，解得a ＝34.考点一 参数方程与普通方程的互化1．下列参数方程与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( ) A.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t2B ．⎩⎨⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin tC.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝|t | D ．⎩⎨⎧x ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ，y ＝tan t答案 D解析 对于A ，消去t 后所得方程为x 2＝y ，不符合y 2＝x ；对于B ，消去t 后所得方程为y 2＝x ，但要求0≤x ≤1，也不符合y 2＝x ；对于C ，消去t 得方程为y 2＝|x |，且要求y ≥0，x ∈R ，也不符合y 2＝x ；对于D ，x ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ＝2sin 2t 2cos 2t＝tan 2t ＝y 2，符合y 2＝x .故选D.2．把下列参数方程化为普通方程． (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数，θ∈[0,2π))．解 (1)由已知得t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2)． 即它的普通方程为3x －y ＋5－3＝0.(2)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以x 2＋y ＝1，即y ＝1－x 2. 又因为|sin θ|≤1，所以其普通方程为y ＝1－x 2(|x |≤1)． 3．将下列参数方程化成普通方程． (1)⎩⎨⎧x ＝t 2－1，y ＝t 2＋1(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 解 (1)消去参数t ，得y ＝x ＋2，由于t 2≥0，所以普通方程为y ＝x ＋2(x ≥－1)，表示一条射线．(2)消去参数θ，得x 2＋y 2＝1，由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以x ∈[－1,0]，y ∈[0,1]，所以普通方程为x 2＋y 2＝1(－1≤x ≤0,0≤y ≤1)，表示圆的四分之一．感悟升华 1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法．另外，消参时要注意参数的范围． 2．普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线的参数方程直接写出． 考点二 参数方程的应用【例1】 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ (θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解 (1)a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0. 曲线C 的标准方程是x 29＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧x ＋4y －3＝0，x29＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.则C 与l 交点坐标是(3,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0. 设曲线C 上点P (3cos θ，sin θ)．则P 到l 距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4－a |17＝|5sin (θ＋φ)－4－a |17，其中tan φ＝34.又点C 到直线l 距离的最大值为17， 所以|5sin(θ＋φ)－4－a |的最大值为17. 若a ≥0，则－5－4－a ＝－17，∴a ＝8. 若a <0，则5－4－a ＝17，∴a ＝－16. 综上，实数a 的值为a ＝－16或a ＝8.【例2】(2021·河南省八市重点高中联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos α，y ＝2＋5sin α(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2＝4ρcos θ－3.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点P (0，－1)，求|PM |·|AB |的值． 解 (1)曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝5.由ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0. (2)将两圆的方程x 2＋(y －2)2＝5与x 2＋y 2－4x ＋3＝0作差，得直线AB 的方程为x －y －1＝0.点P (0，－1)在直线AB 上，设直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝－1＋22t (t 为参数)，代入x 2＋y 2－4x ＋3＝0化简得t 2－32t ＋4＝0，显然Δ>0，所以t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝4. 因为点M 对应的参数为t 1＋t 22＝322，所以|PM |·|AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22·|t 1－t 2| ＝322×(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝322×18－4×4＝3. 感悟升华 1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．2．过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)，t 的几何意义是P 0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分．对于形如⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．【训练1】(2021·南昌摸底测试)在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－5＋22t (t 为参数)．(1)求曲线C 和直线l 的普通方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和曲线C 上的动点，求|PQ |的最小值． 解 (1)因为y ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1，x ＝cos θ， 所以曲线C ：y ＝2x 2－1(－1≤x ≤1)， 由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝22t －5得y ＝22x －5，所以直线l 的普通方程为y ＝22x －5.(2)作直线l ′：y ＝22x ＋b 与曲线C 相切，则|PQ |的最小值为直线l 与直线l ′的距离．将l ′与C 的方程联立，消去y ，可得2x 2－22x －(b ＋1)＝0， 则Δ＝8＋8(b ＋1)＝0，解得b ＝－2，故直线l ′：y ＝22x －2， 从而直线l 与直线l ′的距离为|－2－(－5)|(22)2＋1＝1，即|PQ |的最小值为1⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当切点Q 的横坐标为 22时取到最小值.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用【例3】(2022·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos kt ，y ＝sin kt(t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0. (1)当k ＝1时，C 1是什么曲线？(2)当k ＝4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标． 解 (1)当k ＝1时，C 1：⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝sin t ，消去参数t 得x 2＋y 2＝1，故曲线C 1是以坐标原点为圆心，1为半径的圆． (2)当k ＝4时，C 1：⎩⎨⎧x ＝cos 4t ，y ＝sin 4t ，消去参数t 得C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝1.C 2的直角坐标方程为4x －16y ＋3＝0.由⎩⎨⎧x ＋y ＝1，4x －16y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14.感悟升华 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程． 2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．【训练2】(2022·全国Ⅱ卷)已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：⎩⎨⎧x ＝4cos 2θ，y ＝4sin 2θ(θ为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t(t 为参数)．(1)将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程． 解 (1)C 1的普通方程为x ＋y ＝4(0≤x ≤4)． 由C 2的参数方程得x 2＝t 2＋1t2＋2，y 2＝t 2＋1t2－2，所以x 2－y 2＝4.故C 2的普通方程为x 2－y 2＝4.(2)由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x 2－y 2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝32，所以点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32.设所求圆的圆心的直角坐标为(x 0,0)， 由题意得x 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－522＋94，解得x 0＝1710. 因此，所求圆的极坐标方程为ρ＝175cos θ.1．(2022·安庆三模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos α，y ＝3sin α(其中α为参数)，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＋4cos θ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程； (2)设点A ，B 分别是曲线C 1，C 2上两动点，且∠AOB ＝π2，求△AOB 面积的最大值． 解 (1)曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos α，y ＝3sin α(其中α为参数)，转换为普通方程为(x －3)2＋y 2＝9.曲线C 2的极坐标方程为ρ＋4cos θ＝0，转换为直角坐标方程为x 2＋y 2＋4x ＝0.(2)由(1)得，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝－4cos θ，设A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，所以S △ABC ＝12×|ρ1||ρ2|sin π2＝12×6cos θ×4sin θ＝6sin 2θ≤6，当θ＝π4时，△AOB 面积取得最大值6.2．(2021·贵阳质检)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k变化时，P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解 (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)． (2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ) ＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.3．(2021·河南名校联盟联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，点P 是曲线C 1上的动点，点Q 在OP 延长线上，且|PQ |＝3|OP |.(1)求点Q 的轨迹C 2的参数方程；(2)以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线θ＝π3与曲线C 1，C 2的交点(与原点不重合)分别为A ，B ，求|AB |.解 (1)设P (x P ，y P )，Q (x ，y )，点Q 在OP 延长线上，且|PQ |＝3|OP |， ∴(x ，y )＝OQ →＝4OP →＝(4x P,4y P )， ∴x P ＝x 4，y P ＝y4.∵P 在曲线C 1上，∴⎩⎨⎧x P ＝cos α，y P ＝1＋sin α(α为参数)，∴⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)即为点Q 的轨迹C 2的参数方程．(2)曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)可化为x 2＋(y －1)2＝1.点Q 的轨迹C 2的参数方程⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)可化为x 2＋(y －4)2＝16.射线θ＝π3的直角坐标方程为y ＝3x (x >0)． 分别与曲线C 1，C 2联立，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6，∴|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫23－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6－322＝3 3.4．(2022·安庆二模)在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为ρ－4sin θ＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t (t 为参数)．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，M (0,1)，且|MA |>|MB |，求1|MA |－1|MB |的值．解 (1)由直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝3x ＋1， 将ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入ρ－4sin θ＝0， 得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2－4y ＝0.(2)设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t 代入x 2＋y 2－4y ＝0，得t 2－3t －3＝0，所以t 1t 2＝－3，t 1＋t 2＝ 3.由于直线l 过M (0,1)，且|MA |>|MB |， 所以t 1>0，t 2<0.于是|MA |＝|t 1|＝t 1，|MB |＝|t 2|＝－t 2. 故1|MA |－1|MB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝－33. 5．(2021·昆明诊断)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝2＋t sin α(其中t 为参数， α∈[0，π))，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)若点P (x ，y )在直线l 上，且x ＋yx －y ＋4＝2，求sin α的值；(2)若α＝π4，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值． 解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝2＋t sin α(其中t 为参数，α∈[0，π))，则P (－2＋t cos α，2＋t sin α)，所以x ＋y x －y ＋4＝t sin α＋t cos αt cos α－t sin α＝2，整理得3sin α＝cos α，因为sin 2α＋cos 2α＝1，α∈[0，π)，所以sin α＝1010. (2)曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ.整理得ρ2＝2ρsin θ，转换为直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.直线l 的参数方程转换为普通方程为x －y ＋4＝0， 所以圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|0－1＋4|2＝322，所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为322＋1.6．(2021·赤峰联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝－t(t为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝123＋sin 2θ.(1)若a ＝－2，求曲线C 与l 的交点坐标；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点A ，且|PA |的最大值为10，求a 的值．解 (1)曲线C 的极坐标方程为ρ2＝123＋sin 2θ，整理得3ρ2＋ρ2sin 2θ＝12，转换为直角坐标方程为x 24＋y 23＝1.当a ＝－2时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋2t ，y ＝－t (t 为参数)，转换为直角坐标方程为x ＋2y ＋2＝0.联立⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，x ＋2y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－32，所以交点坐标为(－2,0)和⎝⎛⎭⎪⎫1，－32.(2)l 的直角坐标方程为x ＋2y －a ＝0，故曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到直线的距离d ＝|2cos θ＋23sin θ－a |5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6－a5，则|PA|＝dsin 45°＝2d＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6－a5，当a≥0时，|PA|的最大值为2|－4－a|5＝10，解得a＝1.当a<0时，|PA|的最大值为2|4－a|5＝10，解得a＝－1.故a＝1或－1.。
高考数学专题讲解：直线的极坐标方程与参数方程
2 sin( 2
5 ) 3 sin( 5 5 5 1 3 ) 2 (sin cos sin cos ) 2 ( sin cos ) 2 3 3 3 2 2
b b ； ④ 。 a sin( ) a cos( )
7 1 2 ；③ 4 cos( 。 ) 2 ；② ) 3 ；④ 2 5 4 6 2 cos( ) sin( ) 3 3 ) 2 4
【解法设计】 ：① 3 sin(
③ 4 cos(
7 )3 6
第 3 页 共 9 页
4 cos(
7 7 7 3 1 ) 3 4 (cos cos sin sin ) 3 4 ( cos sin ) 3 6 6 6 2 2
2 3 cos 2 sin 3 ， cos x ， sin y 2 3 x 2 y 3 2 3 x 2 y 3 0 。
第二象限
第三象限
， ， 6 4 3
第四象限
第二步：判断三角函数的正负。如下表所示： 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
第 1 页 共 9 页
正弦 sin 余弦 cos 正切 tan
第三步：计算三角函数的绝对值。
正弦绝对值 | sin |
b b ；④ 。 a cos a sin
b ； a b ； a
② a sin b ， sin y ay b y
③
b b a cos b a cos b ， cos x ax b x ； a cos a b b a sin b a sin b ， sin y ay b y 。 a sin a c 。 a cos b sin
高考数学复习考点知识讲解课件76 参数方程
养．
必备知识—基础落实
一、必记4个知识点
1．参数方程的概念
任意一点
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上________的坐标x，y都
x=f t ，
是某个变数t的函数：ቊ
并且对于t的每一个允许值，由方程
y=g t ．
这条曲线上
组所确定的点M(x，y)都在__________，那么方程叫做这条曲线的参
(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
3π
1
(2)若C1 ，C2 交于A，B两点，点P的极坐标为(2 2，－ )，求
+
1
PB
4
的值．
PA
2．[2022·石家庄市重点高中高三摸底考试]已知曲线C的参数方程为
x = cos θ
ቊ
(θ为参数)，A(2，0)，P为曲线C上的一个动点．
y = sin θ
(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求
解．
(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．
(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方程化为直角
坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．
【对点训练】
[2022·惠州市高三调研考试]在直角坐标系xOy中，曲线C1 的参数方
12
.
3+sin2 θ
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
x = cos α ，
解析：(1)因为曲线C1的参数方程为ቊ y = sin α (α为参数)，所以曲线C1的普通
方程为x2＋y2＝1.
因为曲线C2的极坐标方程ρ2＝
高中数学参数方程知识点大全
高考复习之参数方程一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构1.直线的参数方程(1)标准式过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y a t x x sin cos 00(t 为参数)(2)一般式过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tgα=ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 不参数)②在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t｜.直线参数方程的应用设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y a t x x sin cos 00（t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则(1)P 1、P 2两点的坐标分别是(x 0+t 1cosα,y 0+t 1sinα)(x 0+t 2cosα,y 0+t 2sinα)；(2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t，则t=221t t +中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t｜=｜221t t +｜(4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆椭圆12222=+b y a x (a＞b＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆12222=+by a y (a＞b＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数)3.极坐标极坐标系在平面内取一个定点O，从O 引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x y tg y x θρ三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1在圆x 2+y 2-4x-2y-20=0上求两点A 和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解：将圆的方程化为参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 52y x （θ为参数）则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离d=223430sin 15cos 120+++θθ故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2极坐标方程ρ=θθcos sin 321++所确定的图形是（）A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线解：ρ=)6sin(1211)]cos 2123(1[21πθθ++⋅=++(三)综合例题赏析例3椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得125)1(9)3(22=++-y x ∴a 2=25,b 2=9,得c 2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).应选B.例4参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x A.双曲线的一支，这支过点(1，21) B.抛物线的一部分，这部分过(1，21)C.双曲线的一支，这支过(-1，21) D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21)解：由参数式得x 2=1+sinθ=2y(x＞0)即y=21x 2(x＞0).∴应选B.例5在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是()A.(2,-7)B.（31，32） C.(21，21) D.(1，0)解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2将x=21代入，得y=21∴应选C.例6下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是()A.⎩⎨⎧==t y t xB.⎩⎨⎧==ty tx 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgt x 2cos 12cos 1D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t ty tgt x 2cos 12cos 1解：普通方程x 2-y 中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中y=t t 22sin 2cos 2=ctg 2t=2211xt tg ==，即x 2y=1，故排除C.∴应选D.例7曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为()A.x 2+(y+2)2=4B.x 2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y 2=4D.(x+2)2+y 2=4解：将ρ=22y x +，sinθ=22y x y +代入ρ=4sinθ，得x 2+y 2=4y，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.例8极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=21(cosθ+sinθ)⇒22ρ=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y，表示圆.应选D.例9在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是()A.ρsinθ=2 B.ρcosθ=2C.ρcosθ=-2 D.ρcosθ=-4例9图解：如图.⊙C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA 为直径，｜OA｜=4,l 和圆相切，l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，则有cosθ=ρ2=OPOB ，得ρcosθ=2，∴应选B.例104ρsin 22θ=5表示的曲线是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解：4ρsin 22θ=5⇔4ρ·.5cos 2221cos -=⇔-θρρθ把ρ=22y x +ρcosθ=x，代入上式，得222y x +=2x-5.平方整理得y 2=-5x+.425.它表示抛物线.∴应选D.例11极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是()A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆D.抛物线解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3x 2，y=±x 3,它表示两相交直线.∴应选B.四、能力训练(一)选择题1.极坐标方程ρcosθ=34表示()A.一条平行于x 轴的直线B.一条垂直于x 轴的直线C.一个圆D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若(x，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲线：①θ=6π和sinθ=21；②θ=6π和tgθ=33，③ρ2-9=0和ρ=3；④⎩⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x ty t x 322213222和其中表示相同曲线的组数为()A.1 B.2 C.3 D.44.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=0，则M，N 两点位置关系是()A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=2π D.关于极轴对称5.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线6.经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是()A．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211 C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 2152317.将参数方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++⋅=+++⋅=2222222222m m m b y m m mm a x (m 是参数，ab≠0)化为普通方程是()A.)(12222a xb y a x ≠=+ B.)(12222a x b y a x -≠=+C.)(12222a x by a x ≠=- D.)(12222a x by a x -≠=-8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为()A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1,3π),r=1D.(1,-3π),r=29.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是()A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10.双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方程为()A.y-1=)2(21+±x B.y=x 21±C.y-1=)2(2+±x D.y+1=)2(2-±x 11.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4((t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为()A.3π B.32π C.3π或32π D.3π或35π12.已知曲线⎩⎨⎧==pty pt x 222(t 为参数)上的点M，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1+t 2=0，那么M，N 间的距离为()A.2p(t 1+t 2)B.2p(t 21+t 22) C.│2p(t 1-t 2)│D.2p(t 1-t 2)213.若点P(x，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy，y 2-x 2)也在单位圆上运动，其运动规律是()A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向14.抛物线y=x 2-10xcosθ+25+3sinθ-25sin 2θ与x 轴两个交点距离的最大值是()A.5B.10C.23D.315.直线ρ=θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4π(ρ∈R)对称，则l 的方程是()A．θθρsin cos 23-=B．θθρcos cos 23-=C．θθρsin 2cos 3-=D．θθρsin 2cos 3+=(二)填空题16.若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 532543(t 为参数)，则过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为.17.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x （θ为参数）化成普通方程为.18.极坐标方程ρ=tgθsecθ表示的曲线是.19.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为.(三)解答题20.设椭圆⎩⎨⎧==θθsin 32cos 4y x (θ为参数)上一点P，若点P 在第一象限，且∠xOP=3π，求点P 的坐标.21.曲线C 的方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222(p＞0，t 为参数)，当t∈［-1，2］时，曲线C 的端点为A，B，设F 是曲线C 的焦点，且S △AFB =14，求P 的值.22.已知椭圆222y x +=1及点B(0，-2)，过点B 作直线BD，与椭圆的左半部分交于C、D 两点，又过椭圆的右焦点F 2作平行于BD 的直线，交椭圆于G，H 两点.(1)试判断满足│BC│·│BD│=3│GF 2│·│F 2H│成立的直线BD 是否存在?并说明理由.(2)若点M 为弦CD 的中点，S △BMF2=2，试求直线BD 的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为49，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.24.A，B 为椭圆2222by a x +=1，(a＞b＞0)上的两点，且OA⊥OB，求△AOB 的面积的最大值和最小值.25.已知椭圆162422y x +=1，直线l∶812yx +=1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R，又点Q 在OP 上且满足│OQ│·│OP│=│OR│2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1.B 2.D3.C4.C5.B6.A7.A8.C9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D(二)16.-4；17.y ２=-2(x-21),(x≤21);18.抛物线；19.135°,|32t|(三)20.(5154,558)；21.;33222.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.51(27-341)；24.Smax=2ab ，s max=2222b a b a +;25.25)1(25)1(22-+-y x =1(x,y)不同时为零)。
高考数学参数方程知识点整理归纳
高考数学参数方程知识点整理归纳高中数学知识点之参数方程定义一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f(t)、y=g(t)并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x，y的变数t叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
(注意：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义和几何意义的变数，也可以是没有实际意义的变数。
高中数学知识点之参数方程圆的参数方程x=a+rcosθy=b+rsinθ(a,b)为圆心坐标r为圆半径θ为参数椭圆的参数方程x=acosθy=bsinθa为长半轴长b为短半轴长θ为参数双曲线的参数方程x=asecθ(正割)y=btanθa为实半轴长b为虚半轴长θ为参数抛物线的参数方程x=2pt2y=2ptp表示焦点到准线的距离t为参数直线的参数方程 x=x+tcosa y=y+tsina,x,y和a表示直线经过(x,y)，且倾斜角为a,t为参数高考数学必考知识点1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h 为其高,3、正方体a-边长,S=6a2,V=a34、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱S-底面积h-高V=Sh6、棱锥S-底面积h-高V=Sh/37、棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、拟柱体S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中截面积h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—侧面积,S表—表面积C=2πrS底=πr2,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2)11、直圆锥r-底半径h-高V=πr^2h/312、圆台r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3 15、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/417、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)学好高中数学的方法有哪些1、有良好的学习兴趣(1)课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。
高考参数方程知识点归纳
高考参数方程知识点归纳高考数学中的参数方程作为一个重要的知识点，是考查学生对于坐标系、直线方程和解析几何的基本理解和应用能力的一种方式。
参数方程是通过引入参数的方式来描述一条曲线或者曲面的方程，它与直角坐标系有着密切的联系，可以方便地表达出不同形状和特征的图形。
在这篇文章中，我们将对高考中常见的参数方程知识点进行归纳和总结。
1. 参数方程的基本概念和应用参数方程是一种用参数的形式来表示曲线或者曲面上的点的方程，它通常以参数的形式给出，通过改变参数的取值范围，可以得到不同位置的点，从而形成一条曲线或者曲面。
在解析几何中，参数方程可以用来描述直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等各种不同形状的曲线。
2. 参数方程与直线的关系直线可以通过参数方程的形式来表示，这种表示方式可以使得直线的方程更加简洁和直观。
一般而言，一条直线在参数方程中可以表示为x=at+b，y=ct+d，其中a、b、c、d 是常数。
通过给定不同的参数值，我们可以得到直线上的不同点，从而构成整条直线。
3. 参数方程与曲线的关系参数方程在描述曲线时可以给出曲线上每个点的坐标，从而实现对曲线形状的准确描述。
例如，给定一个参数方程 x=f(t)，y=g(t)，通过给定不同的参数 t 值，我们可以获得曲线上的不同点的坐标。
参数方程不仅可以表达直线，还可以表达各种曲线，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。
4. 参数方程的转换和应用有时候，我们需要将参数方程转换为直角坐标方程，或者将直角坐标方程转换为参数方程。
对于参数方程转换为直角坐标方程，我们可以通过将参数方程中的参数表示用 x、y 表示，然后通过联立方程求解得到直角坐标方程。
而对于直角坐标方程转换为参数方程，我们可以通过引入参数来对直角坐标进行参数化，从而得到参数方程。
5. 参数方程与面积的计算通过参数方程，我们还可以计算曲线所围成的面积。
对于曲线上的两个相邻点 P 和 Q，我们可以用线段 PQ 所围成的面积近似代替曲线围成的面积，并且随着线段 PQ 的长度逐渐缩小，所得到的近似值也会越来越接近实际面积。
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高考数学直线的参数方程知识点
在高中数学的学习中，直线是一个重要的概念。
直线的表示形式
有很多种，其中参数方程是一种常见的表达方式。
在高考数学中，直
线的参数方程是一个常考的知识点。
本文将围绕直线的参数方程展开
讨论，介绍其相关概念以及解题方法。
一、什么是直线的参数方程？
直线的参数方程是通过引入参数来表示直线上各个点的坐标关系
的一种方法。
通常情况下，直线的参数方程由两个参数和两个参数函
数组成。
其中，参数函数表示直线上点的横坐标与参数的关系，另一
个参数函数表示直线上点的纵坐标与参数的关系。
具体地说，对于直线上任意一点P(x, y)，我们可以用参数t来
表示这个点的位置。
假设直线上某一点为A(x1, y1)，那么直线上任意一点P(x, y)的坐标可以通过下面的关系式计算得到：
x = x1 + at
y = y1 + bt
其中，a和b是直线的方向向量。
二、直线的参数方程与一般方程的转换
在解题过程中，我们有时需要将直线的参数方程转换成一般方程，或者将一般方程转换成参数方程。
下面我们分别介绍这两种转换方式。
1. 参数方程转换成一般方程
将直线的参数方程转换成一般方程的关键在于消去参数t。
假设直线的参数方程为：
x = x1 + at
y = y1 + bt
我们可以通过以下步骤将其转换成一般方程：
（1）将t表示出来，得到t的表达式：
t = (x - x1) / a
（2）将t的表达式代入另一个参数函数，得到关于y的表达式：
y = y1 + b((x - x1) / a)
（3）整理化简，即可得到一般方程。
2. 一般方程转换成参数方程
将一般方程转换成参数方程的关键在于引入参数t，并根据直线上任意一点P(x, y)与已知点A(x1, y1)的坐标关系，建立参数方程。
假设一般方程为Ax + By + C = 0，直线上已知点为A(x1, y1)。
我们可以通过以下步骤将其转换成参数方程：
（1）建立关于x和t的参数方程：
x = x1 + t
（2）根据一般方程，将y用x和t表示出来：
y = y1 - (A / B)(x1 + t)
（3）整理化简，即可得到参数方程。
三、解题方法与技巧
在解题过程中，我们可以通过直线的参数方程来求解与另一条直线的交点、直线的距离、直线之间的夹角等问题。
1. 求解交点
当已知两条直线的参数方程时，我们可以通过解方程组的方法求解它们的交点。
具体步骤如下：
（1）将两条直线的参数方程分别代入方程组中，得到关于参数t 的方程。
（2）解方程组，求解参数t的值。
（3）将参数t的值代入任意一条直线的参数方程，计算出交点的坐标。
2. 求解距离
当已知一条直线的参数方程以及一个点坐标时，我们可以通过计算点到直线的距离来求解。
具体步骤如下：
（1）将点的坐标代入直线的参数方程中，得到关于参数t的方程。
（2）解方程，求解参数t的值。
（3）将参数t的值代入点到直线的距离公式，计算出距离。
3. 求解夹角
当已知两条直线的参数方程时，我们可以通过直线的方向向量求解它们的夹角。
具体步骤如下：
（1）计算两条直线的方向向量。
（2）计算两个方向向量的内积。
（3）利用内积的定义，求解出夹角的余弦值。
（4）根据余弦值求解夹角。
以上是解题方法与技巧的简要介绍，希望对大家理解直线的参数方程有所帮助。
结语
直线的参数方程是高考数学中的一个重要知识点，理解掌握该知识点对于解题有着重要的意义。
通过本文的介绍，相信大家已经对直线的参数方程有了初步的了解，并掌握了解题方法与技巧。
在备战高考的过程中，希望大家能够多加练习和总结，提升自己的数学水平，顺利完成高考。