人教A版必修1对数与对数运算知识点总结与例题讲解
人教A版数学必修第一册期末复习：对数与对数函数课件
技巧点拨
➢ 无论题型如何变化，都是围绕对数函数的单调性
方法
总结
➢ 弄清对数函数的单调性是解题的关键
➢ 注意有时需对底数字母参数进行讨论
过关检测
1．设a，b，c均为正数，且2a＝
的大小关系是 ( A )
A．a＜b＜c
C．c＜a＜b
a＞0
b＞0
c＞0
2a＞1
0＜
1
2
1
>0
2
,
在 , 单调递减
×
×
常考题型
1
例 4 当 0＜x≤2时，4x＜logax，则 a 的取值范围是( B )
题
型
二
对
数
函
数
的
图
象
及
应
用
A. 0，
2
2
B.
C．(1， 2)
2，1源自2D．( 2，2)
易知0＜a＜1
依图知需满足 >
>
＜a＜1
当0＜x＜1时，y＜0
当0＜x＜1时，y＞0
核心考点
1．换底公式的两个重要结论
常
用
结
论
(1)logab＝
1
log
(2)log =
log
其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m≠0，n∈R.
核心考点
2．对数函数的图象与底数大小的比较
常
用
结
论
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应
高一 对数与对数函数知识点+例题+练习 含答案
1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)．(2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性 质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当0<x <1时，y <0 (4)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( × )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ )1．(2015·湖南改编)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则有关f (x )的性质判断正确的是________(填序号)．①奇函数，且在(0,1)上是增函数； ②奇函数，且在(0,1)上是减函数； ③偶函数，且在(0,1)上是增函数； ④偶函数，且在(0,1)上是减函数． 答案 ①解析 易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数．2．设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <b <a解析 ∵a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，c ＝log 343.log 3x 是定义域上的增函数，2>32>43，∴c <b <a .3．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是________．(填图象序号)答案 ②解析 由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数单调递增，所以只有②正确．4．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案4 33解析 2a＋2－a ＝4log 32＋4log 32－＝3log log 322＋＝3＋33＝4 33. 5．(教材改编)若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.(2)lg 5＋lg 20的值是________． 答案 (1)10 (2)1解析 (1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg 10＝1.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是________．(填序号)(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是____________．答案 (1)③ (2)(22，1) 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除①、②； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除④.故③正确．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象， 可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12， 即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是____________． 答案 (1)② (2)(10,12)解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除①. 若a >1，则0<b <1，此时f (x )＝a x 是增函数，g (x )＝－log b x 是增函数，②符合，排除④.若0<a <1，则b >1，g (x )＝－log b x 是减函数，排除③，故填②.(2)作出f (x )的大致图象(图略)．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c .由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系为__________． 答案 a >b >c解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c . 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是__________． 答案 (12，1)解析 由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1)．命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为__________． (3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是__________________．答案 (1)c >a >b (2)[1,2) (3)(－1,0)∪(1，＋∞) 解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2，∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,0<b <12，c >1，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是__________． (2)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5，＝，＝，＝a b c 则a ，b ，c 大小关系为__________．思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c . (2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)c ＝(15)3log 0.3＝53log 0.3－＝5310log 3.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x 为增函数， ∴52log 3.4>5310log 3>54log 3.6.即52log 3.4>(15)3log 0.3 >54log 3.6，故a >c >b . 答案 (1)b <a <c (2)a >c >b (3)a >c >b温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0. 2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性． 4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定． [失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.答案24解析 由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3， ∴x ＝8，∴x12-＝24. 2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 12-，则x ，y ，z 的大小关系为____________．答案 y <z <x解析 ∵x ＝ln π>ln e ，∴x >1. ∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∵z ＝e12-＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤0，log 2x ， x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是__________．答案 (－1,0]∪(2，＋∞)解析 当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，综上所述：－1<x ≤0或x >2.4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是__________． 答案 (－1,0)解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为(－1,1)． 由f (x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________.答案 －1解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(224log 5＋15)＝－1. 6．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________. 答案 －1解析 lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2 ＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4－2＝1－2＝－1.7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝_____________________. 答案 32解析 由已知得f (12)＝1－f (12)·log 22，则f (12)＝12，则f (x )＝1＋12·log 2x ，故f (2)＝1＋12·log 22＝32.8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是_____________________________________．答案 (1,2]解析 由题意f (x )的图象如右图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2. 9．已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．解 函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )是由函数y ＝log 12t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成．因为函数y ＝log 12t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a 2)上单调递减，又因为函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥22，a ≤2(2＋1)，即22≤a ≤2(2＋1)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·陕西改编)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p 、q 、r 的大小关系是____________．答案 p ＝r <q解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ， 又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ， 故p ＝r ＜q .12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫12，f (2)的大小关系是______________．答案 f (12)<f (13)<f (2) 解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)． 13．若函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在区间(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是__________． 答案 [1,3]解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，－m 2＋8m －7≥0，解得1≤m ≤3， 所以答案应填[1,3]．14．已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 15．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2) ＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32. 又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝2－13， 此时f (x )取得最小值时，x ＝1332(2)＝--2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12，此时f(x)取得最小值时，x＝(12)32＝22∈[2,8]，符合题意，∴a＝12.。
人教A版数学必修一第1部分第二章2.22.2.1对数与对数运算.pptx
[精解详析] (1)∵53＝125，∴log5125＝3. (2)∵(14)－2＝16，∴log1416＝－2. (3)∵log128＝－3，∴(12)－3＝8. (4)∵log3217＝－3，∴3－3＝217.
[一点通] 1．在利用ax＝N⇔x＝logaN（a＞0且a≠1）进 行互化时，关键是弄清各个字母所在的位置． 2．对数式与指数式的关系如图：
其中，正确的有( )
A．2个
B．3个
C．4个D．5个
解析：由对数运算性质知(3)(5)正确．
答案：A
4．计算下列各式的值： (1)log535－2log573＋log57－log51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋ （lg 2）2－lg 2＋1； (3)lg25＋lg 2＋lg 2·lg 5.
2．loga1＝0，logaa＝1(a>0，且a≠1)在计算对 数值时经常用到．
3．设 a>0，a≠1，x>y>0，n∈N*，给出下列各式： (1)(logax)n＝nlogax；(2)(logax)n＝logaxn； (3)logax＝－loga1x；(4)n logax＝n1logax； (5)longax＝logan x.
lg 2 法二：利用换底公式将分子转化为以 2 为底的对数，
log29 即lloogg8293＝lloogg2283＝23lloogห้องสมุดไป่ตู้2233＝23.
答案：A
6．计算 log5 2·log79的值． log513·log73 4
解：原式＝lologg55132·lologg73794
＝log1 3
解：(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595 ＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55 ＝2log55＝2.
人教A版必修1第二章2.2.2对数函数及其性质重难点题型(举一反三)(含解析版)
2.2.2对数函数及其性质重难点题型【举一反三系列】【知识点1 对数函数的定义】1.对数函数的概念一般地，把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).2.两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =. （2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =. 【知识点2 对数函数的图象与性质】 对数函数的图象与性质列表如下：温馨提示：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 【知识点3 反函数】在指数函数)10(≠>=a a a y x ，中，x 是自变量，y 是x 的函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞）；在对数函数)1,0(log ≠>=a a y x a 中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞）， 像这样的两个函数叫作互为反函数.【考点1 对数函数的概念】【例1】（2019秋•林芝县校级月考）下列函数是对数函数的是（）A．y＝log3（x+1）B．y＝log a（2x）（a＞0，且a≠1）C．y＝lnxD．【变式1-1】给出下列函数：①y＝x2；②y＝log3（x﹣1）；③y＝log x+1x；④y＝logπx．其中是对数函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-2】下列函数表达式中，是对数函数的有（）①y＝log x2；②y＝log a x（a∈R）③y＝log8x；④y＝lnx⑤y＝log x（x+2）；⑥y＝2log4x⑦y＝log2（x+1）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-3】下列函数中，是对数函数的个数为（）①y＝log a x2（a＞0，且a≠1）；②y＝log2x﹣1；③y＝2log8x；④y＝log x a（x＞0，且x≠1）；⑤y＝log5x；⑥y＝log a x（a＞0，a≠1）A．1B．2C．3D．4【考点2 利用对数函数的性质比较大小】【例2】（2019秋•福田区校级月考）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a【变式2-1】（2019秋•天山区校级月考）已知正实数a，b，c满足log a2＝2，log3b＝，c6＝7，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【变式2-2】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知a＝log30.3，b＝30.3，c＝0.30.2，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【变式2-3】（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（）A．B．C．D．【考点3 与对数函数有关的函数图象识别】【例3】（2018秋•合阳县期末）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数f（x）＝a x与函数g（x）＝﹣log b x在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-1】（2019•西湖区校级模拟）若当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y＝log a||的图象大致为（）A．B．C．D．【变式3-2】（2018秋•船营区校级月考）函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-3】（2019秋•洛南县期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．【考点4 对数函数图象过定点问题】【例4】（2018秋•赣州期中）函数y＝log a（x﹣1）+log a（x+1）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（）A．（）B．（0，﹣）C．（）D．（）【变式4-1】（2019秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点P，则P点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣，4）C．（﹣1，3）D．（﹣1，4）【变式4-2】（2018秋•烟台期中）函数y＝log a（x+2）+a x+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过的点是（）A．（0，2）B．（2，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，3）【变式4-3】（2019秋•赣州期末）已知a＞0，a≠1，则f（x）＝log a的图象恒过点（）A．（1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（1，4）【考点5 有关对数函数奇偶性问题】【例5】（2018•肇庆二模）已知f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x），则f（x）是（）A．f（x）是奇函数，且在（0，10）是增函数B．f（x）是偶函数，且在（0，10）是增函数C．f（x）是奇函数，且在（0，10）是减函数D．f（x）是偶函数，且在（0，10）是减函数【变式5-1】（2019秋•南充期末）已知函数f（x）＝log a（x﹣m）的图象过点（4，0）和（7，1），则f （x）在定义域上是（）A．增函数B．减函数C．奇函数D．偶函数【变式5-2】（2019秋•新宁县校级期中）对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x）是非奇非偶函数D．f（x）既是奇函数又是偶函数【变式5-3】（2016春•石家庄校级月考）函数f（x）＝ln（1+2x），g（x）＝ln（1﹣2x），则f（x）+g（x）为（）A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数又不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数【考点6 与对数函数有关的定义域问题】【例6】（2018秋•肇庆期末）函数y＝的定义域为（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（1，2）∪（2，+∞）D．（1，2）∪[3，+∞）【变式6-1】（2019•西湖区校级模拟）函数的定义域是（）A．B．C．D．【变式6-2】（2018秋•宜宾期末）函数y＝的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【变式6-3】（2018春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（，1]【考点7 与对数函数有关的值域问题】【例7】（2019秋•南昌校级期中）函数y＝log4（2x+3﹣x2）值域为．【变式7-1】（2019春•赣榆区校级月考）函数的值域为．【变式7-2】（2019秋•九原区校级期末）函数y＝（x）2﹣x2+5 在2≤x≤4时的值域为．【变式7-3】（2019秋•松江区期末）函数的值域为．【考点8 与对数函数有关的最值问题】【例8】（2019秋•离石区校级月考）设x≥0，y≥0且x+2y＝，则函数u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值为．【变式8-1】（2019秋•田阳县校级月考）函数f（x）＝log a（x+1）在[0，3]上的最大值与最小值的差为2，则a的值为．【变式8-2】（2019春•天津期末）若函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是．【变式8-3】（2019秋•会宁县校级期中）已知函数f（x）＝2+log3x，x∈[1，9]，函数y＝[f（x）]2+f（x2）的最大值为．【考点9 与对数函数的单调性有关的问题】【例9】（2019春•吉林期末）已知函数f（x）＝log a（x+3）﹣log a（3﹣x），a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（3）若a＞1，指出函数的单调性，并求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．【变式9-1】（2018秋•南岗区校级期中）已知f（x）＝log a（a＞0，且a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，（1）求f（0）的值和实数m的值；（2）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）若f（）＞0且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0成立，求实数b的取值范围．【变式9-2】（2019秋•番禺区校级期中）已知函数．（1）求函数的定义域．（2）讨论函数f（x）的奇偶性．（3）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．【变式9-3】（2019秋•荔湾区校级期末）已知函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．（1）求函数f（x）定义域，并判断f（x）的奇偶性．（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论．（3）解关于x的不等式f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0．2.2.2对数函数及其性质重难点题型【举一反三系列】【知识点1 对数函数的定义】 1.对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 2.两种特殊的对数函数（1）常用对数函数：以10为底的对数函数x y lg =. （2）自然对数函数：以无理数e 为底的对数函数x y ln =. 【知识点2 对数函数的图象与性质】对数函数的图象与性质列表如下：温馨提示：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 【知识点3 反函数】在指数函数)10(≠>=a a a y x ，中，x 是自变量，y 是x 的函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞）；在对数函数)1,0(log ≠>=a a y x a 中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域是R ，值域是（0，+∞）， 像这样的两个函数叫作互为反函数.【考点1 对数函数的概念】【例1】（2019秋•林芝县校级月考）下列函数是对数函数的是（ ） A ．y ＝log 3（x +1）B．y＝log a（2x）（a＞0，且a≠1）C．y＝lnxD．【分析】根据对数函数的定义即可得出．【答案】解：根据对数函数的定义可得：只有y＝lnx为对数函数．故选：C．【点睛】本题考查了对数函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式1-1】给出下列函数：①y＝x2；②y＝log3（x﹣1）；③y＝log x+1x；④y＝logπx．其中是对数函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由对数函数的定义依次判断即可．【答案】解：①y＝x2的真数为x2，故不是对数函数；②y＝log3（x﹣1）的真数为x﹣1，故不是对数函数；③y＝log x+1x的底数为x+1，故不是对数函数；④y＝logπx是对数函数；故选：A．【点睛】本题考查了对数函数的定义的应用．【变式1-2】下列函数表达式中，是对数函数的有（）①y＝log x2；②y＝log a x（a∈R）③y＝log8x；④y＝lnx⑤y＝log x（x+2）；⑥y＝2log4x⑦y＝log2（x+1）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据对数函数的定义，y＝log a x（a＞0，且a≠1），逐一分析给定函数是否为指数函数，可得结论．【答案】解：①y＝log x2不是对数函数；②y＝log a x（a∈R）不是对数函数；③y＝log8x是对数函数；④y＝lnx是对数函数；⑤y＝log x（x+2）不是对数函数；⑥y＝2log4x不是对数函数；⑦y＝log2（x+1）不是对数函数；综上所述，对数函数有2个，故选：B．【点睛】本题考查的知识点是对数函数的定义，熟练掌握对数函数的定义，是解答的关键．【变式1-3】下列函数中，是对数函数的个数为（）①y＝log a x2（a＞0，且a≠1）；②y＝log2x﹣1；③y＝2log8x；④y＝log x a（x＞0，且x≠1）；⑤y＝log5x；⑥y＝log a x（a＞0，a≠1）A．1B．2C．3D．4【分析】根据对数函数的定义进行判断即可．【答案】解：①y＝log a x2（a＞0，且a≠1），真数不是变量x，不是对数函数；②y＝log2x﹣1，不是对数函数；③y＝2log8x；系数不是1，不是对数函数④y＝log x a（x＞0，且x≠1），底数不是常数，不是对数函数；⑤y＝log5x，满足对数函数的定义，是对数函数；⑥y＝log a x（a＞0，a≠1）满足对数函数的定义，是对数函数，故是对数函数的有⑤⑥，共有2个，故选：B．【点睛】本题主要考查函数概念的判断，根据对数函数的定义是解决本题的关键．【考点2 利用对数函数的性质比较大小】【例2】（2019秋•福田区校级月考）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a【分析】根据对数的换底公式可得出，从而可得出2＜log420＜log315，且可得出，这样即可得出a，b，c的大小关系．【答案】解：，，，且log54＞log53＞0，∴，∴2＝log416＜log420＜log315，∴a＜c＜b．故选：C．【点睛】考查对数的换底公式，以及指数函数和对数函数的单调性，增函数的定义，不等式的性质．【变式2-1】（2019秋•天山区校级月考）已知正实数a，b，c满足log a2＝2，log3b＝，c6＝7，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】根据条件可得出，从而得出a6＝8，b6＝9且c6＝7，a，b，c都是正数，这样即可得出a，b，c的大小关系．【答案】解：∵log a2＝2，log3b＝，c6＝7，∴∴a6＝8，b6＝9，c6＝7，且a，b，c都是正数，∴c＜a＜b故选：C．【点睛】考查对数的定义，对数与指数的互化，以及指数的运算，幂函数的单调性．【变式2-2】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知a＝log30.3，b＝30.3，c＝0.30.2，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系．【答案】解：∵log30.3＜log31＝0，30.3＞30＝1，0＜0.30.2＜0.30＝1∴a＜c＜b．故选：B．【点睛】考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数、减函数的定义．【变式2-3】（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（）A．B．C．D．【分析】容易得出，从而可得出正确的选项．【答案】解：∵log34＞log33＝1，0＜0.31.7＜0.30＝1，log0.310＜log0.31＝0，∴．故选：A．【点睛】考查对数函数和指数函数的单调性，增函数和减函数的定义．【考点3 与对数函数有关的函数图象识别】【例3】（2018秋•合阳县期末）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数f（x）＝a x与函数g（x）＝﹣log b x在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据a与b的正负，利用指数函数与对数函数的性质判断即可确定出其图象．【答案】解：∵a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，∴函数f（x）＝a x与函数g（x）＝﹣log b x在同一坐标系中的图象可能是，故选：B．【点睛】此题考查了指数函数与对数函数的图象，熟练掌握指数、对数函数的图象与性质是解本题的关键．【变式3-1】（2019•西湖区校级模拟）若当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y＝log a||的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由于当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a＜1．先画出函数y＝log a|x|的图象，此函数是偶函数，当x＞0时，即为y＝log a x，而函数y＝log a||＝﹣log a|x|，即可得出图象．【答案】解：∵当x∈R时，函数f（x）＝a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y＝log a|x|的图象：红颜色的图象．而函数y＝log a||＝﹣log a|x|，其图象如黑颜色的图象．故选：B．【变式3-2】（2018秋•船营区校级月考）函数f（x）＝的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先求出函数的定义域，再判断函数为奇函数，即图象关于原点对称，故可以排除BC，再根据函数值域，可排除D．【答案】解：∵f（x）＝，∴函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵，∴函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除B、C，∵当0＜x＜1时，lnx＜0，∴f（x）＝＜0，x∈（0，1）故排除D．故选：A．【点睛】本题主要考查了绝对值函数以及函数的值域、奇偶性和单调性，属于基础题．【变式3-3】（2019秋•洛南县期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（）A．B．C．D．【分析】本题研究一个对数型函数的图象特征，函数y＝|lg（x+1）|的图象可由函数y＝lg（x+1）的图象将X轴下方的部分翻折到X轴上部而得到，故首先要研究清楚函数y＝lg（x+1）的图象，由图象特征选出正确选项【答案】解：由于函数y＝lg（x+1）的图象可由函数y＝lgx的图象左移一个单位而得到，函数y＝lgx的图象与X轴的交点是（1，0），故函数y＝lg（x+1）的图象与X轴的交点是（0，0），即函数y＝|lg（x+1）|的图象与X轴的公共点是（0，0），考察四个选项中的图象只有A选项符合题意故选：A．【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，解答本题关键是掌握住对数型函数的图象图象的变化规律，由这些规律得出函数y＝|lg（x+1）|的图象的特征，再由这些特征判断出函数图象应该是四个选项中的那一个【考点4 对数函数图象过定点问题】【例4】（2018秋•赣州期中）函数y＝log a（x﹣1）+log a（x+1）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（）A．（）B．（0，﹣）C．（）D．（）【分析】根据对数函数的性质求出定点的坐标即可．【答案】解：y＝log a（x﹣1）+log a（x+1）＝log a（x2﹣1），令x2﹣1＝1，解得：x＝±，而x﹣1＞0，解得：x＞1，故x＝，故函数的图象过（，0），故选：C．【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查特殊值问题，是一道基础题．【变式4-1】（2019秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点P，则P点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣，4）C．（﹣1，3）D．（﹣1，4）【分析】令2x+3＝1，求得x的值，从而求得P点的坐标．【答案】解：令2x+3＝1，可得x＝﹣1，此时y＝3．即函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P的坐标为（﹣1，3）．故选：C．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．【变式4-2】（2018秋•烟台期中）函数y＝log a（x+2）+a x+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过的点是（）A．（0，2）B．（2，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，3）【分析】根据log a1＝0，a0＝1，求出定点的坐标即可．【答案】解：令x+2＝1，解得：x＝﹣1，故y＝0+1+2＝3，故图象过（﹣1，3），故选：D．【点睛】本题考查了对数函数，指数函数的性质，根据log a1＝0，a0＝1是解题的关键．【变式4-3】（2019秋•赣州期末）已知a＞0，a≠1，则f（x）＝log a的图象恒过点（）A．（1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（1，4）【分析】令＝1，解得x＝﹣2，y＝0，进而得到f（x）＝log a的图象恒过点的坐标．【答案】解：令＝1，解得：x＝﹣2，故f（﹣2）＝log a1＝0恒成立，即f（x）＝log a的图象恒过点（﹣2，0），故选：B．【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．【考点5 有关对数函数奇偶性问题】【例5】（2018•肇庆二模）已知f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x），则f（x）是（）A．f（x）是奇函数，且在（0，10）是增函数B．f（x）是偶函数，且在（0，10）是增函数C．f（x）是奇函数，且在（0，10）是减函数D．f（x）是偶函数，且在（0，10）是减函数【分析】求出函数的定义域，根据函数奇偶性的定义以及复合函数的单调性判断即可．【答案】解：由得：x∈（﹣10，10），故函数f（x）的定义域为（﹣10，10），关于原点对称，又由f（﹣x）＝lg（10﹣x）+lg（10+x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数，而f（x）＝lg（10+x）+lg（10﹣x）＝lg（100﹣x2），y＝100﹣x2在（0，10）递减，y＝lgx在（0，10）递增，故函数f（x）在（0，10）递减，故选：D．【点睛】本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查转化思想，是一道基础题．【变式5-1】（2019秋•南充期末）已知函数f（x）＝log a（x﹣m）的图象过点（4，0）和（7，1），则f （x）在定义域上是（）A．增函数B．减函数C．奇函数D．偶函数【分析】把（4，0）和（7，1）代入f（x）列出方程组解出a，m，根据对数函数的性质判断．【答案】解：∵f（x）的图象过点（4，0）和（7，1），∴，解得．∴f（x）＝log4（x﹣3）．∴f（x）是增函数．∵f（x）的定义域是（3，+∞），不关于原点对称．∴f（x）为非奇非偶函数．故选：A．【点睛】本题考查了对数函数的性质，属于基础题．【变式5-2】（2019秋•新宁县校级期中）对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x）是非奇非偶函数D．f（x）既是奇函数又是偶函数【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可．【答案】解：由＞0，解得：﹣1＜x＜1，故函数f（x）的定义域是（﹣1，1），关于原点对称，而f（﹣x）＝log2＝﹣log2＝﹣f（x），故f（x）是奇函数，故选：A．【点睛】本题考查了函数的奇偶性问题，是一道基础题．【变式5-3】（2016春•石家庄校级月考）函数f（x）＝ln（1+2x），g（x）＝ln（1﹣2x），则f（x）+g（x）为（）A．奇函数B．偶函数C．既不是奇函数又不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数【分析】首先令h（x）＝f（x）+g（x），求出h（x）的定义域，而后用函数奇偶性定义求证．【答案】解：令h（x）＝f（x）+g（x）＝ln（2x+1）+ln（1﹣2x）由得：﹣＜x＜，h（x）定义域为（﹣，），∴h（﹣x）＝ln（1﹣2x）+ln（1+2x）＝h（x），所以，h（x）为偶函数．故选：B．【点睛】本题主要考查了奇偶函数的定义域要求，以及函数奇偶性定义，属基础题．【考点6 与对数函数有关的定义域问题】【例6】（2018秋•肇庆期末）函数y＝的定义域为（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（1，2）∪（2，+∞）D．（1，2）∪[3，+∞）【分析】根据分式的分母不为0，对数的真数大于0，建立关系式，解之即可．【答案】解：要使函数有意义则解得x＞1且x≠2∴函数的定义域为（1，2）∪（2，+∞）故选：C．【点睛】本题考查函数定义域的求解，属基础题，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件．【变式6-1】（2019•西湖区校级模拟）函数的定义域是（）A．B．C．D．【分析】由函数的解析式列出不等式进行求解即可．【答案】解：由题意得，，解得x＞，则函数的定义域是，故选：C．【点睛】本题考查了函数的定义域的求法，属于基础题．【变式6-2】（2018秋•宜宾期末）函数y＝的定义域是（）A．（，+∞）B．（，1]C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）【分析】首先由根式有意义得到log0.5（4x﹣3）≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域．【答案】解：要使原函数有意义，则log0.5（4x﹣3）≥0，即0＜4x﹣3≤1，解得．所以原函数的定义域为（]．故选：B．【点睛】本题考查了对数函数定义域，训练了对数不等式的解法，是基础的计算题．【变式6-3】（2018春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（，1]【分析】利用对数的性质求解．【答案】解：函数y＝的定义域满足：，解得．故选：D．【点睛】本题考查对数函数的定义域的求法，解题时要注意对数性质的灵活运用，是基础题．【考点7 与对数函数有关的值域问题】【例7】（2019秋•南昌校级期中）函数y＝log4（2x+3﹣x2）值域为．【分析】运用复合函数的单调性分析函数最值，再通过配方求得值域．【答案】解：设u（x）＝2x+3﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4，当x＝1时，u（x）取得最大值4，∵函数y＝log4x为（0，+∞）上的增函数，∴当u（x）取得最大值时，原函数取得最大值，即y max＝log4u（x）max＝log44＝1，因此，函数y＝log4（2x+3﹣x2）的值域为（﹣∞，1]，故填：（﹣∞，1]．【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，涉及对数函数的单调性，用到配方法和二次函数的性质，属于基础题．【变式7-1】（2019春•赣榆区校级月考）函数的值域为．【分析】先将原函数y＝log0.5（x2+x+）转化为两个基本函数令t＝x2+x+＝（x+）2+，y＝log0.5t 的，再用复合函数的单调性求解．【答案】解：令t＝x2+x+＝（x+）2+∈[，+∞]，∵函数y＝log0.5t的在定义域上是减函数，∴y∈（﹣∞，2]；故答案为（﹣∞，2]．【点睛】本题主要考查用复合函数的单调性来求函数的值域，本题关键是求出二次函数的值域，属于基础题．【变式7-2】（2019秋•九原区校级期末）函数y＝（x）2﹣x2+5 在2≤x≤4时的值域为．【分析】利用换元法，令t＝由2≤x≤4 可得﹣1≤t≤﹣，由题意可得y＝＝（t﹣1）2+4，又因为函数在[﹣1，﹣]单调递减，从而可求函数的值域．【答案】解：令t＝，因为2≤x≤4，所以﹣1≤t≤﹣，则y＝＝（t﹣1）2+4，又因为函数在[﹣1，﹣]单调递减，当t＝﹣是函数有最小值，当t＝﹣1时函数有最大值8；故答案为：{y|}【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，换元法的应用，二次函数性质的应用及函数的单调性的应用，属于基础知识的简单综合试题．【变式7-3】（2019秋•松江区期末）函数的值域为．【分析】由函数的解析式可得，当x＜1时，f（x）＞；当x≥1时，f（x）≥0，综上可得f（x）的值域．【答案】解：由于函数，故当x＜1时，f（x）＝＞．当x≥1时，f（x）＝log2x≥log21＝0．综上可得，f（x）≥0，故函数的值域为[0，+∞），故答案为[0，+∞）．【点睛】本题主要考查求函数的值域，指数函数、对数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．【考点8 与对数函数有关的最值问题】【例8】（2019秋•离石区校级月考）设x≥0，y≥0且x+2y＝，则函数u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值为．【分析】由已知中x≥0，y≥0且x+2y＝，可得y∈[0，]，8xy+4y2+1＝﹣12y2+8y+1，结合二次函数的图象和性质及对数函数的图象和性质，可得答案．【答案】解：∵x+2y＝，∴x＝﹣2y，由x≥0，y≥0，可得y∈[0，]，则8xy+4y2+1＝﹣12y2+8y+1，令t＝﹣12y2+8y+1，当y∈[0，]时，t∈[1，]，又由u＝log0.5t为减函数，故当t＝1时函数u＝log0.5（8xy+4y2+1）的最大值为0，故答案为：0．【点睛】本题考查的知识点是对数函数的值域和最值，其中熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键．【变式8-1】（2019秋•田阳县校级月考）函数f（x）＝log a（x+1）在[0，3]上的最大值与最小值的差为2，则a的值为．【分析】对a分a＞1与0＜a＜1两类讨论，利用函数的单调性即可．【答案】解：若a＞1，f（x）＝log a（x+1）在[0，3]上单调递增，∴f（x）max＝log a4＝2log a2，f（x）min＝log a1＝0，∵f（x）max﹣f（x）min＝2，∴2log a2﹣0＝2，∴log a2＝1，故a＝2；若0＜a＜1，f（x）＝log a（x+1）在[0，3]上单调递减，同理可得a＝．故答案为：2或．【点睛】本题考查对数函数的单调性与最值，考查分类讨论思想，属于中档题．【变式8-2】（2019春•天津期末）若函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是．【分析】先根据复合函数的单调性确定函数g（x）＝x2﹣ax+1的单调性，进而分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论：①当a＞1时，考虑对数函数的图象与性质得到x2﹣ax+1的函数值恒为正；②当0＜a＜1时，△＝a2﹣4＜0恒成立，x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值．最后取这两种情形的并集即可．【答案】解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），①当a＞1时，y＝log a x在R+上单调递增，∴要使y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，必须g（x）min＞0，∴△＜0，解得﹣2＜a＜2∴1＜a＜2；②当0＜a＜1时，g（x）＝x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意．综上所述：1＜a＜2；故答案为：1＜a＜2．【点睛】本题考查对数函数的值域最值，着重考查复合函数的单调性，突出分类讨论与转化思想的考查，是中档题．【变式8-3】（2019秋•会宁县校级期中）已知函数f（x）＝2+log3x，x∈[1，9]，函数y＝[f（x）]2+f（x2）的最大值为．【分析】根据f（x）的定义域为[1，9]先求出y＝[f（x）]2+f（x2）的定义域为[1，3]，然后利用二次函数的最值再求函数g（x）＝[f（x）]2+f（x2）＝（2+log3x）2+（2+log3x2）＝（log3x+3）2﹣3的最大值．【答案】解：由f（x）的定义域为[1，9]可得y＝[f（x）]2+f（x2）的定义域为[1，3]，又g（x）＝（2+log3x）2+（2+log3x2）＝（log3x+3）2﹣3，∵1≤x≤3，∴0≤log3x≤1．∴当x＝3时，g（x）有最大值13．故答案为：13【点睛】根据f（x）的定义域，先求出g（x）的定义域是正确解题的关键步骤，属于易错题．【考点9 与对数函数的单调性有关的问题】【例9】（2019春•吉林期末）已知函数f（x）＝log a（x+3）﹣log a（3﹣x），a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（3）若a＞1，指出函数的单调性，并求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．【分析】（1）由题意可得，从而求定义域；（2）可判断函数f（x）是奇函数，再证明如下；（3）当a＞1时，由复合函数的单调性及四则运算可得f（x）为增函数，从而求最值．【答案】解：（1）由题意知，；解得，﹣3＜x＜3；故函数f（x）的定义域为（﹣3，3）；（2）函数f（x）是奇函数，证明如下，函数f（x）的定义域（﹣3，3）关于原点对称；则f（﹣x）＝log a（﹣x+3）﹣log a（3+x）＝﹣f（x），故函数f（x）是奇函数．（3）当a＞1时，由复合函数的单调性及四则运算可得，f（x）＝log a（x+3）﹣log a（3﹣x）为增函数，则函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，故f max（x）＝f（1）＝log a2．【点睛】本题考查了函数的定义域，奇偶性，单调性，最值的判断与应用，属于基础题．【变式9-1】（2018秋•南岗区校级期中）已知f（x）＝log a（a＞0，且a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，（1）求f（0）的值和实数m的值；（2）判断函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）若f（）＞0且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0成立，求实数b的取值范围．【分析】（1）根据奇函数的特性，可得f（0）＝0，再由f（﹣x）＝﹣f（x），m≠﹣1，可得实数m的值；（2）结合对数函数的图象和性质，及复合函数同增异减的原则，可得函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调性；（3）由f（）＞0，可得函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递增，结合函数的定义域和奇偶性，解不等式，可得实数b的取值范围．【答案】解：（1）∵f（x）＝log a（a＞0，且a≠1，m≠﹣1）是定义在区间（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）＝0，且f（﹣x）＝﹣f（x），即＝﹣，即+＝＝log a1＝0，故m2＝1，又∵m≠﹣1，故m＝1，（2）由（1）得f（x）＝＝，令t＝，则t在区间（﹣1，1）上单调递减，当0＜a＜1时，y＝log a t为减函数，此时函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递增；当a＞1时，y＝log a t为增函数，此时函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递减；（3）若f（）＝＞0，则0＜a＜1，由（1）得，函数f（x）在区间（﹣1，1）上的单调递增，若f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，则f（b﹣2）＞﹣f（2b﹣2），则f（b﹣2）＞f（2﹣2b），则﹣1＜2﹣2b＜b﹣2＜1，解得：b∈（，）【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，难度不大，属于基础题．【变式9-2】（2019秋•番禺区校级期中）已知函数．（1）求函数的定义域．（2）讨论函数f（x）的奇偶性．（3）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．【分析】（1）解不等式得出x的范围，从而得出函数f（x）的定义域；（2）将﹣x代入函数f（x）的解析式，利用对数的运算性质得到f（﹣x）＝﹣f（x），从而得出答案；（3）在区间（1，+∞）上任取x1＞x2＞1，作差f（x1）﹣f（x2），通过对数的运算性质以及对数函数的单调性得出差值f（x1）﹣f（x2）的符号，从而得出函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，再利用同样的方法可得出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性．【答案】解：（1），零和负数无对数，，可得x＜﹣1或x＞1，则定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（2）函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），关于原点对称，＝，因此，函数f（x）为奇函数；（3）函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上都是减函数，下面利用定义来证明．先利用定义证明函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性．任取x1＞x2＞1，则＝＝，∵x1＞x2＞1，则x1x2+x2﹣x1﹣1＜x1x2+x1﹣x2﹣1，此时，g a1＝0，即f（x1）＜f（x2），所以，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，同理可证函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上也为减函数．【点睛】本题考察函数的定义域的求解，考察对数型函数的奇偶性与单调性的定义，关键在于利用定义来判断函数的基本性质，以及熟悉定义法判断函数基本性质的基本步骤，属于中等题．【变式9-3】（2019秋•荔湾区校级期末）已知函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．（1）求函数f（x）定义域，并判断f（x）的奇偶性．（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论．（3）解关于x的不等式f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0．【分析】（1）根据对数函数的性质以及函数的定义域，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可；（3）根据函数的单调性以及函数的奇偶性判断即可．【答案】解：（1）要使函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）有意义，必须满足，解得：﹣1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（﹣1，1），综上所述，结论是：函数f（x）的定义域是（﹣1，1）．f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）＝log3（）．f（﹣x）＝log3＝﹣log3．∴f（x）为奇函数．（2）函数f（x）＝log3（），在区间（﹣1，1）上任取两个不同的自变量x1，x2，且设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝log3，又（1+x1）（1﹣x2）﹣（1﹣x1）（1+x2）＝2（x1﹣x2）＜0，即（1+x1）（1﹣x2）＜（1﹣x1）（1+x2），∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴1+x1＞0，1﹣x2＞0，∵（1+x1）（1﹣x2）＞0，∴＜1，∴log3＜0，即f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）是定义域内的单调递增函数．（3）∵f（x）为奇函数，∴f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0∴f（1﹣x）＞f（x2﹣1），又∵f（x）在定义域上单调递增，∴1﹣x＞x2﹣1，x2+x﹣2＜0，即（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1，而，解得：0＜x＜，综上：0＜x＜1．【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．。
人教A版必修1对数与对数运算知识点总结与例题讲解
对数与对数运算知识点总结与例题讲解本节知识点(1)对数的概念.(2)对数式与指数式的互化.(3)对数的性质.(4)对数的运算性质.(5)对数的换底公式.知识点一对数的概念一般地，如果a =N (d>0且GHl),那么数X叫做以"为底N的对数，记作X = Iog41 N.其中"叫做对数的底数,N叫做真数.例如,因为16二4,所以］就是以16为底4的对数,记作log164 = -∙2 2对对数概念的理解：(1)底数d必须满足d>0且a≠∖∙,(2)真数N大于O (负数和O没有对数).规定底数"> O且(心1的原因：当"V O时,N取某些值时，X的值不存在.例如,log(.3)9 = 2,但IOg(_J) 27 却不存在.当Q = O时：①若N≠0,则X的值不存在；②若/V = 0,则A-的值是任意正数.(注意:0的负指数弄和0次胳都没有意义)当G = I时：①若N≠∖,则X的值不存在；②若N = I,则X的值是任意实数.所以在对数的定义里,规定底数“ > 0且a≠∖.常用对数与自然对数将以10为底的对数叫做常用对数,记作IgN ;将以无理数e (ea 2.71828…)为底的对数叫做自然对数,记作InN.根据对数概念,可以求參数的取值范围例1.求下列各式中X的取值范围.(1)IOg oS(X-3); (2) IOg(X.n(2-x).分析:对数的概念,对底数和真数都作出了规定,要使对数式有意义,必须满足:(1)底数。
>0且a≠∖i(2)真数∕V>0.解：(1) ⅛题意可知:x-3>0,解之得:x>3.∙∙∙x的取值范圉是(3,乜)；x-l>O(2)由题意可知:«Λ--1 ≠1 ,W-之得:l<x<2.2-x>0・・・x的取值范围是(1,2).例2.求下列对数式中X的取值范围.(1)IOg2(5 - x); (2) 1Ogz 3.解：(1)由题意可知:5-x>0,解之得:x<5..∙∙x的取值范圉是(-s,5);(2)由题意可知:『7>°,解之得：兀<2且心1.2-x ≠ 1■・・・x的取值范围是(-叫1)U(1,2).例3.使IOg U(X+ 1) (“> O且a≠∖)有意义的尤的取值范围是【】(A) [-l,-κ≈c)(B) (-1,S(C) [O,-KX)) (D) (O,-KX))解:由题意可知:x+l>0,解之得:x>-l.・・・x的取值范围是(-1,1).选择【B】. 例4.求IOg lA_3>(4-x)中X的取值范围. 解:山题意可知：x - 3 > O< x-3≠l ,解之得:3vxv4.4-x>0∙∙∙x的取值范围是(3,4)∙例5•使右-log2Cv + 2)有意义的兀的取值范围是(A) [-2,2) (B) [-2,2](C) (-2,2) (D) (-2,2]解:由题意可知:<P^^Λ解之得:_2vx<2.x + 2>0・・・x的取值范围是(-2,2).i⅛择[C ].知识点二指数式与对数式的互化在I=N与X = IOg “ N中，gx、N是同一个代表符号,只是名称不同.例如,将指数式26 =64化为对数式为6 = Iog2 64.表达形式名称a X N指数式a x =N底数指数S对数式X = IOg a N底数对数Xft知识点三对数的性质(1)负数和O没有对数.⑵1的对数等于α即IOgJ = O仪>0且GH1).⑶ 底数的对数等于亿即logι√∕ = l (。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象x y> Oxy<a <y = l o g x a 111()) x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是11xy y y y OA BC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.42B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A.21B.－21C.2D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是xyxyx yxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C9.设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2， 从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）. （2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。
高中数学 第二章 第2节 对数函数 新人教A版必修1知识精讲
高一数学第二章第2节对数函数新人教A版必修1一、学习目标：1. 理解对数的概念及其运算性质，知道换底公式。
2. 理解对数函数的概念，图象和性质。
3. 了解对数函数与指数函数互为反函数的关系。
二、重点、难点：重点是理解对数的概念及其运算性质，对数函数的概念、图象和性质。
难点是换底公式和对数函数模型的应用，以及反函数的概念。
三、考点分析：对数函数是高中数学的重要函数。
高考中，既考查定义与图象及主要性质，又在数学思想方法上考查分类讨论的方法及字母运算能力。
既有选择题、填空题，又可以解答题出现，且对综合能力要求较高。
学习过程中不仅要从概念，图象，性质三方面理解对数、对数函数，还要增强运用分类讨论的思想方法以及综合运用函数图像及性质解题的能力。
1. 对数对数的定义：。
对数式是由指数式转化而来的。
两式底数相同，对数式中的真数就是指数式中的幂值，而对数值则是指数式中的幂指数。
这是指数式与对数式互化的依据。
关于对数的几个结论：（1）零和负数没有对数；（2）；（3）；（4）。
底数的对数叫做常用对数，记作；底数的对数叫做自然对数，记作，其中是一个无理数，。
2. 对数的运算性质如果，且，，，那么：（1）·＋；（2）－；（3）.3. 换底公式（，且；，且；）.利用换底公式推导下面的结论（1）；（2）.4. 对数函数的概念一般地，把函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）。
5. 对数函数的图象与性质知识点一：对数及对数运算性质例1. 计算思路分析：1）题意分析：对数性质和对数运算法则的综合应用。
2）解题思路：先利用对数的运算法则将指数和对数的底统一，然后利用对数恒等式化简。
解答过程：原式＝解题后的思考：本题容易忽视对数运算法则成立的条件，即M>0，由得出，从而计算错误。
例2. 已知log[log（log x）]＝log[log（log y）]＝log[log（log z）]＝0，试比较x、y、z的大小。
高中数学对数和对数函数知识点与例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：a b=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a（MN）=log a M+log a N.②log aMN=log a M－log a N.③logaM n=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN= l oglogaaNb（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=log a x（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义:log a a=1；如果a=1或=0那么log a a就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象yyy =l ogxa>(1)a1O1xOxy =l o g a x (<a <1) 0底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算） 1．求下列各式的值． （1）35 log ＋25log2－1 21 50log － 514 log ；（2）log5 2 1 25 ×lo g 3 1 8 ×lo g 5 1 9. 练习题1．计算：lg 1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log 89·log 278；3.log535＋21log2－log51502 －log514；3.log2125×log318×log519.1loglog4log3 4.399222．5.lg5lg2lg41(6).log24lglog27lg2log33222 7.2lg2lg3111lg0.36lg823例2．已知实数x、y、z满足3x＝4y＝6z＞1.(1)求证：2x＋1y＝2z；(2)试比较3x、4y、6z的大小．练习题．已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数fxlog22xx1aax的定义域为集合A，关于x的不等式22 的解集为B，若AB，求实数a的取值范围．2．设函数2ylog(ax2x2)定义域为A．2（1）若AR，求实数a的取值范围；（2）若2log(ax2x2)2在x[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．2练习题1．已知函数2 fxlgax2x1（1）若fx的定义域是R,求实数a的取值范围及fx的值域；（2）若fx的值域是R，求实数a的取值范围及fx的定义域2求函数y=2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及性） 例题1．已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x －1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(1 log24)的值． 2 4.已知f （x ）=l o g 1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域.3 5.已知y =l o g a （3－a x ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的围.4．已知函数f(x)lg(2x)lg(2x).（Ⅰ）求函数yf(x)的定义域；（Ⅱ）判断函数yf(x)的奇偶性；（Ⅲ）若f(m2)f(m)，求m的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围2．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，1f(x)logx.2 （1）求函数f(x)的解析式；（2）解不等式2f(x1)2；3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，1f(x)log(x1)．2 （Ⅰ）求f(0)，f(1)；（Ⅱ）求函数f(x)的表达式；（Ⅲ）若f(a1)1，求a的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f（x）=|log2x|的图象是yy111x-11xOOAByy111x1xOOCD6.求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.f(x)＝|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2fa b2，求证：a·b＝1，a b2 ＞1.练习题：1．已知a0且a1，函数f(x)log(x1)a，1g(x)log a，记F(x)2f(x)g(x)1x（1）求函数F(x)的定义域及其零点；（2）若关于x的方程2 F2．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log44xa?237.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于题型五：函数方程1方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.5.已知函数f（x）= 1()2x,x4,则f（2+log23）的值为f(x1),x4,4．已知函数f(x)log a(axx)(a0,a1为常数）. （Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）若a2，x1,9,求函数f(x)的值域；（Ⅲ）若函数f(x)ya的图像恒在直线y2x1的上方，求实数a的取值范围.1xxyloglog(2x8).5．已知函数22242（Ⅰ）令tlog2x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值.8.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。
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对数与对数运算知识点总结与例题讲解本节知识点 （1）对数的概念.（2）对数式与指数式的互化. （3）对数的性质. （4）对数的运算性质. （5）对数的换底公式. 知识点一 对数的概念一般地,如果N a x=（0>a 且1≠a ）,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作N x a log =.其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.例如,因为41621=,所以21就是以16为底4的对数,记作214log 16=. 对对数概念的理解:（1）底数a 必须满足0>a 且1≠a ; （2）真数N 大于0（负数和0没有对数）. 规定底数0>a 且1≠a 的原因:当0<a 时,N 取某些值时,x 的值不存在.例如,()29log 3=-,但()27log 3-却不存在.当0=a 时:①若0≠N ,则x 的值不存在;②若0=N ,则x 的值是任意正数.（注意:0的负指数幂和0次幂都没有意义） 当1=a 时:①若1≠N ,则x 的值不存在; ②若1=N ,则x 的值是任意实数.所以在对数的定义里,规定底数0>a 且1≠a . 常用对数与自然对数将以10为底的对数叫做常用对数,记作N lg ;将以无理数e （ 71828.2≈e ）为底的对数叫做自然对数,记作N ln .根据对数概念,可以求参数的取值范围 例1. 求下列各式中x 的取值范围.（1）()3log 5.0-x ; （2）()()x x --2log 1.分析:对数的概念,对底数和真数都作出了规定,要使对数式有意义,必须满足: （1）底数0>a 且1≠a ; （2）真数0>N .解:（1）由题意可知:03>-x ,解之得:3>x .∴x 的取值范围是()+∞,3;（2）由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>-≠->-021101x x x ,解之得:21<<x .∴x 的取值范围是()2,1.例2. 求下列对数式中x 的取值范围.（1）()x -5log 2; （2）()3log 2x -.解:（1）由题意可知:05>-x ,解之得:5<x .∴x 的取值范围是()5,∞-;（2）由题意可知:⎩⎨⎧≠->-1202x x ,解之得:2<x 且1≠x .∴x 的取值范围是()()2,11, ∞-.例3. 使()1log +x a （0>a 且1≠a ）有意义的x 的取值范围是【 】（A ）[)+∞-,1 （B ）()+∞-,1 （C ）[)+∞,0 （D ）()+∞,0解:由题意可知:01>+x ,解之得:1->x .∴x 的取值范围是()+∞-,1.选择【 B 】.例4. 求()()x x --4log 3中x 的取值范围. 解:由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧>-≠->-041303x x x ,解之得:43<<x . ∴x 的取值范围是()4,3.例5. 使()2log 212+--x x有意义的x 的取值范围是【 】（A ）[)2,2- （B ）[]2,2- （C ）()2,2- （D ）(]2,2-解:由题意可知:⎩⎨⎧>+>-0202x x ,解之得:22<<-x .∴x 的取值范围是()2,2-.选择【 C 】.知识点二 指数式与对数式的互化在N a x=与N x a log =中,N x a ,,是同一个代表符号,只是名称不同.例如,将指数式6426=化为对数式为64log 62=.指数式与对数式的比较知识点三 对数的性质 （1）负数和0没有对数.（2）1的对数等于0,即01log =a （0>a 且1≠a ）. （3）底数的对数等于1,即1log =a a （0>a 且1≠a ）. （4）对数恒等式N aNa =log （0>a 且1≠a ）.（5）x a xa =log （0>a 且1≠a ）.对数的性质不仅可以简化运算,更重要的是利用对数的性质可以将任意一个实数转化为对数.例如, ===---2323log ln 2e .例6. 将下列指数式改写成对数式:（1）1624=; （2）32125=-. 解:（1）∵1624=,∴416log 2=;（2）∵32125=-,∴5321log 2-=. 例7. 将下列对数式改写成指数式:（1）3125log 5=; （2）416log 21-=.解:（1）∵3125log 5=,∴12553=;（2）∵416log 21-=,∴16214=⎪⎭⎫⎝⎛-.点评 指数运算与对数运算互为逆运算,在解题过程中,互相转化是解决相关问题的重要途径,但一定要记清N x a ,,在两种形式中的准确位置:指数式N a x=,对数式N x a log =.需要说明的是,并不是所有的指数式都可以化为对数式,如()1624=-,就不能化为416log 2=-;112=,就不能化为21log 1=.例8. 计算下列各式的值:（1）25log 5; （2）32log 21; （3）10log 33; （4）1ln ; （5）5.2log 5.2.解:（1）25log 25log 255==;（对数的性质:x a xa =log ）（2）521log 32log 52121-=⎪⎭⎫⎝⎛=-;（3）10310log 3=;（对数恒等式:N a N a =log ） （4）01ln =;（对数的性质:1的对数等于0） （5）15.2log 5.2=.（对数的性质:底数的对数等于1）例9. 计算:（1）27log 9; （2）81log 43; （3）()()32log 32-+.分析:利用指数式与对数式的互化进行计算.解:（1）设x =27log 9,则有279=x ,3233=x ,32=x ,23=x . ∴2327log 9=; （2）设x =81log 43,则有()8134=x,44133=x ,441=x ,16=x .∴1681log 43=;（3）设()()x =-+32log 32,则有()()1323213232-+=+=-=+x,1-=x .∴()()132log 32-=-+.例10. 求下列各式中的x :（1）2327log =x ; （2）x x 354⨯=. 解:（1）∵2327log =x ,∴2723=x ,()93327232332====x ;（2）∵xx354⨯=,∴534=⎪⎭⎫⎝⎛x,5log 34=x .例11. 若24=a ,a x =lg ,则=x __________. 解:∵24=a ,∴222=a ,12=a ,21=a . ∵a x =lg ,∴10101021===ax .例12. 已知函数()()a x x f +=22log ,若()13=f ,则=a __________.解:∵()13=f ,∴()19log 2=+a ,∴29=+a ,解之得:7-=a .点评 本题考查对数的性质:底数的对数等于1,即1log =a a （0>a ,且1≠a ）例13. 设m a =2log ,n a =3log ,则nm a +2的值为__________.解:∵m a =2log ,n a =3log ,∴3,2==nm a a .∴()1232222=⨯=⋅=+n m n m a a a .例14. 求下列各式的值:（1）4log 55; （2）24log 33-; （3）5log 422+.解:（1）454log 5=;（对数恒等式:N a N a =log ）（2）9433324log 24log 33==-; （3）805162225log 45log 422=⨯=⋅=+.知识点四 对数的运算性质如果0>a ,且1≠a ,0,0>>N M ,则有: （1）()N M MN a a a log log log +=; （2）N M NMa a alog log log -=; （3）M n M a na log log =.其中,对数的运算性质（1）可推广:()n a a a n a M M M M M M log log log log 2121 ++=. 常用推论: （1）M M Ma a a log log 1log 1-==-; （2）M pnMM a pn a pn alog log log ==. 例15. 证明对数的运算性质:()N M MN a a a log log log +=（0>a 且0,0,1>>≠N M a ）分析:利用指数幂的运算性质,可以证明对数的运算性质.证明:设q N p M a a ==log ,log ,则qp a N a M ==,∴()()q p a a a MN q p a q p a a +==⋅=+log log log ,q p N M a a +=+log log . ∴()N M MN a a a log log log +=.例16. 证明对数的运算性质:N M NMa a alog log log -=（0>a 且0,0,1>>≠N M a ） 证明:设q N p M a a ==log ,log ,则qp a N a M ==,∴q p a aa N M q p a q pa a -===-log log log ,q p N M a a -=-log log∴N M NMa a alog log log -=. 例17. 证明对数的运算性质:M n M a n a log log =（0>a 且0,0,1>>≠N M a ）证明:设x M a =log ,则xa M =∴()nx a a M nx a nx a n a ===log log log ,nx M n a =log∴M n M a n a log log =.对数的运算性质的应用 例18. 化简求值:（1）51lg 5lg 32lg 4-+;（2）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+;（3）3log 333558log 932log 2log 2-+-; （4）348log 348log 22-++.解:（1）原式()410lg 52lg 5152lg 51lg 5lg 2lg 4443434==⨯=⨯=-+=; （2）原式=()()2312lg 23lg 12lg 23lg 2312lg 23lg 232lg 33lg 231023lg10lg 32lg 3lg 2213213=-+-+=-+-+=⨯-+; （3）原式13233log 389324log 38log 932log 4log 233333-=-=-=-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-+-=; （4）原式()()22log 4log 16log348348log 22222====-+=.例19. 计算:=+25log53ln e__________.解:原式()7435log345=+=+=.例20. 设b a ==15log ,3log 22,则=75log 2__________. 解:∵b a ==15log ,3log 22∴()b a =+=+=⨯5log 5log 3log 53log 2222,∴a b -=5log 2. ∴()a b a b b -=-+=+=⨯=25log 15log 515log 75log 2222.例21. 计算:5log 3lg 33log 45log 1223211023⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++.解:原式=5log 3lg 3log 45log 23232102233-++⨯-⨯52951274815233165351log 32-=++-=++⨯-⨯=. 例22. 计算:()20lg 5lg 2lg 2lg 2-⋅+. 解:原式()()210lg 5lg 22lg ⨯-+=g()12lg 12lg 2lg 12lg -=--=+-=.例23. 计算:（1）;42log 2112log 487log 222-+ （2）()222lg 20lg 5lg 8lg 325lg +⋅++.解:（1）原式42log 144log 487log 222-+= 2log =212log 21log 421444872122-===⎪⎪⎭⎫⎝⎛÷⨯-; （2）原式()()2322lg 210lg 5lg 2lg 325lg +⨯⋅++=()()22lg 2lg 15lg 2lg 25lg 2++++=()()2lg 5lg 22lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2++=++++=12+= 3=.例24. 计算:()()2922531log 31log 35+-+.解:原式()()()()3231139253531log 13log 31log 213log 2925925=++-=+=+=+-+-.点评 本题为易错题,易错误得到()()31log 231log 2522555--=,实际上,此时真数031<-,对数式无意义,应为()()()13log 213log 31log 25225225555---==.例25. 若()()0137log 22=+--x x x ,则x 的值为__________. 解:∵()()0137log 22=+--x x x∴⎪⎩⎪⎨⎧≠->-=+-120211372x x x x ,解之得:4=x . ∴x 的值为4.例26. 若()312xf x=+,则()=4f __________. 解:由412=+x 得到32=x,∴3log 2=x .∴()3log 31342==x f . 例27. 已知b a lg ,lg 是方程01422=+-x x 的两个根,则2lg ⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 的值是【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解:∵01422=+-x x ,∴02122=+-x x . ∵b a lg ,lg 是该方程的两个根 ∴21lg lg ,2lg lg =⋅=+b a b a . ∴()()22142lg lg 4lg lg lg lg lg 2222=⨯-=⋅-+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a b a b a .选择【 B 】.例28. 计算:=++⎪⎭⎫⎝⎛-54log 45log 81163343__________. 解:原式8271log 325445log 32333434=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=--.例29. 解下列方程:（1）()()()1log 11log 4log 222++=-++x x x ; （2）()()5lg 11622lg -=-+x x x .解:（1）()()()1log 2log 14log 222++=-+x x x()()22log 43log 222+=-+x x x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>->++=-+01010422432x x x x x x ,解之得:2=x .∴该方程的解为2=x ;（2）()()x x x x x 2lg 2lg 5lg 10lg 1622lg ==-=-+ ∴x x x 21622=-+,解之得:8=x ,符合题意. ∴该方程的解为8=x .例30. 若12lg 2lg =-a ,则=a 【 】（A ）4 （B ）10 （C ）20 （D ）40解:∵12lg 2lg =-a ,∴14lg4lg lg ,12lg lg 2==-=-aa a . ∴104=a,解之得:40=a . 选择【 D 】.例31. 方程()1321log 3+=⋅+x x的解=x __________.解:()1333log321log +=⋅+x x,∴x x x 3333211⋅==⋅++.∴13=x ,解之得:0=x ,即该方程的解为0=x .点评 根据对数的性质,可将任意一个实数转化为对数,如上面的133log 1+=+x x .例32. 计算:3log 15.222ln 01.0lg 25.6log +-++e .解:原式3log 21225.2222ln 10lg 5.2log ⋅-++=-e211322122-=⨯-+-=.例33.（1）计算:()()()223log 8.94lg 25lg 27log 1203-+-+++-;（2）已知()y x y x 2lg 2lg lg -=+,求x y 22loglog-的值.解:（1）原式()()()21223312log 1425lg 3log -++⨯+=-21223+++=213=; （2）∵()y x y x 2lg 2lg lg -=+,∴()22lg lg y x xy -=∴()xy y x =-22,04522=+-y xy x .∵0>x ,∴04512=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y x y ,∴41=x y 或1=x y .∵02,0,0>->>y x y x ,∴210<<x y ,∴41=x y . ∴()42log 4log 41log logloglog4222222-=-=-===-x y x y .点评 这里第（2）问在得出结果时用到了对数的运算性质的推论:M M Ma a alog log 1log 1-==-. 例34. 化简下列各式:（1）51lg 5lg 32lg 4-+;（2）2.1lg 1000lg 8lg 27lg -+.解:（1）原式()452lg 5152lg 51lg 5lg 2lg 43434=⨯=⨯=-+=; （2）原式()()1023lg10lg 2lg 3lg 22133213⨯-+=()2312lg 23lg 12lg 23lg 2312lg 3lg 232lg 33lg 232=-+-+=-+-+=.例35. 化简下列各式:（1）()5353lg 281log 22723log 322-+++⨯-; （2）()246246log2--+.解:（1）原式()()2323235353lg 2log 33-+++⨯-=-()1919910lg 3332=++=+-⨯-=;（2）原式()21246246log22⨯--+= ()()3216212log218log 21246246log62222=⨯=⨯=⨯=⨯--+=.解法二: 原式()()⎪⎭⎫⎝⎛--+=2222222log ()()32log22log2222log3222===+-+=.例36. 若03241=--+x x,则x 的值为__________.解:032222=-⋅-x x,()()01232=+-x x∴32=x （012<-=x ,舍去） ∴3log 2=x .例37. 计算:4ln 3327log 25lg 4lg e ---.解:原式()844421243log 254lg 3-=--=--=-⨯-=. 例38.（1）已知68log =x ,求x 的值;（2）已知()x x 323log 110log +=-,求x 的值.解:（1）∵68log =x ,∴86=x .∵0>x ,且1≠x ∴()22282161361====x ;解法二:∵68log =x ,∴62log 32log 3==x x ,∴22log =x .∴()22log 22log 2==x x,12log =x ,∴2=x .（2）()x x 323log 110log +=-,()x x 3323log 3log 10log +=- ∴()x x 3log 10log 323=-∴⎪⎩⎪⎨⎧=->>-x x x x 310001022,解之得:5=x . 即x 的值为5.点评 解对数方程时,若方程可化为两个同底对数相等,则它们的真数相等. 例39. 若13log 5=a ,则aa 93+的值为__________.解:∵13log 5=a ,∴13log 5=a,∴53=a.∴()3055359322=+=+=+a a a .点评 本题考查对数的性质:底数的对数等于1,即1log =a a （0>a 且1≠a ）.例40. 若a y x =-lg lg ,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛332lg 2lg y x __________.（用含a 的式子表示） 解:∵a y x =-lg lg ,∴a yx=lg. ∴a y x y x y x y x 3lg 3lg 22lg 2lg 2lg 33333==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛. 例41. 若213log 4=x ,则x x 93log 2+等于【 】 （A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）10解:∵213log 4=x ,∴213log 4=x,∴244321===x .∴()52132log 93log 2222=+=+=+x x x .选择【 B 】.例42. 若3log 4=a ,则=+-a a 22__________.解:∵3log 4=a ,∴34=a,即()322=a,∴32=a .∴33431321222=+=+=+-aa a a . 例43. 方程()()223log 59log 1212+-=---x x 的解为__________.解:()()4log 23log 59log 21212+-=---x x∴()()234log 59log 1212-=---x x ,8345911-⋅=---x x . ∴02731232=+⋅-x x ,()()09333=--x x . ∴33=x 或93=x ,解之得:1=x 或2=x . 经检验,1=x 不符合题意,舍去. ∴2=x ,即该方程的解为2=x .例44. 已知方程03log 6log 222=++x x 的两个实数根分别为βα,,则=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛βα4141【 】 （A ）361（B ）36 （C ）6- （D ）6 解:由题意可知:6log 2-=+βα.∴()366222414126log 6log 26log 22222=====⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--βα. 选择【 B 】.例44. 已知3log 2=x ,则=----xxxx 2244__________. 分析:本题考查指数式与对数式的互化. 解:∵3log 2=x ,∴32=x.∴310924980313313224422==--=----xxx x . 例45. 若12log 3=x ,则=--x x 24__________.解:∵12log 3=x ,∴12log 3=x,∴32=x.∴()3263193132122422=-=-=-=--xx x x . 例46. 方程()3lg 2lg 24lg +=+xx的解是__________. 解:()()xx23lg 24lg ⋅=+,∴x x2324⋅=+.∴()()02212=--x x ,∴12=x 或22=x ,解之得:0=x 或1=x . 经检验,0=x 或1=x 都是原方程的解.例47. 计算:()()3log 22222lg 22lg 5lg +-.解:原式()()34lg 2lg 5lg 32lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2+-=+-+=313425lg =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=. 例48. 计算:323log 1271021001lg22-+⎪⎭⎫⎝⎛+-. 解:原式32323log 3410lg 222--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=()()()169222342222223log 23log 2++⨯=⎪⎭⎫⎝⎛+--⨯=- 16329169292=++⨯=. 例49. 计算:()4log 2130217731log 3412++--⎪⎭⎫⎝⎛π. 解:原式4log 13773log 149++-=-2321123=+--=.例50. 若2,2>>b a ,且()2log 1log 212log log 212222b b a a b a ++=++,则 ()()=-+-2log 2log 22b a 【 】（A ）0 （B ）21（C ）1 （D ）2 解法一:2log 1log 2log log 2222bb a ab a ++=++ ∴()()b a b ab a +=+2log 2log 22,∴()()b a b ab a +=+22.∴()b a ab +=2.∴()()()()22log 2log 2log 222--=-+-b a b a()[]22log 4log 42log 2222===++-=b a ab .选择【 D 】.解法二:()02log 2log 1log 21log 212222=-++-+b a b a b a ∴()02log log 21222=++ab b a ,()()02log 2log log 222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+=++ab b a ab b a ∴()12=⋅+abb a ,∴()b a ab +=2. ∴()()()()22log 2log 2log 222--=-+-b a b a()[]22log 4log 42log 2222===++-=b a ab .知识点五 对数的换底公式对数的运算,只有在同底数时才能直接计算,而实际问题中往往会遇到不同底数的对数运算,必须使用换底公式. 换底公式:abb c c a log log log =（0>a 且1≠a ,0>c 且1≠c ,0>b ）.说明:（1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义;（2）换底公式的意义在于改变对数式的底数,把本题底数的对数运算转化为同底数的对数运算,这样便可以利用对数的运算性质进行化简、求值和证明;（3）在使用换底公式时,把不同底数换成什么样的底数由题目所给条件决定.通常换成以10为底数的常用对数. 换底公式的证明分析：换底公式的证明,要用到对数式与指数式的互化证明:设x b a =log ,则b a x=.在等式b a x =的两边同时取以c 为底的对数得:b ac x c log log =,即b a x c c log log =.∵1≠a ,∴0log ≠a c ∴a b x c c log log =,即abb c c a log log log =. 其中,0>a 且1≠a ,0>c 且1≠c ,0>b .对数换底公式的几个常用推论:（1）b aba nb n a b b ac c c c n c n c na n log log log log log log log log ====; （2）b mn a b m n a m b n a b b a c c c c m c n c na mlog log log log log log log log =⋅===;（3）aa b b b b b a log 1log log log ==;（4）1log log =⋅a b b a ;1log log 1log log =⋅=⋅a aa b b b b a ,或1log log log log log log =⋅=⋅b a a b a b c c c c b a . （5）1log log log =⋅⋅a c b c b a . 例51. 计算:（1）8log 4log 9log 1632⋅⋅;（2）()()4log 4log 3log 3log 9342++.解:（1）原式=343222lg 42lg 33lg 2lg 22lg 3lg 216lg 8lg 3lg 4lg 2lg 9lg =⨯⨯=⋅⋅=⋅⋅; 解法二:原式()2log 432log 3log 42log 2log 23log 223232324⋅⋅=⋅⋅=34314=⨯⨯=;（2）原式⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3lg 22lg 23lg 2lg 22lg 23lg 2lg 3lg 9lg 4lg 3lg 4lg 4lg 3lg 2lg 3lg293233lg 2lg 32lg 23lg 3=⨯=⋅=. 解法二:原式()()2323222log 2log 3log 3log 22++=()2log 33log 232log 2log 23log 213log 323322⋅=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=291292log 3log 2932=⨯=⋅=. 注意 在（2）的解法二中,用到了对数换底公式的推论:b mnb a n a m log log =,1log log =⋅a b b a . 例52. 计算:（1）()=+3lg 2lg 3log 3log 84__________; （2）()()=++++8log 4log 2log 5log 25log 125log 125255842__________.解:（1）原式653lg 2lg 2lg 63lg 53lg 2lg 2lg 33lg 2lg 23lg 3lg 2lg 8lg 3lg 4lg 3lg =⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=; 解法二:原式()2log 3log 313log 213lg 2lg 3log 3log 3222232⎪⎭⎫⎝⎛+=+= 652log 3log 6532=⋅=; （2）原式⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=125lg 8lg 25lg 4lg 5lg 2lg 8lg 5lg 4lg 25lg 2lg 125lg135lg 2lg 32lg 35lg 135lg 32lg 35lg 22lg 25lg 2lg 2lg 35lg 2lg 25lg 22lg 5lg 3=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=.解法二:原式()()3525522222log 2log 2log 5log 5log 5log 33232++++=()132log 35log 3132log 2log 2log 5log 315log 5log 352555222=⋅=++⋅⎪⎭⎫⎝⎛++=例53.（1）设3643==yx,求yx 12+的值; （2）已知73,3log 2==b a ,求56log 12.解:（1）∵3643==yx∴36log ,36log 43==y x . ∴4log 9log 4log 3log 236log 136log 12123636363643+=+=+⋅=+y x 136log 36==;点评 这里用到了对数换底公式的推论:ab b a log 1log =.（2）∵73,3log 2==b a ∴b b a ===3lg 7lg ,7log ,2lg 3lg 3 ∴2lg 3lg 7lg ,2lg 3lg ba b a ===. ∴()()232lg 22lg 32lg 22lg 2lg 32lg 2lg 23lg 2lg 37lg 4lg 3lg 8lg 7lg 12lg 56lg 56log 12++=++=++=++=++==a ab a ab a ab .例54. 已知c b a ,,都是不等于1的正数,且zyxc b a ==,0111=++zy x ,求abc 的值. 分析:使用连等设参数法.可以利用指数幂与根式的互化以及指数幂的运算性质解决问题,还可以利用对数的定义以及对数的换底公式解决问题.解法一:设t c b a zyx===,则0>t ,zyxt c t b t a 111,,===.∴zy x zyxtt t t abc 111111++=⋅⋅=.∵0111=++zy x ∴10==t abc .解法二:设t c b a zyx===,则0>t .∵c b a ,,都是不等于1的正数 ∴t z t y t x c b a log ,log ,log ===. ∵0111=++zy x ∴0log 1log 1log 1=++tt t c b a ,∴()0log log log log ==++abc c b a t t t t ∴1=abc .例55. 计算3216log 的结果是【 】（A ）34 （B ）43 （C ）34- （D ）43- 解:342log 3116log 3116log 16log 42231232====. 选择【 A 】.点评: 这里用到了对数的性质:（1）M n M a na log log =;（2）1log =a a .例56. 求下列对数式的值:（1）e 1ln 1ln +;（2）51lg 5lg 32lg 4-+;（3）2log 3774lg 25lg 27log +++.解:（1）原式1ln 01-=+=-e;（2）原式()410lg 452lg 5152lg 51lg 5lg 2lg 443434==⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯=-+=; （3）原式()()21122232425lg 3log 2133=++=+⨯+=. 例57. =⨯+-+8log 3log 43lg 9lg 215lg 232__________.解:原式3lg 8lg 2lg 3lg 43lg3lg 25lg ⨯+-+= 272322lg 2lg 23100lg 2lg 8lg 43325lg =+=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⨯=. 例58. 对数综合运算求值:（1）2.1lg 1000lg 8lg 27lg -+;（2）()[]4log 18log 2log 3log 166626÷⋅+-.解:（1）原式()()12lg 23lg 232lg 33lg 231023lg10lg 2lg 3lg 22133213-+-+=⨯-+=()2312lg 23lg 12lg 23lg 23=-+-+=; （2）原式()()[]4log 6log 3log 2log 3log 6log 6666266÷++-=()[]()[]()12log 22log 22log 22log 2log 4log 2log 3log 2log 2log 4log 2log 3log 2log 2log 6666666666666626=÷=÷+=÷++=÷+⋅+=例59. 求下列式子的值:（1）()()a a lg lg 2lg lg 2100+; （2）8lg 3136.0lg 2113lg 2lg 2+++.解:（1）原式()()()[]()2lg lg 2lg lg 22lg lg 2lg 10lg 22=++=+=a a a a ; （2）原式()112lg 12lg 26.010lg 12lg 2lg 6.0lg 10lg 3lg 4lg ==⨯⨯=+++=.例60. 给出下列各式:①()010lg lg =;②()0ln lg =e ;③若x lg 10=,则10=x ;④由21log 25=x ,得5±=x . 其中正确的是__________.（把正确的序号都填上）答案 ①②解:()01lg 10lg lg ==,故①正确;()01lg ln lg ==e ,故②正确;若x lg 10=,则1010=x ,故③错误; 由21log 25=x ,得52521==x ,故④错误.例61. 计算3log 9153223log 327log ++的结果是__________. 解:原式58315233log 3log 33log 33log 3523135331=+--=+-=++=--. 例62. 计算=⨯+⨯-4log 3log 81log 2273223log 324__________. 解:原式()3lg 2lg 22lg 3lg 2log 23323log 213232⨯+⨯-=- ()31123922921213log 2-=+-=+-=.例63. 已知b a ==6log ,5log 52,则用b a ,表示=6lg __________. 解:∵b a ==6log ,5log 52∴b a ==5lg 6lg ,2lg 5lg ,a =-5lg 15lg ,∴aa+=15lg ∴aabb +==15lg 6lg . 例64.（1）已知a =2log 14,用a 表示7log2;（2）已知b a ==5log ,7log 1414,用b a ,表示28log 35.解:（1）∵a =2log 14,∴a12log 114log 142==∴()⎪⎭⎫⎝⎛-=-===1122log 14log 27log 27log7log2222221a ;（2）∵b a ==5log ,7log 1414∴()5log 7log 14log 7log 14log 57log 14714log 35log 28log 28log 14141414141414141435++-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==b a a +-=2. 例65. 解关于x 的方程:（1）()()13log 1log 515=--+x x ;（2）()010lg lg 32=-+x x .解:（1）()()13log 1log 155=--+-x x ,()()5log 3log 1log 555=-++x x()()5log 31log 55=-+x x∴()()⎪⎩⎪⎨⎧>->+=-+0301531x x x x ,解之得:4=x . ∴该方程的解为4=x ;（2）()010lg 3lg 2=-+x x ,()()05lg 2lg =+-x x∴2lg =x 或5lg -=x ,解之得:210=x 或510-=x . 经检验,210=x 和510-=x 都是原方程的解.例66. 方程()()12log 3log 2log 222=-+-x x 的解是__________. 解:()()12log 32log 22=--x x∴()()⎪⎩⎪⎨⎧>->-=--03021232x x x x ,解之得:1-=x . ∴该方程的解为1-=x .例67. 已知1>>b a ,若310log log =+a b b a ,a bb a =3,则=b __________. 解:设t b a =log ,则t b a a b 1log 1log ==,3101=+t t ,解之得:31,321==t t . ∵1>>b a ,∴a b a a a log log 1log <<,即10<<t ,∴31=t .∴31log =b a ,31a b =.∵abb a =3,∴a ba a 313=,∴b a 331=,b a 9=∴()b b b b 9,9331==,解之得:3=b .例68. 解方程:()()14log 1log 42=+-+x x .解:()()4log 4log 1log 44222=+-+x x ,()()4log 4log 1log 4424=+-+x x∴()4log 41log 424=++x x .()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>+=++04014412x x x x ,解之得:5=x . ∴该方程的解为5=x .例69. 已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥⎪⎭⎫⎝⎛=4,14,21x x f x x f x,则()=+3log 22f 【 】（A ）31 （B ）61 （C ）121 （D ）241解:∵4log 3log 2log 222<<,∴23log 12<<∴()()()3log 32222213log 313log 23log 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=++=+f f f()24131812812211223log 3log 13=⨯=⨯=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=--. 选择【 D 】.例70. 已知函数()131+=x x f ,则()=⎪⎭⎫ ⎝⎛+91log 3log 42f f __________. 解:∵()131+=x x f∴()()()1333131131131+++=+++=-+--x x x x x x x f x f 1313131=+++=xxx . ∴()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+31log 3log 31log 3log 91log 3log 22222422f f f f f f ()()13log 3log 22=-+=f f .例71. 若cba964==,则=+-cb a 121__________. 解:设t cb a ===964,则tc t b t a 964log ,log ,log ===.∴9log 6log 24log log 1log 12log 1121964t t t tt t c b a +-=+⋅-=+- 01log 964log 2==⎪⎭⎫⎝⎛⨯=t t .解法二:设t cba===964,则cbat t t 1119,6,4===.∵2694=⨯,∴2111⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅b ca t t t ,bc a t t 211=+∴b c a 211=+,∴0121=+-cb a . 例72. 已知函数()()11ln 22+-+=ax x a x f （0>a ）,则()=⎪⎭⎫⎝⎛+a f a f 1ln ln ______. 解:∵()()11ln 22+-+=ax x a x f∴()()()()11ln 11ln 2222+++++-+=-+ax x a ax x a x f x f()()[]221ln 211ln2222=+=+++-+=ax xa ax xa∴()()()2ln ln 1ln ln =-+=⎪⎭⎫⎝⎛+a f a f a f a f .例73. 已知b a ,是方程343log 3log 273-=+x x 的两个根,则=+b a __________. 解:343log 3log 333-=+x x ,343log 313log 133-=+x x . 设x t 3log 3=,则34311-=+t t ,解之得:3,121-=-=t t .∴1333log 13log -=-=x 或3333log 33log -=-=x ,解之得:91=x 或811=x . 经检验,91=x 和811=x 都是原方程的解.∴811081191=+=+b a .例74. 已知二次函数()()a x x a x f lg 42lg 2++=的最小值为3,则()⋅+2log 5log 2a a50log a 的值为__________.解:∵二次函数()()a x x a x f lg 42lg 2++=的最小值为3∴0lg >a ,()3lg 44lg 162=-aa ,解之得:1lg =a ,∴10=a . ∴()⋅+2log 5log 2a a ()50lg 2lg 5lg 50log 2⋅+=a()()()12lg 5lg 2lg 2lg 5lg 5lg 15lg 2lg 5lg 2=+=++=++=.例75. 已知n m a a ==2log ,3log .（1）求n m a 2+的值;（2）若10<<x ,a x x =+-1,且12log 3+=+n m ,求22--x x 的值.解:（1）∵n m a a ==2log ,3log ,∴2,3==n ma a∴()12232222=⨯=⋅=⋅=+n m n m n m a a a a a ;（2）∵12log 3+=+n m∴3log 2log 2log 3log 33+=+a a ,6log 6log 3=a ,∴3=a . ∴31=+-x x ,()()543422121=-=-+=---x x x x∵10<<x ,∴xx 1<,∴51-=--x x . ∴()()531122-=-+=----x x x x x x .例76. 已知z y x ,,为正数,zyx643==,py x =2.（1）求p 的值; （2）求证:yx z 2111=-解:（1）设t zy x ===643,则t z t y t x 643log ,log ,log ===.∵py x =2,∴t p t 43log log 2=,∴4log 23log 4log 24log 13log 12log log 2343==⋅==t t t t t t p2log 43=;证明:（2）由（1）可知:2log 3log 6log log 1log 11136t t t t t x z =-=-=-,2log 4log 21log 121214===⋅=t t t y ∴yx z 2111=-. 例77. 实数b a ,满足1052==ba,则下列关系正确的是【 】（A ）111=+b a （B ）212=+b a （C ）221=+b a （D ）2121=+b a解:∵1052==ba ,∴10log ,10log 52==b a .∴15lg 2lg 10log 110log 11152=+=+=+b a ,故（A ）正确; 22lg 120lg 5lg 4lg 5lg 2lg 212≠+==+=+=+b a ,故（B ）错误; 5lg 150lg 25lg 2lg 5lg 22lg 21+==+=+=+b a ,故（C ）、（D ）错误. 选择【 A 】.例78. 已知函数xx f 311)(+=,则()=⎪⎭⎫⎝⎛+31lg 3lg f f 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）9分析:因为()()()()()3lg 3lg 3lg 3lg 31lg 3lg 1-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-f f f f f f ,所以根据函数()x f 的解析式计算出()()x f x f -+即可.解:∵xx f 311)(+=∴()()1333133311+=+=+=---x xxx x x x f ∴()()1133311=+++=-+x xxx f x f ∴()()()()()13lg 3lg 3lg 3lg 31lg 3lg 1=-+=+=⎪⎭⎫⎝⎛+-f f f f f f .选择【 A 】.例79. 设()x f 为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,()b e x f x+=（b 为常数）,则()2ln -f 等于【 】（A ）21-（B ）1 （C ）1- （D ）3- 解:∵()x f 为定义在R 上的奇函数∴()00=f ,∴01=+b ,解之得:1-=b . ∴当x ≥0时,()1-=x e x f .当0<x 时,0>-x ,此时()()x f e x f x -=-=--1 ∴当0<x 时,()x e x f --=1. ∵01ln 21ln2ln =<=- ∴()12112ln 2ln -=-=-=-e f . 选择【 C 】.方法二:()()()()11212ln 2ln 2ln -=--=--=-=-e f f .例80. 计算:9log 2log 5lg 341lg 2lg 43⋅-+-. 解:原式22333log 2log 5412lg 2⋅-⎪⎭⎫⎝⎛⨯÷= 2133log 2log 10lg 233=-=⋅-=.。