直线的参数方程
选修4-4 第五节几种常见的参数方程
x＝1＋2cos t， (0≤t≤π)，把它化为普通 y＝－2＋2sin t
方程，并判断该曲线表示什么图形．
所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
例2
已知圆的普通方程为
x2＋y2＋2x－6y＋9＝0， 将它化为参
轴上，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1， 25 16 x＝4cos θ ， 故参数方程为 (θ 为参数)． y＝5sin θ
y2
x2
（x－1）2 （y＋2）2 1． 写出圆锥曲线 ＋ ＝1 的 3 5
例1
x＝5＋3t， 设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(1)求直线的普通方程； (2)化参数方程为标准形式．
解析：(1) 4x＋3y－50＝0.
3 4 4 k tan (2) 3 cos α ＝－ ，sin α ＝ . 5 5 3 x＝5－ u， 5 则参数方程的标准形式为： 4 y＝10＋ u. 5
例 3 已知直线 l 的方程为 3x－4y＋1＝0，点 P(1，1)在 直线 l 上，写出直线 l 的参数方程，并求点 P 到点 M(5，4)和 点 N(－2，6)的距离．
3 解析：由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为 ，设直线的 4 3 3 4 则 tan α ＝ ，sin α ＝ ，cos α ＝ . 4 5 5
制作人：葛海泉
课前预习
1.பைடு நூலகம்线的参数方程
x＝x0＋tcosα ， 1． 经过点 M0(x0， y0)， 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 y＝y0＋tsinα
(t 为参数)．
t0
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用直线的参数方程及应用直线参数方程的标准式过点P(x,y)，倾斜角为α的直线l的参数方程是x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(x,y)为直线上的任意一点。
直线l上的点与对应的参数t是一一对应关系。
若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2 = t2 - t1，|P1P2| = |t2 - t1|。
若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3，则P1P2中点P3的参数为t3 = (t1 + t2)/2，|PP3| = |(t1 + t2)/2|。
若P为P1P2的中点，则t1 + t2 = 0，t1·t2 < 0.直线参数方程的一般式过点P(xb,y)，斜率为k = a的直线的参数方程是x = x + aty = y + bt其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xb,y)为直线上的任意一点。
直线的参数方程给定点P(xl,y)，倾斜角为α，求经过该点的直线l的参数方程。
直线l的参数方程为x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
特别地，若直线l的倾斜角α = 90°，直线l的参数方程为x = x + ty = y其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
2、直线的参数方程与标准形式如果直线的方向已知，那么可以使用参数方程来表示直线。
对于倾斜角为 $\alpha$，过点 $M(x,y)$ 的直线 $l$，其参数方程一般式为：begin{cases}x=x_M+t\cos\alpha \\y=y_M+t\sin\alphaend{cases}其中 $t$ 是参数，表示从点 $M$ 沿着直线 $l$ 方向前进的距离。
如果要将参数方程转化为标准形式，可以通过以下步骤：1.消去参数 $t$，得到 $y-y_M=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(x-x_M)$。
直线的参数方程
直线的参数方程（1）直线的标准参数方程：经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）；性质：（2）直线的一般参数方程：过定点，且其斜率为的直线的参数方程为： 性质：（为参数，为为常数，）例1.把y=2x+3化为参数方程。
变式：直线l 的方程：1sin 252cos 25x t y t ì=-ïí=+ïî（t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°例2. 已知直线l：15x t y ì=+ïíï=-î (t 为参数)与直线m：0x y --=交于P 点， 求点M(1,－5)到点P 的距离.例3：已知直线L过点M（1，1），且倾斜角的余弦值为35，L与圆229x y+=交与A，B，且AB中点为C（1）求L的参数方程（2）求中点C所对应的参数t及C点坐标（3）求|CM|（4）求|AM|（5）求|AB|（6）求|MA|+|MB|（7）求|MA||MB|二、根据t的式子求解1．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线经过点，倾斜角．（Ⅰ）写出圆的标准方程和直线的参数方程；（Ⅱ）设与圆相交于、两点，求的值．2．在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线交于点．若点的坐标为（3，），求．3．在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为（Ⅰ）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点作斜率为1直线与圆交于两点，试求的值．4．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线的参数方程为 （为参数），与分别交于． （Ⅰ）写出的平面直角坐标系方程和的普通方程； （Ⅱ）若成等比数列，求的值．5．已知圆锥曲线（为参数）和定点，、是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线的直角坐标方程； （2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值．6.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB =求l 的斜率.圆的参数方程已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：（是参数，）；1.在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos r q =，0,2p q 轾Î犏臌. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.椭圆的参数方程椭圆（）的参数方程（为参数）。
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用1、 直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααs i n c o s00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)为直线上任意一点.P 0P=t ∣P 0P ∣=t(2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1,∣P 1P 2∣=∣t 2(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t +2.直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为ab k =的直线的参数方程是:⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 （t 为参数） 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,例2：化直线2l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-= t313y t x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角， 说明∣t ∣的几何意义.例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y tx 233211（t 为参数）和方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.例5：已知直线l 过点P （2，0），斜率为34，直线l 和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点， 设线段AB 的中点为M,求：(1)P 、M 两点间的距离|PM|;(2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|例6：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π， (1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ |； (2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积.例7：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.xy ,)例8：已知椭圆134)1(22=+-y x ，AB 是通过左焦点F 1的弦，F 2为右焦点， 求| F 2A |·| F 2B |的最大值.方法总结：利用直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数），给研究直线与圆锥曲线C ：F(y x ,)=0的位置关系提供了简便的方法.一般地，把l 的参数方程代入圆锥曲线C ：F(y x ,)=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，)(t f =0, 1、(1)当Δ<0时，l 与C 相离；(2) 当Δ＝0时，l 与C 相切；(3) 当Δ>0时，l 与C 相交有两个交点；2、 当Δ>0时，方程)(t f =0的两个根分别记为t 1、t 2，把t 1、t 2分别代入l 的参数方程即可求的l 与C 的两个交点A和B 的坐标.3、 l 被C 截得的弦AB 的长|AB|＝|t 1－t 2|；P 0A ·P 0B= t 1·t 2；弦AB 中点M 点对应的参数为221t t +；| P 0M |=221t t +基础知识测试1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l 的标准参数方程.2、 直线l 的方程：⎩⎨⎧+=-= 25cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°3、 直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=ty t x 521511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是( )A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－21) C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 214、 已知直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P 分线段BA 所成的比为λ（λ≠－1），则P 所对应的参数是 .5、直线l ：⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣B 22b a +∣t 1－t 2∣C 2221b a t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣6、 已知直线l ：⎩⎨⎧+-=+= t351y tx (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点M(1,－5)到点P 的距离.7、 直线⎩⎨⎧+-=+=t21y t x (t 为参数)与椭圆8222=+y x 交于A 、B 两点，则|AB|等于( ) 8、直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与二次曲线A 、B 两点，则|AB|等于( )A |t 1+t 2|B |t 1|＋|t 2|C |t 1－t 2| D221t t +9、 直线⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=t211212y t x (t 为参数)与圆122=+y x 有两个交点A 、B ，若P 点的坐标为(2,-1),则|PA|·|PB|=10、过点P(6, 27)的直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t 2726y t x 与抛物线y 2=2x 相交于A 、B 两点，则点P 到A,B 距离之积为 11.直线⎩⎨⎧-=+=20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 .。
直线的标准参数方程
直线的标准参数方程直线是平面几何中的基本图形之一，它具有许多重要的性质和应用。
在直角坐标系中，直线的方程有多种表示形式，其中标准参数方程是一种常用的形式。
本文将介绍直线的标准参数方程的定义、推导方法和应用示例。
一、定义。
直线的标准参数方程是指用参数形式表示直线的方程。
设直线L上有一点P(x, y)，则点P到直线L上某一固定点A的距离与点P到直线L的方向垂直的距离成比例。
这里引入参数t，点P的坐标可以表示为x=x0+mt，y=y0+nt，其中m和n是常数，称为参数。
二、推导方法。
1. 已知直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求直线的标准参数方程。
设直线上任一点P(x, y)，则向量AP=(x-x1, y-y1)，向量AB=(x2-x1, y2-y1)。
由于向量AP与向量AB垂直，根据向量的垂直条件可得(x-x1, y-y1)·(x2-x1, y2-y1)=0，展开得到(x-x1)(x2-x1)+(y-y1)(y2-y1)=0，整理可得直线的标准参数方程。
2. 已知直线的斜率k和截距b，求直线的标准参数方程。
直线的斜率k定义为k=(y2-y1)/(x2-x1)，截距b定义为y=kx+b。
将y=kx+b代入直线方程中，整理可得x=(x1-kt)/(1-k)，y=(y1-kt)/(1-k)，即为直线的标准参数方程。
三、应用示例。
1. 求直线通过两点A(1, 2)和B(3, 4)的标准参数方程。
根据推导方法1，代入已知点的坐标得到(x-1)(3-1)+(y-2)(4-2)=0，整理得到直线的标准参数方程。
2. 求直线的斜率为2，截距为3的标准参数方程。
根据推导方法2，代入已知斜率和截距得到x=(1-2t)/(1-2)，y=(2-2t)/(1-2)，即为直线的标准参数方程。
综上所述，直线的标准参数方程是一种常用的表示形式，通过已知直线上的点或斜率和截距可以求得直线的标准参数方程。
在实际问题中，标准参数方程可以方便地描述直线的性质和运动规律，具有重要的应用价值。
直线参数方程标准形式
直线参数方程标准形式直线是平面几何中的基本概念，而直线的参数方程标准形式是描述直线的一种重要方式。
在学习直线参数方程标准形式之前，我们首先要了解直线的一般方程和点斜式方程，这样才能更好地理解参数方程标准形式的概念和应用。
一、直线的一般方程和点斜式方程。
1. 直线的一般方程。
直线的一般方程通常表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不全为零。
这种形式的方程可以表示任意一条直线，但并不直观，不利于直线的直观理解和运用。
2. 直线的点斜式方程。
直线的点斜式方程通常表示为y y1 = k(x x1)，其中(x1, y1)为直线上的一点，k 为直线的斜率。
点斜式方程直观地表示了直线的斜率和一点坐标，更容易理解和使用。
二、直线参数方程标准形式。
直线的参数方程标准形式是另一种描述直线的方式，它的形式为：x = x1 + at。
y = y1 + bt。
其中(x1, y1)为直线上的一点，a和b为参数。
直线的参数方程标准形式比点斜式方程更加灵活，可以更直观地描述直线的方向和位置。
三、直线参数方程标准形式的应用。
1. 直线的平行和垂直关系。
通过直线的参数方程标准形式，我们可以很容易地判断两条直线是否平行或垂直。
如果两条直线的参数a和b分别成比例，那么它们平行；如果两条直线的参数a和b的乘积为-1，那么它们垂直。
2. 直线的交点。
两条直线的交点可以通过它们的参数方程标准形式求解。
将两条直线的参数方程联立，解出交点的坐标，即可得到它们的交点。
3. 直线的平移和旋转。
直线的参数方程标准形式可以很方便地描述直线的平移和旋转。
对参数a和b进行变换，即可得到平移或旋转后的直线方程。
四、总结。
直线的参数方程标准形式是描述直线的一种重要方式，它比一般方程和点斜式方程更加灵活和直观。
通过参数方程标准形式，我们可以更方便地判断直线的性质、求解直线的交点，以及描述直线的平移和旋转。
因此，掌握直线参数方程标准形式对于理解和运用直线的性质具有重要意义。
直线的参数方程怎么求直线的参数方程及其推导过程直线的参数方程t的意义
直线的参数方程：过定点倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）。
过定点倾斜角为α的直线的参数方程为（t为参数）。
直线的参数方程及其推导过程：设e是与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0)或向右（l的倾斜角为0）的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同）．直线l的倾斜角为α，定点M0、动点M的坐标分别为直线的参数方程中参数t的几何意义是：表示参数t对应的点M 到定点Mo的距离，当同向时，t取正数；当异向时，t取负数；当点M与Mo重合时，t=0．直线参数方程何时必须化为标准形式在求解直线与圆相交得到的弦的长度问题时，可以采用的思路很多：①利用几何方法，即利用弦心距、半弦长、半径组成的Rt△Rt△来求解决；②弦长公式，即|AB|=1+k2−−−−−√⋅|x1−x2||AB|=1+k2⋅|x1−x2|来求解；③利用直线的参数方程的参数的几何意义来求解；从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。
求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行；有无穷多解时，两直线重合；只有一解时，两直线相交于一点。
常用直线向上方向与 X 轴正向的夹角（叫直线的倾斜角）或该角的正切（称直线的斜率）来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。
可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。
直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。
直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。
在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。
因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。
直线标准参数方程
直线标准参数方程
x
《直线标准参数方程》
直线的标准参数方程是一种几何形式，用于描述直线的性质，表示直线的位置，方向，长度，以及与其他直线之间的关系。
它可以用一个公式表示，为：
Ax + By + C = 0
其中，A，B和C是实数，A和B不能同时为零。
当A和B都不为0时，以A和B确定直线的斜率，C确定直线与原点的距离。
在这里，A，B，C的取值受到斜率和距离的限制，且有一定的规律：
（1）当A，B和C都不为0时，C的符号取决于斜率是否小于1，即：
①当斜率小于1时，C为正；
②当斜率大于1时，C为负。
（2）当A或B不为0时，当斜率大于或小于1时，A，B及C的符号可能不一定；
（3）当A不为0而B为0时，A为正，C，B及C不一定。
符号及规律只影响参数A，B，C的取值，不影响直线的位置，方向和长度。
因此，直线的标准参数方程可以表示为：Ax + By + C = 0，它
与斜率和距离之间有着紧密的联系，且可根据斜率及距离的不同来决定A，B和C的取值。
直线的参数方程
在工程中，直线参数方程被广泛应用于机械设计、土木工程等领域。例如，在机 械设计中，直线参数方程可以用来描述机器的运动轨迹；在土木工程中，直线参 数方程可以用来描述建筑物的轮廓线。
物理应用
在物理学中，直线参数方程也被广泛应用于描述运动轨迹和实验数据。例如，在 研究物体的运动时，直线参数方程可以用来描述物体的位置和速度随时间的变化 。
通过两点确定直线
对于通过两点的直线，参数方程可以表示为 `x = tcosθ + ρcosθ`, `y = tsinθ + ρsinθ`，其中t为参数，θ为角度，ρ为距离。
斜截式
对于斜截式直线，参数方程可以表示为 `x = ty + b`, `y = t`，其中t为参数，b 为截距。
应用直线参数方程解决实际问题
向量推导的应用
利用向量推导直线参数方程，可以直观地理解直线的方向和位置 ，为解决几何问题提供方便。
使用点斜式推导直线参数方程
点斜式的定义
点斜式是直线方程的一种形式，它表示直线通过 某一点且与该直线的斜率有关。
点斜式的推导
通过点斜式的定义，推导出直线参数方程的系数 ，并得到点斜式对应的参数方程。
点斜式的应用
直线参数方程在几何中的应用
直线的平行和垂直判定
利用参数方程求解直线的斜率和 截距
直线的参数方程可以用来表示直 线上的点，其应用包括
直线与圆、椭圆的交点求解
通过引入参数，直线的参数方程 可以将直线上的点坐标表示为参 数的函数，从而简化了直线相关 的几何问题的求解
直线参数方程在物理中的应用
直线的参数方程可以 用于描述物理学中的 波的传播和运动轨迹 ，其应用包括
机械工程中的机构运动学分析
直线的参数方程
1.运动(一般)式：
x y
x0 y0
vx vy
t t
(t为参数) (t为时间)
vy
M(x,y)
vx
M0(x0,y0)
2.数量(标准)式：
(t为参数) M0(x0,y0)
(t为数量)
M(x,y)
x
注1.区分： 运动特例数量式 非负为1平方和
运动(一般)式
x y
x0 y0
at bt
数量(标准)式 a2 b2 1
x y
1 2t at 2 .
,(t为为参参数
,aa∈ R
)) ,且点M(5,4)在C
则常数a=__1_____
(4)若曲线M:
x
y
sin cos 2
A.(2,7)
B. (1 , 1) 32
(θ为参数) ,则在M上的点是
C. (1 , 1) 22
【C】 D.(1,0)
二、直线的参数方程
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
M(ρ,θ)
ep
F
x
1 e cos
注1：椭圆(双曲线)的焦参数 p b2c注2：若AB为焦源自弦，则|AB|
2ep
1 e2 cos2
;
1 1 2 | AF | | BF | ep
二、以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：
cos 20
数形结合巧转化 类比三角辅助角
除以振幅正余弦 同＋异－纵为正
(7)将直线的普通方程 x 3y 1 0 改写成参数方程
析①
：直线的参数方程为
x
y
x0 y0
t t
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A.20
o
B.70oC.110源自oD.160o
??? 我们是否可以根据t的值来确定向量 M0M
我们知道e是直线l的单位方向向量，那 么它的方向应该是向上还是向下的？还
M0 M
的方向呢?
是有时向上有时向下呢？ 分析: 此时 , 若 t>0, 则 是直线的倾斜角， 当0< < 时,sin >0 0 M 的方向向上; M 又 sin 表示e的纵坐标， e 的纵坐标都大于 0 若 t<0, 则 那么e的终点就会都在第一，二象限， e的方向 ; M0 M的点方向向下 若t=0,则M与点 就总会向上。 M0重合.
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y
M(-1,2)
O
B
x
例 例 11.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 交于 A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
2
两点的距离之积。
解:因为把点M的坐标代入直线方 程后,符合直线方程,所以点M A 在直线上. 3 易知直线的倾斜角为 4 所以直线的参数方程可以写成 3 x=-1+tcos 4 (t为参数） y 2 t sin 3 4
3 x=2+ t x 3t 2 5 ( t 为参数） ( t 为参数） y 4t 1 y 1 4 t 5
x t cos x 4 2cos 5.直线 (t为参数）与圆 y t sin a y 2sin (为参数）相切，则直线倾斜角 为( )
5 5 3 2 D. 或 A. 或 C. 或 B. 或 6 6 6 6 3 3 4 4
x 4 at 2 2 6.如直线 (t为参数）与曲线x y 4 x y bt 2 1 0相切，则这条直线的倾斜角等于 或
3 3
x t sin 20 3 1。直线 (t为参数）的倾斜角是 o y t cos 20
x x0 at (t为参数） y y0 bt
当a b 1时，t有明确的几何意义，它表示 M 0 M
2 2
此时我们可以认为a cos , b sin . 为倾斜角。 当a b 1时，t没有明确的几何意义。
2 2
）
t1 t2 A. 2
t1 t2 B. 2
|t1 t2 | C. 2
| t1 t2 | D. 2
小结:
1.直线参数方程
x x0 at (t为参数） |t|=|M0M| t 才具有此几何意义 y y0 bt 其它情况不能用。
3.注意向量工具的使用.
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义, 简化求直线上两点间的距离 2 2.
要注意: y y0 tan ( x x0 ) 解: 直线的普通方程为 x0, y0 都是常 sin
把它变成y y0
求这条直线的方程.
求这条直线的方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则 （x, y) ( x0 y0 ) ( x x0 , y y0 ) M 0M y 设 e是直线l的单位方向向量，则 M(x,y) e (cos ,sin ) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t R, M0(x0,y0) 使M 0 M te,即 ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) e x x0 t cos , y y0 t sin 所以 即，x x0 t cos , y y0 t sin (cos ,sin ) 所以，该直线的参数方程为 O
所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直 这就是t的几何 意义 ,要牢记M 的 线上动点 M到定点 0 距离. |t|=|M0M|
e
O
x
2 例 1 例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
x=x0 t cos 1.直线 (t为参数）上有参数分别 y y0 t sin a 为t1和t2对应的两点A和B,则A,B两点的距离为
A.t1 t2 B. t1 t2 C. t1 t2 D. t1 t2
练习
x a t cos 2。在参数方程 (t为参数）所表示 y b t sin 的曲线上有B,C两点，它们对应的参数值分别为 t2、t2 , 则线段BC的中点M对应的参数值是（
y
M(-1,2)
O
B
x
2 t x 1 2 即 (t为参数） A y 2 2 t 22 把它代入抛物线y=x 的方程,得
y
M(-1,2)
t 2t 2 0
2
O
B
x
由参数t的几何意义得
2 10 2 10 解得t1 ，t2 2 2
AB t1 t2 10
MA MB t1 t2 t1t2 2
探究
直线与曲线y f ( x)交于M 1 , M 2两点，对应的参数 分别为t1 , t2 . (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少？ （2）线段M 1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少？
(1) M 1M 2 t1 t2 t1 t2 (2)t 2
x x0 t cos （t为参数） y y0 t sin
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角，
x
思考
由M 0 M te, 你能得到直线l的参数方程中 参数t的几何意义吗？
y M M0
解: M 0 M te M 0 M te 又 e是单位向量， e 1 M 0M t e t
x=x0 t cos y y0 t sin
探究:直线的 参数方程形 (t是参数） 式是不是唯 一的
当a b 1时，
作业:p41第1题
预习:例2,例3.例4
1 x 1 t 2 3.一条直线的参数方程是 (t为参数）， y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 0, 则两直线的交点 与点（1，-5）间的距离是
直线的参数方程
请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些? y kx b y y k ( x x ) 点斜式: 0 0
y y1 x x1 两点式: y2 y1 x2 x1
x y 1 a b
一般式: Ax By C 0
y2 y1 k x2 x1
tan
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角，
( x x0 ) 数,t才是参cos y y0 x x0 进一步整理，得： 数 sin cos y y0 x x0 t 令该比例式的比值为t ,即 sin cos x=x0 t cos 整理，得到 (t是参数） y y0 t sin
4 3
4。求直线l : 4 x y 4 0与l1：x 2 y 2 0及直线 l2： 4 x 3 y 12 0所得两交点间的距离。
9 17 14
5.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.
辨析: 例:动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分 速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1), 求点M的轨迹的参数方程. 解: 请思考:此时的t x 1 9 t 有没有明确的几 (t为参数） 何意义? y 1 12t
没有
重要结论:
直线的参数方程可以写成这样的形式: