中心对称图形性质与图形面积等分
数学北师大版九年级上册中考专题：一分为二的乐趣 ----探索图形的面积等分问题
一分为二的乐趣
----探索图形的面积等分问题
西安市第三十四中学 张艳
---三角形的面积等分问题
探究一、 过顶点作一条直线使得直线平分三角形面积
A
A
B
C
B
C D
三角形任意一条中线所在直线等分 三角形面积 （等底同高）
闯关成功!
--中心对称图形面积等分问题
探究二、 作一条直线把矩形分成面积相等的两部分
除了这几种分法外，还
有其它分法吗？怎么分？
割补 原理
A E
O F B
积条 过 直矩 线形 都中 等心 分的 矩任 形意 的一 面
探究三、 作一条直线把平行四边形分成面积相等的 两部分
A
● ●
B
●
C
D
过平行四边形中心的任意 一条直线都等分它的面积。
探究四(1)、用一条直线将如下方角形两等 分
探究四(2)、用一条直线将如下方角形两等 分
闯关成功!
---梯形的面积等分问题
探究五、将梯形ABCD面积二等分
A D
B
C
A E O B
D
F
C
闯关成功!
沉淀升华
升华一、等分三角形面积
三角形中线
升华二、等分中心对称图形 过对称中心的直线
A D
升华三、等积转化
O
全等则面积相等 平行线间等积转化
B C
---特定条件下的面积等分问题
探究六、 过点P作一条直线使得直线平分三角形面积
A
Hale Waihona Puke BPCA
D
B P
C
A Q D
B P
C
沉淀升华四
未知已知化、一般特殊化
轴对称、中心对称图形的性质及应用
轴对称、中心对称图形的性质及应用一、轴对称图形如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．轴对称图形具有以下的性质：(1)轴对称图形的两部分是全等的；(2)对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线．在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等．另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．例1 已知直线l外有一定点 P，试在l上求两点A、B，使AB＝m(定长)，且PA＋PB最短．分析当把P点沿l方向平移至C(如图1)，使PC＝m，那么问题就转化为在l上求一点B，使CB＋PB为最短．作法过P作PC∥l，使PC＝m，作P关于l的对称点P＇，连结CP＇交l于B．在l上作AB＝m，点A、B为所求之两点．证在l上另任取A＇B＇＝m，连PA、PA＇、PB＇，CB＇，A＇P＇，B＇P＇，则PA＇＝P＇A＇，PB＇＝P＇B＇，又PA＇B＇C 为平行四边形，∴CB＇＝PA＇．∵CB＇＋B＇P＇＞CP＇，∴ PA＇＋PB＇＞PA＋PB．例2 如图2，△ABC中，P为∠A外角平分线上一点，求证：PB＋PC＞AB＋AC．分析由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结DP、CP，则DP＝CP，BD＝AB＋AC．这样，把 AB＋AC、AC、PB、PC集中到△BDP中，从而由PB＋PD＞BD，可得PB＋PC＞AB＋AC．证 (略)说明通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用(如AB＋AC化直为BD)．例3 等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于m，求此梯形的高．解如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF＝m．过AD、BC的中点M、N作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA＝OD，OB＝OC，AM＝DM，BN＝CN．又 AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM＝AD，2ON＝BC．∵AD＋BC＝2EF＝2m，∴2OM＋2ON＝2m．∴OM＋ON＝m，即梯形高MN＝m．例4 凸四边形EFGH的四个顶点分别在边长为a的正方形ABCD的四条边上．证如图4，连结AA2，EE3．正方形ABCD和正方形A1BCD1关于BC对称；EFGH和E1FG1H1关于BC对称；A1BCD1和A2B1CD1关于 CD1对称；E1FG1H1和 E2F1G1H2关于CD1对称；A2B1CD1和A2B2C1D1关于A2D1对称，E2F1G1H2和E3F2G2H2关于A2D1对称．例5 如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形．已知如图22－5．四边形ABCD中，M、F、N、E分别为各边的中点，且MN、EF为它的对称轴．求证 ABCD是矩形．分析欲证ABCD是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．证∵四边形ABCD关于EF成轴对称，∴DC⊥EF，AB⊥EF，∴AB∥DC．同理AD∥BC．∴ABCD是平行四边形．∴DC＝AB．又∵DE＝DC/2，AF＝AB/2．∴DE AF，∴ADEF为平行四边形．∴AD∥EF，而DE⊥EF，∴DE⊥AD，∠D＝Rt∠．∴ABCD是矩形．二、中心对称图形如果把一个图形绕着某一点旋转180°后，能和原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点叫做对称中心，能重合的点互为对称点．中心对称图形具有以下性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．(2)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等．平行四边形是中心对称图形．矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形．例6 如图6．已知ABCD，O是对角线 AC与BC的交点． EF过O点与AB交于E，与DC交于F．求证：OE＝OF．证∵O点是ABCD的对称中心，EF过O点与AB相交于E，与DC相交于F．故E、F两点是以点O为对称中心的对称点．∴OE＝OF．例7 △ABC中，底边BC上的两点M、N把BC三等分，BE是AC上的中线，AM、AN分BE 为a，b，c三部分，求：a∶b∶c．分析本题解法很多，我们利用中心对称图形求解．如图7，以E为中心，作已知图形的中心对称图形，则M＇C∥AM，N＇C ∥AN，于是可得a∶(2b＋2c)＝1/2，∴a＝b＋c，①(a＋b)∶2c＝DN＇∶N＇A＝2∶1，∴a＋b＝4c，②由①得，a－b＝c，③②＋③， 2a＝5c，∴a＝5c/2．②－③，2b＝3c，∴b＝3c/2．∴ a∶b∶c＝5c/2∶3c/2∶c＝5∶3∶2．解 (略)例8 若四边形的一组对边相等，延长这一组对边，使各与另一组对边的中点连线的延长线相交，则这两个交角必相等．已知如图8．四边形ABCD中， AD＝BC，E、F分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别与EF的延长线交于G、H．求证∠AGE＝∠BHE．分析为了使求证的两个角与已知条件发生联系，利用“旋转法”使角或线段搬家而沟通思路．证如图8，以E为对称中心，作△EBC的中心对称图形△EAM(即连结CE并延长CE到M 使EM＝EC，连结AM)．连结DM，AM＝BC＝AD，∴∠2＝∠3．∵DF＝FC，CE＝EM，∴DM∥HE，∴∠1＝∠2．∵AE＝EB， EM＝EC，∴AMBC是平行四边形．∴AM∥BH，而DA∥HE，∴∠3＝∠BHE．∴∠1＝∠BHE，即∠AGE＝∠BHE．习题1．如图9 一牧童在A处牧马，牧童家在B处．A、B处距河岸分别为300m、500m，CD ＝600m，天黑前，牧童从A点将马牵到河边去饮水后再赶回家．那么牧童最少要走多少米？2．证明：任一点关于正方形各边中点的对称点是一个正方形的顶点．3．求证：在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么它的面积等于AC·BD/2．4．在直线MN两侧有A，B两点，在MN上求一点P，使P到A、B两点之差最大．5．等腰梯形的周长为22cm，中位线长为 7cm，两条对角线中点连线为3cm，求各边长．。
轴对称图形中心对称图形的定义及性质
16章轴对称图形和中心对称图形轴对称1.如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形。
2.如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。
（对于一个图形来说）3.把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称。
这条直线就是对称轴。
两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点。
（对于两个图形来说）4.轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段相等，对应角相等。
中心对称5.把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称（central symmetry），这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
6.于中心对称的两个图形是全等形。
7.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
8.关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）垂直平分线9.经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。
垂直平分线，简称“中垂线”。
10.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
11.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
12.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。
13.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
14.到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
1st17章特殊三角形等腰三角形及等边三角形1.有两边相等的三角形是等腰三角形。
2.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。
3.三边都相等的等腰三角形是等边三角形。
4.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都为60°，5.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
初中数学 什么是几何中心和重心
初中数学什么是几何中心和重心初中数学：什么是几何中心和重心？在几何学中，几何中心和重心是描述图形特征和性质的重要概念。
它们帮助我们理解和分析不同图形的性质和关系。
本文将详细介绍几何中心和重心的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、几何中心的概念几何中心是指一个图形内部的一个点，该点与图形的各个部分有着特定的关系。
几何中心可以根据不同的图形和性质来定义。
下面介绍几何中心的几个常见定义：1. 三角形的几何中心三角形有多个几何中心，其中最常见的有以下三个：- 重心：三角形的重心是三条中线的交点，即三角形三个顶点与对边中点的连线的交点。
重心将三角形等分为六个面积相等的三角形。
它是三角形的重要几何中心，具有平衡和稳定的特征。
- 垂心：三角形的垂心是三条垂线的交点，即三角形的顶点到对边的垂线的交点。
垂心到三个顶点的距离相等，它是三角形内接圆圆心到三个顶点的连线的垂直平分线。
- 外心：三角形的外心是三条外接圆的交点，即三角形三个顶点到对边的垂直平分线的交点。
外心到三个顶点的距离相等，它是三角形外接圆的圆心。
2. 圆的几何中心圆的几何中心是圆心，即圆的中点，它与圆上的任意一点的距离相等。
圆心是圆的对称中心，具有保持圆的对称性质。
3. 矩形和正方形的几何中心矩形和正方形的几何中心是重心，即矩形或正方形的对角线的交点。
重心将矩形或正方形等分为四个面积相等的小矩形或小正方形。
二、重心的概念重心是一个图形内部的一个点，它是根据图形的质量分布来定义的。
重心是图形质量中心的几何表示。
在几何学中，重心常常是指三角形的重心，但其他图形也可以有重心。
三角形的重心是三条中线的交点，即三角形三个顶点与对边中点的连线的交点。
重心将三角形等分为六个面积相等的三角形。
重心是三角形的特殊几何中心，具有平衡和稳定的特征。
在三角形中，重心是离三个顶点距离最短的点，也是三个高的交点。
三、几何中心和重心的应用几何中心和重心在几何学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 计算图形的性质和参数：几何中心和重心可以帮助我们计算图形的面积、周长、边长、角度等参数。
中心对称图形
英文字母中，A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y可以看成轴对称图形． 故共有16个是轴对称图形．
ABCDEFGHIJKLM NOPQRSTUVWXYZ
H，I，N，O，S，X，Z共7个
7、 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机， 以下来自现实生活的图形中都有圆，它们看上去是 那么美丽与和谐，这正是因为圆具有 轴对称和中心 对称性。
图2
4、 ⑴下列图形中即是轴对称图形又是中心对称 图形的是（ C ） A 角 B 等边三角形 C 线段 D平行四边形 ⑶ 下列多边形中，是中心对称图形而不 是轴对称图形的是（ A ） A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 ⑷ 已知：下列命题中真命题的个数是（ B ） ①关于中心对称的两个图形一定不全等 ②关于中心对称的两个图形是全等形 ③两个全等的图形一定关于中心对称 A 0 B 1 C 2 D 3
A F O D E B C
OA__OB
OC__OD
风车
现在你能很快地找到点E的对应点F吗？
观察一对对应点与其对称中心有何位置和数量关系？
结论：中心对称图形的每一对对称点连线 经过对称中心，且被对称中心平分
5.在①线段、 ②角、 ③等腰三角形、 ④等腰梯形、 ⑤平行四边形、 ⑥矩形、 ⑦菱形、 ⑧正方形和⑨圆中， ①②③④⑥⑦⑧⑨ 是轴对称图形的有______________,是中心对称图形的有 ①⑤⑥⑦⑧⑨ ____________,既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ①⑥⑦⑧⑨ ____________. 6.把如下的26个英文大写字母看成图案,哪些英文大写 字母是中心对称图案?哪些是轴对称图案?找找看.
一.知识回顾 1.中心对称的定义:把一个图形绕着某一 点旋转1800,如果它能与另一个图形重合, 就说这两个图形关于这个点成中心对称. 2. 中心对称的性质: ⑴关于中心对称的两个图形是全等图形 ⑵关于中心对称的两个图形,对称点连线都 经过对称中心且被对称中心平分
正方形二等分6种分法
正方形二等分6种分法本文将介绍正方形二等分6种分法。
一、中心对称分法中心对称分法是最为基础的正方形二等分分法。
首先将正方形的中心点连线，并垂直这条中心线，分别连接两边中点和四角点。
然后再将四角点和中心线上一点相连，则可将正方形二等分为8个等面积图形。
二、好利来定理分法好利来定理是一条几何定理，可以大大简化正方形二等分的计算。
这个定理是指：在正方形ABCD中，过对角线AC的中点M，做垂直于AD的直线MN，交BC于点N，则BN^2=2MN^2。
利用好利来定理，我们可以将正方形分为四个等面积的三角形和一个等面积的菱形。
三、L-形分法L-形分法是将正方形分为两个L形图形的分法。
首先在正方形的右上角和左下角分别做一个权值相等且形状相似的L形。
然后将它们分别旋转90度，再垂直翻转，就可以得到两个等面积的L形图形。
因此，L-形分法将正方形二等分为两个等面积的L形图形。
四、倒A字形分法倒A字形分法是将正方形分为两个倒A字形图形的分法。
首先在正方形的正上方和正下方分别做一个倒A字形，它们的高应等于正方形的一半。
将这两个图形沿正方形的中心线对称翻转，就可以得到两个等面积的倒A字形图形。
因此，倒A字形分法将正方形二等分为两个等面积的倒A字形图形。
五、四边形分法四边形分法是将正方形二等分为2个等面积的四边形。
通过将正方形从中间切割出一个边长为正方形一半的小正方形，并将大正方形分成两个等面积的等边梯形，便可实现这一目标。
六、中心凹伸分法中心凹伸分法是将正方形分为两个由弓形构成的图形。
将正方形的中心点延长，得到正方形的外切圆心，然后从该点引一条半径与正方形一条边相交，再将其连接正方形两对角线的交点。
按此线切开正方形，即可将其二等分为两个由弓形构成的图形。
以上就是正方形二等分6种分法的介绍。
不同的分法在实际应用中有着不同的优势，选择合适的分法能够提高计算的效率。
九年级数学人教版上册23.2中心对称与中心对称图形教学设计
3.实践操作，巩固知识
安排丰富的实践操作活动，如绘制中心对称图形、制作中心对称模型等，让学生在实际操作中加深对中心对称性质的理解，提高动手能力。
4.例题讲解，突破难点
3.教师对学生的练习情况进行总结，强调解题技巧和注意事项。
"在完成练习题的过程中，我发现有些同学在运用中心对称性质时还存在一些误区。这里，我要提醒大家，要注意区分中心对称与轴对称的区别，避免混淆。"
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生对中心对称的概念、性质和应用进行归纳总结。
"通过这节课的学习，我们深入了解了中心对称的定义、性质以及在几何问题中的应用。现在，请同学们回顾一下，我们今天都学到了哪些内容？"
3.教师结合课本例题，讲解中心对称性质在几何问题中的应用，帮助学生掌握解题方法。
"下面，我们来看一个例题，通过这个题目，我们来学习如何运用中心对称性质解决实际问题。"
（三）学生小组讨论，500字
1.教师布置小组讨论任务，让学生围绕中心对称的性质和应用展开讨论。
"现在，请同学们分成小组，结合我们刚刚学到的知识，讨论一下中心对称在生活中的应用，以及它在解决几何问题时的作用。"
7.课后作业，分层设计
根据学生的认知水平和学习需求，设计分层作业。基础题旨在巩固概念和性质，提高题旨在培养学生的综合运用能力和创新思维。
8.教学评价，关注个体差异
在教学过程中，关注学生的个体差异，采用多元化的评价方式，如口头提问、作业批改、小组评价等，全面了解学生的学习状况，及时给予指导和鼓励。
人教版九年级数学上册23.2.2《中心对称图形》教学设计
3.教师布置作业：结合生活实际，寻找身边的中心对称现象，并思考如何运用中心对称性质解决问题。
4.教师总结本节课的学习成果，鼓励学生在今后的学习中，继续探索几何图形的奥秘。
五、作业布置
1.必做题：
（1）课后习题第1、2、3题，巩固中心对称图形的性质及运用。
3.创新实践：
（1）利用中心对称性质，设计一个简单的游戏规则，要求具有趣味性和挑战性。
（2）与同学合作，制作一个中心对称的实物模型，如剪纸、折纸等，展示中心对称的美。
4.作业要求：
（1）作业需独立完成，确保解题过程的正确性和书写的规范性。
（2）创新实践作业可以与家长、同学共同完成，培养合作精神和创新能力。
2.培养学生的合作精神：在小组合作中，学会倾听、表达、沟通，培养团队协作能力。
3.培养学生的创新意识：鼓励学生大胆尝试，勇于探索，激发创新思维。
在此基础上，本节课的教学设计将围绕以上三个目标展开，注重理论与实践相结合，让学生在轻松愉快的氛围中掌握中心对称图形的知识。
二、学情分析
九年级学生已具备了一定的几何基础和空间想象力，对轴对称图形有了深入的理解。在此基础上，引入中心对称图形的概念，学生能够更容易地接受并掌握相关知识。然而，由于中心对称与轴对称在性质和表现上有一定的相似性，学生在区分和运用时可能会产生混淆。因此，在教学过程中，应注重引导学生发现两者的联系与区别，帮助他们建立清晰的知识体系。此外，九年级学生正处于青春期，思维活跃，求知欲强，对新鲜事物充满好奇心。教师应充分调动学生的积极性，设计富有启发性和趣味性的教学活动，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
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周世国
学习目标
• 1．知识目标 • （1）体会中心对称图形的特性， 进一步理解四边形的相关性质. • （2）掌握等分中心对称图形面 积的方法.
• 2．能力目标 • 探索图形面积等分问题的规律， 培养学生解决问题的意识和能 力. • 3．情感目标 • 通过学习课题，使学生获得成直线把下列图 形的面积二等分
• 掌握等分中心对称图形面积的方法如
下： • 1. 会等分平行四边形和圆的面积. • 2. 会等分由两个中心对称图形构成的 图形的面积. • 3. 会等分由多个中心对称图形所构成 的图形的面积.
•1.常见的中心对称图形有哪 些？ •2、中心对称的性质是什么？ •3、如何找到中心对称图形的 对称中心？
合作
•
探究
请你各用一条直线把图（1） 中的两个图形分别分割成面积 相等的两部分.
图（1）
思
考
还有别的直线等分平行四边形和 圆面积？其方法的共同特点是什 么？
1、平行四边形的对称中心是 对角线的交点
2、圆的对称中心是
圆心
3、中心对称图形面积等分的方法是 找到对称中心，过对称中心任意画一条 直线
•把下列图形面积二等分
合作
探究
1、在两个平行四边形的内部 分别有一个圆和一个矩形.请 你各用一条直线分别把左、右 两图中的阴影部分分割为面积 相等的两部分.
2、请你分别用一条直线将下图中两 个图形分割成面积相等的两部分.