1.4分式的加法和减法---通分
八年级数学 第1章 分式 1.4 分式的加法和减法第2课时 分式的通分教学
1.4 分式(fēnshì)的加法和减法
第2课时 分式的通分
导入新课
12/9/2021
讲授( jiǎngshòu) 新课
当堂练习
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课堂小结
学习 目 (xuéxí) 标
1.会确定几个分式的最简公分母；（重点） 2.会根据(gēnjù)分式的基本性质把分式进行通分.
（重点、难点）
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讲授新课
一 分式的通分
问题(wèntí)1：
通分： 7 与 1 12 8
解：7 7 2 14 12 12 2 24
1 1 3 3 8 8 3 24
最小公倍数：24
通分的关键是确 定几个分母的最
小公倍数
分数的通分：把几个(jǐ ɡè)异分母的分数化成同分母的
知识(zhī shi) 要点
分式的通分(tōng fēn)的 定义
与分数的通分类似，根据分式的基本性质，使分子、
分母同乘适当的整式（即最简公分母），把分母不
相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式
的通分.如分式 a b 与 2 a - b 分母分别是ab,a2,通
ab
a2
分后分母都变成了a2b.
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典例精析
例1 找出下面(xiàmian)各组分式最简公分母：
(1)
3 与ab； 2a2b ab2c
2 a 2 b2c
最简公分母
最小公倍数
最高次幂
单独(dāndú)字 母
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(2) 2x 与 3x . x5 x5
（ 1 x 5）（ 1 x 5）
分式整章知识点总结
分式整章知识点总结一、基本概念1.分式的定义分式是指两个整数或者两个多项式的比值构成的数。
通常表示为a/b，其中a和b为整数，b不等于0。
a称为分子，b称为分母。
2.分式的分类根据分子和分母的关系，分式可以分为真分式、假分式和带分式。
- 真分式：分子的绝对值小于分母的绝对值。
- 假分式：分子的绝对值大于分母的绝对值。
- 带分式：分子的绝对值大于等于分母的绝对值，可以表示为整数部分和真分式部分的和，形如a+b/c的形式。
3.分式的简化分式的简化是指将分子和分母约去它们的公因数，使得分子和分母互质的过程。
简化后的分式要比原式更加简洁，更利于运算。
二、分式的性质1.分式的相等性分式a/b和c/d相等的条件是ad=bc。
即分子的积等于分母的积。
2.分式的倒数分式a/b的倒数是b/a。
3.分式的相反数分式a/b的相反数是-a/b。
4.分式的整除性分式a/b可以整除c/d的条件是ad可以整除bc。
5.分式的乘法分式a/b和c/d的乘积是ac/bd。
6.分式的除法分式a/b除以c/d等于a/b乘以d/c。
7.分式的加法分式a/b和c/d的加法是(ad+bc)/bd。
8.分式的减法分式a/b减去c/d等于(ad-bc)/bd。
三、分式的运算规则1.分式的乘法和除法分式的乘法和除法遵循乘法交换律和结合律的原则。
在计算分式的乘法和除法时，我们需要将分子和分母分别进行运算。
2.分式的加法和减法分式的加法和减法同样满足交换律和结合律。
在计算分式的加法和减法时，需要先通分，然后对分子进行加减运算。
3.分式的混合运算分式的混合运算是指在同一个表达式中包含加、减、乘、除等多种运算符号的运算过程。
在进行分式的混合运算时，我们需要遵循运算法则，先乘除后加减，按照顺序逐步进行计算。
四、分式的应用1.分式在方程中的应用在代数方程中，分式经常会出现在方程的解中。
例如在二次方程、分式方程等中，分式的运算和化简是解题的关键。
2.分式在比例和百分数中的应用比例和百分数是数学中常见的应用题型，其中分式经常会被用到。
湘教版-数学-八年级上册-湘教版八年级上册1.4分式的加法和减法
2 x2 1
分子相减时， “减式”要配括号！
计算 :
1 原式 (x x2()1()x2x21) 2(x xx21)(2x ;2)
( x 2) ( x 2)
x 2x 2
2x
(x x2)22(xx
2)
4
(2)
x x
2 2
x x
2 2
计算 :
(2) x 2 x 2
解：原式=
x2 x2
a2 3b 2
(4)
2 x
5 3x
3 4y
例题解析 吃透例题 , 成功一半 先找出各分式中分
例2 计算： 1 1 x 1 x 1
母的公分母，再正 确通分，转化为同 分母的分式相加减。
解：原式=
x 1 (x 1)(x 1)
(x
x 1 1)(x 1)
(x 1) (x 1) (x 1)(x 1)
x 1 x 1 2 x2 1 x2 1
a 2a
2. x 3 ( 5 x 2) 2x 4 x 2
3.
x2
x2 4x
4
x2
x
2x
•
x
4 x
4.
4a 2 a2
a
8a 2
a a
1 1
a a
1 1
1.解法一：
a a2
2 2a
a
2
a
1 4a
4
4 a2
a 2a
a2 4 a(a 1) • a2 2a
a (a 1)(a 1)
1
a
a
(a
1)(a
1)
a1
a(a 1) a(a 1)
a1 a1
五、课后练习
湘教版数学八年级上册1.4《分式的通分》教学设计
湘教版数学八年级上册1.4《分式的通分》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级上册1.4《分式的通分》是分式章节中的一个重要内容。
本节课主要让学生掌握分式通分的方法和技巧，理解分式通分的意义，为后续的分式运算打下基础。
本节课的内容包括：分式通分的概念、通分的方法、通分的技巧等。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了分式的基本概念，分式的加减法运算。
他们对分式有一定的认识，但通分这个概念对他们来说较为抽象，需要通过实例来理解。
在通分的方法和技巧上，学生需要通过练习来掌握。
三. 教学目标1.了解分式通分的概念，理解分式通分的意义。
2.掌握分式通分的方法和技巧，能够独立完成通分操作。
3.能够应用分式通分解决实际问题，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：分式通分的概念，通分的方法和技巧。
2.难点：理解分式通分的意义，掌握通分的技巧。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，通过设置问题引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
2.使用案例分析法，通过具体的例子让学生理解分式通分的概念和方法。
3.运用练习法，让学生在实践中掌握通分的技巧。
4.采用小组合作学习法，让学生在小组讨论中互相学习，共同提高。
六. 教学准备1.PPT课件：制作与本节课内容相关的PPT课件，包括概念讲解、方法介绍、实例分析等。
2.练习题：准备一些分式通分的练习题，用于巩固所学知识。
3.小组讨论材料：准备一些关于分式通分的小组讨论题目，让学生在讨论中学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过设置问题：“为什么我们需要通分？通分有什么作用？”引导学生思考分式通分的重要性。
让学生意识到通分是分式运算的基础。
2.呈现（15分钟）讲解分式通分的概念，介绍通分的方法和技巧。
通过PPT课件展示实例，让学生直观地理解通分的操作过程。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些分式通分的练习题。
在练习过程中，引导学生运用所学的方法和技巧，巩固知识点。
4.巩固（5分钟）对学生的练习进行讲评，指出错误和不足之处，再次强调通分的方法和技巧。
八年级数学 第1章 分式 1.4 分式的加法和减法 第2课时 分式的通分
(2)m＋3 n，m－7 n，m2＋2m1 n＋n2；
解
：
最
简
公
分
母
是
(m
＋
n)2(m
－
n)
，
∴
3 m＋n
＝
3m＋nm－n m＋n2m－n
，
7 m－n
＝
m＋7mn＋2mn－2 n，m2＋2m1 n＋n2＝m＋mn－2mn －n；
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第六页，共八页。
(3)4x＋3 3y，－9y＋212x，9y2－116x2. 解：最简公分母是 3(4x＋3y)(4x－3y)，∴4x＋3 3y＝34x9＋43xy－43xy－ 3y，－
2x＋1 2y＝
x－y 2x＋yx－y；
(3)a2＋61a＋9，2aa＋6，a2－2 9； 解：最简公分母是 2(a＋3)2(a－3)，∴a2＋61a＋9＝2a＋2a3－23a－3，2aa＋6＝
2aaa＋＋332aa－－33，a2－2 9＝2a＋4a3＋23a－3； (4)a＋a2 2，a＋2. 解：1最2/9/简202公1 分母是 a＋2，∴a＋a2 2＝第四a页＋a，共2八2页，。 a＋2＝a＋1 2＝aa＋＋222.
通分时，一般取各分母的所有因式的 最高次幂的积 母，这样的公分母称为 最简公分母 .
作为公分
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1．将分式1x，2y，31x通分后，它们分别变为
3y 3xy
6x 、 3xy
、
y 3xy
.
2．分式2a42b，abc2，85bac3的最简分公母是 8a2bc3 .
3．通分：
2018秋季 12/9/2021
Байду номын сангаас
分式的加法运算
分式的加法运算分式是数学中常见的表达形式，用于表示两个数的比值或一个数的部分。
在分式中，分子表示被除数，分母表示除数，分子与分母之间用横线隔开。
分式的加法运算是指将两个分式进行相加，得到一个新的分式。
一、分式的基本形式分式的基本形式为：$\frac{a}{b}$，其中a表示分子，b表示分母。
分式也可以是一个整数，例如：$\frac{3}{1}$表示整数3。
二、相同分母的分式相加当两个分式的分母相同的时候，可以直接将它们的分子相加，分母保持不变。
例如：$\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=\frac{2+4}{3}=\frac{6}{3}$。
三、不同分母的分式相加当两个分式的分母不相同的时候，需要通过通分将它们的分母变为相同的，然后再进行相加。
通分是指找到一个新的分母，使得原来的两个分母都能整除这个新的分母。
1. 找到两个分母的最小公倍数（简称最小公倍数，LCM），作为新的分母。
2. 对于每个分式，需要乘以一个适当的数使得分母变为最小公倍数。
3. 将新的分母作为公共分母，将分子相加。
例如：$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$，最小公倍数为6。
需要将$\frac{1}{2}$的分子乘以3，将$\frac{2}{3}$的分子乘以2，得到$\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=\frac{3+4}{6}=\frac{7}{6}$。
四、分式的加法运算规则1. 分母相同的分式直接相加，分母不变。
2. 分母不同的分式，需要进行通分，使得分母相同后再相加。
3. 通分时，分子按照分母的比例进行相应倍数的扩展。
五、分式的加法运算示例1. $\frac{1}{4}+\frac{2}{5}$通分，最小公倍数为20。
$\frac{1}{4}$的分子乘以5，$\frac{2}{5}$的分子乘以4。
$\frac{1}{4}+\frac{2}{5}=\frac{1\times5}{4\times5}+\frac{2\times4}{5\ti mes4}=\frac{5}{20}+\frac{8}{20}=\frac{13}{20}$2. $\frac{3}{8}+\frac{2}{3}$通分，最小公倍数为24。
分式及其运算
分式及其运算
一、分式的概念
分式是用一个数除以另一个非零数所得的商。
分式由分子和分母两部分组成,用斜线"/"或水平线"—"隔开,如3/5或3—5。
其中,分子是被除数,分母是除数。
二、分式的基本运算
1. 分式的加减法
- 同分母分式的加减法:只需将分子相加或相减,分母保持不变。
- 异分母分式的加减法:先通分,使分母相同,再将分子相加或相减。
2. 分式的乘法
- 分式相乘时,分子相乘,分母相乘。
3. 分式的除法
- 分式除法可以通过乘以另一个分式的倒数来实现。
4. 分式的化简
- 分子和分母都除以它们的最大公因数,可以化简分式。
三、分式的应用
分式在日常生活和学习中有广泛的应用,例如:
1. 计算比例和百分比
2. 表示概率
3. 解决实际问题(如分配任务、计算利息等)
通过掌握分式的运算规则和应用技巧,我们可以更好地理解和处理涉及分数的各种情况。
分式复习知识点总结
分式复习知识点总结一、分式的定义分式是指由一个整数或多项式作为分子，一个非零整数或多项式作为分母组成的表达式。
通常表示为a/b，其中a为分子，b为分母，a和b分别为整数或多项式，且b ≠ 0。
分式可以表示有理数，它可以是一个整数、分数或带分数。
二、分式的性质1. 分式的值可以是正数、负数或零，取决于分子和分母的符号。
2. 分式的分子和分母都可以约分，约分后的分式与原分式等值。
3. 分式中的分母不能为0，因为0不能做除数。
4. 分式可以化简为最简形式，即分子和分母没有公因数。
5. 分式可以进行加、减、乘、除以及简单化简等运算。
三、分式的简化对于分式a/b，若a和b有公因数，可以进行约分，使分子和分母互素，即没有公因数。
对于多项式分式，可以进行因式分解，将分子和分母都化为最简形式。
四、分式的运算1. 分式的加法和减法若a/b和c/d是两个分式，且b≠0，d≠0，则a/b + c/d = (ad+bc)/bda/b - c/d = (ad-bc)/bd2. 分式的乘法若a/b和c/d是两个分式，且b≠0，d≠0，则a/b × c/d = ac/bd3. 分式的除法若a/b和c/d是两个分式，且b≠0，c≠0，则a/b ÷ c/d = ad/bc4. 分式的混合运算先将分式化为最简形式，然后进行运算。
五、解分式方程分式方程指含有未知数的分式等式，解分式方程的关键是通分，将分式方程转化为多项式方程，然后求解。
六、分式的应用分式在实际生活中有着广泛的应用，例如在工程、物理、经济等领域都有着重要的作用。
在经济学中，分式可以用来表示利润、成本、收入等比例关系；在物理学中，分式可以用来表示速度、加速度、密度等物理量的关系；在工程学中，分式可以用来表示材料的混合比例、工程测量中的比例关系等。
在学习分式的过程中，要善于把分数化简成最简式，掌握有理数的运算法则，灵活运用有理数的基本性质，加强分数的认识和运用，掌握有理数的相关知识，对于解决有理数问题能够运用有理数的性质和基本运算规律。
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1.4分式的加减法（通分）
教学目标 ：
1.通分的意义，理解最简公分母的意义；
2.分式的通分法则，能熟练掌握通分运算
教学重点和难点：
教学重点：分式通分的理解和掌握。
教学难点 ：分式通分中最简公分母的确定。
教具准备：
多媒体课件
教学方法：启发式、讨论式
教学过程 ：
（一） 创设情景，复习导入
回顾异分母分数的加法和减法：
（1）看谁算得又快有准：（1）
（2）
=+3121=-3152
学生活动：讨论，并回答老师的问题，分数通分的依据是什么？
（2）思考并填空
(二)新课引入
1、类比分数的通分得到分式的通分： 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．
注意：通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等。
2．通分的依据：分式的基本性质．
3．通分的关键：确定几个分式的最简公分母．
通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
4.通过实例 教学生如何去找最简公分母 (三)练习
1.分组找以下题目的最简公分母
z
xy y x y x 2223--ac b a 323)1(2与c ab b a b a 2223)2(-与222222)3(y
x x y xy x xy -++与bc a ab 2631)1(=bc
a c a
b a 22622)2(=-
2.根据分式通分和最简公分母的定义， 将分式 和 通分 通过本例使学生对于分式的通分大致过程和思路有所了解。
让学生归纳通分的思路过程。
【例】通分
分析：让学生找分式的公分母，可设问“分母的系数各不相同如何解决？”，依据分数的通分找最小公倍数。
注意找准最简公分母
设问：对于分母为多项式的分式通分如何找最简公分母？
前面讲的是单项式，对于多项式首先应该对多项式因式分解，确定各分母所含的因子然后再确定最简公分母。
小结：当分母是多项式时，应先分解因式．
(四)课堂小结
1、分式通分的依据是什么？
2.分式通分的关键是什么？
3.如何确定最简公分母？
五．补充练习： x
21y 31
xy y x 41,3)1(2x
x x -21,1)2(x
x x 24,41)2(2--,54)1(2c b a .252ac b ,432b a c
六、作业
P27练习
P30 A 组第2题。