检测正弦信号相位差算法的研究(精)
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v 2(t 1
…
v 2(t M -1
。
若式(9中的A T A为非奇异矩阵,则C、D必有唯一解,其矩阵表达式为:
C =(A T A -1A T
b
D =(A T A -1A T
g
(10
综上所述,用最小二乘法检测正弦信号相
位差的过程是先利用式(1求得信号采样值,由矩阵方程(9求得C j、D j参数,再根据式(3求得两信号的相位Υ1、Υ2和相位差Η=Υ1-Υ
(4
其残差平方和为
[v 21]=v 20+v 21+…+v 2
M -1
=2M -1
r =0
[C 0sin Ξt r +C 1sin Ξt r -v 1(t r ]2
其中t r表示第r个采样点。令50(t =sin Ξt , 50(t =co s Ξt ,则有:
[v 21
]=2M -1
r =0
[C 050(t r +C 151(t r -v 1(t r ]2
二、算法的理论分析
11最小二乘相位测量的算法
假设有两正弦信号v 1(t、v 2(t被采样频率f s采样,得到一组M个采样点。待处理的信号如下式所示:
v 1(t =V 1sin (Ξt +Υ1 v 2(t =V 2sin (Ξt +Υ2 (1
展开上式可得
v 1(t =C 0sin Ξt +C 1co s Ξt v 2(t =D 0sin Ξt +D 1co s Ξt (2
检测正弦信号相位差算法的研究
程 捷
(中国计量学院信息工程系,杭州310034
摘 要 本文基于最小二乘原理和FFT的选频特性,讨论了二种测量正弦信号相位差的方法。该算法适用于短信号序列的相位测量。实验结果表明这二种算法具有数据处理量少,准确度高的特点。关键词 相位 检测FFT最小二乘法
一、引 言
有直读法,本文基于最小二乘原理和快速傅里叶变换(FFT的选频特性,提出了用最小二乘法和FFT检测正弦信号相位差的算法。影响算法的主要因素是采样点数。利用最小二乘法数据处理量少,准确度高,而利用FFT来检测相位差,算法过程简捷。
其中:C 0=V 1co s Υ1, C 1=V 1sin Υ1
D 0=V 2co s Υ2, D 1=V 2sin Υ2故有
V
1C 2
+C 21
, Υ1=arc tg C 0 +〔1-sgn (C 0 2
V 2
D 20+D 2
1,
2tg D 0 2
(3 , C j、D j参数(j =0,
1。为此,需要应用最小二乘法。根据C j、D j参
2。
21FFT相位测量算法
众所周知,对正弦信号采样值
x (n =sin (−
q・n
(11
式中q为一整数(q =0, 1, …, N -1。其离散傅
里叶变换(D FT为:
X (k =2M -1
n =0
x (n W
kn N
(k =0, 1, …, N -1其中
X (n W
kn
N
=sin (−
qn [co s
(5
同理可得到v 2
(t的测量残差平方和为:
[v 22
]=2M -1
r =0
[D 050(t r +D 151(t r -v 2(t r ]2
(6
根据最小二乘原理,由极小值存在的必要
82计量技术19971№10
条件,求残差平方和[v 21]及[v 2
2]的极小值,可由
式(5、(6分别求对C j、D j参数的偏导数,并令
2M -1r =0
[5i (t r 21s =0C s 5s (t r =2M -1
r =05i (t r v 1(t r 2M -1r =0
[5i (t r 21
s =0D s 5s (t r =2M -1
r =05i (t r v 2t r
i =0, 1
将50(t =sin t Ξt (8 A T
其为零,有:
C j 2M -1r =0
[C 050(t r +C 151(t r -v 1(t r ]2=0
D j
2M -1
Hale Waihona Puke Baidur =0
[D 050(t r +D 151(t r -v 2(t r ]2=0(7由上式可获得有确定解的方程组。这一方程组的解即为最小二乘估计值。为此,根据式(7分别求残差平方和对C j、D j参数的偏导数,经整理,化简,可得:
正弦信号按一定的时间间隔∃进行采样,得到
v i (n ∃ (i =1, 2, ; n =1, 2, …M。对v 1(t计算出各采样点值v 1(t 0 , v 1(t 1 , …, v 1(t M -1 ,可得到
v 1(t的测量残差为:
v i =C 0sin Ξt i +C 1co s Ξt i -v 1(t i i =0, 1, …, M -1
−
kn-j sin N
kn ]
=
2j・exp [-j N
(
q +k n ]-2
j・exp [j
−
(q -k n ]所以X (k应为:
X (k =2j 2M -1n =0{-(q +k n ]-[q ]}(12 , X (k =0; k =q时, X (k =-2
j。同理,对相位为Υ的正弦序列
x (n =sin (N
频率为N
・q的序列。由式(15即可求出正弦
序列x (n的相位Υ。
将上述结论推广,对两个正弦信号序列:
x 1(n =sin (N qn +Υ
1 x 2(n =sin (
N
qn +Υ2
首先对两信号序列分别作D FT ,根据其频谱判断谱值达最大的频率点,最后由式(15求出相位Υ1、Υ
A C =A T
b A T
A D =A T
g
(9
其中, A T =
sin Ξt 0sin Ξt 1…sin Ξt M -1co s Ξt 0co s Ξt 1…co s Ξt M -,
C =C 0C ,D =
D 0D ,
b =
v 1(t 0 v 1(t 1
…
v 1(t M -1
,g =
v 2(t 0
・qn +Υ
(13其D FT为:
X (k =
2j・exp (j Υ 2M -1n =0{exp [-j N
(q +k n ]-exp [j
N
(q -k n ]}(14当且仅当k =q时, X (k ≠0,且为:
X (k =-2
j・exp (j Υ
(15说明X (k在k =q处谱值达最大,因为x (n是
数总的测量残差平方和最小,用求偏导数的方法得到C j、D j参数的最小二乘估计。
假设信号频率为f =50H z ,采样频率为f s ,选取一定量的采样数据(取决于周期数K的值,则M =I N T (Kf s f =I N T (KN ,这里, I N T表示取整。采样间隔为∃=1 f s ,对连续的
…
v 2(t M -1
。
若式(9中的A T A为非奇异矩阵,则C、D必有唯一解,其矩阵表达式为:
C =(A T A -1A T
b
D =(A T A -1A T
g
(10
综上所述,用最小二乘法检测正弦信号相
位差的过程是先利用式(1求得信号采样值,由矩阵方程(9求得C j、D j参数,再根据式(3求得两信号的相位Υ1、Υ2和相位差Η=Υ1-Υ
(4
其残差平方和为
[v 21]=v 20+v 21+…+v 2
M -1
=2M -1
r =0
[C 0sin Ξt r +C 1sin Ξt r -v 1(t r ]2
其中t r表示第r个采样点。令50(t =sin Ξt , 50(t =co s Ξt ,则有:
[v 21
]=2M -1
r =0
[C 050(t r +C 151(t r -v 1(t r ]2
二、算法的理论分析
11最小二乘相位测量的算法
假设有两正弦信号v 1(t、v 2(t被采样频率f s采样,得到一组M个采样点。待处理的信号如下式所示:
v 1(t =V 1sin (Ξt +Υ1 v 2(t =V 2sin (Ξt +Υ2 (1
展开上式可得
v 1(t =C 0sin Ξt +C 1co s Ξt v 2(t =D 0sin Ξt +D 1co s Ξt (2
检测正弦信号相位差算法的研究
程 捷
(中国计量学院信息工程系,杭州310034
摘 要 本文基于最小二乘原理和FFT的选频特性,讨论了二种测量正弦信号相位差的方法。该算法适用于短信号序列的相位测量。实验结果表明这二种算法具有数据处理量少,准确度高的特点。关键词 相位 检测FFT最小二乘法
一、引 言
有直读法,本文基于最小二乘原理和快速傅里叶变换(FFT的选频特性,提出了用最小二乘法和FFT检测正弦信号相位差的算法。影响算法的主要因素是采样点数。利用最小二乘法数据处理量少,准确度高,而利用FFT来检测相位差,算法过程简捷。
其中:C 0=V 1co s Υ1, C 1=V 1sin Υ1
D 0=V 2co s Υ2, D 1=V 2sin Υ2故有
V
1C 2
+C 21
, Υ1=arc tg C 0 +〔1-sgn (C 0 2
V 2
D 20+D 2
1,
2tg D 0 2
(3 , C j、D j参数(j =0,
1。为此,需要应用最小二乘法。根据C j、D j参
2。
21FFT相位测量算法
众所周知,对正弦信号采样值
x (n =sin (−
q・n
(11
式中q为一整数(q =0, 1, …, N -1。其离散傅
里叶变换(D FT为:
X (k =2M -1
n =0
x (n W
kn N
(k =0, 1, …, N -1其中
X (n W
kn
N
=sin (−
qn [co s
(5
同理可得到v 2
(t的测量残差平方和为:
[v 22
]=2M -1
r =0
[D 050(t r +D 151(t r -v 2(t r ]2
(6
根据最小二乘原理,由极小值存在的必要
82计量技术19971№10
条件,求残差平方和[v 21]及[v 2
2]的极小值,可由
式(5、(6分别求对C j、D j参数的偏导数,并令
2M -1r =0
[5i (t r 21s =0C s 5s (t r =2M -1
r =05i (t r v 1(t r 2M -1r =0
[5i (t r 21
s =0D s 5s (t r =2M -1
r =05i (t r v 2t r
i =0, 1
将50(t =sin t Ξt (8 A T
其为零,有:
C j 2M -1r =0
[C 050(t r +C 151(t r -v 1(t r ]2=0
D j
2M -1
Hale Waihona Puke Baidur =0
[D 050(t r +D 151(t r -v 2(t r ]2=0(7由上式可获得有确定解的方程组。这一方程组的解即为最小二乘估计值。为此,根据式(7分别求残差平方和对C j、D j参数的偏导数,经整理,化简,可得:
正弦信号按一定的时间间隔∃进行采样,得到
v i (n ∃ (i =1, 2, ; n =1, 2, …M。对v 1(t计算出各采样点值v 1(t 0 , v 1(t 1 , …, v 1(t M -1 ,可得到
v 1(t的测量残差为:
v i =C 0sin Ξt i +C 1co s Ξt i -v 1(t i i =0, 1, …, M -1
−
kn-j sin N
kn ]
=
2j・exp [-j N
(
q +k n ]-2
j・exp [j
−
(q -k n ]所以X (k应为:
X (k =2j 2M -1n =0{-(q +k n ]-[q ]}(12 , X (k =0; k =q时, X (k =-2
j。同理,对相位为Υ的正弦序列
x (n =sin (N
频率为N
・q的序列。由式(15即可求出正弦
序列x (n的相位Υ。
将上述结论推广,对两个正弦信号序列:
x 1(n =sin (N qn +Υ
1 x 2(n =sin (
N
qn +Υ2
首先对两信号序列分别作D FT ,根据其频谱判断谱值达最大的频率点,最后由式(15求出相位Υ1、Υ
A C =A T
b A T
A D =A T
g
(9
其中, A T =
sin Ξt 0sin Ξt 1…sin Ξt M -1co s Ξt 0co s Ξt 1…co s Ξt M -,
C =C 0C ,D =
D 0D ,
b =
v 1(t 0 v 1(t 1
…
v 1(t M -1
,g =
v 2(t 0
・qn +Υ
(13其D FT为:
X (k =
2j・exp (j Υ 2M -1n =0{exp [-j N
(q +k n ]-exp [j
N
(q -k n ]}(14当且仅当k =q时, X (k ≠0,且为:
X (k =-2
j・exp (j Υ
(15说明X (k在k =q处谱值达最大,因为x (n是
数总的测量残差平方和最小,用求偏导数的方法得到C j、D j参数的最小二乘估计。
假设信号频率为f =50H z ,采样频率为f s ,选取一定量的采样数据(取决于周期数K的值,则M =I N T (Kf s f =I N T (KN ,这里, I N T表示取整。采样间隔为∃=1 f s ,对连续的