二项式定理1
L
Cnn 3n 1]
1 [(1 3)n 1] 1 (4n 1)
3
3
13
例 求(2a+b)5的展开式的(1)第三项；(2)第三
题
2 项的二项式系数；(3)第三项的系数。
解:
(1)
T3＝T2+1＝C
2 5
(2a)5-2b2
=80a
3b2
(2) C52 =10
∴第三项的二项式系数是10
等号右边的积的展开式的每一项,是从每个 括号里任取一个字母的乘积.
3
寻找 规 律
(a+b)4的展开式中各项的系数是什么?
(a+b)4 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
=
c 40a4
+c 14a3b1
+c 42a2b2
+
c 43a1b3
+c
4 4
b4
每个都不取b的情况有1种,即
c
0 4
,所以 a4的系数是
(1 3)10 210 1024
(2).(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(x 11)5 1 x5 1
(3).Cn1 3Cn2 9Cn3 L
3n
C 1 n n
1[1 3
Cn1
3
Cn2
32
8
本节课的课题杨《辉二简项式介定理》就是研究
（• a+南b宋）末的年平钱方塘，人（，a是+当b）时的有三名次的方数…学…家 （和a教+b育）家的，n杨次辉方一的生乘编法写展的开数式学的书规很律多，， 法但国散数佚学严家重帕。斯卡在17世纪发现了它，国外 把这一规律称为帕斯卡三角。其实，我国数学
杨辉生活在浙江杭州一带，曾当过地方官， 家杨辉早在1261年在他的《详解九章算法》中 就到有过了苏相州应、的台图州表等。地，他每到一处都会有人 慕名前来 请教数学问题。
多项式.
6
注意
通项Tr+1是展开式的第r+1项； 项数r+1与指标r不一致（相差1）。 通项公式中项数是从小到大，由左到右的
c 顺序排列相加的，通项Tr+1= nran-rbr 是(a+b)n
的展开式的第r+1项，但不是(b+a)n的第r+1项 虽然(a+b)n= (b+a)n 。
7
（a+b）的n次方展开式的系数的规律
Cnranrbr叫做二项展开式的通项 ，它是二项展开式的第 r 1项。
即Tr1 Cnr anrbr
5
二项式定理的特点 1.系数规律： cn0 、c1n 、cn2 … 、cnn
2.指数规律： 各项的次数均为n；二项和的第
一项a的次数由n降到0， 第二项 b的次数由0升到n.
3.项数规律：二项式的的展开式共有n+1个项 4.二项式的展开的形式是关于a与b 的齐次
(3) T3=80a 3b2 ∴第三项的系数是80
强调: 求在指定条件下的项，关键是求通项公式
Tr+1中的指标r，r为非负整数且项数为r+1， 注意二项式的系数与某项的系数是不同概
念。 14
练习
1.求（2x 3y）6的展开式的第三项
解：由二项式展开式的通项知
T3 T21 C62 2 x 62 3 y 2
9
1、展开(a+2b)5
解：(a+2b)5 c50a5 c51a4 (2b)1 c52a3 (2b)2 c53a2 (2b)3 c54a1(2b)4 c55 (2b)5 = a5+10a4b1 +40a3b2+80a2b3+80a1b4 +32b5
10
1.写出（1 q）7的展开式
数又是什么呢?
2
（一）寻 找 规 律
(a+b)4的展开式有哪些项?
(a+b)2 =(a+b)(a+b) = a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
= a4 + a3b1 + a2b2 + a1b3 + b4
0 an 1 an1b
n
n
2 an2b2
n
1 C C r
r
anrbr 1 n
n bn
n
n
11
4、求下列二项展开式
课堂练习
(1)( x
1 x
)4
(2)( x 2 )6 x
12
二项式定理公式的逆用
(1)1 3C110 9C120 27C130 L 39C190 310
已知(3 x 1 )10 (2)判断是否有含x2的项 x
解： (2)假设第r+1项为含x2的项，则
c Tr+1=
r (3 x )10r (
10
1 )r x
10r r
= c1r0 x
3
x2
c x = r
10r r 32
10
∴
10 r r 32
=2
解得r=5/8
因为r 只能取非负整数，
18
已知(3 x 1 )10 ，(1)求不含字母x的项； x
解：(1) 设第r+1项不含字母x，则
c Tr+1=
r (3 x )10r (
10
1 )r x
10r r
= c1r0 x
3
x2
c x = r
10r r 32
10
∵不含字母x
∴
10 r r 32
=0
解得r=4
不含字母x的是第5项，T5=210 19
课堂练习
(1 q)7 1 7q 21q2 35q3
35q4 21q5 7q6 q7
2.写出（1 x）n的展开式
(1
x)n
Hale Waihona Puke C 1 1 x nC2 x2 n
C C r xr n xn
n
n
3.写出（ a b）n的展开式
C C C (a b)n
因此不存在含x2的项。 20
二项式定理
(a+b)n= cn0an +c1n an-1 b1 +…+ cnran-rbr + … +cnn bn
将二项式展开式中第r+1项的一般表达式
c Tr+1=
r n
an-rbr
(r=0,1 , 2 , 3 ,…, n)
叫做二项展开式的通项公式，
cnr 叫做二项展开式中第r+1项
2160x4 y2
15
练习
2.求（3y 2x）6的展开式的第三项
解：由二项式展开式的通项知
T3 T21 C62 3 y 62 2 x 2
4860y4 x2
16
练习
3.(1)求(1 a)12的二项式中的倒数第5项.
(2)求(x 1 )9的二项式中x3的系数. x
c
0 4
恰有一个取b的情况有 c14种,所以 a3b1 的系数是
c
1 4
恰有两个取b的情况有c
2 4
种,所以a2b2
的系数是
c
2 4
恰有三个取b的情况有 c 43种,所以 a1b3的系数是
c
3 4
恰有四个取b的情况有c
4 4
种,所以
b4 的系数是
c
4 4
4
（二）二项式定理
(a b)n ____?_____
的二项式系数。
21
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2
C C r anrbr n bn
n
n
这个公式所表示的定理叫二项式定理
右边的多项式叫 (a b)n的二项展开式 它一共有n 1项，其中各项的系数Crn (r 0,1,2,...,n) 叫做二项式系数。
a b0 a b1 a b2 a b3 a b4 a b5 a b6
1 11 1 21 133 1 1464 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
17
例题3、求(3 x 1 )15二项式中的常数项 . x
例题4、已知( x 1 )n的二项展开式中,前三项的 24 x
系数成等差数列, 求二项展开式中的所有有理项.
例题5、求证：1 2C1n 4Cn2 ... 2n1Cnn1 2n Cnn 3n
例题6、求证：5051 1能被7整除。
二项式定理
1
在初中学过二项式的平方、立方展 开式,即: (a+b)2 =(a+b)(a+b) = a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3 那么(a+b)4, (a+b)5, …… ,(a+b)n (n∈N*)的 展开式又是什么呢 ？有哪些项?各项的系
二项式定理 (1)
T10 = T9+1 = C x
9 12
12 9
a
9
=C x a
3 12 3
3
9
9
= 220 x a .
的展开式中的第4项 ） 例4（1）求(1+2x)7的展开式中的第 项 的二项式系数，和第 项的系数 项的系数； 的二项式系数，和第4项的系数；
1 9 系数。 （2）求 ( x ) 的展开式中的x3系数。 ） x 展开式的第4项为 解：（1） (1+2x)7展开式的第 项为 ）
( r = 0,1,2, L , n) 叫做二项式系数. 二项展开式中的 C r a n r b r 叫做二项式系数 二项式系数. n
叫做二项展开式的通项， 叫做二项展开式的通项， Tr +1 来表示 通项 用 来表示. 即通项为展开式的第r+1项 即通项为展开式的第 项 : Tr + 1 = C n a
a 4 , a 3 b, a 2 b 2 , ab 3 , b 4 .
现在来看一看上面各项在展开式中出现的次数， 也就是看展开 现在来看一看上面各项在展开式中出现的次数， 式中各项的系数是什么？ 式中各项的系数是什么？
(a + b )4 = (a + b )(a + b )(a + b )(a + b )
3 T4 = T3+1 = C7 ( 2 x ) 3 = 35 × 8 x 3 = 280x 3
∴ 第4项的二项式系数 C 7 = 35 ， 4项的系数是 280 . 项的二项式系数 3 第 项的系数是
1 9 （2 Q ( x ) 的展开式的通项是 ） x
r 9 9 r
1 r r Tr +1 = C x ( ) = ( 1) r C 9 x 9 2 r x 由题意得 9 2r = 3 r = 3
高二数学二项式定理1
C
1 4
C42
C43
C
4 4
探索：(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)在左边4个括号中：
每个都不取b，有
C
0 4
种取法，a4的系数
C0 4
恰有１个取b，有
C1 4
种取法，a3b的系数
C1 4
恰有２个取b，有 C42 种取法，a2b2的系数C42
恰有３个取b，有 C43 种取法，ab3的系数 C43 ４个都取b， 有 C44 种取法 , b4的系数 C44
猜想：(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开后，会是什 么样呢？你能从项数、次数、系数这几个方面谈一谈吗？
(a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
特点：项数比次数多1；每项次数为左边指数4，a降b升；
系数为 C40
因此：(a b)4 C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4
按上述规律，我பைடு நூலகம்能将(a+b)n展开吗？
（一）二项式定理：
(a+ b)n
=
C
0 n
an
+
C
1 n
an
-
1b
+
C
2 n
；单机游戏 /?s=down-show-id-2.html ；
为玉碎不为瓦全’之语？说道：“这位便是江湖上人称‘云锦箭’的花可人了吧？愿化作他心坎中的脉脉长流.不会走近前来.当下和儿子相商.二妖的大力金钢柞.想道：“难道年少夫妻.妈妈.好些公主就因长处深宫.手提双箭.”
二项式定理
二项式定理一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)❶；(2)通项公式：T k ＋1＝C k n an －k b k ，它表示第k ＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C 0n ，C 1n ，…，C n n ❷.2.二项式系数的性质(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关.如(a ＋bx )n 的二项展开式中，第k ＋1项的二项式系数是C k n ，而该项的系数是C k n an －k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.考点一 二项展开式中特定项或系数问题考法(一) 求解形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例1] (1)(2018·全国卷Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( ) A.10 B.20 C.40D.80(2)(2019·合肥调研)若(2x －a )5的二项展开式中x 3的系数为720，则a ＝________. (3)(2019·甘肃检测)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝________.[解析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 5·2r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2.故展开式中x 4的系数为C 25·22＝40. (2)(2x －a )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r ·C r 5·(2x )5－r ·a r ＝(－1)r ·C r 5·25－r ·a r ·x 5－r ，令5－r ＝3，解得r ＝2，由(－1)2·C 25·25－2·a 2＝720，解得a ＝±3.(3)⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝C r 5(－a )rx 5－32r .由5－32r ＝5，得r ＝0，由5－32r ＝2，得r ＝2，所以A ＝C 05×(－a )0＝1，B ＝C 25×(－a )2＝10a 2，则由1＋10a 2＝11，解得a ＝±1.[答案] (1)C (2)±3 (3)±1 [解题技法]求形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r ；第三步，把r 代入通项公式中，即可求出T r ＋1，有时还需要先求n ，再求r ，才能求出T r ＋1或者其他量.考法(二) 求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例2] (1)(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( ) A.－4 B.－3 C.3D.4(2)(2019·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________.[解析] (1)法一：(1－x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )m ＝C m 6(－1)m x m 2，(1＋x )4的展开式的通项为C n 4·(x )n ＝C n 4x n 2，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4. 令m 2＋n2＝1，得m ＋n ＝2， 于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(－1)0·C 24＋C 16·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3.法二：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x ).于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3. (2)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为C 46a 2，含x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25. [答案] (1)B (2)25[解题技法]求形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a ＋b )m 与(c ＋d )n 分别展开，并写出其通项公式； 第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a ＋b )m 与(c ＋d )n 的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 考法(三) 求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量 [例3] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30D.60(2)将⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________. [解析] (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x6－k，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.(2)⎝⎛⎭⎫x ＋4x －43＝⎝⎛⎭⎫x －2x 6展开式的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝(－2)k ·C k 6x 3－k. 令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.[解析] (1)C (2)－160 [解题技法]求形如(a ＋b ＋c )n (n ∈N *)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，把三项的和a ＋b ＋c 看成是(a ＋b )与c 两项的和； 第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项； 第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n－r的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的；第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.[题组训练]1.(2018·洛阳第一次统考)若a ＝∫π0 sin x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中的常数项为( )A.－15B.15C.－240D.240解析：选D 由a ＝∫π0 sin x d x ＝(－cos x )|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，得⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6·26－r ·x 3－32r ，令3－32r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 26·24＝240. 2.(2019·福州四校联考)在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)解析：二项展开式中，含x 5的项是C 562x 5－x 3C 2624x 2＝－228x 5，所以x 5的系数是－228.答案：－2283.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)的展开式中的常数项为________. 解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x ＞0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1210－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，得r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·⎝⎛⎭⎫125＝6322.答案：6322考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )A.63x B.4x C.4x 6xD.4x或4x 6x (2)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解析] (1)令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8＜2n＜32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x . (2)⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r n (－1)r x 2n －3r ， 因为含x 的项为第6项，所以r ＝5,2n －3r ＝1，解得n ＝8， 在(1－3x )n 中，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝(1－3)8＝28， 又a 0＝1，所以a 1＋…＋a 8＝28－1＝255.(3)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5，② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.[答案] (1)A (2)255 (3)3[解题技法]1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如：(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可.(2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.[题组训练]1.(2019·包头模拟)已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( )A.1B.243C.121D.122解析：选B 令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，①令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.2.若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________.解析：令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1. 答案：－3或13.已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________.解析：由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n ＝121，则12n ·(n －1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8.答案：C 715(3x )7和C 815(3x )8考点三 二项展开式的应用[典例精析]设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1 C.11D.12[解析] 由于51＝52－1，512 018＝(52－1)2 018＝C 02 018522 018－C 12 018522 017＋…－C 2 0172 018521＋1，又13整除52， 所以只需13整除1＋a ， 又0≤a ＜13，a ∈Z ， 所以a ＝12. [答案] D[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.[题组训练]1.使得多项式81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1能被5整除的最小自然数x 为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析：选C ∵81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1＝(3x ＋1)4，∴上式能被5整除的最小自然数为3.2.1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数为________. 解析：∵1－90C 110＋902C 210＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910， ∴8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数为1. 答案：1[课时跟踪检测]A 级1.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)⎝⎛⎭⎫2x2－x 43的展开式中的常数项为( )A.－32B.3 2C.6D.－6解析：选D 通项T r ＋1＝C r 3⎝⎛⎭⎫2x 23－r·(－x 4)r ＝C r 3(2)3－r·(－1)r x －6＋6r，当－6＋6r ＝0，即r＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－90121解析：选C 由二项式定理，得a 1＝－C 1524＝－80，a 2＝C 2523＝80，a 3＝－C 3522＝－40，a 4＝C 452＝10，所以a 2＋a 4a 1＋a 3＝－34. 3.若二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( ) A.560 B.－560 C.280D.－280解析：选A 取x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式的各项系数之和为(1＋a )7，即(1＋a )7＝－1,1＋a ＝－1，a ＝－2.二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式的通项T r ＋1＝C r 7·(x 2)7－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r 7·(－2)r ·x 14－3r.令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式中含x 2项的系数为C 47·(－2)4＝560.4.(2018·山西八校第一次联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A.29B.210C.211D.212解析：选A 由题意得C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.5.二项式⎝⎛⎭⎫1x －2x 29的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( ) A.－671 B.671 C.672D.673解析：选B 令x ＝1，可得该二项式各项系数之和为－1.因为该二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9⎝⎛⎭⎫1x 9－r ·(－2x 2)r ＝C r 9(－2)r ·x 3r －9，令3r －9＝0，得r ＝3，所以该二项展开式中的常数项为C 39(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.6.(2018·石家庄二模)在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( ) A.－5 B.－15 C.－25D.25解析：选B 由题意含x 4项的系数为－2C 35＋C 45＝－15.7.(2018·枣庄二模)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12 C.1D.2解析：选D ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 10·x 10－2r ，令10－2r ＝4，解得r ＝3，所以x 4项的系数为C 310.令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以x 6项的系数为C 210.所以(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为C 310－a C 210＝30，解得a ＝2. 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1D.1或－3解析：选D 令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1.令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴m ＝1或m ＝－3.9.(2019·唐山模拟)(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)解析：(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C 3623(－1)3＝－160.答案：－16010.(2019·贵阳模拟)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 9的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝⎛⎭⎫a x r ＝a r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，所以a 3C 39＝－84，解得a ＝－1，所以二项式为⎝⎛⎭⎫x －1x 9，令x ＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.答案：011.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为________. 解析：⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5－r .令r ＝5，得常数项为C 55＝1，令r ＝3，得常数项为C 35·2＝20，令r ＝1，得常数项为C 15·C 24＝30，所以展开式中的常数项为1＋20＋30＝51.答案：5112.已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列.(1)求n ；(2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项.解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ，由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解得n ＝8(n ＝1舍去). (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝2－r C r 8x 4－3r 4(r ＝0,1，…，8)， 要求有理项，则4－3r 4必为整数，即r ＝0,4,8，共3项，这3项分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.(3)设第r ＋1项的系数a r ＋1最大，则a r ＋1＝2－r C r 8，则a r ＋1a r ＝2－r C r82－(r －1)C r －18＝9－r 2r ≥1， a r ＋1a r ＋2＝2－r C r 82－(r ＋1)C r ＋18＝2(r ＋1)8－r≥1， 解得2≤r ≤3.当r ＝2时，a 3＝2－2C 28＝7，当r ＝3时，a 4＝2－3C 38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，B 级1.在二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中恰好第五项的二项式系数最大，则展开式中含有x 2项的系数是( )A.35B.－35C.－56D.56解析：选C 由于第五项的二项式系数最大，所以n ＝8.所以二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－x －1)r ＝(－1)r C r 8x8－2r，令8－2r ＝2，得r ＝3，故展开式中含有x 2项的系数是(－1)3C 38＝－56.2.已知C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn 的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析：选C 因为C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，所以(1－4)n ＝36，所以n ＝6，因此C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n －1＝26－1＝63.3.(2019·济南模拟)⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________.解析：令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎫x －a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1，则⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中含x 4项的系数即是⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式中的含x 3项与含x 5项系数的和.又⎝⎛⎭⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r ·x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝5，得r ＝0，将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得含x 3项与含x 5项的系数分别为－80与32，故原展开式中含x 4项的系数为－80＋32＝－48.答案：－484.设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝( ) A.iB.－iC.－1＋iD.－i －1解析：选D 因为x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，所以C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝(1＋x )2 019－1＝(1－1＋i)2 019－1＝i 2 019－1＝－i －1.5.已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A.39B.310C.311D.312解析：选D 对(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312.6.设a ＝⎠⎛012x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6展开式中的常数项为________. 解析：a ＝⎠⎛01 2x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6＝⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为(－1)4C 46＝15. 答案：15。
二项式定理(讲解部分)
考法二 求二项式系数和与展开式中各项系数和的问题
例2 (1)(2019陕西师大附中模拟)在二项式(1-2x)n的展开式中,偶数项的二 项式系数之和为128,则展开式的中间项的系数为 ( )
A.-960 B.960
C.1 120 D.1 680
(2)若
x2
-
1 x
n
的展开式中含x的项为第6项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则
的展开式的常
数项是60,则a的值为 ( )
A.4 B.±4 C.2 D.±2
(2)(2018山东枣庄二模,8)若(x2-a)
x
+
1 x
10
的展开式中x6的系数为30,则a等
于( )
A. 1 B. 1 C.1 D.2
3
2
解题导引 (1)常数项是指x0项的系数,展开式的通项是什么?化简通项时
用到什么运算,指数幂的运算性质有哪些?根式如何化成指数幂形式?结合
令10-2r=6,解得r=2, 所以x6项的系数为C120,
所以(x2-a)·
x
+
1 x
10
的展开式中x6的系数为C130
-a
C120=30,
解得a=2.故选D.
答案 (1)D (2)D
方法总结 求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项 后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数 等),解出r,代回通项即可.
指数幂运算化通项为最简形式再求解.
(2)的展开式中x6项的来源有几个?结合多项式乘法法则,可分析出来有2个
来源,分别是哪两个?写出
二项式定理(1)
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第十章 排列、组合和二项式定理 一般地，(a＋b)n＝(a＋b) (a＋b) (a＋b) …… (a＋b) ran-rbr＋…＋ Cn bn n＋ 1an-1b＋ C2 an-2b2+…＋ ＝ C0 a Cn C n n n 该公式称为二项式定理. 其右端的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中 ⑴ (a＋b)n的二项展开式共有 n+1 项. a按降幂排列, b按升幂排列. ⑵ 表示第r+1项，记作Tr+1。 r ⑶ C n (r=0,1,2,…,n)叫做 第r+1项的 二项式系数. ⑷ 若取a=1，b=x则得一个重要公式： r r r +…+ n xn 2 x2+… (1+x)n=1+ C1 x+ + x C C Cn C n n n n
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n
Tr+1= Crna n-r b r 叫做二项展开式的通项，
第十章 排列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ组合和二项式定理
0 n 2 n2 2 r n r r n n (a b)n Cn a C n1a n1b Cn a b Cn a b Cn b
通项公式（第r+1项）： r n-r r Tr+1 = Cn a b 叫做二项展开式的通项，
注意正确区分二项式系数与项的系数.
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第十章 排列、组合和二项式定理
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第十章 排列、组合和二项式定理
问题1：C C C C ... C ... C
二项式定理(1)
(a+b)n的展开式是：
(a+b ) n=
C a + C a b + C a b + +C a b
n-1 1 n n-1
0 n n
1 n-1 n
2 n-2 n
2
+C b
n n
n
二项定理
一般地，对于n N*有
0 1 2 ( a b ) n C n a n C n a n 1 b C n a n 2 b 2
C a
r n
n r
b C b
r n n
n
二项式定理： n ∈ N
n 0 n n
*
(a + b) = C a + C a b + C a b + + C a b + + C b
性质
r n n-r r n n n
1 n
n-1
2 n
n-2
2
(1) 上式右边为二项展开式, 各项次数都等于二项式的次数 二项展开式一共有n+1项 (2) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0 字母b按升幂排列,次数由0递增到n (3)二项式系数可写成组合数的形式, 组合数的下标为二项式的次数 组合数的上标由0递增到n a的幂加b的幂等于n
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n
1 4 练习1、展开 (1 ) x 1 6 2、展开 ( 2 x ) x
3、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项。 4、(1)求(1+2x) 的展开式中第4项的系 数。
1 (2)求(x－ x
7
)9的展开式中x3的系数。
x 3 9 ) 的展开式常数项； 练习2(1)求 ( 3 x
计数原理：第3讲二项式定理
二项式定理1.二项式定理n*(a + b) = _______________________________ (k , n € N )，这个公式所表示的规律叫做二项式定理.(a + b)n 的二项展开式共有 _______________ 项，其中各项的系数 ______________ (k € {0 , 1, 2,…，n})叫 做二项式系数，式中的 _____________ 叫做二项展开式的通项，用 T k +1表示，即 ____________________ •通项为展开式的第 ___________ 项.2.二项式系数的性质 (1) 对称性在二项展开式中，与首末两端等距离”的两个二项式系数相等，即 C n = C n , C n = C n , C n =,…，C n = C 0.(2) 增减性与最大值二项式系数c n ,当 _______________ 时，二项式系数是递增的；当 ______________ 时，二项式系数是递减 的.当n 是偶数时，中间的一项 _____________ 取得最大值.当n 是奇数时，中间的两项 _____________ 和 _____________ 相等，且同时取得最大值. ⑶各二项式系数的和(a + b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 ____________ ，即C 0 + C 1+ U+…+ ◎+••• + C ；； = _________ 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 c 1+ C 3+ ◎+•••=氏+ U+C 4+ …= __________ .【答案】1.++...+...+w+iCj C 制Ti 二C 紗乍护七+12.【基础自测】1在2x 2— 1 5的二项展开式中，x 的系数为( )A . 10B . — 10C . 40D .— 40解：二项展开式的通项为 T r +1= C 5(2x 2)5 'J — X / = C 525 r x 10 3r (一 1)r ，令 10— 3r = 1，解得 r = 3,所以w+_l 7T 4= C；22X （— 1）3=— 40x ,所以 x 的系数为一40•故选 D.2n *2 （1 + X ） （n € N ）的展开式中，系数最大的项是 （ ）A •第n + 1项B •第n 项C .第n + 1项D .第n 项与第n + 1项解：展开式共有2n + 1项，且各项系数与相应的二项式系数相同•故选 C.3使?x + 总］（n € N *）的展开式中含有常数项的最小的 n 为（ ）A . 4B . 5C . 6D . 74 设(X — 1)21 = a °+ a 1x + a 2X 2+…+ 玄2低21，贝V a® + a^= ________________ .解：T r + 1 = C 21X^ r (一 1)，，…a 10= C 21(一 1)" , a 11= C 21 ( 一 1)勺° •- a 10 + a 11 = 0.故填 0. 5 设「2+ X )10= a °+a 1x + a 2X 2+…+ a 10x 10,贝V (a °+ a 2 + a 4+…+ ag)2—⑻十 a 3 + a 5+…+ a g )2的值为解：设 f(x)=(”』2 + X )10，则(a °+ a ?+ a °+…+ ag)2—⑻十 a 3 + a §+…+ a g )2= [(a °+ a ?+ a °+…+ aw)+ ⑻ + a 3 + a 5+ …+ a 9)][( a o + a 2 + a 4 + …+ ag)—(a 1 + a 3 + a 5 + …+ a ?)] = f(1)f( — 1)=(岑2 + 1)10(p2 — 1)10 = 1.故填 1.【典例】 类型一求特定项例一 （1） x + a 2X — 1 5的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中的常数项为 （ ）A . — 40B . — 20C . 20D . 40解：令"1,可得卄1=2, 口f的展幵式中+项的系数为C 辺（―卩工项的系数为€?2\.■.«+典肚一打的展开式中常数顷为C?2：. - 1 ］十匚工：=40一故选D.【评析】①令工=1可得所有项的系数和,②在求出口的值后，再分析常数项的构成，便可解得常数 项.广 1 帯（2）已知在 饭一 丁 '的展开式中，第6项为常数项，求含 X 2项的系数及展开式中所有的有理项.< 2钱丿 n —5 1 丨 r / 1 r n —2r解：通项 T r +1= C fi x 3 一 2 X 3= C n 一 2 X 3,•••第6项为常数项，••• r = 5时，有上器=0,得n = 10.令芝芦=2,得r = 2,二含x 2项的系数为C ?。
二项式定理(1)
6−2
(2x)
2
= 4860y x
4 2
第三项的系数分别是 2160、4860 2160、 2 第三项的二项式系数是 C6 =15 注意系数与二项式系数的区别. 注意系数与二项式系数的区别.
例 3 求(x-2)10的展开式中x6的系数. 的展开式中x 的系数.
解：二项展开式的通项 为 Tm+1 = C x （− 2） m 10 − m = (−1) 2 C10 x Q 10 − m = 6 ∴m = 4
−
n
+C 通项公式 T = C
m n
a
n−m
m
m +1
a n−mb m n
b + LL + C n b n
m n
(a + b) n 的展开式的特点：
是关于a与 的齐次多项式 ①项数：共n+1项,是关于 与b的齐次多项式 项数： 项 是关于 的指数从n逐项递减到 是降幂排列； ②指数:a的指数从 逐项递减到 是降幂排列； 指数 的指数从 逐项递减到0,是降幂排列 b的指数从 逐项递增到 ，是升幂排列。 的指数从0逐项递增到 的指数从 逐项递增到n，是升幂排列。
a （ + b) = C a + C a b +L+ C a b +L+ C b
n
0 n n 1 n-1 n m n-m m n
二项式定理: 二项式定理:
n n n
右边的多项式叫( 右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式, 的二项展开式, 二项式系数: 二项式系数: C（m = 0，⋅ ⋅ ⋅，n） 1，
二 项 式 定 理
回顾：
（a + b) = a + 2ab + b 3 ( a + b) = ( a + b)( a + b)( a + b) 2 2 = ( a + b)( a + ab + ba + b ) 2 2 3 2 = a + a b+ aba + ab + ba 2 3 + bab + b a+ b 3 2 2 3 = a + 3a b + 3ab + b
高二数学二项式定理1
二 项 式 定 理 （binomial 四、小结提炼
1.完成一个推导:二项式定理的推导;
2.掌握一个技能:n次二项式的展开; 3.理解三个特征:项数、次数、系数特征;
theorem）
笑道/恁相信不相信去问问灰心灰柔/咱们什么时候可以借助七彩空间台离开/|不相信说住壹佫晚上吗/叶静云疑惑の着马开/|恁不能相信在这里做咯什么见不到光の事情/才急着要跑吧/马开心都要跳出来咯/心想这囡人要不要猜の这么准/马开努力の让本人神情保持不变/以漫不经心の口气嚷 道/这地方存在什么好呆の/咱们还相信快跑吧/而且/刚刚咱被狐狂山算计咯壹把/对方没见得对咱们存在好意/早点离开免得夜长梦多/|听到这句话/叶静云也没存在想太多/而相信好奇の问道/它算计恁什么咯?以它の身份还用算计恁/马开没存在搭理叶静云/目光落在谭妙彤脸上/她の肤色如同 嫩灰の瓷器壹般/通透明艳/|马开说の也存在道理/狐山咱咯解の也不多/不过今天狐狂山の表现/确实存在些异常/咱们早点离开也好/静云/恁去和灰心说壹句/咱们今天就跑/|谭妙彤の话让马开恨不得抱着她亲两口/心想还相信这佫妙人儿懂本人/叶静云听谭妙彤都这么说/这才没存在坚持/点 咯点头前去让谭妙彤开启七彩空间台/灰心灰柔在七彩空间台外见到马开/两囡眼里都露出诧异之色/灰心更相信手握利剑/准备出手/马开见状心里壹惊/赶紧嚷道/两位大姐去哪里咯/狐老叫咱找恁们/可找咯好久没见恁们/|灰心这才想起来它们对谭妙彤说过没存在见到马开/咯谭妙彤壹眼/她狠 狠の盯着马开/自然不想别人知道本人被马开光咯/|哦/咱们也找恁/甚至怀疑恁摔悬崖摔死咯呢/灰心笑眯眯の着马开/妖娆妩媚/风情万种/丝毫没存在之前の杀意/|咱向来命大/两位不用担心/|马开对着灰心
高二数学二项式定理1
2
第三项的系数是 ， 第三项的二项式系数是
。
1 6 例2：展开 (2 x ) （先化简，再展开） 1 6 2xx -1 6 1 6
解： (2 x - x ) = (
x ) = x
3
(2x -1)
1 0 5 2 4 2 3 3 3 = 3 [C6 (2x)6 + C1 (2x) (-1) + C (2x) (-1) + C (2x) (-1) 6 6 6 x 2 4 5 5 6 6 +C4 (2x) (-1) + C (2x)(-1) + C (-1) ] 6 6 6 60 12 1 = 64x 192 x 240 x 160 2 3 x x x
右边多项式叫(a+b)n的二项展开式；
C , C , C ,C ,C
0 n
1 n
2 n
r n
n n
叫二项式系数；
C a
r n
n r
b
r
叫二项展开式的通项，
用Tr+1表示即：Tr+1=
Ca
r n
nr
b
r
注意：
1、弄清定理结构特征：项数：n+1 次数：n，a降b升，和为n r 二项式系数： Cn 2、二项式系数与项的系数不同 二项式系数是组合数，而项的系数是该项的数字因数 3、①通项公式可用求展开式中任意一项，求时必需 明确r=？，一般地，比所说的第几项少1 ②通项是针对(a+b)n的标准形式而言，而(b+a)n，(a-b)n r n r r r n r r 的通项则分别为: Tr 1 Cn b a ;Tr 1 Cn a (b)
4 4 4